Новые подходы к исследованию временных рядов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ИСТОМИН Илья Александрович

Новые подходы к исследованию временных рядов

специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Александр Юьевич Лоскутов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Генри Эдгарович Норман доктор физико-математических наук, профессор Андрей Геннадьевич Попов

Ведущая организация

Институт космических исследований РАН

Запщта состоится " /.4.." &<й§£££#.2006 года в часов на

заседании диссертационного совета К.501.001.17 физического

факультета МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992,

Москва, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, ауд. СсрА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан "..^..".^^^£.2006 года.

МГуе I

Ученый е л ^

диссертацией доктор профессо

К • * .

П. А. Поляков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Считается, что основной задачей естественных наук является описание некоторого явления на основе наблюдений. Но такой подход не является единственным. Уже в средние века, например, главной задачей исследователей было не описание настоящего, а предсказание будущего. Считалось, что настоящие может видеть каждый и понять настоящее могут многие; другое дело будущее... В последующем стали считать, что задача прогнозирования не может быть решена без построения точной модели. Тем не менее, это не так.

В настоящее время задача прогноза и анализа сложных явлений вновь выходит на первый план. Это связано в том числе с быстрым развитием как новых математических методов, так и вычислительной техники. Как можно представить явление для прогнозирования и анализа? Вполне доста^ точным здесь оказывается использование понятия временного ряда. Временным радом можно назвать любую последовательность чисел, полученную в результате измерения через определенные промежутки времени какой-либо величины, характеризующей рассматриваемый процесс.

Задачи анализа и прогнозирования какого-либо явления могут быть сведены, в рамках нелинейной динамики, к исследованию и продолжению временного ряда на основе уже имеющейся его части. Отличительной особенностью методов, основанных на теории динамических систем, является то, что эти методы не требуют явным образом строить модель системы, породившей временной ряд. Тем не менее, задача построения модели по временному ряду — одна из основных, которая имеет непосредственную связь с проблемой прогноза.

Конечно же, задача прогнозирования в своей классической

постановке уже давно и достаточно детально рассмотрена в рамках математической статистики и не только. Давно известны алгоритмы типа авторегрессии, которые с успехом используются как для целей различных исследований так и в практическом плане, например в финансовом анализе или в метерологии. Однако, во-первых, полученные там результаты относятся чаще к линейным моделям, а в настоящее же время основной интерес для исследования представляют модели сложных нелинейных процессов. Во-вторых, и авторегрессионные методы прогнозирования, и развившиеся в последнее время нейросетевые способы не имели достаточно строгого теоретического обоснования до появления теории динамических систем. Но самое главное заключается не в обосновании, а в том, что нелинейная динамика указала пути совершенствования старых и развития новых способов прогнозирования временных рядов, наложив определенные, хотя и минимальные, ограничения на функцию связи прогнозируемого и предыдущих значений ряда. В рамках теории динамических систем, в качестве таких моделей-кандидатов используется наиболее широкий класс всевозможных дифференцируемых динамических систем, так что свойства будущей модели ограничены минимально.

Таким образом, в конце 80-х годах возникло новое направление в анализе временных рядов, связанное с использованием идей нелинейной динамики. Эти подходы применялись с тех пор и по настоящее время к широкому спектру проблем, однако в большом числе случаев результаты их использования были неоднозначны. Поэтому в последние годы стали появляться работы, в которых отмечались ограничения методов прогнозирования. То есть, возникло противоречие между сравнительно простыми, ясными и привлекательными идеями, которые лежат в основе подхода нелинейной динамики к прогнозиро-

ванию временных рядов, и трудностями, связанными с получением конкретных численных результатов прогноза, особенно для систем естественного происхождения. Иными словами, осталось большое количество открытых вопросов. Решить некоторых из них и явилось целью данной диссертационной работы.

В диссертации рассматриваются два принципиально различных метода анализа и прогнозирования временных рядов, объединенных общими принципами нелинейной динамики: метод сингулярного спектрального анализа (ССА) и группа методов под названием локальная аппроксимация (ЛА). Большинство удовлетворительных результатов применения методов нелинейной динамики, к сожалению, относится к модельным временным рядам, порожденными системами небольшой размерности. Поэтому в качестве объекта исследования были выбраны временные ряды естественного происхождения, характеризующие солнечную активность и ряд данных по температуре у поверхности Земли, Применение методов нелинейной динамики к этим временным рядам позволило, помимо прогноза, подтвердить некоторые известные идеи и выдвинуть новые гипотезы.

Другой важной задачей стала систематизация и обобщение большого количества вариантов метода локальной аппроксимации, для чего была построена обобщенная теория данного метода прогнозирования. На основании построенной обобщающей теоретической модели были сделаны некоторые выводы о предпочтительности использования того или иного варианта метода локальной аппроксимации.

Цели работы

• Применение методов нелинейной динамики для анализа сложных систем естественного происхождения.

• Построение общего решения задачи прогноза в рамках теории динамических систем.

• Разработка метода, позволяющего находить как дальние корреляции, так и скрытые закономерности во временных рядах естественного происхождения.

Научная новизна

1. В рамках теории динамических систем разработаны новые методы обработки временных рядов естественного происхождения.

2. Предложено новое обоснование гипотезы о существовании 80-летнего цикла активности Солнца.

3. Обоснован новый способ, позволяющий выявить скрытые взаимосвязи между различными системами естественного происхождения.

4. Предложено новое обоснование гипотезы о связи глобального потепления с активностью Солнца.

5. Построена обобщенная теория, позволяющая найти аналитическое решение задачи прогноза для различных вариантов метода локальной аппроксимации.

6. На основании предложенной обобщенной теории даны оценки качества прогноза.

Практическая ценность

1. Предложен новый подход к исследованию возможности прогноза временных рядов естественного происхождения.

2. Разработаны алгоритмы, позволяющие выбирать оптимальный метод прогноза в зависимости от характера и особенностей исследуемого временного ряда.

3. Предложен новый способ выявления дальних корреляций в системах различного происхождения.

Публикации

По результатам диссертационной работы опубликовано 7 работ, в том числе 4 статьи в рецензируемых журналах. Перечень публикаций приведен в заключительной части автореферата. Работа докладывалась на многочисленных научных семинарах и конференциях, среди которых Европейский астрономический конгресс JENAM (Москва, 26 мая - 3 июня 2000г.), международный конгресс по приложениям нелинейных явлений (Shanghai, China, 2005) и второй Европейский форум по нелинейности в естественных науках (Heraklion, Crete, Greece, 2005).

Содержание работы

Диссертация (123 страницы) включает введение, четыре главы, заключение и список литературы (90 ссылок).

Во введении рассмотрена история вопроса, обоснована актуальность проведенных исследований, формулируются цели, дана краткая характеристика основных полученных результатов и их научная новизна. Также приведено краткое содержание диссертации.

Первая глава представляет собой обзор литературы. Здесь рассматриваются базовые понятия математической и реальной динамических систем, временного ряда как среза такой системы и т.п. Здесь же приведен так называемый метод полной реконструкции. Данный подход является своего рода классическим при прогнозировании временных рядов в рамках нелинейной динамики. Метод позволяет во многих случаях предсказать дальнейшее поведение системы методом реконструкции соответствующих уравнений.

