Нелокальная сходимость Ньютона-Канторовича для интегральных уравнений Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Б О* , Ц №»

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ДОДОНОВ Николай Юрьевич

НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Работа выполнена на кафедре высшей математики Санкт-Петербургского института точной механики и оптики.

Научный руководитель:

заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, доктор технических наук, профессор Валентин Григорьевич Дегтярев

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Васильевич Жук доктор физико-математических наук, доцент Александр Павлович Петухов

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.

¿О

Защита состоится '¡¿у" декабря 1998г. в ¿¿'часов на заседании диссертационного совета К.063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург. Ст. Петергоф, Библиотечная пл., д.2.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199164, Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7/9.

Автореферат разослан ноября 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических

наук, доцент О.И.Рейнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Известно, что интегральные уравнения Вольтерра обладают рядом особенностей. Например, если интегральный оператор задан на пространстве непрерывных функций с вир-нормой на основном промежутке [О, Г], то можно говорить о максимальном промежутке существования решения уравнения при определенных ограничениях на ядро оператора. Пусть для решения уравнения Вольтерра применяется метод Ньютона-Канторовича (К-метод). Тогда, учитывая выше сказанное, можно поставить следующий вопрос о выборе начального приближения хд(£), где £ Е [0,Т], начиная с которого К-метод будет сходиться в зир-норме: существует ли для выбранной функции жо(-) число Т\ такое, что

г) 0 < Тх < Г;

гг) в Бир-норме отрезка [0, Ту] К-метод сходится.

Применяя стандартные рассуждения, достаточно просто (при разумных ограничениях на ядро и его производную Фреше) ответить положительно на поставленный вопрос в локальном смысле: достаточно малое такое Т\ существует для любого начального приближения Жо(£). Однако, для ряда вопросов полезно знать информацию о величине максимального промежутка сходимости К-метода для выбранного начального приближения, то есть о промежутке [0,Т(жо)), где Т{:го) — точная верхняя грань рассмотренных выше Заметим, что здесь мы сталкиваемся с нелокальной сходимостью, поэтому исследование величины Т(хо) уже не столь просто, как величины Т\. Можно пойти еще дальше и построить точную нижнюю грань Тд всех таких Т(хо). Тогда на промежутке [0, Гг], Тг < Тд (Тд не обязательно больше нуля) К-метод будет сходиться в его эир-норме для любого начального приближения, то есть глобально сходиться.

Опять таки имеется ряд вопросов, для которых не бесполезна информация о величине Тд. Следует отметить, что в известных автору работах такая постановка вопроса о выборе начального приближения недостаточно исследована.

Подчеркнем, что такой подход к выбору начального приближения принципиально важен, если решается семейство интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром а. Это означает, что параметр изменяется в соответствии с некоторой нормированной борелевской мерой, заданной на пространстве его возможных значений (носителе параметра). Тогда функционалы, построенные на решениях семейства уравнений, будут индуцировать на прямой К соответствующие меры-образы исходной нормированной меры, которые являются одними из основных объектов изучения при таком подходе к семейству операторных уравнений. Но все это предполагает существование общего промежутка разрешимости рассматриваемых уравнений для почти всех а. Если семейство решений ищется с использованием К-метода, то, владея для почти всех а информацией о соответствующих значениях Т(а;о(-, а)), можно в качестве

общего промежутка взять т£Т(хо{-,а)). Все вышесказан-

М

ное можно рассматривать в качестве исходных мотиваций для проведенного исследования.

Цель работы.

Целью работы является:

1. с помощью функций сравнения, построенных для ядра уравнения Вольтерра и его производной Фреше, получить интегральные оценки промежутков максимальной и глобальной сходимости К-метода для нормированного эир-нормой пространства непрерывных на отрезке функций со значениями в банаховом пространстве; оценить быстроту сходимости К-метода в терминах ядра

и его производной Фреше, не оценивая резольвенту последней;

2. для семейства интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром получить оценки общего промежутка сходимости К-метода; оценить быстроту сходимости функций распределения сечений аппроксимирующей последовательности, построенной К-методом, к соответствующим функциям распределения решений рассматриваемого семейства уравнений в терминах метрики Колмогорова.

