О числе представлений значений полиномов второй степени суммой двух квадратов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02.

На правах рукописи

БАБАЕВА РАФОАТ

$612

О ЧИСЛЕ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ПОЛИНОМОВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ СУММОЙ ДВУХ КВАДРАТОВ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре алгебра и теории чисел Таджикского государственного университета им. В.И.Ленина

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ S кандидат физико-математических наук, доцент Г.В.БАБАЕВ

Официальные оппоненты : доктор фюико-матеыатических наук, старший научный сотрудник

С.М.ВОРОНИН кандидат <}изико-ыатеыатических наук, доцент ДАШКЕВИЧ A.M.

В Е Д У J1), £ Я ОРГАНИЗАЦИЯ: . Владимирский государственный педагогический институт им. П.И.Либедева-Полянского

Занята состоится "_"_1992 года в _

час. на заседании специализированного Совета (К. 053.01.02) по прюужданию ученой степени кандадата наук в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамзш педагогической государственном университете икеш В.И.Ленина.

(107140), Москва, Красноп^дная 14, МЛГУ пыекн В.И.Ленина, вуд. 301).

С диссертацией монно ознакомиться в библиотеке НЛГУ имени В.И.Ленина (II9425, Москва, И.Пироговская, I, МПГУ имени В.И.Ленина).

Автореферат разослан " "___1991г.

Ученый секретарь спядаализированного совета

Г.А.Карасёв

ОНЦЕВ омеднив РАЕОШ

Актуальность теш исследования. Задача о среднем значе-шш числа представлений значений полиномов в вида суммы двух квадратов целых чисел в частном случае полинома первой степени превращается в задачу о числе целых точек в круге. Эта задача является классической и ею занимались многие математики. Задачей 220 суммирования числа представлений полиномов стап-з-на 2 начала заниматься сравнительно недавно, а именно в основной с начала 60-ых годоз нашего века.

Первые -результаты в этом направлении для некоторых частных случаев многочленов второй степени были получены Скорфзль-дом [I] . Она получила,асимптотическуэ формулу дая срсднэго значения числа представлений указанных полиномов в виде су и,о* - двух квадратов с одшш главным членом.

В IS63 г. Хооли [21 . обратил внимание на пту задачу, указав, что методами, аналогичным" заботе [2] , но болгэ .сложными модно получить асимптотические формулы для этой задачи. Кроме этого указания и работы Скорфальда [I] других результатов в этом направления до настоящего времени яэ бшга.

Малтгасленность работ о среднем значении.числа представлений значений'полиномов в виде суммы двух, квадратов; кох^да степень полинома больше или равно двум, объясняется тек, что в общем случае эта задача трудная.' Трудности возникают из-за многих причин, связанных с тем, что степень полинока >2 и возникающие суммы при первоначальных преобразованиях несимметричны из-за возникновения, там числовых характеров по модулю , равному учетверенному зна-гчивз дискриминанта многочлена. Далее, . из-за немультишшяативностп возникающей функции теория сум.\га-' рования значений мультипликативных функций здесь неприменима. В связи с . этим приходится в начале .применять частные метода.

Предварительные преобразования суммы позволяют сзести задачу к оценкам сумы дробных долей, суммировании величин, связанные с мультипликативными йункцияш.

Цель работы - получение асимптотических формул для количества прэдетавлишй значений неприводимых полиномов второй степени в еидо суммы двух квадратов в общем случае и выделения второго главного члена в асимптотике во всех случаях его существования.-

Научная новизна. Научные новизны состоят в следующем:

1. Результаты к орем I и 2 - асимптотическая формула для

5ст, а, = ЪСУС*}) , в *

где ¿с г; - л.е. , а , £ , с. - целые взаимно прос-

тые числа; 4<яо. не есть полный квадрат целого»

- число представлений ^ в шде суммы двух квадратов целых чисел со степенным понижением в общем случае неприводимого квадратичного многочлена.

