О коэффициентах тригонометрических и ортогональных разложений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАХСТАН РЬСПУБЛлКАСЫ ХАЛЩА Б1ЛШ БЕРУ к1'.НйСТРЛ1Г1 КДЗ/О; ЖМЛЕЖТИК У! ¡ИВЕРСИТЕТ1

Колжаэба иукында

АИДОСОВ ЕРЦАРА ЖОЛДЫБАЙУШ

Щ 2ЩЫН НУЫКГАУ ШОРА! ¡ТЫ АРКДЛЫ БЕР1ЛГЕН леи МШШЫ И'УпЩ'ЛТАР ¡{ЛАССТАРЬСч ЕНГ13У ТЕОРЕМАЛЛРЫ

01.01.01. - матеиатикалык анализ

о

Физика-математика гильмдарышц кандидаты гылкми дзрежесхно хэдену диссерта'диясьшыц

АВТОРЕФЕРАТЫ

Алиити - 1092

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

КУПРИКОВ Юрий Евгеньевич

УДК 517.51

О КОЭФФИЦИЕНТАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ОРТОГОНАЛЬНЫХ

РАЗЛОЖЕНИЙ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МоскВа -1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического Факультета Московского государственного университета имени и. В. Ломоносова.

Научный руководитель - член - корреспондент РАН ,

доктор физико-математических наук .

профессор П. Л. Ульянов. Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук .

■ профессор В. А. Баскаков,| доктор физико-математических наук , профессор А.В.Ефимов. Веду сия органиБация ' - Московский физико-технический институт

2^) J/a Л.

Зашита диссертации состоится ".„„ ' _1992 г.

Кот

в I е- час, на заседании специализированного со вата по математике Д.053.05.04 при Московском государственной университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899.ГСП.Москва,Ленинские Горы,ИГУ. механико-математический факультет, аудитория 16-24,

С диссертацией можно ознакомиться э ОиОлиотека механико-математического факультета ИГУ СГлавное здание, 14 этаж}.

Ос

Автореферат разослан ' кэд? Г-

УченыЯ секретарь специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ.доцент

Т. П. Лукашенко

| • ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1

~Актуальность темы. Одной из задач теории

тригонометрических и ортогональных рядов яоляется изучение взаимосвязи свойств коэффициентов этих рядов и свойств представляемых ими функций. При постановке ятой оОгей задачи возникают следующие два важных вопроса.Как,зная свойства суммируемой функции.определить скорость убывания к пул» последовательности ее коэффициентов Фурье Ссам Факт стремления к нулю следует из теоремы Римана-Лебега) и как.исходя ия последовательности с заданными свойствами,определить,сходится ли соответствустсий ей тригонометрический ряд всюду или почти всюду,и,если сходится.какими свойствами обладает его сумма. , Основное содержание первой части настоящей диссертации Сглава 2 и 3 ) связано с определением порядка стремления к нулю в смысле средних Чезаро последовательности коэффициентов Фурье по тригонометрической системе функций из классов " Э ,1-рСИ.2п),

ыгн'л „ мгмщ р'

Рассматривается также случай кратной тригонометрической и равномерно ограниченной ортонормировзнной систем Г. ОМО.

второй части (глаиа 4) научается вогшос о степени суммируемости Функций,представимых тригонометрическими рядами с коЯ'Миционгянн ограниченной вариации т-го порядка.

Целъ_ьай01иЛ • Указать окончательна порядок стремления к пулю в смысле средних Чезаро коэффициентов Фурье функций из классов С(.е>,2'0 (1<1гн'*)>1.р[ н ыгн^ длЯ случая тригонометрической,кратной

тригономотричнчт^'П и равномерно ограниченной ортонормиропанной системы.

2.Оценить степень интегрируемости функций.представимых тригонометрическими рядами с коэффициентами ограниченной вариации т-то порядка.

новыми.Основныа из них следующие.

1. Найдены окончательные порядки стремления к нулю в смысле средних Чеааро коэффициентов Фурье по тригонометрической система

ФУНКЦИЙ ИЭ КЛаССОВ СГ0.2п1,ЫГНЫ11.рГ0.2гГ1 и ыгн? ,

2'Найдены окончательные порядки стремления к нулю в смысле средних Чеваро коэффициентов Фурье по кратной тригонометрической системе функций из ссси.гп]"1) и ир[СИ.2п1*з,

3.Получены оценки порядка стремления к нулю в смысле средних Чпэаро коаффициентов Фурье по равномерно ограниченной ОНС функций иэ классов с С'} и I- *1Э.

