Нормальные моды и релаксационные процессы в магнитоупорядоченных веществах с одноионной анизотропией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

Введение

Глава I.

СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ И МАГНИТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

§ I. Диаграммная техника для операторов универсального 15 базиса.

§ 2. Спектр магнитных возбуждений легкоосного ферромаг- 20 нетика. Устойчивость, затухание.

§ 3. Диагонализация спинового гамильтониана легкоплос- 31 костного ферромагнетика.

§ 4. Модифицированный вариант диаграммной техники для спиновых операторов.

§ 5. Релаксация голдстоуновской моды в легкоплоскостном 44 ферромагнетике.

Глава II.

ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДВУХПОДРЕШЕТОЧНЫХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ

§ I. Нормальные моды и амплитуды взаимодействия в легко- 48 осном антиферромагнетике.

§ 2. Динамика легкоосного АШ при повышенных температурах.

§ 3. Взаимодействие спиновых волн с ядерной подсистемой.

§ 4. Сравнение с экспериментом.

Глава III.

ВЛИЯНИЕ ОДНОУЗЕЛЬНЫХ (КВАДРУПОЛЬНЫХ) ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НА М~ НАМИКУ ЯДЕРНЫХ СТЕПЕНЕЙ СВ0Б0ДО ФЕРРОМАГНЕТИКОВ

§ I. Квадрупольное расщепление спектра ядерных спиновых 63 волн ферромагнетика.

§ 2. Флуктуационное затухание ЯСВ в ферромагнетике.

§ 3. Динамика ядерной подсистемы в без дисперсной области; 76 моменты квадрупольно расщепленных линий.

Глава 1У.

КВАДРУПОЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ И ОБМЕННОЕ УСИЛЕНИЕ В ЯДЕРНОЙ ПОД

СИСТЕМЕ ЛЕГКОПЛОСКОСТНЫХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКОВ

§ I. Диагонализация ядерного гамильтониана при наличии 78 одноузельных взаимодействий.

§ 2. Флуктуационное затухание ЯСВ в АФЛП.

§ 3. Вторые моменты квадрупольных резонансов в АФЛП.

Значительная часть исследований, проводимых по физике конденсированного состояния, связана с магнитными явлениями. Сюда относятся исследования как коллективных движений в магнитоупоря-доченных веществах, так и резонансных и релаксационных процессов в парамагнитной фазе. Кроме того, около половины всей деятельности по фазовым переходам относится к магнетизму, и в рамках теории магнетизма были сформулированы простейшие модели упорядочения -модели Изинга и Гейзенберга. Бесспорен вопрос о практической ценности исследований в области магнитных явлений для нужд техники. С теоретической точки зрения весьма привлекательной представляется возможность описания столь широкого класса явлений в рамках единого подхода - квантовой статистики спиновых систем.

К настоящему времени построение последовательной микроскопической теории магнетизма полностью не завершено, что обусловливает живой интерес к этой области. Со времени основополагающих работ Гейзенберга /I/ и Ф.Блоха /2/ основной прогресс в изучении спиновых волн в магнитоупорядоченной фазе был связан с употреблением бозонных представлений спиновых операторов: представления Холстейна - Примакова /3/ и представления Дайсона - Малеева /4/ (для антиферромагнетиков см. также /5/). Бозонные методы принципиально не MoiyT описать парамагнитного состояния или состояний, близких к точке фазового перехода Тс. Реально их применимость ограничена рассмотрением малых отклонений от полного магнитного упорядочения при температурах Т^.ТС. Недостатками бозонных методов являются неэрмитовость представления /4/ и необходимость делать предположение 5 С ^ - величина спина) при конкретных вычислениях в рамках формализма /3/. До недавнего времени единст венной работой, в которой строго исследовалось взаимодействие спиновых волн С при Т « Тс), являлась работа Дайсона /6/, не получившая дальнейшего развития.

Что касается парамагнитных систем, то при их описании упот -реблялись разнообразные подхода, использующие в своей основе уравнения движения с неконтролируемыми расцеплениями высших корреляций.

