О больших уклонениях сумм независимых случайных векторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН *

институт ыатншяки шюш в. и. романовского

На права! рухооися

ТУЛЬТЕБАЕВ НУРААН АЕДРАЗАХОВИЧ

О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ СУШ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕКТОРОВ

01.01.05 - Теорпя вероятностей а цятематичсскал статистика

АВТОРВвВРАТ

диссертация на сояслакпэ учэной отвпскя каэдадота фоанко-штекаппескшс науп

Тюквят - 1991

Работа выполнопа в Институте математики им. В. И. Роиановского Iii I л>публики Узбеютстап.

Иаучтю руководители - доктор <1нэи1со-математичесгаа наук

осгаюв л.в., кандидат йиэико-математических наук КИМ Л.В.

Официальные оппонентг: доктор физико-математических паук ЗАЙЦЕВ А.Ю. кандидат физико-матоматических наук, доцсит МУХИН A.B.

Ведуцая организация - Санкт Петербургский Государственны«

Упидорситот

Эжцита диссертации состоится " 5 « CJОеёрдЛЯ 1992г. в 14. часов па заседании специализированного совета К OI5.17.OI В Институте математик.; им.В.И.Романовского All Республики Узбекистан по адресу: 700143, г.Тошкент-143, ул.Ф.Ходжаева.29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики имели В.И.Ромапопского АН Республики Узбекистан.

Авторофорат разослан " 3 ■ ЯНЬ А? Я_199£г.

Учепий секретарь

специализированного совета f/>" кандидат физ.-маг.ноук А.Н.СТАПОЗВ

, . ( ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТ»

.. -А- к т у а л ь и и с п то м ы. Теория суммпроьаиия поза-случайных ползши, развитая и иеследошишлх чридцатих го-до1з, 'до сих пор продолжает пр" члекнть к себе шг.нание математиком. обогащаясь псе номлш и ноюшш содержа-голишыи задачами. В ео создание и развитие сноП вклад ынеслп многие крутшо учение. Среди них сиоду«* упомянуть А.Я.Хинчина, А.А.Сороккоьп, H.A. Ilopar»wonfi» А. В. Скороход;», В.М.Яолотарввл, Ю. В.П| ч>хор»вя, С.В.1!ага<~иэч, А.В.Нагаева, В.А.Отатуллвичуса, Л.В.Осипопа и др. H;ip(iny с уточнениями и обобщениями классических результатов теории едшшропмпш случпНпих неличин большое место п сомромошшх «сслоД(Ч»'1Ич»1« rK.mww миогомериич проделышо т-зоремч, в частности, продольник ч ос,ромы, учитлиапцио болыиии уклснони .

1!пт.\г.:-с К .'Ж-И ПрОЯЛРШМтв ОбЧ.ЯСНЯбТСЯ ICÖiC TöOJW.iriOCKl».! ео

»начет юч, т u; » 'i.-i.i, ччо многое задачи, пот^ччпциося п напч-шчоокои еишьтисл, теории ищюрмшити, теории массового оослу.'ччышя, -..ч-рки н.щогностн, стгтютической Ямэдко и других

раГ.ДМ'ЯЧ »WiOMiiTHK'l И <)-!tL'»tJUI, Тробугл1 ОИРОДОЛОННОЙ HJlijK>piOinv.1 о

гюпздвнни ряенр'лдол ihm cyi.ni иезпписичык случлшшх покгороп (Н.С.Н.) 14 OÖ.'t;iC'f4 больших УКЛ'»ЮН1\Й, 1)0 СОД>!р;.:!1Ц0!1СЯ в классических ките1рллн!их и локялшнх придолшдх теоремах. И'.'.с; Ч('Л1 fiMX ГСОрОН с учетом бОЯ.ЧШХ уклонили»! для

C,V» -I ».«.". V l!l! П.'С)'.'!!•;<.ли работа А.А.БОрОККОГШ, M.B.JlpDXOpOIW,

Р.л.Гогадипа, В.11ит>?рч, Л.Нилкаускосо. П.оЧм« Пара, А.П.Ногпзса, Л.В.Осиповя, А.А.Могульского, В.В.Юринского, Л.Н.Саулисо, А.К.А.чошкявиченв, В.-Д.Рихтера, А.Ю.Зайцева, Л.В.Розовского и другах авторе гл.

