Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для интегральных уравнений Вольтерра тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ТОЧНОЙ МЕХАНИКИ И ОПТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Додонов Николай Юрьевич

НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА

(01.01.01. - математический анализ) ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — Заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, профессор, доктор технических наук В.Г.Дегтярев

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Оглавление

Введение.................................... 3

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА БЕЗ ПАРАМЕТРА.

§1. Постановка задачи ......................................................7

§2. Нелокальная сходимость метода простой итерации.........11

§3. Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича......30

§4. Нелокальные оценки быстроты сходимости К-метода.......46

Добавление к главе 1 ..........................................................53

ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ПАРАМЕТРОМ

§1. Постановка задачи ......................................................57

§2. Общий промежуток сходимости К-метода для множества возможных значений параметра......................61

§3. Оценка равномерной близости нормированных мер.........69

§4. Аппроксимация функций распределения решения уравнения Вольтерра функциями распределения элементов последовательности К-метода............................................................83

Заключение...................................89

Литература......................................................................92

Введение.

Известно [26], что интегральные уравнения Вольтерра обладают рядом особенностей. Например, если интегральный оператор задан на пространстве непрерывных функций с вир-нормой на основном промежутке [0,Т], то можно говорить о максимальном промежутке существования решения уравнения при определенных ограничениях на ядро оператора. Пусть для решения уравнения Вольтерра применяется метод Ньютона-Канторовича (К-метод), [22]. Тогда, учитывая выше сказанное, можно поставить следующий вопрос о выборе начального приближения жо(£), ^ £ начиная с которого К-метод будет сходиться в вир-норме: существует ли для выбранной функции хо(-) число Т\ такое, что г) О < Т\ ^ Т, п) в вир-норме отрезка [О, Т]] К-метод сходится. Применяя стандартные рассуждения, достаточно просто (при разумных ограничениях на ядро и его производную Фреше) ответить положительно на такой вопрос в локальном смысле: достаточно малое такое Т\ существует для любого начального приближения жо(-). Однако для ряда вопросов полезно знать информацию о величине максимального промежутка сходимости К-метода для выбранного начального приближения, то есть о промежутке [0, Т(жо))> гДе Т(хо) - точная верхняя грань рассмотренных выше Т\. Заметим, что здесь мы сталкиваемся с нелокальной сходимостью, поэтому исследование величины Т(хо) уже не столь просто, как для Т\. Можно пойти еще дальше и построить точную нижнюю грань Тд для всех таких Т(хо). Тогда на промежутке [О, Т2], Т2 любое, строго меньше Тд (не обязательно Тд ф 0) К-метод будет сходиться в его вир-норме для любого начального приближения, то есть глобально сходиться. Опять-таки имеется ряд вопросов, для которых не бесполезна информация о величине Тд. Следует отметить, что в известных автору работах, например [31-42], такая постановка вопроса о выборе начального приближения не достаточно исследована.

Подчеркнем, что такой подход к начальному приближению принципиально важен, если решается семейство интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром а. Это озна-

чает [20], что параметр изменяется в соответствии с некоторой борелевской мерой, заданной на пространстве его возможных значений (носителе параметра). Тогда функционалы, построенные на решениях семейства уравнений, будут индуцировать на прямой К. соответствующие меры-образы исходной нормированной меры, которые являются одним из основных объектов изучения при таком подходе к семейству операторных уравнений. Но все это предполагает существование общего промежутка разрешимости рассматриваемых уравнений для почти всех значений параметра. Если семейство решений ищется с использованием К-метода, то, владея для почти всех а информацией о соответствующих значениях Т(хо(-,ск)), можно в качестве общего промежутка взять точную нижнюю грань всех Т(хо(-, а)) по а.

Сделаем краткий обзор полученных результатов. В §1 главы 1 формулируется постановка задачи для интегрального уравнения Вольтерра, ядро которого принимает значения в банаховом пространстве X. Исследования проводятся в рамках пространства СХ непрерывных функций на отрезке [0, Т] со значениями в X и соответствующей sup-нормой. Приводятся примеры, отображающие влияние начального приближения для итерационного метода на величину промежутка сходимости.

В §2 на примере метода простой итерации (ПИ-метод) в рамках сформулированных условий на ядро подробно разрабатывается метод исследования, являющийся основным для изучения К-метода. Показано, что максимальный промежуток сходимости ПИ-метода для выбранного начального приближения всегда открыт в [0,Т]. Однако обнаружено, что если для ядер без последействия sup ||жп(Т(жо))|| — сю (жп(') - итерационная последовать z+

тельность ПИ-метода), что характерно и для максимального промежутка существования решения, то для ядер с последействием такого эффекта в общем случае уже не наблюдается, для чего построен соответствующий пример. В терминах функций сравнения для ядра, получены интегральные оценки для Т{хо)и Тд. Что касается топологической структуры промежутка [0,Тд), то на примерах выяснено, что возможны все три случая: Тд — 0,

[0,Гв) = [0,Г9], [0, Тд) = [0, Тд).