Задача прогнозирования временных рядов может быть решена методом полной реконструкции. Но при ее решении применительно к временным рядам естественного происхождения почти всегда возникают непреодолимые трудности, вызванные чрезвычайной сложностью процессов, порождающих эти ряды. Таким образом, к сожалению, успешное применение методов прогнозирования, связанных с полным восстановлением динамики системы, на реальных временных рядах является редким исключением.

Тем не менее, в силу своей практической значимости, задача прогноза временных радов давно решалась с переменным успехом методами, далекими как от реконструкции динамической системы, так и от нелинейной динамики вообще. Все такие методы прогнозирования временных рядов основаны на выражении предсказываемого значения рада через предыдущие его значения. Иными словами вначале интуитивным образом предлагается некоторая (часто линейная) модель с набором параметров. При помощи этой модели пытаются связать очередное значение ряда с некоторым количеством предыдущих значений. Потом прогоняют эту модель через имеющийся ряд данных и оценивают разницу между предсказываемыми моделью и реальными значениями ряда. Затем минимизируют обобщенное отклонение модели от реального поведения рада и получают параметры модели. Далее, имея модель с уточненными параметрами, можно уже попытаться спрогнозировать неизвестное значение ряда.

К вышеупомянутым методам в первую очередь следует отнести набор приемов, связанных с авторегрессией и нейро-сетевыми способами прогнозирования. Обсуждение этих способов прогнозирования также находит свое отражение во второй части первой главы.

Здесь же описываются базовые идеи прогнозирования вре-

менных рядов в рамках нелинейной динамики. Эти методы предусматривают переход от анализа требующего прогнозирования имеющегося одномерного временного ряда

Xf = ...

к анализу и прогнозированию многомерного ряда векторов Xt — Xt-j-i, xt+2, • • •, xt+r_i).

В таком ряде каждый вектор Xt образуется из определенного числа г последовательных (т.е. взятых с единичным шагом) значений исходного одномерного временного ряда.

Далее приводится сопоставление авторегрессионных способов прогнозирования со способами прогнозирования в рамках нелинейной динамики.

Заканчивается первая глава представлением двух методов прогнозирования: ССА и JIA. Первый является глобальным методом, опосредовано использующим в выражении прогноза все имеющиеся в распоряжении значения исходного временного ряда, а второй основан на поиске схожих локальных подобластей в исходном ряде.

Вторая глава подробно описывает используемые далее методы анализа и прогноза временных рядов: метод сингулярного спектрального анализа и метод локальной аппроксимации. Эти описания и введенная в них терминология необходимы для изложения материала в последующих главах.

Главный элемент всех алгоритмов прогнозирования и анализа временных рядов в рамках нелинейной динамики — метод запаздываний — подразумевает переход от рассмотрения исходного одномерного временного ряда к анализу многомерного ряда (ряда векторов), в котором каждый вектор образуется из определенного числа г последовательных значений исходного одномерного временного ряда. Полученная матрица

представляет собой последовательность частей-векторов исходного ряда: каждая такая часть (вектор) представляет собой столбец высотой т, а первый элемент (координата) каждого последующего вектора на один шаг сдвинут относительно первого элемента (координаты) предыдущего вектора:

/ XI Х2 х$ ... Хт ... Хп \

Х2

хг

Х4

Xi

£5

XT+i Хт+2

X, Хп+2

у Хт Хт+1 Хт+2 • ■ . • ■ ■ }

Здесь xi,x2,... — значения ряда в моменты времени t=l, 2 и т.д. Каждый столбец — вектор в т-мерном пространстве запаздываний; последовательность таких векторов задает матрицу наблюдений где N — число элементов

исходного ряда. Эта матрица, в каждом столбце которой стоят "куски"одного и того же ряда, сдвинутые друг относительно друга, и будет многомерным представлением исходного скалярного ряда в пространстве запаздываний.

Для метода ССА следующим шагом будет обработка матрицы X по методу главных компонент.

Целью применения этого метода является снижение размерности имеющегося пространства запаздываний и переход к новым, информативно более обоснованным переменным. Такие новые переменные называют главными компонентами (ГК). Отличительной особенностью применения метода главных компонент (МГК) в алгоритме метода ССА является то, что он здесь используется для одновременной обработки всей матрицы X.

В МГК переход к главным компонентам осуществляется через ортогональное линейное преобразование: производится разложение многомерного ряда X размерности г по ортогональному базису такой же размерности, где каждый следующий

базисный вектор строится вдоль (оставшегося) направления максимальной дисперсии. При последующем отборе ГК мерой информативности считается величина дисперсии.

Для перехода к главным компонентам для матрицы X строится корреляционная матрица, которая затем раскладывается на собственные значения и собственные векторы:

С = -XXх - УАУТ. п

Здесь Л — диагональная матрица собственных чисел, а

V — (У\У2,..., — ортогональная матрица собственных векторов, которую представляют как матрицу перехода к главным компонентам

У = 1^Х = (УЬУ2>...,УТ)

исходного ряда. При этом собственные значения Ль Лг, -.., Лг можно рассматривать как вклад главных компонент У!, У^,.. Ут в общее информационное содержание исходного временного ряда. По полученным главным компонентам можно полностью восстановить исходную матрицу X: X = УгУи а по матрице Х} в свою очередь, можно восстановить исходный временной ряд.

Для восстановления временного ряда в алгоритме ССА используются не все главные компоненты У!, Уг,..., Ут, а лишь их часть г < т, существенная с точки зрения информационной содержательности.

Прогнозирование по методу основывается на том, что прогнозирование ряда на один шаг по времени вперед эквивалентно построению нового вектора в пространстве запаздываний. У такого вектора будет единственная неизвестная координата, а остальные будут известны из построения. Эта единственная неизвестная координата находится из условия минимизации проекции этого нового вектора на г-мерную

гиперплоскость. Таким образом, задача прогнозирования сводится к задаче минимизации по одной переменной. Эта задача решается аналитически, что и даёт искомое следующее значение ряда.

Для метода ЛА следующим шагом после построения матрицы X будет выбор локального представление: конкретного вида функции, связывающей следующее значения ряда с предыдущими. Для наиболее распространенного варианта — линейной аппроксимации — вид локального представления будет таким:

т

= ао + ^ а.

Здесь х — столбец матрицы X, а параметры задаются через ао и вектор а. Для аппроксимации нулевого порядка — ао.

Далее производится отбор соседей, под которыми подразумеваются векторы х, ближайшие в евклидовой метрике к последнему известному вектору в пространстве запаздываний. Этот последний вектор, после которого начнется прогноз, называют стартовым.

После того как соседи отобраны, по ним производится оценка параметров выбранного представления, после чего уже можно построить прогноз следующего значения ряда;

Для прогноза на несколько шагов обычно используются один из следующих способов способов: итеративный, итеративный с пересчетом и прямой прогноз.

