О методе воспроизводящего ядра построения кубатурных формул тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

—.. я ^

,•-."4 1. - *1

САКкТ-ПЕТЕРЕУРГСКИй ГССУЛ^РСТКлНЫ?. УКИВЕЕСИЖ?

На празах рукописи

Хамед Аля АКЗАО

О г.ЕТС^Е БОСПРОЙГБОдада"!} ЯДРА

ПОСТГОЭДИЯ-КУБАТУРНЫХ

Специальность 01.01.0? - вычислительная натечет..:

Автореферат

диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

1991

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики матаматико-механическсго факультета Ленинградского (Санкт-Петербургского) государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-и^. тематических наук, профессор МСОЗСК5Х Исван Петрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ПО^СЗЖИН Владимир Ильич; кандидат физико-математических каук, доцент ПОНОл!Л?ЕККО Аркадий Кузьмич.

Ведущая организация - Белорусский государственный

совета Д 063.&7'.£0 по защите диссертаций на соискание уче- . ноЯ сггг.енк доктора физико-математических наук в Санкт-Петербургском университете по адресу: 195904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф. Библиотечная площади, д. 2. Катештико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского униве"—

университет.

Автореферат разослан

УЧЕ1ШЯ СЕКРЕТАРЬ специализированного сопата Д С63.57.30, доцент

Ю.А.Супков

3.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

- Актуальность те.':ч-. Приближенное вычислений определенных кратньгх интегралов с помочь» кубатурных формул аиром ксполь-зуотсл в практор Еь.-числени!!, поэтому задача построения кубатурных формул -жтуольна. Дчп решения отой задачи известны раз-личике методы, Од-.'н .из них - метод воспроизводящего ядра, предложенный И.П.¡¿¡созеках з .1963 г., гржекялся рядом авторов в случая наиболее распростране!п-гъг/ областей интегрироза-нил: куб, симплекс, пар, сфера. Представляет интерес продолжение работ этих авторов з двух направлениях: построение новых ку:.'а?урних формул и выяснение свойств восг/рэизводяетх ядер, в чистностй, для пара и с-^сры.

Цель работы. Построение: куйЧтурных формул катодом воспро-изгодяцего ядра для куба, симплекса, шара и сферы.

Научна" новизна и практическая ценность. Построены новые кубатурные формулы, которые н^Лдут применение в практике вычисления. Установлены с-'зо!!стга воспроизводящих ядер в случае шлра и сферы, которые облегчают применение метода воспроизводящего ядра.

Апрэбацит работы и пуйликачии. Результаты диссертации до-кладилались на семинаре кафедры вычислительно:! математики ка-тематико-мехон/чеекого факультета Ленинградского университета и отражены в двух находящихся в печати статьях.

Структура к объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти параграфов, списка литературы из 20 наименований и содержит 131 стр. машинописного текста, включая 10 таблиц и 2 рисунка.

СОДЕРЖА] ¡ИЕ РАБ01К

Бо введении дано краткое изложение истории развития метода воспроизводящего ядра и основных результатов, полученных в диссертации.

В первом параграфа далтея' некоторда определения и теоремы из теории интерполяционных кубатурных формул, используемые и

диссертации. К частности, прязедаш.: теоремы, которые далуг нижние границы для числа узлов куСлтурмой формулы, точной для многочленов степени не zsiac >п, , у. теоремы о метода Еоспромзво,чя-щего ядра построения кубатурных ¿оркул.

Пусть Л - множество из Я," и р:х), где ее = ( ЛЯ) - неотрицательна при Л функция. В векторном пространстве fö многочленов от ъереченню: Xj , ... , жл с вещественными коэффк;изк?авд введем скалярное произведение

Cv, у) = о/р<х>¥<х)У<*> Jx , f, V £ tP,

^ Iго

Пусть iFj(x};;zl - ортоноркировгн.чая относительно этого скалярного произведения система многочленов. ¡.5ногочден

Kju.x)* tZ rjWifix) ,

J-1 * гдэ я(щ ,u£ ,1b) ,

зааискт от Zrb перемек;шх и , ас . является воспроизводящие ядро;.: в векторном пространства многочленов от п. переменных степени на вьпе к и определяется множеством SI и функцией ?Сх).

Если £2 обладает центральной симметрией относительно 9 (0, ... , 0) и р('-х> при :се Q , то многочлен

V

где птркх у я к ока сушы означает, что суммирование ведзгея по тем j , которым отвечапт многочлеки fj ix ~>, имеющие одгойао-вуо с к четность. Многочлен х) "влкется воспроизводящим ядром в векторном пространстве многочленов степени не выше к , имеющих с к одинаковую четность.

Зо втором napappfcifce раесыатрладстсл построение ортонорми-ровшшых многочленов нз визе третьей степени для гиперяара Вп, «■ [зс с i } ■ Откетим, что орюнормиро-

Ванные многочлены до »торс!; степени получил Мзлпер. Сруонорми-рсззкная система ьтогочлемв третьей -»¿пени имеет следующий вед

с-1

13)

£<*> =

Ч

г / ' т\ ( {-гЛ;г- •,<{

г з /А1 г л] ' • •

I ГЦ.' 3« с )!? Г <? < /-¿^ 9 V

ч ' Г * I ^

11) ,-5-

где ^ + , Д^) „ .

Получена та;«же воспроизводящие ядра г) Для шара

при К «. 1,2,3:

л

/''¿»л! 1*1

К[{и,х)

где ЭЛ.«;- + ¿(«и*?) •

/'1 1.-1 1-1

о.