Конструктивным шагом вперед явилось создание диаграммной техники для спиновых операторов /7,8,9/ , использующей аналог теоремы Вика для операторов, коммутаторы которых не являются с -числами. В рамках этого метода удалось не только переполучить строгие результаты Дайсона /6/ в низкотемпературной области , но и получить некоторые новые результаты, в частности, для рассеяния спиновых волн на флуктуациях параметра порядка вблизи Тс. Не менее важным результатом явилось построение в рамках диаграммной техники для спиновых операторов высокотемпературных разложений /7/.

Данный подход не получил, однако, широкого распространения ввиду неудачного характера графических обозначений и отсутствия процедуры диагонализации спинового гамильтониана, аналогичной известному к - от преобразованию /3,Ю/.Последнее существенно затрудняло применение диаграммной техники для спиновых 'операторов к широкому классу реальных систем.

Сложности теоретического описания удваиваются при рассмотрении магнитных материалов с сильной одноионной анизотропией, главным образом соединений переходных и редкоземельных элементов, а . также систем ядерных спинов с квадрупольными взаимодействиями.Характерной особенностью таких веществ является наличие у них многих ветвей спиновых возбуждений ( даже в случае одного иона в элементарной ячейке).это связано с тем, что одноузельная часть спинового гамильтониана представляет собой матрицу общего вида ранга 2<!+1 с не эквидистантном спектром.Применительно к подобным задача такие методы исследования изотропных ( или слабоанизотропных) магнитных систем, как диаграммная техника для спиновых операторов (не говоря уже о бозонных представлениях /3,4/), оказываются малоэффективными /II/.Единственным практически используемым методом в теории магнетиков с одноионной анизотропией до последнего времени оставалась так называемая "многоуровневая псевдобозонная техника"( см., например,/12/ ), строящаяся на экситонных операторах, соответствующих возбужденным состояниям магнитного иона в кристаллическом поле и обладающих бозевскими коммутационными соотношениями.Так как бозевские коммутационные соотношения в данном случае не являются точными, применимость этого подхода ограничена расчетом спектров невзаимодействующих возбуждений при низких температурах. Что же касается процессов взаимодействия экситонов друг с другом, а также динамики квазичастиц, связанных с переходами между возбужденными уровнями кристаллического поля, то эти вопросы не могут быть корректно рассмотрены в рамках псевдобозонной техники.

Существующие трудности могут быть преодолены, если заметить, что спиновые операторы принадлежат к классу операторов конечного ранга ( ранга 2£+1). Операторы конечного ранга могут быть разложер ны по конечному базису (содержащему (2,5+ I) элементов), и любые их коммутаторы относятся к тому же классу. Такой обобщенный под -ход, основанный на разложении всех операторов задачи по базисным операторам Х*"" , связанным с системой собственных функций одно-уз ельного гамильтониана и обладающим весьма простыми свойствами, был развит в работах /[3,14,15/ в рамках этого подхода оках Базисные операторыХ^^фигурируют в теории магнитного резонанса под названием проекционных операторов (см.,например,/16/).Диаграш-ная техника для описания процессов в парамагнитной фазе до сих пор практически не употреблялась. зывается возможным построение диаграммной техники, обеспечивающей, дифференцированное рассмотрение различных ветвей возбуждений маг -нитного кристалла. Следует заметить, что упомянутая диаграммная техника для операторов конечного ранга является непосредственным обобщением диаграммной техники для спиновых операторов, не ведущим к существенному усложнению математического аппарата. С другой стороны, диаграммная техника для спиновых операторов может рассматриваться как некий . вырожденный частный случай диаграммной техники для операторов конечного ранга, пригодный для описания магнитных систем с эквидистантным спектром.

