О динамике троса космического лифта тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

НУРАЛИЕВА Анна Борисовна

О ДИНАМИКЕ ТРОСА КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2012 год

1 9 1Ш Ш

005046391

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Садов Юрий Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Самсонов Виталий Александрович, главный научный сотрудник Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова

доктор физико-математических наук, профессор Косенко Иван Иванович, заведующий кафедрой технической механики Российского государственного университета туризма и сервиса

Ведущая организация: Вычислительный центр им. А.А. Дородницына

Российской академии наук

Защита диссертации состоится "9" октября 2012 г. в_час. на

заседании диссертационного совета Д 002.024.01 при Институте прикладной математики им.М.В.Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан " 1 " июня 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

Т.А. Полилова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Атуальность работы. Около 50 лет назад был запущен первый спутник -произошел прорыв человека в космос. С тех пор в космосе побывали множество аппаратов, они изучали ближний и дальний космос, были созданы глобальные системы связи и мониторинга земли, сотни человек были на космических орбитах, 12 человек побывали на Луне. Сейчас сложно представить жизнь без космических технологий. Однако, есть серьезные препятствия, из-за которых космическая деятельность развивается не так быстро, как ожидалось в начале космической эры. По прогнозам ведущих специалистов середины 60-х годов стоимость доставки килограмма груза на низкую орбиту должна была снизиться до 100 $, хотя на самом деле до сих пор она держится на уровне 10 000 $/кг. Это связано, в том числе, и со спецификой космического транспорта, и с растущим влиянием деятельности человека на околоземную среду. Космическое пространство, за исключением тонкого по космическим меркам атмосферного слоя Земли - безопорная среда. Движение там возможно только за счет выбрасывания рабочего вещества, которым до настоящего времени являются продукты сгорания ракетного топлива. Поэтому при подъеме на орбиту КА (космический аппарат) должен поднимать вместе с собой запас этого рабочего вещества и/или топлива, расходуя на это большую часть топлива. При подъеме тела на геостационар начальная масса ракеты почти в 100 раз превышает массу выводимого на орбиту груза. Большая часть начальной массы - топливо, продукты сгорания которого выбрасываются в атмосферу и загрязняют ее. Остальная часть теряемой при запуске массы - элементы конструкции, часть из которых возвращается на Землю, а часть — переходит на промежуточные орбиты, увеличивая засоренность «космическим мусором». Эти недостатки ракетного способа транспортировки груза неизбежны, т.к. главный показатель эффективности этого способа — скорость истечения рабочего вещества - для ракет на химическом топливе сейчас близок к предельному. Поэтому важно искать альтернативные ракетному способы доставки полезного груза в космос.

Один из таких способов, очень простой принципиально - придание поднимаемому грузу энергии и кинетического момента орбитального движения за счет вращения Земли. То есть протянуть трос от Земли за геостационар и доставлять грузы по нему, при этом у тела, отпущенного с троса, уже будет начальная скорость. Натянутость конструкции обеспечивается действием гравитационно-центробежных сил. Это концепция космического лифта. Несмотря на то, что идея не очень нова и, по мнению многих специалистов, не имеет непреодолимых препятствий для реализации, ее проработка продвигается медленно. За первое десятилетие нашего века нет существенного продвижения ни в исходной концепции конструкции КЛ (2000 г.), многие недостатки которой сейчас видны, ни в исследовании динамики. Поэтому данная работа, в которой предлагается развитие современной концепции КЛ и подробное исследование его динамики, представляется актуальной.

Научная новизна. Практически все содержание работы является новым и по постановкам задач (из-за относительной новизны изучаемых объектов), и по основным используемым математическим моделям, и по полученным результатам, и по некоторым из разработанных методик.

Корректность и достоверность полученных результатов и выводов подтверждается согласованностью результатов, полученных с использованием разных математических моделей (там, где их можно сравнить), результатов расчетов с разными вариантами вычислительной схемы (равномерная сетка, неравномерная сетка), совпадением с найденными аналитически данными в тех случаях, когда это возможно, и разумным соответствием их результатам немногочисленных имеющихся работ по этой теме.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использованы при дальнейших конструкторских разработках такой системы, для выбора ее параметров, оценки ее работоспособности и эффективности. Результаты работы дают основу для понимания динамики КЛ. Некоторые методики и алгоритмы могут быть использованы для исследования не только

космического лифта, но и меньших по размеру тросовых систем. Предполагается дальнейшее развитие этой работы в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Основные результаты работы:

• Разработана концепция нагруженного КЛ, обладающего по сравнению с распространенной концепцией Эдвардса большими возможностями и повышенной надежностью.

• Проведен обзор упрощенных моделей, известные ранее дополнены. Упрощенные модели использованы для получения базовых характеристик движения.

• Создана оригинальная математическая модель для изучения поперечных колебаний нерастяжимого троса переменной линейной плотности в неоднородном силовом поле. Модель включает эволюционную часть и уравнение для вычисления натяжения без использования механического уравнения состояния напряженной нити. Непрерывная модель и более простые динамические модели дают похожие результаты там, где их можно сравнить. Создан программный комплекс, позволяющий исследовать динамику троса КЛ на большом интервале времени.

• Из многочисленных расчетов выделено несколько характерных движений троса. Ограниченные по углу: близкие к одномодовым, близкие к собственным формам линеризованной задачи, колебания со сверхмедленным изменением амплитуды, распространение поперечной волны. Движения, приводящие к падению троса: постепенная раскачка, раскачка незакрепленного конца, необычная «спиральная» неустойчивость в окрестности закрепленного конца (для нее найдено автомодельное решение приближенной задачи).

• Построена математическая модель продольных колебаний длинного переменного в сечении растяжимого троса в переменном по координате

внешнем поле. Проведены численные расчеты, найдена скорость распространения продольных волн.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. 51 Научная конференция МФТИ. Секция динамики и управления движением космических аппаратов. Долгопрудный, М.О., ноябрь 2008 г.

2. VI Международный аэрокосмический конгресс, 1АС'09. Москва, август 2009г.

3. XXXIV Академические чтения по космонавтике. Секция прикладной небесной механики и управления движением. Москва, январь 2010 г.

4. Х1Л^ Научные чтения памяти К.Э.Циолковского. Секция 3 "К.Э. Циолковский и механика космического полета". Калуга, сентябрь 2010 г. (2 доклада)

5. XXXV Академические чтения по космонавтике. Секция прикладной небесной механики и управления движением. Москва, январь 2011 г.

6. Научный семинар сектора №4 отдела №5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством проф. М.Ю. Овчинникова. Апрель 2011 г.

7. Научный семинар кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством проф. В.В. Сазонова. Май 2011 г.

