Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ.

В.И.ИЛЬИЧЕВА

На правах рукописи

Петров Павел Сергеевич

Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ИЮН 2010

Владивосток 2010

004603834

Работа выполнена в Тихоокеанскол1 Океанологическом Институте им.

В.И.Ильичева.

Защита состоится 4 июня 2010 г. в 14.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.056.08 при Дальневосточном государственном университете, расположенном по адресу: г.Владивосток, ул. Суханова, д.8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан » й ир 2 А $_2010 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

Ведущая организация:

Официальные оппоненты:

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Трофимов Михаил Юрьевич доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Прохоров Игорь Васильевич доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Дзюба Владимир Пименович Иркутский государственный университет

кандидат физико-математических наук

Соппа И. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Во многих задачах теории волн область, в которой исследуется их распространение, не имеет физических границ по одному или нескольким направлениям. В то же время для исследователя интерес представляет, как правило, волновое поле внутри некоторой конечной части этой неограниченной области. Поэтому естественно н удобно переходить к рассмотрению этой части области с помощью постановки искусственных граннц, через которые волны излучаются во внешнюю среду. Такие искусственные границы называются излучающими (также употребляется термины поглощающая граница и неотражающая граница). Условие, которому должна удовлетворять волновая функция на такой границе, называется условием излучающей границы или просто условием излучения. Эти условия важны для задач квантовой механики, акустики, геофизики, метеорологии, электродинамики, теории упругости и других областей физики, где важную роль играют волновые уравнения. Так, например, в задачах геофизики и акустики волноводы, как правило, неограннчены в горизонтальных направлениях и стратифицированы по вертикали. Естественно ограничиться частью такого волновода, поставив вертикальные излучающие границы. Условие излучения на таких границах должно учитывать имеющуюся стратификацию. В задачах квантовой механики условия излучения позволяют решать уравнение Шредингера в конечной области, не исключая при этом из рассмотрения свободные состояния и взаимодействие с ними. Условия излучения необходимы при компьютерном моделировании волновых процессов, которое является в настоящее время важным и мощным инструментом для физика-теоретика.

Несмотря на активное исследование методов постановки условии излучения в последние годы (которое можно проследить по многочисленным публикациям в периодических научных изданиях), для многих физических си-

туаций они еще недостаточно хорошо развиты. Для волнового уравнения эффективные методы постановки условий излучения разработаны в основном лишь для случая однородной внешней среды. Разработка аналогичных методов для случая стратифицированной внешней среды является актуальной задачей для большинства приложений. Существующие подходы к постановке условий излучения для уравнения Шредннгера (а также эквивалентного ему волнового параболического уравнения) также обладают рядом ограничений. Для уравнений этого типа хорошо развиты методы постановки нелокальных граничных условий, обеспечивающих практически полное прохождение падающих на границу волн. Такие методы обладают тем недостатком, что полученные с пх помощью условия излучения гораздо сложнее исходных уравнений. Постановка локальных условии излучения, имеющих относительно простую форму и при этом обеспечивающих низкий коэффициент отражения для падающих на них волн, для уравнений типа Шредингера является актуальной задачей. В диссертации сделана попытка решить указанные задачи, для чего разработаны новые методы постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера (главы 2, 3).

Условия излучения на границе конечной области являются мощным инструментом для исследования распространения волн в различных физических задачах. При этом, однако, пригодные для практического использования методы их постановки были разработаны лишь относительно недавно. По этой причине количество работ, где они используются, пока еще очень мало. В диссертации представлено два примера использования условий излучения при исследовании распространения акустических волн (глава 4).

Цели работы. Основной целью данной работы является разработка и исследование новых методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера, учитывающих неоднородность среды, в которой распространяются волны. Второй целью работы является решение

двух физических задач с помощью численного моделирования с использованием волновых уравнений. Принципиальная возможность анализа этих задач волновыми методами основана на использовании условий излучающей границы.

Научная новизна.

1. Для приближенного описания однонаправленного распространения волн в слоистой среде в работе получено новое нестационарное параболическое уравнение. Предложен новый метод приближенного решения волнового уравнения в конечной области неограниченного волновода со слоистой стратификацией. Разработан новый метод получения асимптотик для операторного квадратного корня (с учетом некоммутативностн), которые можно использовать для получения высших приближений и вывода широкоугольных параболических уравнений для слоистой среды.

2. Предложен новый подход к приближенному решению уравнения Шре-дингера в области с открытыми границами, основанный на постановке условий излучения в амплитудной форме.

3. Зависимость от частоты звука потерь акустической энергии при распространении в подводном звуковом канале, обусловленных рассеянием на внутренних волнах, впервые исследована волновыми методами в случае мелкого моря на основе гидрологических данных конкретного района Мирового океана. При этом использован метод параболического уравнения с условием излучения на дне.

Практическая значимость. Предложенный во второй главе работы метод постановки условий излучения может быть использован при решении задач, описываемых волновым уравнением в неограниченном стратифицированном волноводе. Эти задачи типичны для таких областей, как акустика и

геофизика (а также встречаются в метеорологии, электродинамике, оптике) и включают в себя задачи томографии, акустического мониторинга, задачи моделирования распространения сдвиговых волн. Полученные условия излучения позволяют решать физические задачи волновымн методами в условиях неоднородности среды н отсутствия физических границ у волновода.

Предложенный в третьей главе работы метод постановки условий излучения для уравнения Шредингера может быть использован при исследовании различных задач квантовой механики, в которых важную роль играют свободные состояния, а также акустики океана (в рамках метода параболического уравнения). К ним относятся, в частности, задачи ионизации атомов и исследования переходов в непрерывный спектр.

Результаты четвертой главы могут быть использованы при планировании экспериментов по дальнему распространению звука в океане.

Работа была поддержана грантом Программы Президиума РАН №14, а также грантом Президента РФ МК-4324.2009.5.

На защиту выносятся:

• нестационарное уравнение, приближенно описывающее однонаправленное распространение волн в слоистой среде и метод решения волнового уравнения в открытом волноводе со слоистой стратификацией на основе использования полученного уравнения в качестве условия излучения;

• метод решения уравнения Шредингера в области с открытой границей на основе использования условия излучения в амплитудной форме;

• Полученная зависимость от частоты коэффициента высвечивания акустической энергии под влиянием линейных внутренних волн для одной модели подводного звукового канала в мелком море, основанной на конкретных гидрологических данных.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер" (Москва, 2009 г.), на всероссийской конференции "Математическое моделирование и вычислительно-информационные технологии в междисциплинарных научных исследованиях" (Иркутск, 2009), на российской школе-семинаре, посвященной 60-летию профессора Ю.Е. Шншмарсва "Синтаксис и семантика логических систем" (Владивосток, 2008), а также на школах-семпиарах имени академика Золотова (Владивосток, 2007, 2008), па семинарах отделов акустики н физики атмосферы и океана ТОЙ ДВО РАН, на семинаре "Нелинейная дннампка" (ТОЙ ДВО РАН), на расширенном семинаре кафедры гидроакустики ДВГТУ, на расширенном семинаре лаборатории вычислительных методов математическом физики ИПМ ДВО РАН.

Публикации. По теме работы опубликовано две статьи в рецензируемых журналах [А1],[А2], один препрпит [АЗ], также имеется пять публикаций [А4, А5, Аб, А7, А8] в материалах и сборниках тезисов докладов различных конференций. Одна из работ [А9] также опубликована на сайте arxiv.org

Личиый вклад автора. Результаты диссертации, представленные в главах 2 и 3, получены в соавторстве с научным руководителем М.Ю. Трофимовым. Часть аналитических формул выведена лично автором, также им осуществлена дискретизация полученных условий п последующая реализация соответствующих численных схем в виде комплекса программ. Результаты первой части четвертой главы получены автором, вторая часть четвертой главы - результат совместной работы автора с Д.В. Макаровым, предложившим постановку задачи. Разработка метода се решения и его последующая реализация выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе выполнен обзор наиболее актуальных результатов по разработке условий искусственной границы для волнового и параболического

уравнений. Три следующие главы содержат основные результаты диссертации. Общий объем диссертации 123 страницы.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель наследования, выделена научная новизна полученных результатов, аргументирована их практическая значимость. Завершается введение перечислением выносимых на защиту результатов работы.

