О некоторых вопросах теории граничного усреднения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

□ОЗОбТООВ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЬЯРбЙФЁТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 517.958

Чечкин Григорий Александрович

О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ ГРАНИЧНОГО УСРЕДНЕНИЯ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

003067006

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гадылынин Рустем Рашитович

доктор физико-математических наук, профессор Назаров Сергей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор Шкаликов Андрей Андреевич

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 13 апреля 2007 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 13 марта 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.85 доктор физико-математических наук,

профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Сингулярно возмущенные краевые задачи (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Интерес к этим задачам вызывает тот факт, что предельные (усреднённые) задачи, как правило, имеют другую структуру (другое уравнение, другие граничные условия, задаются в других областях). Для исследования сингулярно возмущённых задач оказались наиболее эффективными инструментами — тория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды в этой области таких учёных, как В.М.Бабич, Н.С.Бахвалов, A.Bensoussan, Н.Н.Боголюбов, В.С.Булдырев, В.Ф.Бутузов, А.Б.Васильева, M.D.Van Dyke, M.И. Ви-шик, P.P. Гадылыпин, G.Dal Maso, В.В.Жиков, А.М.Ильин, Г.А.Иосифь-ян, С.М.Козлов, О.А.Ладыженская, J.-L. Lions, С.А.Ломов, Л.А.Лгос-терник, В.Г. Мазья, В.А. Марченко, В.П. Маслов, Ю.А.Митропольский, Е.Ф.Мищенко, F.Murat, С.А.Назаров, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, G.Pa-panicolau, Б.А.Пламеневский, Л.С.Понтрягин, А.Л.Пятницкий, Н.Х.Розоб, Е. Sánchcs-Palencia. И.В.Скрыпник, L.Tartar, А.Н.Тихонов, М.Ф.Федорюк,

T7Í ГГ V_______ К Г1 ТГТ______

111.J1 .лр}"Ь-'ШВ, n.^.AJJCUMilCD.

В диссертационной работе рассматриваются задачи в областях с сингулярной плотностью около границы. Предполагается, что сингулярных уплотнений ("концентрированных масс") — много. Их диаметр, а также расстояние между ними являются малыми параметрами, а плотность — большим параметром. В зависимости от соотношения между этими парат метрами выводятся усреднённые задачи и строятся асимптотики собственных элементов исходных задач.

Поведение тел с неоднородной плотностью достаточно сложное и его изучение представляется интересной задачей, которая не может быть успешно реягека без соответствующего математического аппарата.. Вопрос о поведении тел, нагруженных присоединенными или концентрированными массами, интересовал исследователей давно, особенно в связи с многочисленными приложениями, например, в технике (авиации, космической технике, станкостроении, автомобилестроении). На разных уровнях строгости были получены формулы, описывающие эффективное поведение таких тел. Отметим недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости, которые касались вопросов асимптотического поведения струн1,

1 Его! Я. "Vibration analysis of stepped-pipe strings for mining from deep-sea floors" // Ocean Engineerinf 2005. V. 32. № 1. P. 37-55.

балок2 3 и пластин4 с конечным числом концентрированных масс. С появлением серьёзного математического аппарата интерес к таким задачам только усиливается. Оказывается, что математические модели задач в областях с сингулярной плотностью связаны с исследованием тонких спектральных свойств довольно сложных дифференциальных операторов.

Первая математическая работа (А.Н. Крылов0), положившая начало глубоким исследованиям в этой области, опубликована в 1913 году. В статье автор рассматрел задачу о колебаниях струны с концентрированной массой, сосредоточенной в точке. В приложении к главе 2 книги А.Н. Тихонова, A.A. Самарского0 изучается та же задача о собственных частотах колебаний струны, нагруженной сосредоточенной массой в одной точке. Там рассматривается предельное поведение решений задачи при стремлении массы к нулю и бесконечности. В конце 70-х годов Б. Sânchez-Palencia рассмотрел задачу7, где присоединенная к системе масса сконцентрирована в е-окрестности внутренней точки, е — малый параметр, описывающий концентрацию и размер массы. В этой работе были использованы методы

Г.ГГЯТ'ТПЯЛККЛН Т^ПТ)ТШ КПЯТ.^/ГПРШТЙ

Другой подход был предложен в работах О.А.Олейник89. Базировался этот подход на введении нового основного параметра колебательных систем с локально присоединёнными массами — отношения присоединенной массы к массе всей системы. При этом удалось описать локальные колебания системы вблизи сосредоточенной массы. Подробное обоснование модели Олейник — Sânchez-Palencia, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с присоединёнными массами сделал Ю.Д. Головатый10.

2Bavat C.N., Вара* С. "Natural frequencies of а Ьезтп with г on г! amiral boundary-conditions and concentrated masses"// J. Sound Vibration. 1987. V. 112. № 1. P. 177-182.

3 Ncgvlesbiavan S "Transverse vibrations of ?m Fn'pr-пгтшп : Iii nniform beam carrying several particles" / / Intern. J. Mech. Sd. 2002. V. 44. № 12. P. 2463-2478.

*Ackong A. "Vibrational analysis of circular and elliptic plates carrying point and ring masses and with edges elasticaily restrained" // J. Sound Vibration. 1395. V. 183. № 1. P. 157-168.

sКрыме А.Н. О некоторых дгфферсгэдгальпых уравнениях математической физики, имеютприложения в технических вопросах. // Известия НиколаевСк.оА морской академии. 1313. Вьщ.2. С. 325348.

e Тихонов А.Н., Самарский Л.А. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1972.

7Sänchez-Paiencia. Е. Perturbation of eigenvalues m tbermoelastidty and vibration of system with concentrated masses. // In: TVends and Application of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Fhisies, 195, Springer Verlag, Berlin, 1984, p. 346-368.

8 Олейник O.A. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов //УМН. 1987. Т. 42. Вып.З. С. 221-222.

9 Олейник O.A. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. Б кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988, с.101-128.

10 Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1988.