8. V Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, май 2011 г.

9. Научный семинар "Динамика относительного движения" кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева. Сентябрь 2011 г.

Ю.Научный семинар Института механики МГУ под руководством проф. В.А. Самсонова. Октябрь 2011 г.

11.Научный семинар "Математические проблемы технической механики" кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством проф. С.Я. Степанова и проф. A.A. Бурова. Ноябрь 2011 г.

12.54 Научная конференция МФТИ. Секция динамики и управления движением космических аппаратов. Долгопрудный, М.О., ноябрь 2011 г.

13.Научный семинар им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапетяна, декабрь 2011 г.

14.XXXVI Академические чтения по космонавтике. Секция проектирования и конструкции летательных аппаратов, секция прикладной небесной механики и управления движением. Москва, январь 2012 г. (2 доклада)

15.Научный семинар отдела №5 ИПМ им. Келдыша РАН под руководством проф. Ю.Ф. Голубева. Февраль 2012.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад соискателя. Большинство результатов получено соискателем лично. Также использованы результаты некоторых студентов, их участие отмечено в диссертации.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, перечня основных результатов работы, заключения и списка литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 103 стр.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В 1-й главе в разделе 1.1 дан обзор начального этапа развития идеи космического лифта от исходной мысли Циолковского об орбитальной башне до концепции Эдвардса, которая является общепринятой в наше время. Выделена основная проблема создания конструкции — требование огромной прочности

материала, недостижимой до недавнего времени. В разделе 1.2 кратко рассказано о единственном пока материале, потенциально пригодном для троса KJI -углеродных нанотрубках, открытых в конце XX века.

Во 2-й главе в разделе 2.1 подробно описывается опубликованная в 2000 году концепция Эдвардса минимальной конструкции космического лифта. Ее основа - тонкая лента из сверхпрочного материала на основе нанотрубок, по которой перемещается транспортная кабина. Конструкция относительно проста по исполнению, но имеет существенные слабые стороны. В частности, ограниченные транспортные возможности из-за одностороннего движения, недостаточная надежность. Разбираются ее достоинства и недостатки. В разделе 2.2 предлагается альтернативная концепция нагруженного секционированного лифта, более надежная и обладающая большими возможностями, в том числе с ее помощью можно организовать двустороннее движение.

В главе 3 - статика KJI - приводятся частично уже известные данные о требованиях к прочности троса, о распределении натяжения в нем, о профилировании троса и вообще о статических характеристиках конструкции, систематизированы имеющиеся об этом сведения. В разделе 3.1 показано, что трос постоянного сечения выдвигает неподъемные требования к прочности материала. В разделе 3.2 изложена концепция равнонапряженного троса (троса, сечение которого меняется так, что напряжение вдоль троса остается постоянным). Такой трос гораздо легче и, следовательно, выдвигает более реальные требования к материалу. В разделе 3.3 изложена мало известная концепция равнонапряженного нагруженного троса. В этом случае площадь сечения троса в точке

S (s) = (5(0) + ехр (У (Re + s ) — У(ЯЕ))] - ^ ,

где s - координата точки на тросе, S - площадь сечения в точке, хь - разрывное напряжение материала, pv - объемная плотность материала, ра - постоянная линейная плотность дополнительной нагрузки, U(RE + s) - потенциал гравитационно-центробежных сил на расстоянии RE + s от центра Земли.

Заметим, что на зависимость полной линейной плотности р — pvS + ра от координаты дополнительная нагрузка ра не влияет

PO) = р(0)ехр + s) - U(0))]

Равнонапряженный трос достигает максимальной ширины на высоте геостационара.

В разделе 3.4 рассмотрена конечная масса, т.е. балансировочная масса на верхнем конце троса. Показано, когда она может обращаться в ноль. В разделе 3.5 рассмотрена полная масса лифта. Показано, что полная масса с увеличением длины троса убывает из-за того, что с увеличением длины конечная масса убывает быстрее, чем возрастает масса троса. Примерно до 80 ООО км полная масса убывает быстро, потом медленнее. Поэтому оптимальным представляется лифт длиной около 60 ООО - 100 ООО км.

Остальные главы посвящены исследованию динамики несущего троса космического лифта, как основной и уникальной по своим характеристикам части его конструкции.

В главе 4 рассматриваются упрощенные модели динамики, начиная с простейшей - материальная точка на невесомом стержне (раздел 4.1). Такая модель использовалась в одной из первых в нашей стране работ по динамике космического лифта В.В. Белецкого [1]. Здесь она несколько расширена по сравнению с [1], т.к. рассматриваются колебания не только в плоскости экватора, но и в меридиональной плоскости. Уравнения движения выведены, как уравнения Лагранжа 2-го рода. В окрестности вертикального положения равновесия эти уравнения линеаризуются и движения в меридиональной и экваториальной плоскостях разделяются. Частоты меридиональных и экваториальных колебаний связаны простой формулой

«М = ЫЕ + ы1я

где шЕЧ, шм - частоты экваториальных и меридиональных колебаний, ыЕ -частота вращения Земли вокруг своей оси. Получены периоды этих колебаний.

Периоды колебаний в плоскости экватора в зависимости от длины троса составляют несколько суток, а в меридиональной плоскости - меньше суток.

В разделе 4.2 рассмотрена модель с весомым прямым тросом переменной линейной плотности, в плоскости экватора. Уравнение движения выводится из уравнений моментов и имеет вид

где ] — момент инерции прямолинейной системы, J = i0L p{s)s2ds + MKL2,

M(ß) - момент внешних гравитационно-центробежных сил,

M(ß) = J0Lp(s) sin а - cjE2d(s,ß^j sds + MK -a>2EdK)L sin ак,

где ß - угол отклонения троса от вертикали, d{s,ß) - расстояние от центра Земли до точки с координатой s на тросе, p(s) - линейная плотность троса в рассматриваемой точке, а - угол между тросом и прямой, соединяющей центр Земли и точку на тросе, ак - он же для концевой массы, Мк - масса на конце троса, cÎk ~ расстояние от конца троса до центра Земли.

Уравнение движение интегрируется численно по времени, и на каждом шагу выполняется интегрирование по длине троса для определения M(ß). По сравнению с предыдущей моделью периоды изменяются мало, критические углы (углы отклонения, при превышении которых трос не возвращается в равновесное вертикальное положение) изменяются заметно. В этой модели рассматривалось также влияние Луны для простой модели движения Луны (равномерное вращение в плоскости экватора). Для этого в момент внешних сил был добавлен переменный по времени момент приливных сил Луны. Показано, что влияние Луны относительно мало и несколько больше для случая короткого лифта (длина которого немного превышает расстояние до геостационара), т.к. его основная масса расположена у геостационара, где равнодействующая гравитационной и центробежной сил мала.

