Новые точно решаемые модели классической и квантовой кинетики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

На правах рукописи

V

ИЛЬИЧЁВ Леонид Вениаминович

НОВЫЕ ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ КЛАССИЧЕСКОЙ И КВАНТОВОЙ КИНЕТИКИ

01.04.05 "Оптика"

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

г

Новосибирск - 2003

Работа выполнена в Институте автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Докторов Александр Борисович

доктор физико-математических наук Заболотский Александр Алексеевич

доктор физико-математических наук Тайченачев Алексей Владимирович

Ведущая организация: Институт математики СО РАН.

Г. Новосибирск.

Зашита состоится ^у^е^У 2003 г. в ^°

час.

на заседании диссертационного совета Д 003.005.01 при Институте автоматики и электрометрии СО РАН (630090. г. Новосибирск. просп. Акад. Коптюга. 1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института автоматики и электрометрии СО РАН.

Автореферат разослан 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Ж>—

Кольченко А.П.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Все физические системы в природе являются открытыми в той или иной степени, т.е. воздействие окружения сказывается на их эволюции, делая её необратимой. По этой причине все физические процессы относятся по-сушеству к разряду кинетических, а обратимые процессы есть определённая идиализапия.

Основной сложностью, органически присущей кинетике, является большое разнообразие типов необратимой эволюции. Это обстоятельство в свою очередь диктует разнообразие и изощрённость математических методов, привлекаемых для анализа кинетических проблем. В такой ситуации очевидна роль моделей - теоретических структур, построенных при сознательном отступлении в сторону упрощения от фундаментального (на данном этапе) уровня описания. Особенно ценны точно решаемые модели, позволяющие получать аналитическое описание сложных процессов. Удачная точно решаемая модель становится опорой для развития физической интуиции.

Построение большинства моделей, предложенных в работе. было мотивировано развитием нелинейной спектроскопии газов и теории светоиндуцированных явлений переноса (в частности. теории светоиндуцированного дрейфа (СИД)) [1]. Эти области лежат на стыке оптики, квантовой механики и газовой кинетики и с самого своего возникновения служат полем применения различных моделей, ррль которых сводится к упрощению одной стороны (чаще - межчастичных столкновений) достаточно сложного явления, что позволяет более строго обойтись с другой его составляющей (оптической). Множество основных моделей, используемых в светоиндуцированной газовой кинетике невелико. В него входят модель сильных столкновений (известная также как модель БГК) [2]. модель

слабых столкновений [3]. модель Килсона-Сторера [4]. '"модель кенгуру'; [5] и модель газа Лоренца [3]. Расширение этого арсенала представляется весьма актуальным. В частности, хотелось бы иметь побольше конкретных примеров так называемой модели с изотропным по скоростям столкновительным членом прихода.

Настоятельная необходимость в моделях кинетики частиц с внутренним угловым моментом. С точки зрения теории све-тоиндуцированных явлений переноса особенно важно умение адекватно описывать влияние вращения атомов и молекул на акты межчастичных столкновений. Существующие многочисленные и развитые модели, представляющие частицы в виде нагруженных и шероховатых сфер и сфероцилиндров. слишком сложны и никак не могут претендовать на статус точно решаемых. В литература также с сожалением отмечалось отсутствие "базовой" модели вращательной релаксации молекул. подобной модели Ландау-Пайерлса релаксации квантового гармонического осциллятора [6].

К процессам светоинд^цированного переноса и нелинейной спектроскопии имеет прямое отношение явление разрушения когерентности в открытых квантовых системах. Учёт его обычно осуществляется в рамках простой феноменологии. Однако, такой подход может маскировать очень интересные и важные явления, особенно в тех ситуациях, когда разрушение когерентности служит основной составляющей процесса. Это имеет место, например при конверсии ядерных спиновых модификаций молекул, протекающей по сценарию так называемой квантовой релаксации [7]. [8]. К началу работы над диссертацией конверсия описывалась в рамках теории возмущений по внутримолекулярному взаимодействию, смешивающему спиновые модификации, и простым феноменологическим учётом декогерентизации. Хотелось бы выйти за преде-

лы этих ограничений.

Часто энерго-информапионный обмен между квантовой системой и окружением, следствием которого является разрушение когерентности, осуществляется в виде серий событий. Такая ситуация типична в квантовой оптике при рассмотрении процесса фотоотсчётов. ' Базовых" точно решаемых моделей в этой области не много. Наиболее известна, пожалуй, модель, даюшая статистику фотоиспусканий при резонансной флуоресценции двухуровневого атома [9]. Однако, учёт вырождения уровней (а в месте с ним и поляризации излучения) сильно усложняет модель и осуществлён не был.

Целью работы является развитие методов точного решения кинетических управляющих уравнений, расширение семейства моделей, позволяющих продвинуться в решении проблемы аналитического описания облучаемых газовых сред, построение новых "базовых'" моделей кинетики разрушения когерентности и генерации серий событий, создание новых моделей столкновительной релаксации по скоростям частиц с внутренним угловым моментом для использования в нелинейной спектроскопии и светоиндуцированной газовой кинетике.

Научная новизна.

В ¿шссертапионгной работе развит новый Метод решения управляющих уравнений рождения-гибели, и описан достаточно широкий класс модельных уравнений, к которым он применим. Показано, что в этот класс входят как модели квантовой оптики, так и модель химического реактора с протеканием автокатализа. Распространение этого метода на модели линейной газовой кинетики позволяет, в частности, выявить новый тип симметрии известной модели Килсона-Сторера. Аналогичным образом удалось развить новый тип алгебраической классификации в определённом классе квантовых управляющих уравнений, достаточно близких в неко-

тором смысле к классическим.

В модели молекулярной вращательной релаксации впервые использовано расширение алгебры операторных компонент квантового углового момента до алгебры Ли симплекти-ческой группы 8р(А. Н). позволяющей естественным образом описывать переходы с изменением величины вращательного момента.

Впервые построена модель ядерной спиновой конверсии молекул (на примере #2). допускающая аналитическое исследование за пределами теории возмущений по внутримолекулярному смешивающему взаимодействию.

Впервые в модели для вычисления статистики фотоиспусканий при резонансной флуоресценции двухуровневого атома учтены вырождение уровней по направлениям углового момента. поляризация излучения, направление и поляризация испущенных квантов.

Впервые рассмотрены кинетические проявления процесса переброса нелокальных спиновых корреляций. Таким образом обнаруживается связь между физической кинетикой и квантовой теорией информации.

Научная и практическая ценность.

Найденное решение модели химического реактора со взаимным превращением энантиомеров пополняет множество точных результатов, касающихся проблемы возникновения хи-ральной чистоты биосферы.

Новые точно решаемые модели газовой кинетики частиц с угловым моментом позволяют отказаться от моментного приближения при анализе светоиндупированных явлений переноса. Особенно ценно освобождение от этого ограничения в нелинейной лазерной спектроскопии; где необходимо вычислять работу поля, интегрируя распределение недиагонального элемента матрицы плотности по скоростям. Модель вращатель— 6 —

ной молекулярной релаксации благодаря своим относительно простым алгебраическим свойствам должна найти применение в тех задачах кинетики, где конкретные детали устройства множества скоростей врашательных переходов не имеют первостепенной важности. В то же время не лишены основания претензии модели на описание реального процесса., если в нём доминируют переходы с AJ = ±1. Модель ядерной спиновой конверсии водорода может служить прототипом при построении более реалистичных и важных моделей конверсии сложных молекул, таких, например, как С#3.Р.

Нахождение точной статистики фотоотсчётов в поле квантованной моды, контактирующей с тепловым резервуаром, имеет очевидный самостоятельный интерес. То же относится к резонансной флуоресценции двухуровневого атома. Построенная модель позволяет ответить практически на любой вопрос о корреляциях фотоиспусканий в различные направления. компоненты триплета и типы поляризации.

Получение решения для стационарного пространственного распределения спин-скоррелированных пар позволяет приступить к изучению важного, интригующего и. насколько известно автору, неисследованного вопроса о свойствах среды с нелокальными спиновыми корреляциями. Такие корреляции должны проявляться, в частности, на характере флуктуаций суммарного спина элемента пространственной области в среде.

Основные положения, выносимые на защиту;

1. Суперсимметрийный метод нахождения стационарных состояний и уровней энергии уравнения Шредингера с форм-инвариантными потенциалами допускает обобщение на случай управляющих уравнений.

2. Существует достаточно широкий класс кинетических моделей "рождения-гибели", допускающих полное аналитиче-

ское решение суперсимметрийным методом. К этому классу принадлежит, в частности, модель химического реактора с протеканием кросс-инверсии энантиомеров.

3. В том же смысле, в каком одномерная модель слабых столкновений имеет симметрию квантового гармонического осциллятора, одномерная модель Килсона-Сторера обладает симметрией q-дeфopмиpoвaннoro осциллятора.

4. Ядро интеграла столкновений в любой модели для бесструктурных частиц может быть регулярным образом преобразовано в ядро столкновительной модели частиц с полуклассическим внутренним угловым моментом. Если известно решение исходного кинетического уравнения, то решение преобразованного уравнения также можно считать известным.

5. Для частиц с квантовым угловым моментом существует обобщение модели слабых столкновений. В простейшем случае соответствующее кинетическое уравнение допускает точное решение.

6. Существует модель вращательной релаксации молекул типа сферического волчка, основанная на операторах алгебры Ли метаплектической группы.

7. Задача об определении статистики фотоотсчётов в поле квантованной моды, контактирующей с тепловым 'резервуаром. допускает точное решение.

8. Преобразование переброса спиновых корреляций при рекомбинации фрагментов двух радикальных пар. находящихся в произвольных спиновых состояниях, может быть сформулировано на языке умножения матриц 4x4 при надлежащем выборе параметризации состояний.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2-ом Всесоюзном семинаре по оптической ориентации атомов и молекул (ВС00АМ-2. Ленинград. 1989 г.). на международном семинаре по светоиндуциро-

ванным кинетическим эффектам в атомах, ионах и молекулах (The Workshop "Light-Induced Kinetic Effects on Atoms. Ions and Molecules", о. Эльба. Италия. 2-5 мая 1990 г.). на международной школе "Лазеры и их применение" (International School "Lasers and Applications". Саяногорск. март 1989 г.) на научных семинарах ИАиЭ СОРАН. ИМ СО РАН; ИХКиГ СО РАН.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 17 публикациях. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 139 наименований. Общий объем диссертации 222 страницы, включая 6 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждена актуальность темы диссертации, сформулирована цель и основные задачи работы. Далее приведено краткое содержание диссертации и сформулированы защищаемые положения.