Диаграммная техника для операторов конечного ранга была сформулирована сравнительно недавно /14,15/, и в магнетизме в ее рамках значительных новых результатов до сих пор получено было мало (-см.,однако, работу /17/, в которой методом высокотемпературных разложений исследуется фазовый переход в ферромагнетике с одноион-ной анизотропией типа "легкая плоскость"). Связано это в первую очередь с тем, что наличие однотонной анизотропией почти всегда требует проведения диагонализации гамильтониана для определения нормальных мод системы и амплитуд энгармонизма. Как раз эта за -дача (см. выше) до сих пор не была решена даже в рамках диаграммной техники для спиновых операторов. Б непопулярности диаграммной техники для операторов конечного ранга сыграли роль также не совсем удачный характер графических обозначений (см.,однако, /15/), а такжеотсутствие однозначного и универсального рецепта введения диагональных базисных операторов, совместимого с выделением единичного оператора.

Главной целью диссертационной работы является построение метода решения задач о нормальных модах и амплитудах энгармонизма для магнитных систем с одноионной анизотропией. Ввиду того, что значительная доля относящихся сюда вопросов (например, вопрос о диа-гонализации спинового гамильтониана) имеет более широкий контекст, часть задач в целях простоты поставлена и решена для магнитных систем без одноионной анизотропии в рамках диаграммной техники для спиновых операторов. Основное внимание в диссертации уделяется динамическим свойствам спиновых возбуждений в магнитоупорядо-ченной фазе. Сформулирован также диаграммный подход к проблеме формы линии магнитного резонанса в парамагнитной фазе. Вопросы, относящиеся к фазовым переходам в магнитных системах с взаимодействием ближайших соседей, в диссертации не рассматриваются. Ренормгруппо-вой подход к этим вопросам см. в работах /18,19/, а попытку микроскопического рассмотрения для изотропной модели Гейзенберга в рамках диаграммной спиновой техники-в пионерской работе /7/.

Около половины объема диссертации (гл. Зи4) посвящено изучению динамических свойств ядерной подсистемы ферро- и антиферромагнетиков с квадрупольным взаимодействием. Помимо актуальности с точки зрения эксперимента, ядерная подсистема привлекательна еще и тем, что представляет собой весьма чистый объект для теоретического исследования. Основные взаимодействия в ядерной подсистеме (например, сул-накамуровское взаимодействие /20,21/) являются далъно -действующими, а наличие сильного сверхтонкого поля, действующего на ядерные спины со стороны упорядоченных электронных спинов, "уводит" ядерную подсистему далеко в сторону от точки фазового перехода.

Значительное внимание в диссертации уделяется развитию графического аппарата диаграммной техники, в частности, использование уравнений дайсоновского типа для функций Грина, а также составных вершин позволяет настолько приблизить диаграммную технику для спиновых операторов к стандартной диаграммной технике /22/, насколько это оправдано физикой дела.

В первой главе диссертации излагается диаграммная техника для операторов конечного ранга, основанная на введении диагональных базисных операторов согласно работам /23,24/ •Получающийся при этом вариант диаграммной техники позволяет единым образом рассматривать системы с различными значениями спина иона $ и называется в дальнейшем диаграммной техникой для операторов уни -версального базиса. Исследование, проведенное на примере легкоос-ного ферромагнетика при низких температурах, показывает,что при достаточно больших значениях анизотропии 2> (порядка обменного взаимодействия, ф S^o ) энергетический спектр системы помимо акустической ветви содержит также магнитные экситоны, связанные с многократным возбуждением отдельного иона и устойчивые по отношению к распаду на акустические магноны. Вычислены времена жизни возбуждений в процессах их рассеяния друг на друге. Амплитуды рассеяния с участием акустических магнонов удовлетворяют принципу Адлера. Обсуждаются вопросы, связанные с необходимостью диагонализации гамильтониана при более сложной форме кристаллического поля.

