Нормальное строение и линеаризация групп треугольных автоморфизмов афинного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Б ОД

2 Г»НЗ

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

На правах рукопису

Іваненко Начар Леонідович

УДК 512.715,1

Нормальна будова та лінеаризація груп трикутних автоморфізмів афінного простору

(01.01.06 — алгебра та теорія чисел)

Автореферат дисертації на здобуття наукоиого ступеня кандидата фпико-математнчішх паук

Київ •• 1995

Дисертацією є рукопис.

Роботу викопано в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка. Науковий керівник:

• доктор фізико-математнчних наук, професор В. І. Сушанський Офіційні опоненти:

• доктор фізнко-математнчшіх наук, професор Білоруського державного університету Кошох Володимир Сергійович;

• кандидат фізнко-математичішх наук, доцент Національного університету “Кис-во-Могіїлянська академія” Боднарчук Юрій Вікторович.

Провідна установа:

• Львівський державшій університет ім. Івана Франка.

Захист відбудеться “<уу ” С! "¡44$ 1996 року о М год. на засіданні спеціалізо-

ваної вченої ради Д 01.01.01 при Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127. „и. Київ-127. пр. акад. Глушковп, Є, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

Овсієнко С. А.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми

Останнім часом, у зв’язку з бурхливим розвитком алгебраїчної геометрії та її застосувань, увагу широкого кола математиків привернули проблеми вивчення автомор-фізмів алгебраїчних многовндів. Зокрема, інтерес викликають автоморфізмі! одного з найпростіших многовндів — афінного простору. Питання вивчення автоморфізмів таких просторів виявилось зовсім не простим і призвело до розвитку цілої галузі алгебраїчної геометрії.

Група автоморфізмів А" — афінного простору вимірності п над деяким полем k має назву афінної групп Кремони (на відміну від групи всіх раціональних автоморфізмів, що називається просто групою Кремони). Позначимо цю групу Сгп. Оскільки для афінних многовндів не істотно, чи вести мову про сам многовнд, чи про його кільце регулярних функцій, група Кремони є також групою автоморфізмів кільця многочленів від п змінних.

Відомо, що група автоморфізмів афінного многовнду є алгебраїчною, тобто мас * .

структуру алгебраїчного многовнду , сумісну з груповими діями. Проблеми, ідо виникають при дослідженні груп» Кремони багато « чому пояснюються тим, що нона с нескінченновнміриоіо. Запровадження структури алгебраїчної групи дас змогу говорити про алгебраїчні підгрупи груші Кремінні. Іі пій можна виділити дві важливі підгрупи: групу лінійних перетворень CL„(k) та групу трикутних перетворень Jn, або, як її називають, групу Жонк’сра. Це дві основні складові частини групи Кре-монн.

Дана робота присвячена вивченню будови основних нелінійних підгруп групи Кремони над полем характеристики нуль та дослідженню властивостей окремих автоморфізмів (циклічних підгруп) із цієї групи. Задачу дослідження групової будови групп Кремони було сформульовано в оглядовій статті В. Попова2. Ця тема цікава ще тим, що для її вивчення доводиться залучати різноманітні методи з алгебри, алгебраїчної геометрії, топології та інших галузей математики.

Мета роботи

Дослідити нормальну будову основних підгруп групи Кремони над полем характеристики нуль, характеризувати їх, описати решітки підгруп груп уиітрнкутиих перетворень та групи Жонк’єра; вивчити дію цих груп на кільці многочленів від багатьох змінних.

11. R. Shajarevich, On some infinitedimentional groups, Rem!, di Math., 25(19G6), 208-212.

2И II. Попов, Группы автоморфизмов алгебр многочленов, в сборнике “Вопросы алгебры”, відпуск 4, Минск, Университетское, 1989, 4-115.

Методи досліджень

Внкорис'і(жуються метоли теорії ні'скіичсшіовнміршіх алгебраїчних груп та теорії решіток.