В работах О.А. Олейник11, Т.С.Соболевой12, Ю.Д.Головатого13, С.А. Назарова1415 Sánchez-Palencia16, H. Tchatat, J.Sanchez-Hubert17 рассмотрены различные задачи для оператора Лапласа и системы теории упругости с различными краевыми условиями в случае конечного числа масс. В работах M.Lobo18, МаЕ. Pérez19 рассматривается асимптотика колебаний тела, имеющего много небольших включений большой плотности, расположенных периодически вдоль границы (их количество растёт при переходе к пределу). В этих работах разобрано много различных случаев, которые характеризуются размерностью пространства и плотностью маленьких включений. Предполагается, что расстояние между массами много меньше, чем их диаметр. В этом предположении была доказана слабая сходимость решений задач к решениям предельных задач, сходимость собственных значений, получены оценки отклонения решений и собственных элементов предельных задач от, соответственно, решений и собственных элементов исходных задач.

Во всех этих моделях предполагалось, что закон колебания груза или уплотнений должен описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы. В статье В. Рыбалко20 рассматривается задача для линейной стационарной системы теории упругости в областях с концентрированными массами. Рассмотрены различные случаи поведения собственных элементов таких задач. В работе рассматривается ситуация, когда включения достаточно жёсткие. При этом законы колебания тела и масс — различны.

Отметим также работу Ю.Д.Головатого21, где впервые применен ВКВ-

11 Олейпт О.А. О частотах собстгспттых ::о-сба:гзй тел с концентрированными массами. В ктг. Функциональные и численные методы математической фявптпг. Киев: Наукова думка, 1988, с. 165-171.

"Олейник О.А., СоОашш Т.С. О исЛывбШ&аььлебаннянеоднородней сгрузи = кактагым чкгеи щшсоедижяшы* масс. // УМН. 1988. Т.43. 4. С. 187-188.

13ГоловатыС Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах упругого стержвя с присоединенной массой. //УМН. 1S88. Т.43. № 4. С. 173-174.

^Гсловатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций Е задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущением плотности. //УМН. 1988. Т.43. № 5. С. 189-190.

"Иловатый Ю.Д., Назаров С.А., Олей пин О.А.., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. // Сиб. мат. журнал. 198«. Т.29. № 5. С. 71-91.

ls Sánchez-Falencia E-, Tchatal H. Vibration de systèmes élastiques avec masses concentrées. // Renuiconti del Seminario matemático délia Universita e politécnico di Torino. 1984. V. 42. № 3. P. 43-63.

17Leal С., Stmchsz-HvieTt J. Perturbation of the Eigenvalue of a Membrane with a Concentrated Mass. // Quarterly Áppl. Math. 1983. V. XLVH. № 1. P. S3 -103.

lsLobo M., Pérez M&E. On Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 19ЭЗ. V. 3. № 2. P. 240 -273.

19Lobo M., Pérez M&E. The skin effect in vibrating systems with many concentrated masses // Math. Methods Appl. Sci. 2001. V. 24. № 1. P. 59-80.

20 Rybalko V. Vibration of Elastic Systems with a Large Number of Tiny Heavy bclusions // Asymptotic Analysis. 2002. V. 32. N 1. P. 27-62.

21 Golovaty Yu. D. On WKB-apprarimation of high frequency vibrations of a singular perturbed string / Proc. of Int. Conf. "Nonlinear partial differential equations". - Kiev, August 26-30. IX. 1997. - P. 62.

метод для задач с концентрированными массами, позволяющий более точно построить схему поведения собственных чисел в окрестности предельных точек. В этой работе рассматривалась струна с произвольным возмущением плотности и построена асимптотика глобальных колебаний.

Результаты настоящей диссертации являются продолжением и обобщением исследований задач в областях с сингулярными плотностями. Разобраны новые случаи, для которых применены как стандартные, так и новые методы исследования, и классифицированы возможные ситуации, возникающие в таких моделях. Диссертационная работа является естественным развитием более ранних результатов автора.

Работа поддержана грантами РФФИ № 06-01-00138-а, 06-01-00441-а и грантом Президента РФ для ведущих научных школ НШ-2538.2006.1.

Цель работы.

Целью работы является исследование задач в областях с сингулярной плотностью, классификация возможных случаев, построение асимптотик собственных значений и собственных функций как в случае простого собственного значения, так и в случае кратного собственного значения.

Целью работы является также доказательство теоремы усреднения для квадратичного операторного пучка при наличии концентрированных масс и исследование асимптотики собственных значений такого пучка.

Также целью работы является исследование поведения полюсов аналитического продолжения решений задач в неограниченных областях с сингулярным возмущением плотности и доказательство сходимости этих полюсов к собственным значениям усреднённой задачи в ограниченной области.

Методика исследования.

В диссертации используются методы согласования асимптотических разложений, методы теории усреднения, качественной теории дифференциальных операторов в частных производных, функционального анализа, элементы теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

в Выявлена количественная и качественная зависимость собственных значений исходной задачи от параметров массы. Построены явные формулы для членов асимптотического разложения, которые непосредственно выявляют влияние массы.

• Впервые исследовала задача об усреднении операторного пучка в области с концентрированными массами.

• Впервые рассмотрена задача усреднения в неограниченной области с

концентрированными массами. Доказана сходимость полюсов анали тического продолжения решения к собственным значениям усреднённой задачи в ограниченной области.

• Проведена классификация возникающих случаев. Рассмотрены случал различной размерности пространства., различных плотностей масс и различной частоты их расположения.

Теоретическая и практическая значимость. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Развитые в работе подходы могут быть применены к более общим задачам в областях с сингулярной плотностью и другим задачам граничного усреднения. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: МГУ, Механико-математический факультет: семинар под руководством академика Олейник O.A.. семинар под руководством шю<Ь. В.В.Жикова. пооф.

A.С.Шамаева, проф. Т.А.Шапошниковой, семинар под руководством проф.