Общая методика исследования.

Используются результаты нелинейного функционального анализа, теория интегральных уравнений Вольтерра, методы анализа Фурье, основные результаты теории меры, интегральные и дифференциальные неравенства.

Научная новизна.

Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Однако, результаты и методы диссертации могут быть использованы в прикладных исследованиях, связанных с применением К-метода для решения интегральных уравнений Вольтерра, особенно если рассматривается семейство таких уравнений.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по конструктивной теории функций Санкт-Петербургского государственного педагогического университета.

Публикации.

Результаты диссертационной работы отражены в публикациях [1-12].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на восемь параграфов, добавления к главе 1, заключения и списка литературы из 42 наименований. Общий объем работы составляет 96 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение.

В введении обосновывается постановка задачи, кратко излагаются результаты диссертации, дается обзор литературы.

Глава 1. Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для уравнений Вольтерра без параметра.

Пусть X — банахово пространство с нормой |а;|, Д = й) : £ £ [0,Т],0 < в < {)^К{Ь,8,х) — непрерывное отображение пространства А х X в X, СХ — пространство непрерывных на [0,Т] функций со значениями в X и яир-

нормой ||х|| = вир ||ж||4 = вир |а;(в)|. • [о,Г] [ОД

В пространстве СХ строится нелинейный интегральный оператор Вольтерра Н с ядром К й интегралом в смысле Римана:

г

Нх(г) = J ге[о,т].

о

Далее, не уменьшая общности, рассматриваем только однородное уравнение Вольтерра второго рода:

х^) = Нх({).

Предположим, что ядро К непрерывно дифференцируемо в смысле Фреше но переменной х. Обозначая эту производную К'х, напишем три итерационные схемы:

1. хп = Hxn_i, xq £ СХ — метод простой итерации (ПИ-метод);

2. хп = Я®„_1 + Н'Хо(хп - zn-i), H'yh{t) = t

J K'T(t,s,y(s))h(s) ds — модифицированный метод о

Ньютона-Канторовича (МК-метод);

3. хп = Нхп_\ + Н'х (хп — £n_i) — основной метод Ньютона-Канторовича (ОК-метод).

Остановимся на ПИ-методе. Допустим, что выполнены условия:

A) для любого замкнутого шара vf отображение К рав-

_х

номерно непрерывно на А X Vт ;

B) для любого шара V* и любых ti,t2 £ [О, Т] К липшици-руемо с показателем а = 1, константой Мт равномерно по s £ [0,min{ix, i2}]:

|K(t2, s, x2) - K(tu s, ц)| < MT ■ {\x2 -Xl\ + \t2- hI).

На основании условий А и В строятся функции сравнения и Ф„:

$d{t,r) = sup sup sup |K(r, s, ж)|, 0<T<iO<s<r|*|<r

\K(t2,s,x)-K(tus,x)\ ®v{t,r) = sup sup sup —

и ^ u^y и up | I

(t1,i2)6[o,t]2 i<min{ibt2} M<r I'2 ~ h I

<17%

Определение 1 Пусть xq(-) — начальное приближение для ПИ-метода, полагаем, Т{хо) = sup{T : на [О, Т) ПИ-метод сходится в sup-корме этого отрезка, начиная с а;о(-)}. Промежуток [0, Т{хо)) называется максимальным промежутком сходимости для приближения xq(-).

Применяя метод, развитый в соответствующих леммах, доказаны теоремы (приводятся выборочно).

Теорема 1 1. если Т(хо) < Т, то промежуток [0,Т(хо)) открыт в [О, Т];

2. если К — ядро без последействия (K(t, s, х) не зависит от t) и Т(хо) < Т, mo sup |гп(Г(хо))| = оо.

Построен пример уравнения Вольтерра, показывающий, что в общем случае утверждение 2) теоремы 1 не выполняется.

Полагаем:

+ 00

/ds т

ФМ' j2(i'r) = i^ + Jo(i,r)'

г

JXo(t) = sup J2(t,r).

r> 11*01 It

Теорема 3 Для величины Т(хо) справедлива оценка:

sup (min{i, JXo(i)}) < Т(хо). ге[о,Т]

Определение 2 Если Tg = inf{T(a;o), яо(') 6 СХ), то [О, Тд) называется промежутком глобальной сходимости ПИ~метода.