Цель работ н. Диссертация посшщопа изучении условий

гаусс лскоИ 01 игроксимяции вероятностей больших уклопешШ (при выполнении УСЛОВИЙ КрПМ0]ЮПСК0Г0 типа) сумм КОНОЧНОМерНЫХ 11.с.в. при ••атричной нормировке. В работе также исследуется "односторонняя" постановка задачи о больших уклоношпх.

Методы исследования. I! работе для доказательства основных результатов использован метод сопряженных распределений в сочетании с мотодом характеристических функций.

Научная новизна. Все основные 1юэультпты диссертации являются новыми. В работе обобщены некоторые результата Б.«1)он Яара и Л.В.Осипова на случай сумм разнораспределешшх н.с.в. при матричной нормировке, иолучоны "односторонние" тсоромн о больших уклонениях для сумм эзашсимых одинаково распределенных случайных векторов в Пк.

П р а к т и ч о с к т п ценность. Результата диссертации могут быть применены в математической статистике, теории информации, теории массового обслуживания, теории надекности, статистической физпко и других разделах математики и физики, а такжо при дальнейшем исследовании вероятностей больших уклонений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах отделов теории вероятностей и математической статистики Института ыатематгаси им. В.И.Романовского АН Узбекистана, на семинарах кафодры теории вероятностей и мато-матичсской статистики Ташкентского государственного университета им. В.И.Лонипа, на конференциях молодых учен их Узбекистана (Ташкент,1986-1989), на семинаро по продольным теоромам теории вероятностей в Санкт-Петербургском госушшерситето, на семинаре по теории вэроь.иостей ЛОМИ АН СССР, па 5-й Вильнюсской моздупа-

родной копфе]*шцш1 но теории вероятностей и математической стататистике (Вильнис,! 9вУ), на Всесоюзной конференции но предельным теоремам теории вероятностей, посвященной 70-летаю академика ЛИ УзССР С.Х.Сиракдинова (Ташкент,1990), на G-0M Соьет-ско-японском симпозиуме по тео[. .и вероятностей и математической статистике (Пиев,]991 ).

¡1 у б л и к а ц и и. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работ; состоит из введения, двух глав и списка литератур» (149 названий). Общий объем работы 97 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий исторический обзор предшествующи работ, показана актуальность тени исследования и сформулировали осиошне результата.

Введем необходимые обозначении и соглашения. Рассмотрим случайный вектор ^ rt k-мернои евклидовом пространстве R о и единичной ковариационной матрицей. Пусть {Ê , пИ] -последовательность независимых одинаково распределенных (н.о.р.с.п.) с

£ и.с.в. в R\ £ =21§.//п.

11 (.= < l

Введем следу га.ие обозначения:

(0.1)

A(M = Ab(fl.v)=-(t.v)+tnçp(fl). (0.2)

Q-ÎÎïéR : t$>(ÍV)<°°}. (0.3)

говорить, что и-пю.пнено ycr.mv.e ((¡ч). осли точки О яплясюя ipnmnnofi точкоИ Q, причол Q но ирииадлогит линоЛному иокпростряпстпу R' рариорностн. ыоншсИ i к, п ti \• - 00 ■ Mojra 11 - Pl(V) (¡удъ-м обозначать репюнпо уршпн

THtOîiiln

g-tad 4?CfO = и-

(0.4)

Это ypntüieimo определяет ряпимниолшппччнчч и раанмп» нштрорпшто oTorípiiaoiiiie: Q—»G. 1>и"дом обознпчешт

2

An(a) = f\oc\ + \(:к), хс-т G.

"и

Дял-ло положим

n (.X) - - fuxm) ■ \h(XA¡ñ)\ \ X e JTi• G.

Через P?^ будем обозпачоть г.чуссосское pnenp<,.A,,;i"im". n R пулот»« сродннм и ковлриационпоЯ матрицей 5 , ф -- Ф^ , гду I единичная iiaipimo порядка k » î; , del S - оц^'дс.ип'ль S Н(ад) - шпр радиуса 'I с центром в точке Û , Hí'U =■ l"l(0,'l). CA дополнению множоотвз А до R .

ПО.^ООТ!

р(зс,А) = т${Ьс-у\-. у« А}.

Для каждого £>0 определим 8 -окрестность множества А : Обозначим

А_&=С(СА\ . ЭА- граница множества А . Пусть V - открытий выпуклый положительный конус, т.е. открн-тое множество, удовлетворяющее следупцим условиям: I) если ЦсУ , то А1М V, А>0 5 Л) если {и^^сУ . то + V.

Для 5>0 введем обозначение К (.V, Б) = V П Н(5). Положим

-к/2

уиа(Е) =(2Я) 5 еэср{ \_пСШх, Е 6 >/й • ВД 5).

