О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

005017952

На правах рукописи

Махмадуллоев Зафар Насуллоевич

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НЕСАМОСОПРЯЖЁННЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы, оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 дпР 2012

Душанбе - 2012

005017952

Работа выполнена в Таджикском государственном университете коммерции

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Исмати Мухаммаджон

Официальные оппоненты: Курбонов Икром - доктор физико-

математических наук, член -корреспондент АН РТ, профессор, Российско - Таджикский(Славянский) университет, заведующий кафедрой математики и ЕНД

Шарипов Бобоали - кандидат физико-математических наук, доцент, Институт предпринимательства и сервиса, доцент кафедры математики в экономике

Ведущая организация: Курган - Тюбинский государственный

университет имени Н. Хусрава

Защита состоится 4 апреля 2012 г. в 11ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики Академии наук Республики Таджикистан. Автореферат разослан " " марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям одной нелокальной (несамосопряжённой) краевой задачи и корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.

Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов является одним из известных методов решения смешанных задач математической физики. Проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряжённых дифференциальных операторов посвящены работы В.А. Стеклова (1901), Н.М. Гюнте-ра (1934), C.JL Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пустыль-ника (1958), O.A. Ладыженской (1950-1958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), Э.Ч. Титчмарша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Икебе (1967) И.К. Кенджаева (1967,1968), М. Исмати (1970-1992гг) и других авторов.

Методу Фурье для общего гиперболического и волнового уравнения за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), O.A. Ладыженской (1950), и В.А. Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанных задач для общего гиперболического уравнения установил В.А. Ильин (1960) для произвольной нормальной 1 области Г2.

Однако исследованию этих проблем для несамосопряжённых дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряжённых операторов. Хотя и относительно этой проблемы также появилось достаточно много работ (см. например, работы Я.Д. Тамаркина (1917), В.А. Ильина (1976, 1983,1986), М.В. Келдыша (1951), В.Б. Лидского (1962), М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга (1965), М.А. Наймарка (1969), А.Г. Рамма (1970), Н.И. Ионкина (1977,1979), М. Исмати и имеющуюся там библиографию).

Выдающимся вкладом в науку являются работы В.А. Ильина по

1 Области и называется нормальной, если ,тля этой области разрешима задачи Дирихле для уравнения Лапласа при любой непрерывной граничной функции

спектральной теории несамосопряжённых дифференциальных операторов, выполненные им, начиная с 1975г . Этим работам предшествовали известные работы М.В. Келдыша, в которых для широкого класса краевых задач установлен факт полноты специально построенной системы собственных и присоединённых функций дифференциального оператора ( такую систему Келдыш назвал канонической).

Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.

Цель работы. Целью данной работы является установление корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.

Методика исследований. В работе используются методы разложения функций по собственным и присоединённым (корневым) функциям несамосопряжённых (нелокальных) краевых задач для уравнения колебаний мембраны (метод Фурье), современные методы уравнений в частных производных и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключается в следующем:

1. Найдена биортогональная система собственных и присоединённых функций рассматриваемой эллиптической нелокальной краевой задачи. Показано, что эта система не только образует базис в пространстве, но и образует базис Рисса. Найдено выражение для формального решения несамосопряжённых смешанных задач для однородного и неоднородного уравнений колебаний мембраны.

2. Дано обоснование метода Фурье для классического решения несамосопряжённой смешанной задачи и сопряжённой к ней задачи. Доказано существование и единственность классического решения смешанной задачи.

3. Найдены априорные оценки в различных нормах, из которых, в частности, следует устойчивость, а следовательно, и корректная разрешимость рассматриваемых задач.

Практическая и теоретическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы при решении соответствующих задач физики плазмы, в общей теории кратных ортогональных и тригонометрических рядов, теории самосопряжённых и несамосопряжённых дифференциальных операторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях Таджикского государственного университета коммерции, Института предпринимательства и сервиса, на научных семинарах Института предпринимательства и сервиса под руководством профессора М. Исмати, на научном семинаре Таджикского национального университета под руководтвом профессора М.К. Юнуси, на международной конференции, посвященной 60-летию со дня образования Таджикского национального госуниверситета (апрель-май) 2009 года.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 77 наименований. Объём диссертации составляет 107 страницы компьютерного набора.

Содержание диссертации

Во введении дается краткая историческая справка рассматриваемых вопросов, обосновывается актуальность темы и приводится краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В первой главе доказывается существование классических в смысле В.А. Ильина решений несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.

В первом параграфе первой главы дается определение обобщенной производной, пространства Соболева с целыми I и теоремы вложения. Этот параграф носит вспомогательный характер. Однако основные результаты диссертации сформулированы именно в терминах пространства Соболева с целыми порядками частных производных I.

В втором параграфе первой главы дается постановка следующей нелокальной (несамосопряжённой) задачи:

Utt = U„ + Un + f(x,y,t), (я, у, t) 6 Qt = SI х (0, Т) ^ U(x,y,0) = ф,у), Ut(x,y,0) = ф(х,у), (х,у)ейхК;Я=[0; 1] U(0,y,t) = 0, Ux(0,y,t) = £/х(1,у, i), у ей, t 6 [0,Г], U(x,0,t)=0, Uy(x, 0, t) = Uy(x, 1, t), x € [0; 1], ie[0,T]

(1.2.1)

Рассмотрим следующую редукцию этой задачи:

Щх, у, t) = V(x, у, t) + w(x, у, t) (1.2.2)

где V(x,y,t) и w(x,y,t) являются решениями смешанной задачи (1.2.1) при

f(x,y,t) = 0 и ненулевых начальных функций и при f(x,y,t) ^ О <р(х, у) = 0, ф(х, у) = О соответственно. Задача (1.2.1) является нелокальной смешанной задачей. Кроме того, она является несамосопряжённой задачей в силу граничных условий.

В третьем параграфе первой главы для двухмерной квадратной области R2 = R х R = (0; 1) х (0; 1) находится последовательность собственных и присоединённых функций нелокальной (несамосопряжёнными) задачи для уравнения Лапласа

М{х, у) + \д(х, у) = 0, (х,у) eRxR

t?(0,y)=0, $х(0, у) = $х(1,у), yeR={0;1] (1.2.6)

0(х,О) = О, úv(x,0) = 0y(x,l), yeR

и сопряжённой к нему задачи

AZ(x, у) + AZ(x, у) = 0, (х, у) е R х R

Zx(l,y)=0, Z(0,y) = Z(l,y), уей=[0;1] (1/2.7)

Zy(x, 1) =0, Z(x,0) = Z{x,l), ye Я

(Мы сохраняем во введении те же самые номера формул, как в самих главах 1 и 2 диссертации). Отметим, что всюду в рассматриваемой диссертации мы сформулируем основные результаты для основного квадрата R2 = (0;1) х (0;1), однако перенесение их для произвольного квадрата Ra = [0; а] х [0; а] или прямоугольника Ra¿ = [0; а] х [0; 6] не предоставляет трудности. А в этом параграфе мы приводим некоторые результаты из работы [24]. Сперва отметим, что смешанные задачи (1.2.6) и (1.2.7) при п = 2 (вместе с í) впервые были рассмотрены в работе [24] М. Исмати. Кроме того, смешанные задачи вида (1.2.G) и (1.2.7) для уравнения теплопроводности при п = 1 и п = 2 соответственно были рассмотрены и подробно исследованы в работах Н.И.Ионкина [21] и Н.М.Исматова.