Следующая модель - даухзвенная - рассмотрена в разделе 4.2. Трос моделируется двумя массами, соединенными между собой и с Землей невесомыми стержнями, движение происходит в плоскости экватора. Одна масса расположена на геостационаре и соответствует тросу, другая - конечной массе. Это первое приближение к гибкому тросу. В линеаризованной модели движение является суперпозицией двух мод - синфазной и противофазной. Проанализированы частоты колебаний нулевой (маятниковой) и первой моды (изгибной). Нулевой моде соответствует синфазная форма колебаний, первой -противофазная. Найдены частоты этих колебаний. Частота маятниковой моды соответствует результатам более простых моделей и составляет больше трех суток, частота первой моды - меньше суток. Поэтому проявлений внутренних резонансов не наблюдается. Некоторые свойства нелинейных колебаний изучены с помощью отображения Пуанкаре. Показано, что в фазовом пространстве существует большая область, где орбиты отображения Пуанкаре регулярны и соответствуют системе, близкой к интегрируемой. Сильная хаотизация начинается только при больших, физически нереализуемых отклонениях.

В главе 5 изучается движение троса как непрерывной нерастяжимой весомой нити с грузом на конце. Нить переменного сечения в переменном по координате силовом поле. Описывается построение математической модели. Выводятся модели для пространственного движения (в разделе 5.1) и для движения в плоскости экватора (в разделе 5.2). Уравнения движения для трехмерного движения выглядят так:

« Не 1 д ( , Зд:\ и = + + {j(s, t) -) i = u

Др 13/ Зу\ v = -2«я„ + ШЕ*у--у + —- (г(5, t) £ у = v

иЕ 19/ дг\

где точкой обозначены производные по времени, х, у, z - координаты точки s на тросе, u, v, w - скорости. Ось х направлена по радиусу Земли, проходящему

через точку закрепления троса, ось z - на северный полюс, ось у дополняет систему координат до правой, то есть направлена на восток, г - расстояние от центра Земли до точки s на тросе, Т - натяжение в точке. Краевые условия для уравнения такие: нижняя точка неподвижна, движение верхней точки совпадает с движением концевой массы. Уравнения движения в плоскости экватора выглядят так же, но последние уравнения (по оси z) отсутствуют.

Используется не встречавшийся нам ранее для задач динамики тросовых систем метод вычисления натяжения. Так как трос нерастяжимый, невозможно использовать механические уравнения состояния напряженной нити типа закона Гука. Натяжение получается из согласования условия нерастяжимости троса и динамических уравнений. Дня трехмерного случая выражение для натяжения имеет вид:

U + (у")2 + (г")2)

ds \p(s) J p(s)

= -y'2 - и'2 - w'2 - 2ù>e(v'x' - u'y') + coe2(z'z - 1)

(штрихом обозначены производные по s) для двумерного случая оно выглядит красивее:

JL(_Lns> £Л _ _inSi t)KiSi t)2 + iù)E+t))2 = ^|(l- 3 (r'(s, t))2)

ds\p(s) J P\S) r

где к - кривизна троса в точке, ы - угловая скорость элемента троса в точке s.

И в трехмерном, и в двумерном случае, это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. К нему из физических соображений выводятся краевые условия.

для начальной точки приравнивается нулю продольная компонента скорости и ускорения точек троса, близких к точке закрепления, откуда

на верхнем (свободном) конце краевое условие выводится из требования совпадения продольной компоненты ускорений концевой массы и верхней точки троса

(Е\ р^К

\dsJK Мк к

Для вычисления натяжения нужно решать краевую задачу для этого уравнения. Разностная аппроксимация и вычислительные алгоритмы описаны в разделе 5.3. Вычисления строятся на основе метода прямых: численно интегрируются эволюционные уравнения, и на каждом шаге по времени численно решается краевая задача для определения натяжения. Можно повысить точность и устойчивость вычислений, если перейти от переменной Т (натяжение) к переменной = (натяжение, деленное на линейную плотность в точке),

т.к. некоторые производные, которые при старой переменной Т считались численно, вычисляются аналитически.

В разделе 5.4 описана программная система. Она позволяет интегрировать уравнения движения КЛ на большом интервале времени, задавать широкий набор характеристик движения и статических параметров, выдает зависимости одних параметров движения от других параметров и от времени, может вычислять ряд дополнительных величин: напряжение в каждой точке троса, полную энергию конструкции, разложение в ряд Фурье отклонений точек троса от вертикали. В общем, представляет собой довольно удобный и гибкий инструмент изучения динамики КЛ. Описаны способы коррекции результатов и контроля точности вычислений.

С помощью программ, описанных выше, были проведены численные эксперименты. В разделе 5.5 описаны результаты вычислений для 3-х-мерной системы. В этом случае было проведено относительно меньше расчетов, были рассчитаны отдельные (показательные) случаи движения. Найденные при этом периоды экваториальных и меридиональных колебаний оказались близкими к таким периодам в простых моделях.

Колебания в плоскости экватора для той же непрерывной модели описаны в разделе 5.6. Они более наглядны и изучены более подробно.

Рассмотрены колебания, происходящие в ограниченной по углу области, в частности, колебания, близкие к одномодовым. Описаны отдельные показательные результаты, в частности, распространение узкой волны, периодическое изменение напряжения при колебаниях, близких к маятниковым. Обнаружены такие интересные эффекты, как медленное (с периодом порядка 2-х месяцев) изменение амплитуды, смена режимов при свободных колебаниях троса (колебания с относительно большим периодом и большой амплитудой неожиданно сменяются более высокочастотными колебаниями меньшей амплитуды). Некоторые из таких эффектов трудно объяснить. Для медленного изменения амплитуды возникло предположение, что энергия переходит в более высокочастотные колебания. Однако на графиках зависимости от времени амплитуд разложения в ряд Фурье отклонений точек троса от вертикали не видно перекачки энергии в более высокие моды колебания. Для смены режима можно отметить, что похожие эффекты наблюдаются в системах с конечным числом степеней свободы при переходе через резонансную область.

При ограниченных по амплитуде движениях не наблюдалось значительных (более 30%) изменений напряжения троса.

Подробно рассмотрена линеаризованная система. У нее найдены собственные формы и частоты колебаний. При ограничениях на отклонения собственные формы линеаризованной системы, заданные как начальные условия для программы, численно интегрирующей полную систему, дают периодические движения. Приведены рисунки для периодических колебаний первых восьми мод для отклонения порядка 0.001 от длины троса. Выведены уравнения для вариации напряжения в линеаризованной модели. Напряжение при таких движениях меняется мало. Наблюдаются некоторые интересные эффекты. «Зеркальное» отражение напряжения на половине периода для низких мод. Для высоких мод - стабильно более низкое напряжение при близких к амплитудным положениях троса н более вы со ко с при положениях троса близким к прямому,

что объясняется тем, что напряжение зависит от скорости, а она больше при более прямом тросе.