Приведены примеры уравнений Вольтерра, для которых реализуются три возможных случая:

г) Тд - 0;

и) [0,Т5)>[0,Т</); ггг) [0,Тд) > [0,Тд]. Например, для уравнения с ядром я, х) = "ф(з)-х2, где

{ в — 5 > £ € [0,1], 0 < в < I, х £ Ж, реализуется случай т).

+ 00

Теорема 4 Пусть интеграл f ^ расходится для некоторого Т (Е [0,Т]. Тогда справедливо неравенство

Т<Тд.

Рассмотрим К-метод. Допустим, что выполнены условия:

—х

0\) для любого замкнутого шара Уг в пространстве X ядро К и производная Фреше К'х равномерно непрерывны и ограничены на Д к Ут ;

_х

Бч) на любом Д х Ут ядро К удовлетворяет условию Липшица с а. — 1 по переменным I к х равномерно по переменной в;

_у

на любом Д х Ут производная Фреше К'х удовлетворяет условию Липшица с а = 1 по переменной £ равномерно по переменным в и х.

Отметим, что хотя условия пересекаются, удобнее формулировать их раздельно. Подобно функциям сравнения Ф^, Фц и Ф ядра К строятся функции сравнения Ф« и Ф производной К'х.

Метода, развитого для ПИ-схемы, здесь оказывается недостаточно. Поэтому в соответствующих леммах разработаны дополнительные средства, основанные на интегральном неравенстве Гронуолла. Даются соответствующие определения величин Т(хо) и Тд.

Приведем некоторые из доказанных теорем. Полагаем: +00

Г

ЗД = sup F2(t,r). r>\M\t

Теорема 7 Для границы Т[хо) максимального промежутка сходимости основного К-метпода справедлива оценка:

.sup {mm{t,FXo{t)}) <Т(х0). is [о,г]

Теорема 9 Пусть для Т £ [О, Т] интеграл +00

/

-dr

Фё{Т,г)+Фь(Т,г)

расходится. Тогда для промежутка глобальной сходимости модифицированного К-метода справедлива оценка:

Т < ту

Для получения оценок быстроты сходимости К-метода в терминах ядра К и производной К'х без привлечения оценок резольвенты последней помимо условий должпо выполняться условие:

_х

Д1) производная К'х в каждом замкнутом шаре Ут удовлетворяет условию Липшица с показателем а £ (0,1] но переменной х равномерно по (/, в) £ Д.

Для получения оценок доказаны соответствующие леммы. Ограничимся теоремой для основного К-метода.

Теорема 10 Пусть

1. выполнены условия В\, 0.\;

2. решение уравнения Волътерра £*(■) существует на [0,Т] и удовлетворяет априорной оценке ||ж*|| < п;

3. ^(Т, г'1) < М\, ЬГ1 — константа из условия = Ьч-Т • ехр(Мх • Т);

начальное приближение хо(') для ОК-метода взято из шара осуществимости Кп(г*).

Тогда справедлива оценка быст,роты сходимости хп к х*:

-- 1 \\хп-х*\\ < М4°(1 + а)»х

1 1 1

1 + а) " = (2 + а) • Цац, - х*

(1+а)"

где п > 2.

Обсуждается возможность получения априорной опенки решения с помощью методов, развитых в рассматриваемой главе.

В добавлении к первой главе приведено усиление оценок величин Т( ж о) и Тд для ПИ-метода, полученных в §2 рассматриваемой главы. Для этого построено соответствующее уравнение сравнения в терминах функции Ф^. Суть усиления — при определении функции Jo вместо функции Ф достаточно использовать функцию Ф^. Однако показано, что такой подход не приводит к цели при исследовании сходимости К-метода.

Глава 2. Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для уравнений Вольгерра с параметром.

Пусть 5 = {а} — сепарабельное банахово пространство с сг-алгеброй борелевских множеств ¿85, дано отображение К : Дг х X х 5 X и семейство однородных интегральных уравнений Вольтерра второго рода с ядром К{1, з, х, а)

х

в пространстве СХ. Если для каждого а 6 51 существует и единственно формальное решение соответствующего уравнения на промежутке [О, Т], то получаем отображение пространства 5 в СХ : а н-> £*(', а) — решение уравнения. Применяя формально К-метод, для решений х(-, а) можно построить соответствующую итерационную последовательность хп (•,«).