B.А.КопдратьеЕа, проф. В.М. Миллконщикова, проф. Н.Х.Розова, семинар под руководством проф. В.А.Кондратьева, проф. Е.В. Радкевича, семинар под руководством проф. Б.Е.Победри; МИРАН им. В.А. Стеклова: семинар под рук. проф. А.К.Гущина, проф. В.П.Михайлова; ПОМИРАН им. В.А. Стеклова: семинар под рук. проф. М.С.Бирмана; МАИ: семинар под рук. проф. А.Л. Скубачевского; Институт математики с ВЦ УНЦ РАН: семинар по дифференциальным уравнениям математической физики под руководством проф. Л.А.Калякина и нроф. В.Ю.Повокшенова; НГУ: семинар под руководством проф. В.Н.Врагова; Институт математики СО РАН им. С.Л.Соболева: семинар лаборатории обратных задач мат. физики под руководством проф. Ю.Е.Аниконова; кроме того, на заседаниях семинаров

университета Блеза Паскаля (2003, Клермоя-Ферран, Франция), Белград_____/лллл П- ---- - - ТЛ _____- - _\ TT ____________________________

ского университета, иелгрвд, д^/шелаиия ;, пвниильнанскшх) универ-

ситета (2002, Стейт Каллидж, США), Первого Римского университета "Ла Сапиенца" (2001, Рим, Италия), политехнического университета города Турина (2001, Италия), университета Жана Моне (2001, 2003, Сант-Этьен, Франция), университета города Оулу (2001, 2003, Финляндия), технического университета города Люлео (2000, 2001, 2003, Швеция), университета Кантабриа (2000, Сантандер, Испания), университета города Айзу (1999, Япония), университета Юты (1998, 2002, Солт Лейк Сити, США), университета Пьера и Марии Кюри (1997, 2003, 2004, Париж, Франция), Коллеж де Франс (1996, Париж, Франция), Курантовского института математи*

ских наук (1995, Нью Йор к, США), университета Миннесоты (1995, Миннеаполис, США).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях: Совместные заседания семинара им. И.Г. Петровского и Московского Математического общества (конференции И.Г.Петровского), Москва, МГУ, Механико-математический факультет (1989 - 2004 г.); Международная конференция "Актуальные проблемы вычислительной математики", посвящённая памяти Н.С.Бахвалова (Москва, 28 - 29 августа 2006 г.); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 - 15 июля 2006 г.) - пленарный доклад; Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышёва и их приложения в современной науке" (Обнинск, 3-я конференция: 14 - 18 мая 2006 г.; 1-ая конференция: 24 - 18 мая 2002 г.); Международная Уфимская зимняя математическая и физическая школа (Уфа, 30 ноября - 6 декабря 2005 г.) - пленарный доклад; Международная школа по течению и переносу через сложные структуры (Обервольфах, Германия, 30 октября - 5 ноября 2005 г.); Международная конференция "Многомасштабные задачи и асимптотический анализ" (Нарвик, Норвегия, 22 - 26 июня 2004 г.); 5-й Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике (Сидней, Австралия, 7-11 июля 2003 г.); 13-ый Международный коллоквиум по дифференциальным уравнениям (Пловдив, Болгария, 18 - 23 августа 2002 г.) - пленарный доклад; Международная конференция "Асимптотики в дифференциальных уравнениях", посвящённая 70-летию академика А.М.Ильина (Уфа, 26 -30 мая 2002); Международная конференция ''Усреднение и приложения в науке о материалах" (Тимишоара, Румыния, 15 -19 сентября 2001 г.) - пленарный доклад; Международная конференция "Многомасштабные задачи в науке и технологии" (Дубровник, Хорватия, 3-9 сентября 2000 г.) - приглашённый доклад; Международная школа по асимптотическому и численному анализу структур и неоднородных сред (Санкт-Петербург, 26 - 30 июня 2000 г.) - приглашённый доклад; Международная школа "Многомасштабные задачи и усреднение" (Гейдельберг, Германия, 29 ноября - 4 декабря 1999 г.) - приглашённый доклад; 3-й Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 22 - 27 июля 1998 г.); Международный коллоквиум "Усреднение и пористые среды" (Марсель, Франция, 24 - 28 июня 1996 г.) - пленарный доклад; Международный коллоквиум ЕигНопк^ешгайоп "Усреднение и приложения в науке о материалах" (Ницца, Франция, 6-10 июня 1995 г.) - пленарный доклад; Международная конференция, посвященная 90-летию академика С.М. Никольского (Москва, 27 апреля - 3 мая 1995 г.);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2-х работах, список которых приводится в конце автореферата [1-24].

Структура и объем работы. Диссертация занимает 247 страниц текста и состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов и списка литературы, включающего 200 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная - номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго параграфа третьей главы.

Основное содержание работы.

Первая глава. В первой главе рассматривается спектральпая задача для оператора Лапласа в ограниченной области с большим количеством "лёгких" концентрированных масс на границе. Доказана теорема усреднения, получены оценки отклонения решений и собственных элементов такой задачи от решений и собственных элементов, соответственно, усреднённой задачи. Также строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций.

В первом параграфе ставится задача в ограниченной области с лёгкими концентрированными массами около границы.

Пусть О — область в Ж2, лежащая в верхней полуплоскости, 80. —

т-» , . т-1 . , . . т» ________"П ________ Г it 5г1 ____...

