Неустойчивость колебаний осциллятора, движущегося вдоль упругой направляющей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Эффект неустойчивости колебаний движущегося объекта

§ 1.1 Эффект неустойчивости колебаний осциллятора, движущегося по балке.

§ 1.2 Физические причины возникновения неустойчивости объекта, движущегося вдоль упругой направляющей.

§ 1.3 Аномальный эффект Доплера и явление неустойчивости в физике.

§ 1.4 Математические методы исследования устойчивости объекта, движущегося по упругой направляющей.

Глава 2. Неустойчивость колебаний объекта, движущегося вдоль балки Тимошенко на вязко-упругом основании.

§ 2.1 Эквивалентная динамическая жесткость балки в движущемся контакте.

§ 2.2 Неустойчивость колебаний двухмассового осциллятора.

§ 2.3 Неустойчивость колебаний тележки.

Глава 3. Влияние периодической неоднородности упругой системы на устойчивость колебаний движущегося объекта.

§ 3.1 Движение массы по балке на периодически неоднородном упругом основании.

§ 3.2 Движение массы по балке с периодически изменяющейся площадью поперечного сечения.

Глава 4. Неустойчивость колебаний тележки высокоскоростного поезда.

§ 4.1 Неустойчивость осциллятора, движущегося по балке, лежащей на вязко-упругом полупространстве.

Основные результаты диссертации.

Основные публикации по теме диссертации.

Диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости колебаний сосредоточенных объектов, равномерно движущихся вдоль распределенных упругих систем [1-6,14-16,18-21,23-25]. Наглядным примером такой системы является железнодорожный путь. Колеса поезда, вибрируя, возбуждают в рельсах упругие волны, реакция которых может привести к неустойчивости [17]. Данный эффект также может иметь место для движущегося токосъемника поезда, взаимодействующего с контактным проводом и других подобных механических систем [36].

Актуальность проблемы обусловлена интенсивным развитием скоростного железнодорожного транспорта (Франция, Япония, Германия). В настоящее время скорость поездов приблизилась, а в некоторых случаях и превысила скорость распространения волн в железнодорожном пути и контактной подвеске. Другими словами скорость источников возмущений стала сравнима со скоростью распространения волн. Как известно, в этой ситуации излучение волн играет существенную (а в некоторых случаях и определяющую) роль в динамическом поведении системы. Приведем некоторые цифры. Скорость поездов, функционирующих в настоящее время во Франции и Японии, колеблется от 200 до 275 [км/ч]. Рекордная скорость поезда, достигнутая во Франции - 515 [км/ч]. В Японии принята так называемая программа «500», в соответствие с которой в ближайшие 10 лет японские скоростные поезда должны достичь скоростей порядка 500 [км/ч]. Это о скоростях источников, возбуждающих упругие волны. Теперь о скорости волн. Поверхностные волны (волны Рэлея) в грунте, окружающем железнодорожный путь, распространяются со скоростями 400-600 [км/ч] в жестком грунте и со скоростями 150-400 [км/ч] в мягком (торфяном) и водо-насыщенном грунтах. Скорость изгибных волн в контактном проводе составляет 200-400 [км/ч]. Сравнивая вышеприведенные цифры, легко убедиться, что скорость источника упругих волн (поезда) в настоящее время сравнима со скоростью волн. В некоторых частях Европы, где железнодорожные пути проложены по мягким (торфяным) грунтам, излучаемые поездом поверхностные волны видны невооруженным глазом.

Измерения, проведенные железнодорожными компаниями в Германии, Швейцарии, Англии и Франции, подтверждают нарастание вибраций железнодорожного пути при скоростях движения поезда, близких к скорости поверхностных волн. Как следствие, на «мягких» участках пути были введены ограничения скорости движения или грунт был искусственно сделан жестче.

Таким образом, инженеры-железнодорожники тем или иным способом пытаются снизить скорость поезда по сравнению со скоростью поверхностных волн в пути. Однако желание двигаться быстрее остается. В этой ситуации важно изучить все потенциально опасные эффекты, связанные с высокой скоростью поезда. Одним из таких эффектов является неустойчивость колебаний поезда, которая может возникнуть вследствие генерации поездом упругих волн в рельсовом пути. Исследованию этого эффекта и посвящена данная диссертация.

