О методе воспроизводящего ядра построения кубатурных формул тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

СЛК;?-ГЕ7Е?пУРПСК'Ий ГССУЯ^РСТЕПгКУК ¿"КНРЕГСИ'^ЕТ

На «разах рукописи

Хамед Али АКЗЛО

О !.ЕТСДЕ BOCnFOHœOÂ'i^jn) ЯДРА

постгеккш куелгурнух формул

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертаций на соискшма учено!! степени кандидата физико-математических наук

1991

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математико-механическсго Факультета Ленинградского (Санкт-Петербургского) государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ПУСОВСКИХ 'Левая Петрович.

Официальные оппоненты; доктор физико-катематических наук, профессор ПОЛСВИНКИН Владимир И;;ьич; кандидат физико-математических каук, доцент ШЙМЛРЕНКО Аркадий Кузьмич.

Ведущая организация - Велогусск;*^ государственный университет.

Защита диссертации состоится "

1991 г. в ^Л-Г _час. на заседании специализированного

совета Д-063.57. £0 по аэп^те диссертаций на соискание ученей егепенк доктора физико-математических наук в Санкт-Потзрбургском университете по адресу: 198904,.Санкт-Петербург , Старкй Петергоф. Библиотечная плоцад*, д. 2. Иьтештихо-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского университета.

Автореферат разослан уУ" е-А Г-С (/.Л 1991 г.

УЧЕ1ШЯ СЕКРЕТАРЬ специализированного совета Д 063.57.30, доцент

Ю.А.Суиков

3.

ОЩАЙ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

Актуальное1! ;> темы. Приближенное вычисление опр_,дленных кратных интегралов с помочь а кубатурних формул иирок-э используется и практике сь,-численн;1, поэтому задача построения кубатурних формул -жтуольна. ,1у!л решения атоП задачи известна различные ¡.хтиды, Один из лих -- метод воспроизводящего ядра, предломмнкй И Л..Лисовских а 1263 г., применялся рядок авторов в случае наиболее распространенны* областей интегрироза-ния: куб, симплекс, пар, сфера. Представляет интерес продолжение работ этих евтероа а двух направлениях: построение новых ку:Гатур:а-:х формул и выяснение свойстз вос^рэизЕодяшкх ядер, в частности, для шара и сфсры.

Цель работы. Построение куОЧгурных формул методом воспро-нзгодяцего чдра для куба-, симплекса, ыара к с|еры.

Научна" новизна и практическая ценность. Построены новые кубатурные формулы, которые наЛдут применение в практике вычислений. Установлены свойства воспроизводящих ядер в случае шара и сф-таы, которое облегчает применение метода воспроизводящего ядра.

Анпобапич рпботн и пуЗликапии. Результаты диссертации до-клодклались на семинаре ка^сдри вычислительная математики ка-тематико-кехандчеекого факультета Ленинградского университета и отречено! в двух находящихся в печати статьях.

Структура 1: об'ьем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов, списка литературы из 20 наименований и содержит 131 стр. машинописного текста, включая 10 таблиц и 2 рисунка.

СОД&РЗДСЕ РАБОТЫ

Ба сведении дано краткое изложение истории развития метода воспроизводящего ядра и основных результатов, полученных в диссертации.

В первом парагра^о даются' некоторые) определения и теоремы из теории интерполяционных кубатурных форлул, используемые в

диссертации. Е частности, приведены теоремы, которые дачт нижние грн.чг.цц для числа узлов куСатурпой формулы, точной дли многочленов степени ие выэо >п- , % теоремы о метода воспроизводящего ядра построения куйатуриых йоркул.

