Новые условия сходимости метода Ньютона-Канторовича и некоторые их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г 6 БЕлШЬжИИ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗЮШЕНЙ

/ о »км >гг>'ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ / 3 1,1 Д1| ШО

На правах рукописи УДК 518:517.948

Лысенко Илия Владленовна

НОВЫЕ УСЛОВИЯ СХОДШСТИ МЕТОДА *&ЮТШ-КШ0РО2ША И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук.

профессор Петр Петрович Заорвйко Официальные оппоненты: Член-корреспондент АН РБ,

доктор физико-математических наук, Леонид Александрович ЯНОВИЧ кандидат физико-математических наук, доцент, Видадий Мееровкч МАДОРШШ

Ведущая организация - Воронежский государственной университет

Защита состоится мая 1993 г. в 10 часов на за-

седании Специализированного Совета К 056.03.05 в Белорусском государственном университете (220080, г. Минск, пр. Ф. Ско-ржш 4, ком. 206).

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного университета.

Автореферат разослан ^ 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

доцент II.Н. Князев

ОВДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

Актуальность тепы. Метод Ньютона-Канторовича и его модификации в связи с достаточно простой реализуемостью являются в настоящее время одними из немногих, широко используемых на практике для фактического нахождения решений нелинейных уравнений. Этот метод имеет такке и теоретическое значение, так как с его помощью можно делать заключения о существовании, единственности и области располокения решения уравнения, не гаходя самого решения, что подчас не менее ваяно, чем фактическое знание решения.

Оценки скорости сходимости для основного метода Ньютона-Канторовича и его модификаций при различных предположениях и в различных терминах были получены- в работах Л.В. Канторовича, Б.А. Вертгейма, И.П. Мысовских, В. Птака, А. Потры, П.П. Забрейко и других математиков. Наиболее детально этот метод изучался при так называемых условиях Канторовича (или иначе, в предположении, что производная оператора обратима в начальной точке и удовлетворяет в рассматриваемой области условию Липшица), в условиях Вертгейма (производная оператора обратима в начальной точке, но удовлетворяет лишь условию Гельдера) и в условиях Мысовских (производная обратима во всех точках рассматриваемой области и обратный к ней оператор является ограниченной функцией). Для всех этих случаев получены условия сходимости, являющиеся по существу необходимыми и найдены соответствующие оценки скорости сходимости. Однако сравнительно недавно при помощи практического счета на ЭВМ было обнаружено, что область сходимости в условиях

Вертгейма реально шире области, для которой теоретически доказана сходимость. Поэтому является актуальной задача получения более точных условий сходимости и соответствующих оценок скорости атой сходимости указанных методов, приводящих к уменьшению "зазора" между "практической" и "теоретической" сходимостью.

Цель работы. Установить условия сходимости и априорные оценки для приближений Ньютона-Канторовича в условиях Вертгейма основного метода Ньютона-Канторовича и различных его модификаций, которые являлись бы более точными по сравнению с оценками предшествующих работ.

Уатодшса исследования, в работе используются новый вариант метода мажорант для исследования сходимости процессов Ньютона-Канторовича, общая теория банаховых пространств, тео-рая операторов в банаховых пространствах.

Научная новизна. В диссертации предлагается некоторая модификация метода мажорант к исследованию метода Ньютона-Канторовича и его аналогов, которая позволила получить новые аффективные оценки рассматриваемых методов.

На защиту выносятся следущш результаты

- новые эффективные' оценки скорости сходимости метода Ньютона-Канторовича в условиях Вертгейма;

- условия существования и единственности решения уравнения специального вида ¥(х,х) = 0 , и новые оценки скорости сходимости обобщенного метода Ньютона-Канторовича для этого

- 4 -

урашюния в условиях типа Еэртгайма;

- точные оценки скорости сходимости "Inverse" метода Ньютона-Канторовича в условиях Канторовича;

- найден явной вид функций л<п> и W(A<n)). через которые оценивается скорость сходимости метода Канторовнча-Красносельекого в случае с лтшщавскими константами;

- новые результаты о разрешимости нелинейных интегральных уравнений типа Урысона, задач о наховденпи точек минимума гладких функционалов и одной задачи газовой динамики.