Наукова новизна

Основні результати дисертаційної роботи с иошіші. Досліджуються дії груп трикутних автоморфізмів афінного простору на кільці многочленів від багатьох змінних, опп-гано решітки нідмодуліп кільця многочлені» щодо дії групових кілець груп трикутних авіоморфізмів. Знайдено критерії нормальності для підгруп трун трикутних авго-морфіімів, описано будову нормальних та характеристичних підгруп в звичайному і топологічному контексті і а решітки таких підгруп. Вивчаються класи автоморфізмів, то спряжені до лінійних і знайдено ознаки лінеаріповності автоморфізмів (трикутних та не трикутних) афінного простору.

Теоретичне і прикладне значення

Отримані результати мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані прп дослідженні нсскінчепномимірипх алгебраїчних трун.

Апробація роботи

Результати, отримані в дисертації, доповідались на наукових конференціях молодих вчених (Київ. КЛУ І9П2. І!)!).! рр ), па науковому семінарі кафедри алгебри та ма тематичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка та на Всеукраїнській науковій конференції “Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях'' (Львів, 5-ї жовтня 1995 р.).

Публікації

Основні результати дисертації опубліковані із роботах [1, 2, 3, 4].

Структура і обсяг дисертації

Робота складається із вступу, чотирьох розділів і списку літератури із 31 найменування. Обсяг роботи СО сторінок.

Авюр висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові, професору В. 1. Су-шанському, а також професору А. нан ден Есену (Католицький Університет Паіімеи-гена) за плідні співбесіди та постійну увагу до роботи.

Зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наводиться короткий огляд робіт за темою дисертації, характеризується зміст роботи.

Перший розділ дисертації носить допоміжний характер. В ньому вводяться основні поняття, то використовуються в роботі та досліджуються їх основні властивості. Зокрема, наводиться визначення групи Кремони, як групи аптоморфізмів афінного простору та визначаються групи унітрикутішх перетворень і Жонк'сра.

У параграфі 1.1 описуються дві відомі конструкції над частково впорядкованими множинами — конструкції ординальних суми та добутку. В цьому ж параграфі будуються дні основні цілком впорядковані множини Рі і Воші складаються з цілочн-седышх векторів, упорядкованих зворотним лексикографічним порядком.

У параграфі 1.2 вводиться поняття висоти многочлена та описано найпростіші властивості висоти многочлена. Висотою одночлена називається впорядкований набір степенів змінних, а висотою многочлена — найбільша з висот його одночленів в розумінні впорядкованої множини Рі.. Висотою множшш многочленів назииасться точна 'верхня межа в ¡\ множини висот елементів.

У параграфі 1.3 вводяться основні поняття, шо стосуються елементів груші Жон-к’сра. Це висота та глибина таблиці. Висотою таблиці F називається висота першої иенульоної координати перетворення /■' — /</, а глибиною кілі,кісгь нульових координат на початку цього перетворення. Висота та глибина множини таблиць визначається як точна верхня межа в (?„ множшш висот елементів. Якщо множина таблиці, є підгрупою, то коефіцієнти при одночленах найбільшої висоти утворюють підгрупу адитивної групи поля, яка називається групою старших коефіцієнтів.

У параграфі 1.-1 описано топологію Зарпського нескінченповнмірної алгебраїчної групи Кремони, а у параграфі 1.5 формалізовані поняття лінеарнзовності та трнангу-льовності елементів групи Кремони.

Розділ 2 прпсвячело описові будови підмодулів кільця многочленів при дії груп унітрпкутних перетворень та групи Жоик’єра на многочленах зсувами.

У параграфі 2.1 описується будова підмодулів кільця многочленів щодо дії групи унітрикутішх перетворень та решітка цих підмодулів.

Теорема 2.2. Довільний V^ --підмодуль є к[Л'*.] складається і.і уса многочленів висоти не більше деякого набору («і,. -,л-) < причому, якщо висота многочлена дорівнює («і,...,»»*), то його старший коефіцієнт лежить в деякій 'підгрупі адитивної групи поля Ік.

Теорема 2.3. Решітка V ^-підмодуліа о кільці &[Л'л.) ізоморфна ф 1.^1, де — примірник решітки підгруп адитивної групи поля Ік.

З

Параграф 2.2 ошісус модулі відносно дії груші Жонк’сра та їх решітку.

Теорема 2.4. Леї:ай к — алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль. Будь-який нетривіальний ¿Тк~підмодуль в к[Лд,.] складається з усіх многочленів висоти меншої за деяке її = (їїі ,. .., пц). ,

Наслідок 2.4.1. Решітка 3^-підмодулів а кільці ИфТ*] ізоморфна Р*.