Г t)d( + MSv(L,t) or{s, t) =a0+ Sa (s, t) = a0 + 2cûe —--1

где Sa - вариация напряжения, a0 - невозмущенное напряжение (одинаковое по всей длине троса), M - конечная масса, Sv - вариация скорости, р и S - линейная плотность и площадь сечения троса в точке.

То, что этот эффект заметен только при высоких модах движения, объясняется тем, что в этом случае максимальная скорость больше. С одной стороны, это понятно интуитивно (при той же амплитуде частота колебаний для высоких мод выше), с другой - видно из формулы для скорости, которая зависит от собственного числа и, соответственно, растет с номером гармоники.

ôv(s,t) = -AkYk{s)^sin^t , где Ак - амплитуда к-й собственной моды, Yk(s) - собственная форма к-й моды, Хк - собственное число.

Для некоторых собственных форм существуют узкие участки троса, на которых напряжение сохраняется во время всего движения, хотя на других участках троса меняется. Это связано с тем, что для этой формы троса находится некоторое s, при котором MYk - - fsL Yk(s) p(s)ds, и поэтому вариация напряжения Seг = 0.

Sff(s,t) = 2ù>Éek(t)Ak--

S (s)

Проследили за изменением во времени кривой напряжения от координаты параллельно с изменением формы троса для одного движения. В начале движения, т.е. при нулевых скоростях и амплитудном положении троса, кривая напряжения от координаты вдоль троса гладкая и монотонная, потом она образует волкообразпуго кривую, у которой столько экстремумов, сколько у собственной формы троса узлов. Затем амплитуда колебаний напряжения по s увеличивается; при фазе (2п +1) nel, т.е. при прямом тросе, она

максимальна. К половине периода уменьшается, на половине периода зависимость напряжения от координаты вновь образует монотонную кривую, потом образует снова волнообразную кривую, с тем же количеством экстремумов, но зеркальную, т.е. максимумы и минимумы поменялись местами. Дальше все повторяется периодически.

При увеличении амплитуды колебаний линейность движения нарушается. При отклонении больше 0.002 заметно нарушение линейности, узлы размываются.

Вернемся к системе с отклонениями, далекими от линейных. Рассмотрены также движения, не ограниченные по углу, то есть такие, при которых лифт падает. Обнаружены несколько сценариев падения - известные в динамике нити эффект кнута и постепенная раскачка, а также необычная спиральная неустойчивость, которая возникает при превышении некоторого угла наклона троса к вертикали в начале троса. При этом трос провисает (угол наклона к горизонту становится отрицательным), потом изгибается наподобие спирали, потом образует петлю и падает. Для этого случая построена приближенная модельная задача. Рассматривается начальный участок троса. Пусть линейная плотность постоянна, гравитационно-центробежное поле постоянно по координате, на верхний конец рассматриваемого участка действует следящая сила, которая представляет натяжение со стороны остальной части троса, тогда уравнения движения:

дх

Оказалось, у этой приближенной задачи существует частное автомодельное решение. Если ввести вместо времени и координаты

автомодельную переменную ф = а от переменных х,у перейти к переменным

(а - угол между касательной к тросу в точке и вертикалью, штрихом до конца раздела обозначается производная по ф), то существуют решения Т(_ф), /?(ф), удовлетворяющие уравнениям Г" = (-ЗГ' + 2ф)р

Эти уравнения имеют частное решение

Т = 1Ф2 + Т0 ? = С202 - 3Т0)

х(ф) и у{ф) находятся из /? интегрированием и сшивкой решений для двух разных диапазонов ф. х(ф) и у(ф) задают параметрическую зависимость у(х). Это решение качественно похоже на численно полученные формы начального участка троса после возникновения спирали и перед падением, что мы рассматриваем как подтверждение того, что спиральная неустойчивость реальна.

Сравнение результатов исследования поперечных колебаний на разных моделях (в

тех областях, где их можно сравнить) показывает, что характерные периоды движений очень похожи.

Последняя, б-я глава посвящена продольным колебаниям, тоже в нелинейной непрерывной модели. Построена математическая модель, рассмотрены различные ее конечно-разностные аппроксимации, из них наиболее подходящими оказались метод Кранка-Николсона и Рунге-Купы 4-го порядка. Рассмотрены некоторые характерные колебания, а также распространение узкого возмущения вдоль троса. Продольные колебания более высокочастотные, чем поперечные, их период порядка часа. Даже в положении равновесия трос лифта растянут из-за действия гравитационно-центробежных сил. Это растяжение можно посчитать численно, и оно близко к линейному. Также это растяжение можно посчитать аналитически для линеаризованной задачи, и в первом приближении оно оказывается линейным.

В заключении подчеркнуто, что динамика космического лифта сложна и разнообразна, и нуждается в дальнейшем изучении.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Нуралиева А.Б. Задачи статики и динамики космического лифта. // Тезисы 51-й научной конференции МФТИ, ноябрь 2008. Секция динамики и управления движением космических аппаратов.

2. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции и динамике равномерно нагруженного космического лифта. // VI Международный аэрокосмический конгресс IAC09. Тезисы докладов. - Юбилейный М.О.: Хоружевский А.И., 2009, с. 269-270.

3. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б., Ставицкий A.A. Некоторые задачи механики равномерно нагруженного космического лифта. // Актуальные проблемы российской космонавтики. Труды XXXIV академических чтений по

" космонавтике. Москва, 26-29 января 2010 г. Москва: Комиссия РАН, 2010, с. 133-134.

4. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного космического лифта. // К.Э. Циолковский и современность. Материалы XLV Научных чтений памяти К.Э. Циолковского. Калуга: «Эйдос», 2010, с. 169-170.

5. Нуралиева А.Б., Садов Ю.А. О задачах динамики космического лифта. // К.Э. Циолковский и современность. Материалы XLV Научных чтений памяти К.Э. Циолковского. Калуга: «Эйдос», 2010, с. 167-168.

6. Нуралиева А.Б. О задачах динамики космического лифта // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXV академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2011 г. Москва: Комиссия РАН, 2011, с. 132-133.

7. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. Автомодельные решения в модельной задаче о колебаниях троса космического лифта. // Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания.

Материалы V международной конференции. Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2011, с. 60.

8. Нуралиева А.Б. О динамике космического лифта. // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Труды 54-й научной конференции МФТИ, 2011, с 43-44.

9. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике. Москва, 2012, с. 44-45.

10.Нуралиева А.Б., Калачев Г.В. О базовой динамике космического лифта. // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике. Москва, 2012. http://www.ihst.ru/~akni/36t5.htm

11.Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №39. Москва, 2011.24 с.