Теоретическая и практическая ценность результатов. Результаты диссертации могуа быть использованы для дальнейших исследований приближенных методов в приложении к различным уравнениям (интегральным, дифференциальным и др.) и для чтения специальных курсов.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на VI конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992 г.), на семинаре в Институте Математики АН РБ под руководством член-корроспондента АН РБ I.A. Яновича, на-семинарах Балгос-университета: кафедры математических методов теории управле- * ния (руководитель - профессор П.П. Забрейко) и на объединенном семинара по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям (руководители - профессора А.Б. Антонович, П.Ц. Забрейко, H.A. Лукашевич, Я.В. Радыно и Н.И. Юрчук).

Публикации. Основные результаты выполненных исоледо-дований представлены в работах И-4].

- 5 -

Структура к объеы работа. Диссертация состоит из введения, трех глав к списка цитированной литературы, включающего 160 наименований. Объем работы составляет 129 страниц машинописного текста.

СОДЕЙШШЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во взодензш кратко изложены история исследований но методу Ньютона-Канторовича и его приложениям и основные результаты работы.

В перзоЗ главе изучается классический метод Ньютона-Канторовича решения нелинейных уравнений вида

Кх) =о, (1)

где Г - дифференцируемымый нелинейный оператор в банаховом пространстве. Последовательные приближения в этом методе задаются равенствами

х . ■ х - [Г'(х )]-1Г(х ) (II = 0,1,2,...); (2)

П ♦ 1 п п п

где х0 - начальное приближение (оно считается известным).

Оценки погрешности приближений Нютона-Канторовичс для решения уравнения (1) в условиях Канторовича и Мысовских хорошо изучены. Некоторую трудность представляет случай, когда приближения рассматриваются в условиях Вертгейма. Ранее бит получены некоторые результаты; однако, как было обнаружено при "магинном" счета, они не дают возмоншосгь устанавливать сходимость во всех тех случаях, когда она на самом деле имеет место. В 5 2 ■ доказывается теорема, которая позволяет обнаружить сходимость последовательных приближений в области более широкой, чем исследованной ранэе в ряде примеров.

Пусть числа а и Ь заданы при помощи (формул

а - нГ'(хо)-1Г(хо)п, Ь = пг'(хо)",п, (3)

производная г'(х) удовлетворяет на шаре В(хо,Ю условию Гельдера

11 а

н Г (х,) - Г (X )н £ кнх - XIIе (х,. х_ е В(х ), (4)

1 а 1а 13 О

где е е (0,1) и к е (0,®). Нам понадобятся также функции и(г) = кг8 (О * г * Н), (б)

г'^ькг1**

?(г) ^ а +- -г (О^г^И), (6)

' + 9

У(Г)

11(1?) =--(О 5 Г £ И). (7)

1 - Ъи(г)

Пусть г_ и г4 - минимальный и следующий за ним нули функции чЧг). Основной результат 5 2 может быть сформулирован в виде следующего утверздения

Теореиа 1. Путь выполнено неравенство

а°Ьк * 2е"1 [г?-в]9. (8)

Тогда при при г_5й< г+ уравнение (1) илеет в юре В(хо,г_) единственное решегше х,; это решение единственно в шре В(хо,Н), и приближения (2) определены Оля всех п, принадлежат тру В(хо,г_), причел справедливы неравенства

их - х и < р - р (п = 0, 1, ...) (9)

п+ 1 п п +1 Г п

и

ИХ,. - X II £ г - р (п = О, 1, ...). (10)

* П — п

где последовательность рп, определенная следующей рекур-

- 7 -

рентной форлулой

?(Р )

Р , - Р + ~

ГП*1 ГП j

ba(p )

(n = 0, 1, pn »= 0), (11)

zomrnoww возрастет и апрешпся к г_.