Розділ 3 присвячено иідгруповін будові групи унітрикутішх перетворень афінного простору пал полем к. Параграф 3.1 дає характерпзацію нормальних дільників цієї групи в контекстах алгебраїчних та абстрактних груп і описує решітки відповідних підгруп.

Теорема 3.2. Підгрупа Іі < иЗп буде нормальною (в абстрактному розумінні) тоді і тільки тоді, коли вона містить всі таблиці и Є ІІЗп, висоти не більше И(Н), причому, якщо висота 1і{1!) = Іі(Н), то старший коефіцієнт таблиці II лежить в деякій підгрупі Л адитивної групи поля к.

Теорема 3.3. Решітка нормальних дільників (в абстрактному розумінні) групи \)Зп ізоморфна решітці ф де — примірник решітки підгруп адитивної групи

лед,

поля к.

Теорема 3.5. Підгрупа II буде замкненою нормальною підгрупою V 3„ тоді і тільки тоді, коли вона містить всі таблиці із V Зп висоти менше деякого її Є С}п.

Наслідок 3.5.1. Решітка замкнених нормальних дільників групи 173„ ізоморфна (Ц'п.

У параграфі 3.2 описуються характеристичні підгрупи групи унітрикутішх перетворень. Перша теорема встановлює, що висота таблиць не змінюється при дії довільного автоморфізму групи унітрикутних перетворень, а наступні дві теореми дають характерпзацію цілком інваріантних підгруп груші унітрикутних перетворень та описують решітку цих підгруп.

Теорема 3.6. Висота ш«блиі|ь ізі73п с інваріантом відносно дії групи її автомор-фізмів Ані 17 Зп.

Теорема 3.8. Підгрупа II < {У$п буде характеристичною тоді і тільки тоді, коли вона містить всі таблиці із 17 Зп висоти строго меншої деякого її Є <5„.

Наслідок 3.8.1. Решітка характеристичних підгруп групи VЗп ізоморфна решітці Я'п-

Цікавий ще одим наслідок з попередніх теорем. Виявляється множина характеристичних підгруп иЗ„ збігається із множиною її замкнених нормальних дільників.

Наслідок 3.8.2. Характеристичними підгрупами -групи VJ„ с замкнем нормальні дільники і тільки вони.

В наступному розділі 3.3 описується нормальна будопа груші Жоик'гра. Виявляється, що кожна нормальна підгрупа п групі Жонк’сра мас. структуру нанівпрямого добутку деяких простіших підгруп.

Теорема ЗЛО. Кожна нормальна підгрупа II а 3„ с напівприми іг добутком О \Т характеристичної підгрупи G групи унітрикутішх перетворень та деякої підгрупи Т стандартного алгебраїчного тора вимірності п — {/(G).

Наслідок ЗЛ0.1. Кожна замкнена нормальна підгрупа Н в Jr, с папівпрямим добутком G\T характеристичної підгрупи G групи унітрикутних перетворень та деякої замкненої підгрупи Т стандартного алгебраїчного тора вимірності п-d(G).

Наступна теорема характеризує нормальні дільники.

Теорема ЗЛІ. Підгрупа II < Jn буде нормальною тоді і тільки тоді, коли вона містить таблиці вигляду

(.ті,..., £*, -4Tk+\ + nt+I(A'it),..., s„x„ +о„(А„_і))

висоту меншої деякого /і € Q,,, де набори (?т+і,. .. ,s„) коефіцієнтів при .г, лежать в деякій підгрупі Т стандартного алгебраїчного тора вимірності п — d(G).

Теорема ЗЛ2. Підгрупа II < J„ буде замкненим нормальним дільником тоді і тгіь-ки тоді, коли вона містить таблиці вигляду

(жь. .. ,.т*,¿№+1 + ам(Х і,),.. .,s„x„ + ))

висоти меншої деякого h Є Q„, де набори (s^+j,..., i„) коефіцієнтів прихі лежать а деякій замкненій підгрупі Т стандартного алгебраїчного тора вимірності п — d(G).

Описано решітки нормальних підгруп груші Жоик’сра та решітку замкнених нормальних підгруп. '

Теорема 3.13. Решітка нормальних підгруп групи Жонк’сра ізоморфна решітці С„.