При итеративном способе после прогноза на один шаг вперед полученное значение добавляется к исходному ряду, а затем выбранная модель локального представления применяется ещё раз с параметрами («о, а), найденными ещё на первом шаге. Затем процедура рекуррентно повторяет^ ся. При итеративном способа с пересчетом параметры представления на каждом шаге оцениваются заново. При прямом прогнозе и стартовый вектор, и все его соседи, в отличие

от двух предыдущих методов, остаются неизменными, зато параметры представления на каждом шаге находятся заново за счет анализа эволюции каждого соседа на такое количество шагов, на которое нацелен данный шаг прогноза.

Преимуществом локального метода JIА можно считать более достоверный краткосрочный прогноз, в то время как ССА позволяет работать с нестационарными радами как в плане относительно долгосрочного оценочного прогнозирования, так и с точки зрения выявления определенных скрытых периодич-ностей. Возможность выделения и анализа информационно обусловленных составляющих (не периодических) также рассмотрена в этой главе.

Третья глава посвящена применению методов прогнозирования к системам естественного происхождения. Вначале главы выявлены закономерности и различные периодичности в динамике солнечного излучения, а также дан прогноз солнечной активности на ближайшие годы. В качестве методов исследования используется методы ССА и ЛА. Как показано в диссертации, первый метод даёт высокую достоверность предсказания амплитуды 11-летнего солнечного цикла и пригоден для выявления более продолжительных циклов, а второй метод позволяет точно прогнозировать поведение солнечной активности на краткосрочную перспективу. Во второй части главы рассмотрен нестандартный подход к использованию глобальных методов прогнозирования на примере метода ССА и проблемы корреляции между глобальным потеплением на Земле и активностью Солнца.

Достаточно давно было замечено, что активность Солнца зависит от количества пятен, видимых на его диске. Это количество сильно меняется в течение 11-и лет, называемых солнечным циклом. Сопутствующее этому изменение в структуре магнитных полей Солнца опосредованно влияет на

климат Земли, имеет вероятную связь с природными катастрофами, а также часто сказывается на других сферах жизни.

Использовать количество солнечных пятен в качестве меры солнечной активности было предложено Вольфом в 1848 году. Для этой цели он предложил рассмотреть сумму из общего количества видимых на солнечном диске пятен и десятикратного числа регионов, в которых эти пятна располагав лись. Последнее слагаемое призвано согласовать результаты измерений, проведенных при различных условиях. Позже были реконструированы среднемесячные значения чисел Вольфа с 1749 года и среднегодовые значения, начиная с 1700 года (эти ряды и используется в настоящей работе).

В диссертации рассматривается применение метода ССА к ряду среднемесячной солнечной активности. При этом используются не характерные высокие размерности: например размерность исследуемого многомерного ряда составила т — 500 составляющих, а размерность, оставленная для реконструкции, составила г ~ 200. В результате были получены как удовлетворительные прогнозы солнечной активности, так и выделены различные компоненты, которые отвечают за различные квазипериодические компоненты ряда.

Рис. 1: Реконструкция предполагаемого 80-летнего цикла

Далее в работе рассматривается ряд среднегодовых чисел Вольфа. Помимо очевидного 11-летнего цикла, в процессе анализа были выделены компоненты, отвечающие и за предполагаемый 80-летний цикл активности Солнца. Ряд чисел Вольфа, восстановленный только по этим компонентам, показан на рис.1.

Затем в работе рассмотрена возможность использования метода ССА для прогнозирования ряда из среднегодовых чисел Вольфа. Для этого был взят ряд среднегодовых значений чисел Вольфа по 2006 год. Данный среднегодовой ряд заканчивается на минимуме активности Солнца, и представляется интересным описать два его последующих цикла. Продолжим среднегодовую последовательность на 24 точки вплоть до 2030 года. Ряд раскладывался на 33 компоненты и для прогнозирования отбирались первые 11 из них. Эти два значение были отобраны тотальным перебором в поисках лучшего качества прогноза по известной части ряда.

Результат прогноза с 2007 до 2030 года показан на рис.2. Вертикальной чертой отделены реальные настоящие данные

2000 2010 Ю20 2030

Рис. 2: Прогноз активности Солнца с 2007 до 2030 годы

от прогноза на будущее. Из этого рисунка можно видеть, что в ближайшем будущем Солнце будет пребывать в относительно спокойном (по сравнению с двумя предыдущими периодами) состоянии, а уровень очередного максимума в районе 2012 года будет сравнительно низким.

Во втором разделе третьей главы рассматривается упоминавшийся выше нестандартный подход к корреляции между различными системами на примере активности Солнца и ряда данных по температуре воздуха у поверхности Земли.

Исходным материалом для составления ряда данных по среднегодовой температуре Земли являются данные о среднемесячной температуре, полученные от более чем трех тысяч метеостанций на континентах. Покрытие земной поверхности этими метеостанциями не является равномерным как по географии, так и по времени. Так что трудности, связанные с формированием ряда данных по температуре, требуют отдельного рассмотрения, чему и посвящена соответствующая часть третьей главы. Более подробно эти вопросы рассмотрены в приведенных в диссертации ссылках.

Итак, рассматриваются два ряда: ряд со среднегодовыми значениями числа Вольфа и ряд данных по среднегодовой температуре у поверхности земли. Данные наблюдений за глобальной среднегодовой температурой имеются с 1856 года. Для значений солнечной активности аналогичные данные имеются с 1700 года. Первый ряд содержит 148 точки, а второй — 304. Вначале в работе приводится простейший корреляционный анализ, показывающий неоднозначность определения корреляции между этими рядами. Далее проводится перебор параметров прогнозирования методом ССА (размерность и количество оставленных для реконструкции главных компонент). В результате анализа обнаруживается, что корреляция между качеством прогноза и стартовой точкой

для ряда среднегодовых температур была аналогична ряду активности Солнца: после локального минимума и на подъеме качество прогноза лучше, чем на максимуме или на спаде. Также было обнаружено, что наилучший прогноз для обоих рядов получается при одинаковых значениях как размерности вложения г, так и количества оставленных для реконструкции главных компонент г.

Таким образ, молшо говорить о практической идентичности параметров прогнозирования исследованных рядов методом ССА. Идентичность параметра т говорит о близости размерности вложения аттракторов соответствующих динамических систем. Тот факт, что при этом для наилучшего прогнозирования следует оставлять одинаковое количество главных компонент ряда, может говорить об одинаковой размерности самих аттракторов. Следовательно, в силу близости параметров динамики систем можно допустить, что имеет место возможная корреляция между процессами, происходящими на Солнце, и глобальным потеплением на Земле.

Четвертая глава посвящена построению и анализу общей модели метода локальной аппроксимации. Данная модель дает аналитическое решение задачи прогноза методом ЛА для любого варианта этого метода. Анализ этого решения позволяет сделать ряд качественных выводов и рекомендаций о предпочтительности того или иного варианта метода ЛА. Кроме того, предложенная модель может быть полезна сама по себе для дальнейшего аналитического исследования метода ЛА.

Таким образом, в четвертой главе показано, что локальное представление модели ЛА любого порядка может быть записано в виде:

xt+1 = ао + xf а, где а представляет собой обобщенный вектор параметров,

а х представляет собой обобщенный вектор в пространстве запаздываний.