1 ] О 1 о J 3 ^ ! ': при лим А 4 — j—77J па uui rimo-

ющий мккропсоднородпую структуру, Г4 — Г£ U je, а Г2 к Г3 принадлежат прямым х\ — —| и х\ = соответственно. Здесь е = 2N+1 ~ малый параметр, N — натуральное число, N> 1. Опишем подробнее мелкомасштабную структуру Г4. Пусть 7 = {£ : — 1 < Ci < 1, С2 = 0}, Г = {С : -оо < & < -1,1 < Ci < +со, С2 = 0} в переменных ( = ф при этом 0 < а < Обозначим 7£ — ¡J {а: £ Г4 : },

— /-ГУ Htzaj

Ге = r4\7f Пусть П = {£ : -§ < £1 < |, £2 > 0} - полуполоса в пространстве £ = f, S = {е : -f < а < 0,0 < 6 < f,6 = 0}, а В ~ полукруг {С : Ci + Cf < !> С2 > 0} в пространстве С =

Будут также использоваться следующие обозначения. Пусть Ва — полукруг {£ : + й < 6 > 0}, 7° - {£ : -а < 6 < а, 6 = 0}, Г° = {£ : < 6 < —а, а < £1 < & = 0} в переменных f = §.

Обозначим В? = {х е О : - f)2 + (ff)2 < 1}, н 6 Z, Ве = UВ?, соответственно, 7° = {ж € Г4 : -1 < Ц - ™ < 1}, n G Z, т.е. j£ = l>/f.

Рассматриваются два случая: • случай часто расположенных масс, т.е.

а = const;

• случай редко расположенных масс, т.е. а(е) является функцией от е такой, что а(е) -5- 0 при е 0 и

Нте1па = 0. (1)

Целью параграфа является построение асимптотики при е —> 0 собственных элементов следующей спектральной задачи:

( —Аи£ = \ереие при х € О,

< иЕ = О при х € (2)

1^ = 0 при X е Г£ и Гх и Г2 и Г'з, где Рг(х) — плотность, имеющая вид в первом случае

(ае)~т в Ве,

а во втором случае —

(3)

рЛ

М _ f 1 в С1\Ве, ,

s{x)-\l + (ae)-™ вВ, W

Всюду далее рассматривается 0 < тп < 2 — постоянная величина. Будем называть множества В£ — концентрированными массами. Рассмотрим также задачу

f —Дио = Хщ при х 6

^ щ = 0 при х € Г4, (5)

= 0 прихеГаиГгиГз.

Во втором параграфе на основе схемы из работы Р.Р.Гадыльшина22 и результатов из работы автора23 доказывается теорема усреднения и выводятся оценки.

Рассматривается следующая краевая задача:

1—AUE = Ap£U£ + / при х <Е О,

Ue = 0 при х е ъ, (6)

^ = 0 при х € Г£ U Ti U Гг U Гз,

где ре{х) имеет вид (3) в случае а — const и вид (4) в случае малого а, и предельная (усреднённая) задача

f -AU0 = XU0 + f при х € П, < г/о = 0 при X 6 Г4, (7)

= о при ® е Pi и г2 и г3.

Гадътъшин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии // Дифферснд. уравнения. 1986. Т.22. № 4. С. 641М352.

23 Чечкик Г.А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе "лёгких" концентрированных масс. Двумерный случай. // Известия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69. № 4. С. 161-204.

Решение задач (2), (5), (6) и (7) будем понимать в обобщённом смысле.

Пусть / е Ь2{Щ. Обозначим через ||и||о и ЦиЦх соответственно нормы функции и в пространствах ЬгО^) и Я1 (О).

Доказаны следующие три утверждения.

Теорема 1.2.1 Пусть / 6 ¿2(0), К — произвольный компакт на комплексной плоскости С, не содержащий собственных значений предельной задачи (5). Тогда

1. существует число £у > 0 такое, что при любом е < и любом А € К решение задачи (б) существует, и единственно, а также справедлива равномерная по е и А оценка

Теорема 1.2.2 Пусть Ао — собственное значение предельной задачи (5). Тогда

1. существует собственное значение \£ исходной задачи (2), сходящееся к Ао при е —> 0;

2. если кратность Ао равна N, то к нему сходится N собственных значений исходной задачи (с учётом совокупной кратности).

гп-------too тт_____ f г- т !Г>\ _____-„/Г____________________„„,„

J-CUptJIVlCl X.^f.l) Iiyvutu J С XJ2\iL1- Гърииьпиъши tUUL.III/VblblivCV <Jlt,Ui-

чент Ао предем.нпй яадачи (5) равна N. mo

1. для любого А близкого к Aq и реъиения Г/г краевой задачи (6) справедлива равномерная оценка

где X},..л? — собственные значения задачи (2), сходящиеся к Ао-

2. если решение 17е задачи (6) ортогонально в Ьо(р,) собственной функции и* задачи (2), соответствующей А*, то имеет место оценка

(8)

ii^E - Щ{1 —> о прие-^О.

(9)

IICUi < С 11/110

П - М 1=1

№ < С J1/!1°

П

В третьем параграфе на основе метода согласования асимптотических разложений (см. например, книгу А.М.Ильина24) строятся полные асимптотические разложения в случае часто расположенных масс как для случая простого собственного значения предельной задачи, так и для случая кратного собственного значения.

Пусть Ао — простое собственное значение. Перенумеруем множество -(1 + г (2 ггг)^! для фиксированного т в порядке возрастания:

1 = < С2 < ■ • • • Легко видеть, что ф = 2 при 0 < т?г < 1, а $2 = 3 — т при 1 < т < 2.

Теорема 1.3.1. Асимптотика собственных значений и соответствующих собственных функций имеет вид

оо

Ае = А0 + 5]^А?о (10)

г=1

и

ОО 00

(£{х) =иц{х) а2 > ер, Ие(х) = ^2е«Уя (-;х2) , 0 < х2 < е"

г=1 ;=1

(И)

в норме пространства Соболева /71 (О),, 0 < ¡3 < 1 — произвольное число. Здесь щк € С°°(О), 1) — тг-периодичесте по функции с асимп-

тотикой щ(с; &1) ~ при <¡2 ~г при любом фиксированном

где [$] — целая часть я, 2) многочлен степени, к,

1Г 2

^(С;®!) = «0(^1) Х(0, Ай = 1пз1па J «0(2:1) <1x1,

а~тАп Г „ . „

Ай=--—-í1J a£{xi) dxi j при 1<т<2,

-? в

л

W *

2

1л sinG /«i(2-i)q'o(2¡) drci— -- f ¿Tj j Х\£) df при 0<TO<1,

-I -§ в

где X (с) — Re ln(sin z + s/sin2 2 — sin2 a) — Insinc, z — £1 + ¡(,2, =

^¡гг=0) ai(a;i) = ¿i — символ Кронекера, щ — решение задачи

—Ащ = A0U1 + A1U0 6

щ = —ао ln sina на Г4, (12)

^ = 0 каГгиГ2иГз,

24Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

ортогональное щ в

Здесь ¿4(ж) = Т£ие(х), константа Те — 1 + о(1) при е -» 0. Пусть предельная задача (о) имеет собственное значение Ао кратности два.