12.Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. Нелинейные поперечные колебания троса космического лифта // Математическое моделирование, 2011, том 23, №12, с. 3-19.

Подписано в печать 20.08.2012г. Заказ № 55. 055(02)1 Формат бумаги 60X90 1/16. Тираж 80 аса.

^0) Отплатам в Институте прпслжтиой мггемггвкэ РАН

Москва, Мвуссхая пл. 4

ГЛАВА 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА.

1.1. Идея космического лифта в XX веке.

1.2. Углеродные нанотрубки (УНТ), как перспективный материал для троса КЛ.

ГЛАВА 2. СОВРЕМЕННЫЕ КОНЦЕПЦИИ КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА.

2.1. Схема Эдвардса.

2.2. Альтернативная конструкция.

ГЛАВА 3. СТАТИКА КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА.

3.1. Трос постоянного сечения.

3.2. Трос переменного сечения.

3.3. Дополнительная нагрузка.

3.4. Балансировочная масса.

3.5. Полная масса лифта.

ГЛАВА 4. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ЛИФТА.

4.1. Одномассовая модель с невесомым тросом.

4.2. Одномассовая модель с весомым тросом.

4.3. Двухзвенная модель.

ГЛАВА 5. НЕЛИНЕЙНАЯ НЕПРЕРЫВНАЯ МОДЕЛЬ С ГИБКИМ НЕРАСТЯЖИМЫМ ТРОСОМ.

5.1. Математическая модель.

5.2. Математическая модель в плоскости экватора.

5.3. Разностная аппроксимация и некоторые алгоритмы вычислений.

5.4. Программная среда для исследования динамики.

Основные возможности.

Коррекция и верификация результатов.

5.5. Трехмерные движения троса.

5.6. Движения троса в плоскости экватора.

Ограниченные движения.

Одномодовые колебания, близкие к периодическим.

Медленное изменение амплитуды.

Периодическое изменение напряжения.

Распространение локального возмущения.

Смена режима.

Линейные колебания.

Линеаризация задачи.

Разделение переменных.

Вычисление спектра.

Алгоритм вычисления собственных значений и собственных функций.

Численное исследование малых колебаний.

Поведение напряжения в линейных колебаниях.

Нелинейные движения с большой амплитудой, явления неустойчивости, катастрофические режимы.

Пример точного решения нелинейной модельной задачи.

ГЛАВА 6. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕПРЕРЫВНОЙ МОДЕЛИ.

6.1. Математическая модель.

6.2. Алгоритм вычислений.

6.3. Примеры расчетов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

Около 50 лет назад был запущен первый спутник - произошел прорыв человека в космос. С тех пор в космосе побывали множество аппаратов, они изучали ближний и дальний космос, были созданы глобальные системы связи и мониторинга земли, сотни человек были на космических орбитах, 12 человек побывали на Луне. Сейчас сложно представить жизнь без космических технологий. Однако, есть серьезные препятствия, из-за которых космическая деятельность развивается не так быстро, как предсказывали в начале космической эры. По прогнозам ведущих специалистов середины 60-х годов стоимость доставки килограмма груза на низкую орбиту должна была снизиться до 100 долларов, хотя на самом деле до сих пор она держится на уровне 10 000 долларов. Это связано, в том числе, и со спецификой космического транспорта, и с растущим влиянием деятельности человека на околоземную среду. Космическое пространство, за исключением тонкого по космическим меркам атмосферного слоя Земли - безопорная среда. Движение там возможно только за счет выбрасывания рабочего вещества, которым до настоящего времени являются продукты сгорания ракетного топлива. Поэтому при подъеме на орбиту КА (космический аппарат) должен поднимать вместе с собой запас этого рабочего вещества и/или топлива, расходуя на это большую часть топлива. При подъеме тела на геостационар начальная масса ракеты почти в 100 раз превышает массу выводимого на орбиту груза. Большая часть начальной массы - топливо, продукты сгорания которого выбрасываются в атмосферу и загрязняют ее. Остальная часть теряемой при запуске массы - элементы конструкции, часть из которых возвращается на Землю, а часть - переходит на промежуточные орбиты, увеличивая засоренность «космическим мусором». Эти недостатки ракетного способа транспортировки груза неизбежны, т.к. главный показатель эффективности этого способа - скорость истечения рабочего вещества - для ракет на химическом топливе сейчас близок к предельному. Поэтому важно искать альтернативные ракетному способы доставки полезного груза в космос.

Один из таких способов, очень простой принципиально - придание поднимаемому грузу энергии и кинетического момента орбитального движения за счет вращения Земли. То есть протянуть трос от Земли за геостационар и доставлять грузы по нему, при этом у тела, отпущенного с троса, уже будет начальная скорость. Гравитационная и центробежная силы держат конструкцию в натянутом состоянии. На верхнем конце помещена 4 балансировочная масса для удержания конструкции в равновесии. Это концепция космического лифта. Несмотря на то, что идея не очень нова и, по мнению многих специалистов, не имеет непреодолимых препятствий для реализации, ее проработка продвигается медленно. За первое десятилетие нашего века нет существенного продвижения ни в исходной концепции конструкции КЛ (2000 г.), многие недостатки которой сейчас видны, ни в исследовании динамики. Поэтому данная работа, в которой предлагается развитие современной концепции КЛ и довольно подробное исследование его динамики, представляется актуальной.

Диссертация включает в себя 6 глав. Так как тема относительно новая, в 1-й главе дан обзор развития идеи космического лифта вплоть до появления концепции Эдвардса, которая является общепринятой в наше время.

Во 2-й главе подробно описывается концепция Эдвардса. Предложенная им конструкция - минимальная. Ее основа - тонкая лента, по которой перемещается транспортная кабина. Конструкция относительно проста по исполнению, но имеет существенные слабые стороны. Разбираются ее достоинства и недостатки. Предлагается альтернативная концепция, более надежная и обладающая большими возможностями.

В главе 3 - статика КЛ - приводятся частично уже известные данные о требованиях к прочности троса, о распределении натяжения в нем, о профилировании троса и вообще о статических характеристиках конструкции. Изложена мало известная концепция нагруженного лифта. Рассмотрен вопрос о выборе балансировочной массы и длины несущего троса, обеспечивающих минимальную массу всей конструкции.

Остальные главы посвящены исследованию динамики несущего троса космического лифта, как основной и уникальной по своим характеристикам части его конструкции.

