О дифференцированиях и лиевых изоморфизмах первичных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1 Дифференцирования в первичных кольцах

1.1 Основные понятия.

1.2 О композиции дифференцирований.

1.3 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами х].

1.4 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [ж0*, х\п.

2 Лиевы изоморфизмы первичных колец

2.1 Некоторые результаты из теории функциональных тождеств

2.2 Лиевы изоморфизмы простых колец.

2.3 Лиевы изоморфизмы первичных колец с инволюцией

Начиная с шестидесятых годов этого века задачи, связанные с дифференцированиями и лиевыми изоморфизмами первичных колец, привлекали внимание многих математиков. Из первых работ о дифференцированиях колец отметим статью Познера [59]. Он показал, что композиция двух ненулевых дифференцирований первичного кольца не может быть ненулевым дифференцированием, если характеристика кольца отлична от 2, и что ненулевое дифференцирование первичного кольца Я является коммутирующим отображением (то есть [хл, х\ = — О для всех х £ Я) тогда и только тогда, когда кольцо Я - коммутативно. Эти результаты имели многочисленные обобщения. Отметим только некоторые из них. Вопрос о том, когда композиция трех дифференцирований первичного кольца является дифференцированием, был исследован Лански [41]. В случае положительной характеристики (р > 0) первичного кольца задача о композиции р дифференцирований была рассмотрена Чуангом [32].

Вукманом [63] было доказано, что ненулевое дифференцирование с? некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, не может удовлетворять тождеству ж]2 = [[х^,ж],ж] = 0 для всех х € Я. Лански [43] обобщил этот результат, показав, что ненулевое дифференцирование й некоммутативного первичного кольца Я не может удовлетворять тождеству [х(1, х\п — [. ж],., х] = 0 для всех х € Я, одновременно сняв ограничения на характеристику. Наконец, Брешаром и Вукманом [31] была решена задача о том, когда подкольцо некоммутативного первичного кольца Я, порожденного коммутаторами [ж^,ж], где с1 - ненулевое дифференцирование кольца Я, х £ Я, содержит ненулевой односторонний идеал кольца Я.

Вопросы описания коммутирующих отображений, решенные Познером для дифференцирования, Вукманом для отображения [хл, х] и Лански для отображения х]п, имеют самое непосредственное отношение к задачам о лиевых изоморфизмах. Мэйн [57] получил аналог теоремы Познера для коммутирующих автоморфизмов. Его результат также многократно обобщался различными авторами. Из этих работ следует выделить статью Брешара [18], который описал все коммутирующие отображения первичных колец, то есть все аддитивные отображения / : Я —> Я, удовлетворяющие тождеству [/(ж), ж] = 0 для всех х £ Я. Более общий результат об аддитивных отображениях / : Ь —> Я левого идеала Ь в первичное кольцо Я, удовлетворяющих тождеству [., [[/(ж), хк1], хк2\,., хкп] — 0 был получен Бейдаром, Фонгом, Ли и Вонгом [6]. Описание Брешаром [17] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении им проблемы Хер-стейна о лиевых изоморфизмах первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9] привело их к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах первичных колец с инволюцией. Наиболее общие результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях были получены Ли, Лин, Вонг и Ванг [46], их существенное развитие дает теорема Бейдара о функциональных тождествах [5]. Результаты об п-аддитивных коммутирующих отображениях в кольцах с инволюцией могут быть получены как следствия теоремы Бейдара-Мартиндейла о функциональных тождествах в кольцах с инволюцией [8].

Из первых работ о лиевых изоморфизмах важно отметить статью Хуа [38], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3.

В случае простых колец Я характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов была исследована Херстейном и Клейнфельдом [36] при дополнительном предположении о том, что лиев изоморфизм ф сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех х Е Я.

В 1961 году Херстейном [33] были сформулированы две следующие проблемы:

1). Всякий ли лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца Я имеет вид <т+т, где а - автоморфизм или взятый со знаком "—" антиавтоморфизм кольца Я, а г - отображение кольца Я во множество элементов, коммутирующих с элементами из Я1

2). Пусть Я - простое кольцо с инволюцией * и К - лиево кольцо кососимметрических элементов (то есть К = {х £ Я \ х* = —ж}). Всякий ли лиев автоморфизм ф кольца К индуцирован автоморфизмом кольца Л?