Первая глава диссертации является обзорной, в ней рассмотрены различные методы постановки условий излучения как для волнового уравнения, так и для уравнения Шредпнгера. Подробно изложены основные подходы к проблеме, мотивировки методов решения и формулировки конечных результатов. В данной работе впервые была установлена теорема об эквивалентности условий искусственной границы [6] н поглощающих слоев для волнового уравнения

Вторая глава диссертации посвящена построению нового условия излучения для волнового уравнения

г 1 д'2и д2и д2и . .

где с = с(х,у), / = /(Ь,х,у). Предположим, что в некоторой задаче физической областью, в которой распространяются волны, является все пространство К2, однако нас интересует решение только в полупространстве х > 0, в котором локализованы источники волн п начальные возмущения. В этом случае естественно перейти от задачи, решаемой во всем пространстве, к задаче в полупространстве, сделав его границу х = 0 излучающей во внешнюю среду, которая предполагается слоистой с = с(у),х < е, е > 0. Для этого требуется поставить на ней условие излучающей границы, которое бы учитывало эту

стратификацию. Один из способов поставить такое условие излучения состоит в том, чтобы выделить волны, распространяющиеся согласно (1) лишь в одном выбранном направлении оси х. Например, на границе х — 0 полупространства х > 0 нужно записать уравнение для волн, движущихся в отрицательном направлении х. Эти волны и будут уходящими из области. В основе результатов второй главы лежит нестрационариое уравнение, приближенно описывающее однонаправленное распространение волн с учетом зависимости с = с(у). Для получения этого уравнения производится факторизация оператора Ь на два иссвдодифферснцнальных сомножителя

Первый из ннх описывает волны, движущиеся в положительном направлении оси х, а второй - в отрицательном. Соответственно, выделить однонаправленные решения (1) можно, используя равенства Ь~и = 0, Ь+и = 0. Такие равенства, однако, содержат нелокальные выражения, а следовательно практически неприменимы для расчетов в близких к реальным ситуациях. По этой причине на практике используют приближенные условия, предполагающие некоторую аппроксимацию операторного квадратного корня в (2). В работах других авторов (например, [7]) используются аппроксимации, предполагающие коммутативность ду и <Э(2/с2, и потому не учитывающие возможную зависимость с = с(у), которая является важной особенностью многих физических задач. Так, например, в типичных задачах акустики и геофизики, соответствующие среды имеют вертикальную стратификацию. Именно поэтому важным шагом для постановки условий излучения является учет некоммутативности операторов под корнем в (2), который осуществлен в диссертации засчет использования операторной асимптотики, впервые предло-

женной Ф. Таппертом без вывода:

(А + еВ)1'2 = А^ + е е-^Ве^ ¿8 + 0(е2). (3)

о

В работе построен вывод этой асимптотики с помощью методов некоммутативного анализа. Его основные преимущества состоят в простоте и элегантности, а также в том, что таким образом можно непосредственно обобщить этот результат и получить высшие приближения для Ь*. Такой подход даст возможность получать широкоугольные параболические уравнения для слоистой среды. Далее в диссертации приводится вывод формулы, приближающей основанный на применении (3) к выражениям (2), причем А = Э2/с2, В = ду. Вычисления дают следующий результат:

¿±и яа Вци -ихт~Щ± 7 I Суу — с 4 \ с

— з,х,у)с1з±

(4)

{сиу{г - в,х,у))у ¿э = 0.

Эти уравнения являются нестационарными аналогами параболического уравнения Тапперта для слоистой среды [8]. В диссертации предложено использовать их в качестве условий излучения для (1), и в дальнейшем они упоминаются как условия излучения типа Тапперта. Их можно использовать для ограничения области исследования уравнения (1) по а; с помощью постановки границ вида х — а. На левой границе области ставится условие В\и = 0, а на правой Вой = 0. Следующим необходимым шагом является установление корректности смешанной задачи с полученными условиями. Проверка корректности осуществляется для задачи в полупространстве Н2 = {(х,у)\х > 0} с В\и = 0 при х — 0. Использование критериев, разработанных С.К. Годуновым и В.М. Гордиенко [3] позволяет установить корректность смешанной

задачи для (1) с условиями (4). В следующем разделе второй главы производится дискретизация этих условий, а также конструируются различные численные схемы для решения уравнения (1) в областях с границами разных типов. Для волнового уравнения используется явная разностная схема второго порядка на равномерной прямоугольной сетке. Для условия (4) в работе сконструирована разностная схема второго порядка точности, которая представляет собой модификацию схемы типа "квадрат". Интегралы из (4) в ней заменены суммами, к которым на каждом шаге по времени добавляется очередное слагаемое.

Завершает вторую главу набор модельных примеров, в которых условия (4) используются для решения (1) методом конечных разностей в области с искусственными границами. Анализируются ошибки, производится сравнение с условиями типа Хпгдона (условия хигдоновского типа в форме [6] является наиболее эффективными из представленных в литературе в случае постоянной скорости с). Представленные примеры включают движение волн от точечного нестационарного источника, а также распространение мод, рассматриваются различные профили зависимости с = с(у). Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы: во-первых, условия (4) действительно обеспечивают учет изменений скорости звука вдоль искусственной границы, и чем существеннее эти изменения, тем более значительное повышение точности даст наш метод постановки условий излучения по сравнению с другими. Во-вторых, вычислительная сложность реализации предложенного метода существенно меньше, чем для всех прочих подходов, дающих такую же точность. В-третьих, расчеты показали, что интегральная форма (4) позволяет проводить вычисления и в тех случаях, когда изменения параметров среды происходит в направлении, трансверсальном к границе в ее окрестности. Эта особенность является важной, так как многие существующие типы условий неотражающей границы ею не обладают, что ведет к

дополнительному расширению расчетной области. Результаты второй главы опубликованы в работах [А1, А2], а также доступны в интернете [А9].

В третьей главе диссертации описан новый метод постановки условий излучения для нестационарного уравнения Шредингера (заметим, что метод применим и для имеющего ту же форму параболического уравнения акустики океана). Достоинства метода по сравнению с известными состоят в простоте полученных условий и их высокой точности. Рассмотрим динамику некоторой

одномерной квантовой системы, описываемую уравнением Шредингера

И2

^их + 2тиуу ~ = ° ^

где волновая функция и = и(£, х) задана в пространстве хеИ. Допустим, что нас интересует распределение волновой функции лишь в полупространстве х > 0, в котором локализованы начальные данные, а также носитель первой производной потенциала. В этом случае удобно перейти к задаче в полупространстве, поставив на его границе х = 0 условие излучения. Известно, что описание динамики квантовой системы с помощью нестационарного уравнения Шредингера, вообще говоря, существенно отличается от описания в рамках ВКБ-приближсния и = Ае'°. При этом, однако, оказывается, что условие излучения волн во внешнюю среду может быть достаточно хорошо описано уравнением переноса (амплитудным уравнением) из этого приближения. При этом входящая в него фазовая функция 9 определяет направление и скорость этого переноса. По этой причине комбинация решения уравнения Шредингера при х > 0 я амплитудного уравнения на се границе в качестве условия излучения дает очень хорошее приближение к решению, полученному из расмотрения уравнения Шредингера во всем пространстве. Заметим, что в данном случае квазикласическое приближение описывает только излучение из полупространства, в то время как внутри него описание остается полностью квантовомеханическим. Для получения таких условий излучения