Выбор множества

будет уточнен позже. Введем класс множеств, удовлетворяйся условиям:

, если

I) . где В, и В2- выпуклые борелевские множества!

2> ЕсЩ8).

Теорема I. Пусть К - евклвдово пространство размерности к > 1,

параметр и пусть К4

- п.о.р.с.в. с пулевыми средними и единичными ковариационными операторами (последнее предполагается для простоты), удовлетворяйте условию (С0). Тогда существует положительный конус V и 2>0, такие, что для любого множества Е, такого, что Е€ "Сб(У,Б0 и Еу^ 230/,ВО имеет место

Р Е) = ¡ипЮ + е^ уиГ1(Е1|1), (0.5)

I

где |0\<С. . причем постоянная не зависит от Г1 и?.

Будем говорить, что последовательность {А^ подмножег-в ^ принадлежит классу если выполнены условия:

1) Апе{В(\Ш), а-1,2....;

2) А - замкнутые мпожества, ГС=1,2,...;

3) максимум функционала Ь^Сх) на множестве Дп достигается для некоторого вектора Х- ОС® длинырп> причем 1 $ рп = 0(/П) при П ОО ;

4) АасСН(ап,нп) и Ф(Ап)>ЕФ(СН(а|1.2Д

Отметим, что такого рода класс последовательностей множеств ввел Л.В.Осипов (Осипов Л.В. Вероятности больших уклонений для сумм независимых случайных векторов для некоторых классов множеств // Матом.замоткиЛ982.Т.32,N1.0Л47-155).

Следующий результат является. "односторонним" аналогом соответствующей теоремы Л.В.Осипова из той же работы.

Теорема 2. Если выполнено условие (С0), то для лк1бой последовательности ( V и 8 определены в

теореме I, £,>0 ) имеет мосто соотношение

* (1 + 0С1/4Й- шах (.[па, рп))),

(0.6)

при-П-со. где 6а= +рГ1П(Х°).

Будем говорить, что вшолпено условие (С1), если для некоторого открытого выпуклого поло: гголыюго копуса и при некоторой 0 справедливы соотношения

Кб и ПН(б2\ И Е\!\5<ОО.

Для произвольного вшуклого замгаутого конуса V» £. > О гь^дем класс множеств Е . УД влетворлпцих условиям:

I) Е=В^\В2» ГД0 В, и В, - выпуклые борелевсзсие множества;

3) Ее УПН(£У

Теорема 3. Пусть |>, & R - н.о.р.с.ы. с

пулевыми средними и единичными к.м. (последнее предполагается для простота), удовлетворящио условию (С1). Пусть V - вшуклий зашиутнй конус,

Уси, ЬИ.Ш Тогда существует такал постоянная £3>0 , что для любого . множества Е, такого, что

где

и постоянная

'С2 = Сг(У,б3,10 не зависит от П Л . 3 а н в ч а п и в . Теорема, очевидно, справедлива и для множеств Е, представших в вида обьодшения конечного числа с! непересекающихся множеств, каждое из которых принадлежит классу "ЭДСб^У) вместо со сшей 1/1 -окрестностью, В этом

случае постоянная С зависит также от (1.

Пулть {е^, 1= 1,2,...,к} - ортонормирований! базис в И , такой

что G^i \[ (причем e, - внутренняя точка V) и -e^V или, что TO SO СЙМОв, U ф R .

^тедем множества

где "Jf) Т|< ~ Фиксированные числа.

Будем говорить, что эти числа удовлетворяют условию (D), если

Обозначим

бссьбдгь sup A(ftW).tf),

tfeAjiV t

с nk ok

Вводом лилейное преобразование 5 : R —♦ R. . такое, что

Se^e, v i = 17k. (0.8)

Условие (D) равносильно тому, что максимальное собственное число оператора S однократно.

Исследуем асимптотику вероятности Р{.

Теорет 4. Пусть выполнено условие (С^) и числа l^f. удовлетворяют условию (D). Тогда при П-»оо равномерно

- II -

по 1 е I \, 0(-/Ю] имеет место соотношение

-Ф5аФг)ехр1пА(чЛ1тК1+о«а п"'и\ со.9>

где 2 - гауссова мора в $ с пулевым средних« и гс.м. 5 .