Пусть Л - множество из Я" и р'.х.), где х = ( Хп) - неотрицательна;? при П функция. В векторном пространстве многочленов от л- переченних % , ... , с вьще-стЕенкьмл коэффициентами введем скалярное произведение

(Ч, у) = /?<*)У(*)У<ы ¿X , Уе

<_ у»

Пусть )г](х):;г1 - ортоноркировонная относительно этого скалярного произведения система многочленов. Многочлен

К(и.х)^ Г/и;^; , .ы "

гдэ г/ , * =

эазискт от Ип, переменных и , х' . янлястся воспроизводящие ядром в векторном пространство многочлзьов от п, переменных степсы. не вьие к определяется множеством ¿2 и функцией ?(*).

Если ¿2 обладает центральной симметрией относительно 9 = (О, .... 0) и р«>«= Р»'-з:> при хе & , то ыногочлен

где птркх у знака сушы означает, что суммирование ведзтел'ло тем ^ , которым отвечают многочлены Сх), имеющие одтш:о-вуо с к четность. Многочлен Кк(и'Х) «влкется воецро^водк-щш ядром б векторном пространстве многочленов степени не выше к I имеющих с к одинаков/в четность.

Эо а то ¡том параграфе раесыатризастсл построение ортонормированию: многочленов по вше третьей степени для гиперпг.ра Вп, * {х с Да/21?,| й {| . Откетим, что ортоиорииро-

ванже многочлены до второй степени получил М'злпер. Сртонорми-роззкная система ыкогочлеьов трзтьей "Л"-;пени имеет следующий вид

ц

I сп: з- 7)7 ' ¡V 1 ■ г л"! • •

' I' 1 л

а) ■ г—=—

где о , )» "^У'1 •

Полнены та&кв воспроизводите ядра Кк(и,х) Для дара при К » 1,2,3:

К; (К* ) - + ЩЦ- ^

'М1''' Ч ¿*1 ¿<}<к

+ («■■"•Ни*) ¿К*к(1>(и,х)- § К**)] <

гдв С*.«- ГК+х?) •

В силу равенства

Кк(и,х)*> Кк(и,х)+ К^и.х) ,

«=1,2, ... , где К1,(и1х)= -уУ"'^) , получаем также вос-произеод'1п;ие^ядра при к = 1,2,3. Отмзтмч, что полу-

чение ядер /(к(и,х:> . К = 2, 3 потребовало больших по объему вычислений. г

Обозначим через 5 ^ сферу в Я- с центром в начале координат и радиусом I:

г-1 1

Если и € , то воспроизводящие ядра Кл(и.х) и раз л а гад гея в произведение лмич-иш« ыножитзлбй от одной переменной 2Г.-1', • Это утьормдение в диссертации доказано при К = 21 '3 и любом я. , а такке при /г = I и любом к Б частности,

дат) -

Отметим, что разложимость Кг(и,лпри и £ на линейнш множители от доказала Г.Н.Гегель.

Беедем обозначение

, ..... .

Если V- £ , то имеет место равенство

У.

-mm«*) -

где ei =(n-l)/g и гп Li 1 - приведенный ультрасферический многочлен степени т. (ортсгонздьт^ относительно веса

и промежутка ["-I, 1] ). Это утвердзенкэ для &тШ,х) в диссертации доказано для m = 1,2,3,4 при любом п. . а также при I й л^бом /п. .

3 '3 речь идет о построении воспроизводящих ядер для случая сферы S, j и "еса Р(х> = I. Рассмотрены те же вопросы, что и в Ç2.- Получена ортонормипованчоя система >•■ мго членов не BLc:e третьей степени и с их по."оа;ьо указаны выражения для воспроизводящих ядер 'Kjv, -е.) , Кк!М,'Х) при К = 1,2,3. Существенна моментом явллется тот факт, что сфера не имг-ет внутренних точек и число линейно независимых много4яе:гав стечз-ни на выше к , рассматриваемых как функции на S^.j , равно

Если íí¿S„.¡ и х t , то воспроизводящие ядра Khíu,x), Kx(u¡x ; разлагаются на линейные множители от переменно;!