В случае характеристики, отличной от 2 и 3, задача 1) была исследована Мартиндейлом (в 1963 г. для примитивных колец с дополнительным предположением о существовании трех ортогональных идемпотентов, сумма которых равна 1 [49]; в 1969 г. для простых и первичных колец с предположением о существовании двух ортогональных идемпо-тентов, сумма которых равна 1 [50, 52]). В 1993 году была опубликована работа Брешара [17], в которой опущено предположение об ортогональных идемпотентах, но были сделаны следующие ограничения: рассматриваются первичные кольца характеристики, отличной от 2, и кольца не удовлетворяющие стандартному тождеству St 4. Как сообщил автору Мартиндейл, его студент Блау изучил лиевы изоморфизмы первичных колец, удовлетворяющих стандартному тождеству St4 [13].

Для инволюции второго рода частный случай проблемы 2) был изучен Роузен [61]. Для инволюции первого рода при дополнительном предположении, что характеристика отлична от 2 и 3, проблема была решена Бейдаром, Мартиндейлом и Михалевым [9].

Современное состояние теории дифференцирований и лиевых изоморфизмов в первичных кольцах отражено в книгах [10] и [39].

Цель данной работы состоит в решении ряда открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец.

В работе используются методы и результаты теории колец с обобщенными полиномиальными, обобщенными дифференциальными и функциональными тождествами.

Краткое содержание работы.

В первой главе решаются задачи, связанные с дифференцированиями в первичных кольцах. Первый параграф посвящен изложению основных понятий теории колец с обобщенными полиномиальными тождествами, дается определение правого и симметрического мартиндейловского кольца частных, расширенного центроида, Х-внутреннего дифференцирования, приводятся необходимые результаты теории первичных колец с обобщенными дифференциальными тождествами.

Во втором параграфе доказывается

Теорема 1 Пусть R - первичное кольцо. Пусть композиция d = di . dn ненулевых дифференцирований d\,. ., dn, п > 1, является дифференцированием кольца R. Предположим, что характеристика кольца R больше п или равна 0. Тогда:

1) По крайней мере три дифференцирования из набора {di,.,dn} являются X-внутренними.

2) d - Х-внутреннее дифференцирование.

S) Если ,., dik, 1 < ii < . < ik < n, к < n, - все X-внутренние дифференцирования из набора {<¿1,. ,dn}, то di j . dj^ — 0.

В доказательстве используются результаты Харченко [2] и Мартин-дейла [51].

Третий параграф посвящен доказательству следующего результата:

Теорема 2 Пусть R - некоммутативное первичное кольцо характеристики, отличной от 2, и пусть D - ненулевое дифференцирование кольца R. Тогда подкольцо U кольца R, порожденное всеми коммутаторами [xD,x],x G R, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца R.

Помимо упомянутых выше результатов Харченко и Мартиндейла, в доказательстве используется результат Брешара и Вукмана [31].

Заметим, что результат Познера [59] о том, что ненулевое дифференцирование первичного кольца R является коммутирующим отображением (то есть [xd,x] = xdx — xxd = 0) тогда и только тогда, когда кольцо коммутативно, переносится на коммутаторы более высоких порядков: результат Лански [43] утверждает, что ненулевое дифференцирование d некоммутативного первичного кольца R не может удовлетворять тождеству \xd,x\n — [. . ,ж] = 0 для всех ж G Д. Однако, получить аналогичный "перенос" для подкольца, порожденного коммутаторами [xd,x]n без дополнительных ограничений не удается. Для х,у £ R положим [у,х]г = [у,х] — ух - ху, [y,x]k+i = [[у,х]к,х], к = 1,2,. В четвертом параграфе доказывается

Теорема 3 Пусть R - некоммутативное первичное кольцо, Q - симметрическое мартиндейловское кольцо частных, С - расширенный центроид. Пусть D - дифференцирование кольца R и п > 2 - целое число. Предположим, что D ф ad(a) (то есть D не является X-внутренним дифференцированием, определяемым элементом a G Q) ни для какого а Е Q, удовлетворяющего условию (а + с)2 = 0 для некоторого с € С, и пусть характеристика кольца R больше п или равна 0. Тогда подкольцо U кольца R, порожденное коммутаторами {[xD,x\n-\ | х G i?}, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца R.