Известно [24], что собственные значения и собственные функции задачи (1.2.6) имеют вид

Ao = Ao,o = 0, \k,m = (2-ггк)2 + (2тгт)2,

tfo = у) = х- у, ■dk.m = sin 2кжх ■ sin 2тпу 1

Последовательность собственных функций (1.2.8) не образует ортогональную систему и эта последовательность не образует полную систему и базис

в пространстве Li(R х R). С этой целью, следуя работе В.А. Ильина [15], дадим следующее

Определение 1. Под собственной функцией задачи (1.2.6), отвечающей собственному значению А, понимается не равная тождественно нулю функция i?(x,y), которая принадлежит классу C1(íl)nC2(0), ü = RxR и является регулярным решением задачи (1.2.6).

Аналогично, под присоединённой функцией порядка р(р = 1,2,...), отвечающей тому же А и собственной функции ■д{х,у), понимается вещественная функция д{х, у), которая принадлежит классу C1(íí)nC2(f2) и с точностью до ненулевого постоянного множителя Р является регулярным решением уравнения

Г(х,у) + Щх,у) = Р${х,у)

и удовлетворяет граничным условиям задачи (1.2.6) (явный вид постоянной Р указывается ниже). Известно [24], что задача (1.2.6) имеет следующие присоединённые функции:

I?2fc,2m-1 = ^к,ш{х,у) = sin 2тгкх ■ у cos 2mny,

■&j.m(x,y) = х cos 2кях sin 2mny = ti2k-i,2m(x, у) (1.3.2)

#2fc-i,2rn-i =5¿,rn (x,y) = x eos 2knx ■ y cos 2mny,

где dk,m, Ük,m> ük.m соответственно удовлетворяют уравнениям

+ A k,m$k.m = О,

Mk,m + At,ml3fc:m(l,y) = Pmúk,m(x,y), (Pm = -4тг/с), (1.3.3) Айк,т + Afc,májt:m(x, у) = Pk$kAx' у)> (pk = -4тгк),

А Ък,т +Aк,т $к.тп (x, у) = Рк0к,т + Ркйк,т(х, у), (к,ТП = 1,2,...)

Отметим, что при к, m = 0, то есть при А = Ао,о = 0 и Р ф 0 (например, при Р = 1) присоединённая функция ■доto(x,y) не существует. Систему всех собственных и присоединённых функций задачи (1.2.6) переобозначим следующим образом:

у) = X - у, Ú2k,2m = sin 2пкх ■ sin 27Гmy = 19k¡m $ = ti2k.2m-i = sin 2nkx ■ y eos 2irmy, (13 4)

$гк-\.ъп(х,у) = xcos2vkx ■ &т2жту =

Ъьт= ^2И>-1 = У cos 2пкх ■ у cos 2-nrny

При этом видно, что при к, т > 0 каждому собственному значению Ак,т соответствует одна собственная и три присоединённые функции. Собственные значения и система собственных и присоединённых функций сопряжённой задачи (1.2.7) имеют вид

Ао,о = Ао:о = 0, Хк^п = Ак,т = (2Ьг)2 + (2ттг)2,

Zo,o(x, у) = 2 • 2, &2k-i,2,n-i(z, У) = 4cos2кттхАcos2тжу = Z2k-i¿m-i

%2к.2т-1 (х, у) = 4(1 - х) sin 2кихА cos 2ттгу = Zk,m

%2к-1,2т.(х,у) = 4cos2forx4(l - у) sin 2тгшу = Z_k m

Z2k.2m{x,y) = 4(1 - х) sin 2кжх • 4(1 - у) sin 2тптгу =Zk,m,

(1.3.5)

где присоединённые функции Zk,m = Z2k,2m-u Zkm = Z2k-i,2m, Zk,m= Z2k,2m соответственно удовлетворяют следующим уравнениям:

A^fc.m + Ak,mZk,m = PkZk,m (1.3.6)

&Zk,m + h,mZk,m = PmZk,m (1.3.7)

и

A Zk,m +h,m Zk,m= PmZk,m + PkZkm (1.3.8)

и граничным условиям задачи (1.2.7). Имеет место

Лемма. Последовательность собственных и присоединённых функций задачи (1.2.6) и сопряжённой к ней задачи (1.2.7) образует биортогональ-ную систему функции в LtiQr) • Имеет место

Теорема. Последовательность собственных и присоединённых функции {t?fc,m(x,y)}~m=0; определенная по формулам (1.3.4), образует базис в пространстве L2{Qt) и для V<p(x, у) е L2{Qt) имеют место неравенства

оо

c|MIÍ2(ÍV) ^ Y, vim ^ С|М||2(Пт)

к,т=О

где с = 0.9, С = 272, то есть последовательности функций {&k,m{x,y)}km=0 и {^fc,m(x,y)}~m=0 образуют базис Рисса в пространстве L2{Qt).

В четвертом параграфе первой главы методом Фурье для решения смешанной задачи (1.2.1) при f(x,y,t) = 0 найдено следующее

выражение:

У(х,у,{) = У] I (<Р2к-1,гт-1 соя + 1 ап^Аь^ 1 х

к.ш=1 У \ УЛк'т I

X $гк-\.Ът-\{х,у) +

<р2к.2т-1

Р^<Р2к-1,2т~1 \ П-, .

--.2 СОв у/Хк,щ1+

I ( Рк

Н--7== ( Ф2к-1,2т + -Ф2к-1.2т-1 +

у/Хк,т \ ¿Лк,т

эт у/\k.mt

X $2к,2т—1 +

(

4>2к-\,2т ~ пл 1р2к-1,2т-1) со8 у/--у=

РшЬ

2\к,л

у/Хк,т

/ р р ^ \ _

х уф2к-1,2т + Фы~1,2т-1 + ~^-<Р2к-1,2т-1 ) вт у/Хк,п^

$2к-\,2т +

+

/Т-, , Ф2к.2т . П-. , Я1П у/Хк,т± ,

<Р2к,2т СОБ у/Хк,т1 + Г-' Я1П у/ Хк,т1 Н--3-\УтФ2к,2т-1 +

у/Х к.т1 2Х"

к,т

3РкРт , . /т-, г Б1П у/\к,тЬ

+ Ркф2к-1,2т) + 775-' /т-Ф2к-1,2т-1 вШ у/ Хк,т1 Н--ут- X

¿у/Хк,т

,г> , г> ^ Ьсоъу/Х^ ( Рт х (Рт<Р2к,2т-1 + РкЧ>2к-\,?т)--/г- ' I Л-{Ф2к,2т-1 +

¿у/Лк.т. \уЛк,т

+ хг—Фгк ¿Хк,Т

+ ^- ( Ф2к-\,2т + 7Г\-Ф2к-\.2т-\ +

чА

к,т

2Ла;,т7

0)

РкРтХ ( Ф2к,2т-1 П-. , _ • /7 ± \ РкРт?

-з---Гх- СОЭ у/Хк.тЬ + (Р2к—1.2т~1 вт у/ Хк,т1--"ГГ--

4 XI \ у/Кт / 4Л*'т

к,т V у '

X ( Ч>2к-\,2т-\ СОв у/Хк,ш1 +

Ф2к-\:

,2т—1

у/ Хк,т

■ вт у/Х

г?2к,2ш \ (1.4.44)

где

Ч>2к-\,2т-\ = (<р(х,У),-Я2к-1,2т-1), ^2*-1.2т-1 = (Ф{х,У),

^21-1,2т-1). • • - > Ф2к,2т = (Ф(х, У), ^2к,2т)

-коэффициенты биортогонального разложения начальных функций у) и ф(х,у) по биортогоналыюй системе 2кт(х,у).

Следуя [15], дадим следующее определение.

