Неустойчивость упругих цилиндров при одноосном растяжении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ластенко Михаил Сергеевич

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГИХ ЦИЛИНДРОВ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2004

Работа выполнена в Ростовском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юдин Анатолий Семенович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Еремеев Виктор Анатольевич

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится

«Ж »

2004 г. в

час. на заседании

диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул.Зорге 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан » сентября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н.В.

10К-Ч

\ 50 Л 3 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы - исследование устойчивости и закритического поведения упругих цилиндрических стержней при растяжении на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости.

Актуальность темы диссертации. Проблема устойчивости механических систем имеет большое научное и прикладное значение, поскольку расчет любых строительных и инженерных конструкций основывается на анализе способности этих конструкций выдерживать различные внешние нагрузки и возмущения. Соответственно, вопрос устойчивости системы под воздействием внешних факторов часто выходит на первый план.

Одним из распространенных конструктивных элементов является стержень, работающий на растяжение-сжатие. Проблема устойчивости этого элемента при сжатии хорошо изучена, чего нельзя сказать о случае растяжения. Существенный интерес представляет предсказание возникновения неустойчивости при растяжении, а также теоретическое описание закритического поведения растягиваемого стержня, то есть поведения после потери устойчивости, которая выражается в исчерпании стержнем несущей способности с последующим разрушением. Хрупкие материалы (чугун, бетон и др.) разрушаются без видимых предварительных деформаций, тогда как пластичные материалы (сталь, медь, некоторые сплавы и др.) перед разрушением испытывают существенные формоизменения. Несмотря на большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных различным аспектам потери устойчивости растягиваемого цилиндра, представляет интерес рассмотрение этого явления на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости.

Необходимость исследования закритического поведения систем обосновывается, тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритическое деформирование.

Наиболее полное развитие получили различные теории устойчивости конструкций на основе одномерных моделей стержней и двумерных моделей пластин и оболочек. Потеря устойчивости тонких и тонкостенных тел при сжатии происходит в области малых деформаций, что позволяет использовать физически линейные определяющие соотношения (закон Гука). Неустойчивость при растяжении наступает обычно при значительных деформациях, что требует полного учета физической нелинейности и трехмерности изучаемых тел. Кроме того, исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно в рамках одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек.

Сказанным определяется актуальность исследования устойчивости и закритического поведения растягиваемых стержней на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы тензорный аппарат механики сплошной среды, метод Эйлера и энергетический метод исследования устойчивости, вариационный .... принцип . Лагранжа, метод Ритца,

РОС НАЦИОНАЛЬПАя] БИБЛИОТЕКА 1

численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисления кратных определенных интегралов, итерационный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Достоверность полученных в работе результатов обусловлена применением точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости и совпадением имеющихся экспериментальных и полученных в работе теоретических данных, касающихся момента потери устойчивости стержня при растяжении.

Научная новизна работы заключается в следующих основных результатах:

1. Рассмотрен общий случай осесимметричной деформации растягиваемого кругового цилиндра из однородного изотропного материала. Получены представления градиента деформации, меры деформации Коши-Грина, логарифмической меры деформации (тензора Генки). Определены собственные значения и собственные векторы указанных мер деформации.

2. В рамках нелинейной теории упругости на основе точных трехмерных уравнений исследована устойчивость равновесия кругового цилиндра при одноосном растяжении. Применена модель материала со степенным упрочнением, соответствующая поведению ряда конструкционных материалов. Путем решения линеаризованных уравнений устойчивости растягиваемого цилиндра определен спектр критических значений продольной деформации и найдены собственные моды выпучивания. Установлено, что моды выпучивания возникают при удлинении, незначительно превышающем точку максимума на диаграмме растяжения цилиндра. Отмечено, что различные моды выпучивания имеют близкие собственные значения.

3. На основе энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра. Дана вариационная постановка задачи о растяжении цилиндра. Предложен и реализован итерационный метод исследования закритического поведения упругих тел. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость. Ниспадающий участок характеризуется потерей устойчивости однородного состояния цилиндра, которое сменяется неоднородным осесимметричным напряженно-деформированным состоянием. Определена форма тела в указанном состоянии, и проанализировано его развитие в процессе растяжения цилиндра.

Теоретическая значимость работы. В рамках точной нелинейной теории упругости разработан метод исследования закритического поведения трехмерных упругих тел, позволяющий определить напряженно-деформированное состояние тела в закритическом состоянии при любых осуществимых деформациях.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при расчетах различных строительных и инженерных конструкций, имеющих в составе стержни, работающие на растяжение. Знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, результатом чего является повышение безопасности конструкций, включающих стержни, допускающие закритическое деформирование. Прикладное значение диссертации определяется также тем, что растяжение цилиндрических образцов является наиболее

распространенным типом испытаний материалов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 118 страниц, список литературы включает 117 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике" (г. Ростов-на-Дону, 2001) и XXX Summer School "Advanced problems in Mechanics" (г. Санкт-Петербург, 2002), на научных семинарах по проблемам механики сплошной среды в Ростовском государственном университете. Работы по теме диссертации дважды были удостоены диплома на конкурсах имени академика И.И. Воровича среди молодых ученых и специалистов Ростовской области на лучшую работу по фундаментальным и прикладным проблемам современной техники (г. Ростов-на-Дону, 2002,2004).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрены некоторые аспекты исследования устойчивости и закритического деформирования упругих тел, а также дан обзор работ, посвященных этим вопросам; обоснована актуальность темы исследования и дано краткое содержание диссертации.

Исследованием вопросов устойчивости на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости занимались такие отечественные ученые, как

B.Л. Бидерман, В.В. Болотин, А.Н. Гузь, В.А. Еремеев, Л.М. Зубов,

A.Ю. Ишлинский, А.И. Лурье, В.В. Новожилов, К.Ф. Черных и другие. Среди зарубежных авторов следует упомянуть таких ученых, как D. Bigoni,

МА Biot, A.E. Green, D. Joseph, J.C. Patterson, C.E. Pearson; S. Reese, R.S. Rivlin,

C.B. Sensenig, R.T. Shield, C. Truesdell, Z. Wesolowski. Экспериментальному исследованию некоторых вопросов закритического

деформирования посвящены работы П. Бриджмена, Р.А. Васина и др., С.Д. Волкова, А.А. Лебедева и Н.Г. Чаусова, Ф.С- Савицкого и Б.А. Вандышева,

B.В. Стружанова и В.И. Миронова, Я.Б. Фридмана и Б.А. Дроздовского. Различные подходы к теоретическому объяснению данного механического

явления представлены в работах С.Д. Волкова, В.А. Ибрагимова и В.Д. Клюшникова, A.M. Линькова, Л.В. Никитина и Е.И. Рыжака, В.В. Стружанова и ряда других ученых.

Первая глава диссертации посвящена общему случаю осесимметричной деформации кругового цилиндра из однородного изотропного несжимаемого материала при одноосном растяжении.

Рассматривается упругое тело, имеющее в отсчетной конфигурации форму кругового цилиндра с радиусом и длиной /. За лагранжевы координаты примем цилиндрические координаты в которых область, занимаемая телом,

задается неравенствами 0<г <гс, 0<(р<2л, 0<z<l.. Цилиндр испытывает конечную осесимметричную деформацию, описываемую соотношениями

Л=Я(г,г), Ф = <р, 2 = 2{г,г), (1)

где К,Ф,2 - цилиндрические координаты точек тела после деформации.

Выражение вектора положения частицы тела в деформированном состоянии задается следующим образом: Я = Я(г,г)ег+2(г,г)е2. Градиент деформации С = §га<311, соответствующий преобразованию (1), имеет вид

С = Ягегег + 2геге2 +(Л/г)е(г,е(г, + /?2е2ег + 22е2е2, (2)

где нижний индекс при /? и 2 означает дифференцирование по соответствующей координате, ег,ег/,,ег - единичные векторы, касательные к координатным линиям

цилиндрической системы координат в отсчетной конфигурации.

Согласно (2), найдена мера деформации Коши-Грина

т

С = С-С = аегег +Ьеге2 + Ье2ег +се2е2 н-с/е^е^,, (3)

а = Яг2 +2Г2, Ь = ЯгЯг+2г22, с = Я22+2г2, ¿ = (/?/г)2.

Система уравнений, описывающих деформацию упругого несжимаемого тела при отсутствии массовых сил, состоит из уравнений равновесия для тензора напряжений Пиолы О

.4 Г. 1 ЭЪ Л

ЛуОиег-—+-е<р—= 0 (4)

дг г д<р дг

и определяющих соотношений

и = ЛП/с1С-рС~Т, (5)

где <Ну - оператор дивергенции в отсчетной конфигурации, П - удельная потенциалььэя энергия деформации, р - давление в несжимаемом теле, не выражаемое через деформацию. В случае однородного изотропного материала, когда П - функция инвариантов тензора в , тензор Б будет иметь представление

О = Огг (г, г)егег + £>гг {г, г)еге7 + Офср {г, г)»^ + £>,г (г, г)е2ег + й22 (г, г)егег.