в работе используется метод многих масштабов (который и даст ВКВ-пред-ставленис). Предположим, что в уравнении Шредннгера, которое для сокращения запишем в виде

шх + 0(х)иуу + У(х,у)и = 0, (6)

начальные данные допускают представление и(0, х) = щ(х) = Аа(х)егв^х^с (б - малый параметр). Введем в рассмотрение медленные переменные X = ех, У = су, и быструю переменную г) = (1/е)в(Х, У). Тогда производные в уравнении (6) необходимо заменяются продолженными, а волновая функция предполагается допускающей асимптотическое разложение по степенями е в виде и = щ + ещ + ... . Подстановка этих выражений в уравнение Шредннгера с последующим приравниванием членов при одинаковых степенях е дают в нулевом порядке уравнение Гамнльтона-Якобн

е.х + Р10г)2-У = О (7)

для фазовой функции 0 = 0(Х, У), определяющей геометрию волновых фронтов. В последующих порядках получается иерархия амплитудных уравнений:

Лох + (ЗвуАог + Р(вуА0)у = О Мх + Р {вуАх)у + рвуА\у - 'фАъуу =0

(8)

Аъх + Р (вуА2)у + 13вуА2у - 'фА1Гу = 0

Далее в работе в качестве условий излучения предлагается использовать первое уравнение иерархии (8)

А0Х + РеуА0у + [3(вуА0)у = 0, (9)

а также условие, получающееся формальным суммированием всех соотношений из (8):

Ах + /3{вуА)у + рбуАу-арАуу = 0. (10)

13

Это амплитудное уравнение, поэтому для его использования нужно на границе переходить от функции и(х, у) из (6) к амплитуде А путем умножения на ег0/е, где в может быть получено из (7) с помощью численного или же аналитического решения. Таким образом, возникает следующая схема решения начально-краевой задачи для уравнения Шредингера в неограниченной области К или в полупространстве у > 0:

• Аналитически или численно находится решение уравнения Гамильтона-Якоби (7) в данной неограниченной области (в случае, если решение осуществляется эйлеровым методом, условия искусственной границы для (7) имеют простой вид в = оо).

• Вводится искусственные границы, делающие расчетную область конечной. На этих границах ставится условие вида (9) или (10).

• Решается полученная смешанная задача.

Заметим, что хотя в уравнениях фигурирует малый параметр е, выражение (10), учитывающее разложение по всем степеням этого параметра, делает требование "малости" несущественным и позволяет использовать полученные условия в широком классе случаев. Далее в работе представлена численная схема, реализующая этот способ решения на основе метода конечных разностей. Внутри области предложено использовать схему Крэнка-Николсона, а на границах шаг по эволюционной переменной в (6) делается с помощью простой явной дискретизации (9-10):

/(¿+1.1 _ л«Д д*<2 _ 4».1

0 0 + 2/3'К*'1 + = 0, (11)

/(¿+1,1 _ дг,1 дг,2 _ дг,1 Лг.З _ о/11,2 , лгД

±-——1-2/3*К*'1 , Л +/?(К„)'-1А« = ег/З—- +Л . (12)

т /г п,

Завершает третью главу работы набор модельных примеров, в которых рассматривается распространение волновых пакетов, имеющих форму гауссовых

пучков. Численные примеры показывают высокую эффективность условий (9-10), коэффициент отражения в рассмотренных случаях существенно ниже, чем для других условий неотражающей границы, в том числе и аналитически точных нелокальных условий Баскакова-Попова. Уравнение Гампльтона-Яко-би можно решить численно эйлеровыми методами, используя более грубую сетку, чем для волнового уравнения.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [A3].

В первой части четвертой главы диссертации с помощью полного волнового уравнения исследована задача рассеяния волн от нестационарного источника на неоднородностях тонкой структуры в случае, когда длины волн близки по величине к масштабу пространственной корреляции неоднородно-стсй. Эта задача имеет смысл для волн различной физической природы, однако для большей конкретности в работе используются экспериментальные данные о тонкоструктурных неоднородностях неоднородностях скорости звука в океане. Известно, что при распространении акустических волн в подводном звуковом канале в глубоком океане возникают зоны геометрической тени, засветка которых производится в основном в результате рассеяния на тонкой структуре. Мы исследуем пространственно-временную картину засветки зоны теин волной от нестационарного источника. Для ее получения мы решаем волновое уравнение, что позволяет получить более полное по сравнению с использовавшимися в других работах методами описание явления.

Метод моделирования тонкой структуры скорости звука в глубоком океане, основанный на данных нескольких натурных экспериментов, предложен в работах B.C. Гостевал Р.Ф. Швачко (см. например, [4]). Полученная таким методом тонкоструктурная добавка к скорости звука представляет собой ква-зипериодичсское возмущение, зависящее от глубины, с характерным периодом нсоднородностси порядка 10-20 м. Амплитуда неоднородностей тонкой

Range,km

Рис. 1. Контурный график зависимости логарифма модуля акустического давления (log|u|, градации серого) от координат в зоне геометрической тени. По вертикали глубина (км), по горизонтали расстояние от левой границы расчетной области (км).

структуры мала у поверхности, достигает максимума (1,5-2 м/с) на глубине около 150 м и затем убывает с глубиной. Следовательно наиболее выраженный эффект рассеяния звука на такой тонкой структуре будет наблюдаться на односительно небольших глубинах. При этом характерный для глубокого океана подводный звуковой канал имеет ось на глубине около 1 км, где скорость звука равна 1,49 км/с (у поверхности - 1,54 км/с). Заметим, что уже на глубине 500 м значение скорости звука очень близко к минимальному. В работе исследовано рассеяние волнового пакета от тонального точечного источника (частоты 70-100 Гц) с конечным временем работы, расположенного выше максимума амплитуды тонкой структуры на глубине 115 м. Нас интересует в основном взаимодействие звука с тонкой структурой, поэтому мы

ограничимся лишь верхней частью подводного звукового канала. Рассмотрим распространение звука в плоском сечении океана - области 0 < х < Ь, О < у < Я, где у - высота точки над нулевым уровнем на глубине 450 м (поверхность у = Н = 450 м), а х - горизонтальная координата. При этом необходимо границы х == 0, х = Ь, у = 0 рассматривать как открытые, поставив на ннх условия излучеиня. Внутри области распространение звука описывается полным волновым уравнением. Заметим, что на вертикальных границах важно учесть стратификацию скорости звука, и потому для них использованы условия излучения, полученные во второй главе диссертации. На нижней границе ставится условие излучения типа Хнгдона в форме Джи-воли-Хагстрема (см. первую главу) десятого порядка. Начальные условия для волнового уравнения задаются в виде волны от точечного источника с помощью фундаментального решения задачи Коши для волнового уравения в однородной среде.

Далее в диссертации описана используемая дискретизация уравнений и граничных условий методом конечных разностей и приведены результаты численного моделирования. Получена полная пространственно-временная картина рассеяния звука на неоднородностях тонкой структуры (см. пример на рис. 1). Численное моделирование показало, что рассеянное поле формирует набор пакетов, соответствующих минимумам тонкой структуры, которые движутся за основным фронтом волны с существенным запаздыванием по времени. Кроме того, один волновой пакет движется между максимумом тонкой структуры и поверхностью. Эти пакеты постепенно становятся все слабее, теряя энергию, однако именно они н обеспечивают засветку зоны геометрической тени. В работе приведены оценки уровня засветки зоны тени, появляющейся засчет рассеяния на тонкой структуре. Приведены графики распределения энергии по глубине и определен закон убывания максимума амплитуды этого распределения по мерс распространения в зоне тени. При-

мер картины рассеяния звуковой волны от точечного источника с частотой 100 Гц приведен на рис. 1.