В главе 4 рассматриваются упрощенные модели динамики, начиная с простейшей - материальная точка на невесомом стержне. Такая модель использовалась в одной из первых в нашей стране работ по динамике космического лифта В.В. Белецкого [1]. Здесь она несколько расширена по сравнению с [1], т.к. рассматриваются колебания не только в плоскости экватора, но и в меридиональной плоскости. Получены периоды этих колебаний. Показано, что периоды колебаний в плоскости экватора в зависимости от длины троса составляют несколько суток, а в меридиональной плоскости - меньше суток.

Дальше рассмотрена модель с весомым прямым тросом переменной линейной плотности, в плоскости экватора. По сравнению с предыдущей моделью периоды изменяются мало, критические углы (углы отклонения, при превышении которых трос не возвращается в равновесное вертикальное положение) изменяются заметно. В этой модели также рассмотрено влияние притяжения Луны, но оно оказалось малым.

Более сложная модель - двухзвенная, трос моделируется двумя массами, соединенными невесомыми стержнями, движение происходит в плоскости экватора. Это первое приближение к гибкому тросу. В линеаризованной модели проанализированы частоты колебаний нулевой (маятниковой) и первой моды. Нулевой моде соответствует синфазная форма колебаний, первой - противофазная. Частота маятниковой моды соответствует результатам более простых моделей и составляет несколько суток, частота первой моды - меньше суток. Некоторые свойства нелинейных колебаний изучены с помощью отображения Пуанкаре. Показано, что в фазовом пространстве существует большая область, где орбиты отображения Пуанкаре регулярны, соответствуют системе, близкой к интегрируемой. Сильная хаотизация начинается только при больших, физически нереализуемых отклонениях.

В главе 5 изучается движение троса как непрерывной нерастяжимой весомой нити с грузом на конце, нить переменного сечения в переменном по координате силовом поле. Описывается построение математической модели. Выводятся модели для движения в плоскости экватора и для пространственного движения. Используется довольно необычный для задач динамики троса метод вычисления натяжения. Так как трос нерастяжимый, невозможно использовать механические уравнения состояния напряженной нити типа закона Гука. Натяжение получается из согласования условия нерастяжимости троса и динамических уравнений. При этом получается линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Для вычисления натяжения нужно решать краевую задачу для этого уравнения. Вычисления строятся на основе метода прямых: численно интегрируются эволюционные уравнения, и на каждом шаге по времени численно решается краевая задача для определения натяжения.

Описана программная система. Она позволяет интегрировать уравнения движения КЛ на большом интервале времени, задавать широкий набор характеристик движения и статических параметров, выдает зависимости одних параметров движения от других, может вычислять ряд дополнительных величин: напряжение в каждой точке троса, полную энергию конструкции, разложение в ряд Фурье отклонений точек троса от вертикали. В общем, представляет собой довольно удобный и гибкий инструмент изучения динамики КЛ. Описаны способы коррекции результатов и контроля точности вычислений. 6

С помощью программ, описанных выше, были проведены численные эксперименты. Меньше вычислений было проведено для 3-х-мерной системы, где были рассчитаны отдельные (показательные) случаи движения. Соотношение периодов экваториальных и меридиональных колебаний в нелинейной модели оказалось примерно таким же, как и в простых моделях.

Колебания в плоскости экватора для той же непрерывной модели более наглядны и изучены более подробно.

Рассмотрены колебания, происходящие в ограниченной по углу области, в частности, колебания, близкие к одномодовым. Обнаружены такие интересные эффекты, как медленное (с периодом порядка 2-х месяцев) изменение амплитуды, смена режимов при свободных колебаниях троса (колебания с относительно большим периодом и большой амплитудой неожиданно сменяются более высокочастотными колебаниями меньшей амплитуды). При ограниченных по амплитуде движениях не наблюдалось значительных (более 30%) изменений напряжения троса.

Рассмотрены колебания не ограниченные по углу, то есть такие, при которых лифт падает. Обнаружены несколько сценариев падения - известные в динамике нити эффект кнута и постепенная раскачка, а также необычная спиральная неустойчивость, которая возникает при превышении некоторого угла наклона троса к вертикали в начале троса. При этом трос провисает (угол наклона к горизонту становится отрицательным), потом изгибается наподобие спирали, потом образует петлю и падает. Для этого случая построена приближенная модельная задача, у которой нашлось аналитическое решение. Ее решение мы рассматриваем как подтверждение численных расчетов.

Подробно рассмотрена линеаризованная система. У нее найдены собственные формы и частоты колебаний. При определенных ограничениях на отклонения, собственные формы линеаризованной системы, заданные как начальные условия для программы, численно интегрирующей полную систему, дают периодические движения. Детально изучено изменение напряжения в малых колебаниях, отмечены некоторые интересные эффекты.

Разные модели, представляющие поперечные колебания, дают похожие результаты (там, где их можно сравнить).

Последняя, 6-я глава посвящена продольным колебаниям, тоже в нелинейной непрерывной модели. Построена математическая модель, рассмотрены различные ее конечно-разностные аппроксимации, из них выбраны наиболее подходящие. Рассмотрены некоторые характерные колебания, а также распространение узкого возмущения вдоль троса.

В заключении подчеркнуто, что динамика космического лифта сложна и разнообразна, и нуждается в дальнейшем изучении.

Практически все содержание работы является новым и по постановкам задач (из-за относительной новизны изучаемых объектов), и по основным используемым математическим моделям, и по полученным результатам.

Корректность полученных выводов подтверждается согласованностью результатов, полученных из разных моделей (там, где их можно сравнить), результатов разных вариантов расчета (равномерная сетка, неравномерная сетка), совпадением с найденными аналитически данными в тех случаях, когда это возможно и разумным соответствием их результатам немногочисленных имеющихся работ по этой теме.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на

1. 51-й Научной конференции МФТИ, ноябрь 2008 г. Секция динамики и управления движением космических аппаратов.

2. VI Международном аэрокосмическом конгрессе 1АС09, Москва, август 2009 г.

3. XXXIV Академических чтениях по космонавтике, Москва, январь 2010г.

4. ХЬУ Научных чтениях памяти К.Э. Циолковского, Калуга, сентябрь 2010 г. (2 доклада)

5. XXXV Академических чтениях по космонавтике, Москва, январь 2011г.

6. Научном семинаре сектора №4 отдела №5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, руководитель д.ф.-м. н., проф. Овчинников М.Ю., апрель 2011г.

7. Научном семинаре Мехмата МГУ, руководитель д.ф.-м.н., проф. Сазонов В.В., май 2011 г.

8. V Международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, май 2011 г.

9. Семинаре "Динамика относительного движения" Мехмата МГУ, руководители чл.-корр. РАН, проф. Белецкий В.В. и д.ф.-м.н., проф. Голубев Ю.Ф., сентябрь 2011 г.

10.Семинаре Института механики МГУ, руководитель д.ф.-м.н., проф. Самсонов В.А., октябрь 2011 г.