В s 3 теорема 1 обобщается на олучай, когда условие (4) заменяется на условие

иi'dj) - f'(ia)ii * «(их, - хап) (ilf ха € B(i0,H)), (12) где и (г) - монотонно возрастающая функция, для которой

ВШСШШ9ТСЯ

lim u(t) = О

t-fO

ШШ ÖOJiOQ общие условия

lli'd,) - r'(Xa)ll s üCr.HXj - Ха11)

(xf. Х3 £ В(Х0,Г); 0 < г < Ю, (13)

о некоторой монотонно возрастающей (по обоим аргументам) по-лоЕительной функцией и. удовлетворящей условию

lim u(r,t) =0 (OsrsH). Ч-to

При вшолношш условия (12) наряду с функцией u(t) рассматриваются функция

5(г) = sup (u(u) + a(v) : u + v = г>, (14)

а при выполнении условий (13) - функция

wfu.v) -

= supCnf'(x + h) - f'(x)n: их - Xj.il s u, uhii s v - u), (15)

называемая в дальнейшем квази-лалajxmiaü &жюрабича Оля

- 8 -

оперстора Г и фушсции

п(.г) = ю(0,г),

г? (г) - вир { ю(0,э) + а>(з,г): 0 я а 5 г ) . (17) Пусть константы а и Ь определены при помощи формул

(3) И

у(г) = а + В .[ г) йХ - г,

О

Г

?(г) = а 4- Ь[ и(Ъ)^ - г,

О

г

Ф(г) = а + Ь .[ 17("Ь> сИ - г,

о •

г

Ф(г) = а + Ь | 7>(1;)<и - г о

Рассмотрим уравнения

?(Г) = о.

(О я г * Ю (18)

(О Й г 5 й) (19)

(О « г « й) (20)

(05Г5Ю. (21)

(22) (23)

?(Г) = 0. Справедливы следующие теоремы

Таореиа 2. Пусть уравнение (22) илеет еОинагЗенный парень р на интервале [0,Ю. Товда ¡/равнение (1) шееъ решение б шре В(хо,р), и приближения (2) определены дм Всех п, пщтОлегап тру В(х ,р), причел справедливы неравенства

их -- х и л о , - а (п = 0, 1, ...) (24)

п + 1 I» г: ■* 5 п

и.

ИХ -- X II £ р - 0 (п - 0, 1, ...),

* п ' п

где последовательность рп, определенная при помощи рекур-реншой формулы

?(р )

р =р + —г-11- (П = 0,1,...)» (26)

п*1 п ч (р ) 1 п

лонотонно возрастает и стремится к р.

Тсорша 3. Пустъ уравнение (23) илеет единственный корень р т интервале [О,Л]. Тогда уравнение (1) илеет решение в шре В(х0,р), и приближения (2) определены для ваех п, принадлежат тру В(х0,р), причел справедливы неравенства

ИХ , - х н & р - р (п = 0, 1, ...) (27)

и

III. - X II £ Р - р (П » 0, 1, ...), (28)

• п Г гп

где последовательность рп, определенная при полощи рекуррентной форлули

3>(Р )

Р = Р + -Г""— (п = 0,1,...), (29)

П+1 " Ф (рп)

лонотонно возрастает и стремится к р.

Во второй главе рассматриваются различные модификации метода Ньютона-Канторовича. Первый параграф посвящен так называемому "ЮТегае" методу Ньютона-Канторовича. Доказывается теорема о сходимости приближений

X = X - О 1(Х ) (11 = 0,1,2,...), (30)

П +1 Л П П

где

О" » (2 - О ,1'(Х ))0 , (П « 0,1,2,...), (31)

П П-1 П 11-1

а С0 - линейный ограниченный оператор, в определенном

смысле заменяющий г'(хо)-1 к решению уравнения (1).