Во второй части первой главы применительно к ферромагнетику с анизотропией обменного взаимодействия типа "легкая плоскость" описан метод диагонализации спинового гамильтониана, предложенный в работе /25/. Для исключения в гамильтониане.недиагональных слагаемых типа ( э.с.) применяется унитарное преобразование . вида являющееся обобщением канонического преобразования Боголюбова /3, 10/ на спиновые гамильтонианы. "Угол поворота" связан с лл^ параметрами простыми соотношениями: ofu R * ~ ^к. ; ^ & \с

ЛГ^. Заметим, что бозонный аналог преобразования (I) полностью совпадает с и - iT преобразованием. В теории магнитного резонанса встречаются преобразования типа (I) (см., например, /26/), сопровождающиеся разложением экспонент в ряд с точностью до нескольких ведущих членов при малых R, . Поскольку в магнитоупоря-доченных веществах при наличии голдстоуновской моды обычно реализуется противоположный случай ( R^-^ оа при k-^o ), преобразования типа (I) в диссертационной работе и соответствующих статьях всегда проводятся точно. Обратим внимание на то, что гамильтониан, содержащий исходно лишь квадратичные по спиновым операторам члены, в результате преобразования (I) превращается в гамильтониан, содержащий многоспиновые члены сколь угодно высоких порядков. Применительно к легкоплоскостному ферромагнетику на основе полученных выражений для спектра спиновых волн (£ ^ с^ к; -при К 0) и амплитуд ангармонизма вычисляются релаксационные частоты голдстоуновской (или квазиголдстоуновской при наличии внешнего магнитного поля Н) моды, обусловленные процессами рассеяния магнонов друг на друге и на флуктуациях параметра порядка при повышенных температурах.

Во второй главе диссертации излагаются результаты по динамике спиновых возбуждений в двухподрешеточных лепсоосных антиферромагнетиках, полученные в работах /27,25/с использованием процедуры диагонализации спинового гамильтониана. При температурах Т вычислены времена жизни низкоактивационных магнонов, связанные с четырехволновыми процессами рассеяния. Полученные результаты хорошо описывают экспериментальные данные /28,29/, полученные на Mwf^

Т ^ =68 К) вблизи спин-флоп перехода (Н^НС =93 кЭ) при температурах Т = 5 15 К.

При повышенных температурах Т < Т ы в динамике легкоосных антиферромагнетиков появляются новые черты, связанные с поляризацией подрешеток в магнитном поле и с процессами рассеяния спино- ■ вых волн (СБ) на флуктуациях продольной компоненты параметра порядка. Эти вопросы исследуются в § 3 главы II. Показано, что при учете поляризации подрешеток спектр спиновых волн легкоосного антиферромагнетика становится более жестким, в частности, увеличивается поле спин-флоп перехода. Результаты для флуктуационного затухания спиновых волн при повышенных температурах качественно согласуются с экспериментом /28/.

При гелиевых температурах, когда вклад в затухание спиновых волн, обусловленный собственными процессами, становится мал, на первый план выступают процессы, связанные с процессами упругого рассеяния магнонов на тепловых флуктуациях спинов ядерной подсистемы. Расчет, приведенный в § 4 главы II, показывает, что подобные процессы дают вклад в релаксацию спиновых волн линейный по волновому вектору и не зависящий от температуры, в хорошем согласии с экспериментом /29/.

В третьей главе диссертации рассматривается влияние квадру-польных взаимодействий на динамику ядерных степеней свободы ферромагнетиков. Отвлекаясь от некоторых деталей, взаимодействие квад-рупольных моментов ядер с электрическим полем можно рассматривать как одноионную анизотропию типа "легкая ось", действующую на ядерные спины. При гелиевых температурах, (Т»^^^ 0.01 К,^-- характерная энергия ядерных возбуждений) такая анизотропия приводит к коллективизации в равной степени всех &Т ветвей ядерных колебаний, соответствующих изменению ядерного спина J^ на единицу.

Если динамические сдвиги частоты ( ДРЧ ) образующихся ядерных спиновых волн сравнимы с интервалами квадрупольного расщепления, то для определения спектра нормальных мод системы требуется проводить диагонализацию гамильтониана методом, обобщающим преобразование ( I ) на гамильтонианы, выраженные в терминах операторов универсального базиса.