1 ¡.Семинаре "Математические проблемы технической механики" Мехмата МГУ, руководители д.ф.-м.н., проф. Степанов С.Я., к.ф.-м.н., проф. Буров A.A., ноябрь 2011 г.

12.54-й Научной конференции МФТИ. Долгопрудный, М.О., ноябрь 2011г.

13.Семинаре им. В.В. Румянцева по аналитической механике и теории устойчивости Мехмата МГУ, руководители чл.-корр. РАН, проф. Белецкий В.В. и д.ф.-м.н., проф. Карапетян A.B., декабрь 2011 г.

14.XXXVI Академических чтениях по космонавтике. Москва, январь 2012 г.

15.Научном семинаре отдела №5 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, руководитель д.ф.-м.н., проф. Голубев Ю.Ф., февраль 2012

Публикации:

1. Нуралиева А.Б. Задачи статики и динамики космического лифта. // Тезисы 51-й научной конференции МФТИ, ноябрь 2008. Секция динамики и управления движением космических аппаратов.

2. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции и динамике равномерно нагруженного космического лифта. // VI Международный аэрокосмический конгресс IAC09. П99 Тезисы докладов. -Юбилейный М.О.: Хоружевский А.И., 2009, с. 269-270.

3. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б., Ставицкий A.A. Некоторые задачи механики равномерно нагруженного космического лифта. // Актуальные проблемы российской космонавтики. Труды XXXIV академических чтений по космонавтике. Москва, 26-29 января 2010 г. Москва, Комиссия РАН, 2010, с. 133-134.

4. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного космического лифта. // К.Э. Циолковский и современность. Материалы XLV Научных чтений памяти К.Э. Циолковского. Калуга: «Эйдос», 2010, с. 169-170.

5. Нуралиева А.Б., Садов Ю.А. О задачах динамики космического лифта. // К.Э. Циолковский и современность. Материалы XLV Научных чтений памяти К.Э. Циолковского. Калуга: «Эйдос», 2010, с. 167-168.

6. Нуралиева А.Б. О задачах динамики космического лифта // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXV академических чтений по космонавтике. Москва, январь 2011 г. Москва, Комиссия РАН, 2011, с. 132-133.

7. Садов Ю. А., Нуралиева А. Б. Автомодельные решения в модельной задаче о колебаниях троса космического лифта. // Математические 9 идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания. Материалы V международной конференции. Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2011, с. 60.

8. Нуралиева А. Б. О динамике космического лифта. // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Труды 54-й научной конференции МФТИ, 2011, с 43-44.

9. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике. Москва, 2012. http://www.ihst.ru/~akm/36t5.htm

10.Нуралиева А.Б., Калачев Г.В. О базовой динамике космического лифта. // Актуальные проблемы российской космонавтики. Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике. Москва, 2012. http://www.ihst.ru/~akm/36t5.htm

11.Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №39. М., 2011. 24 с.

12.Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. Нелинейные поперечные колебания троса космического лифта // Математическое моделирование, 2011 г., том 23, №12, стр. 3-19.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• Разработана концепция нагруженного КЛ, обладающего по сравнению с распространенной концепцией Эдвардса большими возможностями и повышенной надежностью

• Проведен обзор упрощенных моделей, известные ранее дополнены. Упрощенные модели использованы для получения базовых характеристик движения.

• Создана оригинальная математическая модель для изучения поперечных колебаний нерастяжимого троса переменной линейной плотности в неоднородном силовом поле. Модель включает эволюционную часть и уравнение для вычисления натяжения без использования механического уравнения состояния напряженной нити. Непрерывная модель и более простые динамические модели дают похожие результаты там, где их можно сравнить. Создан программный комплекс, позволяющий исследовать динамику троса КЛ на большом интервале времени.

• Из многочисленных расчетов выделено несколько характерных движений троса. Ограниченные по углу: близкие к одномодовым, близкие к собственным формам линеризованной задачи, колебания со сверхмедленным изменением амплитуды, распространение поперечной волны. Движения, приводящие к падению троса: постепенная раскачка, раскачка незакрепленного конца, необычная «спиральная» неустойчивость в окрестности закрепленного конца (для нее найдено автомодельное решение приближенной задачи)

• Построена математическая модель продольных колебаний длинного переменного в сечении растяжимого троса в переменном по координате внешнем поле. Проведены численные расчеты, найдена скорость распространения продольных волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа демонстрирует, что динамика космического лифта даже без учета многих факторов, вроде движения кабины, сложна и разнообразна.

Так как создание протяженных космических систем важно, а полная экспериментальная их отработка на Земле невозможна, нужны дальнейшие исследования, численные и теоретические.

1. Белецкий В.В., Иванов М.Б., Отставнов Е.И. Модельная задача о космическом лифте. // Космические исследования. 2005. Т.43, №3. С. 157160.

2. Первушин А.И. Мифология космического лифта (Эссе из цикла "Космическая экспансия: от фантастики к реальности") // Полдень. XXI век. 2009, № 53 (май). С. 161-170.

3. Арцутанов Ю.Н. В космос на электровозе // Комсомольская правда, 31 июля 1960.

4. Арцутанов Ю.Н. В космос без ракет // Знание сила. 1969, № 7. С. 25.

5. Арцутанов Ю.Н. Железная дорога Луна Земля // Техника - молодежи. 1976, №4. С.21.

6. Isaacs J.D., Vine А.С., Bradner Н., Bachus G.E. Satellite Elongation into a True "Sky-Hook" // Science. 1966, 151:682.

7. LvovV. Sky-Hook: Old Idea.//Science. 1967. V.158, Nov. 17. P.946-947.

8. Clarke A.C. The fountains of paradise. NY: Ballantine Books, 1978. (Русский перевод: Кларк А. Фонтаны рая //Техника молодежи, 1980. № 1-12).

9. Clarke A.C. The Space Elevator: 'Thought Experiment', or Key to the Universe? // Advances in Earth Oriented Applied Space Technologies, 1981.

10. Поляков Г.Г. Обобщенные задачи о космическом лифте // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1972, №6. С. 54-59.

11. П.Поляков Г.Г. Собрание трудов. Т.1. Привязные спутники, космические лифты и кольца (1967-1974). Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета. 1999.

12. Pearson J. The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth's potential energy // Acta Astronáutica. 1975, V. 2, No. 10. P. 785-799.

13. Шошунов Н.Л. Космический лифт: надежды и проблемы // Полет. 2006, №3. С. 53-60.

14. Space Elevator History. URL: http://vvww.star-tech-inc.com/id4.html

15. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354, №6348. P. 56-58.