В ноиередпій теоремі решітка £„ є підрешіткою декартолого добутку L„ = Qn х де Ljk — решітка підгруп алгебраїчного тора вимірності І.\

Теорема 3.14, Решітка замкнених нормальних дільників групи Жонк'сра ізоморфна решітці Сп.

і’ешігка С„ конструюєгься- аналогічно Сп із решіток Q,, та решіток замкнених підгруп алгебраїчних торій.

Питании про характеристичні підгрупи не становить інтересу, оскільки, як довели 10. Боднарчук та О. Пилявська3, всі автоморфізмі! груші Жонк’ера внутрішні, а тому нормальні підгрупи будуть одночасно і характеристичними.

В останньому розділі <1 викладені результати, що з’явилися внаслідок дослідження гіпотез якобіана та гіпотез про лінеаризацію автоморфізмів афінного простору. Відомо, що гіпотезу якобіана досить довести для “однорідних" автоморфізмів степеня 3. Г, Мейстерс4 висловив гіпотезу, що таке твердження є правильним для майже всіх перетворень.

Гіпотеза (Г. Мейстерс). Нехай F = А' 4- II кубічний однорідний, поліноміальний автоморфізм якобіан якого J II .має визначник 1. Тоді обернене до поліноміальпого иідображі ння sF існує для майже всіх s Є Ik’ (крім скінченного набору коренів з одиниці).

Ця гіпотеза виявилась неправильною, але питання залишилось цікавим при переході до різних підкласів ноліноміальних автоморфізмів.

У параграфі -1.1 доводиться певне послаблення гіпотези Г, Мейстерса, точніше, то для трикутних перетворень скінченного порядку гіпотеза Г. Мейстерса завжди с правильною. '

Теорема 4.1. Нехай k — деяке поле та F Є 3„ — трикутне відображення вигляду

F = («їх! + о, ,s2z2 + «2(24), • ■ ■, snxa + a„(XK-t))-

'Годі, якщо Fm = Id для деякого т Є N і характеристика поля Ik не ділить т, то існує трикутний автоморфізм Є 3„ такий, що tp~}F<p Є Affn(k).

Доводиться також посилена гіпотеза Г. Мейстерса для трикутних перетворень.

Теорема 4.2. Нехай k — деяке паяє та F Є U3n — трикутне відображення вигляду

F = (ті -f а і , х*2 4- ... ,х„ -f пґі(Агп_і)).

■110. Гипіішрчук, О. lliLitiuCbhu, Проаитоморфішн афінних груп Жонк’ера і Кремоші, тези допоиіді на Всеукраїнській науковій конференції "Розробка та застосування математичних методів в науково-гехтчннх дослідженнях" tЛенін 5-7 жоития li)05 p.), частіша і, с. 10.

1 О. Mttbtt rs, ППаІеЛ poiyotHorphisius comjugate to Dilaiions, Proceedings of the comference “invert-ii>!e 1'оіуіютілі maps", Сіпаєш, July ‘1-8, 190!.

Цля лашжс ваг .1 £ 7>,(lfc) i сиу с шрим/тнс ыдабрам cu.itя tp c: Cr„ шике. що p'

AJf„(k). Тпчнітг. якщо

/ -ч, О • • ■ І) \

fí>i Л) ■ ■ • О

.1= ; . .

\«„1 ""З W

то д ui oci.r матриць таки.г, що s\l • ■ • s¡," ф- І дія деякої скінченної множини вектори. Є%п, що залежать від F. існус відображення у? Є ¿J,, оигляді/

•г = (.ї’і 4“ í/i. -ї‘2 4- ^(-П)..v» 4- <f »(-Vt-i))

такс, що ір \\F<f = (#і-Гі 4- ¿i, s2.r-2 4- С-хІХі )> -.

. . . , S'„_|.г„_, 4- /п_і(Л’„_2). ч„.г„ -І- (п{Х„._(}).

де Сг{Хі) лінійні многочлени.

У параграфі 1.2 доводиться псине посилення гіиотеш Г. Меііпереа для <іпми> иілмю ген гшіх відображень та доводиться, то для сильно цільно і еитнпх шдоОра/Кі нь (КІНЧСНПОт Порядку ГІШПІЧП Г. М (*МС’І Opea HlfKOIPyf м.ся ’.аижди.