В первой главе описан класс кинетических управляющих уравнений рождения-гибели, допускающих нахождение точного решения методом, сходным в своих общих чертах с предложенным в [10] методом решения одномерного уравнения Шредингера. Идея этого метода пришла из суперсимметричной квантовой механики Виттена. поэтому метод назван '"суперсимметрийным". Уравнение рождения-гибели для распределения вероятностей р(п) (п = 0; 1.2....) имеет вид

pt(n) = W-{n + l)Pt{n + \) + W+{n-l)Pl{n-\) (1) ' -{W+{n) + W.{n))pt{n).

Здесь W±(n) есть скорости переходов п —» п±1. Предлагается рассматривать величину pt{n)/^p^(n). где - рав-

новесное распределение, как n-ую координату вектора ф1 из некоторого эффективного действительного гильбертова пространства Если выполнены условия детального баланса, то эволюционное уравнение, записанное для вектора ф1. позволяет ввести важное понятие кинетического оператора К:

фг(п) = -Кфг. (2)

Не трудно доказать, что К - симметрический и положительный оператор, аннулирующий единственно вектор, отвечающий равновесному распределению. Нахождение собственных функций (i = 0.1.2....) и собственных значений А, (0 = А0 < Aj < Кфг = Агф{. тождественно решению

кинетической задачи. Предлагается следующий МЕТОД нахождения {ф^ и {А;}. Ищется оператор А(0); действующий в П, такой, что К = Л*(0)Л(0) и А'егЛ*(0) = 0. Симметричность и положительность кинетического оператора при этом выполнены автоматически. Известным фактом является то. что все ненулевые собственные значения операторов Л(0)А*(0) и А*(0)А(0) совпадают. Следовательно; оператор Л(0)Л*(0) — Aj не только симметрический, что очевидно; но и положительный; и мы можем задаться целью представить его в виде Л*(1)Л(1). Если из этого уравнения удаётся найти и )Л(1); и Ai. то оказывается осуществлённым первый шаг МЕТОДА. Продолжение его на второй; третий и последующие шаги приводит к понятию наборов объектов

{А,■(*:)},=0.1.2..., Ы%=0.1.2...... А(к)., А*{к),

(к = 0,1; 2.....);

где для всех i имеем ^¿(О) = ф{. А,(0) = А;. а индекс к задаёт

(3

номер шага МЕТОДА. При этом

А{к)А*{к) - А*(к + 1 )А(к -f 1) = Ai(fc), (4)

и Aj(к) = А,+а - Ajfc.

Особенностью уравнения рождения-гибели является простота определения общего вида операторов А(к). При этом оказывается, что к-ому шагу МЕТОДА соответствует некоторое эффективное уравнение рождения-гибели со скоростями перехода W±{n. k). Операторное уравнение (4) превращается в пару соотношений для этих скоростей:

W-{n + 1. к) + W+{n, k)-W-{ntk + l)-W+(n,k + l) = A,(*).

W.(n,k)W+(n..k) = W.{n.k + l)W+{n- + 1). (5)

Решение уравнений (5) очерчивает множество уравнений рождения-гибели. эффективно поддающихся МЕТОДУ. Для решения системы (5) предлагается использовать следующий ан-зап:

W-{n,k) = f(k)W-{n). W+(n.k) = /-^W+C«* AO-

Доказывается.,что в качестве f(k) может фигурировать только степенная функция: f(k) = qk. После этого проведено полное описание возможных моделей. Aj(k) найдена как функция от Ai(l) и Ai(0). а скорости переходов W±(n) - как функции от Ai(l). Ai(0); W+(0) и ^+(1) (и. естественно, q). Классификация моделей оказалась не простой и связана, фактически, с возможным взаимным расположением на прямой параметров Ai(l). Ai(0); W+(0) и W+(l). В описываемом классе моделей присутствует и. следовательно, получает точное решение важная с точки зрения решения проблемы хиральной поляризации биосферы [11] модель химического реактора со взаимным превращением энантиомеров типа L и D:

обычная интерконверсия (рацемизация):

I & Я, (б)

реакция кросс-инверсии (автокатализ):

+ £ + + (7)

обратная реакция:

Ь + Ь ^ Ь + Б., + + (8)

Здесь - константы скоростей реакций. Кроме того в этом классе оказались и известные ранее модели - модель Ландау-Пайерлса. модель релаксации углового момента в нулевом магнитном поле, а также их д-деформированные аналоги. При классификации моделей оказалось удобным рассматривать номер шага МЕТОДА как новое квантовое число. Если ввести соответствующие повышающие и понижающие операторы, то классификации моделей можно придать алгебраическую форму. сопоставив каждому типу (их всего оказалось четыре) операторную алгебру, действующую на общем пространстве собственных векторов операторов вида А*(к)А(к).

' Во второй главе способ представления кинетического уравнения в виде уравнения эволюции вектора эффективного гильбертова пространства в мнимом времени под действием эрмитового положительного гамильтониана применён к задачам линейной газовой кинетики и определённому классу квантовых кинетических уравнений. Это позволило выявить некоторые нетривиальные симметрии известных кинентических моделей и построить новые.

Применительно к моделям линейной газовой кинетики, т.е. к задачам о релаксации по скоростям разреженной примеси в

атмосфере более плотного равновесного буферного газа, вектором - представителем функции распределения /¿(г) является = /Дг>)/^//(е<!)(г>). где - равновесное максвел-ловское распределение. В случае одномерной модели слабых столкновений.

(и - безразмерная скорость) соответствующее уравнение для фг приобретает вид

д1ф^) = -[а*афг)(у), (10)

где а =

(V + а„)/л/2, а* — (у — - обычные бозевские

оператры уничтожения и рождения. Их коммутатор аа* — а*а = 1 есть частный случай цепочки операторных уравнений (4). Собственные функции кинетического оператора а*а, у;,- а ехр(—у2/2) Н{(ь). где Я,(и) - полиномы Эрмита. Поучительным оказалось сравнение этого достаточно простого случая с одномерной моделью Килсона-Сторера. в которой

а,/,00 = I А(у'\и)Му)<1ь'., ■ (11)

и ядро А{ь\ь') правой части - интеграла столкновений - есть

ЛИ«') = ЛЙНО = [* (1 - я2)}~Ф ехр [-^"^Л , (12)

1 1 — q¿

Параметр 0 < ц < 1 - так называемый параметр персистен-ции скорости - оказался одновременно параметром деформации алгебры операторов Акя и А*кз. произведение которых даёт кинетический оператор в соответствующем уравнении

дгфг = Л*к<;Акз'фг■ Оказывается, что теперь цепочка (4) реализуется так. что Акз{к) = цк^Акз и А!(к) — цк\\, и. соответственно

- «Иа'ИК® = 1 " У- (13)

Это есть определяющее соотношение ^-деформированной алгебры Гейзенберга-Вейля /г9(1). Набор собственных векторов кинетического оператора Килсона-Сторера тот же. что и в модели слабых столкновений. На этом наборе реализуется деформированное представление Фока.

Интересен факт существования кинентической модели, эквивалентной в алгебраическом смысле модели Килсона-Сторера и имеющей, в частности, тот же спектр кинетического оператора. Уравнение этой модели, названной моделью псевдо-Килсона-Сторера. оказывается таким:

<9г /г(у) = - /<(«) - ехр(—2гии - Згг2)/,(г» - 2ги)

+ [1 +ехр(-2гми - и2)] /£(и - ги), (14)

где и — у'— 1п .у/д. Релаксация по действительным скоростям происходит с участием аналитического продолжения функции распределений в,область комплексных скоростей. По этой причине уравнение (14) не применимо для описания населен-ностей. но даёт непротиворечивую картину релаксации по скоростям недиагональных элементов матрицы плотности. Совершив преобразование и ги вместе с подходящим сдвигом в пространстве скоростей, можно перейти от модели (14) к новой модели, где фигурируют только действительные значения скорости. Алгебраические свойства соответствующего кинетического оператора усложняются и задаются теперь бесконечномерной д-деформированной алгеброй.

В рамках аналогичного подхода - через введение пары А и А*, факторизуюшей кинетический оператор - нетрудно вве-

сти обобщения г модели кенгуру'-, известной также как модель с факторизовайным ядром столкновительного члена.

Обращение к квантовым управляющим уравнениям, записанным в форме Линдблада [12]. требует введения операторных аналогов вектора фх. В этом качестве предложено использовать оператор ф1 = рё^4 РгРё^4 ■■ где Р1 ~ матрица плотности системы, а /5ед - её равновесный вариант. Вместо кинетического оператора теперь появляется кинетический супероператор /С. доказательство его симметричности и положительности осуществлено при следующих предположениях: 1 - рассматриваются только "широко-открытые" системы, эволюция которых целиком определяется взаимодействием с окружением; 2 - предполагается существование выделенного, т.н. "кинетического" базиса {|п)} состояний системы, такого. что населённости базисных состояний эволюционируют согласно некоторому классическому управляющему уравнению. а все недиагональные элементы матрицы плотности в процессе релаксации затухают, при этом операторы Линдблада действуют на множестве элементов кинетического базиса посредством сдвигов. Двух этих предположений достаточно для доказательства симметричности К. Если дополнительно предположить, что равновесные населённости реч{п) зависят от номера п степенным образом, то К. оказывается положительным: /С = А]А.т. где з задаёт длину сдвига в последовательности состояний кинетического базиса.

Описание квантовых кинетических моделей, попадающих в рассматриваемый класс, сводится фактически к нахождению скоростей перехода соответствующих классических управляющих уравнений. Эта процедура тесно связана с исследованием структуры алгебры, порождённой супероператорами А} и А* и названной кинетической алгеброй. В рассматриваемом случае стпенного равновесного распределения реч{п) ос

д2п оказывается удобным ввести модифицированный набор супероператоров {Л^к)") согласно следующему

определению:

Шт(п.п') * + + (15)

Здесь ]У(п\п') - скорости перехода из соответствующего классического управляющего уравнения. При этом Д,(0) = Лг Из соотношений детального баланса следует, что введённый набор содержит все свои сопряжённые. В диссертации подробно рассмотрен случай, когда введённый набор операторов (и. следовательно, кинетическая алгебра) подчинён структуре алгебры Ли. Наиболее общий вид определяющих коммутационных .соотношений этой алгебры таков:

{Л,(к)., Л3(1)] = + /) + 7,-(* + 1)6^3, (16)

где /3,^ - структурные коэффициенты, а 7¿(А;) - числовые центральные параметры. В случае одношаговых процессов, т.е. при 3 — {±1.0} кинетические алгебры Ли могут быть трёх типов - алгебра Гейзенберга-Вейля /?.(2). алгебра би(2)фзи(2) и алгебра бм(1.1)ф5и(1.1). В случае неограниченной величины прыжка возникающая операторная структура оказывается градуированной алгеброй Вирасоро. Во всех случаях найдены скорости переходов соответствующих классических управляющих уравнений.