В §1 главы III приводится эффективный гамильтониан ядер -ной подсистемы/20,21, ЗС/ , содержащий косвенные взаимодействия ядерных спинов друт с другом через виртуальные электронные маг-ноны. Коротко описана процедура диагонализации ядерного гамиль -тониана, проанализированы различные предельные случаи для спектра квадрупольно расщепленных ЯСВ при величине ядерного спина . I = I. В случае, когда ДСЧ мал по сравнению с интервалами квадрупольного расщепления, спектр ЯСВ получен в общем виде для произвольных значений I . Интересно отметить, что для ферромагнетика диагонализумцее преобразование сводится, в отличие от (I), к чисто вещественным поворотам.

В §2 главы III проведена классификация петлевых диаграмм» определяющих времена жизни возбуждений ядерной подсистемы.По-казано, что в дайсоновском варианте рассмотрения петлевые диаграммы группируются в два класса: собственно-энергетические графики и концевые графики. При температурах Т , где Т*--температура исчезновения ядерных спиновых волн, определяемая из условия ^ ((j~- затухание ЯСВ, Лбг - величина ДСЧ), основную роль в динамике ядерной подсистемы играют собственно-энергетические графики, приводящие к лоренцевой форме линии магнитного резонанса. Простейшие из этого класса графиков Соднопетлевые) определяют флуктуационное затухание ЯСВ. Соответствующие релак -сационные частоты вычислены в работе в рамках диаграммной техники для операторов универсального базиса в случае, когда ДСЧ малы по сравнению с интервалами квадруполъного расщепления.

В §3 главы III показано, что при температурах Т^Т* » когда дисперсия ядерных спиновых волн пропадает, собственно-энергетические графики перестают играть роль, и релаксационные ха -рактеристики бездисперсных уровней ( т.е. локализованных згзель-ных возбуждений) определяются концевыми диаграммами. Простей -шие из концевых диаграмм ( однопетлевые ) определяют второй момент резонансной линии.Соответствующие вторые моменты квадруполь-но расщепленных линий вычислены в работе ъ рамках диаграммной техники для операторов универсального базиса.

В четвертой главе диссертации рассматривается влияние квад-рутголъных взаимодействий на динамику ядерных степеней свободы легкоплоскостных антиферромагнетиков ( АФЛП ). По содержанию а построению эта глава представляет собой параллель к главе III.Содержащиеся здесь результаты имеют большую актуальность с точки зрения эксперимента, так как вследствие эффекта обменного усиления в антиферромагнетиках спин-волновые свойства ядерной подсистемы проявляются значительно сильнее, чем в ферромагнетиках. По этой же причине оказывается возможным описание ядерной подсистемы в рамках эффективного гамильтониана даже в случае глубокого ДСЧ, когда низколежащая ветвь ЯСВ представляет собой голдстоунов-скую ( или квазиголдстоуновскую ) моду.

В главе 1У подробно изложена процедура диагонализации ядерного гамильтониана антиферромагнетика, представляющая собой комбинацию нескольких "поворотов" на мнимые и вещественные утлы С ср. (I) ). Эту процедуру удается свести к конечным преобразованиям коэффициентных матриц гамильтониана. Для антиферромагнетиков как и для систем с разноионной анизотропией ) такие преобразования оказываются неунитарными и могут приводить к сильному возрастанию коэффициентов гамильтониана. Указанная неунитарность3^ является математическим выражением эффекта обменного усиления,

В главе 1У определен спектр квадруполъно расщепленных ветвей ЯСВ и затухание ЯСВ, обусловленное их рассеянием на флуктуа-циях. Затухание квазиголстоуновской моды С к^о, Доказывается пропорциональным lc ^ при (£> а. О и к при 0 ). Вычислены также вторые моменты квадрупольных резонансов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /23 , 24 , 25 , 27 , 31 , 32, 33, 50, 51/. Не путать с унитарным преобразованием гамильтониана.