— ( СЦ 0>% ... ат Оц 0,12 . . . ОЦ1 0Ц2 . . . ) ,

xf=(xt Xt~l ••• XfXt-1 ••• xt ' xt-1 -..)■

Введение обобщенных векторов позволяет учесть все порядки аппроксимации метода JIA.

Параметры, входящие в состав обобщенного вектора а, находятся из решения задачи минимизации системы уравнений Y = I ао + X а:

Ф = (Y - loo -Xaf (Y - loo - Xa) min .

{«о. а}

Здесь обобщенная матрица соседей обозначена как X, искомые коэффициенты как (ао, a), I — единичный вектор, у которого количество компонент равно числу соседей (под соседями подразумеваются отобранные по критерию близости в евклидовой метрике части многомерного ряда запаздываний), a Y — вектор значений ряда, в которые переходят соседи стартового вектора за определенное количество шагов. Это количество шагов прогнозирования далее обозначим через Т, а последний вектор многомерного ряда, после которого начинается прогноз, обозначим индексом L. После того, как параметры модели будут найдены, общий вид решения задачи прогноза по методу J1A запишется так:

xl+t = Y+(XI-X) а.

Здесь Y — среднее значение для Y или, что то же самое, прогноз по J1A0, и X — вектор средних значений координат столбцов в матрице соседей X, который мы далее будем называть усредненным соседом. Последнее выражение показывает, что прогноз полученный методом JIA, есть сумма прогноза

1S

метода ЛА нулевого порядка и линейной комбинации отклонения стартового вектора от усредненного соседа.

Далее в четвертой главе на основании полученного общего аналитического решения строятся модельные уравнения про1> ноза для различных способов прогнозирования на несколько шагов вперед: для итеративного прогноза, для итеративного способа с пересчетом параметров и для прямого прогноза.

В результате показано, что итеративный вариант нулевого порядка дает аппроксимацию нулевого порядка, в то время как при прямом прогнозе нулевого порядка уже получается аппроксимация первого порядка, а в частном случае равномерного распределении векторов-соседей вокруг стартового вектора можно далее получить второй порядок аппроксимации.

Далее в работе исследуется асимптотические свойства прогноза при итеративном и прямом способах прогноза на несколько шагов вперед (итеративный с пересчетом параметров не рассматривался в силу невозможности его аналитического выражения). В результате была показана предпочтительность прямого варианта.

Наконец, в последнем разделе четвертой главы исследуется влияние точности вычислений на итеративный и прямой прогноз, результатом чего опять может служить вывод о предпочтительности именно прямого прогноза.

Таким образом, исходя из построенной общей модели локальной аппроксимации, можно заключить, что универсальным вариантом для прогнозирования временных рядов методом локальной аппроксимации является прямой прогноз малого порядка ЛАО или ЛА1. При этом, если исходный ряд длинный и стационарный, то лучше использовать ЛАО, а если найденные соседи неравномерно распределены вокруг стартового вектора в пространстве запаздываний, то можно попробовать использовать метод ЛА1 в прямом варианте.

Защищаемые положения

1. Обоснована возможность применения теории динамических систем и Такенса-Мане для анализа временных рядов естественного происхождения с использованием высокой размерности представления.

2. Используя предложенный подход, показана возможность выявления скрытых закономерностей в реальных временных рядах: долгопериодических и короткопериодических составляющих. В частности, подтверждена гипотеза о существовании т.н. цикла Гляйсберга в динамике солнечной активности продолжительностью около 80 лет.

3. Используя глобальные методы прогнозирования, обоснован новый способ выявления корреляций между системами естественного происхождения посредством анализа порождаемых ими временных рядов.

4. Предложено новое объяснение связи глобального потепления на Земле с активностью Солнца.

5. На основе общего подхода, использующего теорию динамических систем и метод локальной аппроксимации, найдено общее аналитическое решение задачи прогноза.

6. В рамках теории динамических систем даны оценки качества прогноза и предложены критерии выбора того или иного варианта прогнозирования в зависимости от природы временного ряда.

Публикации

1. A.Loskutov, I.Istomin, K.Kuzanyan. Prediction of Wolf number dynamics using singular spectrum analysis method.— A bstracts of the Joint European and National Astronomical Meeting JENAM 2000, Moscow, Russia, 26 May - 3 June 2000, p.129.

2. А.ЮЛоскутов, И.А.Истомин, О.Л.Котляров, К.М.Куза-няи. Исследование закономерностей магнитной активности Солнца методом сингулярного спектрального анализа.— Письма в Acmpo7i. журнал, 2001, т.27, Noll, с.867-876.

3. A.Loskutov, I.A.Istomin, K.M.Kuzanyan and O.L.Kotlyarov. Testing and forecasting the time series of the solar activity by singular spectrum analysis.— Nonlin. Phenomena in Complex Syst, 2001, v.4, Nol, p.47-57.

4. И.А.Истомин, О.Л.Котляров, А.Ю.Лоскутов. К проблеме обработки временных рядов: расширение возможностей метода локальной аппроксимации посредством сингулярного спектрального анализа.— Теор. и машем, физика, 2005, т. 142, Nol, с. 148-159.

5. А.Ю.Лоскутов, ОЛ.Котляров, И.А.Истомин, Д.И.Журавлев. Проблемы нелинейной динамики. III. Локальные методы прогнозирования временных рядов.— Вести. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр2002, No6, с.3-21.

6. A.Loskutov, I.A.Istomin, K.M.Kuzanyan and O.L.Kotlyarov. Testing and forecasting time-series of the Solar activity by singular spectrum analysis.— http://xxx.lanl.gov/ps/nlin/-/0010027.

7. A.Loskutov, I.Istomin and O.Kotlyarov. Data analysis: generalizations of the local approximation method by singular spectrum analysis,—http://xxx.lanl.gov/abs/nlin.cd/0109022.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 09.10.2006 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 696. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Введение

1 Временные ряды

1.1 Математические основы анализа временных рядов

1.1.1 Реальные динамические системы.

1.1.2 Размерность аттрактора.

1.1.3 Шаг запаздывания

1.1.4 Восстановление динамической системы.

1.2 Математические основы прогнозирования временных рядов.

2 Алгоритмы методов прогнозирования

2.1 Метод сингулярного спектрального анализа.

2.1.1 Шаг первый: построение матрицы запаздываний

2.1.2 Шаг второй: переход к главным компонентам

2.1.3 Шаг третий: прогнозирование.

2.1.4 Замечания

2.2 Метод локальной аппроксимации.

2.2.1 Шаг первый: построение матрицы запаздываний

2.2.2 Шаг второй: выбор локального представления

2.2.3 Шаг третий: поиск ближайших соседей.

2.2.4 Шаг четвертый: определение параметров.

2.2.5 Выбор порядка аппроксимации

2.2.6 Прогноз на несколько шагов вперед.

3 Анализ временных рядов естественного происхождения [57, 58, 59]

3.1 Исследование магнитной активности Солнца

3.1.1 Числа Вольфа.

3.1.2 Использование метода ССА для анализа и прогнозирования магнитной активности Солнца

3.1.3 Использование метода JIA для прогнозирования магнитной активности Солнца.

3.2 Дополнительные замечания

3.3 Глобальная температура и активность Солнца.

3.3.1 Объект исследования.