Считаем, что боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки, а на торцах отсутствуют силы трения, то есть касательные напряжения, и задано постоянное нормальное перемещение. Сказанное приводит к следующим граничным условиям

0гг(гс,г) = 0, йГ2(гс,г) = О, (6)

£2,(г,0) = 0, 02Г(Г,1) = 0, (7)

2{г, 0) = 0, 2(г,1) = Л1, (8)

где к - заданная положительная постоянная (коэффициент растяжения по оси цилиндра).

Краевые условия (8) означают, что при растяжении цилиндра задаются вертикальные перемещения его торцов, то есть нагружение стержня осуществляется в жесткой испытательной машине.

Условие несжимаемости (1е1С = 1 накладывает следующее ограничение на функции /?(лг) и 2(г, г)

(/1/г)(нгг2-к2гг) = 1. (9)

Один из способов представления уравнений состояния изотропного несжимаемого материала заключается в применении логарифмической меры

деформации (тензора Генки) Н=—1пС. Определяющие соотношения (5) для

тензора напряжений Пиолы можно записать в виде

0 = (<т/сМ)-С~т -рС'т. (10)

В задаче об осесимметричной деформации несжимаемого тела р - неизвестная функция координат г, г. Появление этой дополнительной неизвестной функции компенсируется добавочным уравнением - условием несжимаемости (9). По определению логарифма положительно определенного тензора имеем

3 ,

(П)

¡=1 г

где О, - собственные значения тензора С , а с1( - его собственные единичные векторы, которые являются также собственными векторами тензора Н. При помощи (3) найдены собственные значения тензора в , а также соответствующие им собственные значения тензора Н '

=</. =--, //,=-1пО„ 1 = 1,2,3 (12)

и проекторы <1,(1,, г = 1,2,3

Й2,3Й2,3 = (а + с-гСз^Г1 (ае,ег +Ь(егег + еге,)+сегег -Сг2*г*г "с3,2егег)- (13) Формулы (11)-(13) дают явное выражение тензора Генки при осесимметричной деформации через функции Я и 2 .

В качестве конкретной модели изотропного несжимаемого тела рассмотрим материал со степенным упрочнением, для которого упругий потенциал имеет вид

П = АГА> 0, р> 1, (14)

где А,р - постоянные, Г = дДгН2 . Тензор напряжений Пиолы для данного материала, согласно (10), имеет представление

ин2^ Н-С~Т-рС~Т.

Связь главных истинных напряжений сг, (то есть собственных значений тензора напряжений Коши) с главными истинными деформациями Н, (то есть собственными значениями тензора Генки) для материала (14) дается формулами

а, = А/ЗГ^Н,-р, / = 1,2,3. (15)

Модель (14) удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении (например, стали, алюминия, некоторых других металлов и сплавов) и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций.

Краевая задача (4), (6)-(9) для несжимаемого материала со степенным упрочнением имеет следующее решение

Решению (16) соответствует однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра, при котором равны нулю все напряжения, кроме нормального напряжения, действующего на площадках z = const. Величина истинного растягивающего напряжения ст , согласно (15), (16), связана с коэффициентом растяжения формулой

Растягивающая сила, приложенная к торцам цилиндра, выражается

Зависимость (18) описывает диаграмму одноосного растяжения стержня и, в отличие от зависимости (17), не является монотонно возрастающей. Функция , заданная соотношением (18), имеет одну точку максимума

Ниспадающий участок диаграммы растяжения, на котором Я > Л» , на практике может быть реализован при деформировании стержня в жесткой испытательной машине.

Во второй главе рассматривается линеаризованная краевая задача об устойчивости состояния однородного растяжения цилиндра, для исследования устойчивости цилиндра применяется метод Эйлера.

Из опьнов на простое растяжение хорошо известно, что после достижения максимума на диаграмме нагружения стержня процесс однородного деформирования становится неустойчивым. Цилиндрическая форма растянутого образца теряет устойчивость, сменяясь осесимметричной формой равновесия. Изучим это явление, основываясь на точных уравнениях трехмерной теории устойчивости упругих тел. Рассмотрим осесимметричную форму равновесия упругого цилиндра, мало отличающуюся от однородного одноосного растяжения (16),

R = R0 + sw, p(r, z) = p0+ер' {г, г),

-V

(19)

Здесь е — малый параметр, w - вектор добавочного перемещения. Линеаризуя

уравнения равновесия (4) относительно осесимметричных возмущений и учитывая, что С = Со + £gтad чг, получим

(Ну О* =0,

(20)

Р* = — О(С0 + £grad ¥У) ае

0

C0=gradR0.

Из (20) следуют два линеаризованных уравнения равновесия

-Уг

д2и

дг'

А2-Л'1 дг2

1-

Р

г1 , 3 1пЯ ^ | 2лУ>8и I л ^ 8р*

41

1п2 Л

--А---'---2 А - Л) дг^2 г дг г дг \ дг

А~У2д2и/дгдг + Ад^/дг2

= 0,

(21)

-1п А-

А2-Л'

+А

-1

?-1 — 1п А —— +

д2ц> 3 ЬАЛ'Уди/дг + Лдп/дг

) &

2 г

А2-Л'1

ор*

"1Г

= 0.

(22)

Преобразовывая условие несжимаемости (9) в соответствии с (19), получим линеаризованное условие несжимаемости материала

+ ^ = (23)

дг дг г

Линеаризуя граничные условия на боковой поверхности (6), имеем

1-— Л 72—+Л— дг дг

4 V А^р* =0,

—+ —= 0. (24) дг дг

Линеаризация краевых условий (7), (8) на торцах цилиндра дает

^ = 0.

^ + = ю = 0. (25)

дг дг

Уравнения (21)-(23) и граничные условия (24), (25) образуют линейную однородную краевую задачу, которая всегда имеет тривиальное решение и = \\г= р* = 0 . Согласно бифуркационному критерию устойчивости равновесия, исследование устойчивости в малом сводится к нахождению спектра критических значений параметра деформации Л , при которых указанная краевая задача имеет нетривиальные решения, а также к определению собственных функций - мод выпучивания.

Заметим, что в силу "концепции продолжающегося нагружения" бифуркационный критерий пригоден с прикладной точки зрения также и для исследования устойчивости у пру го-пластических тел.

Решение краевой задачи (21 )-(25) будем искать в виде

u(r, z)-U (г) cos yz, w(r, г) = ff (г) sin yz,

p\r,z) = AQ(r)cosyz, у = пя/1, и = 1,2,3,... (26)

Эта форма решения позволяет удовлетворить краевым условиям (25) на торцах цилиндра. При этом возникает необходимость ввести в рассмотрение два дополнительных краевыгх условия для того, чтобы обеспечить разрешимость задачи. Указанные условия вытекают из требования неразрывности материала и гладкости решения на оси цилиндра и имеют вид

U\r=Q = 0, fV\r=0 = 0.

Таким образом, подставляя (26) в (21)-(25), свели задачу об исследовании устойчивости- положения равновесия растянутого цилиндра к линейной однородной краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений:

\ß/l~X[.VJ... 2 г„ 3 г ЬД

4

fin2 Л

Л/2 í/" +—í/'-—f 1 г 2

Л3-1

U +

i3 i 2 ) г

2

2 Д'-1 In Л

(27)

2 Л -Л'

-Я Угу U'+-U

< г

г

+Л~]У (д In Л - ß +1 jr J + yQ= 0,

1 -3/ и'+-и + Л /2yW = 0, г

(3 2 №

Л ^yfV + Ли'

-л%б = о,

(28) (29)

3/

^С/-Л/20" = О, (30)

(31)

равновесия, (29) —

U = 0, W' = 0.

Здесь (27), (28) - линеаризованные уравнения линеаризованное условие несжимаемости материала, (30) - линеаризованные граничные условия на боковой поверхности, (31) - граничные условия на оси цилиндра, U{г), W(r) и Q(r) - неизвестные функции, ß - параметр модели материала, Л - параметр деформации, y = rmjl, п = 1,2,3,...

Полученная линейная однородная краевая задача (27)-(31) решена конечно-разностным методом с использованием вектор но-матричной записи дифференциальных уравнений. Все результаты, приведенные в работе, относятся к случаю / = 20, rc= 1. Рассмотрим полученное решение. Установлено, что критические значения параметра Л существуют только на ниспадающем участке диаграммы растяжения, то есть при Я > Л».

В табл. 1 представлены значения критических удлинений Лп{Р) в зависимости

от целочисленного параметра волнообразования п вдоль оси цилиндра и параметра упрочнения ß; а также приведены значения Л*(/?), соответствующие точке максимума на диаграмме нагружения. В данной работе мы ограничимся рассмотрением случаев /?е [1.005.. 1.1], что соответствует интервалу

Л» е [1.005.. 1.105]. То есть относительное удлинение, при котором достигается точка максимума, составляет от 0.5% до 10.5% в зависимости от выбранного в каждом конкретном случае значения ß. Такой выбор продиктован тем, что именно в этот диапазон попадают относительные удлинения, соответствующие максимуму на диаграмме растяжения для многих пластичных металлов, таких как бронза, сталь и др.

Отметим некоторые особенности распределения критических удлинений Лп. Для каждого значения я = 1,2,3,... существует критическое значение Лп, причем значения Лп монотонно растут с ростом п. Первое критическое удлинение Л[ расположено очень близко к точке максимума на диаграмме растяжения Я,. Разность Лп+1 - Лп сначала возрастает с ростом п, затем начинает убывать, а при достаточно больших п становится очень малой. Критические значения Лп, соответствующие различным модам, близки друг к другу, что видно из табл. 1.