4.Получена оценка степени суммируемости функций,представимых тригонометрическими рядами с коэффициентами ограниченной вариации т го порядка.

Пшшжеииа. Работа носит теоретический характер. Ее результать могут найти применение в задачах теории тригонометрических рядов и теории вложения.

АпшОаШШ -ЕОйОХяиРезультаты диссертации докладывались в МП на семинаре по теории тригонометрических и ортогональных рялси (П. Л. Ульянов, и. К. Потапов.и. И. Дьяченко). на конференции молоды; ученых МГУ.на 5-ой Саратовской зимней школе по теории функций и

В работе используются методы теории банаховых пространств и теории тригонометрических рядов.

полученные в работе результаты являются

приближений В 1990 г. , ил Нпгпнкм-.-хпй лиинлй »...ий по теории Функций и дифференциальным уравнениям в 1991 г. и на Одесский летней сколе по теории функций в 1991 г.

Публикации.Основные результата диссертации опубликованы п работах Ч1-С41.список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации.Работа состоит ив введения . 4 глав, содержащих 7 параграфов , и библиографии . Общий сбы.*м работы - 92 машинописные страницы . Библиография включает гч наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

, Во введении приведен краткий обаор работ по изучаемой тем« и сформулированы основные результаты диссертации. Введен некоторые определения и обозначения.

i К)

Для у > через А обозначим коэффициенты иэ следупикго

разлогения

-4- - V А"" к"

со

] х" ( |х | < 1)

ПВО

Аля О - и * « к будим писать И > *, если

> • ДЛЯ ВС«Х 1 " ...т

Пусть О и' и- - и( п п л > -числовая последовательность.

1 ' Ж" т

Ьудем писать, что о<1)<о<1>) в смысла (С,^), если выражении

< (1м - • > < (?_-1 >

- и-

А I •• А \

»> - к Г» — К

к>ок«ок*»А А

I г и» п . . (1

г» гч

& X

стремится к пулю по Принсхейму Согранич&чоЭ .

Лпя заданного модуля непрерывности определим классы

к" : ( Г « С.1И.7.п1, <Мй.Г) : 0(и(<5)) ПрИ <> - 0} И ь" г { Г в СГ0, 2п1 . и*6. Г) = о(и<<5)) при - 0). Или р в [1.®) рассмотрим также классы

Нр г ( Г « ьр[0.2п], Ыр(<5.Г) = 0(и(д)) ПРИ <5 * 0} И = { Г « Ьр[0,2п], «р(б,Г> = о(о<<*>> ПРИ <5 - 0).

где и (6.г) = вир «ГС1+Ь>-ГСь>■ - интегральный модуль * 1М<<5 Р

непрерывности в метрике

Через *ГН" обозначим класс 2л-периодических функций, имеющих

.< г> „и „г,,«

непрерывную производную г-го порядка г « Н . а череэ » Нр при

р •» [1,о») класс 2п-периодических функция, имеющих абсолютно

, , » _( Г» ,,со

непрерывную производную Сг~'3 порядка, причем * * р*

Пусть теперь ГС и « Ь(0,2гт]. Через и Ьп(Г) оОоаначим

коэффициенты Фурье функции ^СЬ) по тригонометрической системе. Для р «п.») череэ ч обозначим число, удовлетворяющее

I , < ,

соотношению - ♦ ^ " 1.

Пусть р « (1.®). Для 0 * <я.®> обозначим = И.1. ••)

к" при П •

Гк 1гГ'(к+2)1"4 при П = • к""4 при П « <|.«>. 0.1. ..)

ър при П ■ (0.1>. = к 1п"'(к+2) при Р - 1.

к ПРИ Р « (1|«>) - 4 -

Положим также =

^.Р <к)

И Lt >/?<к) Ш 1 при ft в (0,00).

Для {UX.O " ~ тоЯ разностью лтип назовем

т

= У (-i)V и , , где

»» / т n*l

I «О

Л в(п-1). . <и-1+1)

=--1-г., 1-( .

ТТ

В первой части рассматриваются коэффициенты Фурье и Ьп интегрируемых функция. В силу леммы Римана-Лебега ати коэффициенты стремятся к нулю при п - оо Однако, коойика гогюри.