В конце Главы приведён пример эффективного использования понятия нелинейной кинетической алгебры (алгебры

для решения квантового варианта <7-деформированной модели из 1-ой главы о релаксации спина в нулевом магнитном поле.

Третья глава целиком посвящена кинетическим моделям частиц с внутренним угловым моментом. Мотивом построения таких моделей явились, как уже говорилось выше, исследования по теории светоиндунированных газокинетических процессов. Первой рассматривается модель наиболее близкая классической физике. Модель описывает релаксацию по скоростям разреженной примеси частиц с угловым моментом в атмосфере гораздо более плотного бесструктурного буферного газа. Столкновения предполагаются упругими. Угловой момент J частиц считается квантованным только по величине, но не по направлению s = J/J и называется поэтому полуклассическим [13]. В пределе большой величины J углового момента его направление (и. естественно, величина) не изменяется в результате столкновения, хотя и модифицирует его результат. Таким образом, происходит эффективное расщепление всего ансамбля релаксируюших частиц на подансамбли с заданным J. Эти подансамбли эволюционируют независимо согласно линейному уравнению Больцмана с некоторым столкновительным ядром A{v\v'.J). Проблема состоит в построении "разумного" ядра, воспроизводящего известные из светоиндупированной газовой кинетики частиц с угловым моментом ' эффект Магнуса" и "эффект парусника". В диссертации предложен следующий общий приём такого построения - ядро A0(v\v') из любой модели частиц с невырожденными уровнями преобразуется в ядро A(v\v'.J) согласно правилу

A(v\v'. J) d= A^{v\v'(l3)). (17)

где

v{fi) = s(s • г?) + [v — s(s ■ «)] cos/3 + (sxo) sin /3 (18)

есть результат правого поворота вектора v вокруг s на угол /3 ос J. .Упомянутые выше эффекты воспроизводятся в новой

модели. Более того, показано, что если известно аналитическое выражение для функции Грина СгоМ15') стационарного кинетического уравнения в теории СИД с ядром Ао(ь\ь'). то соответствующая функция Грина С(ь |г>'. .7) модифицированной модели получается из С?о(1>|«') и Ло(и|и') с помощью конечного числа операций сложения, умножения и интегрирования.

В следующей модели угловой момент частиц уже полностью квантован. Модель не оказывается безнадёжной в плане получения точного решения, т.к. релаксация по скоростям описывается в рамках структуры, сходной с моделью слабых столкновений, а именно, распределение ¿) матрицы плотности по скоростям эволюционирует согласно уравнению

дгр(ьЛ) = <9, (^АЛрОМ)] + \д3Вц\рЫ)]) (19)

где в сносовом и диффузионном членах фигурируют, соответственно. супероператоры А^ и В1у Их тензорная структура строится из компонент оператора углового момента частиц. Антисимметричная часть А^ ответственна за "эффект Магнуса". а симметричная бесследовая часть - за "эффект парусника". Не все феноменологические члены, в Ац и В1}. которые можно выписать из общих геометрических соображений, имеют право на существование. Некоторые запрещены соотношениями взаимности Онсагера-Казимира. а ряд других следует исключить, если считать по аналогии с 1-ой и 2-ой главами, что выражение / Тг р2(ь. t)W~1{v)(Pv - распределение

Максвелла) есть функционал Ляпунова рассматриваемой модели. В диссертации получено явное решение уравнения (19) для случая частиц с угловым моментом 1/2.

Третья модель в тексте Главы предназначена для описания вращательной релаксации молекул типа сферического

волчка. Угловой момент предполагается квантованным. Набор операторов, входящих в кинетическое уравнение и описывающих вращательные переходы, содержит кроме трёх компонент углового момента 3. также оператор величины момента J и два векторных оператора J и J = (J J . ответственных за переходы с увеличением и уменьшением J на единицу. Эти операторы получены при обобщении известного

представления Жордана-Швингера [14]. 10-мерное простран-- * (±)

ство с базисом {3, 3,3 }. оказывается алгеброй Ли действительной симплектической группы 5р(4. R).

Кинетическое уравнение модели имеет вид

dtp(t) + zlH0,№) = [J{~4(j)eMPj)p(t)-Q(j)J{+)}

+ [ J(_)9( j), p(t) q(j) exp (¡33) JW] + h.c. (20)

Здесь H0 = w( J • J) - гамильтониан свободного вращения. /3 = ш/квТ - больцмановский фактор: функция q(3) специфицирует модель и определяется видом гамильтониана взаимодействия молекулы с окружением. Доказана эрмитовость и неположительность кинетического супероператора, построенного из правой части (20) по методу 2-ой главы. Простая алгебраическая структура модели позволяет легко находить рекуррентные соотношения между членами тейлоровских разложений гейзенберговских операторов, таких, например, как 3(t) или F{3, t), где F(3. 0) = Fq(3) - произвольный оператор величины углового момента.

Математический аппарат рассмотренной модели позволяет построить последовательное описание процесса конверсии ядерных спиновых модификаций молекул, протекающей по сценарию квантовой релаксации [8]. В качестве объекта была выбрана молекула типа #2 исключительно по соображениям относительной математической простоты структуры возмож-

ного внутримолекулярного взаимодействия Нт{х. смешивающего различные спиновые модификации. Воздействие окружения нарушает динамику нутаций между орто- и пара-модификациями. что и приводит к необратимости конверсии. В диссертации подробно рассмотрен эффект двух типов воздействия окружения. В первом случае внешний мир выступает как измеритель величины ядерного спина молекулы. Во втором - окружение не воздействует непосредственно на ядерный спин, но вызывает вращательную диффузию молекулы. Ядерные спиновые переменные подвержены декогерирующему эффекту из-за корреляции с величиной вращательного момента согласно принципу Паули. Показано, что модель позволяет в явном виде найти рекуррентные соотношения для коэффициентов тейлоровского разложения гейзенберговского оператора I(t) величины суммарного ядерного спина.

В моделях четвёртой главы предметом рассмотрения является характер информационного обмена между открытой квантовой системой и её окружением. Такой обмен зачастую осуществляется в виде серий событий. Каждому типу событий (т.е. типу изменения состояния окружения) соответствует определённый оператор Линдблада в квантовом кинетическом уравнении. Такая трактовка позволяет расширить понятие эволюционирующего объекта в этом уравнении - вместо матрицы плотности pt квантовой системы теперь фигурирует набор операторов где индекс а специфицирует состояние окружения. Например, для процесса фотодетектирования (с одним детектором) этот индекс есть просто число п зарегистрированных фотонов. При этом Тг есть вероятность pt(n) получить п фотоотсчётов к моменту времени t.

Предметом первой задачи Главы явилось нахождение статистики фотоотсчётов в системе источника, детектора и контактирующей с ними квантованной полевой моды, описыва-

емой операторами рождения и уничтожения а* и а. Удобным промежуточным объектом при вычислении статистики явилась операторнозначная производящая функция =

1пр\ от числового параметра /. Источник моделировался совместным действием классического гармонического тока и теплового резервуара со средней скоростью рождения фотонов д/] и скоростью гибели + Для начального равновесного состояния была найдена производящая операторнозначная функция, а в случае отсутствия тока удалось найти и само распределение числа фотоотсчётов:

Р1

где

"м-Е (»)

Я1 а,>0,...,оп>0 Ч*=1 У 1 °к] 4 41 4

как=п

к = 1

(к) « =

и2 - 7£)

(22)

ь>и0

Здесь О = 2и\. и = 7 + ь>а = у/ь'2 — '¿'уБ. 7 - параметр размерности частоты, задающий эффективность детектора. а ^±1/2 М - модифицированные функции Бесселя. Распределение (21) демонстрирует естественное свойство суперпуассо-новости.

Следующей рассматривается задача о статистике фотоиспусканий резонансно-флуоресцирующего атома. Угловые моменты уровней предполагаются достаточно большими для применимости полуклассического описания [13]. Как и в случае первой модели из главы 3 статистический ансамбль флу-

ореспирующих атомов распадается на изолированные подан-самбли с заданным направлением з. В рассматриваемой модели событиями являются фотоиспускания в заданную компоненту а триплета резонансной флуоресценции (а = — .0. +) в заданном направлении п и с заданной спиральностью <7 = ±1. Соответствующий оператор Линдблада имеет вид

¿в(9,п.в) = 1л{я,п, я)1а(в). (23)

Здесь ¿а(в) описывает переход между парой одетых состояний. отвечающей направлению в и компоненте а. а вся зависимость от 9 и п содержится в известной числовой функции р. Так как теперь имеется континуум типов событий, вместо одной переменной /. как в предыдущей модели, теперь надо использовать три функции /а(д. п). Операторно-значная производящая функция заменяется на функционал, уравнение для которого таково:

3,0,(8.. [/_, /о, /+]) + .[£(•),&(•, [/-,/о, /+])] = (24)

а ^

- \{к(8)и*)АЫ1-,10,/+])}+).

где

*(«:[/]) = £ ( МП)ШП,8)\Ч2П. (25)

В диссертации получено точное решение уравнения (24) при начальном стационарном состоянии атома. Это позволяет ответить практически на любой вопрос о статистики событий

флуоресценции. В частности, найдено распределение вероятностей числа фототсчётов детектором, настроенным на регистрацию фотонов, испущенных в определённую область параметров ([ и п и в определённую компоненту триплета.

Завершает Главу описание двух подвижных открытых квантовых систем, генерирующих события, типы которых зависят от точки пространства. Оказывается, что такая локализация характера информации, поступающей во внешний мир. приводит к появлению эффективных сил. действующих на квантовую систему.