Приводятся примеры, оправдывающие сделанные ограничения.

Глава 2 посвящена лиевым изоморфизмам. Первый параграф начинается с изложения некоторых результатов теории функциональных тождеств в первичных кольцах, появившихся в начале 90-х годов в работах Брешара [17], [22] и завершается формулировкой общей теоремы Бейдара-Мартиндейла [8] о функциональных тождествах в кольцах с инволюцией.

Во втором параграфе с помощью основного результата из [22] доказывается

Теорема 4 Пусть R и R! - первичные кольца, и пусть кольцо R! не имеет нетривиальных обобщенных полиномиальных тождеств. Тогда всякий лиев изоморфизм ф: R —> R' имеет вид а + т; где а - мономорфизм или взятый с противоположным знаком антимономорфизм кольца R в кольцо R'C' + С' и т - аддитивное отображение кольца R в расширенный центроид С' кольца R', обращающее коммутаторы в 0.

Для колец без обобщенных полиномиальных тождеств этот результат является обобщением теоремы Брешара о лиевых изоморфизмах из [17]. Для простых колец характеристики 2 с единицей задача описания лиевых автоморфизмов с помощью структурных теорем сводится к описанию лиевых автоморфизмов колец матриц над алгебраически замкнутым полем. Получен следующий результат:

Теорема 5 Пусть R = Мп(С), п > 3, - кольцо матриц над алгебраически замкнутым полем С характеристики 2. Тогда всякий лиев автоморфизм ф: R R имеет вид а т; где а - автоморфизм или антиавтоморфизм кольца Rur - аддитивное отображение кольца R в поле С, обращающее коммутаторы в 0.

Для колец матриц порядка тг = 2 построен пример, когда это утверждение не выполняется.

Во третьем параграфе доказывается следующая

Теорема 6 Пусть R и R' - первичные кольца с инволюцией первого рода характеристики, отличной от 2. Пусть К и К' - лиевы кольца ко со симметрических элементов, и пусть С и С' - расширенные центроиды колец R и R' соответственно. Предположим, что dimc(RC) ф

1,4,9,16,25,64. Тогда всякий лиев изоморфизм а : К —> К' может быть продолжен единственным образом до ассоциативного изоморфизма (К) —> {К'), ассоциативных подколец порожденных подмножествами К и К' соответственно.

Контрпримеры, иллюстрирующие необходимость ограничений на размерность, могут быть найдены в работе Мартиндейла [53].

В случае характеристики 2 вопрос о продолжении лиева автоморфизма ф кольца К до ассоциативного автоморфизма простого кольца Я остается открытым.

Основные результаты работы следующие:

1. Получен частичный ответ на вопрос о том, когда композиция произвольного числа дифференцирований является дифференцированием (поставленный Лански в [41]).

2. Доказано, что подкольцо некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, порожденного коммутаторами [хг1: ж], где д - ненулевое дифференцирование, х £ Я, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я (что отвечает положительно на вопрос Брешара и Вукмана из [31]).

3. Исследован более общий вопрос о том, когда подкольцо некоммутативного первичного кольца Д, порожденного коммутаторами [хй,х]п, где й - ненулевое дифференцирование, I £ й, содержит ненулевой двусторонний идеал кольца Я.

4. Выяснено, когда в случае характеристики 2 лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца с 1 имеет вид <т + т, где <т - автоморфизм или антиавтоморфизм простого кольца Я, а т - отображение кольца Я в центр Я, обращающее [Я, Я] в ноль, (что, ввиду [17] и [13], дает полный ответ на вопрос Херстейна из [33] и одновременно обобщает результат Херстейна и Клейнфельда из [36]).

5. Получено новое доказательство теоремы Бейдара - Мартиндейла -Михалева из [9], выясняющей, когда лиев автоморфизм ф кольца К косо-симметрических элементов первичного кольца Я с инволюцией первого рода индуцирован автоморфизмом кольца Я (включающее неизвестный ранее случай характеристики 3 в проблеме из Херстейна [33]).

Все полученные результаты являются новыми, и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец.