Обратимся к анализу собственных функций линеаризованной задачи - мод выпучивания. Моды определяются с точностью до постоянного множителя,

поэтому при их вычислении полагали " i/(r)L_„ =1. Наложенное на U{r)

r-rc

ограничение является ограничением и на W(r), так как fV(r) выражается через U(г) в соответствии с (29).

Как показывают расчеты, с ростом п увеличивается число нулей собственных функций Un(r), Wn(r) краевой задачи (27)-(31). То есть, с возрастанием номера моды усиливается осцилляция решения по радиальной координате. Так, например, при /? = 1.1 и «<10 функции Un(r) и fVn(r) не меняют знака в промежутке (0,гс), при 40 < п < 55 имеют один нуль, при 75 < п < 90 - два нуля и т. д. При п = 300 функции имеют восемь нулей, а при п = 500 уже четырнадцать нулей ка

Кроме того, характер осцилляции решения зависит от параметра упрочнения ß. С ростом ß осцилляция незначительно уменьшается. Установлено также, что для мод высших порядков деформация при потере устойчивости локализуется вблизи боковой поверхности цилиндра.

Описанные закономерности для случая /? = 1.005 проиллюстрированы графически на рис. 1-6. На рис. 1, 2 приведен вид функций Un{r) и Wn(r), соответствующих первой моде неустойчивости. Функции Un{r) и Wn{r) не имеют корней на интервале (0,гс). При л = 90 (рис. 3,4) функции U„(r) и Wn(г) имеют два нуля на интервале (0,гс), а при я = 300 (рис. 5, 6) девять нулей, что в

сравнении с аналогичным результатом для р = 1. 1 демонстрирует зависимость осцилляции решения от параметра упрочнения Р

Таблица 1. Значения критических удлинений (/?}

£ = 1.005 £ = 1.02 £ = 1.04 £ = 1.06 £ = 1.08 3 II

К 1.00501 1.02020 1.04081 1.06184 1.08329 1.10517

1 1.00514 1.02037 1.04103 1.06211 1.08360 1.10553

2 1.00520 1.02057 1.04139 1.06262 1.08425 1.10631

3 1.00535 1.02095 1.04206 1.06354 1.08540 1.10766

4 1.00567 1.02160 1.04310 1.06495 1.08714 1.10969

5 1.00628 1.02264 1.04468 1.06699 1.08960 1.11252

6 1.00736 1.02427 1.04696 1.06985 1.09296 ' 1.11633

7 1.00916 1.02675 1.05022 1.07377 1.09746 1.12132

8 1.01206 1.03043 1.05478 1.07907 1.10337 1.12775

9 1.01654 1.03576 1.06105 1.08608 1.11100 1.13589

10 1.02321 1.04328 1.06946 1.09519 1.12066 1.14600

15 1.10666 1.12720 1.15376 1.17968 1.20520 1.23047

20 1.24969 1.26654 1.28895 1.31138 1.33388 1.35650

25 1.39111 1.40615 1.42637 1.44680 1.46747 1.48840

30 1.49531 1.51179 .53364 1.55543 1.57721 1.59904

35 1.53705 1.55841 1.58630 1.61361 1.64041 1.66679

40 1.54585 1.56945 1.60076 1.63187 1.66276 1.69341

45 1.56065 1.58373 1.61469 1.64585 1.67719 1.70870

50 1.58459 1.60680 1.63669 .66692 1.69748 1.72838

55 1.61066 1.63259 1.66203 1.69175 1.72179 1.75215

60 1.63204 1.65459 1.68467 .71484 1.74515 1.77'567

65 1.64559 .66932 1.70082 .73224 1.76363 1.79507

70 1.65375 1.67833 1.71104 1.74370 1.77632 1.80896

75 1.66084 1.68563 1.71878 .75203 1.78538 1.81883

80 1.66879 .69347 .72657 .75988 1.79342 1.82717

90 1.68480 1.70961 .74279 .77615 1.80974 1.84358

100 1.69590 1.72133 .75530 1.78937 .82358 1.85797

ПО 1.70424 1.72993 .76433 1.79890 1.83367 1.86865

120 1.71190 .73773 .77232 1.80709 1.84210 1.87736

130 1.71823 .74430 .77919 1.81425 .84952 1.88503

140 .72342 1.74968 1.78483 1.82017 1.85573 1.89153

150 .72800 .75439 1.78972 1.82525 .86102 1.89704

160 .73200 .75852 .79403 1.82973 .86567 1.90187

170 .73548 .76211 .79778 1.83366 .86976 1.90614

180 .73856 .76530 .80110 1.83711 .87337 1.90990

190 .74132 .76814 .80406 1.84020 .87659 1.91324

200 .74378 .77068 .80672 1.84297 .87947 1.91625

300 .75912 1.78654 .82327 1.86023 .89746 1.93500

500 .77111 .79893 .83621 1.87374 .91155 1.94967

В третьей главе на основе энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра.

Согласно результатам, приведенным во второй главе, и формулам (19), (26), каждому Л„, П =1,2,3,... однозначно соответствует вектор добавочного перемещения У!п{г,2) определенный численно по г и аналитически по z .

Поскольку решение линейной однородной задачи определено с точностью до произвольного постоянного множителя, амплитуда выпучивания е и число закритических форм равновесия не могут быть найдены из линеаризованной краевой задачи устойчивости. Для анализа закритического поведения цилиндра необходимо рассмотреть нелинейные уравнения (4), (6)-( 10), описывающие деформацию упругого тела.

Обратимся к вариационному принципу Лагранжа, согласно которому выполнение уравнений равновесия, записанных в перемещениях, и граничных условий эквивалентно стационарности потенциальной энергии тела. Основываясь на этом принципе, будем считать равновесное состояние устойчивым, пока потенциальная энергия имеет в нём минимальное значение. Если же в процессе нагружения возникает возможность существования равновесного состояния с потенциальной энергией меньшей, чем в текущем состоянии, то текущая форма равновесия теряет устойчивость, сменяясь более выгодной с энергетической точки зрения новой формой равновесия. Такой подход к исследованию устойчивости позволяет, в отличие от линеаризованной задачи, не ограничиваться лишь малыми отклонениями от однородного деформированного состояния.

Воспользуемся методом Ритца. Рассмотрим однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра (16), на которое накладываются М полученных при решении линеаризованной задачи мод выпучивания , начиная с первой. Тогда осесимметричная форма упругого цилиндра задаётся следующим

(32)

где неизвестными являются только амплитуды наложенных мод выпучивания

Подставляя в выражение для потенциала (14) форму цилиндра из (32), получим потенциал, как функцию М+3 переменных П = П(Л, Г, Су, С2,.. Таким

образом, с учетом граничных условий (6)-(8) потенциальная энергия тела приобретает вид

К = I | |п(л. г, г, С|, съ.. см)гс1гс1<рсЬ (33)

и при фиксированном Л оказывается нелинейной функцией М переменных сп Задача сводится к поиску таких значений этих переменных, которые доставляли бы функции стационарные значения, то есть возникает система

М нелинейных алгебраических уравнений относительно сп

у\ =у\(с\> съ- см) = °

(34)

ум=ум{с1. С2,- сд/) = 0

где

(35)

Сп ООО"

Для удельной потенциальной энергии деформации П и её производных

п = \..М получены формулы, позволяющие представить их как

дсп

функции Л/+3 переменных Л, г, г, С], С2>- с^ определенные численно по г и аналитически по другим переменным. Однако, ввиду громоздкости интегралов (33), (35), произведена замена аналитической зависимости функций П и П„, п = \..М от г численной с количеством узловых точек 4М + 1. Тем самым, при фиксированных Л, С2,~ функции П и Пл заменяются сеточными функциями с двумерной сеткой П, ^ и п = 1..М, ; = 0..Л', у = О.АМ .

Здесь N - число отрезков разбиения по г. Дня вычисления интегралов (33), (35) применяется формула Симпсона.

Разработан итерационный метод решения системы (34), основанный на замене М-мерных поверхностей У„{с^, с2,.. см) = 0, п = [..М плоскостями,

касательными к ним в некоторой точке с®,., с^

Процесс растяжения цилиндра исследовался следующим образом: последовательно, с определенным шагом возрастания задавались значения Л, начиная от 1.0, что соответствует исходному недеформированному состоянию тела. Для каждого фиксированного значения Л производился поиск решений системы уравнений (34) с помощью указанного итерационного метода. Вычисления производились для различных значений М от 1 до 10. Зависимость решения от числа наложенных мод выражается в том, что при прочих равных условиях увеличение Л/ приводит к незначительному уменьшению абсолютных значений амплитуд наложенных мод выпучивания. Очевидно, что чем больше М, тем точнее результат, однако при увеличении значения М на единицу время, необходимое для решения задачи, возрастает примерно вдвое, что послужило естественным ограничением величины Л/. Наибольшее количество наложенных мод, для которого был проведен подробный анализ решения задачи, равно семи.

Отметим закономерности, общие для всех значений ре[1.005.. 1.1] и всех Л/ = 1..7. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения цилиндра существует только тривиальное решение системы (34) с„~ 0, п = \..М, то есть однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет

устойчивость.