В основе модели, рассмотренной в пятой главе, также лежит специфический информационный обмен между квантовой системой - коллективом частиц со спином 1/2 - и окружением. Предполагается, что в среде протекают две реакции: диссоциация, при которой рождаются пары частиц типов а и Ь. находящихся в скоррелированных спиновых состояниях, и рекомбинация, которой завершаются встречи пар частиц, если они оказываются в синглетном состоянии. В промежутках между актами диссоциации и рекомбинации частицы диффундируют в среде с равными коэффициентами диффузии О. При рекомбинации фрагментов (например 2 и 3) двух пар (1.2) и (3.4) скоррелированных по спину частиц, оставшиеся фрагменты 1 и 4. между которыми до акта рекомбинации отсутствовали какие бы то ни было корреляции, после рекомбинации пары (2.3) оказываются в скоррелирован-ном спиновом состоянии. Происходит так называемый переброс спиновых корреляций [15]; [16]. Событием, позваляюшим "актуализировать" переброс, является регистрация испущенного при рекомбинации кванта. Если ограничиться случаем рождения пар в синглетном и изотропном триплетном состояниях (со скоростями, соответственно. 70 и 71). множество спиновых парных состояний, появляющихся в среде, исчер-

пывается счётным набором

¿|»>Л'- ' 1

е 4

1 - .

3

/+(4)"Ро. (26)

Здесь Р0 - проектор на синглетное состояние, а I - единичный оператор в спиновом пространстве пары, п = 0.1.2.— При этом п = 0 отвечает синглетному состоянию, а п = 1 - изотропному триплетному. Двухкоординатные плотности /¿п'(г1.г2) скоррелированных пар частиц, находящихся в состоянии подчиняется в пространственно-однородном случае системе уравнений

йЛ(п)(п-г2) = -г^гО/^^-га) (27)

+ ^[^Чъ-тУ^Нг'-г^г' к=0

+ Я(дг1+дга)/<п)(г1-г2)

+ 7(П)(Г!М(Г1-Г2).

Здесь у задаёт скорость рекомбинации. а /г - плотность частиц каждого из двух типов. Стационарная плотности син-глетных пар г) имеет характерный спадающий профиль

с шириной порядка ОЛ^-О/у^ (70 + 71).

В диссертации получено решение и в более сложном случае. когда пары могут рождаться в любом из так называемых состояний Вернера.

В Заключении перечислены основные результаты, и кратко обсуждены перспективы их развития.

В Приложениях изложены вспомогательные сведения о теории светоиндуцированных явлений переноса, и доказана

теорема об экстремальном распутывании квантовой операции. имеюшая отношение к материалу 4-ой главы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Суперсимметрийный метод нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера распространён на управляющие уравнения рождения-гибели. В частности, удалось решить модельную систему химических уравнений с реакцией кросс-инверсии.

2. Аналогичный суперсимметрийный подход был применён и к уравнениям линейной газовой кинетики. Это подсказало путь построения некоторых новых моделей, в частности, модели. алгебраически (и спектрально) эквивалентной модели Килсона-Сторера.

•3. Определённый класс квантовых кинетических уравнений (достаточно близких в некотором смысле к классическим) удалось представить в виде уравнений эволюции в мнимом времени под действием положительного гамильтониана. Такое представление позволило обнаружить некоторые неявные симметрии исходных уравнений.

4. Построены следующие модели кинетики частиц с внутренним угловым моментом: газокинетическая модель для частиц с полуклассическим угловым моментом, обобщённая модель слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом, модель вращательной релаксации молекул типа сферического волчка. На основе последней построена кван-тово-релаксационная модель конверсии ядерных спиновых модификаций в водородоподобных молекулах.

5. Решена задача об определении статистики фотоотсчётов в квантованной моде поля, контактирующей с классическим током и тепловым резервуаром.

6. Решена задача о статистике фотоиспусканий резонансно-флуоресцирующего атома с полуклассическим угловым моментом.

7. В полуклассическом приближении решена задача о кинетике пререброса спиновых корреляций при рекомбинациях радикальных пар.

Основные результаты опубликованы в работах:

[1] Гельмуханов Ф.Х., Ильичёв JI.B. Макроскопическое вращение газа светом. // ЖЭТФ. 1985. т. 88, вып. 1. с. 4046.

[2] Гельмуханов Ф.Х.. Ильичёв JI.B. Светпоиндуцир о ванные вихри в газе. // Изв. АН СССР: Мех. жидк. и газа. 1985. № 2. с. 118-125.

[3] Gelmukhanov F.Kh.. Il'ichov L.V. and Shalagin A.M. Kinetic Theory of Light-Inducad Drift of Particles with Degenerate Energy Levels. // J. Phys. A. 1986. v. 19, p.2201-2213.

[4] Ильичёв JI.B. Кинетика ориентированных газовых сред. // Сборник научных трудов Второго Всесоюзного семинара по оптической ориентации атомов и молекул, ред. Клементьев Г.В.. Ленинград. 1990. с. 146-151.

[5] IPichov L.V. Кинетика частиц с внутренним угловым моментом.// Ргос. Int. School "Lasers and Applications'". 1991, v.3. p. 52-55.

[6] IHchov L.V. Generalized Grad's Methods in the Problems of Light-Induced Transport Phenomena in Gases. // Proc. Int.

Workshop ''Light Induced Kinetic Effects on Atoms. Ions and Molecules". ETS Editrice, 1991, p. 239-244.

[7] Il'ichov L.V. Reaction of Cross-Inversion in a Chiral Chemical System. // Chem. Phys. Lett.. 1995.. v. 234. p. 309312.

[8] Il'ichov L.V.. Chapovsky P.L. and Hermans L.J.F. Semiclassical Collision Model for Rotating Molecules. Application to Light-Induced Drift. // Physica A. 1995, v. 222. p. 63-74.

[9] Il'ichov L.V. A Semiquantum Fokker-Planck Equation for Spin-Velocity Relaxation of Gas Particles. //J. Phys. A. 1995. v. 28. p.4251-4259.

[10] Il'ichov L.V. Algebraic Phenomenological Model for Molecular Rotational Relaxation. // J. Phys. A. 1997. v. 30. p.4773-4782.

[11] Il'ichov L.V. Algebraic Operator Approach to Gas Kinetic Models. // Physica A, 1997, v. 237, p. 285-296.

[12] Il'ichov L.V. Algebraic Operator Approach to Death-Birth Master Equations: Application to Cross-Inversion in a Chiral Chemical System. // Physica A, 1998, v. 248, p.419-427.

[13] Il'ichov L.V. Prototype Model for Nuclear Spin Conversion in Molecules: The Case of "Hydrogen". // Physica A. 1999, v. 269, p. 410-417.

[14] Ильичёв JI.В. Фотоотсчёты в системе "источник - поле - детектор". // Теор. Мат. Физ.. 1999, т. 118, вып. 1. с.264-273.

[15] Ильичёв JI.В. Процесс рекомбинации, сопровождающийся телепортацией "квантовой зацепленности". // ЖЭТФ, 2000. т. 117. вып. 1. с. 248-252.

[16] Ильичёв Л.В. Кинетическая модель переброса спиновых корреляций. // Теор. Мат. Физ.. 2001. т. 127. вып. 1. с. 168-176.

[17] IPichov L.V. Algebraic Properties of a Special Class of Birth-Death Master Equations. //J. Phys. A, 2001. v. 34. p. 79697977.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:

[1] Rautian S. G.. Shalagin A.M. Kinetic Problems of Nonlinear Spectroscopy.

Amsterdam. New York: Elsevier Science Publishing Company. 1991. — 439 p.

[2] Bhatnagar P.L.. Gross E.P.. Krook M. A Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems.

Phys. Rev.. 1954. v. 94; p. 511-525.

[3] Лифшиц E.M.. Питаевский Л.П. Физическая кинетика. Москва: Наука. 1979. — 528 с.

[4] Keilson J. and Storer J.E. Q. Appl. Math., 1952. v. 10. p.243.

[5] Brissaud A.. Frisch U. Solving Linear Stochastic Differential Equations.

J. Math. Phys.. 1974. v. 15. No. 5, p. 524-534.

[6] Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках.

Москва: Мир., 1986. — 526 с.

[7] Чаповский П.Л. Конверсия ядерных спиновых модификаций молекул CH3F в газовой фазе.

ЖЭТФ; 1990; т. 97; с. 1585.

[8] Chapovsky P.L. Quantum Relaxation of Multilevel Particles. Physica A, 1996; т. 233; c.441.

[9] Kimble H.J. and Mandel L. Theory of Resonance Fluorescence.

Phys. Rev. A; 1976; v. 13, p. 2123-2144.

[10] Генденштейн Л. Нахождение точных спектров уравнения Шредингера с помощью супер симметрии. Письма в ЖЭТФ. 1983; т.38, с. 299-302.

[И] Гольданский В.И.; Аветисов В.А.; Аникин С.А., Кузьмин В.В. Нарушение зеркалной симметрии и проблема хиральной чистоты биосферы.

В сб. "Физическая химия (современные проблемы)" под ред. Колотыркина Я.М. — Москва: Химия; 1988. — 247 с.

[12] Lindblad G. On the Generators of Quantum Dynamical Semigroups.

Commun. Math. Phys., 1976, v.48, p. 119-130.

[13] Насыров К.А., Шалагин A.M. Взаимодействие интенсивного излучения с атомами и молекулами при классическом вращательном движении.

ЖЭТФ, 1981, т. 81. с. 649-663.

[14] Биденхарн Л.. Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике.

В 2-х томах — Москва: Мир. 1984.

[15] Brocklehurst B. Spin Correlation Effects in Radiolysis. Int. Rev. Phys. Chem.. 1985.. v. 4, p. 279-306.

[16] Zukowski M.. Zeilinger A.. Home M.A. and Ekert A.K. "Event-Ready-Detectors" Bell Experiment via Entanglement Swapping.

Phys. Rev. Lett.. 1993; v. 71. p. 4287-4290.

II м

Подписано к печати "12" марта 2003 г. Формат бумаги 60 х 84 1/16. Объём 1.9 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 131

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998 г. Редакционно издательский центр НГУ. 630090. Новосибирск-90. ул.Пирогова. 2

goo? -fi

S"4oo -5 4 0 0

Введение

1 Моделирование в кинетике.

2 Содержание диссертации и защищаемые положения

• 1 "Суперсимметрийный" подход к специальному классу управляющих уравнений рождения-гибели

1.1 Управляющее уравнение.

1.2 Управляющее уравнение рождения-гибели - общие соотношения

1.3 Используемый анзац.

1.4 Системы с бесконечным числом состояний.

1.5 Модели типа I с конечным числом состояний

1.6 Операторная алгебра для моделей типа 1а.

1.7 Модели типа II с конечным числом состояний.

1.8 Операторная алгебра для моделей типа II.

1.9 Модели типа III с конечным числом состояний

1.10 Случай q = 1.