Определение. Функцию У(х,у, £) из класса С1(^т)ПС2(<5г) назовем классическим решением смешанной задачи (1.2.1), если:

1. она удовлетворяет внутри области С^т однородному уравнению колебаний мембраны;

2. удовлетворяет начальным и граничным условиям задачи (1.2.1) в обычном классическом смысле.

Пятый параграф первой главы посвящается обоснованию метода Фурье для классического, в смысле В.А. Ильина, решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного уравнения колебаний мембраны. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.5.1. Пусть начальные функции несамосопряженной смешанной задачи (1.2.1) удовлетворяют следующим условиям:

1. Функция ¡р(х,у) имеет в прямоугольнике Я = [0,1] х [0,1] непрерывные производные до третьего порядка, интегрируемые с квадратом производные четвертого порядка и функции <р и А(р удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.1) в обычном смысле.

2. Функция ^(х,у) имеет непрерывные производные до второго порядка, интегрируемые с квадратом производные третьего порядка в И и ■ф,Аф удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.1). Тогда для любого отрезка времени £ 6 [0, Т\ сумма биортогоналъного ряда (1.4-44) дает классическое, в смысле В.А. Ильина, решение смешанной задачи (1.2.1). При этом ряд (1-4-44) и ряды = 1,2), полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по I, сходятся абсолютно и равномерно во всей замкнутой области Я х [0,Т] = Кроме того, ряды, полученные из (1-4-44) двукратным почленным дифференцированием Уха, = 1,2), сходятся абсолютно и равномерно в любой строго внутренней подобласти СЦ'Т С <5г при I > 0.

В шестом параграфе первой главы находится формальное реше-

ние несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.4). Это решение имеет вид

w(x,y, t)

Yofl(x,y)+

+

J yjMh)dhJ dr

+ i- I /2fc-1.2m-l(T) sill у/\k.m{t - T)dl

t¿{ [Vxk.mJ

i- ( //2fc-l,2m-l(T) + ~7f= i f2k-l,2m-l{h)sm\f\{T - h)dh

V Лк,т \J V J j

У2к-1.2т-1 +

I +

V2fc-l,2m(a;, 2/) +

X sin Va(í - r)dr] Y» ,2m-1 (a^, У) + .f"1 f hk-iam-i{h) Sin VA(r - h)dh I sin y/J(t - r)dr

о J

Í- / i Í2k,2m{r) + f I ¡2k,2m-\{h) + í /2fc-l,2m-l (^i) X

yAfc>mJ \ \ \/*k,mJ

T

x . sin л/Л(Л — hi)dh^j sin л/Л(т - /i)d/i + ^— J (f2k-i,2m(h)+

V k>m 0

+ Рт" / f2k—i 2m—1(^1) * sin \/A(/i — h\)dh J ■ sm\f\(t - h)dhx V A k,m j ' J

x sin%/A(t - r)dr] y2Mm(x,y)} (1.6.22)

Здесь же доказано существование классической в смысле В. А. Ильина смешанной задачи (1.2.4).

Теорема 1.6.1. Пусть плотность вынуждающих сил f(x,y,t) удовлетворяет следующим условиям:

1. функции f(x,y,t) имеет в области Gt = Rx.Rx [0,Т] непрерывные частные производные до второго порядка, интегрируемые с квадратом производных третьего порядка,

2. она такова, что функции f(x,y,t), Af(x,y,t) для всех t € [0,Т] (ж,у) е ñxñ по переменным х и у удовлетворяют, граничным условиям задачи (1.2.4). Тогда ряд (1.6.22) и ряды, полученные из него одно-

кратным и двукратным почленным дифференцированием по £, сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области <5Г = й х Я, а ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием по любым переменным х,у, и Ь, сходятся абсолютно и равномерно в любой подобласти = О.' х (О,Т] области при всех £ > 0. При этом сумма ряда (1.6.22) определяет классическое решение смешанной задачи (1.2.4) в смысле В.А. Ильина.

Замечание 1.6.1. Условия 1) и 2) теоремы 1.6.1. могут быть обобщены следующим образом: Достаточно потребовать, чтобы / 6 [у^ЬН2)^^ и по х удовлетворяла соответствующему краевому условию в обобщенном смысле (то есть в среднем). Аналогично обобщаются и условия, наложенные на функции (риф теоремы 1.5.1.

В седьмом параграфе первой главы дается обоснование метода Фурье для классического, в смысле В.А. Ильина, решения несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.1).

Методом Фурье для решения смешанной задачи (1.2.1) получим следующее выражение

(/ = У(х,у,1)+ь>(х,у,^, (1.7.1)

где У(х, у, £) и ю(х, у, £) соответственно определяются по формулам (1.4.44) и (1.6.22). Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.7.1. Пусть начальные функции <р(х,у) и ф(х. у) и правая часть /{х,у, £) задачи (1.2.1) соответственно удовлетворяют условиям теорем 1.5.1 и 1.6.1. Тогда ряд (1.7.1) и ряды, полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по I, сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области 0.x = х (0,Т], П = йхй, а ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием по любым переменным х,у и £, сходятся абсолютно и равномерно в любой подобласти С$Т П ГУ х (О,Т] области С^т при всех £ > 0. При этом сумма ряда (1.7.1) и(х,у,{) определяет классическое решение несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.1) в смысле В.А. Ильина.

В восьмом параграфе первой главы найдено формальное решение сопряжённой к задаче (1.2.3) смешанной задачи (1.8.1). Решение задачи (1.8.1) дается формулой (1.8.36). В пункте 1.8.2 доказывается существование классического решения сопряжённой смешанной задачи (1.8.1). А именно, имеет место

Теорема 1.8.2. Пусть в задаче (1.8.1) функции уз{х,у) и ф{х,у) удовлетворяют следующим двум условиям:

1. ¡р(х, у) в области П = Я х Я обладает непрерывными производными до третьего порядка и интегрируемые с квадратом производные четвертого порядка и такова, что функции <р, А<р в классическом смысле удовлетворяют граничным условиям задачи (1.8.1).

2. ф{х,у) в области О = й х Я обладает непрерывными производными до второго порядка включительно и такова, что функции ф, Аф, в классическом смысле удовлетворяют граничным условиям задачи (1.8.1). Тогда ряд (1.8.36) дает классическое решение смешанной задачи(1.8.1).

В девятом параграфе первой главы найдено выражение для формального решения смешанной задачи (1.9.1)

= Дад(х, у, £) + Дх, у, г), (х,у,£) е ЯТ,

щ(1,у,0) = щ|(х,!/,0)=0, (1,у)бйхй, _ (1.9.1)

•ш(0,у,£) = го(1,у,£), Юх{1,у,г) =0, (у,£) е Я х [0,Т], Цх,0,£) = ш(х,1,£), шу{х, 1,0 = 0, (х, £) € Я х [0, Т\

Здесь же в теореме 1.9.1 дано обоснование метода Фурье для классического решения смешанной задачи (1.9.1). А именно, имеет место

Теорема 1.9.1. Пусть функция /(х,у,£) удовлетворяет следующим условиям:

1. функции /(х,у,£) имеет в области Ох = ЯхЯх [0,Т] непрерывные частные производные до второго порядка

2. она такова, что функции /(х,у,£), Д/(х,у,£), для всех £ е [0,Т] и (х, у) € Я х Я по переменным х и у удовлетворяет граничным условиям задачи (1.9.1). Тогда ряд (1.9. Ц) и ряды, полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по £, сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области = Я х Я х [0, Т], а ряды, полученые двукратным почленным дифференцированием по любым переменным х, у и £ сходятся абсолютно и равномерно в любой подобласти С?Т области С^т = ~Ях Ях{0,Т] при всех £ > 0. При этом сумма ряда (1.9.14) определяет классическое решение смешанной задачи (1.9.1) в смысле В. А. Ильина

Наконец, в десятом параграфе первой главы найдено формальное решение общей сопряжённой задачи

d2u

-r^ = Au(x,y,t) + f{x,y,t), (x,y,t)eQT

ди _ _

и(х,у,0) = ф(х,у), -^(х,у,0) = ф(х,у), (x,y)eRxR, (1.10.1)

u{0,y,t)=u{l,y,t), ux(l,y,t) = 0 и(х, 0, t) = и(х, 1, i), Uy(x, l,t) = 0

и дано обоснование метода Фурье для классического решения этой задачи (Теорема 1.10.1). В пункте 10.1 первой главы найдено выражение для решения смешанной задачи 1.2.4 при f{x,y,t) = f(x,y).