Состояние вопроса. Существует большое количество работ, посвященных проблеме «движущихся нагрузок», в которых рассмотрены различные модели, описывающие взаимодействие движущегося объекта и упругой системы [40,43-48,57-59,61-70,72,79,85-87,89,92]. По отношению к типу упругой системы, эти работы могут быть подразделены на две большие группы. Первая группа включает в себя анализ структур конечной длины, которые могут быть использованы, например, при анализе железнодорожных мостов. В работах, относящихся ко второй группе, основное внимание сосредоточено на исследовании динамики бесконечно длинных структур, как, например, обычное железнодорожное полотно или контактная подвеска.

Ограничиваясь обсуждением бесконечно длинных структур, относящихся ко второй группе, можно выделить два подхода, используемых при их моделировании В основе первого подхода лежит пренебрежение внутренними степенями свободы движущегося объекта, а упругая система рассматривается, как подверженная воздействию заданной определенным образом внешней силы. Второй подход является более адекватным и предполагает, что объект имеет собственные степени свободы и смоделирован как масса, осциллятор, или другая дискретная система со многими степенями свободы. В этом случае контактная сила между подвижным объектом и упругой системой неизвестна и должна быть определена путем исследования их взаимодействия.

Независимо от выбора модели объекта, исследования бесконечно длинных систем в основном сосредоточены на изучении так называемых критических скоростей движущейся нагрузки. Эти скорости имеют большое практическое значение, так как при движении с такой скоростью объект вызывает усиление динамического отклика распределенной структуры. Физическое явление, являющееся причиной этого усиления - резонанс. Следует заметить, что критические скорости зависят не только от параметров упругой системы, но также и от упруго-инерционных свойств объекта, если они приняты во внимание.

Точное определение критических скоростей не является единственной причиной необходимости принятия во внимание внутренних степеней свободы движущегося объекта. Другое существенное преимущество этого подхода состоит в том, что появляется возможность проанализировать динамическую контактную силу между объектом и упругой системой, что позволяет предсказать возможную потерю контакта.

Одним из наиболее важных для исследования является эффект неустойчивости колебаний движущегося объекта который был впервые описан в работах Г.Г. Денисова (1985) [1] и Р. Богача (1986) [2]. Было показано, что вертикальные колебания объекта, движущегося вдоль (горизонтальной) упругой направляющей, могут стать неустойчивыми. Существует два принципиальных различия между резонансом и неустойчивостью. Во-первых, неустойчивость имеет место в некотором диапазоне скоростей, в то время как резонанс возможен только при определенных, дискретных значениях скорости. Во-вторых, амплитуда неустойчивых колебаний растет во времени экспоненциально, тогда как в случае резонанса этот рост является линейным. Этот факт обеспечивает принципиальную разницу между данными явлениями в случае учета в рассматриваемой системе вязких потерь. Если путем увеличения демпфирования возможно «погасить» резонанс, то в случае неустойчивости соответствующие этому явлению области лишь смещаются в пространстве параметров рассматриваемой системы. Очевидно, что вышеупомянутые особенности неустойчивости делают это явление гораздо более неблагоприятным для практики, чем резонанс.

Размышляя о практическом значении явления неустойчивости, необходимо поднять вопрос, может ли неустойчивость происходить на скоростях, доступных в настоящее время современным высокоскоростным поездам? Как было показано А.В. Метрикиным в 1994 г. [3], неустойчивость возникает благодаря излучению аномальных по Доплеру волн, которые вызывают появление «отрицательной вязкости» в точке контакта. Поскольку эти волны могут быть излучены только «закритически» движущимся объектом, т.е. когда его скорость превышает минимальную фазовую скорость волн в упругой системе, то и неустойчивость возможна только при «закритическом» движении.

Принято считать, что минимальная фазовая скорость волн (которая обычно совпадает с критической скоростью) в железнодорожном полотне намного выше скоростей, доступных современным высокоскоростным поездам. Однако это не всегда так. Существуют, по крайней мере, две причины которые могут привести к неустойчивости движущегося поезда на скоростях около 250 [км/ч]. Это взаимодействие колес с мягким грунтом и продольные температурные напряжения в рельсах (особенно в странах западной Европы, где они не имеют стыков [98]). Как было показано в работах А.В. Метрикина и Г. Дитермана (1997) [4], а также А.В. Метрикина и К. Поппа (1999) [5], эти два явления значительно уменьшают минимальную фазовую скорость волн в железнодорожном пути. Например, при движении поезда по мягкому (торфяному) грунту, колебания колесной пары поезда могут стать неустойчивыми на скоростях порядка 250 [км/ч].