Результаты диссертации докладывались на конференции "Ring Theory Conference" в Мишкольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша в Москве в 1998, на конференции по фундаментальной и прикладной математике в Гаосюне (Тайвань) в 1999, на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико -математического факультета МГУ, на алгебраических семинарах Ма-риборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), Тайваньского государственного педагогического университета (Чанг Хуа, Тайвань) и университета им. Ченг - Кунга (Тайнань, Тайвань).

Основные результаты опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце диссертации.

Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации - 74 страницы, библиография включает 68 наименований.

1. К.И. Бейдар, Кольца с обобщенными тождествами 1.I, Вестник Моск. Увив. Сер. I Мат. Мех., 33 (1978), 66-73.

2. В.К. Харченко, Дифференциальные тождества первичных колец, Алгебра и логика, 17 (1978), 220-238.

3. P. Ara, М. Mathieu, An application of local multipliers to centralizing mappings of C*—algebras, Quart. J. Math. Oxford, 44 (1993), 129-138.

4. R. Banning, M. Mathieu, Commutativity preserving mappings on semiprime rings, Comm. Algebra, 25 (1997), 247-265.

5. K.I. Beidar, On functional identities and commuting additive mappings, Comm. Algebra, 26 (1998), 1819-1850.

6. K.I. Beidar, Y. Fong, P.-H. Lee, T.-L. Wong, On additive maps of prime rings satisfying the Engel condition, Comm. Algebra, 25 (1997), 3889-3902.

7. K.I. Beidar, Y. Fong, X.K. Wang, Posner and Herstein theorems for derivations of 3-prime near-rings, Comm. Algebra, 24 (1996), 1581— 1589.

8. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, On functional identities in prime rings with involution, J. Algebra, 203 (1998), 491-532.

9. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Lieisomorphisms in prime rings with involution, J. Algebra, 169 (1994), 304-327.

10. K.I. Beidar, W.S. Martindale 3-rd, A.V. Mikhalev, Rings with generalized identities, Marcel Dekker, Inc., New York / Basel/ Hong Kong, 1996.

11. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Centralizing mappings of semiprime rings, Can. Math. Bull., 30 (1987), 92-101.

12. H.E. Bell, W.S. Martindale III, Semiderivations and commutativity in prime rings, Can. Math. Bull., 31 (1988), 500-508.

13. P. Blau, Lie isomorphisms of prime rings satisfying St4, PhD thesis, Univ. of Massachusetts, 1996.

14. M. Bresar, Centralizing mappings on von Neumann algebras Proc. Amer. Math. Soc., Ill (1991), 501-510.

15. M. Bresar, On a generalization of the notion of centralizing mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 114 (1992), 641-649.

16. M. Bresar, On skew-commuting mappings of rings, Bull. Austral. Math. Soc., 47 (1993), 291-296.

17. M. Bresar, Commuting traces of biadditive mappings, commutativity preserving mappings, and Lie mappings, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (1993), 525-546.

18. M. Bresar, Centralizing mappings and derivations in prime rings, J. Algebra, 156 (1993), 385-394.

19. M. Bresar, Derivations of noncommutative Banach algebras II, Arch. Math., 63 (1994), 56-59.

20. M. Bresar, On certain pairs of functions of semiprime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 120 (1994), 709-713.

21. M. Bresar, On generalized biderivations and related maps, J. Algebra, 172 (1995), 764-786.

22. M. Bresar, Functional identities of degree two, J. Algebra, 172 (1995), 690-720.

23. M. Bresar, Applying the theorem on functional identities, Nova Journal of Mathematics, Game Theory, and Algebra, 4 (1) (1995), 43-54.

24. M. Bresar, On a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping II, Aequationes Math., 51 (1996), 83-85.

25. M. Bresar, B. Hvala, On additive maps of prime rings, Bull. Austral. Math. Soc., 51 (1995), 377-381.

26. M. Bresar, W.S. Martindale III, C.R. Miers, Centralizing maps in prime rings with involution, J. Algebra 161 (1993), 342-357.

27. M. Bresar, C.R. Miers, Strong commutativity preserving maps of semiprime rings, Can. Math. Bull., 37 (1994), 457-460.

28. M. Bresar, C.R. Miers, Commuting maps on Lie ideals, Comm. Algebra, 23 (1995), 5539-5553.

29. M. Bresar, J. Skarabot, J. Vukman, On a certain identity satisfied by a derivation and an arbitrary additive mapping, Aequationes Math., 45 (1993), 219-231.