В второй главе диссертации доказана единственность классического решения рассматриваемых задач и получены некоторые априорные оценки в нормах пространства и W\. Из этих оценок, в частности, следует устойчивость решения, и в конечном итоге, корректная разрешимость рассматриваемых задач.

В первом параграфе второй главы доказана единственность классического решения смешанной задачи (2.1.1). А именно, имеет место

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены все условия теоремы 1.7.1 . Тогда задача (2.1.1) имеет не более одного классического решения.

В втором параграфе второй главы 2 найдены выражения для формального решения задачи (1.2.4) из главы 1 при f(x,y,t) = f(x,y).

В третьем параграфе второй главы получены априорные оценки для решения неоднородного уравнения при f(x,y,t) = /(х,у), из которых, в частности, следует устойчивость задачи (точнее, непрерывная зависимость решения от правой части в норме пространства ). А именно, имеет место

Теорема 2.3.1. Для решения w(x,y,t) задачи (1.2.4) из главы 1 при f(x,y,t) = f(x,y) справедливы следующие двухсторонние оценки

у^Ц/Ц < |Kz,2/,i)|| < у/Шт, (2-3.1)

где т = 0.9, М = 272, К = Аг + А2Т2 + А3Т4 , а положительные постоянные А\, А2, А3 определены ниже (см. формулу (2.4-8)). При этом для решения задачи (1.2.4) при f(x,y,t) = f(x, у) получено выражение вида (2.2.4)

Кроме того, имеет место

Теорема 2.3.2. Решение смешанной задачи 1.2.4 из главы 1 при f(x,y,t) = f{x,y) непрерывно зависит от правой части уравнения J(x,y).

В четвертом параграфе второй главы получены априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи (1.9.1) для неоднородного волнового уравнения. А именно, в пункте 2.4.1 найдено выражение (2.4.1) для формального решения задачи (1.9.1). В том числе имеет место

Теорема 2.4.1 .Для решения сопряжённой смешанной задачи (1.9.1) имеют место оценки

t t С'1 J W(x,y,t)\\2dT < \\u(x,y,t)\\ <С J ||/(x,y,f)||2(ir (2.4.1) 0 0

, я /Ж ^ 2 8i2 80i4l II И

где С = \ -, a C3 = max i —, -—, -—, -г— ^ , a ||... || - есть нор-

V m (2 Ai,i Л11 Aiti J

ма в пространстве L2(Q), Q = (0,1) x (0,1). В частности, из оценки (2-4-1) следует непрерывная зависимость решения смешанной задачи (1.9.1) от правой части f(x,y,t) в норме пространства Ь2 (или устойчивость задачи (1.9.1)). Для формального решения смешанной задачи (1.9.1) при f(x,y,t) = f{x,y) получено выражение в виде (2.4-5).

В пятом параграфе второй главы получены двухсторонние априорные оценки для решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового уравнения в нормах L2(R х R) через начальные функции. Из этих оценок, в частности, следует устойчивость решения, и с учетом результатов диссертации и корректная разрешимость соответствующих несамосопряжённых смешанных задач.

Наконец, в шестом параграфе второй главы получены априорные оценки в норме пространства W2 для решения смешанной задачи (2.6.1) для неоднородного уравнения при f(x,t) = f(x)

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико - математичесих наук, профессору М. Исмати за постановку задач и обсуждение результатов данной диссертации.

Публикации по теме диссертации

1. Махмадуллоев З.Н. Решение одной несамосопряжённой задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны. // Вестник (Паем) Института предпринимательства и сервиса , 2005, №13, с.62-65

2. Махмадуллоев З.Н. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения колебаний мембраны. //ДАН Республики Таджикистан, 2006, т.49, №3 , с.215-220.

3. Исмати М., Махмадуллоев З.Н. О корректной разрешимости самосопряжённых смешанных задач для уравнения колебаний мембраны. //Вестник (Паём) Института предпринимательства и сервиса, 2007, №16, с.34-38.

4. Исмати М., Махмадуллоев З.Н. Априорные оценки. Корректная разрешимость смешанных задач для уравнения колебаний мембраны //Известия Академии наук Республики Таджикистан.Отделение физ-мат, химии геолог.наук, 2007, №3(128), с.7-15.

5. Исмати М., Махмадуллоев З.Н. О существовании и единственности решения одной сопряжённой задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны. //Материалы международной научной конференции "Наука и современное образование: проблемы и перспективы", посвящено 60-летию ТГНУ, окт., 2008, с. 21-23.

6. Махмадуллоев З.Н. О существовании и единственности решения одной сопряжённой задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны.

//Материалы республиканской научной конференции "Проблемы математических и естественных наук, ТГУК, март, 2010, с. 122-124.

7. Махмадуллоев З.Н. Априорные оценки для классического решения одной несамосопряжённой задачи //ДАН Республики Таджикистан, 2011, т.54, №12, с.960-965.

Сдано в 29.02.12г. Подписано в печать 2.03.12г. Формат 60 х 84. Гарнитура литературная.

Тираж 100 экз. Цена договорная Отпечатано в типографии ГУП „Матбаа" г.Душанбе, ул. Обходная 52

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ

УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ.

§ 1.1 .Понятие обобщенной производной.

§ 1.2. Постановка задачи и ее редукции.

§1.3. Нахождение последовательности собственных и присоединённых функции. Базисы Рисса.

§1.4. Метод Фурье для однородного уравнения.

1.4.1. Формальная схема методы Фурье.

§1.5. Обоснование метода Фурье для классического решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового уравнения.

§ 1.6. Решение смешанной задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны.

§ 1.7. Решение общей смешанной задачи. Обоснование метода Фурье.

§ 1.8. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного уравнения.

1.8.1. Решение сопряжённой смешанной задачи для однородного уравнения.

1.8.2. Обоснование метода Фурье для однородного уравнения колебаний мембраны.

§ 1.9. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения.

§ 1.9.1. Обоснование метода Фурье для неоднородного уравнения колебаний мембраны.

§ 1.10. Решение общей сопряжённой задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны.

1.10.1. Решения смешанной задачи (1.2.4) при f(x,y,t) = f(x,y).

ГЛАВА 2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ КЛАССИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ И ЕЕ УСТОЙЧИВОСТИ. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ. КОРРЕКТНОСТЬ

ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ

§2.1. Единственность решение одной нелокальной смешанной задачи для уравнения колебаний мембраны.

§ 2.2. Решение смешанно задачи(1.2.4)при f(x,y,t)=f(x,y).

§ 2.3. Априорные оценки для решения неоднородного уравнения при f(x,y,t) = f(x,y).

§ 2.4. Априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения.

2.4.1. Априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения.

2.4.2. Решение сопряжённой смешанной задачи для неоднородного волнового уравнения при f(x,y,t) = f(x,y). Априорные оценки.