Обозначим две собственные функции этой задачи, ортонормированные в Ьп(О), соответствующие собственному значению Ло, через и и^1. Будем также предполагать, что выполнено условие ортогональности

Г ди(1)ди(2)

ГУ ¿3 = 0. (13)

J ди ОР к '

г4

Дополнительно для простоты изложения будем считать, что

2 /

(14)

дх2 I ] \ дх2

____/ _5г \

2 2

В соответствии с теоремой 1.2.2 существуют дее собственных значения исходной задачи с учётом совокупной кратности, которые сходятся к Ад и две собственные функции, сходящиеся к линейным комбинациям собственных функций предельной задачи. Условие (14) гарантирует, что эти два собственных значения различны (т.е. являются простыми), условие же (13) гарантирует, что соответствующие собственные функции будут сходится к собственным функциям ид\ 9 — 1,2, а не к их линейным комбинациям.

Справедлива теорема.

Теорема 1.3.3.Асимптотика собственных значений и соответствующих собственных функций имеет еид

= А0 + У>А|?>1 (15)

!=1

СО

Ще\х)=4%)Х2 >

со ^ (16)

1=1

в норме пространства Соболева Я^О). Здесь в С°°(0), ~

тт-периодические по ^ функции с асимптотикой (£; 2:1) ~ Р[с,}{Ь) пРи & -» оо при любом фиксированном х1; где [$] — целая часть <з, Рк(&) ~ многочлен степени к,

7Г 2

v%>{Z^,Xl) = 4в)Ы ^ = ЬзшаI (46)(Х!))2 ¿хъ

~—ъ~ J (4%i))2 dx! JХ2(0 dt при 1<т<2,

-! в

к т

2 2

]Пsinajaf'yxija^zydxi-dXlJx%Q(% npuO <m< 1,

"5 B

, (в)/ ч (в)/ ч a«!4. rm

гСе «о (^i) = (^i) = "§¿"1*2=0, Щ ~ решение зааачи

-Auf = Aoiif0 + e Q,

«« = —chq^ In sin а ма Г4, (17)

l^(®)=0 каГхиГ2иГ3.

В четвёртом параграфе строятся полные асимптотические разложения в случае редко расположенных масс. Обозначим ¡1 := £2~та2~т.

Определим классы функций, которые используются для формулировки основных теорем. Для того, чтобы определить новые классы функций, введём следующие обозначения: В — полукруг {£ : т < 1, £2 > 0}, Ос>± — С-окресткость точек (±1,0).

в Обозначим через ¿¡¡¡vin"™' множество четных по фикций <?eTsn е -®1ос^ С"(Б) П U £4,-)) для любого с,, таких что они

имеют асимптотику на бесконечности вида

А+1 k i

ffevenlW = "о / , '/eves' t-uo ¿.w т / „ > ??eyen7 cos ¿(г - j 1п г+ 1 = 1 t=0 5=0

+ Е Е cos 2г0 + Е Е '2i_2j cos 2i6, т + оо,

¡=о j=o г=1 j=o

где Sg — символ Кронекера.

Обозначим вШГ'* = (v(C; *i) : ПС; *i) = Е

I 3=1

^ € ^ е С~[-|, (а3)<2"+1>(±|) = 0, п = 0,1,... },

здесь и далее J — произвольное (не фиксированное, но конечное). • Обозначим через Б^-1'2"-1'^ множество нечётных по Ci функций 9оМ € H^iRl) П С™(В) П Н?ж(Ш2+\(0<л U для любого таких что

они имеют асимптотику на бесконечности вида

к к-1 г

шо^Е^У^^г+^+ЕЕ^ш^ 1=0 ¿=0 ¿=0

ОО » Г.—1 I

+ЕЕ сове*+1Р+ЕЕ &2г'2т «*(»+т ¿=0 )=0 ¿=0

при т -» +оо,

где ¿о ~~ символ Кронекера. Сразу отметим, что символом при к = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при т —7 +оо пет слагаемых с 1п т, соответственно, при п = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при г +оо нет слагаемых с отрицательными степенями т.

Обозначим В^Г1^ = : ПС;^) = ¿>,№(0,

Ч € 6 , ) = 0, п = 0,1,...}.

Введём следующий класс функций.

В(2Ш,2^1,,)=|У(С;Е]). у (С;г])=Д е г е в™],

* Обозначим через 'Н^1 (£:х\) множество многочленов вида

Е Е ^Ыр-*'1 с°°{~г+ъ+\)о

¿=о '=0

с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на отрезке [— чётные производные которого по хг обращаются в нуль при х\ = ±|. Обозначим через ^1) множество многочленов вида

¿=0 л'=0

с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами на отрезке [—§,? нечётные производные которого по £1 обращаются в нуль при х\ —

А также обозначим т{к)

1 i=i h2j+l € nxd\h2j 6 %even.i = 0. • • • . ^ j-• Обозначим

через Aev'p.n ^ множество тяких 7г-периодических чётных HO 6 функций /even G (J {(for, 0)}), ЧТО €^Х{р) fe.cn 6 Я^О <

kez

w < 2 и они имеют асимптотику в нуле вида

*+1 к i /even (О = ^ Е COS 2»0 + J] £ Д^р* COS 2(i-j)№ p+

i-1 i=0 j=0 n i

+ E E cos 2(г - + E E №&P~*+7J cos 2i<V

•:-o j=o i=i j=o где Sq — символ Кронекера. Обозначим

Yj € <jj € (^)<2"+1)(±|) = 0, n = 0,1,...}.

e {тгпттятпш чесез A .,. множество таких тг-периодических не* UUU _

чётных по & функций /odd t ft)})., что e^%(p)/odd €

fee z

Я1 (II), 0 < с? < 2 и они имеют асимптотику в нуле вида

к к-1 !