Пусть числа а, Ь и е определяются равенствами

а = 1Ю0Г(х0)и. Ь = = ПС0Н, е = Щ - СоХ'(хо)п, (32) производная г'(х)- удовлетворяет условию

нг'(х4) - г'(ха)и 5к(г)пх1 - Х2п

(I,. Х2 с В(х0,г)). (33)

Функция х(г) определяется при помощи формулы г

Х(Г) = - а - Ь .1' (г - г)к(г) (И - (е - 1)г,

о

(О й г 5 й)- (34)

а г,. - наименьиз® нуль функции х-Рассмотрим последовательность чисел х(Рп)

Р - (П = 0,1,2,...), (35)

тл +1 п п ^

где g = (2 - в ,х'(Р ))8„ 8Г - Ь.

П П - 1 П. П~1 о

Теорема 4. Пусть виполнена неравенство г, ^ й (выполнены неравенства г. < К и х(Ю > 0). Тогда уравнение (1) илеет в паре В(хо,гл) единствеююе решение х, (навет 0 паре В(хо,г„) решение хв, единственное 8 шрэ В(х .ЮКроле того, последовательные прюмаеения (30) определены при всех п, лежат в паре В(хо,гж) и сходятся к решению х,, причел

их - х я < р , - р , (36)

П + 1 П ' л * 1 п

нх — х ¡иг, - р (п --- 0,1,2,...). (37)

* и * г»

В отсм К8 параграфа рассматривается сходимость последо-- II -

вэгельшх приближений Канторовича-Краеносельекого х,=1- ст'сх )]_1(1(х ) + е(х ))

п + 1 л п п п

(П = 0,1,2,...) (38)

к решению уравнения

Г(Х) + в(х) - 0, (39)

в котором дифференцируем только оператор Г. в условиях Канторовича (производная X' (х) и оператор е(х) удовлетворяют на шаре В(х0,Ю условии Липшица с неубывающими на [0,11] функциями к(г) и е(г)). В диссертационной работе посчитаны функции д<п>(г) и й(л<п1(г)), через которые оценивается скорость сходимости метода Канторовича-Краоносельско-го, для случая, когда к(г) и е(г) - константы.

Основное содержание второго параграфа составляет теорема о оходимости последовательных приближений

х =х - [Р'(х ,х )3_1Р(х ,х ) (п = 0,1,2,...) (40)

п+1 п ипп п п

к решению JrpaвнeшIя

Ш.Х) = 0, (41)

где Р(и,у) некоторый оператор, для которого существует производная /(и.у), в условиях Вертгейма. Пусть справедливы следующие неравенства

й£(х,х) - Р^(у,х)п * ц(г)их - ун6, х,у е В(х0,г), (42)

Щх.х) - Р(х,у)н а к(г)»х- уп, х.у с В(х0,г), (43)

«Р^(Х.Х) - £и(Х,У)Н £ р(Г)ИХ - ун*. х,у е В(Х0,Г). (44)

где г}(г), р(г) и к(г) - неубывающие на [0,Ю функции, а в и г принадлежат отрезку 10,1] и заданы числа

- 12 -

а = иу'(х .хГ^х .хп)н, Ъ = 11Р'(хп,х Г1!). (45)

х О О 00 м О О

Положим

1"

!1(Г) = Ь I йг, (ОйГйН), (46)

о

г

в(г) = ь с <11;. (О £ г ^ ю, (47)

о

г

К(Г) = Ь / МП М. (ОягяИ). (48)

0

гдэ г, в с (0,)]. Определим скалярную функцию на (О,И] * [О,

?(г4,га) = а + г1"0^) + в(г1) + К(га) (49)

и функцию, определенную на СО,И]

1р(Г,Г) - г

и(г) = ---- . (50)

1 - Ь(Г)(Г)Г + 0(г)г1)

Пусть г, - наименьший корень на 10,ИЗ уравнения

г - у!(г,г) = 0. (51)

И, наконец, зададим рекуррентную последовательность формулой

Рп+1 » Рп + и(рп) (п = 0, 1, р0 = 0). (52)

Сформулируем основной результат этого параграфа в виде Теорема 6. Пусть уравнение (51) илеет единся&еюШ корень т [О,Я] и * И. Тогда уравнение (41) илет 6

ыаре В(х0,гт) решете хж, единственное в паре В(хо,й), а последовательние приближения (40) определены при всех п, лежал в паре В(х ,г,) и сходтся к зподу реюения, причел верш опенки.