Во второй части четвертой главы исследуется влияние внутренних волн на высвечивание звука из океанического волновода (в мелком море). Известно, что при рассеянии звука на внутренних волнах часть акустической энергии покидает подводный звуковой канал и уходит в дно [5]. В результате этого суммарная энергия акустического поля в водной толще убывает по трассе. Этот процесс мы и называем высвечиванием звука из волновода. В диссертации получена зависимость коэффициента потерь на высвечивание от частоты в рамках волновой теории распространения звука. Для расчетов мы используем параболическое уравнение акустики океана и условие излучения на дне. Модель подводного звукового канала п поля внутренних волн построены на основе экспериментальных гидрологических данных для одного из районов Охотского моря. При этом использована эмпирическая модель для спектра внутренних волн в мелком море [9]. Для исследования влияния внутренних волн на высвечивание в работе описана процедура, позволяющая сконструировать поле внутренних волн (,{х,г) в некоторой области 0 < х < хтах, о < 2 < гтах, где х - расстояние по трассе, а г - глубина. С этой целью на основе обработанных (сглаженных и усредненных) экспериментальных профилей солености и температуры строятся профили плотности, скорости звука и частоты плавучести. После этого поле внутренних волн строится в виде суперпозиции мод внутренннх волн. Для длин внутренних волн в работе выбран диапазон от 100 м до 10 км. Для соответствующих волновых чисел решается семейство спектральных задач для определения мод и частот. Распределение энергии между модами и волновыми числами осуществляется с использованием модифицированного спектра Гаррета-Манка для мелкого моря. Заметим, что спектральная плотность для данной моды данного волнового числа есть комплексная случайная величина, квадрат мо-

Рис. 2. Фрагмент ноля внутренних волн: контурный график зависимости £ = ((х, г), м в градациях серого от глубины г, м (по вертикали) и расстояния вдоль трассы х, м (по горизонтали)

дуля которой имеет гауссово распределение с дисперсией, определяемой из модифицированного спектра Гаррета-Манка, а аргумент равномерно распределен на отрезке [0, 27г]. Таким образом, поле внутренних волн оказывается случайным, и, вообще говоря, высвечивание может зависеть от его конкретной реализации.

Однако, как показывают чнеленные эксперименты, при достаточно большом числе волновых чисел в разбиении отрезка их значений эта зависимость является пренебрежимо малой. Тем не менее, в работе произведено усреднение результатов экспериментов по реализациям случайного поля внутренних волн. На рис. 2 показан полученный описанным способом фрагмент поля внутренних волн.

Внутренние волны возмущают усредненный профиль скорости звука.

Это малое возмущение и вызывает высвечивание акустической энергии из подводного звукового канала. Согласно [2], интенсивность падающей на дно акустической волны, как правило, в 10-25 раз больше интенсивности отраженной. Следовательно при анализе высвечивания можно пренебречь отраженной волной с погрешностью не более 10%. По этой причине в диссертации используется модель волновода с полностью поглощающим дном, на котором ставится условие излучения. После построения модели волновода (профиль скорости звука) и модели возмущения (поле внутренних волн) мы переходим к математической модели распространения акустических волн. Ее основой в этой главе является параболическое уравнение акустики океана (по своей форме эквивалентное нестационарному уравнению Шредингера из квантовой механики), для которого ставится начально-краевая задача в неограниченном полупространстве г > 0. В качестве начальных условий мы используем первую акустическую моду в полупространстве, которая в невозмущенном волноводе распространяется без изменений формы и потерь энергии. Переход от задачи в полупространстве г > Ок задаче в конечной области 0 < 2 < гтах с помощью постановки условия излучения на границе г = гтах мы осуществим уже после дискретизации, так как в данной задаче мы имеем дело с очень тонким эффектом, численная характеристика которого имеет порядок Ю-4, и потому необходимы идеальные условия излучения, полностью согласованные с численной схемой. Энергию, уходящую ниже горизонта г = гтах мы будем считать потерянной. Далее в работе описан метод численного решения поставленной задачи, основанный на консчноразностнон дискретизации. Для параболического уравнения используется схема Крэнка-Николсона второго порядка точности на равномерной сетке (х\ г/) (значение функции в узле и® ), а на границе 2 = гтах ставится условие излучения типа Арнольда, подробно описанное в первой главе работы. Для вычисления мод в полупространстве используется алгоритм Г.В. Алексеева [1]. В расчетах мы оцениваем

Рис. 3. Зависимость потерь акустической энергии (Дб/км) от частоты излучаемого звука (Гц) для некоторых реализаций (крестики) н усреднения (сплошная лшшя).

средний по трассе коэффициент убывания интенсивности акустической энергии на 1 км трассы в децибелах. Оказывается, что этот коэффициент быстро стабилизируется с ростом х (асимптотически стремится к некоторому постоянному значению). Это значение и будет численной характеристикой потерь на высвечивание при дальнем распространении. Мы провели расчеты для частот акустических волн от 50 до 400 Гц при 50 различных реализациях поля внутренних волн. Зависимость усредненного по реализациям коэффициента высвечивания от частоты представлена на рис. 3 (крестиками отмечены данные, полученные при девяти различных реализациях поля, сплошная линия - результат усреднения по 50 реализациям). Эти результаты существенно отличаются от представленных в [5]. Как и ожидалось, на высоких частотах высвечивание убывает. Однако при снижении частоты от 100 Гц до 50 Гц дальнейшему росту потерь мешает сдвиг максимума интенсивности акустической энергии по глубине. Максимум первой акустической модовой функции заглубляется по сравнению с осью канала, в связи с чем уменьшается ее пере-

крытис с возмущением. В итоге влияние возмущения уменьшается. Отмстим, что тем не менее для частот порядка 100 Гц высвечивание имеет тот же порядок, что и потерн на поглощение звуковых волн в морской воде. Результаты четвертой главы опубликованы в работе [A3]. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Список публикаций

[Al] P. S. Petrov, М. Yu. Trofimov. A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition for the wave equation in a waveguide // Europhysics Letters. — 2009. — VoL 85.-- Pp. 34001 (1-6).

[A2] П. С. Петров, M. Ю. Трофимов. Об использовании нестационарного уравнения Тапперта в качестве условия прозрачной границы // Фун-дамеитальия и прикладная мате.матика. — 2009. — Т. 15, № 2. — С. 191-206.

[A3] П. С. Петров, Д. В. Макаров. Анализ высвечивания акустической энергии из волновода методом параболического уравнения с условием излучения.— Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2010. - 32 с.

[А4] П. С. Петров, М. 10. Трофимов. Нестационарная форма уравнения Тапперта в непрерывной и дискретной форме и его использование // Сборник тезисов, международная конференция "Потоки п структуры в жидкостях: физика геосфер". — Москва: 2009.— С. 163-165.

[А5] П. С. Петров, М. Ю. Трофимов. Использование нестационарной фор-

мы уравнения Тапперта в качестве условия искусственной границы // Всероссийская конференция "Математическое моделирование и вычне-лптслыю-информацнонныс технологии в междисциплинарных научных исследования". Материалы. — Иркутск: 2009.

[AG] П. С. Петров, М. Ю. Трофимов. Нестационарное уравнение Тапперта и его использование в качестве прозрачных граничных условий // «Синтаксис и семантика логических систем» Материалы Российской школы-семинара, совящсннон 60-лстшо со дня рождения профессора Ю.Е. Шишмарсва. Владивосток: Дальнаука, 2008.-- С. 50-51.