16. Demczyk B.G., Wang Y.M., Cumings J. a o. // Mater. Sci. Eng. A334. 2002, 173

17. Wang X., Li Q., Xie J. a o. Fabrication of Ultralong and Electrically Uniform Single-Walled Carbon Nanotubes on Clean Substrates // Nano Letters. 2009. V. 9(9). P. 3137-3141.

18. Chang C.-C., Hsu I-K., Aykol M. a o. A New Lower Limit for the Ultimate-Breaking Strain of Carbon Nanotubes // ACS Nano. 2010. V. 4(9). P. 50955100.

19. Бакаткин А. Искусственные мышцы на основе нанотрубок. URL: http://www.3dnews.ru/news/iskusstvenie mishtsinaosnovenanotrubok

20. Шеппард Г. Искусственные мышцы // Вокруг света. 2007, №6 (2801).

21. Smitherman D.V. Jr., Space Elevator: An Advanced Earth-Space Infrastructure for the New Millenium. // NASA/CP-2000-210429. 2000.

22. Audacious & Outrageous: Space Elevators // NASA Science.

23. Edwards B.C. The Space Elevator // NIAC Phase II Final Report. 2003. 43 p.

24. Edwards B.C. Design and Development of a Space Elevator // Acta Astronautica. 2000. V. 47. №10, Nov., P. 735-744.

25. Edwards B.C. The Space Elevator Development Program. // 55th IAC 2004, Vancouver, Canada. IAC-04-IAA.3.8.2.01.

26. Avnot M.S. The space elevator in the context of current space exploration policy // Space policy. 2006. V. 22. № 2, May. P. 133-139.

27. Shelef B. The Space Elevator Feasibility Condition. // The Spaceward Foundation, 2006.

28. Fujii H. A., Ohta M., Watanabe Т. a o. Study of Feasibility and Characteristic of Space Elevator // 25th International Symposium on Space Technology and Science (Selected Paper). 2006. 2006-g-07.

29. Perek L. Space elevator: Stability // Acta Astronautica. 2008. V.62. № 8-9, Apr.-May. P. 514-520.

30. Quine B.M., Seth R.K., Zhu Z.H. A free-standing space elevator structure: A practical alternative to the space tether // Acta Astronautica. 2009. V.65, № 34, Aug.-Sep. P. 365-375.

31. Steindl A., Troger H. Is the Sky-Hook Configuration Stable? // Nonlinear Dynamics. 2005. V.40, N 4. S. 419-431.

32. Schwarzbart M., Steindl A., Troger H. On Stability problems of the space elevator // Sixth International Congress on Industrial Applied Mathematics

33. IAM07) and GAMM Annual Meeting, Zürich 2007. R.Jeltsch (Hrg.). Zürich: AMM/Wiley VCH. 2007, 2 S.

34. Pugno N., Schwarzbart M., Steindl A. a o. On the Stability of the Track of the Space Elevator // Acta Astronáutica. 2009. V.64. P.524-537.

35. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №39. М., 2011. 24 с.

36. Artukovic R. The Space Elevator physical principles // Patent No. 02-171229122000 HAA.

37. Поляков Г.Г. Неэкваториальный космический лифт. (1969) // Собрание трудов. Астрахань: Изд-во Астраханского педагогического университета. 1999. С. 117.

38. Cohen S.S., Misra A.K. The Effect of Climber Transit on the Space Elevator Dynamics // Acta Astronáutica. 2009. V.64. P. 538-553

39. Lang D. D. Space Elevator Dynamic Response to In-Transit Climbers // 1st International Conference on Science, Engineering, and Habitation in Space. Albuquerque, NM: Space Engineering and Science Inst. 2006. Paper 10152148

40. Mclnnes C.R. Dynamics of a Particle Moving Along an Orbital Tower // Journal of Guidance, Control and Dynamics. V.28. N 2. 2005.

41. Mclnnes C. R., C. Davis. Novel Payload Dynamics on Space Elevators System // 56th International Astronautical Congress. Fukuoka. 2005. IAC-05-D4.2.07

42. Williams P., Wubbo O. Climber Motion Optimization for the tether Space Elevator // AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit. 1821 August, 2008. AIAA 2008-7383.

43. Woo P., Misra A. K. Dynamics of a Partial Elevator with Multiple Climbers // Acta Astronáutica. 2010. V.67. P. 753-763.

44. Lorenzini E. C., Cosmo M. Wave progration in the tether elevator/Crawler system // ActaAstronautica, 1990. V.21, N 8. P. 545-552.

45. Cohen S.S., Misra A.K. Elastic Oscillations of the Space Elevator Ribbon // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2007. V.30, N 6. P.1711-1717.

46. Blaise G. Linear Dynamics of the Space Elevator in the Absense of Climber.

47. Williams P. Dynamic Multibody Modeling for Tethered Space Elevators // Acta Astronáutica. 2009. V.65. P. 399-422.

48. Kristiansen K.U., Palmer P., Roberts M. A Unification of Models of Tethered Satellites // SIAM Journal. Appl. Dyn. Syst. 2011. 10, 1042. 28 p. ; doi. 1137/090779887

49. Lang D.D. Space Elevator Dynamics Reference Manual : in behalf of Institute for Scientific Research, Inc. 12 Apr. 2006.

50. Ohkawa R., Uchiyama K., Fujii H.A. The effect of disturbances on space elevator dynamics with flexibility. //61st International Astronautical Congress. 2010. Prague, CZ. IAC-10-D4.4.5.

51. Satoh K., Fujii H.A., Iijima К. a o. Study on Fundamental Dynamics of Very Long Tether System // 5th Asian Conference on Multibody Dynamics, 2010.

52. Андрианов И.В. Об особенностях предельного перехода от дискретной упругой среды к непрерывной // Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66, вып. 2 С. 271-275.

53. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Пер. сфр. URSS. 2010.586 с. ISBN 978-5-354-01331-9

54. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука. 1990. 329 с.

55. Садов Ю.А., Нуралиева А.Б. Нелинейные поперечные колебания троса космического лифта // Математическое моделирование. 2011. Т.23, № 12.

56. Ames W.F. Numerical Methods for Partial Differential Equations. Academic Press Inc. 1977. 378 p.

57. Садов Ю.А. Периодические движения спутника с магнитным демпфером в плоскости круговой орбиты // Космические исследования. 1969. Т. 7. Вып. 1. С. 51-60.

58. Калачев Г.В., Нуралиева А.Б., Чернов A.B. Малые колебания троса космического лифта. // Сборник трудов МФТИ 2011, в печати

59. Петров А.Л., Садов С.Ю. Исследование близких к маятниковым движений тяжелой нити на круговой орбите // Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР. 1989. № 11. 27 с.

60. Р.П. Федоренко. Введение в вычислительную физику. М.: МФТИ. 1994.1. С. 3-19.528 с.