последовательности А<п) 00 при п » существует С « С[0,2п]. такая что,например.л(п)-ап(О не стремится к нулю Сем. [П с.221). Тем не менее, если рассматривать стремление к нулю и ограниченность выражений ЛСгО-а^ в определенном вышо смысле (С,/1), »юино получить некоторые положительные утверждения о порядки стремления к нуля коэффициентов Фурье для различных классом Функций.

Дж. Рияи Сем. С2]) в 1986 г. были доказаны следующие теоремы:

1. Н. К. Бари.Тригонометрические ряды.Ы. 1961

2.J.Ready,On the order of natfnltude of Fourier ooefftotents,S1AH J.Math.Anal.,17 (1966 ),pp.468-476.

такое стремление произвольно. А именно, для лшйои

Если f(t) « Lt[0,2n]f то п'/'а ">п = 0(1) в смысле (С.1). ТЕОРЕМА В, Если f(t) «С[0,2гт], то

Тем же было доказано, что Теорема В перестает быть верной, если »вменить (С,2) на суммируемость в смысле (С,1). Аналогичные уггюржления справедливы и для

В связи с вышесформулированными теоремами. П.Л.Ульяновым сила поставлена следующая обсдя эадача: указать окончательный порядок стремления к нулю в смысле средних Чезаро коэффициентов Фурье функций иа различных функциональных классов по различным

0 р ^нормированным системам.

При атом задача ставилась и для абсолютных величин t оэодициентов Фурье.

Основными результатами глав 1-3 диссертации являются решения указанной задачи для некоторых классов Функций.

Глава 1 имеет вспомогательный характер. В ней устанавливаются свойства. которые затем используются для доказательства основных

1 ('¡Н*'М.

В Главе 2 рассматривается задача П.Л.Ульянова для случал , ии'ономотрической системы.

В 6 2.1. втой главы для классов Ьр[0,2п] нами получена

следу юцая

7 Е О Р Е Ц А 1 Пусть р « (1.®>. тогда 1) для любой « 1,р[0,2«] и любого О « <0.®>

последовательность

Ь _(п) •» ( Г) = о(1) в смысле <С,Г?>,

р. Iг ^

. 21 указанные в пункте 1) порядки являются окончательными для соответствующих средних Чезаро, то есть для лкйой последовательности Л(п) ® При п ® и любого А * (0.®)

существует функция й(0 « такая, что последовательность

Л<п)^р ^<п)-ап(я) не ограничена в смысле (С,р).

В частности.при р = 2, кроме окончательности,получаем усиление Теоремы А относительно метода суммирования.

Для классов Нр нами доказана

ТЕОРЕМА 3 Пусть р « (1.®), и "<<5> - выпуклый модуль непрерывности, тогда

1} для любой в Н" и любого Р « (0.°°) последовательность ^<п)-ап(Г) = 0(1) в смысле

2) указанные в пункте 1) порядки являются окончательными для соответствующих средних Чеааро, то есть для любой последовательности Л(п) -» » при п - а> и любого Р « (0, си) существует функция а(ь) в н" такая, что последовательность А(п) •<■> ' не ограничена в смысле (С,Р),

Для введенных выше классов ь" доказывается справедливость утверждения 1) Теоремы 2 с заменой символов О на о Скак для "Г1. так и для Ьп).

Из Теоремы 2 для классов нГн" получаем

СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть р « (а.®) и - выпуклый

модуль непрерывности, тогда

1) для любой ПО « нгн" и любого Р в последовательность (—1 >^(п)-пг «ап( Г) =0(1) в смисле

2) указанные в пункте 1) порядки являются окончательными ллй соответствующих средних Чезаро, то есть для любой последовательности л(п) -• ® при п » и любого Р « (й,<*> супгэствует функция «(». > « такая, что последовательность

Л(п)-<.> ,<ôT1)'l р, /1<п) *"' °а„(й) не ограничена в смысле (С,п).

То кв верно и для Ьп,

В § 2.1. докалывается, что при р « (1.2] и Ч ^ Теоремы 1 и 2 справедливы и для 1ап1 и а для р > 1 они

неверны.

В S 2.2. рассматриваются коэффициенты Фурье непрерывных '¿п -пнриодических Функций.

Для пространства СГ0,2п] получена

ТЕОРЕМА 3.