1.11 Пример: модель кросс-инверсии в хиральной химической системе. 2 Мотивы "суперсимметрийного" подхода в задачах газовой кинетики и квантовой кинетики

2.1 Линеаризованная газовая кинетика - общие соотношения

2.2 "Модель кенгуру" и родственные модели.

2.3 Модель Килсона-Сторера.

2.4 Модель "псевдо-Килсона-Сторера" и родственные модели

2.5 Квантовые управляющие уравнения

2.6 Кинетическая алгебра.

2.7 Простейшие кинетические алгебры для одношаговых процессов.

2.8 Многошаговые процессы.

2.9 Пример нелинейной кинетической алгебры.

3 Кинетические модели для частиц с внутренним угловым моментом

3.1 Газокинетическая модель для частиц с "полуклассическим" угловым моментом.

3.2 Сила трения в модели для частиц с "полуклассическим" угловым моментом.

3.3 Кинетическое уравнение и его функция Грина для СИД частиц с "полуклассическим" угловым моментом

3.4 Модель слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом.

3.5 Диссипативные свойства модели слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом.

3.6 Алгебраическая феноменологическая модель вращательной релаксации молекул - основное уравнение.

3.7 Операторная алгебра молекулярного остова.

3.8 Кинетический супероператор модели молекулярной вращательной релаксации

3.9 Гейзенберговские уравнения движения в модели молекулярной вращательной релаксации.

3.10 Квантово-релаксационная модель ядерной спиновой конверсии в водороде - основное уравнение.

3.11 Гейзенберговский оператор величины ядерного спина

4 Модели "событийной" кинетики открытых квантовых систем

4.1 Предварительные замечания.

4.2 Фотоотсчёты в системе "источник-мода поля-детектор"

4.3 Обобщённые уравнения для процесса фотоотсчётов в цепи обратной связи.

4.4 Извлечение спектральной информации из статистики фотоотсчётов

4.5 Статистика спонтанных переходов при резонансной флуоресценции двухуровневого атома.

4.6 "Суперпозиционные" события на примере резонансной флуоресценции двухуровневого атома.

4.7 Модель динамического эффекта разрушения квантовой когерентности.

5 Кинетическая модель переброса спиновых корреляций

5.1 Предварительные замечания.

5.2 Полуклассическая кинетическая модель.

5.3 Распределение числа " волос" на замкнутой ограниченной поверхности в среде.

5.4 Перспективы более строгой модели.

Это моё сочинение - многословное и бесполезное - уже существует, в одном xi3 тридцати томов одной из пяти полок одного из бесчисленных шестигранников - так же, как и его опровержение.

Х.Л.Борхес "Вавилонская библиотека"

1 Моделирование в кинетике

И в классической, и в квантовой физике все эволюционирующие системы подразделяются на обратимые и необратимые. Обратимая эволюция есть (часто удачная) идеализация. Лаконичность её формулировки - особенно в случае гамильтоновой динамики - делает соответствующие системы благодарным объектом исследования и полем применения общих математических методов. Достаточно вспомнить о чрезвычайно эффективном понятии "группы динамической симметрии" (см, например, [1]). Несколько утрируя и рискуя изречь банальность, можно сказать, что все обратимые системы похожи между собой, а каждая необратимая система необратима по-своему. Последнее обстоятельство есть постоянный вызов попыткам распространить некий унифицированный подход подобный гамильтоновому на классические [2] и квантовые [3-5] диссипативные системы. В первом случае в жертву необратимости приносится голономность используемых функций динамических переменных, а во втором - ассоциативность алгебры квантово-механических операторов. До момента (довольно маловероятного) глобального успеха такого рода попыток необходимо считаться с разнообразием типов необратимой эволюции (кинетики).

Дать сколь-нибудь исчерпывающий обзор литературы по необратимым системам вряд ли возможно. Даже толстые монографии (например, [6]) касаются только отдельных направлений в море кинетических проблем. Разнообразие и изощрённость используемых математических методов отражает широту тематики. В такой ситуации особенно возрастает роль теоретических моделей, как реперов физической интуиции, зачастую дающих единственную возможность продвинуться в решении сложной проблемы. Физики по-существу всегда работают с моделями, но не во всех областях этот факт является одинаково очевидным. Удачность модели освобождает её автора от многих сложных и неудобных вопросов коллег касательно вывода модели из первых принципов фундаментальной микроскопической теории. Яркими примерами в этой связи служат знаменитая модель Бхатнагара-Гросса-Крука (БГК)1 [7] и модель Килсона-Сторера [8] в кинетической теории газов. Обобщение модели БГК на случай многокомпонентного газа было сделано Сировичем [9]. Не существует строгого вывода этих моделей из уравнения Больцмана, однако, их адекватность и полезность неоспоримы. Невозможно представить себе развитие нелинейной спектроскопии газов и светоиндуцированной газовой кинетики [10] без модели БГК, часто именуемой также моделью сильных столкновений, хотя, конечно, при серьёзном анализе процессов переноса в газах модель БГК, модель Килсона-Сторера или третий член этой компании - так называемая модель слабых столкновений (см, например, [6,11,12]) - в настоящее время не применяются. Этот пример использования моделей достаточно типичен - введение в задачу модели позволяет упростить одну сторону (в упомянутом случае - межчастичные столкновения) достаточно слож

1 Одновременно и независимо эта модель была предложена также в малоизвестной работе Welander P. Arkiv Fysik, 1954, v. 7, p. 507. ного явления, чтобы успешно расправиться с другой (взаимодействие частиц с излучением).

Описываемые в диссертаци модели кроме некоторых других объединяющих черт несут общий признак, названный "точной решаемостью". Смысл этого определения несколько меняется от одной модели к другой, но, в общем, отражает возможность довольно далеко продвинуться в их аналитическом исследовании. Свойство точной решаемости повышает шансы модели (в тандеме с другими моделями) на успех в решении непростых комплексных проблем. При этом, конечно, не следует впадать в крайность и строить тривиальные модели - надо найти верный путь между Сциллой простоты и Харибдой строгости. Автор надеется, что в какой-то мере это ему удалось. Во всяком случае он пользовался критерием Халмоша [13] и может сказать, что каждая из рассмотренных в диссертации моделей в чём-то удивила его и хоть раз поставила в тупик.

Перейдём к обзору тем кинетической теории, затронутых в диссертации. Среди них присутствуют как классические направления, так и квантовые. Начнём с классических. Линейные (по отношению к функции распределения) кинетические уравнения являются, по-существу, различными частными случаями общего управляющего уравнения, иначе называемого уравнением Колмогорова-Феллера [14]. При дискретном характере случайной переменной управляющее уравнение находит применение в атомной и молекулярной физике, квантовой оптике и биологии. При этом роль случайной переменной играет номер квантового уровня (в тех случаях, когда проблему можно адекватно описать на языке населённостей), число частиц или особей определённого вида. Вся специфика задачи определяется при этом набором скоростей перехода между различными значениями случайной переменной. Аналитическое решение дискретного управляющего уравнения получить удаётся далеко не всегда. Обычно управляющее уравнение превращают в уравнение типа Фоккера-Планка. Отдельной проблемой является выбор правильной процедуры такого перехода, осуществляемого через тот или иной вид характеристической функции исходного распределения или с помощью предложенного Гардинером и Чатурведи метода пуассоновских распределений [15], и оценка возникающих при этом ошибок. Получающееся уравнение Фокера-Планка тоже часто требует проявления изобретательности для своего решения. В связи с моделями, рассматриваемыми в диссертации, следует вспомнить о известном факте - возможности преобразовать уравнение Фоккера-Планка с постоянным коэффициентом диффузии в уравнение Шредингера с мнимым временем [16]. Это наблюдение привело ряд авторов [17-19] к идее применить при решении таких уравнений методы суперсимметричной квантовой механики Виттена [20], уже доказавшие свою эффективность в вычислении уровней и соответствующих стационарных состояний уравнения Шредингера с широким классом потенциалов; [21] - самая ранняя известная автору работа по этой тематике. Первой целью диссертации является использование определённого обобщения суперсимметрийного подхода в самом исходном управляющем уравнении для получения в итоге его точного решения. Этот подход не является, естественно, универсальным, и основная проблема состоит в описании множества эффективно разрешимых кинетических моделей.

Уравнение Колмогорова-Феллера с непрерывной случайной переменной есть основа описания релаксации разреженной компоненты в атмосфере гораздо более плотного буферного газа. Различные модификации этого уравнения отвечают за столкновительную составляющую эволюции матрицы плотности поглощающих частиц в нелинейной спектроскопии [22] и светоиндуцированной газовой кинетике. Как уже говорилось, в этой области популярны модели сильных и слабых столкновений, модель Килсона-Сторера и "модель кенгуру" [23]. Впервые модель Килсона-Сторера была применена к светоиндуцированной газовой кинетике в работе [24]. Затем авторы обобщили свой подход и работали с наборами собственных значений абстрактных столкнови-тельных операторов [25]. "Модель кенгуру" была введена в светоиндуцированной газовой кинетике в работе [26].

Видно, что описанный арсенал моделей небогат. Расширение семейства моделей, позволяющих продвинуться в аналитическом решении проблем облучаемых газовых сред, есть вторая цель диссертации. Инструментом послужил тот же самый "суперсимметрийный" метод, с успехом использованный в случае дискретной случайной переменной.

Если искать в квантовой кинетике уравнение, сравнимое по общности и популярности с уравнением Колмогорова-Фелллера, то это, несомненно, квантовое управляющее уравнение в форме Линдблада [27]. Указанная работа явилась в определённом смысле завершающей в серии глубоких статей разных авторов, сформировавших в 60-70-х годах подход к необратимой эволюции квантовых систем на основе понятия динамической полугруппы [28—30]. Генераторы этой полугруппы были описаны в абстрактной форме Коссаковским [31]. Заслуга Линдблада, Крауса [32], а также авторов работы [33] в последовательном привлечении принципа полной положительности [34] эволюции матрицы плотности системы.