Ниспадающий участок диаграммы растяжения характеризуется наличием шести решений помимо тривиального. Из найденных нетривиальных решений системы (34) только два соответствуют состоянию тела, в котором потенциальная энергия меньше, чем в однородном состоянии. Значения амплитуд мод с четными номерами в обоих решениях одинаковы, тогда как значения амплитуд мод с нечетными номерами различаются только знаком. Формально эти два решения различны, однако они описывают одно и то же напряженно-деформированное состояние цилиндра. Состояние, задаваемое одним из решений, может быть получено из состояния, задаваемого другим решением, поворотом цилиндра на 180

перпендикулярно оси цилиндра. Таким образом, с физической точки зрения оба решения совпадают, а значит можно ограничиться рассмотрением только одного из них, которое и определит текущее состояние тела на ниспадающем участке диаграммы растяжения.

Для того чтобы убедиться в физической содержательности полученного решения, проверена выполнимость одного из наиболее значимых и обоснованных ограничений в форме неравенств, накладываемых на функцию удельной потенциальной энергии деформации нелинейно-упругого материала П, а именно условия Адамара. Установлено, что неравенство Адамара для полученного решения выполняется во всем диапазоне исследованных удлинений цилиндра при любых значениях Де [1.005.. 1.1].

Рассмотрим теперь особенности этого решения. Все значения амплитуд наложенных мод выпучивания положительны. Установлено, что убывают с ростом порядкового номера моды. С ростом коэффициента растяжения, начиная от Л» , значения амплитуд постепенно возрастают и, по достижении коэффициентом растяжения некоторого значения, существенно удаленного от Л*, начинают убывать. Причем, по мере увеличения первыми начинают убывать амплитуды мод более высоких порядков, и последней достигает максимума амплитуда первой моды. Вероятно, применительно к эксперименту начало убывания значений амплитуд можно интерпретировать, как разрушение образца. Отмечено, что увеличение параметра упрочнения приводит к уменьшению максимальных значений амплитуд, достигаемых в процессе растяжения цилиндра.

В табл. 2 представлены для различных величин значения коэффициента растяжения, при которых достигает максимума амплитуда моды с наибольшим номером, и соответствующие этому коэффициенту растяжения амплитуды мод выпучивания. Приведенные в табл. 2 решения системы (34) соответствуют случаю М = 7.

На рис. 7 представлено неоднородное осесимметричное деформированное состояние цилиндра, задаваемое соотношениями (32) и соответствующее решению, приведенному в табл. 2 для = 1.005 . Для наглядности используется разный масштаб по Я и

градусов вокруг любой оси проходящей через точку

Я = 0

Рис. 7.

Осесимметричное деформированное состояние цилиндра при /? = 1.005

Таблица 2.

Величины коэффициента растяжения, при которых достигает максимума амплитуда моды выпучивания с наибольшим номером, и соответствующие этому коэффициенту растяжения амплитуды мод. ___

р 1.005 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1

1.235 1.240 1.256 1.272 1.299 1.326

0.01420 0.01390 0.01349 0.01249 0.01102 0.00777

0.01350 0.01318 0.01270 0.01162 0.00996 0.00607

с3 0.01244 0.01210 0.01154 0.01038 0.00852 0.00429

С4 0.01115 0.01079 0.01016 0.00896 0.00700 0.00287

0.00976 0.00940 0.00873 0.00753 0.00559 0.00189

0.00839 0.00804 0.00736 0.00621 0.00438 0.00123

л7 0.00710 0.00678 0.00612 0.00507 0.00341 0.00080

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Получены представления градиента деформации, меры деформации Коши-Грина, логарифмической меры деформации (тензора Генки) для конечной осесимметричной деформации несжимаемого тела. Определены собственные значения и собственные векторы указанных мер деформации.

2. На основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости определен спектр критических значений продольной деформации при растяжении кругового цилиндра из упрочняющегося материала и найдены собственные моды выпучивания. Установлено, что моды выпучивания возникают при удлинении, незначительно превышающем точку максимума на диаграмме растяжения цилиндра. Отмечено, что различные моды выпучивания имеют близкие собственные значения.

3. С помощью энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра. Предложен и реализован итерационный метод исследования закритического поведения упругих тел. Определены форма и состояние тела после потери устойчивости и проанализировано их развитие в процессе осевого растяжения.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ластенко МС Неустойчивость цилиндра из материала со степенным упрочнением при растяжении // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том VIII. Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ. 2002. С.25-27.

Ластенко МС О неустойчивости упругого цилиндра при растяжении // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Вып. 6. Ростов-на-Дону. Изд-во СКНЦ ВШ. 2002. С. 103-112.

3. Lastenko M.S., Zubov L M. A model of neck formation on a rod under tension // Revista Colombiana de Matematicas. 2002. Vol. 36. P. 49-57.

4. Lastenko M.S. Instability of an elastic cylinder under tension // Book of Abstracts. XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2002. P. 64-65.

5. Lastenko M.S. Instability of an elastic cylinder under tension // Proceedings ofXXX Summer School APM'2002. St. Petersburg. 2002. P. 413-417.

6. Зубов Л.М, Ластенко М.С. О неустойчивости равновесия при растяжении цилиндра из упрочняющегося материала // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 135-143.

7. Ластенко М.С. Закритическое поведение цилиндра из упрочняющегося материала при растяжении // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Вып. 8. Ростов-на-Дону. Изд-во СКНЦ ВШ. 2004. С. 73-81.

Издательство ООО «ЦВВР» Лицензия ЛР № 65-36 от 05 08 99 г Сдано в набор 17 09 04 г Подписано в печать 21 09 04 г Формат 60*84 1/16 Заказ № 528 Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ лист 1,0 Услпечл 1,0 Типография Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г Ростов-на-Дону, ул Зорге, 28/2, корп 5 «В», тел 929-516,659-532 Лицензия на полиграфическую деятельность К» 65-125 от 09 02 98 г

f1 78 65

РНБ Русский фонд

2005-4 15028

Введение

Глава 1. Постановка задачи об одноосном растяжении кругового цилиндра

1.1. Осесимметричная деформация кругового цилиндра.

1.2. Однородное состояние одноосного растяжения.

Глава 2. Линеаризованная краевая задача об устойчивости состояния однородного растяжения цилиндра

2.1 Неоднородное равновесное состояние.

2.2. Вычисление возмущения производной потенциала.

2.3. Вычисление первого слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы.

2.4. Вычисление второго слагаемого в выражении дивергенции возмущения тензора напряжений Пиолы.

2.5. Уравнения равновесия.

2.6. Линеаризация условия несжимаемости.

2.7. Граничные условия.

2.8. Специальный вид решения краевой задачи.

2.9. Преобразование первого уравнения равновесия.

2.10. Преобразование второго уравнения равновесия.

2.11. Преобразование условия несжимаемости.

2.12. Преобразование граничных условий.

2.13. Линейная однородная краевая задача.

2.14. Численный метод решения линеаризованной задачи.

2.15. Особенности спектра критических удлинений и мод выпучивания.

Глава 3. Закритическое деформирование растягиваемого цилиндра

3.1. Вариационная постановка задачи.

3.2. Численный расчет потенциальной энергии и её производных.

3.3. Алгоритм поиска решений нелинейной задачи.

3.4. Анализ закритического поведения цилиндра.

Проблема устойчивости механических систем имеет большое научное и прикладное значение, поскольку расчет любых строительных и инженерных конструкций основывается на анализе способности этих конструкций выдерживать различные внешние нагрузки и возмущения. Соответственно, вопрос устойчивости системы под воздействием внешних факторов часто выходит на первый план. Одним из самых первых исследователей устойчивости был Архимед, его работы носили статический характер и относились к твердым телам, погруженным в несжимаемую упругую жидкость. В дальнейшем было предложено большое количество различных определений понятия "устойчивость" и, соответственно, различных теорем об устойчивости, но большинство классических исследований устойчивости упругих систем всё же основывается на том или ином статическом критерии.

Во многих случаях состояние равновесной системы можно определить двумя параметрами - характерным перемещением v и параметром нагрузки Р. Тогда всей совокупности состояний равновесия соответствует некоторая кривая в системе осей v,Р. С помощью этой кривой можно предсказать поведение системы при монотонном возрастании параметра нагрузки (мягкое нагружение) или параметра перемещения (жесткое нагружение), а также отметить критические значения параметров. Возникновение различных методов отыскания критических состояний, соответствующих потере устойчивости, объясняется разнообразием свойств механических систем и кривых v, Р.

Исторически сложились три основных варианта статического метода исследования устойчивости упругих тел [63]. Первым был вариант, предложенный Эйлером, согласно которому изучается возможность существования форм равновесия, смежных с исходной, при заданном значении параметра нагрузки, причем появление смежной формы равновесия служит признаком неустойчивости исходной формы равновесия. Рассматриваются только сколь угодно малые отклонения от исходного состояния равновесия, что приводит к линеаризации задачи. При этом удается определить критические значения параметров, но закритическое поведение системы остаётся неизученным. Кроме того, для эйлеровой постановки задачи характерна существенная идеализация системы.