3.3.2 Корреляция по параметрам прогнозирования

3.3.3 Заключительные замечания о корреляции

4 Обобщенная теория локальной аппроксимации [89]

4.1 Общая модель локальной аппроксимации

4.1.1 Обобщенное выражение JIA.

4.1.2 Система уравнений JIA.

4.1.3 Аналитическое решение задачи прогноза.

4.1.4 Решения задачи прогноза на несколько шагов вперед.

4.2 Ошибка прогноза

4.2.1 Частный случай нулевого порядка

4.2.2 Случай старших порядков.

4.2.3 Предварительные выводы

4.2.4 Влияние точности вычислений на итеративный и прямой прогноз

Актуальность темы

Принято считать, что основной задачей естественных наук является описание некоторого явления на основе наблюдений. При этом под описанием подразумевается построение более или менее адекватной модели на основе некоторых допущений. Такая модель должна по возможности более полно описывать наблюдаемое явление, а если получится, то и его дальнейшее развитие. Следовательно, построение модели подразумевает в том числе и решение задачи прогнозирования явления. Последнее, однако, получается далеко не всегда, в основном в силу того, что допущения, положенные в основу построения любой достаточно сложной модели, сильно снижают точность описания явления. Таким образом, в вышеизложенной постановке задачи описания некоторого явления, акцент делается на существующее положение вещей, а не на прогнозирование.

Тем не менее, такой подход к проблеме не является единственным. Уже в средние века, например, главной задачей тогдашних мыслителей было не описание настоящего, а предсказание будущего. Считалось, что настоящие может видеть каждый и понять настоящее могут многие, другое дело будущее. Причем при попытке предсказать будущее не считали обязательным построить исчерпывающую модель, хорошо объясняющую не только поведение прогнозируемого явления, но и какие-нибудь более общие сущности, на прямую к прогнозу не относящиеся. В последующем стали считать, что такая задача прогнозирования ради самого же прогнозирования не может быть решена без построения точной модели.

В настоящее время задача прогноза сложных явлений вновь выходит на первый план. Это связано в том числе и с быстрым развитием как новых математических методов, так и вычислительной техники. Как можно представить явление для целей анализа и прогнозирования? Вполне достаточным здесь оказывается использование понятия временного ряда. Временным рядом можно назвать любую последовательность чисел, полученную в результате измерения через равные промежутки времени какой-либо величины, характеризующей рассматриваемый процесс. Более того, можно даже утверждать, что большинство наших наблюдений можно представить именно как временные ряды. Вместе с тем следует помнить, что такой одномерный временной ряд является всего лишь срезом прогнозируемого явления.

Задача прогнозирования сводится, в рамках нелинейной динамики, к продолжению временного ряда на основе уже имеющейся его части. Отличительной особенностью некоторых методов прогнозирования временных рядов, основанных на теории динамических систем, является то, что эти методы не требуют явным образом строить модель системы, породившей временной ряд. Тем не менее, задача построения модели явления по временному ряду является одной из основных и имеет непосредственную связь с проблемой предсказания.

Конечно же, задача прогнозирования в своей классической постановке уже давно и достаточно детально рассмотрена в рамках математической статистики и не только. Давно известны алгоритмы типа авторегрессии, которые с успехом используются как для целей различных исследований так и в практическом плане, например в финансовом анализе или в метерологии. Однако, во-первых, полученные там результаты относятся чаще к линейным моделям, а в настоящее же время основной интерес для исследования представляют модели сложных нелинейных процессов. Во-вторых, и авторегрессионные методы прогнозирования, и развившиеся в последние время нейросете-вые способы не имели достаточно строгого теоретического обоснования до появления теории динамических систем. Но самое главное заключается не в обосновании, а в том, что нелинейная динамика указала пути совершенствования старых и развития новых способов прогнозирования временных рядов, наложив определенные, хотя и минимальные, ограничения на функцию связи прогнозируемого и предыдущих значений ряда. В рамках теории динамических систем, в качестве таких моделей-кандидатов используется наиболее широкий класс всевозможных дифференцируемых динамических систем, так что свойства будущей модели ограничены минимальным образом.

В каждой области науки при построении модели явления применяются свои допущения и упрощения. Несмотря на то, что нелинейная динамика не накладывает на модели-кандидаты жестких условий, роль упрощений очень важна и здесь. Более того, эти упрощения весьма своеобразны, являясь вместе с тем довольно общими, выходящими за рамки отдельных исследований, и чаще всего связаны с предположением о масштабной инвариантности, наиболее наглядным примером которой являются фракталы. На основе фрактального упрощения, например, возникли алгоритмы обработки и сжатия (в сотни и тысячи раз!) графической информации. Фракталы являются красивым образом динамических систем. Они часто используются в машинной графике для построения изображений. Красивое и, что куда важнее, достоверно имитирующее природный объект изображение могло быть задано всего несколькими коэффициентами. Фрактальное сжатие изображений можно рассматривать как описание объекта, очень сложного в графическом представлении, небольшим числом параметров. Такие параметры в нелинейной динамике называются управляющими.

Одна из основных идей теории сложных систем состоит в том, что их асимптотическое поведение зачастую требует для своего описания сравнительно немного переменных, которые Г.Хакен назвал "параметрами порядка". Его известный принцип подчинения мод заключается в том, что на асимптотической стадии большую часть переменных системы можно приближённо считать алгебраическими функциями параметров порядка. Поэтому при исследовании нелинейных явлений часто используют гипотезу о том, что эти явления можно описать динамической системой сравнительно небольшой размерности ("инерциальной формой"), несмотря на то, что строгие результаты и оценки размерности получены лишь для небольшого класса систем, например, для обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау.

Универсального способа найти эти немногие параметры до сих пор не предложено. В распределённых системах ими часто бывают наиболее длинноволновые и слабее всего затухающие моды. Однако так бывает не всегда. Поэтому при анализе системы всегда возникают вопросы. Сколько в системе параметров порядка? Можно ли их выделить и, если да, то как? Как построить модель, исходя только из данных эксперимента?

Знание параметров порядка важно не только для моделирования, но и для организации и планирования экспериментов, с тем чтобы измерять наиболее информативные величины. После того, как временной ряд получен (измерен), перед исследователем встаёт следующий круг проблем: необходимо определить, являются ли данные детерминированными или случайными (в случае, если данные получены в ходе натурных экспериментов). Каковы свойства породившей их динамической системы, как можно охарактеризовать её на основе только имеющегося ряда? Как выбрать оптимальные методы их обработки. Иногда временной ряд является уникальным и повторить измерения невозможно, как, например, в случае палеомагнитных данных. В других ситуациях, когда схему измерений можно менять, могут представлять интерес и вопросы её выбора.