В §3 исследуется в рамках сформулированных условий на ядро и его производную Фреше нелокальная сходимость К-метода. Исследования проводятся в терминах соответствующих функций сравнения, построенных для ядра и производной Фреше. Помимо идей, развитых в §2, применяется интегральное неравенство Гронуолла. Получены оценки для величин Т(хо) и Тд.

В §4 в условиях, когда производная Фреше ядра удовлетворяет условию Липшица с показателем а (Е (0,1] найдены оценки радиусов шаров осуществимости и влияния для К-метода. Отличием полученных оценок от имеющихся является то, что они выписаны в прямых терминах ядра и его производной Фреше, без использования резольвенты последней. В заключительной части параграфа, используя полученные результаты, показана возможность построения априорной оценки решения, что позволяет с помощью ПИ-метода за конечное число итераций попасть в шар осуществимости К-метода.

В добавлении к первой главе приведено усиление оценок величин Т(хо) и Тд для ПИ-метода, полученных в §2. Для этого построено соответствующее уравнение сравнения. Однако показано, что такой подход не приводит к цели при исследовании сходимости К-метода.

В §1 главы 2 содержится постановка задачи исследования сходимости К-метода для семейства интегральных уравнений Воль-терра с распределенным параметром.

В §2 доказаны теоремы существования общего промежутка сходимости К-метода для носителя параметра. Отдельно рассмотрены случаи компактного и произвольного носителей. Для компактного носителя получена оценка величины такого промежутка. Найдены оценки радиусов объемлющих шаров.

В §3, применяя идеи сглаживания, получено неравенство для оценки близости функций распределения в метрике Колмогорова. Приведено применение неравенства для сравнения функций распределения значений нелинейного преобразования случайного элемента и значений линейной части такого преобразования.

В §4 получена оценка быстроты сходимости функций распределения значений норм сечения элементов итерационной последовательности К-метода к соответствующим функциям распределения решений уравнений Вольтерра. Рассмотрен случай компактного носителя. Указан способ сведения общего случая к компактному носителю, приемлимый с точки зрения рассматриваемой задачи аппроксимации. Используя идеи Чаплыгина о дифференциальных неравенствах, для частного случая ядра доказана теорема, позволяющая эффективно проверять условия применимости найденной оценки быстроты сходимости. Приведен пример применения результатов второй главы.

В заключении указаны некоторые возможности применения полученных теоретических результатов.

Результаты, полученные в диссертации, нашли отражение в работах [1-12].

Общеупотребительные математические обозначения (М, и т.д.) в основном тексте используются без дополнительных уточнений.

Глава 1

Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для

параметра.

§1. Постановка задачи

Пусть X - банахово пространство (В-пространство) с нормой |ж|, х £ X, [¿о, Т] - замкнутый числовой промежуток, в, х) - непрерывное по совокупности переменных отображение прямого произведения Д х X в В-пространство X, Д = {(£, з) : £0 ^ £ ^ Т, ¿о ^ в ^ £}. Обозначим через СХ пространство непрерывных на функций со значениями в X и эир-нормой ||ж|| = вир

Ясно, что СХ это В-пространство, а норма || • || определяет для каждого ж(-) 6 СХ непрерывную, неубывающую функцию вещественной переменной

Напишем в пространстве СХ оператор Вольтерра Н с нелинейным ядром К, понимая интеграл в смысле абстрактного интеграла Римана:

уравнении Вольтерра без

И* = 8ир1жМ1-

<*е/ М

Пусть /(■) - заданная точка из СХ, тогда рассмотрим соответствующее уравнение Вольтерра 2-ого рода:

x(t) = Hx(t) + f(t) (1)

Предположим, что ядро К непрерывно дифференцируемо в смысле Фреше по пространственной переменной х. Обозначая эту производную К'х, ясно что оператор Н также дифференцируем по Фреше и его производная Н'(х) в точке х G СХ равна:

t

H'(x)h(t) = J K'x(t,s,x(s))h(s)ds, где h(-) G СХ.

to

Напишем для уравнения (1) три итерационных схемы:

1) xn(t) = Hxn-i(t) + f(t), жо(-) G СХ, п G N - метод простой итерации или ПИ-метод,

2) xn(t) = Hxn-i(t) + H'(x0)(xn(t) - xn-i(t)) + /(f), x0(-) G CX, n G N - модифицированный метод Ньютона-Канторовича или МК-метод,

3) xn(t) = Hxn-i(t) + H'(xn-i)(xn{t) - ®n_i(í)) + /(*), xo(-) G CX, n G N - основной метод Ньютона-Канторовича или ОК-метод.