Кинетическое уравнение в форме Линдблада описывает марковскую эволюцию открытой квантовой системы, обменивающейся с окружением энергией и информацией. Для нас важна ситуация, когда хорошей моделью такого обмена является серия событий - локализованных во времени (и в идеале имеющих нулевую длительность) актов изменения состояния классического окружения. Основным содержанием этого изменения - если отвлечься от энергетического обмена - служит изменение корреляций между состояниями системы и окружения. Наиболее последовательно такого взгляда придерживаются Бланшар и Ячик, авторы концепции Event-Enhanced Quantum Theory (EEQT) - квантовой теории, "усиленной" событиями, развиваемой в рамках программы Quantum Future. [35-39] - некоторые работы по этому направлению. В EEQT разработан также алгоритм для построения серий событий, но нам он не понадобится. Квантовая система, помещённая в классическое окружение, является, таким образом, естественным генератором событий, и само понятие события неразрывно связано с возможностью деления Вселенной на систему и окружение. Элементы подхода EEQT неоднократно появлялись ранее [40], [41] и тесно связаны с идеей "квантовых скачков" (см, например, [42]).

Естественным потребителем моделей "событийной" кинетики является теория фотоотсчётов. Классические варианты этой теории хорошо разработаны [43]. Давно созданы [44] и основы квантового варианта, развитого до последовательного учёта обратного влияния детектора на квантованное поле [45]. Большое внимание привлекла в своё время статистика фотоиспусканий при резонансной флуоресценции двухуровневого атома [46], [47]. Была предсказана [48] и обнаружена [49] антигруппировка фотоиспусканий в каждый из боковых компонентов триплета, а для фотоиспусканий в боковые компоненты (без их различения) имеет место группировка событий [50]. Проблемой остаётся математическая сложность большинства задач в этой области. Мало исследованы и квантовые системы с обратной связью (см, однако, [51], [52]), описание которых в рамках EEQT представляется наиболее естественным.

К "событийной" кинетике близко примыкает физика разрушения когерентности в квантовой системе как одного из проявлений возникновения корреляций между состояниями системы и окружения. Это явление особенно интересно в тех ситуациях, когда разрушение когерентности превращается из досадного и мешающего фактора (например, в квантовом компьютере) в необходимый ингредиент физического процесса. В эту группу можно отнести явление конверсии энантиоме-ров [53], распад нейтральных каонов (см., например, [54]), осцилляции нейтрино в среде [55] и недавно предложенный [56] и доказанный [57-59] новый механизм конверсии ядерных спиновых изомеров молекул. Третьей целью диссертации выбран поиск точно решаемых моделей событийной кинетики и кинетики разрушения когерентности.

Важной темой как для классической, так и для квантовой кинетики является описание релаксации в газах частиц (молекул) с вращательными степенями свободы. В химической физике плотных газов и жидкостей обычно моделируют вращательную релаксацию стохастическим процессом в трёхмерном пространстве классического углового момента [60-68]. В первой и в двух последних из перечисленных работ использовалась, в частности, модель Килсона-Сторера, приспособленная для вращательных степеней свободы. В разреженных газах вращательная релаксация обычно неотделима от поступательного движения частиц. Это направление с самого своего зарождения - более века назад - превратилось в полигон разнообразных моделей. Первой появилась модель Брайана [69], который учитывал несферичность взаимодействия молекул, представив их в виде шероховатых сфер. Практически одновременно родилась модель Джинса [70] - модель нагруженных сфер, центры тяжести которых смещены относительно их геометрических центров. Через полвека в связи с потребностями технологии разделения изотопов наблюдалась резкая вспышка интереса к кинетической теории молекулярных газов. В работах [71-74] на основе обобщённого метода Чепмена-Энскога для модельных газов из нагруженных сфер и сфероцилиндров была построена формальная теория явлений переноса. Связь такого рода моделей (для случая модели "овалоид-сфера") с упомянутыми выше прослежена в работе [75].

Следующим этапом в развитии данного направления стало появление кинетического уравнения для газа частиц с вращательными степенями свободы - уравнения Кагана-Максимова [76], [77] для функции распределения, усреднённой по быстро меняющемуся углу вращения молекул. В уравнение естественным образом вошли члены, описывающие прецессию вращательного момента молекулы во внешних полях. Это позволило, в частности, объяснить эффект Зентфлебена-Беенаккера.

К этому времени уже было выведено последовательное квантово-механическое кинетическое уравнение для частиц с вращательными степенями свободы - уравнение Вальдмана-Снайдера [78], [79]. Его модификация, осуществлённая Раутианом (см, например, [22]) нашла широкое применение в нелинейной лазерной спектроскопии газовых сред. Появившаяся в 80-х годах светоиндуцированная газовая кинетика быстро добралась до описания эффектов, обусловленных вырождением энергетических уровней частиц по направлениям углового момента [80]. Основой этого описания служил моментный (типа Грэда) метод решения кинетического уравнения Вальдмана-Снайдера-Раутиана, дополненного "полевыми" членами. На этом пути было обнаружено целое семейство новых явлений: светоиндуцированные вихри в облучаемом газе - "эффект Магнуса" и "эффект парусника" (или "эффект киля") [81], [82], поляризация молекул дрейфом - "эффект флюгера" [83], ориентация хиральных молекул дрейфом - "эффект пропеллера" [84], аномальное поведение плотности выстраивания и тензора газодинамических напряжений в облучаемых хиральных газовых средах - "эффект геликоптера" [85] (см. детали в Приложении А). Указанные эффекты проявлялись в виде столкновительного "зацепления" различных поляризационно-газодинамических моментов матрицы плотности поглощающих частиц, а соответствующие кинетические коэффициенты выражались через комбинации точных (и неизвестных) амплитуд рассеяния. Желательно однако, было выйти за рамки моментного приближения при решении кинетического уравнения (например, для вычислении работы поля), не теряя при этом новые эффекты. Эта программа - создание новых полуфеноменологических моделей столкновительной релаксации в газах частиц с внутренним угловым моментом для использования в нелинейной спектроскопии и светоиндуцированной газовой кинетике является четвёртой целью диссертации.

Заключение

Теперь, когда я смотрю на свои скромные достижения, то вижу перед собой только незамысловатый набор плотницкого инструмента, жестяные часы и кучу обойных гвоздей - вот как будто всё, что потребовалось для осуществления моей затеи.

Джошуа Спокам "Один под парусами вокруг света"

Подводя черту, перечислим основные результаты и скажем немного о степени завершённости и перспективах развития рассмотренных моделей.

1. Суперсимметрийный метод нахождения собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера распространён на управляющие уравнения рождения-гибели. В частности, удалось решить модельную систему химических уравнений с реакцией кросс-инверсии.

2. Аналогичный суперсимметрийный подход был применён и к уравнениям линейной газовой кинетики. Это подсказало путь построения некоторых новых моделей, в частности, модели, алгебраически (и спектрально) эквивалентной модели Килсона-Сторера.

3. Определённый класс квантовых кинетических уравнений (достаточно близких в некотором смысле к классическим) удалось представить в виде уравнений эволюции эффективного вектора состояния в мнимом времени под действием положительного гамильтониана. Такое представление позволило обнаружить некоторые неявные симметрии исходных уравнений.

4. Построены следующие модели кинетики частиц с внутренним угловым моментом: газокинетическая модель для частиц с полуклассическим угловым моментом, обобщённая модель слабых столкновений для частиц с квантовым угловым моментом, модель вращательной релаксации молекул типа сферического волчка. На основе последней построена квантово-релаксационная модель конверсии ядерных спиновых модификаций в водородоподобных молекулах.

5. Решена задача об определении статистики фотоотсчётов в квантованной моде поля, контактирующей с классическим током и тепловым резервуаром.

6. Решена задача о статистике фотоиспусканий резонансно-флуоресцирующего атома с полу классическим угловым моментом.

7. В полуклассическом приближении решена задача о кинетике пре-реброса спиновых корреляций при рекомбинациях радикальных пар.

Материал первой главы представляется первым и в смысле своей законченности. Дальнейшее развитие описанного метода в плане поиска новых точно решаемых моделей рождения-гибели возможно только при условии обнаружения нового анзаца для уравнений (1.33). Как это сделать пока совершенно не ясно. Не удаётся также пока найти в множестве моделей рождения-гибели что-нибудь похожее на "условно-точно-решаемые" потенциалы (см., например, [133]), которые являются в настоящее время главным объектом исследования в суперсимме-трийном подходе к уравнению Шредингера.

Факт практического отождествления модели Килсона-Сторера и квантового q-деформированного осциллятора интересен и может оказаться полезным, например, из-за многих удобных свойств набора q-деформированных когерентных состояний. При этом могут найтись применения и для модели "псевдо-Килсона-Сторера", которая пока имеет в буквальном смысле статус "toy-model".

Симметрия квантовых управляющих уравнений, содержащаяся в кинетической алгебре представляется многообещающей, но извлечь из неё достаточную пользу пока не удалось. Присутствие этого материала среди "точно-решаемых" моделей оправдывается устойчивой уверенностью автора, что описанные квантовые кинетические уравнения допускают чисто алгебраический подход, и, в частности, должно существовать гораздо более краткое и изящное решение задачи о релаксации квантового спина в магнитном поле, чем полученное в работе [134] с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

Среди кинетических моделей третьей главы наибольшие перспективы развития, как представляется, имеет алгебраическая модель молекулярной вращательной релаксации. Оказывается, что если работать не со спинорным, а с матричным бозоном, можно естественным образом получить алгебру операторов, описывающих переходы между состояниями симметричного волчка. Отдельные элементы такого подхода с ограниченным набором операторов, не меняющим полного углового момента волчка, содержатся в [114], где с его помощью находятся D-функции Вигнера. Соответствующая кинетическая модель оказывается, к сожалению, значительно сложнее приведённой в диссертации.

Событийная кинетика с точки зрения автора представляется наиболее интригующей и перспективной. Если взять модель статистики фотоотсчётов, то простейший путь её развития подсказывается разнообразием возможных типов источников. В частности, оказывается, что использование источника квадратурно-сжатого излучения не выводит модель из класса "точно-решаемых". Автор берёт на себя смелость предсказать большое будущее квантовым системам с обратной связью как прообразам квантовых гомеостатов - объектов пока ещё не существующей, но наверняка обязанной появиться "квантовой кибернетики". Несколько неожиданные следствия целенаправленной модификации характера информации, поступающей от квантовой системы во внешний мир, были продемонстрированы на примере подвижных квантовых систем. Эти модели могут показаться чрезмерно искусственными, но они, по мнению автора, демонстрируют тесную связь квантовой физики и теории информации, которая прослеживается последнее время всё яснее и которая позволила Ячеку говорить об "алгоритмизации" современной физики, как о тенденции, сходной с давно пропагандируемой "геометризацией".

Модель пятой главы можно считать завершённой в её полуклассическом варианте. Возможности такого подхода представляются практически исчерпанными. Хочется надеяться на успех в развитии квантового варианта, однако на его пути стоят нерешённые проблемы адекватного описания протяжённых открытых квантовых систем.