В основе большинства подходов, связанных с обработкой временных рядов лежит построение множества т.н. запаздывающих векторов. Новым результатом нелинейной динамики явилось установление того факта, что не всё пространство состояний, а некоторое его подмножество, в определённом смысле эквивалентно фазовому пространству нелинейной динамической системы, породившей временной ряд (теорема Такенса и её обобщения [1]). Это, помимо правильного решения задачи прогноза, позволило предложить новый класс методов, связанных с определением по временному ряду не только параметров статистических моделей, но и инвариантов динамической системы — фрактальных и прочих размерностей, энтропии и ляпуновских показателей. Фрактальная размерность может служить оценкой снизу для числа параметров порядка, остальные характеристики позволяют делать выводы о характере возникающих режимов и их предсказуемости. Кроме того, данные инварианты динамических систем можно использовать при решении задач идентификации в диагностических целях. Например, для некоторых физиологических систем (сердце, мозг) наличие хаоса отвечает норме, упрощение же режима или исчезновение хаотичности свидетельствует о серьёзных нарушениях в организме (внезапная сердечная смерть, эпилепсия, черепно-мозговые травмы).

При этом построение моделей авторегрессионого типа приобрело иной характер: они стали восприниматься не просто как технический приём или модели, построенные по аналогии с линейными системами, а как аппроксимация уравнений движения изучаемого объекта в координатах специального вида. Исследования в области нелинейной динамики стимулировали интерес к задаче прогноза и построения моделей. В ряде случаев удалось даже построить аналитические модели по данным эксперимента.

Таким образом, в 80-х годах возникло новое направление в анализе временных рядов, связанное с использованием идей нелинейной динамики. Эти подходы применялись с тех пор и по настоящее время к широкому спектру проблем, однако в большом числе случаев результаты их использования были неоднозначны. Причина затруднений заключается в том, что рассчитанный результат прогноза зависит не только от свойств динамической системы, но также от размерности использованного пространства состояний, способа построения векторов, длины выборки и т.п. Поэтому в последние годы стали появляться работы, в которых отмечались ограничения методов прогнозирования. Таким образом, возникло противоречие между сравнительно простыми, ясными и привлекательными идеями, лежащими в основе подхода нелинейной динамики к прогнозированию временных рядов, и трудностями, связанными с получением конкретных численных результатов прогноза, особенно для систем естественного происхождения. Иными словами, осталось большое количество открытых вопросов. Решить некоторых из них и явилось целью данной диссертационной работы.

В диссертации рассматриваются два принципиально различных метода анализа и прогнозирования временных рядов, объединенных общими принципами нелинейной динамики: метод сингулярного спектрального анализа и группа методов под названием локальная аппроксимация. Большинство удовлетворительных результатов применения методов нелинейной динамики, к сожалению, относится к модельным временным рядам, порожденными системами небольшой размерности. Поэтому в качестве объекта исследования были выбраны временные ряды естественного происхождения, характеризующие солнечную активность и ряд данных по температуре у поверхности Земли. Применение методов нелинейной динамики к этим временным рядам позволило, помимо прогноза, подтвердить некоторые известные идеи и выдвинуть новые гипотезы.

Другой важной задачей стала систематизация и обобщение большого количества вариантов метода локальной аппроксимации, для чего была построена обобщенная теория данного метода прогнозирования. На основании построенной обобщающей теоретической модели были сделаны некоторые выводы о предпочтительности использования того или иного варианта метода локальной аппроксимации.

Цели работы

• Применение методов нелинейной динамики для анализа сложных систем естественного происхождения.

• Построение общего решения задачи прогноза в рамках теории динамических систем.

• Разработка метода, позволяющего находить как дальние корреляции, так и скрытые закономерности во временных рядах естественного происхождения.

Научная новизна

1. В рамках теории динамических систем разработаны новые методы обработки временных рядов естественного происхождения.

2. Предложено новое обоснование гипотезы о существовании 80-летнего цикла активности Солнца.

3. Обоснован новый способ, позволяющий выявить скрытые взаимосвязи между различными системами естественного происхождения.

4. Предложено новое обоснование гипотезы о связи глобального потепления с активностью Солнца.

5. Построена обобщенная теория, позволяющая найти аналитическое решение задачи прогноза для различных вариантов метода локальной аппроксимации.

6. На основании предложенной обобщенной теории даны оценки качества прогноза.

Структура работы

Диссертация включает введение, четыре главы, заключение и список

Основные результаты работы

1. Используя теорию динамических систем, разработан новый способ исследования временных рядов естественного происхождения. В частности, метод сингулярного спектрального анализа, ранее применявшийся в основном к моделям небольшого числа переменных, успешно адаптирован к системам большой размерности вложения аттрактора.

2. Для метода локальной аппроксимации предложен и проверен критерий по выбору параметров метода при прогнозировании конкретного ряда.

3. На основании проведенных исследований предложено дополнительное обоснование гипотезы о существовании 80-летнего цикла активности Солнца. Гипотеза о существовании такого цикла Гляйсберга существует достаточно давно, и имеет свои обоснования. В данной работе возможность существования такого цикла показана с новой стороны.

4. Предложен новый способ выявления скрытой связи между различными системами естественного происхождения. На примере солнечной активности и ряда глобальных температур у поверхности Земли, показана возможность использования глобальных методов прогнозирования для выявлении скрытых корреляций между этими системами.

5. Систематизированы и обобщены различные варианты метода локальной аппроксимации и различные способы прогноза исходя из найденного общего аналитического решения задачи прогноза. Дан подробный анализ этих вариантов на основе единого подхода.

На защиту выносятся следующие положения

1. Обоснована возможность применения теории динамических систем и Такенса-Мане для анализа временных рядов естественного происхождения с использованием высокой размерности представления.

2. Используя предложенный подход, показана возможность выявления скрытых закономерностей в реальных временных рядах: долгопериодических и короткопериодических составляющих. В частности, подтверждена гипотеза о существовании т.н. цикла Гляйсберга в динамике солнечной активности продолжительностью около 80 лет.

3. Используя глобальные методы прогнозирования, обоснован новый способ выявления корреляций между системами естественного происхождения посредством анализа порождаемых ими временных рядов.

4. Предложено новое объяснение связи глобального потепления на Земле с активностью Солнца.

5. На основе общего подхода, использующего теорию динамических систем и метод локальной аппроксимации, найдено общее аналитическое решение задачи прогноза.

6. В рамках теории динамических систем даны оценки качества прогноза и предложены критерии выбора того или иного варианта прогнозирования в зависимости от природы временного ряда.

Благодарности

Эта работа никогда бы не появилась, если бы не помощь и поддержка многих людей. Благодарю ВСЕХ оказавших мне помощь при её написании. В первую очередь это относится к моему научному руководителю профессору Александру Юрьевичу Лоскутову, за его научное руководство и обсуждение проблем и результатов, советы и помощь при написании самой работы. Отдельное спасибо его терпению и настойчивости, без которых эта работа так никогда не была бы написана. Также отдельная благодарность Олегу Котлярову за неоценимую научную помощь и советы, которыми он щедро делился на протяжении все нашей совместной работы. Это относится также к Кириллу Кузаняну. Спасибо Арсену Джаноеву за ценные советы по оформлению работы. Также выражаю благодарность за дружеское обсуждение и участие Сергею Рыбалко, Алексею Рябову, Екатерине Жучковой и всем сотрудникам, аспирантам и студентам лаборатории нелинейной динамики и хаоса физического факультета МГУ.