их - х « < р - р (п - 0,1,...), (53)

ИХ. - X II S Г. - р (П = 0,1,...). (54)

* п * п

Глава 3 полностью посвящена приложениям метода Ньютона-Кенторовича.

В первом параграф© при его помощи решается задача о на-ховдении точек минимума гладкого функционала F на заданном множестве й гильбертова или банахова пространства х. При этом используется ряд теорем о методе Ньютона-Канторовича, описанных в первой главе. Не вдаваясь в детали, отметим только, что в настоящей работе задача минимизации рассмотрена в следующих случаях:

Первый, когда оператор р' имеет вид ?'(х) = f(x) + + g(x), а операторы i и g удовлетворяют условию Липшица с неубыващими на C0.RI функциями К(г) и е(г)). Получены условия существования точки минимума фуюсционала F и сходимости приближений (38) Ньютона-Канторовича к критической точке. При этом найдены двусторонние неравенства, связывающие величины F(x ) - F(x ,) и F(x ) - F(xJ и

n n*1 n *

нормы их - x и и их - х.н, где (х „ - после* л*1 п п * ■ п п»О

доватвльность, определенная формулами (38), х, - точка минимума функционала F.

Аналогичные результаты получены в условиях Вертгейма,

t t Ыысовских и когда оператор F имеет вид F (х) = ф(х,х),

где Ф(х,х) - нелинейный оператор, действующий из х * х в X и удовлетворяющий условиям типа Канторовича, а точка минимума гладкого функционала F отыскивается как предел приближений Ньютона-Канторовича (40).

В S 2 рассматривается применение метода Ньютона-Канторовича для решения нелинейных интегральных уравнений типа Уры-

ncr-m n !!р;-.ст]!;:п.-.т1;:г< X i: и X = Lp ( 1 s p s «, ) в условия»: Кпрттойма. Получены достаточные условия существования роисты и ьздо.тжи случаи выроадения.

В 5 з при помощи метода Ньютона-Канторовича исследуется одна задача газовой динамики. Эта задача уже рассматривалась ранее, однако применение более общей теоремы дало возмон-ноеть значительно улучшить последние результаты.

Таким образом, основное содержание работы связано с исследованию* точных оценок скорости сходимости метода Ньюто-нп-Кпнтг-рошпп и ого применения?® к нелинейным интегральным уравнениям типа Урноона, к решению экстремальных задач и одной задачи rasuBon динамики.

ti!'Hoi.'ni;e результаты диссертации отражены в следующих иуОличап^чх:

1. Аорт] J., «.•> Pascale E., lysenko Ju.V., Zabrejko P.P. Mow resuitr. on flow ton - Kantorovl ch approximations with application;-! nonlinear integral equations. - ffiilverslta' degll stuill d-ïi-i oatabrla, dlpartlmento 'dl matematlca, 1992, 27 p.

с. :<лорейко п.II., Лысенко Ю.В. Модифицированный метод Пилона Канторовича отыскания минимумов гладких функциона-л«н«. Дс.клади АН 1-К. 195)3, т.37, » 2, с. 106-112.

ь. /иг'шо Я. в. Точные оценки погрешности "Inverse" метола h'ir.aoii.a Канторовича. - Минск: 1993, 12 е., ДЕЛ в ВИНИТИ. !, <.ух. у 0ij4 - «ад.

•1. Ль'с икс. Ю.В. Обобщенный метод Ньютона-Юшторовича 0Tiif?Kîj-ntii минимума! гладких функционалов. - В сб.: Тезисы

и'»;,"пь-й 'С' ':-.Ф' piiii'jt'i-i математиков Беларуси. Гродно, 1992,

Подписано к почати д- .оч. . Формат 60 * 841 1 г>. Объем печ.л. 1. Тиране 100 экз. Заказ 1МЧ5 Басплатно.

Ротапринт БГУ . 220080, г. Минск, Бобруйская, Т.