Несмотря на практическую важность эффекта неустойчивости, многие важные вопросы, связанные с этим эффектом, долгое время оставались фактически неизученными. Анализу некоторых из этих вопросов и посвящена данная диссертация.

Работа имеет следующие цели: • изучение влияния внутренних степеней свободы движущегося объекта на устойчивость его колебаний;

• анализ устойчивости колебаний объекта, имеющего больше одной точки контакта супругой направляющей;

• исследование устойчивости колебаний объекта, движущегося по периодически неоднородной направляющей;

• исследование устойчивости колебаний объекта, движущегося по трехмерной модели рельсового пути.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

• проведен анализ зависимости зон неустойчивости колебаний системы «движущийся объект - упругая направляющая» от упруго-инерционных и вязкостных параметров объекта;

• найдены зоны неустойчивости колебаний массы, движущейся по периодически неоднородной упругой балке;

• изучена устойчивость колебаний двухмассового осциллятора, движущегося по балке, лежащей на вязко-упругом полупространстве.

Практическая значимость. Методы расчета устойчивости колебаний движущегося объекта, описанные в данной работе могут быть использованы при разработке высокоскоростного наземного транспорта. В настоящее время в Делфтском технологическом университете (Нидерланды) разрабатывается компьютерная программа расчета динамики скоростного железнодорожного пути, в одном из модулей которой используется методика анализа устойчивости, предложенная в данной диссертации.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: международной конференции молодых ученых XXV Гагаринские чтения (Москва, 1999), третьей и четвертой научных конференциях по радиофизике (Н. Новгород, 1999, 2000), четвертой и пятой нижегородских сессиях молодых ученных (Н. Новгород, 1999, 2000), пятой международной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, 1999), Actual Problems in Mechanics (St. Petersburg, 2000), 4th Euromech Solids Mechanics Conference (France, Metz, 2000), международной конференции «Испытания материалов и конструкций» (Н. Новгород, 2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано тринадцать работ, включая три публикации в журналах РАН и зарубежных научных журналах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследована устойчивость колебаний объекта, обладающего собственными степенями свободы, движущегося по распределенной упругой системе. Показано, что необходимым условием возникновения неустойчивости является превышение объектом минимальной фазовой скорости волн в упругой системе. Установлено, что определяющее влияние на устойчивость оказывают вязкостные характеристики как объекта, так и распределенной системы.

2. Изучена устойчивость колебаний объекта, движущегося по периодически неоднородной балке. Показано, что неоднородность балки приводит к возможности возникновения неустойчивости при скоростях движения объекта, меньших, чем минимальная скорость волн в соответствующей однородной балке. Физической причиной неустойчивости является параметрический резонанс, возникающий при близости удвоенной собственной частоты колебаний объекта на балке к частоте изменения параметра неоднородности в движущейся точке контакта.

3. Исследована устойчивость колебаний модели колесной пары, движущейся по трехмерной модели рельсового пути. Показано, что неустойчивость колебаний может возникнуть при превышении колесной парой скорости поверхностных волн р грунте. В мягких грунтах эта скорость может быть порядка 250 [км/ч], что является вполне достижимым для современных скоростных поездов. Жесткости рессор колесной пары, при которых проявляется неустойчивость, принадлежат диапазону жесткостей, используемых в подвеске современных поездов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. С.Н. Веричев. Эквивалентная динамическая жесткость балки в движущемся контакте // XXV Гагаринские чтения / тезисы докладов. Москва, 6-10 апреля 1999. «ЛАМТЭС», 1999, Т. 2, С. 913.

2. С.Н. Веричев. Эквивалентная динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых / сборник тезисов докладов, 1999, С.74-75.

3. С.Н. Веричев, А.В. Метрикин. К вопросу о динамической жесткости одномерных упругих систем в точках взаимодействия с движущимся объектом // Испытания материалов и конструкций / сборник научных трудов, Н. Новгород, «Интелсервис», 2000, С.216-228.