Из результатов П.М.Золотарева (Золотарев В.М. Об ода о И перо ятностной задаче.// Теория гюроятн. и ее примен. 1961.Т II, и?. С.219-222.) следует, что ест внполиепо условие (В), то спро ведливя асимптотическая формула

Ф5гС{?1:\Ы>1}) = £!К?га1ехр{-'12/2^!о-«оШ\ х-<». (оло)

где

_ к

[1(1-^) . (о.П)

Поэтому из теоромн 4 легко получить следующее

Следствие. Пусть выполнено условие (С1) и числа С^ДИ.Н} удовлетворяют условию (1>). Рогда при равномерно

по 1 < [, 1, ОС/П)! имеет место 'соотношение

Р{<^ 6 Ш = К/1И ехр{п6(1/^)}(1 + о (Я Л,

П ь у

где определено соотношением (0.11).

В параграфе 1.1 главы I гтригюдитен пример с.в. из л2, распре деление которого удовлетворяет условию (С0).

Результаты главы II настоящей диссертации близки по духу

результатам Л.И.Cayлиса, цо получены при других условиях. В даниой работе предполагается выполнение условий крамеровского типа, в то вромя как Д.k.Cayлис на случайные векторы налагает условия типа многомерных условий Бернштейна.

Вторая глава посвящеь исследованию вероятностей болших уклонений суш н.с.в. в R при матричной нормировке.

Пусть - последовательность н.с.в. в к-мерном

евклидовом пространство К со скалярным произведением

(II,V) = £ , #1. = С-Рг1.....1\), ц.....ик), и нормой

|-и\ = (и,игУ/2.

Пусть Б = - сумма н.с.в. с распределения Г;,

и К.М. А^. Через В^ обозначим к.м. 5П-Пусть С ~ собственные значения (с.з.) к.и.

Вл. Всвду в дальнейшем •1рвдполагаем, что распределение суммы не сосредоточено' в каком-либо линейном подпространстве ^ размерности, меньшей к,- т.е. предполагаем, что к.м. Ва строго положительна.

Верхний индекс "т" будет означать транспонирование матрицы,

т

так что, если = , • • •, Ц^) - вектор-строка, ' то 1) - вектор-столбец. Скалярное произведение

(II. V) мы будем иногда записывать 1чиТ, а квадратичную форму 1/: V; Т).- •, - в надо

1 3 V

ЯШ 1Г- Ь дальнейшем, если ото но приводи? к недоразумениям, иногда

будем опускать зпак транспонирования ита Введем условно

(A) líñ ^ 4 С .

П-'ОО

Обозначим

An(v) = inj {-fiuT+ in cpifi)},

n fi*Rk n

Назоном

Функциопзлом уклонений.

Пусть Q =tfi,Rk: шк) < oo } _ множество конечности ч , 0 П

функционала C^(fl).

Для распределения F: < •) с.в. ми определим сопрляепнее

Г" Pi h-

распределение г^ ( ) в R следуют™ образом

expUkx)] F^dx).

Пведем в рассмотрение последовательность н.с.в. ^(fr), ^¿(fl) ,

....^(fl).....имеющих распределения FJ (O.F^O),--., Г^Ч-).....

соответственно. Пусть

Sn(K)=ii.(M. ma(fi) = Е Sn(fi) И Bn(fi)-K.H.5n(J,).

Положим

Lifib sup ZE\(^,0\3exp{(fi,4)}/6(3n,

,a ,H = 1 1-1 1 ' 1 la'

fie Q'n П где '2n - некоторое подмножество Q^.

Будем говорить, что выполнено условие (В), если

00 при П-* и 1-пбт= О СО при п-»<».

Для функционала через 5 и ^ будем обоз-

начать вектор первых (градиент) и матрицу вторых произведши соответственно.

Через

(V) будем обозначать решение уравнения

• Ч>пА)/фпА) = и. 10Л2)

Это уравнение определяет взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между и 1/ , при котором внутреннг т часть множества конечности (^функционала отображается

Б некоторое открытое множество С^ , причем - выпуклое

множество. Для всех е решение ^(1/) уравнения (0.12) существует и- единственно. Из условия (А) матрица вторых производных функционала А^(.лЛ строго полохитель.ю определена. Для такого функционала равенство нулю производной (уравнение (0.12)) является достато"ным условием экстремума, поатому

= - К^и) Ьа . (олз)

Будем говорить, что распределения и.с.в. ,..., ....

удовлетворяют условию (0) крамеровского типа, если

4 3 Д^,Аг>0; ьир Еехр(А;\Ц)Ь Аг<°°:

„ -иг т

пгсть гп. вп 5П. ,

Опродп.тим »,vpy n R

-к/2 . у2 e.xpU\n(f

Е.