Заключение

Связь между теорией хаоса и реальным миром наиболее явно и интересно проявляется при анализе временных рядов на основе подходов нелинейной динамики. Примеры хаотического поведения обнаружены во многих областях, включая биологию, физиологию, медицину, гео- и астрофизику, а также в социальных и финансовых науках. Исходными данными для анализа таких систем очень часто служат временные ряды - последовательности значений какой-либо измеряемой величины, взятые через равные промежутки времени. Именно здесь нашли свое применение методы анализа и прогноза временных рядов, разработанные в рамках нелинейной динамики.

Эти методы имеют ряд преимуществ перед стандартными алгоритмами прогноза при исследовании квазипериодических и хаотических систем. Дело в том, что для большинства реальных систем по тем или иным причинам не удается построить адекватные математические модели, но в тоже время необходимо найти способы анализа и прогнозирования их поведения.

В работе рассмотрены новые способы и варианты применения двух таких методов: сингулярного спектрального анализа и группы методов объединенных названием локальной аппроксимации. Также проведено более глубокое аналитическое исследование метода локальной аппроксимации.

1. F Takens Detecting strange attractors in turbulence 1. Dynamical Systems and Turbulence Eds D A Rand, L -S Young Springer, Berlin, 1981, v 898 of Lectures Notes in Mathematics, p 366 381

2. H Б Янсон, Реконструкция динамических систем по экспериментальным данным Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ -мат наук, саратовский государственный университет На правах рукописи 1997

3. А Ю Лоскутов, А С Михайлов Введение в синергетику Москва "Наука", 1990

4. Ott Е Chaos in dynamical systems Cambridge, 1993 397 p

5. Katok A , Hasselblatt В Introduction to the modern theory of dynamical systems Cambridge, 1996 822 p

6. Abarbanel H D I Analysis of observed chaotic data N Y , 1996 272 p

7. Kantz H , Schreiber T Nonlinear time series analysis Cambridge, 1997. 320 p

8. Tsoms A A Chaos Prom theory to applications. N.Y , 1992 274 p.

9. J Cremers, A Hubler, Construction of differential equations from exerimental data // Z Naturforschung, 42(A), 1987, p 797

10. J P Churtfield, В S McNamara, Equations of motion from a data series // Complex Systems, 1, 1987, p 417 452

11. R Mane. On the dimension of the compact invariant sets of certain non-linear maps Eds D.A Rand, L -S Young Springer, Berlin, 1981, v 898 of Lectures Notes in Mathematics, p 230-242

12. И С Арансон, A M Рейман, В Г. Шехов, Методы измерения корреляционной размерности в экперименте Сборник статей по нелиейной динамике, с 262 266

13. Grassberger Р , Procaccia I Measuring the strangeness of strange attractors // Physica D 1983 Vol 9, №1,2 p 189 201

14. Frank M , Blank H -R , Heindl J , et al Improvement of K2-entropy calculations by means of dimension scaled distances//Physica D. 1993 Vol 65 p 359 364

15. Kugiumtzis D Assessing different norms in nonlinear analysis of noisy time series // Physica D 1997 Vol 105 p 62 78

16. P S Landa, M G Rosenblum, Tame series analysis for system identification and diagnostics, Physica D, 48, 1991

17. Casdagh M , Eubank S , Farmer J D , et al. State space reconstruction in presence of noise // Physica D., 1991. Vol 51. p 52 98

18. Dmg M , Grebogi C., Ott E., et al Plateau onset for correlation dimension When does it occur? // Phys Rev Lett 1993 Vol 70 p 3872 3875.

19. Malinetskn G G , Potapov А В., Rakhmanov A I Limitations of delay reconstruction for chaotic dynamical systems // Phys Rev E 1993. Vol. 48. p. 904 912

20. Eraser A M , Swinney H.L Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys Rev. A. 1986 Vol 33 p 1131 1140

21. Liebert W , Schuster H G Proper choice of the time delays for the analysis of chaotic time series // Phys Lett. A 1989 Vol 142 p 107 111

22. Liebert W , Pawelzik К , Schuster H G Optimal embedding of chaotic attractors from topological considerations // Europhys Lett 1991 Vol 14 p 521 526

23. Kennel M В , Isabelle S Method to distinguish possible chaos from colored noise and to determine embedding parameters//Phys Rev A 1992 Vol 46 p. 3111 3118

24. Buzug T , Pfister G Comparison of algorithms calculating optimal parameters for delay time coordinates // Physica D. 1992. Vol 58 p 127 137

25. Buzug T , Reimers T , Pfister G Optimal reconstruction of strange attractors from purely geometrical arguments // Europhys. Lett. 1990 Vol 13 p 605 610

26. Kugiumtzis D. State space reconstruction parameters in the analysis of chaotic time series the role of the time window length // Physica D 1996 Vol 95. p. 13 28

27. Kostehch E J Problems in estimating dynamics from data // Physica D 1992. Vol 58 p 138-152

28. Jaeger L , Kantz H Unbiased reconstruction underlying a noisy chaotic time series // CHAOS 1996. Vol 6 p 440-450

29. Brown R, Rulkov E R , Tracy N F Modeling and synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys Rev E 1994 Vol 49 p 3784-3800

30. Johnston J , DiNardo J Econometric methods, 4th Edition London, 1997 480 p

31. Franses P H Time series models for business and economic forecasting Cambridge,1998 296 p

32. А С Монин, J1 И Питербарг Предсказуемость погоды и климата В сб Пределы предсказуемости Ред Ю А Кравцов, ЦентрКом, Москва, 1997, стр 12 49

33. Shumway R , Staffer D S Time Series Analysis and its Applications N.Y., 2000 549 p

34. Mills T С The econometric modeling of financial time series, 2th Edition Cambridge,1999 380 p

35. Малинецкий Г Г, Потапов А Б Современные проблемы нелинейной динамики М • Эдиториал УРСС, 2000 336 с

36. Brown R G Smoothing, Forecasting and Prediction of Discrete Time-Series New Jersey, 1963 468 p

37. D S Broomhead, G P King Extracting qualitative dynamics from experimental data // Physica D, 1986, v 20, p 217 236

38. D.S Broomhead, G P King On the qualitative analysis of experiemntal dynamical systems In Nonhnera Phenomena and Chaos Ed S Sarkar Adam Hilger, Bristol, 1986, p 113-144

39. Главные компоненты временных рядов-метод "Гусеница" Сб статей Ред ДЛ Данилов и А А Жиглявский Спб университет, 1997

40. D S Broomhead, R Jones Time-series analysis // Proc Roy Soc London, 1989, v 423, p.103 110

41. R Vautard, P.Yiou, M Ghil Singular spectrum analysis A toolkit for short, noisy chaotic singals // Physica D, 1992, v 58, p 95-126

42. D.B Percival, A T Walden Spectral Analysts for Physical Applications Multitaper and Conventional Univariate Techniques Cambridge University Press, Cambridge, 1993

43. J Theiler, S Eubank, A Longtm, В Galdrikan, J D Farmer Testing for nonhnearity m time series the method of surrogate data // Physica D, 1992, v 58, p 77 94

44. D.T Kaplan, L Glass. Direct test for determinism in a time series // Phys Rev Lett, 1992, v 68, p 427 430

45. J Deppish, H -U Bauer, T Geisel Hierarchical training of neural networks and prediction of chaotic time series // Phys Lett A, 1991, v 158, p 57 62