[А7] П. С. Петров, М. Ю. Трофимов. Постановка неотражающих граничных условий для волнового уравнения с помощью метода многих масштабов // XXXIII дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова, тезисы докладов. — Владивосток: Дальнаука, 2008. -- С. 226 227.

[А8] П. С. Петров. Реализация метода многих масштабов в случае неком-мутнрующнх переменных // XXXII дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова, тезисы докладов. — Владивосток: Дальнаука, 2007. — С. 33-34.

[А9] P. S. Pelrov, М. Yu. Trofimov. A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition for the wave equation in a waveguide, http://arxiv.org/abs/0908.1249.

Цитированная литература

1. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 224 с.

2. Брсховских JI. М., Андреева И. Б. Акустика океана. URL: http://www. akin.ru/spravka/s_ocean.htm.

3. Гордиснко В. М. Симметризация смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка с двумя пространственными переменными // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22. С. 84 104.

4. Гостсв В. С., Швачко Р. Ф. Компьютерное моделирование натурного эксперимента по рассеянию звука тонкоструктурнымн неоднородностями // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 2. С. 262 -267.

5. Флаттс С. Распространение звука во флуктуирующем океане. Москва: Мир, 1982. 336 с.

6. Hagstrom Т., Castro М., Givoli D., Tzcmach D. Local high-order absorbing conditions for time-dependent waves in guides // Journal of Computational Acoustics. 2007. Vol. 15. Pp. 1-22.

7. Hagstrom Т., Warburton T. A new auxiliary variable formulation of high-order local radiation boundary conditions: corner compatibility conditions and extensions to first-order systems // Wave Motion. 2004. Vol. 39. Pp. 327-338.

8. Tappcrt F. D. The parabolic approximation method // In: Wave Propagation and Underwater Acoustics. Ed. J. B. Keller, J. S. Papadakis. Lecture Notes in Physics. V. 70. Berlin: Springer-Verlag. 1977. P. 66.

9. Yang Т. C., Yoo K. Internal wave spectrum in shallow water: measurement and comparison with the Garrett-Munk model // IEEE journal of occan engineering. 1999. Vol. 24. Pp. 333 -345.

Петров Павел Сергеевич

Новый метод постановки условий излучения для решения задач распространения линейных волн в неоднородных средах

Автореферат

Подписано в печать 15.04.2010. Заказ № 95. Формат 60 х 90/32. Усл. печ. л. 2. Тираж 100 экз. Отпечатано в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

Введение

Глава 1. Обзор современных методов постановки условий излучения для волнового уравнения и уравнения Шредингера.

1.1. Условия излучения для волнового уравнения.

1.2. Условия излучения для уравнения Шредингера.

1.3. Выводы к первой главе.

Глава 2. Нестационарный аналог параболического уравнения типа Тапперта и его использование в качестве условия излучения для волнового уравнения.

2.1. Новый подход к получению операторной асимптотики Тапперта

2.2. Вывод нестационарного аналога уравнения типа Тапперта

2.3. Уравнение Тапперта как условие искусственной границы и корректность смешанной задачи.

2.4. Численная схема для решения смешанной задачи для волнового уравнения в области с вертикальными открытыми границами.

2.5. Численные эксперименты.

2.6. Дополнение: некоммутативная аппроксимация Паде и высшие приближения использованной асимптотики.

2.7. Выводы ко второй главе

Глава 3. Амплитудная форма условий излучения для нестационарного уравнения Шредингера.

3.1. Амплитудная иерархия для уравнения Шредингера и уравнение Гамильтона-Якоби

3.2. Условия искусственной границы первого и второго порядка

3.3. Алгоритм решения задачи с открытыми границами для уравнения Шредингсра. Численная схема.

3.4. Модельные расчеты: распространение гауссовых пучков

3.5. Выводы к третьей главе.

Глава 4. Применение условий излучения к решению двух физических задач.

4.1. Задача о рассеянии звука на тонкоструктурных неоднородно-стях профиля скорости звука.

4.2. Оценка потерь на высвечивание акустической энергии из звукового канала в мелком море методом параболического уравнения с условиями излучения

4.3. Выводы к четвертой главе.

Во многих задачах теории волн область, в которой исследуется их распространение, не имеет физических границ. В то же время для исследователя интерес представляет, как правило, волновое ноле внутри некоторой конечной части неограниченной области. Поэтому естественно и удобно переходить к рассмотрению этой части неограниченной области с помощью постановки искусственных границ, через которые волны излучаются во внешнюю среду. Такие искусственные границы называются излучающими (также употребляется термины: поглощающая граница, неотражающая граница, прозрачная граница). Условие, которому должна удовлетворять волновая функция на такой границе, называется условием излучающей границы или просто условием излучения. Это название мы и будем в основном использовать на всем протяжении работы, заменяя его на указанные синонимы, чтобы избегать повторений. По нашему мнению, оно лучше всего отражает физическое свойство, присущее искусственной границе такого типа. К тому же оно отражает обобщающий характер условий излучения по отношению к классическим условиям излучения на бесконечности (условиям Зоммерфельда).

Условия излучающей границы могут быть использованы для решения многих задач квантовой механики [79], акустики [39, 78], геофизики [61], метеорологии [65, 70], электродинамики [72], теории упругости [38] и других областей физики, где важную роль играют волновые уравнения. Так, например, в задачах геофизики и акустики волноводы, как правило, неограничены в горизонтальных направлениях и стратифицированы по вертикали. Естественно ограничиться частью такого волновода, поставив вертикальные искусственные границы, излучающие волны во внешнюю среду. Условие излучения на таких границах должно учитывать имеющуюся стратификацию. В ряде случаев их использование способно существенно упростить решение задач, в которых интерес представляет главным образом рассеяние воли на локализованных неоднородностях. В задачах квантовой механики условия излучения позволяют решать уравнение Шредингера в конечной области, не исключая при этом из рассмотрения свободные состояния и взаимодействие с ними. Таким образом, появляется мощный вычислительный инструмент, позволяющий, рассматривая лишь конечную область, учитывать наличие у системы непрерывного спектра. Это полезно в тех случаях, когда исследователя интересуют односторонние переходы из свободных состояний в связанные и не интересуют обратные переходы. Именно такой характер имеют, например, задачи типа ионизации и диссоциации. Волноводы открытого типа встречаются также в оптике и радиофизике. При исследовании определенного участка достаточно большого волновода имеет смысл рассматривать его отдельно, выделрт его с помощью излучающих границ. Поглощающие слои, но сути аналогичные условиям излучения, прочно вошли в аппарат вычислительной электродинамики (см. книгу [72]). Из других областей применения условий излучения можно отметить, например, метеорологию, где их корректная постановка имеет большое значение для разработки систем прогнозирования атмосферных явлений, определяющих погоду (см. работы [65, 70] и библиографию в них). Условия излучения необходимы при компьютерном моделировании волновых процессов, которое является в настоящее время важным и мощным инструментом для физика-теоретика.

Условия излучающей границы разрабатывались многими авторами, эта область исследований привлекает в последнее время интерес со стороны специалистов в области численного моделирования, вычислительной физики и т.д. Для многих ситуаций способы постановки таких условий хорошо разработаны. В частности, проблему постановки условий излучения для волнового уравнения в ситуации, когда скорость звука постоянна вдоль искусственной границы, можно считать полностью решенной (см. недавние работы [54, 55]).