-К'"- у?

/11 (ËM?.3Ô ¿ехр1ЛДг.хт)}с!х. I 11 с

Одп".'1 и-; ccH-jiwtx розультптсв дтосртлцнл явллотся Т о г> |] 'í и я 0. Пусть [Л еПДп\ . F/;."!! bwivüi'üi»

ус.ТОРМЛ (Л), (I!) Il (О), ТО сутоолвупт ПОСТОЯННО!) ^ I > 0 ,

F _ p('¿) , о11} тякшь что дли лкюого мно^оотич L ~ D \D ( D и и

ГШ1УКЛИ9 r!í!j'í.'r:p':Kiie мпозгостпч в R^ ), годрржопшгосп в гагцю

H(.t,t/'l,,6m))

|9\< С, . 6n ~ C^L^^/t, С3 И Сд - нолояитолыт» чини, г»т>ч"Л«т'> только от ь и крпстпит в услогиях (А), (В) к (О). Истру,,rm> у'У'Л.гпьсп, что и случяо одинаково тг-пт: un ото« теор:;'«. слодуот ооотгототпу гг?о я т^ор^мя Л.В.Оопюгч fOiipov j,.v. On 1агдо <l«vinfcionr» for cirnn of mnilorn Vülnnt in n,!.// .T.Knl iivnrtato Anal., 1-981 ,v.11 ,H?.p.11fv 1?.G. ).

]UiJ\ •), положи

- _ - 47 - -1 !?

Ky,™ w m»:>ptrn*, что последовательность Í 1\ ^ лояиноссстг» И

-, к

принадлежит классу если для любощ П ишюлчьии

следу пяле условия: ^ ^ ^ ^

1) А

^замкнутые множества и А^- . где в;1. е^.

вшуклие борелеискио множества, К1 =1,2,...; ^

2) максимум функционала А^(.В^ХТ) на множестве АцП ( достигается для некоторого вектора X = Х°п длшш р(1, причем

1 < 0(б)Г|) при

3) А^йЧШа^^ и

где +

Как уже отмечалось, такого рода класс множеств • перша ввел Л.В.Осипов.

Следущая теорема также являотся обобщением соответствующих результатов Л.В.Осипова на случай разнораспредалешшх слагаемый.

Теорема 6. Если выполнена условия (А4 (В) и (С), то для любой последовательности с , 0 идает место

соотношений

При п.-» ОО >

где К- пП(С0-

Автор выражает признательность своим научным руководителям, а также доктору физико-математических наук, профессору А.В.Нагаеву ва шшаиие и поддержку при работе над диссертацией.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих рл бот.чх:

1. К И м Л.В., Тультобаев H.A. О болыпгас уклонениях

сумм случайных векторов при матричной нормировке. // Тез. докл. II Всесоюзной тколн-сеиинара по зргодичоскоМ теория марковских процессов. 3-9 сент.Г98Я.-Черновцы,Т9П9.С.2Т.

2. Тультобаев }' А. Вероятности больших уклонения для

сумм независимых случайных векторов.// Изв. АН .УзПС-. Сер. физ.-мат.наук.I983.H4,0.25-30.

3. Тультобаев H.A. О вероятностях больших ук.'члгтгй

для сумм независимых случайных векторов.// Асимптотические мо то дм в теории вероятностей и математической статистике. Тяшкепт:Фап,J988.C.I5I-I64.

4. Тультебаев H.A. Вероятности бо^*шх уклонений для

сут независимых случайных векторов.//Функционалы от случайных процессов и статистические в)пюли.Тяплк>нт:Фап,190Я. C.I07-IT8.

5. Тультебаев 11. Локальпно предельные теоремы для бо-

лших уклонений.//Тез.докл.V Межд.Вилыпосск.конф. по тео рии вероятн.и матем.стат.26 иш..-I июля 1989.-Вильнюс,Т909 T.YI.C.29I-292.

6. Tul tobaev N.A. On large deviationm Xor sumo of rän-

dern voatora In К**.// Proo.2-n<l Bornoulll Booiety eonxjrcBa. Upjinala. 13-10 Augunt 1990.Г.93.

7. 7 u 1 t о b я o v U.A. On largo ilevintionn for яиля of гяп-

(!оя veo toro in r;lc.// Тез. докл. VI Оопотско-японского симпозиума по теории вероятностей и математической статистике. 5-10 августа 1991г.-Киев, 1991.0.142.