/odd(£)=io РшР"'1 cos(2i+l)i»-fKddP2i+l cos(2j-2.j + i)Pinp+ i=0 i=0 ?=0

п—1 г

+Е Е - у+■+ Е Е ®>-и+2''-х «»(и+м

»=0 ¿=0 ¿=0 >=0

при р —^ 0,

где <$о — символ Кронекера. Сразу отметим, что символом г'2п при к = 0 будем обозначать класс функций, в асимптотике которых при /? —> 0 нет слагаемых с 1п р, соответственно, при п — 0 будем обозначать класс

функций, в асимптотике которых при р —> 0 нет слагаемых с отрицательными степенями р. А также обозначим

1 7=1

^ е а, е 5], = О, п = 0,1,...).

Введём следующий класс функций.

Имеют место теоремы. Теорема 1.4.9. Существуют ряды

оо оо оо 7~ 2+1 оо оо 7

=А^х^ЕЕЕУ 1гЛ-ро«)

р=0 7=1 г=2 к=0 р=0 7=1 А;=0

со оо оэ 7*—оо оо 7

"£н — г / у/ , / ; / / ^ ^7,<с,г,р' / / , / Г "7л,0,1>г7>

р=0 7=1 1=2 к=0 ¡>=0 7=1*=0

оо оо оо 7—«4-1 оо оо 7'

\ ч л\ л..о.. /л. \ . \ ч\ л\ л_? 1 £___р.. /v. „ \

ЩЩ = У У У У Ь~ 111 и и /г ; хут / , / | / ь- Ш ^,к,В,р -47 >

т=П 1=1 /=? к~(1 р=0 7=1 ¿=0

(20)

со оо оо }—1 оо оо 7 — 1

=ЕЕЕЕе'1п*а а111Т%пш,г (онЕЕЕ^ >

р=0 7=1¡=1^=0 р=0 7=1к=0

(21)

такие что

а) пары Щ,к,1_р € С00 (О) гг А^^р являются решениями задач — ¿\Ujh_J.r, = УХ .¡!^-71 -к, .1-1, .р-Г1 в О,

71ЛА>Р1 (22)

на Г!иГ2иГ3.

ди

Здесь и далее предполагается, что индексы к\, и рх меняются только в пределах, указанных в соответствующих суммах (18), (19), (20) (21); здесь щ,о,о,о = ио> Ао,о,о,о = А0;

б) ряд (19) имеет асимптотику при хч —> 0, переписанную в переменных вида:

оо оо со j—l+l

= Е Е Е ]С ^1п*а +

р=0 3=1 1=2 к=О

ОО 00 ]

+ Е1СХУ111*Т4*,о,р (6;-О при еб О,

р=0 «-=0

где У^ЛЕ&х^ — многочлены порядка 1—Ъ по переменной £о с коэффициентами, являющимися бесконечно дифференцируемыми на [—|, |] функциями от х\, нечётные производные которых равны нулю при х\ = ±|;

в) коэффициент Ахддо определяется из формулы

А1д,о,о = У ^ Лз> 0;

г» 14

г) коэффициент Ахдод определяется из формулы

Ло Г (дш\2 , /..о,., .. г4 в

где У (С) = Ие 1п (у + у/у2 - 1), у = С1 + Ф/

д) функции представляются в виде суммы — ^ум^+ЧШ,?; ТТ.- г. I _ Р ДО-*1.'.!) являются петуниями задач

■У)*"!1)/' ' ............" *...... ~ .......

л, , л , я тт

- ¿-¿.{Ъи^Л.п — Л „ + 1 / > "'jbfcbii.Pi

31,к1,11,р1

= 0 на Е,

С? 2

ви; ь г „ . 7г. 7г

причём

е^ функции имеют асимптотику

Р = Ц,к,1,Р пРи Р °>

ж) функции Wk,j,i,p € W к'1,1 являются решениями задач

^<w3,k,lj>- г Ъххо(,\ ■ Щ ' _

hthJiiPi

I2Aji,kuh,Piwj~ji,k~kx,l-li,p-pi-l G B, (24)

ji M,h ,Pi wj.kj,p = 0 на 7,

+

¿1(2

= 0

а] ряд (21) илгегт асимптотику при г —^ i со, переписанную в переменных вида

оо оо оо j—1+l

м*) = ЕЕЕ Е «V vJJt ,i,P (£; xi) + p=0 j=1 1=2 *=0

OO OO j

+ ¿_j E£j a/r" (^i ^i) pa_1

p—и j—1 л=и

Теорема 1.4.10Асимптотика собственных значений и соответству-

"if)*!) ipiT. С О TP Я Р Ы^ Tj фНМКИ llti Тл-Л'С^ТТХ STlO

со оо со j-l-rl оо со j

л£ = Ло+е Е Е Еln& а xi>k>i'P+Е Е Еei ^ х^>о>р>

р=0 j-1 г=2 i=0 р=0 i=l А:—О

оо оо оо j-4fl оо оо j

7//_\ .., ч \ \_я„к„<,,р.. \Г~*Ч \h„k..,.r>.. , /'„л „„,)л.

t-f-'Ji^rart ХТТ ? 7 / У U(l {•'■ Ич" Ы.1 U-ГГ ' ? / t"ll !i/f (Sitn.lil iiiiBi'J ^ c.,

■-Ч / Л У 1 ^ ,/ у/ у A- JVI^'r / У j/ {/ J ' ' ---

(26)

oo oo oo j—i+1 ^ oo oo J /X \

p=0;=li=2i:=0 £ p=0j=xfc=0

npu < (ij — au7r)2 + x% > e^a"?', (27)

00 oo oo j—/ „ ,,, s г^гл^^ i; ' in /^l п7г ж2 \ ¿4(a:) = > > > > £ ln" a а M Wj^j, ( —--7-, —; Ж1 j +

j ' j '11 11' \ go go '

p=0 j=l i=l fc=0

p—0 j=l fc=0

npu (si - аптг)2 + ^ < 2e2^a2^, nez, -N < n < N

в норме пространства Соболева Hl(Q). Здесь Щ,к,1,1» ^j,k,i,p, Vj,k,i,p и wj,k,i,p удовлетворяют условиям теоремы 1.4.9, и, в частности,

* Е.