Однако, некоторые важные аспекты методов постановки условий излучения до сих пор не были развиты. Например, не было предложено метода, который бы позволил учесть стратификацию среды вдоль излучающей границы для задач описываемых волновым уравнением. Стратификация такого типа является важной особенностью многих физических задач. Поэтому было бы желательно обобщить подход, развитый в [54] и предшествующих работах на случай слоисто-неоднородной среды. Частично эта проблема решена в главе 2. Также предложен метод, который, по-видимому, способен дать и полное решение. Существующие способы постановки излучающих границ для уравнения Шредингера (или параболического уравнения) также во многом несовершенны. Для уравнений этого типа хорошо развиты методы позволяющие получить нелокальные граничные условия [33], обеспечивающие практически полное излучение падающих на них волн. Такие условия излучения имеют существенный недостаток: они гораздо сложнее исходных уравненй. В связи с этим, желательно получить такие условия искусственной границы для уравнения Шредингера, которые бы давали низкий коэффициент отражения падающих волн и при этом имели достаточно простую форму. В диссертации предложен новый метод постановки условий излучения для одного достаточно широкого класса задач, описываемых уравнением Шредингера, обладающий этими свойствами.

Для разработки новых методов постановки условий излучения в нашей диссертации мы используем два различных метода. В случае волнового уравнения мы используем факторизацию волнового оператора с целью выделения на границе волн, распространяющихся из области во внешнюю среду. Наиболее важным шагом является последующий выбор метода аппроксимации получающихся при факторизации псевдодифференциальных операторов. С целью учета стратификации среды мы используем операторную асимптотику, получаемую с помощью методов некоммутативного анализа. Это позволяет нам получить уравнение однонаправленного распространения волн в слоистой среде, которое мы и предлагаем использовать в качестве условия излучения для волнового уравнения. При разработке условий излучения для уравнения Шрсдингера мы используем метод многомасштабных разложений. Такой способ получения условий искусственной границы был впервые предложен М.Ю.Трофимовым [29, 30]. Мы, однако, используем полученные уравнения уже в амплитудном виде, не переходя к волновой функции, как это сделано в упомянутых работах. Метод многих масштабов позволяет осуществить выделение волн, распространяющихся на границе из области во внешнюю среду засчет фазовой функции, определяющей геометрию волновых фронтов. Оказывается, что условия излучения в амплитудной форме в ряде случаев более удобны и обеспечивают более высокую точность вычислений.

Условия излучения на границе конечной области являются мощным инструментом для исследования распространения волн в различных физических задачах. При этом, однако, пригодные для практического использования методы их постановки были разработаны лишь относительно недавно. По этой причине количество работ, где они используются, пока еще очень мало. В диссертации представлено два примера использования условий излучения при исследовании распространения акустических волн (глава 4). В первой части четвертой главы они применены для исследования задачи о рассеянии волн на тонкой структуре. Выделение с их помощью небольшого участка волновода позволяет получить подробную картину рассеяния импульсного сигнала с помощью нестационарного волнового уравнения. Мы используем здесь полученные во второй главе условия, которые позволяют нам учесть слоистую стратификацию среды. Во второй части четвертой главы условие излучения применено к анализу высвечивания энергии из волновода при рассеянии на пеоднородностях. Потери энергии в рамках нашей модели происходят засчет контакта волн с поглощающим дном, которое мы моделируем условием излучающей границы для узкоугольного параболического уравнения, эквивалентного уравнению Шредингера.

Результаты настоящей работы опубликованы в двух статьях [69], [28], одной монографии [23], а также в пяти сборниках материалов конференций [22, 24-27].

Я глубоко признателен своему научному руководителю М.Ю.Трофимову за тот объем знаний и навыков, который он передал мне за время моего обучения в аспирантуре, за открытые мне новые горизонты и направление моих исследований. Также я хотел бы поблагодарить здесь сотрудников лаборатории 3/2 Тихоокеанского океанологического института за ту радость, которую мне неизменно доставляла работа в этом замечательном коллективе. В особенности я признателен заведующему лабораторией К.В.Кошелю и заведующему отделом С.В.Пранцу за всестороннюю поддержку и внимание к моим проблемам, а также А.И.Гудименко, А.Д.Захареико, С.Б.Козицкому, Д.В.Макаров}'',

A.О.Максимову, В.В.Паку и И.О.Ярощуку за полезные и содержательные обсуждения различных вопросов и переданный мне их бесценный опыт. Неоценима также поддержка руководства нашего института и лично его директора

B.А.Акуличева аспирантам и, в частности, мне, за которую я очень признателен. Кроме того, в некоторых вопросах было бы весьма затруднительно разобраться без участия и бескорыстной помощи людей, которые нашли возможность дать мне консультацию в переписке. Я глубоко признателен за это В.М.Гордиенко, В.С.Гостеву, Т.Хагстрему и Э.Соммесу.

4.3. Выводы к четвертой главе

В четвертой главе диссертации метод исследования распространения волн в неограниченных воловодах с использованием условий излучения применен к решению двух физических задач. Первая из них состоит в исследовании рассеяния волн на тонкой структуре в слоистом волноводе. Условия излучения позволяют произвести это исследование в рамках наиболее полного описания с помощью нестационарного волнового уравнения. Это позволяет отследить не только пространственные, но и временные изменения структуры поля, вызванные влиянием тонкой структуры. Картина поля, полученная

Рис. 4.18. Зависимость коэффициента потерь различных видов К (Дб/км) от частоты звука v (Гц): поглощение звука в соленой воде (пунктирная линия) и высвечивание (сплошная линия)

Рис. 4.19. Зависимость матричных элементов Мц взаимодействия мод от частоты звука v

Гц) таким образом, дает наиболее полное и наглядное представление о физике явления. Ключевым моментом исследования является исключение волн, покидающих интересующий нас участок волновода. Это позволяет выделить в чистом виде волны, рассеянные на тонкой структуре. Для этого необходимо воспользоваться условиями излучения на границах рассматриваемого участка. При этом на вертикальных границах, где имеет место выраженное изменение параметров среды, необходимо ставить условия, учитывающие это изменение — т.е., например, условия излучения, полученные во второй главе работы. Этот случай является типичной физической ситуацией, когда они могут быть использованы при решении реальных задач теории волн.

Во второй части четвертой главы произведено исследование высвечивания акустической энергии из подводного звукового канала, возмущенного внутренними волнами на примере одного района Охотского моря. Основное ограничивающее предположение состоит в рассмотрении линейных внутренних волн, спектр которых соответствует модифицированной модели Гаррета-Манка для мелкого моря. Полученные результаты представляют определенный интерес по следующим причинам. Во-первых, несмотря на то, что существовала аналогичная оценка для высвечивания в глубоком океане (полученная на основе анализа уравнения переноса и существенно использующая лучевое приближение), соответствующий результат важно сопоставить с оценкой того же параметра дргуим методом (в нашем случае — лишенным недостатков лучевого описания). Во-вторых, определенный интерес представляет оценка в на основе конкретных данных по гидрологии данного района Мирового Океана. В-третьх, важно отметить, что результаты численного моделирования показывают, что зависимость потерь акустической энергии на высвечивание от частоты излучаемого звука может иметь ие такой вид, который предполагался ранее. Ограничивающим фактором для роста высвечивания с уменьшением частоты для ь> < 100Гц может стать смещение максимума интенсивности звуковой энергии ниже оси канала, в результате чего уменьшается перекрытие между акустическими модами и возмущением, которое локализовано существенно выше оси канала. В связи с этим влияние возмущения ослабляется и высвечивание резко уменьшается при снижении частоты ниже 50 Гц. Это заключение находит свое подтверждение при анализе матричных элементов теории возмущений оператора Шредингера. Таким образом, зависимость потерь, вызываемых рассеянием звука на внутренних волнах обнаруживает максимум на частоте 100 Гц, в окрестности которого соответствующее затухание достигает значения Ю-3 Дб/км. При увеличении частоты высвечивание постепенно убывает, обнаруживая стабилизацию на высоких частотах, что соответствует переходу к лучевому пределу. При этом потери имеют величину порядка 5 - Ю-5 Дб/км. Такое снижение в терминах теории возмущений также может быть объяснено уменьшением матричных элементов взаимодействия акустических мод на высоких частотах.