§ 2.5. Априорные оценки для решения однородного уравнения колебаний мембраны. ^

§ 2.6. Априорные оценки для классического решения одной несамосопряжённой задачи.

Цитированная литература.

Диссертационная работа посвящена проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям одной нелокальной (несамосопряжённой) краевой задачи и корректной разрешимости несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.

Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов является одним из известных методов решения смешанных задач математической физики.

Проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряжённых дифференциальных операторов посвящены работы В .А. Стеклова (1901), Н.М. Гюнтера (1934), С.Л. Соболева (1945), Ю.М. Березанского (1965), В.А. Ильина (1955-1968гг), Е.И. Моисеева (1976), М.А. Красносельского, Е.И. Пустыльника (1958), O.A. Ладыженской (19501958), Б.М. Левитана (1950-1955), А.Я. Повзнера (1953), ЭЛ. Титчмарша (1960-1961), К. Фридрихса (1947), Г. Вейля (1915), Т. Икебе (1967), И.К. Кенджаева (1967,1968), М. Исмати (1970-1992гг) и других авторов.

Методу Фурье для общего гиперболического и волнового уравнения, за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого (1949), O.A. Ладыженской (1950) и В.А.Ильина (1957-1960). Наиболее точные условия существования классического решения смешанных задач для общего гиперболического уравнения установил В.А. Ильин (1960) для произвольной нормальной области.

Однако исследованию этих проблем для несамосопряжённых дифференциальных операторов посвящено, сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряжённых операторов. Хотя и относительно этой проблемы также появились достаточно много работ, (см. например, работы Я.Д. Тамаркина (1917), В.А. Ильина (1976, 1983,1986), М.В. Келдыша (1951), В.Б. Лидского (1962), М.Г. Крейна, И.Ц. Гохберга (1965), М.А. Наймарка (1969), А.Г.Рамма (1970), Н.И.Ионкина (1977,1979), М Исмати и имеющуюся там библиографию).

Выдающимся вкладом в науку являются работы В.А. Ильина по спектральной теории несамосопряжённых дифференциальных операторов, выполненные им, начиная с 1975 г. Этим работам предшествовали известные работы М.В. Келдыша, в которых для широкого класса краевых задач установлен факт полноты специально построенной системы собственных и присоединённых функций дифференциального оператора, (такую систему Келдыш назвал канонической).

Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными. Во введении дается краткая историческая справка рассматриваемых вопросов, обосновывается актуальность темы и приводится краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В первой главы доказывается существование классических в смысле В.А. Ильина решений несамосопряжённых (нелокальных) смешанных задач для уравнения колебаний мембраны.

В первом параграфе первой главы дается определение обобщенной производной пространства Соболева 1¥-1 с целыми / и теоремы вложения.

Этот параграф носит вспомогательный характер. Однако основные результаты диссертации сформулированы именно для этого пространства Соболева с целыми порядками частных производных /.

В втором параграфе первой главы дается постановка следующей нелокальной (несамосопряжённой) задачи: ип(х,у,() = Аи(х,у,1)+/(х,у,0, {х,у,1)е <2г=^х[0,:Г] и(х, у,0) = <р(х, у), и{ (х, у,0) = у/(х, у), (х, у) е Я х Я; Я = [0;1] (1.2.1) £/(0,у,*) = 0, их (0,у,0 = их(1,у,0, у е Я,I е [0,т], и(х, 0,0 = 0, 1/у(х,0,г) = иу(х,и), хе[0;фе[0,Г] 5

Рассмотрим следующую редукцию этой задачи:

U(x,y,t)=V(x,y,t)+w(x,y,t) , (1.2.2) где V{x,y,t) и w{x,y,t) являются решениями смешанной задачи (1.2.1) при f{x,y,t) - 0 и ненулевых начальных функции и при f{x,y,t) ^ О (р{х,у)= 0, у/{х,у)- 0 соответственно.

Задача (1.2.1) является нелокальной смешанной задачей. Кроме того, она является несамосопряжённой задачей в силу граничных условий.

В третьем параграфе первой главы для двухмерной квадратной области R2 = R х R = (0;1) х (0;1) находится последовательность собственных и присоединённых функций нелокальной (несамосопряжённой) задачи для уравнения Лапласа

А ¿>(х, j) + Яг9(х, .у) = 0, (х, у) е R х R у) = (О»у)- (l>У)> = (1.2.6) $(х,0) = 0, Зу(х,0) = &у(хД), хеД и сопряжённой к нему задачи

Y(x,y)+ZY(x,y) = 0, (x,y)eRxR

Yx (1, у) = 0,7(0, у) = 7(1, у), у <=R = [0,1], (1.2.7)

Y у (хД) = 0, F(jc,0) = Y(x Д), xeR,

В дальнейшем будем обозначать Y(x, у) = Z(x, у)

Мы сохраняем во введении те же самые номера формул, как в самих главах 1 и 2 диссертации).

Отметим, что всюду в рассматриваемой диссертации мы основные результаты сформулируем для основного квадрата R2 =(0;l)x(0;l), однако перенесение их для произвольного квадрата Ra = [0;<я]х [0;я] или прямоугольника R ь [0; а] х [0; b] не предоставляет трудности. А в этом

параграфе мы приводим некоторые результаты из работы [24] (Исмати М). 6

Сперва отметим, что смешанные задачи (1.2.6) и (1.2.7) при п=2 (вместе с 1) впервые были рассмотрены в работе [24] М. Исмати. Кроме того, смешанные задачи вида (1.2.6) и (1.2.7) для уравнения теплопроводности были рассмотрены и подробно исследованы в работах Н.И. Ионкина [21].

Известно [24], что собственные значения и собственные функции задачи (1.2.6) имеют вид

Л0 = Л0,0 = °> Лк,т = (27ГТ + (2 Л7п)2, $0 = 1900(х,у) = х• у, &кт = $'т2клх• $т2тлу. (1-3.1)

Последовательность собственных функций (1.2.8) не образуют ортогональную систему, и эта последовательность не образует полную систему и базис в пространстве Ь2{КхЯ). С этой целью, следуя работе В.А.

Ильина [15] дадим следующее

Определение 1. Под собственной функцией задачи (1.2.6), отвечающей собственному значению Я, понимается не равная тождественно нулю функция &(х,у), которая принадлежит классу С1 (п)п С2(п), £1 = Ях Я и является регулярным решением задачи (1.2.6).

Аналогично под присоединённой функцией порядка р (р=1,2,.) отвечающей тому же Я и собственной функции &(х,у), понимается вещественная функция 3(х,у), которая принадлежит классу С1 (п)п С2(п) и с точностью до ненулевого постоянного множителя Р является регулярным решением уравнения и удовлетворяет граничным условиям задачи (1.2.6) (явный вид постоянной Р указывается ниже).

Известно [24], что задача (1.2.6) имеет следующие присоединённые функции: $2к,2т-\У) = &к.т (Х> у) = SÍn 1пкхУ C0S 1т $к,т (Х> У)=Х COS 2кяхSÍn 2™Щ> = $2к-\,2т (*» у) / ч (1-3-2)

2k-\,2m-1(*» >0 = «^т \Х> УУ= Х C0S 2клХУ COS ^ где &ктсоответственно удовлетворяют уравнениям

Ь§к^+ЛкАЛх>У) = рАЛх>у1 (рт =-4лт\

4 = -4^), (1.3.3) и

А&к,т + Л, Д(*> У) = ^Д.» + (*> у), ™ = 1,2,.)

Отметим, что при к,т= 0, то есть при Я = Л0 0 =0 и Р ^ 0 (например, при Р = 1) присоединённая функция i90 0 (х, у) не существует.