2 2

Ai,1,о,о - I(al)\xг) dxx > 0, Ali0j0il = ~J(^Ы dxx J Y2(C)dC,

* * D

2 2 V

m,o,o,o(C;zi) = al(xi) K(C), fi,o,o,o(£; = <*o(si) ЛГ(£),

где Л'(£) = Re In sin z +In 2, * = & + aä(*i) = f^L=o-

Отметим, что б теореме строится асимптотика ненормированной собственной функции, т.е. UR{x) = Теие{х), константа Т£ = 1 + о(1) при е —> 0, где щ — нормированная в собственная функция задачи (2).

В пятом параграфе рассматривается задача о стационарных колебаниях круговой мембраны, частично закреплённой по границе с часто расположенными лёгкими концентрированными массами на границе. С помощью метода погранслойных функций (см., например, работу М.И.Вишика и Л.А.Люстерника25) строятся полные разложения собственных элементов исходной задачи.

Обозначим О — единичный круг ц центром в начале координат. Выбираем на окружности <90 периодическое множество je, состоящее из N, N>1, несвязных кривых. Здесь е — ¡| — малый параметр. Множество je является пересечением границы со множеством В£, которое является объединением малых кругов Bf (концентрированных масс). Мы предполагаем, что длина кривых равна аг, где 0 < а < ? — константа. Каждая из кривых и каждый из кругов получается из соседней (соседнего) поворотом вокруг начала координат на угол етг. Обозначим Ге = дГ1\%. Вводим полярную систему координат (0, г) в области О с центром в начале координат.

Опишем подробнее множество Ве. Обозначим В„ — объединение полукругов, полученных целочисленными сдвигами полукруга В" вдоль оси Об- И определим Ве как образ В^ при преобразовании 0 — г = 1 —

тт_____ _ /—\ ______________________j_____to^ т*—~

пусть и г \.i,) — J и ил mA.iij. i lfiii цдлрда yjivhi \ о j. t i:>y 1<1Л,1 wi <1A., H li-

тотическое поведение при e —> 0 собственных элементов краевой задачи

( —Аи£ = \р£ие при х G С1, иЕ = 0 при х £ je, ^29)

— = 0 при х € ГЕ.

26Виши,с М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

{

Рассмотрим также усреднённую задачу (корректность такого определе ния усреднённой задачи см. в работе26)

-Аи0 = Х0и0 ая х € П, .

щ = 0 аБ х € да. ^

Строится полное асимптотическое разложение в следующей форме:

гЦх) = и?(х) + у(1 - г)гГ (1=1, 0 , (31)

где гладкая функция х(1-г) равна 1 при ^<г< 1 и равна О при г<|,

00

иГ(х) = & (к(е)г), 4Я(0 = Е (0 (32)

¡=1

и А£ имеет вид

00

= + (33) ! = 1

Здесь & — функция Бесселя, к(е) = — тг-периодические по &

функции, экспоненциально убывающие при £2 —т оо, в частности, (£) = »р(0) X(£). Ай определена формулой

А?1=1пап а У (34)

дп

\ лш .л 1тптгтт x * , v11 1 v " / 1л '.'. > -'' < '

2 л

г г

о в

или

2?г 2т

Ас,= 1X1 зша^^а^О-¡0%(0)¿о\х(ОX($при0<т< 1, о о в

(36)

где 5\. — символ Кронекера,

26 Чечкин Г.А. Об оценке решений краевых задач в областях с концентрированными массами, пер-

одически расположенными вдоль границы. Случай "лёгких" масс. // Мат. заметки. 2004. Т. 76- X'

С. 928-944.

г = 6 + з£2 — комплексная переменная. Проверяется,что для любого к(е) функция (32) является решением уравнения из (29), если Л£ — к2(е), и удовлетворяет следующему граничному условию:

«Г = Мк(е))г х € 7е, ^ = *еГ£. (37)

оо

Если асимптотика к(е) имеет вид к{е) = + то 'V имеет асимп-

»=1

тотику (33), где

Ап = к1. Аи — 2кокл.

Ай - 2к0кй если 1 < т < 2, Ай = ¿¿./г2 4- 2к0к^2 если 0 < т < 1.

Рекуррентная система уравнений для коэффициентов ряда и™ из (32) имеет вид:

£ в > 0}\Вои,

{ 0 д~ \

7=1

р,я

Е а_тпАс„г;с„ в Я" (38)

где /^--вполне определённые константы, в частности, ——2. Если о—/ не равно % для некоторого 7, где ¿,7* 6 N. то члены с этими индексами в (38) равны нулю. Граничные условия для коэффициентов второго ряда из (32):

- + А-г). £6 73,

Т'Л6 Г. 71 п - иппт (птлтт. вм^тттгпрньт ттепоспеттстпенко. в частности.

/я = 0, = к0^(к0), (40)

1,2

, 2 _

1 ^

= 0<т<1; 1<т<2 (41) г^'х)= «(**) + кокМко) = о,

Имеет место теорема.