Представленная диссертационная работа, содержит три основных результата, два из которых состоят в развитии новых методов постановки условий излучения для волнового и параболического уравнений, а третий представляет собой исследование одной задачи из акустики океана волновыми методами с использованием излучающих границ, чего ранее сделано не было. Суммируя выводы глав диссертации, мы делаем следующее заключение

1. Получен нестационарный аналог параболического приближения к волновому уравнению для слоистой среды, учитывающий зависимость от времени (нестационарное уравнение Тапперта). Это уравнение приближенно описывает однонаправленное распространение волн и учитывает изменение свойств среды в направлении, поперечном оси волновода. Предложено использовать это уравнение на границе области в качестве условия излучения. Проведенное исследование свойств этого условия показало, что оно обладает рядом преимуществ по сравнению с известными условиями излучающей границы. Наиболее важным из этих преимуществ является учет изменения свойств среды вдоль этой границы. На основе полученного условия реализована численная схема и разработан комплекс программ, позволяющих решать физические задачи, описываемые волновым уравнением в неограниченных волноводах. Предложен новый метод вывода операторной асимптотики Тапперта, основанный на методах некоммутативного анализа и позволяющий получить высшие приближения этой асимптотики.

2. Получены условия излучающей границы нового типа для параболического уравнения с быстроосциллирующими начальными данными, па их основе реализована эффективная численная схема, позволяющая решать параболическое уравнение в неограниченной области. Схема отличается простотой, однако обеспечивает меньшие коэффициенты отражения от границы, чем при использовании других условий излучения, в том числе аналитически точных условий Баскакова-Попова.

3. Проведено исследование высвечивания акустической энергии из подводного звукового канала под влиянием линейных внутренних волн для случая мелкого моря (на примере одного из районов Охотского моря с использованием экспериментальных гидрологических данных). Получена зависимость коэффициента потерь акустической энергии на 1 километр трассы от частоты в диапазоне частот 50-400 Гц. Показано, что максимальное значение этой величины достигается на частоте 100 Гц, в окрестности которой коэффициент потерь имеет порядок Ю-3 Дб/км. Наличие максимума объяснено в терминах межмодового взаимодействия. Установлено, что при v < 50Гц быстрое убывание с частотой коэффициента потерь на высвечивание обусловлено увеличением заглубления максимума интенсивности акустической энергии, и, как следствие, уменьшением перекрытия моды с возмущением.

На защиту выносятся:

• нестационарное уравнение, приближенно описывающее однонаправленное распространение волн в слоистой среде и метод решения волнового уравнения в открытом волноводе со слоистой стратификацией на основе использования полученного уравнения в качестве условия излучения;

• метод решения уравнения Шредингера в области с открытой границей на основе использования условия излучения в амплитудной форме;

• Полученная зависимость от частоты коэффициента высвечивания акустической энергии под влиянием линейных внутренних волн для одной модели подводного звукового канала в мелком море, основанной на конкретных гидрологических данных.

1. Аксенов С. П. Асимптотическое краевое условие Дирихле для нижней границы жидкого слоя переменной толщины, лежащего на жидком полупространстве // Акустический журнал. 1985. Т. 30, № 4. С. 512-514.

2. Алексеев Г. В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 224 с.

3. Бреховских JI. М., Андреева И. Б. Акустика океана // http: / / www.akin.ru/spravka/socean.htm.

4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1988. 358 с.

5. Гилл А. Динамика атмосферы и океана, том 2. Москва: Наука, 1986. 415 с.

6. Годунов С. К. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1979. 428 с.

7. Годунов С. К., Гордиенко В. М. Смешанная задача для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара С.Л.Соболева. 1977. С. 5-32.

8. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. Москва: Наука, 1977.

9. Гордиенко В. М. Симметризация смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка с двумя пространственными переменными // Сиб. мат. журн. 1981. Т. 22. С. 84-104.

10. Гостев В. С., Копыл Е. А., Лысанов Ю. П., Швачко Р. Ф. Компьютерноемоделирование распространения звука в океане с фрактальными иеодпо-родностями // Акустический журнал. 2007. Т. 53, № 1. С. 80-86.

11. Гостев В. С., Попов О. Е., Швачко Р. Ф. Компьютерное моделирование звуковых полей в океане с тонкоструктурными неоднородностями // Акустический журнал. 2003. Т. 49, № 6. С. 778-785.

12. Гостев В. С., Швачко Р. Ф. Акустические эффекты в океане с тонкоструктурной стратификацией (натурные эксперименты, компьютерное моделирование) // XI школа-семинар акад. Л.М. Бреховских "Акустика океана". Москва: ГЕОС, 2006. С. 215-220.

13. Гостев В. С., Швачко Р. Ф. Компьютерное моделирование натурного эксперимента по рассеянию звука тонкоструктурными неоднородностями // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 2. С. 262-267.

14. Завадский В. Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. Москва: Наука, 1982. 298 с.

15. Завадский В. Ю. Моделирование волновых процессов. Москва: Наука, 1991. 225 с.

16. Завадский В. Ю., Крупин В. Д. Применение численных методов для расчета звуковых полей в волноводах // Акустический журнал. 1975. Т. 21, № 3. С. 484-485.

17. Ландау JI. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика (перелятивистская теория). Москва: Изд-во физико-математической литературы, 1963. 715 с.

18. Маслов В. П. Операторные методы. Москва: Наука, 1973. 544 с.

19. Миропольский Ю. 3. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Москва: Гидрометеоиздат, 1981. 303 с.

20. Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Методы некоммутативного анализа. Москва: Техносфера, 2002. 336 с.

21. Петров П. С. Реализация метода многих масштабов в случае некоммути-рующих переменных // XXXII дальневосточная математическая школа-семипар имени академика Е.В.Золотова, тезисы докладов. Владивосток: Дальнаука, 2007. С. 33-34.

22. Петров П. С., Макаров Д. В. Анализ высвечивания акустической энергии из волновода методом параболического уравнения с условием излучения. Владивосток: Издательство Дальневосточного университета, 2010. 32 с.

23. Петров П. С., Трофимов М. Ю. Нестационарная форма уравнения Тапперта в непрерывной и дискретной форме и его использование // Сборник тезисов, международная конференция "Потоки и структуры в жидкостях: физика геосфер". Москва: 2009. С. 163-165.

24. Петров П. С., Трофимов М. Ю. Об использовании нестационарного уравнения Тапперта в качестве условия прозрачной границы / / Фундамен-тальня и прикладная математика. 2009. Т. 15, № 2. С. 191-206.

25. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31. С. 89-94.

26. Трофимов М. Ю. Новый вывод граничных условий прозрачности для параболических уравнений // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33. С. 89-94.

27. Флатте С. Распространение звука во флуктуирующем океане. Москва: Мир, 1982. 336 с.

28. Alonso-Mallo I., Reguera N. Discrete absorbing boundary conditions for Schrodinger-type equations. Construction and error analysis / / SI AM J. Nu-mer. Anal. 2003. Vol. 41. Pp. 1824-1850.

29. Antoine X., Arnold A., Besse C. et al. A review of transparent and artificial boundary conditions technique for linear and nonlinear Schrodinger equation // Comm. Сотр. Phys. 2008. Vol. 4. P. 729.

30. Arnold A., Ehrhardt M., Sofronov I. Discrete transparent boundary conditions for the schrodinger equation: fast calculation, approximation, and stability // Comm. Math. Sci. 2003. Vol. 1. Pp. 501-556.