Во втором варианте статического метода в решение с самого начала вводятся те или иные неидеальности (несовершенства): начальные прогибы, начальные эксцентриситеты или дополнительные внешние силы. При решении часто пользуются линеаризованными уравнениями. Некоторая условность этого подхода состоит в линеаризации задачи, хотя рассматриваемые перемещения не являются малыми. Во многих случаях представляется более правильным учитывать нелинейности, неизбежно проявляющиеся при больших перемещениях. 5

Третий вариант статического метода, называемый энергетическим, связан с теоремой Лагранжа-Дирихле о минимуме потенциальной энергии. Этот метод оказался плодотворным для приближенного решения многих задач об устойчивости сложных систем, однако и он не может претендовать на универсальность, поскольку упомянутая теорема относится только к консервативным системам, тогда как действующие нагрузки не всегда имеют потенциал.

Данные методы часто приводят к одинаковым критическим значениям параметров системы, однако они не вполне эквивалентны друг другу, так как отвечают на разные по смыслу вопросы: метод Эйлера: при какой нагрузке возникают смежные формы равновесия? метод неидеальностей: при какой нагрузке характерное перемещение системы стремится к бесконечности? энергетический метод: до какого значения нагрузки потенциальная энергия системы сохраняет минимальные свойства в положении равновесия?

В историческом контексте первыми получили развитие различные теории устойчивости конструкций на основе одномерных моделей стержней и двумерных моделей пластин и оболочек [10, 26, 35, 69, 72-74].

Потеря устойчивости тонких и тонкостенных тел при сжатии происходит в области малых деформаций, что позволяет использовать физически линейные определяющие соотношения (закон Гука). Неустойчивость при растяжении наступает обычно при значительных деформациях, что требует полного учета физической нелинейности и трехмерности изучаемых тел. Кроме того, исследование неустойчивости при растяжении, как правило, невозможно в рамках одномерных моделей стержней или двумерных моделей пластин и оболочек. Следует также отметить, что потеря устойчивости при растяжении может рассматриваться как один из механизмов разрушения конструкций [42].

Исследованием вопросов устойчивости на основе трехмерных уравнений нелинейной теории упругости занимались такие отечественные ученые, как B.JL Бидерман [2], В.В. Болотин [4], А.Н. Гузь [12-14],

B.А. Еремеев [18], Л.М. Зубов [23, 31-33, 35], АЛО. Ишлинский [39], А.И. Лурье [52-54], В.В. Новожилов [60], К.Ф. Черных [79] и другие.

Среди зарубежных авторов следует упомянуть таких ученых, как D. Bigoni [84], М.А. Biot [85], А.Е. Green [92, 93], D. Joseph [40], J.C. Patterson [103], C.E. Pearson [104], S. Reese [106], R.S. Rivlin,

C.B. Sensenig [111], R.T. Shield [92], C. Truesdell [75, 82], Z. Wesolowski [114,115].

Необходимо отметить, что подавляющее большинство опубликованных работ по устойчивости упругих систем, в том числе и трехмерных упругих тел, посвящено исследованию устойчивости при сжимающих напряжениях.

Нелинейная теория упругости начала интенсивно развиваться сравнительно недавно, в сороковых годах двадцатого века. Это развитие связано с созданием новых резиноподобных и полимерных материалов, способных сильно деформироваться, сохраняя упругие свойства. В настоящее время нелинейная теория упругости развивается в том числе и как наука, описывающая поведение объектов живой природы, например, тканей живых организмов. Это новое направление получило название биомеханики.

Существенный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли такие отечественные ученые, как Н.В. Зволинский [19], J1.M. Зубов [24-29, 116], В.А. Левин [49], А.И. Лурье [53, 54], Н.Ф. Морозов [55], В.В. Новожилов [61, 62], Л.А. Толоконников, К.Ф. Черных [79], а также зарубежные ученые: G. Adkins [11], S.S. Antman [81], J.L. Ericksen [90], A.E. Green [11], R. Hill, W. Noll [112], R.W. Ogden [101], R.S. Rivlin [107-110], C. Truesdell [75, 82,112].

Одним из распространенных конструктивных элементов является стержень, работающий на растяжение-сжатие. Проблема устойчивости этого элемента при сжатии хорошо изучена [31, 76, 87, 91], чего нельзя сказать о случае растяжения. Существенный интерес представляет предсказание возникновения неустойчивости при растяжении, а также теоретическое описание закритического поведения растягиваемого стержня, то есть поведения после потери устойчивости, которая выражается в исчерпании стержнем несущей способности с последующим разрушением. Хрупкие материалы (чугун, бетон и др.) разрушаются без видимых предварительных деформаций, тогда как пластичные материалы сталь, медь, некоторые сплавы и др.) перед разрушением испытывают существенные формоизменения, в месте будущего разрушения стержня возникает и развивается шейка.

Процесс образования шейки достаточно хорошо изучен экспериментально [3, 16, 56, 77, 78, 80, 89, 98, 99, Л02, 113], получены формы деформированных образцов; зависимость вида шейки от температуры, скорости растяжения; характер возникновения трещин на начальных стадиях разрушения образца и другие экспериментальные данные. На основе этих данных построен ряд теорий математического описания профиля шейки. Например, в работе [100] дается описание « формы шейки с помощью двух поверхностей вращения. Предложенная модель имеет один параметр, который зависит от материала. Применение указанной модели дает хорошее соответствие фактическим профилям шеек, которые наблюдаются в образцах из мягкой и полутвердой стали, меди, свинца. Разработана также математическая теория образования шейки, согласно которой материал считается наделенным некоторыми идеализированными свойствами [37, 38], а именно считается, что он обладает определенным пределом текучести, после достижения которого деформируется, как вязкое вещество.

Однако, несмотря на большое число экспериментальных и теоретических работ, посвященных различным аспектам потери устойчивости растягиваемого цилиндра, представляет интерес рассмотрение этого явления на основе точных трехмерных уравнений нелинейной теории упругости. Для целей этого исследования в данной работе используется специальная модель материала со степенным упрочнением, задаваемая при помощи логарифмической меры деформации. Следует отметить, что в реальных телах процесс потери устойчивости состояния однородного растяжения обычно связан с пластическими деформациями, однако в силу известной "концепции продолжающегося нагружения" [44] при решении возмущенных уравнений равновесия можно не учитывать разгрузку, то есть пользоваться определяющими соотношениями нелинейной теории упругости.

Из опытов на простое растяжение хорошо известно, что после достижения максимума на диаграмме растяжения стержня процесс однородного деформирования становится неустойчивым, образуется шейка. Здесь, однако, следует четко различать две различных диаграммы растяжения, использующиеся в зависимости от целей конкретного исследования [42, 56, 86, 88, 94]. Это диаграмма растяжения, на которой представлена зависимость условного растягивающего напряжения (то есть растягивающей силы, отнесенной к начальной площади поперечного сечения стержня) от удлинения образца; и диаграмма, на которой представлена зависимость истинного растягивающего напряжения (то есть растягивающей силы, отнесенной к актуальной площади поперечного сечения стержня) от удлинения образца. Первую диаграмму обычно называют условной диаграммой растяжения, вторую называют истинной.

При этом для большинства употребительных материалов первая диаграмма имеет точку максимума при некотором удлинении образца, тогда как вторая диаграмма может оставаться возрастающей даже при относительно большом удлинении. В данной работе под диаграммой растяжения всюду понимается условная диаграмма, поскольку при изучении потери устойчивости при растяжении большое значение имеет именно она и, в частности, её точка максимума [63], так как именно после достижения этой точки в эксперименте происходит потеря устойчивости цилиндрической формы растягиваемого стержня.

В данной работе на основе точных уравнений трехмерной нелинейной теории упругости проведен анализ устойчивости стержня, имеющего форму кругового цилиндра. Материал стержня считается однородным, изотропным и несжимаемым. Для определения критических значений параметра деформации и соответствующих им мод выпучивания используется метод Эйлера, то есть решается линеаризованная задача, при этом амплитуды мод выпучивания остаются неопределенными.

Для исследования закритического поведения цилиндра используется энергетический метод с применением метода Ритца [41]. На однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра накладывается некоторое количество полученных при решении линеаризованной задачи мод выпучивания, начиная с первой. В полученном таким образом неоднородном деформированном состоянии тела исследуется его потенциальная энергия на предмет наличия стационарных точек по амплитудам наложенных мод. Согласно вариационному принципу Лагранжа, эти точки соответствуют равновесным состояниям деформированного цилиндра. Таким образом, для определения реальной формы растянутого цилиндра после потери устойчивости однородного деформированного состояния остаётся отыскать среди найденных стационарных точек ту, что соответствует равновесному состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Следует отметить, что существует более строгий метод изучения закритического поведения трехмерных упругих тел, основанный на операторном методе Ляпунова-Шмидта [5] исследования ветвления решений нелинейных задач [20-23, 43, 117]. Указанный метод позволяет точно определить количество решений статических краевых задач нелинейной теории упругости и их характер в окрестности точки бифуркации, однако его применение дает возможность исследовать лишь начальное закритическое поведение деформируемых тел, когда параметр нагружения мало отличается от критического значения. Метод, разработанный в данной работе, позволяет исследовать закритическое поведение трехмерного нелинейно-упругого тела при любых деформациях, что делает его более универсальным.

Необходимость исследования закритического поведения систем обосновывается тем, что знание свойств тел на закритической стадии деформирования позволяет полнее использовать имеющиеся прочностные резервы, что приводит в итоге к повышению безопасности механических систем, включающих тела, для которых осуществимо закритическое деформирование. В частности, представляет интерес задача определения условий устойчивого закритического деформирования элементов структуры в составе композиционных материалов, как база для создания материалов с повышенными механическими характеристиками.