Систему всех собственных и присоединённых функций задачи (1.2.6) переобозначим следующим образом: $0,0 = Х'У, ^2k,2m (*» у) = sin 2^sin 2типу = $кт т = $2к,2т-\ = SÍn 2я*Ху COS 2/ZWy,

Vi,2m =xcos27tkxsin27miy = 3k>m (1.3.4) к,т ~ &гк-\,2т-\ ~ х со^2тткху со^2типу

При этом видно, что при к,т> 0 каждому собственному значению Хкт соответствует одна собственная и три присоединённые функции.

Собственные значения и система собственных и присоединённых функций задачи (1.2.7) имеют вид:

Яо,о = А0,о = 0, Лк,т = Лк>т = (2к)2 + (2тл)2,

Z0>0 = 2x2, &2kh2mx(x,y) = 4cos2k7Dc4cos2m7iy = Z2kl2ml (1.3.5)

Z2ki2m-i(x>y) = 4(1 —x)sin2A:^x4cos2m^v = Zk,m

Z2kU2m(x,y) = 4cos2k7Dc4(\-y)sm2m7¡y = Zk>m,

22к2т (*» у) = 4(! - х)в1п 2Ьх4(1 - у)&ш 2тлу = . где присоединённые функции = г2кг2т1} гку1П = г2к12т,%кут = г2к2т соответственно удовлетворяют следующим уравнениям: мк,т+лк,т гк,т = ркгк,т, (1.3.6)

1.3.7) и к,т + \т = + Рк^к,т ' (1.3.8) и граничным условиям задачи (1.2.7). Имеет место

Лемма. Последовательность собственных и присоединённых функций задачи (1.2.6) и сопряжённой к ней задачи (1.2.7) образует биортогоналъную систему функций в Ь2 (От), то есть удовлетворяет соотношениям:

О' УЩ,т У^хс1У = ды ' $пр где 6кп и 8пр -символы Кронекера.

Теорема . Последовательность функций \&ккгт {х, ,у)}^т=0 определенная по формулам (1.3.4), образует базис в пространстве £2(С)т) и для \/ф{х,у) е Ь2{^Т) имеют место неравенства где с=0.9, С=272, то есть последовательности функций { &кт(х,у) и ( гкт(х,у) Укт

0 образуют базис Рисса в пространстве Z,2(QT).

В четвертом параграфе первой главы методом Фурье для решения смешанной задачи (1.2.1) при /{х,у,{) = 0 найдено следующее выражение:

V{x,y,t)= Z k,m=l p2k-\,2m-l COS JX^t + У/2к-Х'2т-1 Sill jA^t

VЛк,т

X$2k-l,2m-l(X>y) +

Ф2к,1т-\

Pkt(P2k-\ ,2m—1

Pk fy lk,2m-\ + n % V/2k-l,2m-l+ ~ %.k-\,2m-\ k,m cos X

Plk-blm

PJ

2Я,

2k-\,2m-\ k,m

2m k,m

Pm PJ

2k-\,2m-\ ^ 1Г^2к-\,2т-\

2JL ' " 2 k,m

Plk,2m COS iH—^— SinJjL„t + з

2Я2

2m-\ k,m 2 P—Y2k-\,2m-\ Г1— \Pm<P2k,2m-\ + Рк<Р2к-\,2т)~ cos( P„ r

K,m 1 дД

YN Л

4f2k,2m-\ V2k-\,2m-\

2Я,

Pm

Угк-ХЛт + 2Д k,m

PkPj

4A3/2 k,m

W2k-\,2m-\ PPt fltt-tfm-l Sin^k,m4—ff— <P2k-\,2m-\ C0^\mt +

4 A, k,m

W2k-\,2m-\ fekji

1.4.44)

•sin^V) sin

2Я;

3/2 'k,m

PmV/2k,2m-\ + PkV/2k-\.2m +

4к,т^Лкт $2к,2т(Х>У) где (ИЛ 2^-1,2m-l),. ,^2*>2|И J/) - (y/(x, y),Z2klm )

-коэффициенты биортогонального разложения начальных функций ср(х,у) и y/ix,у) по биортогональной системе Zk m{x,y) .

Следуя работе [15], дадим следующее определение. Определение. Функцию У(х,у,{) из класса С1(ог)пС2(рг) назовём классическим решением смешанной задачи (1.2.3), если:

1. она удовлетворяет внутри области <37 однородному уравнению колебаний мембраны;

2. удовлетворяет начальным и граничным условиям задачи (1.2.3) в обычном классическом смысле.

Пятый параграф первой главы посвящается обоснованию метода Фурье для классического в смысле В.А. Ильина решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного уравнения колебаний мембраны. Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.5.1. Пусть начальные функции несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.3) удовлетворяют следующим условиям:

1. функция (р{х,у) имеет в прямоугольнике Я = [0,1]х [од] непрерывные производные до третьего порядка, интегрируемые с квадратом производные четвертого порядка и функции, (р и Д<£> удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.3) в обычном смысле;

2. функция у/{х^у) имеет непрерывные производные до второго порядка, интегрируемые с квадратом производные третьего в Я и у/,/±у/ удовлетворяют краевым условиям задачи (1.2.3).

Тогда для любого отрезка времени ? е [0,7"] сумма биортогоналъного ряда (1.4.44) дает классическое в смысле В.А. Ильина решение смешанной задачи (1.2.3). При этом ряд (1.4.44) и ряды У(, Уп (/ = 1,2), полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по сходятся абсолютно и равномерно во всей замкнутой области Лх[о,т] = От. Кроме того, ряды, полученные из (1.4.44) двукратным почленным дифференцированием Ух(, V (г, у = 1,2) сходятся абсолютно и равномерно в любой строго внутренней подобласти <2'Т с Qт при / > 0.

В шестом параграфе первой главы находится формальное решение несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.4) . Это решение имеет вид

-и{х,у,Г) =

040 г

0,0 {х,у)+ I к,т=1 к,т 0

2к-\,2т-\ + Л

1 //2^2л»-1 (0+■-7=1/2^1,2^-1 - ■ ьтЩ - т^т]^^(х, у)+

0 V)

1/2А:-1,2т(Т)+ 1/гА:-1,2т-1 ' к,т 0 V°

• бш л/я(т - /г)с//г)з т -\/я(У - (х, .у) + I

М+-7тМ(/2*

Л1Лк,т 0 -7== 1/2^-1,2^-1 &) • вт л/я (Л - \ )акх к,т 0 у 7*

• вш л/А (г - Н^ЛИ + 1(/2а1>2т (/г)+

У к,т 0 к Л л/Я(т - щак- зш л/1(* - г)Л-К,2и (*, 4

1.6.22)

Здесь же доказано существование классической в смысле В. А. Ильина смешанной задачи (1.2.4)

Теорема 1.6.1. Пусть плотность вынуждающих сил /{х,у,{) удовлетворяет следующим условиям:

1. функция /{х,у,{) имеет в области Ог = Ях Я х [О,Т] непрерывные частные производные до второго порядка,интегрируемые с квадратом производных третьего порядка;

2. она такова, что функции lsf{x,y,t) для всех t е [О, т] и х,у) g Rx R по переменным х и у удовлетворяют граничным условиям задачи (1.2.4). Тогда ряд (1.6.22) и ряды, полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по t, сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области QT = RxRx [О,T],а ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием по любим переменным х, у, и t сходятся абсолютно и равномерно в любой подобласти 0'Т - О.' х (0,Т] области QT при всех t> 0. При этом сумма ряда (1.6.22) определяет классическое решение смешанной задачи (1.2.4) в смысле В. А. Ильина.