Отметим, что так как ядро К по пространственной переменной определено на всем X, то все три метода формально осуществимы. Последнее позволяет далее корректно формулировать исследуемые вопросы.

Приведем модельные примеры, иллюстрирующие суть подлежащих изучению вопросов. С целью упрощения, примеры строятся для ПИ-метода и X = 1. Пусть ядро K{t,s,x) = sin х. Так как у = sin ж липшицируемая функция на всей прямой М с const = 1, то взяв любое начальное приближение жо(-) G СR, полагая to = О, Т = 1, получаем для ПИ-метода:

t

H^-n+l ^ J" \\хп Xn-l\\Sds.

о 8

Итерируя последнее неравенство и используя эффект симплекса ¿1 ¿2 tn ^ / / ¿¿г • • • / ^„+1 = получаем

ООО

||ж„+1 - Ж„|| < • ||Ж1 - ж0||.

Тогда ясно, что итерирующая последовательность функций (жп(-)} сходится равномерно на отрезке [0,1] к решению х*{Ь) = О уравнения Вольтерра:

г

х® = I *пф)<Ь.

Таким образом, здесь наблюдается эффект глобальной сходимости: итерирующая последовательность, построенная ПИ-методом, сходится к решению уравнения при любом выборе начального приближения. Понятно, что в данном примере глобальная сходимость получилась за счет сильного свойства ядра уравнения: условие Липшица по пространственной переменной переменной выполнялось на всей числовой оси (глобальное условие Липшица). Поэтому возникает следующая первая задача:

1) найти достаточные условия глобальной сходимости итерационных методов 1 - 3 к решению уравнения (1), предполагая, что выполняется лишь локальное условие Липшица для ядра К по пространственной переменной х.

Теперь рассмотрим пример другого рода. Пусть ядро К{вх) = х2. Напишем соответствующее уравнение Вольтерра

г

.(!) = /.>(.)*, * 6 10,1].

Очевидно, что решением этого уравнения будет функция х*{Ь) = 0. Для метода ПИ рассмотрим следующее семейство начальных приближений:

/ .4 _ / 0, I < ¿1

а. (*-*!),

где и а фиксированные параметры: 0 < ¿1 < 1, а ^ 1. Применяя

Мсуп (+_+л

— а • -—и—, тп = 2шп_1 + 1,

Рп

Рп — Рп-1 (2777,^—1 + 1), п 6 М, то = 1, ро = 1- Итерируя рекурентные соотношения для коэффицентов тп и рп, получаем:

шп = 2п+1 - 1, 1прп = 2п+1 ■ 5П+Ь

су _1п(2^1) (2)

°п+1 — 2^1 2к к=2

Покажем, что существует величина Д(а), такая, что: 1) Д(а) —У 0 4-, 2) для всех п и для которых t ^ ¿1 + Д(а) вы-

а-»+оо

полняются неравенства а^+х^) ^ хп(1;). Действительно, последнее неравенство равносильно неравенству.

рп(2тп + 1)'

1

тп+1

п-

Используя формулы (2), убеждаемся, что шп —> • -4= £оо =

п-> ОО Vе1

X Тогда искомое Д(а) равно: Д(а) = е5"00 • -4=. Возьмем

к=2 л/а любое число Ъ 6 (0,1), выбираем и фиксируем ¿х и а: 0 < ¿х <

< 6. Последнее возможно, так как Д(о) —0. Тогда для

а—>-+оо

таких ^ и а получаем: на отрезке [0,£х] итерации хп{Ь) 0, на

П—>00

отрезке [6,1] итерации для каждого £ монотонно возрастают и следовательно жп(£) не стремятся к нулю при £ -» оо. Таким образом, для рассмотренного уравнения величина промежутка сходимости ПИ метода существенно зависит от выбора индивидуального начально приближения и может быть сделана сколь угодно малой. Поэтому возникает следующая вторая задача:

2) получить нелокальные оценки для величины промежутков сходимости итерационных методов 1 - 3 в зависимости от выбора начального приближения.

Первые две задачи относятся к так называемым качественным проблемам сходимости итерационных методов. Однако большое значение имеет изучение количественных проблем сходимости таких методов. Нас будет интересовать следующая задача:

3) получить оценки быстроты сходимости методов 2-3, применимые на всем промежутке существования ограниченного решения уравнения Волътерра (1), с явным выписыванием появляющихся при этом констант.

Отметим, что решение первой и второй задач для метода простой итерации и методов Ньютона-Канторовича используют разную технику, что обусловило их раздельное изучение.