Пусть на измеримом пространстве (5, задана неотрицательная мера Р такая, что Р(.Б) = 1, которую далее называем нормированной. Наличие такой меры Р позволяет поставить вопрос о сходимости итерационной последовательности (:г„(-,а)} в следующей топологии:

хп(-,а) —>• х*(-,а)-

^P(||zn(-,a) -х*(-,а)\\т 0) = 1. к } del

При таком подходе возможно изучение следующих вопросов:

г) измеримость применяемых отображений;

и) существование промежутка сходимости К-метода, инвариантного относительно S;

Иг) если на СХ задан непрерывный функционал /, то какова быстрота сходимости в некоторой метрике функций распределения его значений на хп(-,а) к подобной функции распределения его значений на х*(-, а).

В связи с этим отметим, что в данной главе используются только функционалы ftl такие, что для x(t) € СХ /t,(®(-)) =

Kii)l-

Пусть ядро К дифференцируемо по Фреше по переменной х в любой точке (t, s, х, сх) и выполняются условия:

Mi) для произвольных замкнутых шаров vf и V'^ ядро К и производная К' равномерно непрерывны и ограничены

. jjX yyS

на ATxV х У ;

_х

М2) для любого а е 5 и шара Ут ядро К и производная К'х липшицируемы с показателем 1 по переменной 4 равномерно по переменным й и х С vг .

Эти условия позволяют построить функции сравнения Фг, а), Ф2, Ф^, Ф2, Ф и Ф подобно функциям Ф^ и т.д. из первой главы. Можно показать, что все эти функции измеримы по совокупности переменных (¿,г, а). В терминах этих функций получены теоремы существования общего промежутка сходимости. Ограничимся формулировкой для случая компактного 5.

Теорема 1 Пусть пространство 3 компактно и начальное приближение а) непрерывно на [О, !Г] х полагаем:

/3 = эир ||х'о(-, а)||г,

ПДТ, г) = зир(ФДТ, г, а) + 2г • ЩТ, г, а)),

аев

П(Т, г) = йир(Ф(Т, г, а)+2 г - Ф(Т, г, а)).

аеБ

Тогда:

1. промежуток [О, Т1), где

(+00

будет обучим промежутком сходимости ОК-метода, то есть для любого Т^ < Т последовательность {жп(-,а)}д° будет сходиться в топологии (1) к элементу х*(-,а), который будет решением семейства уравнений Вольтерра;

2. на каждом промежутке [0,1\}, Т\ < Т последовательность {жГ1(-, а)} равномерно по а € Б ограничена в метрике СХ, то есть для > 0 все хп(-,а) € У^ ;

3. радиус Птг отъемлющего шара У^ из 2) может быть

взят равным

Т\ = Т\ + е, где е — любое фиксированное число из (0,Т — Т{).

Чтобы оценить быстроту сходимости распределений в смысле вопроса (Иг), было получено неравенство для оценки близости двух функций распределения в метрике Колмогорова. В приводимой ниже теореме Ь(К— пространство суммируемых на компакте с 5 относительно меры Р функций с интегральной нормой .

Теорема 3 Пусть

г) Б — сепарабельное полное метрическое пространство, Р — нормированная мера на (£, В$), 6 > О, — компакт в 5, для которого Р{К&) >1 — 5;

и) функции £ь£г £ Р^ — функции распределения

нормированных мер Р^ = Р о ] = 1,2;

Иг) С}] — функция концентрации распределения ¥] = 1,2, для некоторого а £ (0,1] и константы т выполняется неравенство

1^1(0-^1(0)1 <т-Г

(тогда пишем Р\ £ Та)-

Тогда для метрики Колмогорова рс{Рь Рг) справедливо неравенство

г г? ^ т ^ (2-084)^ ■ (0.867)1^ Рс(Р1,Р2) < С(а,т) ■ ---"—х

х -611^ +1-184-^1(0) + ^,

где С(а, т) — ■ (-п ■ а) • (1 + а).