31. Asvadurov S., Druskin V., Guddati M., Knizhnerman L. On optimal finite-difference approximation of PML // SIAM J. Numer. Anal. 2003. Vol. 41. Pp. 287-305.

32. Baskakov V. A., Popov A. V. Implementation of transparent boundaries for numerical solution of the Schrodinger equation // Wave Motion. 1991. Vol. 14. Pp. 123-128.

33. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves // Journal of Computational Physics. 1994. Vol. 114. Pp. 185-200.

34. Burns D. R. Acoustic and elastic scattering from seamounts in three dimen-sions-A numerical modeling study // Journal of Acoustic Society of America. 1992. Vol. 92. Pp. 2784-2791.

35. Cao J., He S. An exact absorbing boundary condition and its application to three-dimensional scattering from thin dispersive structures // Journal of Acoustic Society of America. 1996. Vol. 99. Pp. 1854-1861.

36. Collino F. Perfectly Matched Absorbing Layers for the Paraxial Equations // INRIA Rapport de recherche no 2964. 1996.

37. Colosi J., Brown M. Efficient numerical simulation of stochastic internal-wave-induced sound-speed perturbation fields // Journal of Acoustic Society of America. 1998. Vol. 103. Pp. 2232-2235.

38. Deng H. L. Acoustic-wave propagation in thin-layered media with steep reflectors // Geophysics. 1994. Vol. 59. Pp. 1593-1604.

39. Ehrhardt M. Discrete artificial boundary conditions, Ph.D. thesis // http://www.math.tu-berlin.de/ ehrhardt/papers/diss.ps.gz.

40. Engquist В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves // Mathematics of Computation. 1977. Vol. 31. Pp. 629-651.

41. Fevens Т., Jiang H. Absorbing boundary conditions for the Schrodinger equation // SIAM J. Sci. Comput. 1999. Vol. 21. Pp. 255-282.

42. Friedrichs К. O. Symmetric positive linear differential equations // Communications on pure and applied mathematics. 1958. Vol. 11. Pp. 333-418.

43. Givoli D., Neta B. High-order non-reflecting boundary scheme for time-dependent waves // Journal of Computational Physics. 2003. Vol. 186. Pp. 24-46.

44. Gordienko V. M. Un probleme mixte pair l'eqution vectorielle des ondes: Cas de dissipation de l'energie; Cas mal poses // C.r. Acad. Sci. 1979. T. 288. C. 547-550.

45. Guddati M. N., Lim K.-W. Continued fraction absorbing boundary conditions for convex polygonal domains // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2006. Vol. 66. Pp. 949-977.

46. Guddati M. N., Tassoulas J. L. Continued-fraction absorbing boundary conditions for the wave equation // Journal of Computational Acoustics. 2000. Vol. 8. Pp. 139-156.

47. Hagstrom Т., Castro M., Givoli D., Tzemach D. Local high-order absorbing conditions for time-dependent waves in guides // Journal of Computational Acoustics. 2007. Vol. 15. Pp. 1-22.

48. Hagstrom Т., Mar-Or A., Givoli D. High-order local absorbing conditions forthe wave equation: extensions and improvements // Journal of Computational Physics. 2008. Vol. 227. Pp. 3322-3357.

49. Hagstrom Т., Warburton T. Radiation boundary conditions for time-dependent waves based on complete plane wave expansions // http://faculty.srnu.edu/thagstrom/HWcomplete.pdf.

50. Hagstrom Т., Warburton T. A new auxiliary variable formulation of high-order local radiation boundary conditions: corner compatibility conditions and extensions to first-order systems // Wave Motion. 2004. Vol. 39. Pp. 327-338.

51. Hagstrom Т., Warburton Т., Givoli D. Radiation boundary conditions for time-dependent waves based on complete plane wave expansions // Journal of Computational and Applied Mathematics, принято к печати.

52. Higdon R. L. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation // Mathematics of Computation. 1986. Vol. 47. Pp. 437-459.

53. Higdon R. L. Numerical absorbing boundary conditions for the wave equation // Mathematics of Computation. 1987. Vol. 49. Pp. 65-90.

54. Jin S., Liu H., Osher S., Tsai R. Computing multi-valued physical observables for the high frequency limit of symmetric hyperbolic systems // Journal of Computational Physics. 2005. Vol. 210. Pp. 497-518.

55. Jin S., Liu H., Osher S., Tsai R. Computing multivalued physical observables for the semiclassical limit of the Schrodinger equation // Journal of Computational Physics. 2005. Vol. 205. Pp. 222-241.

56. Johnson S. G. Notes on perfectly matched layers (PMLs) // http://rnath.mit.edu/ stevenj/18.369/pml.pdf.

57. Komatitsch D., J.Tromp. A perfectly matched layer absorbing boundary condition for the second-order seismic wave equation // Geophys. Journal International. 2003. Vol. 154. P. 146-153.

58. Kreiss H.-O. Initial boundary value problems for hyperbolic systems // Communications on pure and applied mathematics. 1970. Vol. 23. Pp. 277-298.

59. Lindman E. L. Frce-spaceboundary conditions for the time dependent wave equation // Journal of Computational Physics. 1975. Vol. 18. Pp. 66-78.

60. Liu H., Osher S., Tsai R. Multi-valued solution and level set methods in computational high frequency wave propagation // Commun. Comput. Phys. 2006. Vol. 1. Pp. 765-804.

61. Miller M. J., Thorpe A. J. Radiation Conditions for the Lateral Boundaries of Limited-Area Numerical Models // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 1981. Vol. 107. Pp. 615-628.

62. Osher S., Shu C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes // ICASE Report. 1987. Vol. 87-33.

63. Osher S., Shu C.-W. High order essentially non-oscillatory schemes for hamil-ton-jacobi equations // ICASE Report. 1990. no. 90-13.

64. Perfectly matched layer // Wikipedia, the free encyclopedia, http://en.wilcipedia.org/wiki/Perfectlymatchedlayer.

65. Petrov P. S., Trofimov M. Y. A nonstationary form of the range refraction parabolic equation and its application as an artificial boundary condition forthe wave equation in a waveguide // Europhysics Letters. 2009. Vol. 85. Pp. 34001-p1-3400l-p6.

66. Raymond W. H., Kuo H. L. A radiation boundary condition for multidimensional flows // Q. J. Roy. Meteor. Soc. 1984. Vol. 110. P. 535-551.

67. Smith W. D. A nonreflecting plane boundary for wave propagation problems // Journal of Computational Physics. 1974. Vol. 15. Pp. 492-503.

68. Taflove A., Hagness S. C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. London: Artech House Publishers, 2005.

69. Tappert F. D. The parabolic approximation method // In: Wave Propagation and Underwater Acoustics. Ed. J. B. Keller, J. S. Papadakis. Lecture Notes in Physics. V. 70. Berlin: Springer-Verlag. 1977. P. 66.

70. Xu Z., Han H., Wu X. Adaptive absorbing boundary conditions for Sclirodinger-type equations: Application to nonlinear and multi-dimensional problems // Journal of Computational Physics. 2007. Vol. 225. Pp. 1577-1589.

71. Yang Т. C., Yoo K. Internal wave spectrum in shallow water: measurement and comparison with the Garrett-Munk model // IEEE journal of ocean engineering. 1999. Vol. 24. Pp. 333-345.

72. Zeng Y. Q., Liu Q. H. A staggered-grid finite-difference method with perfectly matched layers for poroelastic wave equations // Journal of Acoustic Society of America. 2001. Vol. 109. Pp. 2571-2580.

73. Zisowsky A., Arnold A., Ehrhardt M., Koprucki T. Discrete Transparent Boundary Conditions for transient kp-Schrodinger Equations with Application to Quantum-Heterostructures // ZAMM. 2005. Vol. 85, no. 11. Pp. 793-805.