4. С.Н. Веричев, А.В. Метрикин. Сравнительный анализ эквивалентных динамических жесткостей балок моделей Тимошенко и Бернулли-Эйлера // Труды 3-й научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 2000, ННГУ С.275-276.

5. С.Н. Веричев, А.В. Метрикин. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Прикладная механика и техническая физика, 2000,Т.41, №6, С. 1-70-177.

6. A.V. Metrikine, S.N. Verichev. On stability of a moving oscillator on a flexible supported beam // Proceedings of the XXVII Summer School, St. Petersburg, 2000, P.50-62

7. S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of a moving composite oscillator as a result of the interaction with the flexible supported Timoshenko beam // Proceedings of Fourth Scientific Conference in Radiophysics, May 5, 2000, N. Novgorod, N. Novgorod State University, P.303-305.

8. S.N. Verichev. Instability of vibration of a two-mass oscillator uniformly moving along a Timoshenko beam on a visco-elastic foundation // Book of abstracts of 4th EUROMECH Solid Mechanics conference, University of Metz, France, 2000, P. 645

9. С.Н. Веричев, А.В. Метрикин. О причинах неустойчивости осциллятора, движущегося вдоль балки Тимошенко // Тезисы докладов международной научно-технической конференции «Испытания материалов и конструкций», Н. Новгород, 2000, С.28.

10. С.Н. Веричев, А.В. Метрикин. К вопросу об устойчивости осциллятора, движущегося вдоль балки Тимошенко, лежащей на вязко-упругом основании // Пятая нижегородская сессия молодых ученых / сборник тезисов докладов, 2000, С.34-35

11. S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of vibration of a moving two-mass oscillator on a flexibly supported Timoshenko beam // Archive of Applied Mechanics, 2001 (принята к публикации).

12. A.V. Metrikine, S.N. Verichev. Stability of a moving vehicle on an infinite beam // Proceedings of the XXVIII Summer School, St. Petersburg, 2001, V.2, P.54-65

13. S.N. Verichev, A.V. Metrikine. Instability of a moving bogie on a flexibly supported Timoshenko beam // Journal of sound and vibrations, 2001 (принята к публикации).

1. Денисов Г.Г., Новиков В.В., Кугушева Е.К. К задаче об устойчивости одномерных безграничных систем // Прикл. математика и механика, 49, 691-696, 1985.

2. Bogacz, R., Nowakowski, S., Рорр, К. On the stability of a Timoshenko beam on an elastic foundation under a moving spring-mass system // Acta Mechanica 61, 117-127, 1986.

3. Метрикин A.B. Неустойчивость поперечных колебаний объекта, равномерно движущегося вдоль упругой направляющей как следствие аномального эффекта Доплера //Акуст. журн. 40(1), 99-103, 1994.

4. Metrikine, А. V., Dieterman, Н. A. Instability of vibrations of a mass moving uniformly along an axialiy compressed beam on a viscoelastic foundation // Journal of Sound and Vibration, 201(5), 567-576,1997.

5. Metrikine, A. V., Рорр, K. Instability of vibrations of an oscillator moving along a beam on an elastic half-space // European Journal of Mechanics A/Solids, 18(4), 679-701, 1999.

6. Wolfert, A. R. M., Metrikine, A. V., Dieterman, H. A. Stability of vibrations of two oscillators moving uniformly along a beam on a visco-elastic foundation // Journal of Sound and Vibration, 211 (5), 829-842, 1998.

7. Физический энциклопедический словарь / M.: Сов. энциклопедия, 1983

8. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика / Москва, Наука, 1975.

9. Гапонов-Грехов А.В., Долина И.С., Островский А.А. Аномальный эффект Доплера и радиационная неустойчивость движения осцилляторов в гидродинамике //Докл. АН СССР, 268, 827-831, 1983.

10. Болотин В.В. Конечные деформации гибких трубопроводов // Тр. МЭИ, 19, 272-291, 1956.

11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики / Москва, Гостехиздат, 1953.

12. Мовчан А.А. О прямом методе Ляпунова в задачах устойчивости упругих систем // ПММ, 23(3), 483-493, 1959.

13. Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. / Москва, Наука, 1968.

14. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids / Amsterdam-London, North-Holland PubliCo, 1973.

15. Dean G.D. The response of an infinite railroad track to a moving vibrating mass//J. of Appl. Mech., 57, 66-73, 1990.

16. Весницкий А.И. Волновые эффекты в упругих системах // Волновая динамика машин//Москва, Наука, 1991.

17. Krylov V.V. Generation of ground vibrations by super-fast trains // Applied Acoustics, 44, 149-164, 1995.

18. Dieterman H.A. and Metrikine A.V. Steady-state displacements of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load // European Journal of Mechanics A/Solids, 16(2), 295-306, 1997.

19. Grundmann H., Lieb M. and Trommer E. The response of a layered half-space to traffic loads moving along its surface // Archive of Applied Mechanics, 69(1), 55-67, 1999.

20. Sheng X., Jones C.J.C. and Petyt M. Ground vibration generated by a load moving along a railway track // Journal of Sound and Vibration, 228(1), 129156, 1999.

21. MadshusC. and Kaynia A. High-speed railway lines on soft ground: dynamic behaviour at critical train speed // Journal of Sound and Vibration, 231(3), 689-701, 2000.

22. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы / Москва, Наука, 1978.

23. Zheng D.Y., Аи F.T.K. and Cheung Y.K. Vibration of vehicle on compressed rail on viscoelastic foundation // Journal of Engineering Mechanics, 126(11), 1141-1147,2000.

24. Metrikine A.V. and Verichev S.N. Instability of vibration of a moving two-mass oscillator on a flexibly supported Timoshenko beam // Archive of Applied Mechanics, 2001 (accepted for publication).

25. Wolfert A.R.M., Dieterman H.A. and Metrikine A.V. Stability of vibrations of two oscillators moving uniformly along a beam on a viscoelastic foundation //Journal of Sound and Vibrations, 211(5), 829-842, 1998.

26. Fuchs B.A., Shabat B.V. and Berry T.J. Functions of Complex variables and some of their applications / Oxford, Pergamon, 1964.

27. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Параметрическая неустойчивость колебаний тела, движущегося по периодически-неоднородной упругой системе//Прикладная механика и техническая физика, 2, 127-134, 1993

28. Метрикин А.В. Постановка задачи о взаимодействии движущегося точечного объекта и упругой направляющей с использованием обобщенных функций // Волновые задачи механики, Сб. научн. трудов. -Нижний Новгород, 32-37, 1994.

29. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике / Москва, Мир, 1972.

30. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика / Москва, Наука, 1988.

31. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн / Москва, Наука, 1987.

32. Lamb Н. On the Propagation of Tremors Over the Surface of an Elastic Solid // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, Vol. CCIII, 1, 1-42, 1904.

33. Dieterman H.A., Metrikine A.V. The equivalent stiffness of a half-space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along the beam // European Journal of Mechanics A/Solids, 15(1), 67-90, 1996.

34. Dieterman H.A., Metrikine A.V. Steady-state displacements of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load // European Journal of Mechanics A/Solids, 16(2), 295-306, 1997.

35. Андриянов В.Л., Крысов С.В. Решение одной задачи динамики упругой системы с движущейся нагрузкой методом интегральныхпреобразований //Дифф. и инт. уравнения, Сб. научных трудов, Горький, Изд. ГГУ, 78-85, 1985.

36. Беляев И. А., Вологин В.А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети / Москва, Транспорт, 1983.

37. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний / Москва, Высшая школа,1980.

38. Бриллюен Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах / Москва, Издательство иностранная литература, 1953.

39. Быченков В.А. Волновое сопротивление движению нагрузок вдоль одномерных упругих систем / дисс. канд.физ.-мат.наук, Горький, ГГУ, 1988.

40. Весницкий А.И., Крысов С.В. Возбуждение колебаний в движущихся элементах конструкций//Машиноведение, 1,16-17, 1983.

41. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Вывод естественных граничных условий для одномерных задач динамики с движущимися нагрузками и закреплениями // Дифференциальные и интегральные уравнения, 75-80, 1982.

42. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками // Прикладная математика и механика,.47, 863-866, 1983.