ГЛАВА I

СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ И МАГНИТНЫЕ ЭКСИТОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКАХ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрен ряд вопросов динамики магнитоупоря-доченных веществ с одноионной анизотропией. Конкретно исследуемые вещества включают ферро- и антиферромагнетики, а также ядерные подсистемы ферро- и антиферромагнетиков с квадрупольным взаимодействием. Наличие одноионной анизотропии существенно меняет вид спектра возбуждений (цриводя к появлению новых ветвей) и характер релаксационных процессов в магнетиках.

Рассмотрение проведено в рамках единого метода, основанного на диаграммной технике для спиновых систем. Развитый в диссертации подход позволяет описывать свойства магнитных систем со сложной структурой при помощи функций Грина, каждая из которых связана с определенной ветвью спиновых возбуждений. Область применимости используемого метода не ограничена по температуре и включает также парамагнитное состояние.

Полученные результаты мозут быть использованы для описания свойств редкоземельных и переходных элементов и стимулируют проведение экспериментов по ядерному квадрупольному резонансу в ферро- и антиферромагнетиках.

Основными результатами, полученными в работе, являются следующие:

I. Сформулирован модифицированный вариант диаграммной техники для магнитных систем с одноионной анизотропией. Использование универсального набора диагональных базисных операторов позволяет единым образом описывать системы с произвольными значениями спина иона. Предложена цроцедура диагонализации спинового гамильтониана, позволяющая находить спектр коллективных возбуждений системы и амплитуды энгармонизма.

2. Проанализированы условия существования оптических ветвей низколежащих возбуждений магнитоупорядоченных кристаллов - магнитных экситонов. Показано, что магнитные экситоны устойчивы по отношению к распаду на магноны при значениях анизотропии порядка обменного взаимодействия ( D )• Для легкоосного ферромагнетика при 1) § X устойчива лишь коротковолновая часть экситон-ного спектра.

3. Исследовано поведение релаксационных частот легкоосного антиферромагнетика вблизи спин-флоп перехода, обусловленных процессами четырехволнового рассеяния, а также рассеяния магнонов на флуктуациях спинов электронной и ядерной -подсистем. Полученные температурные и полевые зависимости хорошо согласуются с экспериментальными данными /28,29/.

4. Получен спектр квадрупольно расщепленных ветвей ядерных спиновых волн в ферромагнетиках. Вычислены времена спин-спиновой релаксации ядерной подсистемы в условиях квадрупольного расщепления спектра, обусловленные сул-накамуровским-взаимодействием.

5. Для ядерной подсистемы легкоплоскостного антиферромагнетика с квадрупольным взаимодействием в условиях глубокого динамического сдвига частоты с учетом трехспиновых взаимодействий, рассчитаны релаксационные частоты ЯСВ, обусловленные рассеянием ЯСВ на тепловых флуктуациях продольной компоненты ядерных спинов.

6. Вычислен вклад обменно усиленного магнон-фононного взаимодействия во вторые моменты квадрупольно расщепленных линий ядерного магнитного резонанса в антиферромагнетиках. Полученный вклад имеет более сильную полевую зависимость по сравнению с сул-накамуровским вкладом и может быть выделен экспериментально.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую признательность моим научным руководителям: профессору М.А.Савченко - за повседневное внимание, ценные советы и помощь в работе; к.ф.м.н. В.С.Лутовинову - за ряд идей, позволяющих с оптимизмом смотреть в будущее.

1. Heizenberg W. Zur Theorie des Ferromagnetismus.- Zs.Phys., 1928, v.49, №9,10, p.619-636.

2. Bloch P. Zur Theorie des Ferromagnetismus.- Zs.Phys., 1930, v.61, №3,4, p.206-219.

3. Holstein T., Primakoff H. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet.- Phys.Rev., 1940,v. 58, №12, p.1098-1113

4. Малеев С.В. Рассеяние медленных нейтронов в ферромагнетиках.-ЖЭТФ, 1957, т.33, в.4, с.1010-1021.