Полагаем Ft(a) = P(|x*(í,a)| < a), Ftn(a) = P{\xn(t,a)\ <

а).

Теорема 4 Пусть

i) S — компактное пространство, и начальное приближение xo(t,a) непрерывно на [О, Т] х S;

й) величины Т, Ti, R^ определены из теоремы 1.

Тогда

1. для любого t 6 [0, Ti] Fí)fl слабо сходятся к Ft;

2. если Ft Е с константой М и Q(Ft, 0) = 0, то справедлива оценка:

О ÍJO ЛИ +71

Pc{Ft,„, Ft) <-■ ^ДГТп, 7п = ^V- ■ №,),

л/т п!

Qd = 2- sup

aes

ЩТ, RTl, а) • ехр (т ■ Я'Л (т, RTl, а) )

Следующая теорема позволяет для некоторых уравнений Вольтерра проверять принадлежность Ft классу

Теорема 5 Пуапь дано одномерное уравнение Вольтерра с

вещественным параметром а:

<

)

о

где (Ь, я) £ Ат, х £ (с,д), а £ (а, Ь), и выполняются условия:

i

г) Р-мера на пространстве ((а, Ь), параметраа аб-

солютно непрерывна, плотность распределения которой Л(-) ограничена сверху числом т;

п) ядро К непрерывно дифференцируемо по совокупности переменных (£,5, г, а), К'х > О, К[ монотонно не убывает по переменным х и а;

ггг) существует <5 > О такое, что К'а > 5 на Ах х (с, в) х (а,Ь);

НИ) решение уравнения существует для всех а € (а, Ь) на промежутке [0,Т] в смысле метрики пространства СХ.

Тогда для любого < 6 (О, Т] распределение £ <3(.Рг, 0) = О, константа для ^ может быть взята равной

Заключение.

Здесь изложены некоторые возможности применения полученных теоретических результатов.

Публикации автора по теме диссертации.

[1] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шшпковский С.Ю. О нелинейных случайных эффектах в астродинамике. // Бюллетень ИТА, т. XV, №9, 1986, с. 505-510.

[2] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шшпковский С.Ю. Построение законов распределения нелинейных функций случайного вектора. // Дифференциальные уравнения в частных производных. Межвуз. сб. научн. трудов., Л., 1986, с.107-111.

[3] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шшпковский СЛО. О функциях распределения решений случайных уравнений движения гироскопических устройств. // Вестник КПИ, выпуск 17, Киев, 1987, с.21-27.

[4] Додонов Н.Ю. О глобальной сходимости и точности метода Ньютона-Канторовича для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям, Руссе, Болгария, 1989, с.99.

[5] Додонов НЛО. Оценка расстояния между функциями распределения по близости случайных величин. // Деп. в ВИНИТИ, № 7015-В89, 1989, Юс.

[6] Додонов НЛО. Глобальная сходимость метода квазилинеаризации для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Деп. в ВИНИТИ, № 7016-В89, 1989, 8с.

[7] Додонов Н.Ю. Уточнение оценки скорости сходимости метода квазилинеаризации для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Деп. в ВИНИТИ, № 7013-В89, 1989, 8с.

[8] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю. Глобальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для случайных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Применение статистических методов в производстве и управлении", Пермь, 1990, с.131.

[9] Додонов Н.Ю. О глобальной сходимости и точности метода Ньютона-Канторовича для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Труды конференции КДУ-4, Руссе, Болгария, 1991.

[10] Додонов Н.Ю., Комиссаров А.Е., Княжицкий В.В. Численно-аналитический метод исследования вероятностных распределений решений случайных линейных дифференциальных уравнений. //Труды междунар. конференции "Математика в вузе — стандарты образования — базовая подготовка", Кострома — Санкт-Петербург, 1996, с. 164165.

[11] Додонов Н.Ю., Кондратьев М.С. Возможности применения предиктор-корректор методов для численного решения случайных дифференциальных уравнений. // Труды междунар. конференции "Математика в вузе", Псков — С.Петербург, 1997, с.160-161.

[12] Додонов Н.Ю. Итерационный метод выбора начального приближения для решения ОДУ методом Ньютона-Канторовича. // Труды междунар. конференции "Мате-