Замечание 1.6.1. Условия 1) и 2) теоремы 1.6.1. могут быть обобщены следующим образом: Достаточно потребовать, чтобы Ж е W2 \Qt) и по л; удовлетворяла соответствующему краевому условию в обобщенном смысле (то есть в среднем). Аналогично обобщаются и условия, наложенные на функции (р и у/ в теореме 1.5.1.

В седьмом параграфе первой главы дается обоснование метода Фурье для классического в смысле В.А. Ильина решения несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.1).

Методом Фурье для решения смешанной задачи (1.2.1) получим следующее выражение

U(x,y,i) = V(x,y,i)+w(x,y,t), (1-7.1) где V(x,y,t), \v(x,y,t) соответственно определяются по формулам

1.4.44) и (1.6.22 ). Основным результатом этого параграфа является

Теорема 1.7.1. Пусть начальные функции (р{х,у),у/{х,у) и правая часть f(x,y,t) задачи (1.2.1) соответственно удовлетворяют условиям теорем 1.5.1 и 1.6.1. Тогда ряд (1.7.1) и ряды, полученные из него однократным и двукратным почленным дифференцированием по t, сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой области

От =Пх (о,Т\ Q = Rx R, а ряды, полученные двукратным почленным дифференцированием по любым переменным х, у и t сходятся абсолютно и

13 равномерно в любой подобласти Q'T с f2'x [0,Т\ области QT при всех t > 0. При этом сумма ряда (1.7.1) U(x,y,t) определяет классическое решение несамосопряжённой смешанной задачи (1.2.1) в смысле В. А. Ильина.

В восьмом параграфе первой главы найдено формальное решение сопряжённой к задаче (1.2.3) смешанной задачи (1.8.1). Решение задачи дается формулой (1.8.36). В пункте 1.8.2 доказывается существование классического решения сопряжённой смешанной задачи (1.8.1). А именно, имеет место

Теорема 1.8.2. Пусть в задаче (1.8.1) функции <р(х,у) и у/{х,у) удовлетворяют следующим двум условиям:

1. функция (р{х,у) имеет в прямоугольнике Q = RxR обладает непрерывные производные до третьего порядка и интегрируемые с квадратом производные четвертого порядка и такова, что функции ср и А(р в классическом смысле удовлетворяют граничным условиям задачи (1.8.1).

2. функция у/(х,у) в области Q- RxR обладает непрерывные • производные до второго порядка включительно и такова что у/, А у/ в классическом смысле удовлетворяют граничным условиям задачи (1.8.1). Тогда ряд (1.8.36) дает классического решения смешанной задачи (1.8.1).

В девятом параграфе первой главы найдено выражение для формального решения смешанной задачи (1.9.1). Здесь же в теореме 1.9.1 дано обоснование метода Фурье, это - формула (1.9.14) для классического решения смешанной задачи (1.9.1). Имеет место замечание 1.9.1 относительно обобщения условий разложимости в теореме 1.9.1. Имеет свою силу замечание 1.6.1 из главы 1.

Наконец, в десятом параграфе первой главы найдено формальное решение общей сопряжённой задачи (1.10.1) и дано обосновании метода Фурье для классического решения этой задачи (Теорема 1.10.1).

В пункте 10.1 главы 1 найдено выражение для решения смешанной задачи 1.2.4 при /(х, у, t) = /(х, у)

В второй главе диссертации доказана единственность классического решения рассматриваемых задач и получены некоторые априорные оценки в нормах пространства Ь2 и . Из этих оценок в частности, следует устойчивость решения, и в конечном итоге, корректная разрешимость рассматриваемых задач.

В первом параграфе второй главы доказана единственность классического решения смешанной задачи (2.1.1). А именно, имеет место

14

Теорема 2.1.1. Пусть выполнены все условия теоремы 1.7.1. Тогда задача (2.1.1) имеет не более одного классического решения.

В втором параграфе второй главы найдено выражения для формального решения задачи (1.2.4) из главы 1 при f(x,y,t) = f(x,y).

В третьем параграфе второй главы получены априорные оценки для решения неоднородного уравнения при f(x, у, i) = f{x, >>), из которых, в частности, следует устойчивость задачи (точнее, непрерывная зависимость решения, от правой части в норме пространства L2). А именно, имеет место Теорема 2.3.1 .Длярешения w(x,y,t) задачи (1.2.4) из главы 1 при f(x,y,t) = f(x,у) справедливы следующие двухсторонние оценки

-""'■sH'.y.Olls J^ll/ll (2-3.1)

МК " " " " V т

2 , л ti4 где, т = 0,9, М = 272, К = Л} + А2Т + А3Т , а положительные постоянные А1,А2,А3 определены (см. формулу (2.4.8)).

При этом, для решения задачи (1.2.4) при f(x,y,t) = f(x,y), получено следующее выражение вида (2.2.4). Кроме того, имеет место

Теорема 2.3.2. Решение смешанной задачи 1.2.4 из главы 1 при f(x,y, t)~ f {х, у) непрерывно зависит от правой части уравнения f (х, у).

В четвертом параграфе второй главы получены априорные оценки для решения сопряжённой смешанной задачи (1.9.1) для неоднородного волнового уравнения. А именно, в пункте 2.4.1 найдено выражение (2.4.1) для формального решения задачи (1.9.1). В том числе имеет место

Теорема 2.4.1. Для решения сопряжённой смешанной задачи (1.9.1) имеют место оценки

C~l J f(x, у, f! 2 dt < I и(х, у, фс J f{x, у, 2 dr (2.4.2) \МС% [л 7 оа2 где С = д-а сз =тах-^—а \\-\\-есть норма в

V т [2 А,л I пространстве Ь2(0), О = (0Д)х(ОД).

В частности, из оценки (2.4.1) следует непрерывная зависимость решения смешанной задачи (1.9.1) от правой части /(х,ув норме пространства

Ь2 (или устойчивость задачи (1.9.1)).

Для формального решения смешанной задачи (1-9.1) при /(х,у^) = /(х,у) получено выражение в виде (2.4.5).

В пятом параграфе второй главы получены двухсторонние априорные оценки для решения смешанной задачи (1.2.3) для однородного волнового уравнения в нормах Ь2 (ЯхЯ )через начальные функции. Из этих оценок, в частности, следует устойчивость решения, и с учетом результатов диссертации и корректная разрешимость соответствующих несамосопряжённых смешанных задач.

Наконец, в шестом параграфе второй главы получены априрорные оценки в норме пространстве для решения смешанной задачи (2.6.1) для неднородного уравнения при /(х, 0 = /(■*) •

1.Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. "Наукова думка", Киев. 1965, с.798.

2. Birkhoff D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations.//Trans.Am.Math.Soc.,v.9, 1908, c.373-395.

3. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, M., Наука, 1971. с.512.

4. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных не самосопряженных операторов. М.: Наука, 1965, с.448.

5. Ильин В.А. //ДАН СССР,-1957, т.115,№4, с.650-652.

6. Ильин В. А. О равномерной сходимости разложений по собственным функциям во всей замкнутой области. //Матем. сб,-1958, т.45,№2, -с. 195232.

7. Ильин В. А. Достаточные условия разложимости функции в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям//Матем. сб.-1958, т.46, №1, -с. 3-26.

8. Ильин В.А. //УМН.-1958, В.13, №1,с.87-180.

9. Ильин В.А. // Успехи матем. наук , 1960, т.15, №2 (92),с. 97-154

10. Ильин В.А. О разрешимости смешанных задач для гиперболического и параболического уравнений .//Успехи мат. наук, I960, т. 15. в.2, с. 98-115.