В завершении я хочу исполнить приятный долг - поблагодарить за многолетнюю терпеливую поддержку и стимулирующие обсуждения своих учителей - С.Г.Раутиана, А.М.Шалагина и Ф.Х.Гельмуханова, а также коллег - П.Л.Чаповского, К.А.Насырова, А.И.Пархоменко, С.В.Анищика, А.А. Заболоцкого, О.У.Ууэмаа и других, пользу от бесед с которыми переоценить вряд ли возможно. Неоценимую редакторскую помощь мне оказала моя жена - Ильичёва Е.В. Щ

1. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и коге- рент,ные состояния квантовых систем. / / Москва: Наука, 1979. — 420 с.

2. Седов Л.И., Цыпкин А.Г. Принципы макроскопической теории гравит.ации и электромагнетизма. / / Москва: Наука, 1989.

3. Тарасов В.Е. Квантовые диссипативные системы I. Каноническое квантование и квантовое уравнение Лиувилля. /J Теор. Мат. Физ., 1994, т. 100, вып.З, с. 402-417.

4. Тарасов В.Е. Квантовые диссипативные системы III. Определение и алгебраическая структура. // Теор. Мат. Физ., 1997, т. 110, ВЫП.1, с. 73-85.

5. Тарасов В.Е. Квантовые диссипативные системы IV. Аналоги алгебры Ли и группы Ли. // Теор. Мат. Физ., 1997, т. 110, вып. 2, с. 214-227.

6. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. // Москва: Наука, 1979. — 528 с.

7. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М. А Model for Collision Processes in Gases. I. Small Amplitude Processes in Charged and Neutral One-Component Systems. / / Phys. Rev., 1954, v. 94, p. 511-525. список ЛИТЕРАТУРЫ

8. Kumar P., Ruiz-Altasba M. and Thomas B.C. Tunneling Exchange, Supersymmetry, and Riccati Equations. 11 Phys. Rev. Lett, 1986, V. 57, p. 2749-2751. список ЛИТЕРАТУРЫ 210

9. Jauslin H.R. Exact Propagator and Eigenfunctions for Multistable Models with Arbitrary Prescribed N Lowest Eigenvalues. // J. Phys. A, 1988, V. 21, p. 2337-2350.

10. Witten E. Dinamical Breaking of Supersymmetry. // Nucl. Phys. B, 1981, V. 188, p. 513-554.

11. Генденштейн Л. Нахождение точных спектров уравнения Шре- дингера с помощью супер симметрии. / / Письма в ЖЭТФ, 1983, Т.38, с. 299-302.

12. Раутиан Г., Смирнов Г.И., Шалагин A.M. Нелинейные резонан- сы в спектрах атомов и молекул. // Новосибирск: Наука, 1979. — 312 с.

13. Brissaud А., Frisch U. Solving Linear Stochastic Differential Equations. / / J. Math. Phys., 1974, v. 15, No. 5, p. 524-534.

14. Kryszewsky S. and Nienhuis G. Modelling Gas-Kinetic Effects of 1.ight on Gases with Keilson-Storer Collision Kernels, f/ J. Phys. B, 1987, V. 20, p. 3027-3046.

15. Kryszewsky S. and Nienhuis G. Modelling Gas-Kinetic Effects of 1.ight on Gases with Eigenvalues of Collision Operators. /J J. Phys. B, 1989, V. 22, p. 3435-3456.

16. Privalov T.I. and Shalagin A.M. Exact Solution of the One- and Three-Dimentional Quantum Kinetic Equations with Velocity-Dependent Collision Rates: Comparative Analysis. / / Phys. Rev. A, 1999, V. 59, p. 4331-4339.

17. Lindblad G. On the Generators of Quantum Dynamical Semigroups. II Commun. Math. Phys., 1976, v. 48, p. 119-130. список ЛИТЕРАТУРЫ 211

18. Sudarshan E.C.G., Mathews P.M. and Rao J. Stochastic Dynamics of Quantum Mechanical Systems. // Phys. Rev., 1961, v. 121, p. 920-924.

19. Mehra J. and Sudarshan E.C.G. Some Reflections on the Nature of Entropy and the Second Law of Thermodynamics. / / Nuovo. Cim., 1972, v . l l B , p. 251-256.

20. Ingarden R.S. Generalized Irreversible Thermodynamics and Its Application to X-Lasers. / / Acta. Phys. Polon., 1973, v. 43, p. 1-35.

21. Kossakowski A. On Necessary and Sufficient Conditions for a Generator of a Quantum Dynamical Semigroup. / / Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astr. et Phys., 1972, v. 20, p. 1021-1025.

22. Kraus K. General State Changes in Quantum Theory. / / Ann. Phys., 1971, V. 64, p. 311-335.

23. Gorini v. , Kossakowski A. and Sudarshan E.C.G. Completely Positive Dynamical Semigroups on N-Level System. / / J. Math. Phys., 1976, V. 17, p. 821-825.

24. Stinespring W.F. Positive Functions on C*-algebras. / / Proc. Amer. Math. Soc, 1955, v. 6, p. 211-216.

25. Blanchard Ph. and Jadszyk A. On the Interaction Between Classical and Quantum Systems. // Phys. Lett. A, 1993, v. 175, p. 157-164.

26. Jadszyk A. Particle Tracks, Events and Quantum Theory. // Progr. Teor. Phys. Lett., 1995, v. 93, p. 631-646.

27. Jadszyk A. On Quantum lamps, Events and Spontaneous 1.ocalization Models. / / Found. Phys., 1995, v. 25, p. 743-762. список ЛИТЕРАТУРЫ 212

28. Blanchard Ph. and Jadszyk A. Quantum Mechanics with Event Dynamics. / / Rep. Math. Phys., 1995, v. 36, p. 235-244.

29. Jadszyk A., Kondrat G. and OlkiewiczR. On Uniqueness of the Jump Process in Quantum Measurement Theory. // J. Phys. A, 1996, v. 30, p. 1-18.

30. Mollow B.R. Pure-State Analysis of Resonant Light Scuttering: Radiative Damping, Saturation, and Multiphoton Effects. / / Phys. Rev. A, 1975, v. 12, p. 1919-1943.

31. Cook R,J. Photon Number Statistics in Resonance Fluorescence. // Phys. Rev. A, 1981, v. 23, p. 1243-1250.

32. Plenio M.B. and Knight P.L. The Quantum Jump Approach to Dissipative Dynamics in Quantum Optics. / / quant-ph/9702007.

33. Saleh B. Photoelectron Statistics. // Belin: Springer, 1978. — 439 p.

34. Глаубер P. Оптическая когерентность и статист,ика фотонов. II В кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика, с. 91-280. — Москва: Мир, 1966. — 451 с.

35. Килин Я. Квантовая оптика: Поля и их детектирование. / / Минск: Навука и техника, 1990. — 176 с.

36. Kimble H.J. and Mandel L. Theory of Resonance Fluorescence. 11 Phys. Rev. A, 1976, v. 13, p. 2123-2144.

37. Mollow B.R. Power Spectrum of Light Scattered by Two-Level Systems. 11 Phys. Rev., 1969, v. 188, p. 1969-1975. список ЛИТЕРАТУРЫ 213

38. Carmichel H.J. and Walls D.F. A Quantum-Mechanical Master Equation TYeatment of the Dynamical Stark Effect. /J J. Phys. B, 1976, V. 9, p. 1199-1219.

39. Kimble H.J., Dagenais M. and Mandel L. Photon Antibunching in Resonance Fluorescence. Phys. Rev. Lett., 1977, v. 39, p. 691-695.

40. Apanasevich P.A. and Kilin S.Ja. Photon Bunching and Antibunching in Resonance Fluorescence. / / J. Phys. B, 1979, v. 12, p. L83-L86.

41. Yamamoto Y., Imoto N. and Machida S. Amplitude Squeezing in a Semiconductor Laser Using Quantum Nondemolition Measurement and Negative Feedback. / / Phys. Rev. A, 1986, v. 33, p. 3443-3261.

42. Wiseman H.M. Quantum Trajectories and Feedback. // PhD Thesis, Univesity of Queensland, 1994.

43. Stodolsky L. In Quantum Coherence. // Ed. Anandan J.S. — Singapore: World Scientific, 1990, p. 320.

44. Липкин Г. Квантовая механика. / / Москва: Мир, 1977. — 592 с.

45. Боум Ф., Фогель П. Физика массивных нейтрино. / / Москва: Мир, 1990. — 303 с.

46. Чаповский П.Л. Конверсия ядерных спиновых модификаций молекул CHzF в газовой фазе. / / ЖЭТФ, 1990, т. 97, с. 1585.

47. Nagels В., Schuurman М., Chapovsky P.L. and Hermans L.J.F. Intermolecular Versus Intramolecular Interactions in Nuclear Spin Conversion: Experiments with ^^СЩР — O2. // J. Chem. Phys., 1995, V. 103, p. 5161-5163. список ЛИТЕРАТУРЫ 214

48. Nagels В., Schuurman М., Ghapovsky RL. and Hermans L.J.F. Nuclear Spin Conversion in Molecules: Experiments on ^^СЩЕ Support a Mixing-of-State Model. / / Phys. Rev. A, 1996, v. 54, p. 2050-2055.

49. Nagels В., Galas N., Roozemond D.A., Hermans L.J.F. and Ghapovsky P.L. Level-Crossing Resonances in Nuclear Spin Conversion of Molecules. / / Phys. Rev. Lett., 1996, v. 77, p. 4732-4735.

50. Sack R.A. Proc. R. Soc. B, 1957, v. 70 p. 414.

51. Gordon R.G. On the Rotational Diffusion of Molecules, jj J. Ghem. Phys., 1965, V.44, p. 1830-1836.

52. McGlung R.E.D. Rotational Diffusion of Spherical-Top Molecules in 1.iquids. / / J. Ghem. Phys., 1969, v. 51, p. 3842-3852.

53. Fixman M. and Rider K. Angular Relaxation of the Symmetrical Top. II J. Ghem. Phys., 1969, v. 51, p. 2425-2438.

54. Pierre A.G.St, and Steele W.A. Collisional Effects upon Rotational Correlations of Symmetric Top Molecules. J. Ghem. Phys., 1972, V. 57, p. 4638-4648.

55. Hubbard P.S. Theory of Nuclear Magnetic Relaxation by Spin- Rotation Interactions in Liquids. 11 Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 1155-1165.