5. Anderson P.W. An approximate quantum theory of the antiferro-magnetic ground state.- Phys.Rev., 1952, v.86, №5, p.694-701.

6. Dyson P. General theory of spin wave interactions. Thermodynamic behavior of an ideal ferromagnet.- Phys.Rev., 1956, v.102, №5, p.1217-1244.

7. Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.А. Термодинамика идеального ферромагнетика.-КЭТФ, 1967, т.53, в.1, с.281-299.

8. Пикалев Э.М., Савченко М.А., Шойом Й. Термодинамика и корреляционные функции гейзенберговского ферромагнетика.-ЖЭТФ, 1969, т.55, в.4, с.1404-1414.

9. Изюмов Ю.А., Кассан-оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. Полевые методы в теории ферромагнетизма.-М.^ Наука, 1974.

10. Боголюбов Н.Н. О сверхтекучести бозе-систем.- Изв.АН СССР, Сер.физ., 1947, т.II, М, с.77-90.

11. Кащенко М.П., Балахонов Н.Ф., Курбатов Л.В. Спиновые волны в гейзенберговском ферромагнетике с одноионной анизотропией.-ЮТФ, 1973, т.64, в.1, с.391-400.

12. Allen S.J., Guggenheim H.J. Magnetic excitations in anti-ferromagnetic CoF2.- Phys.Rev.B, 1971, v.№3, p.937-968.

13. Зайцев P.O. Обобщенная диаграммная техника и спиновые волны в анизотропном ферромагнетике.- ЖЭТФ, 1975, т.68, в.1, с.207-215.

14. Kaplan J.I. Correlation times, line width and cross relaxation of spin systems in solids.- Amer.J.Phys., 1960, v.28,5» P.491-494.

15. Johnson J.W., Wang Y.L. Series expansions for an easy-plane spin-one ferromagnet.- Phys.Rev.B, 1981, v.24-, №9, p.5204-5213.

16. Дзялопшнский И.Е. 0 характере фазовых переходов в геликоидальное или синусоидальное состояние магнетиков.- ЖЭТФ, 1977, т.72, в.5, с.1930-1945.

17. Савченко М.А., Стефанович А.В. О фазовых переходах в сложных магнитных структурах.- ЖЭТФ, 1978, т.74, в.6, с.2300-2309.

18. Suhl Н. Effective nuclear spin interactions in ferromagnets. Phys.Rev, 1958, v.109, №2, p.606.

19. Nakamura T. Indirect coupling of nuclear spins in antifer-romagnets with particular reference to MnF2 at very low temperatures. -Progr.Theor.Phys. , 1958, v.20, №4, p.542-552.

20. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории ноля в статистической физике.- М.: Физ-матгиз, 1962.

21. Гаранин Д.А., Лутовинов B.C. Динамические свойства ферромагнетиков с одноионной анизотропией типа "легкая ось".-ТМФ, 1983, т.55, Ж, с.106-117.

22. Garanin D.A., Lutovinov V.S. Spin waves and excitons in ferromagnets with single-site anisotropy.- In: Proc. Int. Conf. on Magnetism of Rare Earths and Actinides, Bucharest, 1983, p.183-186.

23. Qaranin D.A., Lutovinov V.S. High temperature spin wavedynamic's of the uniaxial antiferromagnets.- Solid State Communications, 1982, v.44, №9» p.1359-1362.

24. Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах.-М.: Мир, 1972.

25. Гаранин Д.А., Лутовинов B.C. Релаксация магнонов в антиферромагнетиках с анизотропией типа "легкая ось".- Тез. докл. У1 респ. школы молодых физиков, Ташкент, 1981, с.229.

26. Kotthouse P., Jaccarino V. Antiferromagnetic resonance linewidths in MnP2.- Physical Review Letters, 1972, v.28,25, p.1649-1652.