43. Весницкий А.И., Кононов А.В., Метрикин А.В. Переходное излучение в двумерных упругих системах II Прикладная механика и техническая физика, 3, 170-179, 1995.

44. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Переходное излучение в одномерных упругих системах // Прикладная механика и техническая физика, 2, 6267, 1992.

45. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Излучение, возникающее при равномерном движении объекта по случайно-неоднородной упругой системе//Прикладная механика, 28,46-50, 1992.

46. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Переходное излучение в периодически неоднородной упругой направляющей // Известия РАН. Механика твердого тела, 6, 164-168, 1993.

47. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Неустойчивость колебаний объекта, равномерно движущегося по случайно-неоднородной упругой системе // Известия РАН Механика твердого тела, 5, 162-169, 1996.

48. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Переходное излучение в механике // Успехи Физических Наук, 166(10), 1043-1068, 1996.

49. Вибрации в технике. Колебания линейных систем. Т.1 / Справочник под редакцией В.В. Болотина, Москва, Машиностроение, 1978.

50. Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами // Журнал технической физики, 4, 1-26, 1934.

51. Докучаев В.П., Разин А.В. Распространение упругих волн в твердой среде с флуктуирующими параметрами // Известия АН СССР Физика Земли, 40-45, 1987.

52. Лисенкова Е.Е. Некоторые общие соотношения для упругих волн, возбуждаемых в направляющей движущимся объектом // Волновые задачи механики, Сборник статей, Нижний Новгород, Нф ИМАШ РАН, 44-52,1991.

53. Метрикин А.В. Резонанс в системе упругая направляющая движущийся осциллятор //Акустический журнал, 40(6), 974-978, 1994.

54. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / Москва, Наука, 1967.

55. Филиппов А.П., Колебания деформируемых систем / Москва, Машиностроение, 1970.

56. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Воробьев Ю.С. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций / Киев, Наукова Думка, 1974.

57. Achenbach J.D., Sun С.Т. Moving load on a flexible supported Timoshenko beam // International Journal of Solid and Structures, 1, 353-370, 1965.

58. Belotserkovskiy P.M. On the oscillations of infinite periodic beams subjected to a moving concentrated force // Journal of Sound and Vibration, 193(3), 706-712, 1996.

59. Bogacz R. On dynamics and stability of continuous systems subjected to a distributed moving load // Ingeneuor Archive, 53, 243-255, 1983.

60. Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K. Influence of beam models on the solution of the generalized Mathews' problem // ZAMM, 69(5), T320-T321, 1989.

61. Bogacz R., Krzyzinski T. and Popp K. On dynamics of systems modeling continuous and periodic guideways // Archives of Mechanics, 45(5), 575-593, 1993.

62. Dieterman H.A., Metrikine A.V. Critical velocities of a harmonic load moving uniformly along an elastic layer // Trans. ASME J. of Applied Mechanics, 64, 596-600, 1997.

63. Ewing W.M., Jardetsky W.S., Press F. Elastic Waves in Layered Media / McGraw-Hill, New-York, 1957.

64. Filippov A.P. Steady-state vibrations of an infinite beam on elastic half-space subjected to a moving load // Izvestija AN SSSR OTN Mehanika i Mashinostroenie, 6, 97-105, 1961.

65. Fryba L. Vibrations of Solids and Structures Under Moving Loads / Noordhoff International Publishing, Groningen, 1972.

66. Genin J. and Chung Y.I. Response of a continuous guideway on equally spaced supports traversed by a moving vehicle loads // Journal of Sound and Vibrations, 67(2), 245-251, 1979.

67. Gottlieb H.P.W. Vibrations of a closed string // Journal of Sound and Vibrations, 135(1), 79-83, 1989.

68. Graff K.F. Wave motion in elastic solids / Clarendon Press, Oxford, 1975.

69. Kerr A.D. The continuously supported rail subjected to an axial force and a moving load// International Journal of Mechanical Sciences. 14, 71-78, 1972.

70. Kerr A.D. Continuously supported beams and plates subjected to moving loads a survey // Solid Mechanics Archives, 6, 401-449.

71. Kerr A.D., El-Sibaie M.A. On the new equations for the lateral dynamics of a rail-tie structure // Trans, of ASME J. of Dynamic Systems, Measurements, and Control, 109, 180-185, 1987.