46. D В Murray Forecasting a chaotic time series using an improved metric for embedding space // Physica D, 1993, v 68, p 318 325

47. Cao, Y Hong, H Fang, G He Predicting chaotic time series with wavelet networks // Physica D, 1995, v 85, p 225-238

48. Дж Бокс, T Дженкинс Анализ временных рядов Мир, Москва, 1974

49. М Ghil, R М Allen, М D Dettinger, К. Ide, D Kondrashov, М Е Mann, A. Robertson, A. Saunders, Y Tian, F Varadi, and P Yiou, Advanced spectral methods for climatic time series // Rev Geophys , 10 1029/2000GR000092

50. AM Дубров, В С Мхитарян, JIИ Трошин Многомерные статистические методы Москва. Финансы и статистика, 2000

51. J D Farmer, J J Sidorowich Predicting Chaotic Time Series // Phys Rev Lett, 1987, v 59, p 845-848

52. Д JI Данилов Метод "Гусеница"для прогнозирования временных рядов В сб Главные компоненты временных рядов метод "Гусеница" Ред ДЛ Данилов и А.А Жиглявский, СПб университет, 1997

53. Farmer J D., Sidorowich J J Exploiting chaos to predict the future and reduce noise Evolution, Learning, and Cognition / Ed Lee Y C., Singapore, World Scientific Press, 1988, P277

54. Каханер Д , Моулер К , Нэш С Численные методы и программное обеспечение М • Мир, 1998 - 575 с

55. Kugiumtzis D , Lmgjarde О С , Christophersen N Regularized local linear prediction of chaotic time series // Physica D 1998 - Vol 112 - P 344-360

56. A Loskutov, I Istomin, К Kuzanyan Prediction of Wolf number dynamics using singular spectrum analysis method // Abstracts of the Joint European and National Astronomical Meeting JENAM 2000, Moscow, Russia, 26 May 3 June 2000, p 129

57. А Ю Лоскутов, И А Истомин, О Л Котляров, К М Кузанян Исследование закономерностей магнитной активности Солнца методом сингулярного спектрального анализа // Письма в Астрономический журнал, 2001, т27, Noll, с 867 876

58. A Loskutov, I A Istomin, К.М Kuzanyan and О L Kotlyarov Testing and forecasting the time series of the solar activity by singular spectrum analysis // Nonlin Phenomena in Complex Syst, 2001, v 4, Nol, p 47 57

59. Главные компоненты временных рядов метод "Гусеница". Сб статей Ред Д Л Данилов и А А Жиглявский СпбГУ, 1997

60. А Л Чижевский Физические факторы исторического процесса Калуга, 1924

61. А Л Чижевский Эпидемические катастрофы и периодическая деятельность Солнца М , 1930

62. А Л Чижевский Теория гелиотараксии М , 1930 А Л Чижевский Солнце и мы М , 1963 А Л Чижевский, Ю.Г.Шишина В ритме Солнца М , 1969, А Л Чижевский Земное эхо солнечных бурь М , 1973,

63. К Schatten Forecasting solar activity and cycle 23 outlook ASP Conf The Tenth Cambridge Workshop on Cool Stars, Stellar Systems and the Sun Eds R A.Donahue and J A Bookbinder, 1997, Ser 154 , p 1315 1325

64. Ю А Наговицын Нелинейная математическая модель процесса солнечной цикличности и возможности для реконструкции активности в прошлом // Письма в АЖ, 1997, т. 23, с 851 858

65. R М Wilson, D Н Hathaway, Е J Reichmann Estimating the size and timing of maximum amplitude for cycle 23 from its early cycle behavior // Geophys Res , 1998, v 103, p 17411 17418

66. D V Hoyt, К H Schatten Group sunspot numbers- A new solar activity reconstruction // Solar Physics, 1998, v 181, p 491 497.

67. D.H Hathaway, R M Wilson, E J.Reichmann A synthesis of solar cycle prediction techniques // J Geophys Res , 1999, v 104, No A10, p 22375 22388

68. В С Афраймович, А М.Рейман Размерность и энтропия в многомерных системах В сб Нелинейные волны Динамика и эволюция Ред А В Гапонов-Грехов, М И Рабинович. М., Наука, 1989, с 238 262.

69. M.Casdagli Nonlinear prediction of chaotic time series // Physiea D, 1989, v 35, p 335 356.

70. D Ruelle Deterministic chaos the science and the fiction // Proc Roy Soc London, 1990, v 427, Nol873, p 241 248

71. T Sauer, Y.A Yorke, M Casdagh Embedology 11 J Stat Phys , 1991, v 65, p 579-616

72. Г Г Малинецкий, А Б Потапов Современная прикладная нелинейная динамика М : УРСС, 2000

73. J.K Lowrence, A A Ruzmaikin, А С Cadavid Multifractal measure of the solar magnetic field // Astrophys J, 1993, v 417, p 805 811

74. J К Lowrence, A A Ruzmaikin, А С Cadavid Turbulent and chaotic dynamics underlying solar magnetic variability // Astrophys J, 1995, v 455, p 366 375

75. I V Dmitrieva, К M Kuzanyan, V N Obridko The amplitude and period of the dynamo wave and prediction of the solar cycle // Solar Phys , 2000, v 195, No 1, p.209-218

76. Jones, P D and Moberg, A , 2003' Hemispheric and large-scale surface air temperature variations An extensive revision and an update to 2001 //J Climate 16, 206-223

77. Jones, P D , New, M , Parker, D.E., Martin, S and Rigor, IG , 1999 Surface air temperature and its variations over the last 150 years Reviews of Geophysics 37, 173-199.

78. Christy, J R , Parker, D E., Stendel M and Norris, W В , 2001: Differential trends in tropical sea surface temperature and atmospheric temperatures since 1979 Geophysical Research Letters 28, 183-186

79. Rayner, N A., Parker, D E , Horton, E В , Folland, С К , Alexander, L V, Rowell, D P , Kaplan, A and Kent, E С , 2005 Globally complete analyses of sea surface temperature, sea ice and night marine air temperature, 1871-2000 J Geophys Res (in press)

80. Jones, P D., Osborn, T J., Briffa, К R , Folland, С К , Horton, В , Alexander, L V , Parker, D.E. and Rayner, N A., 2001: Adjusting for sampling density in grid-box land and ocean surface temperature time series // J Geophys. Res 106, 3371-3380

81. Капица С П , Курдюмов С П , Малинецкий Г Г. Синергетика и прогнозы будущего М "Наука", 1997.

82. Малинецкий Г. Г, Потапов А Б Катастрофы и бедствия глазами нелинейной динамики "Знание-сила", 1995, 3, стр 26-34

83. А Ю Лоскутов, О JI Котляров, И А Истомин, Д И Журавлев Проблемы нелинейной динамики III. Локальные методы прогнозирования временных рядов // Вести Моек ун-та, сер Физ -астр , 2002, No6, с 3 21

84. И А Истомин, О Л Котляров, А Ю Лоскутов К проблеме обработки временных рядов, расширение возможностей метода локальной аппроксимации посредством сингулярного спектрального анализа // Теор и матем физика, 2005, т142, Nol, с 148 159