2.-Результат леммы 8 главы I - неулучдаемая в данном этапе асашкотнческая форизула для сушы числа решений общего квадратного сравнения.'

З,1 Структурные лемш о связи решения и модуля сравнения с об-•дим квадратичным многочленом - леммы 2-7 главы II. 4; Лемма II главы П~, где получены' оценки тригонометрических суш типа Хооли £ случае общего квадратичного многочлена

= о. с** + с. ; значительно обобщающие результаты Хооли Г2] в частном случае ¿сг) = ъ*" &

Основная методика выполнения исследований. Сумма, связанная со среднем значением числа представлений довольно трудными предварительными преобразованиями сводится к суммам, связанным с чисток ресеннй общего квадратного сравнения, с характерами по некоторм« модулям а дробными долями/ связанными с решениями

и модулем сравнения. Это приводит к применению методов производящих функций, теории квадратичных форм и к задаче оценок тригонометрических суш типа Хооли, связанных с общим квадратным многочленом.

Практическая и теоретическая ценность. I) Результаты теорем I и 2 полностью решают поставленную в начале. 60-ых годов задачу английскими математиками Скорфальдом и Хсоли и значительно улучшают результат Скорфильда [1] , а это ■ имеет значение в вопросах, близких к этой задаче.'

2) Результата теорем I и 2 показывают всзмсгности значительного улучшения остаточных членов з асимптотических формулах в этих теоремах;

3) Метод доказательства теорем I и 2 создан под влиянием работы [2] , однако он гораздо слоннее, чем метод этой работы, но более общий. Полученный метод позволяет резать ряд задач другого характера: задачу о наибольшем простом делителе произведения значении общего квадратичного многочлена, задачу о суккэ степеней делителей общего квадратичного многочлена, задачу о сумме числа делителей общего квадратного многочлена и т.д.

Широкие применения имеют такле оценки тригоноиетрачеси кях сумм из леммы II главы II.

Апробация работку Основные результаты диссертации докладывались на семинарах профессора А.А.Карацубы з 1ДУ имени М.В Ломоносова (1979 - 1983г.) профессора А.Е.Иидловско-го в ЖУ (1983г.) профессора В.ИЛечаева в ьШ1И им.В.',I.Ленина (1985г.), на еяегодных научных конференциях Тадгдкско-го Госуняверситета им »В Л Ленина (1973 - 1984г.), на конференциях молодых ученых Таджикистана, на семинарах кафедры алгебры и теории чисел Таджикского Госуниверситета.

4 ".■■'.'•■'' '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликова- ■ ныв трёх работах автора.

Объем работы. Диссертация излоаена на 77 страницах. Она':'," состоит из введения, двух глав и четырёх параграфов^ Еиблао- 1 гра^ая составляет 18 наименований;

В первоа главе получена асимптотическая формула для , среднего значения з случае, когда дискриминант Нбприводшлого многочлена второй степени равен , где ^ - целое,. 4 о ; эта формула улучшает и обобщает результат работы [1] Для получения этой формулы в § I этой главы доказаны 9, . . леш, кандая из которых имеет и самостоятельное значение. ■ ■

В главе 2 дано полное решение задачи в общем случае неприводимого квадратного многочлена и выделен второй глав-. , нкй член в асимптотической формуле во всех случаях его су -шествования. Дня получения этих результатов в § I главы 2 доказаны. 16 лемм и приведена одна лемма 8 '. [5] , какдая . из доказанных 16 леш имеет и самостоятельное значение -

- почти все они в конечном счёте посзящены оценкам тригоно-: метрических суш.

КРА'ШОЕ сошташв РАКШ .".