72. Kruse H., Metrikine A.V. and Popp K. Eigenfrequencies of a two-mass oscillator uniformly moving along a string on a visco-elastic foundation // Journal of Sound and Vibration, 218(1), 103-116, 1998.

73. Labra J.J. An axially stressed railroad track on an elastic continuum subjected to a moving load//Acta Mechanica, 22, 113-129, 1975.

74. Manabe K. Periodical dynamic stability's of a catenary-pantograph system // QR of RTRI, 35(2), 112-117,1994.

75. McCoy J.J. Pressure signals in random linearly elastic rods // International Journal Solids and Structures, 8, 877-894, 1972.

76. Mead D. J. Vibration response and wave propagation in periodic structures // Transactions of ASME, Journal of Engineering for Industry Series B, 93, 783792,1971.

77. Metrikine A.V. and Dieterman H.A. Resonance interaction of vertical-longitudinal and lateral waves in a beam on a half-space // Trans. ASME J. of Applied Mechanics, 64, 951-956, 1997.

78. Metrikine A.V., Vrouwenvelder A.C.W.M. Surface ground vibration due to a moving train in a tunnel: two-dimensional model // Journal of Sound and Vibration. 234(1), 43-66, 2000.

79. Suiker A.S.J., Metrikine A.V. and de Borst R. Dynamic behavior of a layer of discrete particles Part 1 - Analysis of body waves and eigen modes // Journal of Sound and Vibration, 240(1), 1-18, 2001.

80. Suiker A.S.J., Metrikine A.V. and de Borst R. Dynamic behavior of a layer of discrete particles Part 2 - Response to a uniformly moving, harmonically vibrating load//Journal of Sound and Vibration, 240(1), 19-39, 2001.

81. Wolfert A.R.M. Contour integration and inverse Laplace transforms for application in moving load dynamics //Delft University of Technology, Report no. 03.21.0.22.16, Delft, The Netherlands, 1997.

82. Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. Inverse Laplace transforms, for applications in moving load problems // Delft University of Technology, Report no. 03.21.1.22.37, Delft,The Netherlands, 1995.

83. Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A. Wave radiation in a one-dimensional system due to a non-uniformly moving constant load //Wave Motion, 24(2), 185-196, 1996.

84. Wolfert A.R.M., Metrikine A.V. and Dieterman H.A. Passing through the 'Elastic Wave Barrier' by a Load Moving along a Waveguide // Journal of Sound and Vibration, 203(4), 597-606, 1997.

85. Miklowitz J. The Theory of Elastic Waves and Waveguides / NHPC, Amsterdam, 1978.

86. Patil S.P. Natural frequencies of an infinite beam on a simple internal foundation model // International Journal of Solids and Structures, 23, 16151623, 1987.

87. Patil S.P. Response of infinite railroad track to vibrating mass // Journal of Engineering Mechanics, 114, 688-703, 1988.

88. Payton R.J. Transient Motion of an Elastic Half-Space Due to a Moving Surface Line Load // International Journal of Engineering Sciences, 5, 49-79, 1967.

89. Samavedam G., Kish A., Purple A. and Schoengart J. Parametric analysis and safety concept of CWR buckling // U.S. Department of transportation, John A.VoIpe National Transportation System Center, Cambridge, report no. DOT-VNTSC-FRA-93-25, 1993.

90. SarfeId W. Numerishe verfahren zur dynamischen boden-bauwerk interaktion / Papyrus-Druck GmbH, Berlin, 1994.

91. Singh K. and Malik A.K. Wave propagation and vibration response of a periodically supported pipe conveying fluid // Journal of Sound and Vibrations, 54(1), 55-66, 1977.

92. Singh K. and Malik A.K. Parametric instabilities of a periodically supported pipe conveying fluid //Journal of Sound and Vibrations, 62(3), 379-397, 1979.

93. Ting E.C., Genin J. and Ginsberg J.H. A general algorithm for the moving mass problem //Journal of Sound and Vibrations, 33, 49-58, 1974.

94. Van M.A. Buckling of continuous welded rail (CWR) track // Proceedings of the Congress on "From Materials to Building Structures", Elspeet, Netherlands, 1996.

95. Witteker E.T. and Watson G.N. A course of modern analysis / Cambridge, 1950.