1) Для любой f<t) « СГ0.2п1 и любого Р « (0.®) последовательность

Lax f}in)'*n(r5 = °m в смысле (С,п>,

2) указанные в пункте 1) порядки являются окончательными в смысле средних Чезаро, то есть для любой последовательности Л(п) » при п -» od и любого Р « <0.®) существует e(t) « С[0,2л] такая, что последовательность

л<п)'^са. /1(п> '*п<*> нв ограничена в смысле (С.Р).

В § 2.2. доказывается также справедливость утверждения Торемы 3 для Ьп.

Таким образом, получаем усиление Теоремы В относительно метода суммирования.

Для формулировки результатов для классов Hw введрм некоторые дополнительные условия на

Булем говорить, что * о удовлетворяет условию СВ). если

сю

]Г Ь-<Ь = 0<"ф) при П - 00, СВ)

1МГ.М

и условию СВ,), если п

^ «ф = СКп-^ф) ПрИ п ♦ ® СВ.З

Кроме этого, нам потребуется условие СО:

л2 ( —) » 0 при п > о. (Г)

Ц)

п+1

а

В § 2.2 для классов Н нами доказывается ТЕОРЕМА 4. П у сть "С«5) - выпуклы« модуль непрерывности, тогда

1.1 для любой функции « Н" и любого О «

последовательность

, <•>Г)(п)'Я„(е) ' 0<1) в СМЫСЛ« <С.Г>).

для лхт5ой ^ (} '« н" с удовлетворяющим условиям С В, 3

и СП, и для любого О в (1.®) последовательность ""<Ь"И>'1'«х/?(п>'ап(Г> " 0(1) а смысле 3) указанные в пунктах П и 2) порядки пилимся окончательными в смысле средних Чеэаро, то ёоть для диЛиЛ последовательности Л<п) ■» ор ПрИ п -• ® н лкйого Л (Я.«') суиистьуит й(0 '* Н". такая что последовательность

Л(п)-ш~' /7(п)-л11(й) не ограничена в смысле

В 4 2.2. доказывается также, что. если в пункте 1?) М|р&ми 4 добавить условие С В), то Теорема 4 верна и для

„ .и

Для введенных выгая классов п доказывался спрчвмдлиьосп. утверждений и и 2.) Теоремы 4 с заменой символов 0 нл о (с учетом замечания о Ь

Легко видеть, что - & не удовлетворяет условию СВ,). однако справедлива ТЕОРЕМА 5.

1) Для любой Г(Ь) « Ир 1 И любого Р « (0,1) последовательность

^<п)*п-ап(Г) = о(1) в смысле (С,/?),

.2) для любой Г<0 « Ир 1 и любого О « [1.«) последовательность

г1(п)-п-вп(Г) = 0(1) В смысле «:./!>.

3) указанные в пунктах 1) и 2) порядки являются окончательными в смысле средних Чезаро, то есть для любой последовательности А(п) -» » при п ® и любого О « (0,®) существует в(ь) « Ь1р 1 такая, что последовательность А(п)"ь«, /|<п>'п'«Г|(в) не ограничена в смысле (С,/э>.

В Ф 2.2.доказывается также,что Теорема 5 справедлива и для

ь

п

Из Теорем 4 и 5. пользуясь очевидной связью между коэффицентами Фурье функции и ее производной, можно получить теоремы о порядке в смысле средних Чезаро коэффициентов Фурье Функций из Н".

В частности, для игНа ( 0 < а < 1) получаем

1) Для любой функции Г<0 « ы'на и любого <* * <0.®>

г,(п)'пг*а'ап(Г) = 0(1) в смысле (С,А).

2) указанные в пункте 1) порядки являются окончательными в смысле средних Чезаро. то есть для любой последовательности

л(п) •• оо Прц п » и любого ft в (0,®) существует e(t) в игна такая, что последовательность

В § 2.3. Главы 2 рассматривается случая кратной тригонометрической системы.

Пусть в * 2. Рассмотрим последовательность коэффициентов Фурье функции f(t) « Lp(C0,2n]™) при р в [1,®> по системе

| | cos n^ tt

Будем считать, что 1>JI [0.2n]m) г C([0,2rr]m) В § 2-3- устанавливается следующая .I_E_Q..E_E_M_&_б. Пусть р « [1.®]. тогда

13 для любой Функции f(t) « Lp([0,2rt']m) и любого О > 0 последовательность

- т

|~]lp п (nt> -B-(f) = 0(1) в смысле (С.ft).