Теорема 4.6. Исхпїі lk иоле г F Є Сг„ ?ю.'і/т,мтмь»с ctidoñpa.w піни вирляді/ І -X 4- // л сильно тлипоиіснтиою лиііпрпцпо •!//. Тоді д ія ваг .1 Є (■{!') П 1\J *) imihii.r. що • • • .sj*’ І для делкого скінченного напорі/ <./ кшорт /„] г У.",

існує лінійно іириангульоеис перетворення Є Сг„ такс, що p~\\Fу Є Affn('s.}.

Теорема 4.8. Нехай fe -- ноле і F Є Стп по.ііноміальнс відображення е>нг \>ідц F — X -f // .і сніьно нільнопннтною лнпирицоо .1 //. Тоді, лкщо (-s/•')"’ = І для д< нко.'і* s Є fo* і п) (Е ЇМ такі, що .горактсріїсіїшка по.tu !к ік ді іить т. то існує іпсгчг іирчп.н,'у.п,ов)іии tmnwvopijn.in р Є Сг„ тиклн. що p'lsl‘'р t- Aff„{'*.)

Попередні теореми мають ще одне застосукаїшя. У параграфі 1.Ї наводп гься кой і р-прнклад до гіпотези лінеаріпапії та проблеми нерухомих точок над полем прос ті характеристики.

Роботи автора за темою дисертації

[1] II. Поанснко, Нормальные подгруппы группы Жонкьера над полем характеристики ноль. Материалы третьей международной конференции по алгебре памяти М. И. Каргаполоаа, 2.4-28 августа 1993 г., Красноярск, 131-132.

[2] Н. ¡ьапенко, Нормальна будова груші Жоик’сра над полем нульової характеристики, Український математичний журнал, 46, №6 (1994), 692- С98.

[3] //. Іванеико, Характеристичні підгрупи груші Жонк'сра над полем нульової характеристики, Український математнчішй журнал, 47, №1 (1995), 111-113.

[4] -V. Іішкпка, Some classes of lmearizable polynomial maps, Тези доповідей Всеукраїнської наукоіюї конференції “Розробка та застосування математичних методі» u науково-технічних дослідженнях” (Львів 5-7 жовтня 1995 p.), частина 1, с. 55-50.

Ключові слова: група Кромонн, група Жонк’сра, алгебраїчна група, автоморфізм» афінного простору, трикутні автоморфізмі!.

'еаненко Н. Л., Нормальное строение и линеаризация групп треугольных автомор-нзмов .афинпого пространства. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени тдндата физико-математических наук по специальности 01.01.00 — алгебра н тоо-!Iя чисел. Киевский национальный университет, Киев, 1995.

В диссертации исследуются действия грун треугольных автоморфизмов афшшого :)остранстпа на кольце многочленов от многих переменных, описаны решётки нодмо-^лей кольца многочленов относительно действия групповых колец групп треуголь-:лх автоморфизмов. Найден критерий нормальности подгрупп групп треугольных ггоморфцзмов, описано строение её нормальных и характеристических подгрупп в >ычном и топологическом контексте и решётки таких подгрупп. Изучаются классы ггоморфцзмов, сопряженных к линейным и установлено несколько признаков лпнеа-13ирусмости треугольных и не треугольных автоморфизмов афинного пространства.

mnenlo N. L.y Normal structure'iand linearization of groups of triangular automorphisms 'affine space. Manuscript. Thesis of dissertation for obtaining of the degree of candidate sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06—algebra and number theory, iev national university, Kyiv, 1995

There are investigated the actions of triangular automorphism groups on the polyno-ial ring of multiple variables, described the lattices of group ring modules for groups of ¡angular automorphisms of affine space. The crilerions for the subgroup of the groups triangular automorphisms to be invariant and fully invariant are found, there are de-ribed the structure of such subgroups in abstract and topological settings and their ttices. Classes of automorphisms conjugated to linear automorphisms are studied and veral conditions of lincarizability of triangular and noil-triangular automorphisms are ated.

Зам. №52 Тираж 00 ВПЦ “Ки'нзськнй утверентет”