Экспериментальному исследованию некоторых аспектов закритического деформирования посвящены работы П. Бриджмена [3], Р.А. Васина и др. [6], С.Д. Волкова [9], А.А. Лебедева и Н.Г. Чаусова [48], Ф.С. Савицкого и Б.А. Вандышева [67], В.В. Стружанова и В.И. Миронова [71], Я.Б. Фридмана и Б.А. Дроздовского [17].

Различные подходы к теоретическому объяснению данного механического явления представлены в работах С.Д. Волкова [7, 8], В.А. Ибрагимова и В.Д. Клюшникова [36], A.M. Линькова [50, 51], Л.В. Никитина и Е.И. Рыжака [57-59, 64-66], В.В. Стружанова [70] и ряда других ученых.

В ряде исследований такого рода считается допустимым невыполнение условия Адамара, то есть, вообще говоря, допускается неустойчивость материала. В данной работе, как будет показано ниже, условие Адамара выполняется для всех исследованных деформаций цилиндра и, в том числе, на закритической фазе деформирования.

Во многих исследованиях закритического деформирования рассматривается поведение разупрочняющихся материалов, а именно материалов, для которых на определенном этапе имеет место убывающая зависимость истинных напряжений от удлинений. В частности, вопросы, близкие к теме настоящей работы, обсуждались с другой точки зрения в статьях [59, 64-66], где показана физическая осуществимость падающего участка истинной диаграммы нагружения при сохранении свойства сильной эллиптичности материала (строгого неравенства Адамара).

В настоящей работе рассматривается материал, для которого зависимость истинного напряжения от удлинения является монотонно возрастающей, то есть участок разупрочнения отсутствует. Падающий участок наблюдается на диаграмме зависимости условного напряжения от удлинения. Исследованное в [59, 64-66] разупрочнение материала может иметь место на стадии достаточно развитой шейки. Однако в данном исследовании начало образования шейки не связывается с разупрочнением материала, а рассматривается с точки зрения явлений упругой неустойчивости, аналогичных выпучиванию конструкций.

Перейдем к изложению содержания работы. Первая глава посвящена постановке задачи об одноосном растяжении кругового цилиндра. В п. 1.1 рассмотрен общий случай осесимметричной деформации кругового цилиндра из однородного изотропного материала. Получены представления градиента деформации, меры деформации Коши-Грина, логарифмической меры деформации (тензора Генки). Определены собственные значения и собственные векторы указанных мер деформации.

Сформулированы граничные условия, согласно которым боковая поверхность цилиндра свободна от нагрузки, а на торцах отсутствуют силы трения и задано постоянное нормальное перемещение. В рассмотрение введена специальная модель изотропного материала со степенным упрочнением, задаваемая при помощи логарифмической меры деформации, и приведен вид определяющих соотношений для несжимаемого тела, выраженных при помощи логарифмической меры деформации, а также вид условия несжимаемости материала. Используемая модель удовлетворительно описывает поведение ряда упруго-пластических конструкционных материалов при активном нагружении и может служить обобщением деформационной теории пластичности на случай больших деформаций. Уравнения равновесия для тензора напряжений Пиолы, условие несжимаемости материала и граничные условия образуют краевую задачу, решения которой соответствуют равновесным состояниям осесимметрично деформированного кругового цилиндра.

В п. 1.2 рассмотрено однородное состояние одноосного растяжения. Представлен вид решения краевой задачи, соответствующий однородному напряженно-деформированному состоянию цилиндра. Показано, что для рассматриваемого материала условная диаграмма растяжения имеет точку максимума, тогда как истинная диаграмма монотонно возрастает.

Во второй главе рассматривается линеаризованная краевая задача об устойчивости состояния однородного растяжения цилиндра, для исследования устойчивости цилиндра применяется метод Эйлера. В п. 2.1 в рассмотрение введена осесимметричная форма равновесия упругого цилиндра, мало отличающаяся от однородного состояния одноосного растяжения, описанного в п. 1.2. За счет малого множителя добавочные компоненты имеют порядок меньший, чем компоненты, соответствующие однородному состоянию, что приводит к линеаризованной задаче. Путем линеаризации определяющего соотношения найдено возмущение тензора напряжений Пиолы, необходимое для вывода линеаризованных уравнений равновесия.

В п. 2.2 вычислено возмущение производной удельной потенциальной энергии деформации по логарифмической мере деформации.

П. 2.3 и п. 2.4 содержат промежуточные преобразования, необходимые для выражения уравнений равновесия тела через три неизвестных функции: добавочные перемещения по осям г и z, а также возмущение давления в несжимаемом теле.

В п. 2.5 представлен окончательный вид двух линеаризованных уравнений равновесия относительно трех функций. Разрешимость задачи обеспечивается наличием третьего дифференциального уравнения, связывающего указанные функции, а именно линеаризованного условия несжимаемости материала, вывод которого дан в п. 2.6.

В п. 2.7 осуществлен вывод линеаризованных граничных условий на боковой поверхности и на торцах цилиндра. Тем самым получена линейная однородная краевая задача, которая всегда имеет тривиальное решение.

Согласно бифуркационному критерию устойчивости равновесия, исследование устойчивости в малом сводится к нахождению спектра критических значений параметра деформации, при которых указанная краевая задача имеет нетривиальные решения, а также к определению собственных функций — мод выпучивания. В силу "концепции продолжающегося нагружения" бифуркационный критерий пригоден с прикладной точки зрения также и для исследования устойчивости упруго-пластических тел.

Поиск нетривиальных решений краевой задачи производился с использованием специального вида решения, описанного в п. 2.8. Данный вид решения позволяет удовлетворить краевым условиям на торцах цилиндра.

В пп. 2.9, 2.10, 2.11 и 2.12 произведено преобразование соответственно первого уравнения равновесия, второго уравнения равновесия, условия несжимаемости и граничных условий на боковой поверхности цилиндра с учетом специального вида решения. Для обеспечения разрешимости краевой задачи в п. 2.12 в рассмотрение введены два краевых условия на оси цилиндра, которые вытекают из требований неразрывности материала и гладкости решения на оси цилиндра.

Таким образом, в результате проведенных преобразований задача об исследовании устойчивости положения равновесия растянутого цилиндра оказалась сведенной к линейной однородной краевой задаче для трех обыкновенных дифференциальных уравнений с четырьмя краевыми условиями. Окончательный вид этой задачи дан в п. 2.13.

В п. 2.14 описан численный метод решения полученной линеаризованной задачи, использующий векторно-матричную запись дифференциальных уравнений.

В п. 2.15 представлены особенности спектра критических удлинений и: мод выпучивания. Установлено, что критические значения параметра деформации существуют только на ниспадающем участке диаграммы растяжения. Для каждого значения номера моды выпучивания, начиная с 1, существует критическое значение параметра деформации, причем значения параметра деформации монотонно растут с увеличением номера моды. Первое критическое удлинение расположено очень близко к точке максимума на диаграмме растяжения, все последующие удлинения также близки друг к другу, причем разность между соседними сначала возрастает с ростом номера моды, затем начинает убывать, а для мод старших порядков становится очень малой.

С ростом номера моды выпучивания увеличивается число нулей собственных функций краевой задачи, то есть с возрастанием номера моды усиливается осцилляция решения по радиальной координате. Кроме того, характер осцилляции решения зависит от параметра модели материала, характеризующего упрочнение. С увеличением этого параметра осцилляция незначительно уменьшается. Установлено также, что для мод высших порядков деформация при потере устойчивости локализуется вблизи боковой поверхности цилиндра. Описанные закономерности проиллюстрированы графически. Кроме того, представлена таблица, содержащая значения критических удлинений, соответствующих различным модам выпучивания для разных значений параметра упрочнения.

В третьей главе на основе энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра. В п. 3.1. дана вариационная постановка задачи о растяжении цилиндра. Решение линейной однородной задачи определено во второй главе с точностью до произвольного постоянного множителя. Амплитуды выпучивания и число закритических форм равновесия не могут быть найдены из линеаризованной краевой задачи устойчивости, для анализа закритического поведения цилиндра необходимо рассмотреть нелинейные уравнения, описывающие деформацию упругого тела. Исследование закритического поведения цилиндра основано на применении вариационного принципа Лагранжа, согласно которому выполнение уравнений равновесия, записанных в перемещениях, и граничных условий эквивалентно стационарности потенциальной энергии тела. Основываясь на этом принципе, равновесное состояние считаем устойчивым, пока потенциальная энергия имеет в нём минимальное значение. Если же в процессе нагружения возникает возможность существования равновесного состояния с потенциальной энергией меньшей, чем в текущем состоянии, то текущая форма равновесия теряет устойчивость, сменяясь более выгодной с энергетической точки зрения новой формой равновесия. Такой подход к исследованию устойчивости позволяет, в отличие от линеаризованной задачи, не ограничиваться лишь малыми отклонениями от однородного деформированного состояния.