56. Hubbard P.S. Rotational Brownian Motion. 11 Phys. Rev. A, 1972, V. 6, p. 2421-2433. список ЛИТЕРАТУРЫ 215

57. Бурштейн А.И., Тёмкин С И . Коллапс вращательной структуры спектров колебательного рассеяния в плотных средах. / / ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 938-951.

58. Бурштейн А.И., Тёмкин С И . Спектроскопия молекулярного вращения в газах и оюидкостях, / / Новосибирск: Наука, 1982.

59. Bryan G.H. Philos. Trans., 1901, v. 196, р. 399-415.

60. Jeans J.H. Philos. Trans. Roy. Soc, 1901, v. A196, p. 397-405.

61. Curtiss C.F. Kinetic Theory of Nonspherical Molecules. / / J. Chem. Phys., 1956, V.24, p. 225-241.

62. Livingston P.M. and Curtiss C.F. Kinetic Theory of Nonspherical Molecules, IV. / / J. Chem. Phys., 1959, v.31, p. 1643-1655.

63. Dahler J.S. and Satcher N.F. Kinetic Theory of Loaded Spheres, I. II J. Chem. Phys., 1963, v. 38, p. 2363-2382.

64. Sandler S.L and Dahler J.S. Kinetic Theory of Loaded Spheres, IL II J. Chem. Phys., 1965, v. 43, p. 1750-1759.

65. Филиппов H.H. RT-обмен и затухание корреляций углового момента и вращательной энергии ротатора. Модель "овалоид-сфера" и модель Килсона-Сторера. / / Хим. Физика, 1987, т. 6, с. 1025-1031.

66. Каганов Ю., Максимов Л.А. Явления переноса в парамагнитном газе. / / ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 842-852.

67. Каганов Ю., Афанасьев A.M. К кинетической теории газа с вращательными степенями свободы. / / ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 1536-1545. список ЛИТЕРАТУРЫ 216

68. Waldmann L. Due Boltzmann Gleichung fur Gase mit rotierenden Moleculen. / / Z. Naturforsch., 1957, v.Bd 12A p. 660-671.

69. Snider R.F. Quantum-Mechanical Modified Boltzmann Equation for Degenerate Internal States. / / J. Chem. Phys., I960, v. 32, p. 1051-1060.

70. Гельмуханов Ф.Х. Кинетика частиц с вырожденными уровнями. /1 В кн.: Нелинейная оптика: Тр. VII Вавиловской конференции. — Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, 1982.

71. Гельмуханов Ф.Х., Ильичёв Л.В. Макроскопическое вращение газа светом. II ЖЭТФ, 1985, т. 88, вып.1, с. 40-46.

72. Гельмуханов Ф.Х., Ильичёв Л.В. Светоиндуцированные вихри в газе. / / Изв. АН СССР: Мех. жидк. и газа, 1985, № 2, с. 118-125.

73. Гельмуханов Ф.Х., Ильичёв Л.Л. Пространственная ориентация молекул дрейфом. / / Хим. физика, 1983, № 5, с. 590-595.

74. Гельмуханов Ф.Х., Ильичёв Л.В. О некоторых особенностях ориентации стереоизомеров электромагнитным полем. / / Опт. и спектр., 1985, т. 58, вып. 6, с. 1369-1371.

75. Il'ichov L.V. Alignment and Light-Induced Gas-Dynamic Tension. — Phys. Lett. A, 1985, v. I l l , p. 289-290.

76. Gelmukhanov F.Kh., Il'ichov L.V. and Shalagin A.M. Kinetic Theory of Light'Inducad Drift of Particles with Degenerate Energy Levels. / / J. Phys. A, 1986, V. 19, p. 2201-2213.

77. Ильичёв Л.В. Кинетика ориентированных газовых сред, // Сборник научных трудов Второго Всесоюзного семинара по оптической ориентации атомов и молекул, ред. Клементьев Г.В., Ленинград, 1990, с. 146-151.

78. Il'ichov L.V. Кинетика частиц с внутренним угловым моментом.// Ргос. Int. School "Lasers and Applications", 1991, v. 3, p. 52-55.

79. Il'ichov L.V. Generalized Grad's Methods in the Problems of Light- Induced Transport Phenomena in Gases. // Proc. Int. Workshop "Light Induced Kinetic Effects on Atoms, Ions and Molecules", ETS Editrice, 1991, p. 239-244.

80. Il'ichov L.V. Reaction of Cross-Inversion in a Chiral Chemical System. // Chem. Phys. Lett., 1995, v. 234, p. 309-312.

81. Il'ichov L.V., Chapovsky P.L. and Hermans L.J.F. Semiclassical Collision Model for Rotating Molecules. Application to Light-Induced Drift. // Physica A, 1995, v. 222, p. 63-74.

82. Il'ichov L.V. A Semiquantum Fokker-Planck Equation for Spin- Velocity Relaxation of Gas Particles. // J. Phys. A, 1995, v. 28, p. 4251-4259.

83. Il'ichov L.V. Algebraic Phenomenological Model for Molecular Rotational Relaxation. // J. Phys. A, 1997, v. 30, p. 4773-4782. список ЛИТЕРАТУРЫ 218

84. Il'ichov L.V. Algebraic Operator Approach to Gas Kinetic Models. // Physica A, 1997, v. 237, p. 285-296.

85. Il'ichov L.V. Algebraic Operator Approach to Death-Birth Master Equations: Application to Cross-Inversion in a Chiral Chemical System. II Physica A, 1998, v. 248, p. 419-427.

86. Il'ichov L.V. Prototype Model for Nuclear Spin Conversion in Molecules: The Case of ''Hydrogen". 11 Physica A, 1999, v. 269, p. 410-417.

87. Ильичёв Л.В. Фотоотсчёты в системе "источник - поле - детектор". II Теор. Мат. Физ., 1999, т. 118, вып.1, с. 264-273.

88. Ильичёв Л.В. Процесс рекомбинации, сопровождающийся теле- портацией "квантовой зацепленности". / / ЖЭТФ, 2000, т. 117, вып.1, с. 248-252.

89. Il'ichov L.V. Algebraic Properties of a Special Class of Birth-Death Master Equations. 11 J. Phys. A, 2001, v. 34, p. 7969-7977.

90. Ильичёв Л.В. Кинетическая модель переброса спиновых корреляций. II Теор. Мат. Физ., 2001, т. 127, вып.1, с. 168-176.

91. Дамаскинский Е.В., Кулиш П.П. Деформированные осцилляторы и их приложения. / / В сб. "Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 10". Под ред. Кулиша П.П. и Попова В.Н. — Ленинград, Наука, 1991. — 184 с.

92. Percival I.C. Localization of Wide-Open Quantum Systems. / / J. Phys. A, 1994, V, 27, p. 1003-1020.

93. Умэдзава X., Мацумото X., Татики М. Термополевая динамика и конденсированные состояния. / / Москва: Мир, 1985. — 504 с.

94. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. / / Москва: Наука, 1990. — 318 с.

95. Насыров К.А., Шалагин A.M. Взаимодействие интенсивного излучения с атомами и молекулами при классическом вращат.елъ-ном движении. // ЖЭТФ, 1981, т. 81, с. 649-663.

96. Nasyrov К.А. Wigner Representation of Rotational Motion. // J. Phys. A, 1999, V. 32, p. 6663-6678.

97. Переломов A.M. Обобщённые когерентные состояния и их применения. /1 Москва: Наука, 1987. — 269 с.

98. Нааке F., Risken Н., Savage and Walls D. Master Equation for a Damped Nonlinear Oscillator. / / Phys. Rev. A, 1986, v. 34, p. 3969-3973. ч> список ЛИТЕРАТУРЫ 220

99. Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. II В 2-х томах — Москва: Мир, 1984.

100. Davies Е.В. and Lewis J.T. An Operational Approach to Quantum, Probability. 11 Comm. Math. Phys., 1970, v. 17, p. 239-260.

101. Chapovsky P.L. Quantum Relaxation of Multilevel Particles. II Physica A, 1996, т. 233, с. 441.

102. Мазманишвили A.С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач. II Киев: Наукова думка, 1987. — 222 с.

103. Eberly J.F. and Wodkiwicz The Time-Dependent Physical Spectrum of Light. II J. Opt. Soc. Am., 1977, v. 67, p. 1252-1261.

104. Cohen-Tannoudji C. and Reynaud S. Dressed-Atom Description of Resonance Fluorescence and Absorption Spectra of a Multilevel Atom in an Intense Laser Beam. II J. Phys. B, 1977, v. 10, p. 345-364.

105. Il'ichov L.V. The Dynamic Effect of Quantum Decoherence. 11 quant- ph/9909057.

106. Ghirardi G.C., Rimini A. and Weber T. Unified Dynamics for Microscopic and Macroscopic Systems. 11 Phys. Rev. D, 1986, v. 34, p. 470-491.

107. Тайченачев A.В., Тумайкин A.M., Юдин В.И. Динамика медленных атомов в условиях когерентного пленения населённостей в неоднородно поляризованных полях. / / Препринт Новосибирского государственного университета, 1992. — 55 с.

108. Тайченачев А.В., Тумайкин A.M., Юдин В.И. Эллиптические тёмные состояния: явный инвариантный вид. // ЖЭТФ, 2000, т. 118, ВЫП.1, с. 77-86.

109. Zukowski M., Zeihnger A., Home M.A. and Ekert A.K. "Event- Ready-Detectors" Bell Experiment via Entanglement Swapping. // Phys. Rev. Lett., 1993, v. 71, p. 4287-4290.

110. Anischik S.V., Usov О.М., Anisimov O.A. and Molin Yu.N. Study of a Fraction of Spin-Correlated Spurs by the Methods of Time-Resolved • Magnetic Effects and Quantum Beats. // Radiat. Phys. Chem., 1998, V. 51, p. 31-36.

111. Junker G. and Roy P. Supersymmetric Construction of Exactly Solvable Potentials and Non-Linear Algebras. / / quant-ph/9709021.

112. Kraus К. States, Effects and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory. Jj Berlin: Springer-Verlah, 1983.

113. Caves C M . Information and Entropy. // Phys. Rev. E., 1993, v. 47, p. 4010-4017. ^ 138. Breslin J.K., Milburn G.J. and Wiseman H.M. Optimal Quantum Trajectories for Continuous Measurements. J/ Phys. Rev. Lett., 1995, V. 74, p. 4827-4830.

114. Breslin J.K. and Milburn G.J. Optimal Quantum Trajectories for Discrete Measurements. / / J. Mod. Opt., 1997, v, 44, p. 2469-2476. t?