2) указанные в пункте 1Э порядки являются окончательными для соответствующих средних Чеяаро в следуюсем смысле. Пусть

Л(п) = A(nt > и ® при nt тогда для любого

ft > О суиэствует функция i(t) « Lp([0,2п]м) такая. что последовательность

A(n>*Lccl ^п>"пГ*а'ап<а> не ограничена в смысле (.с,ft).

i »1

m

i ■ i

Л(1

L

p. ft нв ограничена в смысле (С, ft).

Лим Хо Сем. [3]) С '.по доказано, что для люЗой « С(£0,2п]т) при Р > 2 последовательность

п.|-а-(Г) = о<1> в смысле (С,/>).

Заметим, что,кроме окончательности, при р = « Теорема б дает усиление результата Лим Хо относительно метода суммирования-

В § 2.3. доказывается также справедливость утверждения Теоремы 6 для коэффициентов Фурье по кратной системе синусов и, . вообвз. любой кратной системы с Фиксированным чередованием синусов и косинусов.

В Главе 3 рассматривается задача П.Л.Ульянова для равномерно ограниченных ортонормированиях систем. Пусть " ограниченная ОПС на (0.1] .

В § з.I. доказывается следующая . ТЕОРЕМА Т. Пусть равномерно ограниченная ОПС

на отрезке С0.13 и Р * (1.2], тогда

1)для любой функции ГШ « 1^[в,1] и любого Р * (й.^'-'ф") последовательность

Ь9 /,(п)-оп(Г) = о(1) в смысле (С,П)

23 для любой А(п) " 40 при п - ю и любого Р « ^'д' существует Функция вС Ь) в Ь [0.11,. такая, что последовательность А(п)»Ьр ^?(п),оГ1(в) не ограничена в смысле (С,р). Для Р * (а'®> и произвольной ограниченной ОПС указанные в

Э.Лим Хи. Аитглкг^ерат кандидатской диссертации.Тбилиси. 1990.

- У?.

пункте )} Теоремы 7 порядки уже не являются окончательными. Это покаьиност следующая

Т Е О Г Е Ü Л В. Если {*»„(*>)"«„ ~ система Радемахерп ( *>п(х) - sí/? л sin 2г",пх ) и р « (1.®), тогда

1) для любой f(t> « Lp[0,l] и любого Р > О последовательность

L, ^(n)-a„(f) = о(1) в смысле (С,ft)

2) указанные в пункте 1) порядки яьляхлся окончательными п смысле средних Чезаро, то есть для любой последовательности Л(п) -»00 при П •» ю и любого О > В СУОЗСТВУвТ t > « Lp[0,l] такая, что последовательность

ACn)»L1 ^п)«ап(в) не ограничена в смысле

Теорема 7 справедлива и для 10„1.

Для пространства С[0,1] в § 3.1. доказана

ТЕОРЕМА 9. Пусть {*>„)".„ ~ равномерно ограниченная ОПС. тогда для любой Л<п> ™ при п -» ® и любого О > Э сугсествует Функция a(t) в С[0,1] такая, что последовательность

ACtO'Lj ,(п)-1сп(я>1 не ограничена в смысле (С,Г>).

Следовательно, лля р е (2,®] ( 1^(0,1] считаем С[0,1] ) утверчшение 1) Тгор^мн 7 для '"„I не имеет места.

13 Главе 4 диссертации рассматриваются свойства некоторых специальных тригонометрических рядов.

Будем говорить, что последовательность ^„СГ-т ии?ет ограниченную вариацию «то порядка, если сходится ряд

♦ (V

Под сходимостью ряда

в точке х = х0 будем понимать существование предела при Н ® выражения

пш-ы I

I

Пусть р « (0.®). Будем говорить, что ряд С1Э сходится к в(х) « Ьр[0,2п] в смысле если выполняется равенство

||5н<х>-иО

11в |15„<х>-и(х)|рЛс « 0

н-ко

о

П.Л.Ульянов Сем. С43с.476) доказал, что.если ^п1г,«-а,.<,п=0<1' при 1п1 -» «о, имеет ограниченную вариацию 1-го порядка, то ряд С1Э сходится в каядой точке х « (0,2п) к некоторой функции С(х). причем для любого р а (0.1) функция '(к) « Ьр[0,2п] и ряд С13 сходится к '(О в смысле

В работе Стайоевич Сен.С51) Теорема Ульянова была

распространена на последовательность ограниченной вариации п-го порядка. А именно, была доказана

4.Ульянов П.Л.Применение А~интегрирования к одному классу тригонометрических рядов.Матем.сб..1954. Т. 35.4.3.