Для анализа потенциальной энергии применен метод Ритца. Рассмотрено однородное напряженно-деформированное состояние цилиндра, описанное в п. 1.2, на которое накладываются М полученных при решении линеаризованной задачи мод выпучивания, начиная с первой. При этом амплитуды наложенных мод выпучивания являются неизвестными. Потенциальная энергия тела оказывается нелинейной функцией этих неизвестных. Задача сводится к поиску таких значений этих переменных, которые доставляли бы потенциальной энергии стационарные значения. Иными словами, нужно потребовать, чтобы первые производные потенциальной энергии по всем амплитудам мод выпучивания были равны нулю. В результате возникает система нелинейных алгебраических уравнений относительно амплитуд наложенных мод выпучивания.

В п. 3.2 описан численный расчет потенциальной энергии и её производных. При вычислении указанных величин удлинение цилиндра и значения амплитуд мод выпучивания считаются фиксированными. Удельная потенциальная энергия и её производные заменяются сеточными функциями по г и 2, и для вычисления потенциальной энергии тела и её производных применяется формула Симпсона.

В п. 3.3 описан итерационный метод поиска решений нелинейной задачи, основанный на замене М -мерных поверхностей, соответствующих первым производным потенциальной энергии, плоскостями, касательными к данным поверхностям в некоторой точке.

Анализ закритического поведение цилиндра представлен в п. 3.4. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения цилиндра существует только тривиальное решение системы алгебраических уравнений, описанной в п. 3.1, то есть однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость. Ниспадающий участок диаграммы растяжения характеризуется наличием шести решений помимо тривиального. Из найденных нетривиальных решений только два соответствуют неоднородному состоянию тела, в котором потенциальная энергия меньше, чем в однородном состоянии. Формально эти два решения различны, однако они описывают одно и то же напряженно-деформированное состояние цилиндра, а значит можно ограничиться рассмотрением только одного из них, которое и определит текущее состояние тела на ниспадающем участке диаграммы растяжения. Установлено, что для этого решения выполняется условие Адамара во всем диапазоне исследованных удлинений цилиндра.

Рассмотрены особенности этого решения. Все значения амплитуд наложенных мод выпучивания положительны. Установлено, что амплитуды убывают с ростом порядкового номера моды. С ростом коэффициента растяжения значения амплитуд постепенно возрастают и, по достижении коэффициентом растяжения некоторого значения, существенно удаленного от точки максимума на диаграмме нагружения, начинают убывать. Причем, по мере увеличения растяжения первыми начинают убывать амплитуды мод более высоких порядков, и последней достигает максимума амплитуда первой моды. Отмечено, что увеличение параметра упрочнения приводит к уменьшению максимальных значений амплитуд, достигаемых в процессе растяжения цилиндра.

Приведена таблица, в которой представлены значения коэффициента растяжения, при которых достигает максимума амплитуда моды с наибольшим номером, и амплитуды мод выпучивания, соответствующие этим значениям коэффициента растяжения. Неоднородное осесимметричное деформированное состояние цилиндра, соответствующее приведенным в таблице решениям, проиллюстрировано графически.

По теме диссертации опубликованы работы [30,45-47, 95-97]. Из них работы [30, 95] выполнены и опубликованы в соавторстве с научным руководителем Зубовым JI.M. В указанных работах Зубову JI.M. принадлежат постановка задачи и выбор методов исследования, соискателю принадлежат реализация методов исследования, аналитические выкладки, выполнение и анализ численных расчетов.

Заключение.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Рассмотрен общий случай осесимметричной деформации растягиваемого кругового цилиндра из однородного изотропного материала. Получены представления градиента деформации, меры деформации Коши-Грина, логарифмической меры деформации (тензора Генки). Определены собственные значения и собственные векторы указанных мер деформации.

2. В рамках нелинейной теории упругости на основе точных трехмерных уравнений исследована устойчивость равновесия кругового цилиндра при одноосном растяжении. Применена модель материала со степенным упрочнением, соответствующая поведению ряда конструкционных материалов. Путем решения линеаризованных уравнений устойчивости растягиваемого цилиндра определен спектр критических значений продольной деформации и найдены собственные моды выпучивания. Установлено, что моды выпучивания возникают при удлинении, незначительно превышающем точку максимума на диаграмме растяжения цилиндра. Отмечено, что различные моды выпучивания имеют близкие собственные значения.

3. На основе энергетического метода исследования устойчивости изучено закритическое деформирование растягиваемого цилиндра. Дана вариационная постановка задачи о растяжении цилиндра. Предложен и реализован итерационный метод исследования закритического поведения упругих тел. Установлено, что на возрастающем участке диаграммы растяжения однородное напряженно-деформированное состояние сохраняет устойчивость. Ниспадающий участок характеризуется потерей устойчивости однородного состояния цилиндра, которое сменяется неоднородным осесимметричным напряженно-деформированным состоянием. Определена форма тела в указанном состоянии, и проанализировано его развитие в процессе растяжения цилиндра.

1. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. 1.. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

2. Бидерман В.Л. Устойчивость стержня из неогуковского материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1968. № 3. С. 54-62.

3. Бриджмен П. Исследования больших пластических деформаций и разрыва. М.: ИЛ, 1955.

4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 339 с.

5. Вайнберг ММ, Треногим В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

6. Васин Р.А., Еникеев Ф. У., Мазурский М.И. О материалах с падающей диаграммой //Изв. РАН. МТТ. 1995. № 2. С. 181-182.

7. Волков С.Д. Проблема прочности и механика разрушения // Проблемы прочности. 1978. № 7. С. 3-10.

8. Волков С.Д., Дубровина Г.И., Соковнин Ю.П. К теории устойчивости разрушения технических материалов // Проблемы прочности. 1978. № 2. С. 3-7.

9. Волков С.Д., Гуськов Ю.П., Кривоспицкая В.И. и др. Экспериментальные функции сопротивления легированной стали при растяжении и кручении // Проблемы прочности. 1979. № 1. С. 3-6.

10. Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

11. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

12. Гузъ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Наукова думка, 1971. 276 с.

13. Гузъ А.Н. Устойчивость упругих тел при всестороннем сжатии. Киев: Наукова думка, 1979. 144 с.

14. Гузъ А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наукова думка, 1973. 270 с.

15. Гурвич E.JI., Лурье А.И. К теории распространения волн в нелинейно-упругой среде (эффективная проверка условия Адамара) // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. № 6. С. 110-116.

16. Давиденков Н.Н., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состояния в шейке растянутого образца // Заводская лаборатория. 1945. № 6.

17. Дроздовский Б.А., Фридман Я.Б. Влияние трещин на механические свойства конструкционных сталей. М.: Металлургиздат, 1960. 260 с.

18. Еремеев В. А., Зубов JI. М Некоторые проблемы устойчивости трехмерных нелинейно упругих тел // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 1. С. 42-47.

19. Зволинский Н.В., Риз П.М. О некоторых задачах нелинейной теории упругости И ПММ. 1939. Т. 2. № 4.

20. Зеленин А.А., Зубов JI.M. Ветвление решений статических задач нелинейной теории упругости // ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 2. С. 275-282.

21. Зеленин А.А., Зубов JI.M. Закритические деформации упругой сферы // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. №5. С. 76-82.

22. Зеленин А.А., Зубов JI.M. Поведение толстой круглой плиты после потери устойчивости // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 4. С. 642-650.

23. Зеленин А.А., Зубов JI.M. Устойчивость и послекритическое поведение упругого цилиндра с дисклинацией // Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 1.С. 101-108.

24. Зубов JI.M. Вариационные принципы нелинейной теории упругости // ПММ. 1971. Т. 35. Вып. 3. С. 406-410.

25. Зубов JI.M. Двойственные краевые задачи нелинейной теории упругости // Доклады РАН. 1999. Т. 367. № 3. С. 342-344.

26. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1982. 143 с.

27. Зубов JI.M. Полуобратный метод в квазистатических задачах нелинейной термовязкоупругости // Доклады АН СССР. 1981. Т. 226. № 3. С. 556-559.

28. Зубов JI.M. Принцип стационарности дополнительной работы внелинейной теории упругости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 2.1. С. 241-245.

29. Зубов JI.M. Сопряженные решения в нелинейной теории упругости // Доклады РАН. 1992. Т. 324. № 2. С. 282-286.

30. Зубов JI.M., Ластенко М.С. О неустойчивости равновесия при растяжении цилиндра из упрочняющегося материала // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 3. С. 135-143.

31. Зубов JI.M., Моисеенко С.И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78-84.

32. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О неустойчивости растянутого нелинейно-упругого бруса // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 5. С. 786-798.

33. Зубов JI.M., Рудев А.Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3. С. 65-83.

34. Зубов JI.M., Рудев А.Н. О признаках выполнимости условия Адамара для высокоэластичных материалов // Изв. РАН. МТТ. 1994. №. 6. С. 21-31.

35. Зубов JI.M., Рудев А.Н. Теория устойчивости толстых упругих плит // Изв. РАН. МТТ. 1993. №. 1. С. 96-111.

36. Ибрагимов В.А., Клюшников В.Д. Некоторые задачи для сред с падающей диаграммой // Изв. АН СССР. МТТ. 1971. № 4. С. 116-121.

37. Ильюшин А.А. Деформация вязко-пластического тела // Ученые записки Московского университета. Механика. 1940. Вып. 39.

38. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязко-пластического теченияполосы и круглого прута // ПММ. 1943. Т. VII. № 3. С. 109-130.

39. Ишлинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости // Укр. матем. журнал. 1954. Т. 6. № 2. С. 140-146.

40. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 301 с.

41. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. M.-JL: Физматгиз, 1962. 708 с.

42. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

43. Келлер Дж., Антман С. (ред.) Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. 254 с.

44. Клюшников В.Д. Устойчивость упруго-пластических систем. М.: Наука, 1980. 240 с.

45. Ластенко М.С. Закритическое поведение цилиндра из упрочняющегося материала при растяжении // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Вып. 8. Ростов-на-Дону. Изд-во СКНЦ ВШ. 2004. С. 73-81.

46. Ластенко М.С. Неустойчивость цилиндра из материала со степенным упрочнением при растяжении // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том VIII. Ростов-на-Дону, Изд-во РГУ. 2002. С. 25-27.

47. Ластенко М.С. О неустойчивости упругого цилиндра при растяжении // Фундаментальные и прикладные проблемы современной техники. Ростов-на-Дону. Изд-во СКНЦ ВШ. 2002. С. 103-112.

48. Лебедев А.А., Марусий О.И., Чаусов Н.Г., Зайцева Л.В. Исследование кинетики разрушения пластичных материалов на заключительной стадии деформирования // Проблемы прочности. 1982. № 1. С. 12-18.

49. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах // М. МАИК Наука. Физматлит. 1999. 224 с.

50. Линьков A.M. Об условиях устойчивости в механике разрушения // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 45-48.

51. Линьков A.M. Потеря устойчивости при разупрочнении // Исследования по упругости и пластичности. Вып. 14. Проблемы механики деформируемого твердого тела. JL: ЛГУ, 1982. С. 41-46.

52. Лурье А.И. Бифуркация равновесия идеально упругого тела // ПММ. 1966. Т. 30. Вып. 4. С. 718-731.

53. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

54. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

55. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

56. Надаи А. Пластичность и разрушение твердых тел. М.: ИЛ, 1954. 648 с.

57. Никитин JI.B. Закритическое поведение разупрочняющегося материала // Докл. РАН. 1995. Т. 342. № 4. С. 487-490.

58. Никитин Л.В. Направления развития моделей упруговязкопластических тел // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. С. 136-153.

59. Никитин Л.В., Рыжак Е.И. Об осуществимости состояний материала, соответствующих "падающему" участку диаграммы // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 2. С. 155-161.

60. Новожилов В.В. О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов // ПММ. 1951. Т. 15. Вып. 6. С. 709-722

61. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. M.-JL: Гостехиздат, 1948. 211 с.

62. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз, 1958. 370 с.

63. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1964.

64. Рыжак Е.И. К вопросу об осуществимости однородного закритического деформирования при испытаниях в жесткой трехосной машине // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. № 1. С. 111-127.

65. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине // Доклады РАН. 1993. Т. 330. №2. С. 197-199.

66. Рыжак Е.И. Об устойчивом закритическом деформировании упругопластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 3. С. 117-135.

67. Савицкий Ф.С., Вандышев Б.А. Жесткость испытательных машин и её влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба // Заводская лаборатория. 1956. Т. 22. № 6. С. 717-721.

68. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

69. Срубщик JI.C. Выпучивание и послекритическое поведение оболочек. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1981.

70. Стружанов В.В. О применении полных диаграмм деформирования в расчетах на прочность // Проблемы прочности. 1988. № 5. С. 122-123.

71. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 191 с.

72. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука, 1971.808 с.

73. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем. М.: Государственное изд-во технико-теоретической л-ры, 1955. 567 с.

74. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. М.: Наука, 1995. 320 с.

75. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

76. Феодосъев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1972. 544 с.

77. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. М. 1952.

78. Шапошников Н.А. Механические испытания металлов. М. 1951.

79. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 336 с.

80. Aronofsky J. Evaluation of Stress Distribution in the Symmetrical Neck of Flat Tensile Bars // J. App. Mech. March 1951. P. 75-84.

81. Antman S.S. Nonlinear problems of elasticity. Springer-Verlag. 1995.

82. Ball J.M., James R.D. The Scientific Life and Influence of Clifford Ambrose Truesdell III // Arch. Rational Mech. Anal. Vol. 161. 2002. P. 1-26.

83. Bigoni D., Petryk H. A note on divergence and flutter instabilities in elastic-plastic materials // International Journal of Solids and Structures. Vol.39. 2002. P. 911-926

84. Biot M.A. Mechanics of incremental deformations. New York: Willey, 1965.506 p.

85. Boyer H.F. Atlas of Stress-Strain Curves. Ohio. ASM International, Metals Park, 1987.

86. Broek D. Elementary Engineering Fracture Mechanics. Netherlands, Dordrecht, Martinus Nishoff Publishers, 4th ed., 1987.

87. Courtney Т.Н. Mechanical Behavior of Materials. New York. McGraw-Hill, 1990.

88. Davidenkov N.N., Spiridonova N.I. Analysis of the State of Stress in the Neck of a Tensile Test Specimen // Proc. ASTM. 1946. Vol. 46. P. 1147-1158.

89. Ericksen J.L. Deformations possible in every isotropic uncompressible perfectly elastic body // Zeitsch. angew. Math, and Phys. 1954. № 5. P. 466-486.

90. Ewalds H.L. and Wanhill R.J.H. Fracture Mechanics. London, Edward Arnold. 1985.

91. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic deformation superposed on finite elastic deformation // Proc. Roy. Soc. 1952. A211. № 1104. P. 128-154.

92. Green A.E., Spenser A.J.M. The stability of a circular cylinder under finite extension and torsion // J. Math. Phys. 1959. V. 37. № 4. P. 316-338.

93. Hayden H.W., Moffatt W.G., Wulff J. The Structure and Properties of Materials: Vol. Ill Mechanical Behavior. New York. Wiley, 1965.

94. Lastenko M.S., Zubov L.M. A model of neck formation on a rod under tension // Revista Colombiana de Matematicas. 2002. Vol. 36. P. 49-57.

95. Lastenko M.S. Instability of an elastic cylinder under tension // Book of Abstracts. XXX Summer School "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2002. P. 64-65.

96. Lastenko M.S. Instability of an elastic cylinder under tension // Proceedings of XXX Summer School APM'2002. St. Petersburg. 2002. P. 413-417.

97. MacGregor C. W. The Tensile Test I I Proc. ASTM. 1940. Vol. 40.

98. MacGregor C. W., Fischer Tensile Test at Constant True Strain Rates // J. Applied Mechanics. 1945.

99. Moellendorff W. Mitt. Materialpruefungsamt, Berlin-Dahlem. 1923. Vol. 41. № 5-6. 1923. P. 51-60.

100. Ogden R.W. Non-linear elastic deformations. Mineola, New York. Dover publications, inc. 1997.

101. Parker E.R., Davis H.E., Flanigan A.E. A study of the Tension Test // Proc. ASTM. 1946. Vol. 46. P. 1159-1174.

102. Patterson J.C. Stability of an elastic thick-walled tube under end thrust and external pressure // Int. J. Non-Linear Mech. 1976. Vol. 11. № 6. P. 385-390.

103. Pearson C.E. General theory of elastic stability // Quart, of Appl. Math. 1956. V. 14. P. 133-144.

104. Poncelet J.V. Introduction a la Mecanique Industriell Physique ou Experimentale. Metz. 1941.

105. Reese S. On material and geometrical instabilities in finite elasticity and elastoplasticity // Arch. Mech. 2000 Vol. 52. № 6. P. 969-999.

106. Rivlin R.S., Topakoglu C. A Theorem in the Theory of finite elastic deformation // J. Rational Mech. and Anal. 1954. Vol. 2. P. 53-81.

107. Rivlin R.S. Large elastic deformation of isotropic materials. IV. Further developments of the general theory. Phil. Trans. Roy. Soc. 1948. Vol. A241. London. P. 489-511.

108. Rivlin R.S., Saunders D.W. Large elastic deformations of isotropic materials. Experiments of the deformations of rubber // Phil. Trans. Roy. Soc. 1951. Vol. A243. London. P. 251-288.

109. Rivlin R.S. The solution of problems in second order elasticity theory // J. Rational Mech. Anal. 1953. Vol. 2. P. 53-81.

110. Sensenig C.B. Instability of thick elastic solids // Comm. Pure and Appl. Math. 1964. V. 17. № 4. P. 451-491.

111. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Encyclopedia of Physics. V. III/3. Springer-Verlag. Berlin Heidelberg -New York. 1965.591 p.

112. Tvergaard V. Necking in Tensile Bars with Rectangular Cross-Section // Сотр. Meth. Appl. Mech. and Engrng. 1993. Vol. 103. P. 273-290.

113. Wesolowski Z. Stability of elastic thick-walled spherical shell loaded by an external pressure // Arch. Mech. Stosow. 1967. V. 19. № 1. P. 3-23.

114. Wesolowski Z. The axially symmetric problem of stability loss of an elastic bar subject to tension // Arch. Mech. Stosow. 1963. V. 15. № 3. P. 383-395.

115. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Springer-Verlag Berlin. 1997. 205 p.

116. Zubov L.M. and Raetsky G.M. Investigation of the post-critical deformations of high-elastic cylinder by means of computer character coded calculations // Proceedings of the 14th IMACS World Congress. Atlanta. 1994. Vol. 2. P. 1039-1041.