30. M. Bresar, J. Vukman, On left derivations and related mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 110 (1990), 7-16.

31. M. Bresar and J. Vukman, On certain subrings of prime rings with derivations, J. Austral. Math. Soc. Ser. A., 54 (1993), 133-141.

32. C.L. Chuang, On composition of derivations of prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 180 (1990), 647-652.

33. I.N. Herstein, Lie and Jordan structures in simple associative rings, Bull. Amer. Math. Soc., 67 (1961), 517-531.

34. I.N. Herstein, Topics in Ring Theory, Univ. of Chicago Press, Chicago, 1969.

35. I.N. Herstein, A note on derivations, Canad. Math. Bull., 21 (1978), 369-370.

36. I.N. Herstein, E. Kleinfeld, Lie mappings in characteristic 2, Pacific J. Math., 10 (1960), 843-852.

37. I.N. Herstein, L. Small, Some comments on prime rings, J. Algebra, 60 (1979), 223-228.

38. L. Hua, A theorem on matrices over an sfield and its applications, J. Chinese Math. Soc., 1 (1951), 110-163.

39. V.K. Kharchenko, Automorphisms and derivations of associative rings and its applications (Soviet Series). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht / Boston / London, 1991.

40. C. Lanski, Differential identities, Lie ideals, and Posner's theorems, Pacific J. Math., 134 (1988), 275-297.

41. C. Lanski, Differential identities of prime rings, Kharchenko theorem, and applications, Contemp. Math., 124 (1992), 101-128.

42. C. Lanski, Derivations nilpotent on subsets of prime rings, Comm. Algebra, 20 (1992), 1427-1446.

43. C. Lanski, An Engel condition with derivation, Proc. Amer. Math. Soc., 118 (1993), 731-734.

44. C. Lanski, S. Montgomery, Lie structure of prime rings of characteristic 2, Pacific J. Math., 42 (1972), 117-136.

45. P.—H. Lee, T.—K. Lee, Linear identities and commuting maps in rings with involution, Comm. Algebra, 25 (1997), 2881-2895.

46. P.-H. Lee, J.-S. Lin, R.-J. Wang T.-L. Wong, Commuting traces of multiadditive mappings, J. Algebra, 193 (1997), 709-723.

47. T.—K. Lee, Derivations and centralizing mappings in prime rings, Taiwanese J. Math., 1 (1997), 333-342.

48. T.—K. Lee, T.—C. Lee, Commuting additive mappings in semiprime rings, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 24 (1996), 259-268.

49. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of primitive rings, Proc. Amer. Math. Soc., 14 (1963), 909-916.

50. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of prime rings, Trans. Amer. Math. Soc., 142 (1969), 437-455.

51. W.S. Martindale 3-rd, Prime rings satisfying a generalized polynomial identity, J. Algebra, 12 (1969), 576-584.

52. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of simple rings, J. London Math. Soc., 44 (1969), 213-221.

53. W.S. Martindale 3-rd, Lie isomorphisms of the skew elements of a prime ring with involution, Comm. Algebra, 4 (1976), 927-977.

54. W.S. Martindale 3-rd, C.R. Miers, Herstein's Lie theory revisited, J. Algebra, 98 (1986), 14-37.

55. M. Mathieu, G.J. Murphy, Derivations mapping into the radical, Arch. Math., 57 (1991), 469-474.

56. M. Mathieu, V. Runde, Derivations mapping into the radical, II, Bull. London Math. Soc., 24 (1992), 485-487.

57. J. Mayne Centralizing automorphisms of prime rings, Can. Math. Bull., 19 (1976), 113-115.

58. C.R. Miers, Centralizing mappings of operator algebras, J. Algebra, 59 (1979), 56-64.

59. E.C. Posner, Derivations in prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 8 (1957), 1093-1100.

60. A. Richoux, A theorem for prime rings, Proc. Amer. Math. Soc., 77 (1979), 27-31.

61. M.P. Rosen, Isomorphisms of a certain class of prime Lie rings, J. Algebra, 89 (1984), 291-317.

62. V. Runde, Range inclusion results for derivations on noncommutative Banach algebras, Studia Math., 105 (1993), 159-172.