11. Ильин В. А. //ДАН СССР.-1966, т. 170, .№2. с. 257-260.

12. Ильин В.А. //ДАН СССР.-1967, т.177, №2. с.258-260.

13. Ильин В.А. //УШ.-1968, В.23, №2, с.61-120.

14. Ильин В. А. Позняк Э.Г. Основы мат. анализа. -М: Наука, 1973 ч.2.

15. Ильин В.А. //ДАН СССР. 1976.,т. 227, №4, с.796-799.

16. Ильин В. А. // Труды МИАН, 1976, т. 142, с. 143-155.

17. Ильин В. А Дифф.Уравн., 1980,т. 16,№5,с.771-794.

18. Ильин В. А. //ДАН СССР, -1983, т. 273, .№5,стр. 1048-1053.

19. Ильин В. А. //Дифференциальные уравнения, 1986, т. 22, .№12, с

20. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, .№2, с.294-304

21. Ионкин Н.И. //Дифференциальные уравнения, 1979, Т.15,№7, с.1279-128.

22. Исматов М.И. О разрешимости некоторых неклассических смешанных задач. //ДАН Тадж. ССР, 1982, т.ХХХУ, № 9, с.519-522.

23. Исматов М.И. Решение одной смешанной задачи с неклассическом краевым условием. //ДАН Тадж. ССР, 1985, т. XVIII, № 8, с.427-430.

24. Исмати М.( Исматов М.И). Об одной несамосопряженной задаче. //ДАНТадж. ССР, 1985,т. XVIII, №11, с.619-622

25. Исматов М.И. О разрешимости неклассических задач. //Изв. АН Тадж. ССР, Душанбе, 1986, № 3, с.3-10.

26. Исматов М. Обратная задача расеяния в теории упругости. //Всесоюзный журнал "Диф. уравнения ", Минск,1988.Т. 24,№9, с. 1586-1591.

27. Исматов М. Смешанные задачи для дифференциальных уравнения в частных производных 2-го порядка. //ДАН Тадж.ССР, 1989, т.ХХХП, №3, с. 159-162.

28. Исмати М. Решения одной не самосопряженной задачи теории теплопроводности.//Тезисы докл. Респ. научно-прак. конференц. ИПС, Душанбе,1996. с.163-168.

29. Исматов М. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти. //Материалы республиканской научно-практической конференции. "Проблемахои тараккиети иктисодй ва ичтимоии Точикистон", ИПС, Душанбе, 1997, с.222 225.

30. Исматов М. О матрицах Грина второй и третьей смешанных задач теории упругости //Тезисы докладов научно- практической конференции. ИПС, Душанбе, 1998, с.77-79.

31. Исмати М. Решение одной несамосопряженной смешанной задачи с нелокальным краевым условием. Душанбе ИПС, «Паем» , 2000, №5, с. 117-130.

32. Исмати М. Решение одной сопряженной смешанной задачи для уравнения колебаний струны. Душанбе ИПС, «Паём» , 2000, №5, с.130-140.

33. Исмати М. О некоторых несамосопряженных смешанных задачах математической физики. //Проблемы математики и информатики, Душанбе, ИПС, 2001г.,с. 17-30.

34. Исмати М. Об одной сопряжённой задаче теории теплопроводности //Проблемы математики и информатики. Душанбе, ИПС, 2001г.,с. 37-45.104

35. Исматов М.И. О единственности решения одной сопряженной смешанной задачи для уравнения колебаний струны . //ИПС, «Паём», № 6, 2001, с.154-158.

36. Исмати М. О некоторых самосопряженных и несамосопряженных смешанных задачах математической физики. (Автореф. дисс. на соиск. уч. степ, д.ф.м.н) .,Душанбе, «ОМУ», 2003. с.29.

37. Исмати М. Решение общей несамосопряженной задачи // ИПС,Пайём, №8, 2002, с.230-232.

38. Исмати М. Разложение по собственным и присоединённым функциям одной многомерной несамосопряженной задачи // ИПС, «Паём» , 2004, №11, с. 5-7

39. Исмати М. Об одной многомерной несамосопряженной задачи теории теплопроводности. //Доклады РАН, 2004, том 395, №5.

40. Исмати М. О некоторых несамосопряженных смешанных задачах теории теплопроводности. // «Диф. Уравнения», Минск, 2004, том 40, №7,с. 1-14.

41. Исмати М., Махмадуллоев З.Н. О корректной разрешимости несамосопряженных смешанных задач для уравнения колебаний мембраны. // Вестник (Паём) института предпринимательства и сервиса, 2007, №16,с.34-38.

42. Исмати М., Махмадуллоев З.Н. Априорные оценки. Корректная разрешимость смешанных задач для уравнения колебаний мембраны. // Известия АН РТ, Душанбе, 2007, № 3. с.7-15.

43. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений.//ДАН СССР,-1951. т.77, №1, стр. 11-14.

44. Кенджаев И.К.//ДАН СССР,1968,т. 181, №6,с. I3I7-I3I9.

45. Красносельский М.А., Пустыльник Е.И. //ДАН СССР,-1958.-Т. 122, .№6, с. 978-981.

46. Ладыженская O.A. //ДАН СССР.-1954.,Т.97, №63.с. 395-398.

47. Ладыженская О.А.//ДАН СССР, 1955,т. 102,№2,с. 207-210.

48. Ладыженская O.A. //Матем. сб.1958, т. 45 (87), №62.,с.123-158.

49. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М.,Наука,1967

50. Левитан Б.М. Разложения по собственным функциям. ГИТТЛ. Москва-Ленинград, 1950, с. 159.

51. Левитан Б.М. //ДАН СССР,-1955, т. 102, №6, с.1073-1076.

52. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных,М. :Наука,-1976.,с.391 .

53. Михлин С.Г. Курс математической физики., М. Наука, 1968.,с. 575.

54. Михлин С.Г. Курс математической физики., М.:Наука, 1968.,с.575.

55. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. Перевод с италянского. М.1957.,с.256.

56. Махмадуллоев З.Н. Решение одной несамосопряженной задачи для неоднородного уравнения колебаний мембраны.| // Вестник (Паём) института предпринимательства и сервиса, 2005, №13,с.62-65.

57. Махмадуллоев З.Н. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения колебаний мембраны. //ДАН РТ, 2006,№3 том 49, с.215-220 .

58. Махмадуллоев З.Н.- Априорные оценки для классического решения одной несамосопряженной задачи //ДАН РТ, 2011, т.54, №12, с.969-976.63 .Наймарк М.А. Спектральный анализ несамосопряженных операторов//УМН, 1956, т. 11, вып.6, с. 183-202.

59. Наймарк М.А. Линейные дифф. операторы.М.: Наука, 1969., с. 526.

60. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными -М.: 1961, с.400.

61. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений -М. :1965.

62. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка., Минск, Изд. БГУ,1974,с. 232 .

63. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики, М:наука, 1975, с. 127.

64. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М: т.2,1958, т.З. ч.2,1958, т.4-5.

65. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.,М.: Наука, 1966. с.443.

66. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.,М.:Наука, 1988,с.336.

67. Стеклов В.А. Общие методы решения основных задач математической физики. Докторская диссертация. Харьков, 1901, с.291 .

68. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. 2-е изд.М.,1983,с.432.

69. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.,,Петроград, 1917.

70. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М. Наука, 1977.С.735.

71. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М. Наука, 197,с.285.

72. Титчмарш Э.Ч. Разложение по собственным функциям связанные с дифференциальными уравнениями второго пордка. т.1, ИЛ., Москва, i960; т.2. ИЛ.,М., 1961,с.555.