27. Barak J., Rezende S.M., King A.R., Jaccarino V. Parrallel-pumping studies of magnon damping in Mnl^*- Phys.Rev.B, 1980, v.21, №7, p.3015-3026.

28. Евтихиев Ы.Н., Лутовинов B.C., Савченко M.A., Сафонов В.Л. Теория релаксации ядерных спиновых волн в антиферромагнетиках.- Письма в ЖТФ, 1980, т.6, в.24, с.I527-1531.

29. Garanin D.A., Lutovinov V.S. Spin waves in the easy-plane ferromagnets.- Physica A, 1984, v.123, №3, p.416-429.

30. Гаранин Д.А., Лутовинов B.C. Коллективные эффекты и квад-рупольный резонанс в ядерной подсистеме ферромагнетиков.-ФТТ, 1984, т.26, №9, с.2821-2823.

31. Гаранин Д.А., Лутовинов B.C. Нормальные моды и релаксационные процессы в магнитоупорядоченных веществах с одноион-ной анизотропией.- ТМФ, 1984, т.60, Щ, с.133-144.

32. Тейлор К., Дарби М. Физика редкоземельных соединений.- М.: Мир, 1974.

33. Кащеев В.Н., Кривоглаз М.А. Влияние спин-спинового и спин-фононного взаимодействий в ферромагнетике на энергетическое распределение рассеянных нейтронов.- ФТТ, 1961, т.З, т, с.1541-1552.

34. Wang J.S. Energy width of ferromagnetic-exchange magnons in a magnetic field.- Phys.Rev.B, 1972, v.6, p.1908-1912.

35. Stevens K. Matrix elements and operator equivalence connected with the magnetic properties of rare earth ions.-Proceedings of the Physical Soc. (London), 1952, v.65,387 A, p.209-215.

36. Loudon R., Pincus P. Effect of dipolar field on the anti-ferromagnetic spin-wave spectrum.- Phys.Rev., 1963, v.132, №2, p.673-678.

37. Harris А.В., Kumar D., Halperin B.I., Hohenberg P.O. Dynamics of an antiferromagnet at low temperatures: spin wave damping and hydrodynamics.- Phys.Rev.B, 1971iV.3, №3, p. 961-1024.

38. Савченко М.А. К кинетической теории высокочастотных свойств магнито-плазменных сред.- Дисс. . докт. физ.-мат. наук.-Москва, 1969.

39. Стефанович А.В. К теории релаксации спиновых волн в антиферромагнетиках в сильных магнитных полях.- ФТТ, 1977,т.19, №2, с.364-372.

40. Изюмов Ю.А., Кассан-оглы Ф.А., Скрябин Ю.Н. О методе самосогласованного поля в гайзенберговской модели ферромагнетизма.- ШМ, 1968, т.26, в.З, с.385-398.

41. Шойом Й. Спиновые волны и термодинамические величины в одно одноосном анизотропном антиферромагнетике.- ЖЭТФ, 1968,т.55, в.6, с.2355-2366.

42. Gennes de P.G., Pincus P.A., Hartmann-Boutron P., Winter J.M. Nuclear magnetic resonance modes in magnetic materials. I. Theory.- Phys.Rev.,,1963, v.129, №3, P. 1105 -1115.

43. Туров E.A., Петров М.П. Ядерный магнитный резонанс в ферро-и антиферромагнетиках.- М.: Наука, 1969.

44. Richards P. Nuclear spin wave relaxation and narrowing of NMR lines in ferro- and antiferromagnets.- Phys.Rev., 1968, v.173, ^2, p.581-591.

45. Ланкастер П. Теория Матриц.- М.: Наука, 1978.

46. Савченко М.А. Связанные магнитоупругие волны в антиферромагнетиках.- ФТТ, 1964, т.6, №3, с.864-872.

47. Lutovinov V.S., Savchenko М.А., Garanin D.A. Nuclear spin-spin relaxation in antiferromagnets.- IEEE Trans, on Magnetics, 1983, v.MAG—19, №5, p.1974-1976.