Пусть

4/с*) = бг + с. (I)

неприводпмки многочлен с целыш коэффициентами сС \ ¿ , р. , причём ОД.Д. с } я 1> л ^ - дискрими-

нант^ СУ.) ; Обозначим:

• ¿ст.0.^,0) = •£. ' ; (2)

'где £(>*>) - число цродстаБлеиим. /п. в виде суммы двух квадратов дллйх чисел,1 в суммирование ездЭтся по »сои натуральным г от до Т . "..,■

В 1961 г. Скорфильд [I] доказала следующие творены: ТЕОРЕМА А. Если у (г) нечетно для всех целых н и сравнимо о .1 по модулю 4, хотя бы для одного целого ^ н если 9) = ¿ где „/ц. - целое положительное, то

;; 5 СТ, а, 6, с У^ЛТЬуТ + <9(Т ЬуЬуТ), (3)

Г где «Л - положительная постоянная.

ТЕОРЕМА В. Если /<г) = г*-+с. , то

Диссертационная работа посвящена получено) асимптотической формулы для ¿СТ, а, 6, с) во всех случаях. В главе I доказывается

ТЕОРЕМА I. Если г -а/и*' , ¿и- - целое .^/«з , то

5СТ,а,6,с) = *#Т&уТ + ОСГ)^ (5)

' где <Л - положительная постоянная."

Сравнение (¡5) с (3) показывает, что теорема I снимает ограничение нечетности из теореш А и улучшает остаточный .член, снимая двойной логарифм в остатке. Снимается также условие сравнимости с I по ыодулю 4 хотя бы для одного Е

В главе II доказывается

ТЕ0Н5МА 2. Если 9):»¿Но - целое,, то V ¿с?; а, 6, с) - л, т&уГ < в,Т+ 0{т1/э (е)

Е«Ш 2» -.А/1 , ТО

7 V ¡¡у :г

; ' '¿(^¿/¿с/г^т + С'(Т ;; (7)

где > Еоложйтельзай постоянная, В,, ~ дрбтояяпэд;. Г . арачёи явный вид ' 5 А,; а главб' ; 2,;

Теорема 2 показывает, что для £ст а, в, с) получена ас1Ш- • птотпческая формула со степешым понижением б остатке в общем случае неприводимого шшшома у с г) второй степени, причем выделен второй главный член В, Т , во всех случае его существования«,

ИЗЛОШШ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ НО ГЛАВАМ -

В главе I доказана теорема I и 9 лемм. Ладим краткую характеристику некоторых из этих лемм.

В лемме I даются точные формулы для величины ^ с {> ~ - числа решений сравнения

~ О rnoc/^ . (8)

Частный случай ¿<г) = С. имеется в [З] , однако в общем случае квадратного многочлена формулы не была из- ■ вестш.

В лемме 2 доказано тождество для Ус ^э г , где - неглавный характер по модули 4.

В лемме 3 доказана асимптотическая формула для суши ' » - Функция из леммы 2,-

В лемме 4 получена асимптотическая формула для суши 3 </(.-1) с О с наилучшим остатком в данном этапе; В лемме 6 доказывается токдествэ для ¿рс^) . В лемме 7 получена асимптотическая формула для сукш ^ Я,, где 9я ~ функция из леммы 6.

/¡¿X <7«

В лемме 8 получена .асимптотическая формула для

■ах

, неулучшаемая в данном этапе ( частный случай Ja:)=¿J^^c в работах [2] , ¡4] ).

В главе 2 доказаны теорема 2 и 16 лемм. Одна известная лемма Б [5] лризедена без доказательства.- Ладам краткую

характеристику некоторых из этих лемм.

Леша I посвящена вопроса!!! точной делимости на степень двойки.

Лемма 2 сводит вопрос о структуре решений"^.сравнения РЧ"Ъ -Отос/н (9)

к вопросу о структуре решений и) сравнения

иЗА = тосПЬгЯК (10)

с условием

и) £ В, то</г (IX)

где Ьи С . , ^ С - целые, Я)с - Вл- мс,

В лемме 3 даётся необходимее и достаточное условия

ТОГО, ЧТО 10 = 3 *прс/ т. .