В силу равенства

Кк(и,х)~ Кк(и,х)+ К^и.х) ,

к= 1,2, ... , где Кс,(и,зс)= 1//(Ьи') , получаем также вос-производичие^ядра при к = 1,2,3. Откатим, что попу-

чение ядер , К = 2, 3 потребовало больших по объе-

му вычислений. г

Обозначим через сферу в Я. с центром в начале ко-

ординат и радиусом I:

1 1*1

Если и 6 , то воспроизводящие ядра К^и.х) и разлагается в произведение линейных множителей от едкой переменной 2Г.1', • Это утворадеиие в диссертации доказано при К = 2, 3 и любом я. , а такке при 1=1 и любом к . В частности,

ля-) -

Отметим, что разложимость при и £ на линейнью

множители от Х^й гг,- доказала Г.Н.Гегель. Введен обозначение

йп(и,х.)шКп(и,х?-Кя_1(и,ж) , _____ .

Если и € , то имеет место равенство

7.

где p< ^ и j-^ (f) _ приведенный ультре.сферичес-

киЯ м:~югочлен степени т. (ортогонапьныЯ относительно веса (i-t£)* и промежутка f-I, i"] ). Это утверждение для G-m(.V.,r.') в диссертации доказано для т= 1,2,3,4 при любом п. . a также при (1= I и л^бо;-; уп,.

3 §3 речь идет о построении воспроизводящих ядер для случат сферы j и леса Р(х) = I. Рассмотрены те же вопросы, что и з Ç2. • колученп. ортонормированная система v мгочленов не выг:е третьей степени и с их помощью указаны выражения для воспроизводящих ядер Kj'h*-) , KkW,t:) при К = 1,2,3. Существенным моментом явлдется тот факт, что сфера Srl.l не имеет внутренних точек и число линейно независимых много^иенов степени нэ вше к , рассматриваемых как функции на S^.j , равно

Если KfSn-i и ж ' ^i-j > т° воспроизводящие ядра К*(и,х), j разлагаются на линейные множители от переменно!! ' Uî^c' • Это утверждение доказано при * = 1,2,3 и любом п. , а также при /г-= 2 и любом к .

Положи* Н1л(и,х)--> О. 1,2,3„чЕсли

и С S^j к х£ » "о справедливо равенство

.— (cfal )

н ln+*«~iM £ г >

^ (n-ijlj "Il ^(îa-i) № 7

, f\ (-<■■*)

где * 'n-D/z a rin.it) - приведенныЯ улотрссферический многочлен степснл m . Формула для HnL<и>*') в диссертации доказана лри пъ* 1,2,3 и любом п. , а также при Л » 2 и львом Уп. .

3 §4 приведены результаты построения кубатурннх формул методом воспроизводящего ядра да я шара и сферы .

Через с/ обозначаем алгебраическую стеяе/1Ь точности кубатурьой

формулы - цеьое нестр;;цзтельиое числя таксе, что кубатурнэя формула сблаксет с! -свойством и не сблзд; т ( -своНст-асм. Для шапз Вп постпоокы к.убзтуг.ннэ формуй; , у г.оторкх '

с! = 2, 0 при любом п , с/ = 4, 5 при И - 2(1)5, ¿-V кри я- - 2, 3 и </ ' 3 пря п- т 2.

Стглег;;-.т одно обстоятельство, кгсаишееся коэдащиентов полученных кубзтуркнх фору>л. 2сви узлы, отличные от ... , й}ю , ле.сзт ка одной и тсй же сфере с центром в начале координат, то их отвечгшт. одкнакоше коэффициенты.

Куййч-'/рныэ фотмуш-дл,» сфер« Ьд.,- в случае ¿ ^ Ъ при 1 = 3, 4 и а * 7 при л- г- 3 получил Г.П.Исг.атуллзеБ. В §4 получку ку5а7;урн:;е формулы, у которых с/ = 4 при п-- 3. 4, 5 ч 4 =■ 5 при 5. Высказано прегпэлокенке, что

ьубатурнив фср-^улн. у иоторих и п. ,>4, о также с! = 9

а метопом воспроизводящего ядра получить невозможно.

Г. £5 рссомзтриьаетсс построение кубзтурних формул методом воспрогалод/'тэго ядра для куба Кл= Г"1> « саишков

J—t

В коче¿71зе ортонормирозанной система многочленов для куба Кл можно взять

■ 1-М .

А

где ^ = ( , ... -мультминдекс п « ) - норкиро-

зетшЗ х эгочлек Ложандрз степени ж , - 0,1,2, ... .

Для квадрата получены кубатураие форм:/;,«, шзшае с/ 11 и 15 и число узлоз 29 и 53 соответственно. Построены кубетуркче формула, у которых с? « 3, 5 при та б ом а. к число . узлов ¿Л к соответственно. Эта формулы реноа были

пояучеьи -пвугшп методами.

Для симплексе Тп построенз кубатур' эя формула при любом- п. , у которой с/ «= 2 ч число узлов га { . Для треугольника "¡2 построенз кубвтурйзя формуле, имзоибя ё =■ 6 я число

узлов И. Для симплекса получена кубатурнал формула, у которой (/ " 4 и число уаяоз II, а такхе и = С и число узлоз 30. Среди узлов последней формулы клеится десять, которые н-ч принадлежат , и четыре коаффвд^енуа ог^.ср.тельна.

Оскоыгле результаты диссертации о.ражена в следук^ях двух статьях, находящихся з печати. 3 журнал Зестя ЛГУ.

1. /¡ба'ао Х.А., ¿.¡ьгеовеккх И.П. О метода боспроиззодяцего ядра построение кубатурных формул для гиперсара и гиперсферы.

2. Аь'бас Х.А. Применение метода воспроизводящего ядра к построению кубатурных формул для куба и симплекса.