5. 31апову1о V .В .Оп а ^еогою оГ Р . I, .1) Напоу .Ргоо . Апяг . НякЬ. Эоо . 1984.V.90,N.3.рр.370-372.

ТЕОРЕМА С. Если последовательность ^„СГ-«,. dn= при In I ® имеет ограниченную вариацию n-ро порядка, то ряд С1) сходится в каждой точке * « (Я,2п> к некоторой Функции f(x>. причем для любого р « f0-^ функция Г(*> « ЬрГ0,2п1 и ряд cd сходятся к t(x) в смысле 1р.

В связи с этим П'. J1. Ульяновым была поставлена задача о точности Теоремы С относительно степени суммируемости. В $ 4.1. нами доказывается

ТЕОРЕМА 10. Если последовательность ^„СГ-«. d->" 0(15 при Inl ■* » имеет ограниченную зариацию а-го порядка, то ряд CID сходится в кандой точке х « (0.2л) к некоторой функции f(x), причем для любого Р « (0.2/(2Г(и+'.)/2] + 1)> функция f(t) « Lpf0.2n) и ряд Q) СХОДИТСЯ к в смысле Lp.

Теорема 10 усиливает Теорему С для » > 1. При п = 2 Теорема 10 была доказана М.И.Дьяченко. В Ь 4.1. доказывается такяэ сляпуипая Т Е О Р Е Ы А 11. Если последовательность Т^'Г.«,. dn= 0<!> ♦ 00

при Inl ® и < m при Dcex * * 0-

пв - со

то ряд CID сходится почти всюду на (Я.2л) к функции 1<х), причем для любого Р « (0.1) функция * 1рГ0.2п1 и РЯД CID сходится к к Их) в смысле Lp.

Теорема 11 распространяет утверждение Теоремы П.Л.Ульянова относительно степени суммируемости суммы ряда CID на более широкий класс последовательностей.

Автор выражает свою глубокую благодарность Петру Лаврентьевичу Ульянову ва постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Автор выражает также свою глубокую признательность Михаилу Ивановичу Дьяченко за полезное обсуждение изучавшихся проблем.

- Ш -

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. К.уприков Ю Е. К одноЯ теогемо Ульянова .В сб. "Экстрем, задачи,Функцион. анализ и их прил." - П.: Иад. МГУ ,1988.- С. 24-25.

2. Куприкпэ i). Е. СО одном классе тригонометрических рядов, доп. в ВИНИТИ. N.2746-B89.PH «.8,135.05104.1909 г.

3.Куприков D.E. О суммировании методами Гельдера СИ, к} коэффициентов Фурье.Вестник ИГУ.Серия матем.,мах.,1990,

Н.Э. - С. 105-108.

4.Куприков D.E. О суммировании методами СС.») коэффициентов Фурье. Математические заметки. Т. 48 . вып. 2 , 1990. - С. 154-155.

МАЗМУЦ^МА". Диссертация.тач жумыс спектр: гяпербола-лык кресте жататын тригаксмэтрияльз; полинсмдар жане Хаар типтес поликомдар ардалы ен яадцн жуку.таучзн айкинда-латын кап аЛкым-алы йункчиялар класында енгхзу тэориясынщ есептерхн калуге арналгаи.

Жуиыстыц нег1зг! нати;::элэр1 миналар:

с ангхзух ушхн З.Н.Темлякозтщ алган

тартыньз* ку1'еЛт1лызЯт1Н1 'Л т1збег1кэ :<андай да б{р талап-сыз дэлолленэдх; л> /> ,

С/^'ь........ "

енгхзулер! ушхн шарттар алынгак иоле р мен кейбхр талаптарды канагаттандырганда ол шарттарды кушей туга болмайтнндыги дэлэлденген;

3. Нр ^ С. Су о^гхзу 1 ушхн кяг-зттг кате кетк1л1кт1

карт алынган.

Подписано с 24,01.92.Формат 60* 84/16 Сумага гшсчйя

1.Поча.ть плеская. Ткгал-. 1С0. 2аказ II. Есспл&тнт. '¿зухче Н&захсксто оттека Труяоясгл Красного 5нзмэнй

лркггечнгрзегсго у.нсготугл г'М.З.ИЛеийна.гмаггго-иггозч-

участок ХаэПТИ •/м.Е.И.Ляикка,

Агма-Лга.Сатпглра, 22