§2. Нелокальная сходимость метода простой итерации

С целью упрощения техники рассуждений, не уменьшая при этом общности, вместо неоднородного уравнения (1) будем рассматривать однородное уравнение

x(t) = Hx(t), (3)

считая to = 0. Это возможно в силу линейной замены переменных z(t) = x(t + tQ) - f(t +10), t 6 [0, T - t0].

Будем предполагать, что ядро К уравнения (3) удовлетворяет следующим условиям:

A) для любого замкнутого шара Vr = {х € X : \х\ ^ г}, г > 0 отображение K(t, s, х) равномерно непрерывно по совокупности переменных на множестве А х Уг;

B) для любого замкнутого шара Vr и любых вещественных ti,t2 6 [0,Т] отображение K(t,s,x) удовлетворяет условию Липшица с показателем а = 1 и константой Мг (в общем случае зависящей от г) равномерно по переменной s: 0 ^ s ^ minlii,^}^ то есть для выполняется неравенство

\K(t2,s,x2) - K(tx,s,xi)\ < Mr ■ (|®2 - ®i| + |f2 - ii|).

Определим функции Ф^ и Фу вещественных переменных t G

[О, Т] и г ^ 0:

&d{t,r) = sup sup sup \K(t,s,x)\,

O^T^tO^r ||ar||<r

Фv(t,r)= SUP SUp SUp mt2,s,x)-K(tl,s,X)\^ (3.1)

(il,i2)€[0,i]2 s^minli!,^} |2 11

В силу условия (В) и (3.1), обе функции принимают конечные значения и монотонно не убывают по каждой переменной, далее Ф^ > 0 (не теряя общности).

Теперь определим функцию Ф (¿, г) равенством:

Ф(^г) = Ф^г) + г-Фу(г,г). (з*)

Из (3.1) и (3*) следует, что Ф принимает конечные значения и монотонно не убывает по каждой переменной.

Сформулируем и докажем следующую традиционную лемму.

Лемма 1. Пусть ~ итерационная последователь-

ность, построенная для уравнения (3) ПИ методом и выполняются следующие условия:

г) для некоторого tq > 0 и всех хп(•) нормы ||жп|| ^ 7"о,

И) ядро К уравнения (3) удовлетворяет условиям (А) и (В).

Тогда решение x*(t) уравнения (3) существует и хп —У х* в ме-

п-»оо

трике пространства СХ.

► Так как последовательность {^п(')}^=о построена ПИ методом, то

t

xn(t) = J K(t, s, xn_i(s))ds. (4)

о

t

Тогда xn+i(t) - xn(t) = f[K(t, s, xn(s)) - K(t, s, :rn_i(s))]<is. Отсюда

о

в силу условия (В) получаем неравенство:

t

\\xn+i - xn\\t ^Mro-J \\xn - xn-^sds, ^

n = 1,2,..., t £ [0, Т]. 12

Итерируя неравенство (5) по индексу п, получаем:

Т t\ tn-l

ll^n+l — II < Ml • ||®1 - ®о|| • JdhJdh... J dtn. (6)

0 0 о

Непосредственное вычисление показывает, что многократный интеграл в (6) равен Таким образом, получаем неравенство:

М" • Тп

||жп+1 - ж„|| ^ —^--||ж1-аг0||- (7)

ТЬ •

Из (7) вытекает сходимость ряда ||жо|| + Ц&1 — #о|| + 11^2 — жхЦ +.. .. Тогда из полноты пространства СИ вытекает, что последовательность £„(•) сходится в метрике СХ к некоторой точке £*(•). Так как ядро К уравнения (3) удовлетворяет условию (А), то в равенстве (4) под знаком интеграла возможен предельный переход по

г

вир-норме. В результате будет х*(Ь) = / К^, з, Ь Е [0, Т],

о

что доказывает лемму.

Замечание 1. Если у уравнения (3) на отрезке [0,Т] существуют два решения х*(-) и £(•), ядро К удовлетворяет условию (В), то х*(-) = х(-) для любого £ Е [0, Т]. Действительно, в силу (В)

для некоторой константы М получаем неравенство \\х* — х\\г ^ г

М / \\х* — хЦ^в. Тогда, аналогично доказательству леммы 1, для о

любого п Е N получаем ||ж* - х\\ ^ м"',г" • \\х* - х\\. Но м"',т" —у 0.

п■ п■ п-> ОО

Следовательно ||ж* — ж||, то есть &*(•) = ж(-) для любого £ Е [О, Т].

Из леммы вытекает, что исследование сходимости ПИ метода на отрезке [0, Тх], Т\ ^ Т сводится к изучению ограниченности по вир-норме с