T-W^i • Это утверждение доказано при = 1,2,3 и л-обом п , а такяе при )Ъ=> 2 и лю^ом К , Положи Нм(и,х)" K.¿u,x)-Kn.1(ii,x)t m-« 1,2,3..чЕсли и£ и xi • справедливо равенство

(*f,at )

гдо У. - (п-З)ул v¡ rfn.it) - приведенный улвтре.сф?ричес-кий многочлен степени /я. . Формула для }-\nJu,¿') в диссертации доказана при яг-» 1,2,3 и любом л , а также при л » 2 и лк,-бсм frv . ,

В §4 приведены результаты построения ку(!атурннх формул »етодом воспроизводящего ядра для шара и сферы Ç,,., . Через J обозначаем алгебраиччску» степень точности к^батурьоП

формулы - целое неоттетзтельпое число таксе, что куйатурнзя фермула соладеет J -С5о;4.ствоч и не облзд; т ( J+Í; -свойот-ьсг.1. Для mana 3{i посттюекы куЛзтуглгыа фортуны , у поторьх d = 2, о при любом п , d = 4, 5 при /ь = 2¿i}5, ¿-7 при 1 = 2, 3 а с/ - В при к-в 2.

Стает;;.м одно обстоятельство, кгсапшееся коэффлциентов по-луч81'ьах куботуркых фор%->л. Зсли узлы, отличные от , ... , 0>л> , ле.!сзт ка одной л тсй х;э eje ре с центром в начале координат, то го,: отвечают одкнакоше козЗДюишиты.

Кувбгурныэ фошута кл» сфер;; S,-¡.; в случае á = 5 при 1 = 3, 4 я а 7 при ^ 3 получил Г.П.Исматуллзвв. 3 §4 получек*» кубзтурные формулы, у котошх а - i при ^ - 3. 4, 5 ч 4 = 5 Яри Л-с 5. Выскззано предположение, что кубатурнаа формулы. у которых с! = 7 я о также d = S

а /метопом воспроизводящего ядра получить невозможно.

Г. £5 рвеомзтриьзетс;: построение куйатурных iop'.yz методом воепрогзлодлг.эго едра для куба Я'л= f-1, 1]'г и симплекса

. . %'^{xcñ^/éxjéi, X¿>,0 , j .

Je |

В кочегтве ортонормироэзнкой системы многочленов для куба К,t можно 2'ЗЯТЬ

п. л

<=i А

где . ... .с^/.) -мультшшцек«? п ) - нормиро-

ванный и згочлек Лежандра степени ю- , 0,1,2, ... .

Для квзцдатз получены кубатуракв формулы, имеющие с/ в Н и 15 и число узлоп 29 и 53 соответственно. Построены кубетурние формулы, у которых с? = 3, 5 при г:сбом я к число узлов lil к ¿n+Zn соответственно. Ига формулы реное были получены ¿даугшп метедгад.

Для симплекса 7J, поотроенз кубатур' чя-формула при ля-бок п, , у которой с/ в 2 и число узлов ¡гi-i . Гия треугольника 'Q Построеиг кубатуразя формула, имевшая d ^ 6 и число

узлоз II. Для симплекса "С полнена кубатуртая фзрмула, у которой с/ а 4 1! число углоз II, а такта а = С и число узлоз 30. Среди узлов последней формулы к.:ес?ся десять, которые ип принадлежат "[3 - к четьгрз коуффиг/.ента от^.:цл.тельны,

Сскоыпз результаты диссертации о.ражена в слодукдях ■ двух стульях, кагодлцихся з печати. Б куриал Ззсгч.:д ¿ГУ.

1. /¡ббас Х.А., ь!ысовсккх И.П. О методе воспроизведшего ядра построение кубатурных формул для гияораара и гиперсферы.

2. Ас б ас Х..А. Применение метода воспроизводящего ядра к построению кубатурных формул для куба и симплекса.