В лемме 4 дана структура и> , = с/„ тес/»г-, ей в. !Ь тос/т' ^ т ' - делитель .

В лемме б доказывается, что если квадратичные формы (бинарные) ^ а ^ данного определителя неэквивалентны, то собственные представления числа пь ф О этими формами не принадлежат одной и' той же группе представлений (поэтому поводу см. [6] ).

Леммы 6,? посвящены дальнейшим структураи решения сравнения (10), когда на модуль наложены дополнительные условия.

Лемма 8 известна и посвящена оценке обобщенных сумм Клостермана [5]

В лемме 9 результат леммы 8 переносится для случая, . когда один из параметров суммы Клостериана произвольное зз-• щесгвенное число и, „а предьлы суюжрсианга ,0-^ тоже произвольные вещественные;1 (

3 лемме 10 дазтея уезлсипе лзиш 9, которое зак-тю-.,

чается в том, что снимается условие на модуль сравнения ' •'- . х. 5 .

В лемме II получены тригонометрических суш типа Хооли в общем случае неприводимого примитивного квадратичного многочлена ( частный случай = ¿у- С см.[г]^.

В леммах 12, 13 даются оценки суш, связанных о дробными долями, где применяется лемма II. Л'л оценки полностью решают вопрос о подсчете остатка в теореме 2 главы II - основного результата в вопросе об асимптотике б СТ^ <х,г ¿^ с.) •

3 лемме 14 дается равенство для Б СТ) а-, с.) , где уже оценены суммы, связанные с дробными долями. Их оценки

В леммв' 15 доказывается, что если. 5Э- я о/ - о'есквад-ратные и_если для всех простых чисел ^ „с условием .

) = имеет место равенство = ^дГ^'-у

то <95 - с/ , где С - символ Лекандра. При этом к- ' пользуемся результатами работ [7], [в] .

В лемме 16 доказывается, что если й/£-<- - це-

лое, т ° у то характер - неглавный, где

вещественный числовой характер по модулю

не-.

главный характер по модулю 4 .

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ» ДИССЕРТАЦИИ "

1. Бабаева Р. Оценка количества целых точек на некоторых поверхностях второго порядка.-Мат.заметки, 1382,вып.6, т.32, 0.853-668. •• ■

2. Бабаева Б. Асимптотическая формуладля количества целых точек на поверхности второго порядка, - Докл. АН Тадх.ССР, V 1383, т.26, Й5, с.283-284.. ..'-V

3. Бабаева Р. О количестве целых точек на поверхности

. Республиканская теоретическая конференция молодах ученых я специалистов Тада.ССР, посвященная ХОТ съезду КПСС (тезисы-докладов), секция математика, Душанбе: 1982, о.59-60.

ЛИТЕРАТУРА

1. ё. £ cft\ri%ots oft а. о и cvo4a-T<e poiunon7loi.es.— Ръои,. Gto^ao^' S-Ü3C.J ¿96?, р. В-3,0. *

2. Хооли К., О числе делителей квадратичных полиномов, - Математика (Периодический сборник переводов иностранных статей), 1968, т.12, Ii 5, с.3-18.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. - М.{Наука, 1965 -172с.

4. Исмоилов Д. Суммирование числа решений квадратичного сравнения. - Докл. АН Тада.ССР, 1978, т.21, й 9, с.10-13.

5. Малышев A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами. - Труды МИАН СССР им.В.А.Стеклова, М.{ 1962, т.65, с.52.

6. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. - М.; Я., 1937 - 219с.

7. Бабаев Г. Арифметическое доказательство бесконечности числа простых идеалов первой степени. - Докл. АН Тада.ССР, 1970, т.13, J& 4, с.8-9.

8. Бабаев Г. Арифметическое доказательство бесконечности числа простых идеалов степени ^ 2. - Докл. АН Тада.ССР, 1971, т.14, № 9, с.3-6.

25/XI-I99I г.Заказ 133.Тираж 100, ТГУ.