Теорема 1.5.1. Существуют числа кя и тт-периодические по функции с конечным интегралом Дирихле по полуполосе П, экспоненциально убывающие при А 00 > являющиеся решениями последовательности краевых задач (38), (39); константы кя определяются из формул

где Fqi — правые части уравнений (38), а Д, gQ определены в (39) - (41). В частности,

ki = kQlnsina, (43)

к2 к2 1 С *а = 5Г дляО<т<1, --для1<т<2. (44)

-•-О -Ч! TTJq {XÜ)J

п

Также строятся полные асимптотики в случае кратного собственного значения. Число собственных значений (учитывая кратность) исходной задачи, сходящихся к собственному значению предельной (усреднённой) задачи, равно кратности этого собственного значения предельной (усреднённой) задачи (см. работу27). Хорошо известно, что собственные частоты ко — V%> предельной задачи— суть нули функции Бесселя Jn для некоторого целого п>0и они являются простыми, если п = 0 или двукратными, если п> 0; соответствующие собственные функции имеют вид Jo(k0r), если п —0; и, соответственно, вид ¿Гп(к0г) sin(fco0) и .Jv\k$r) cos(knO), если п>0.

Пусть А0 — двукратное собственное значение. Обозначим и (г = 1,2) соответствующие собственные числа и собственные функции исходной задачи, нормированные в ¿¿(О), такие что А^ —^ Xq при е —> 0. Легко видеть, что функция

ui'V.fl + erric), « е N, тоже является собственной функцией с собственным значением , но существует такая г„. что (г, О + стг/с) и г41) (г, в) являются линейно независимыми. Следовательно, А^1' = xi2\ т.е. А£, сходящаяся к Ао, тоже является двукратным и вторая собственная функция может быть получена кз первой поворотом.

Пусть Ао — двукратное собственное значение, т.е. ко — нуль функции <7ci для п > 0. Асимптотику собственного значения будем строить в виде (33), а асимптотику собственной функции — в следующем виде:

ие{х) = и?{х) + X (1 - г) «Г р ö) , (45)

do öo

ufi^cozir^Xik^r), в)=соз(пв) -£ +sin(n0)Y,eX*(O.

i=1 <=2

(46)

Отметим, что схема (45), (46) — это комбинация метода погранслойных функций28 и метода многих масштабов29.

27 ченкин г. а. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 6. С. 99-150.

28Вишик М.И., Люстертк Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

29Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний Москва: Наука, 1974.

Краевые условия для коэффициентов имеют вид:

Чй = + £ е 75,

где

= 0. = ^о^(^о); (48)

¿.п/0 и < т ^ ±, , > 1 < т <. ¿, (^У,)

= ^^'(/со) Ч /со^хХ'и^ о,

а для коэффициентов гг™ — однородные граничные условия

■с=°. ^^ (50)

Рекуррентные системы уравнений для коэффициентов ряда и™ из (46):

д^ = Е ++»£ +

Г Е ач>4 в {6 > 0}\5аи, (51) Й) 11? " а'

МГ = Е + с* - »Е -

Г Е ЧО > 0}\ваи, (52)

_ я2 V Р.Аг^ .

■- I а-'"Л, г'""" в

3=0 I м " 5 0

где /?о = —1, а остальные ^ — точно такие же, как в (38). Если — 2 не равно С; для некоторого .7, где С М, то члепы с этими индексами в (51), (52) равны нулю.

Справедлива теорема.

Теорема 1.5.2. Существуют числа кя и -я-периодические по £1 чётные функции и нечётные функции с конечным интегралом Дирихле по II, экспоненциально убывающие при £2 00 вместе со своими производными, такие что они являются решениями рекуррентной последовательности краевых задач (51), (47) и (52), (48) соответственно, константы ки определены формулами

К = ущ • • •, +&\къ 1п зта-п-^ХР^,

где F^ — правая часть уравнения (51), а определены в (47) - (49).

Коэффициенты kj и /сС2 удовлетворяют (43) и (44), соответственно.

Вторая глава. Во второй главе рассматривается скалярный аналог уравнений линейной гидродинамики. Исследуется аналог малых колебаний вязкой неоднородной жидкости в открытом неподвижном сосуде с накинутой на поверхность сетью. Предполагается, что в окрестности узлов сетки образуются тяжёлые сгустки. Исходная задача сводится к исследованию асимптотики собственных элементов квадратичного операторного пучка, которая исследуется на основе методов из монографии30. Далее проводится усреднение операторного пучка на основе схемы из монографии01.

В первом параграфе вводятся обозначения и ставятся основные спектральные задачи, которые изучаются в этой главе.

Пусть О — гладкая область в Е", п > 3, обозначим через dil — её

Гранину. Предполагается, что 9Q = U Г2, гиперплоскость Г2 состоит

Ni .

из двух частей, Г\ и 7е, где ~f£ = {J У£. Введем следующее обозначение:

ns

Ве~ U В\ — объединение полушаров, находящихся внутри области Q. По-i=i

ясним теперь построение. Пусть Ве — гомотетичное сжатие 5ВЕ, Bß — это полушар {(£i, \ Н-----Ь^п < £2> < в растянутом пространстве

та>п с — X _ j7f £ л } j_____1.^2 , ^ f _ п\ __ пйттягтт,

^ > S ~ /и ~ lAsli ■ • - »snj l < < sn-i - " > Sn — JJi — -xWld^j,

полученная целочисленными сдвигами множества на гиперплоскости

= 0}, с центрами в точках ^ = (&ь..., 0), kn-i е N. При

этом 7е — Ве П dSl. Отметим, что рассматривается случай, когда параметр

(5(с) определяющий характерное расстояние между участками 7'- - -— гра-

тгаттл .-"трмтттга тг ТПОТШ ТТПИ Г. -4 П. ТаКЖО. ЯЯ.МСГИМ. ЧТО Nx = Of -rikrr ). -х- - ^ ' " \«" v

Обозначим также D = {£ G | — l < & < ^ 1 ~ 1....; п - 1, £п < С*}.

2 = {£eR"| - §<ii<|, * = i = 0}.

Изучаются следующие спектральные задачи:

' = в а ,

< ^ ~ 0 на Гх U 7£ , -(53)

— — 0 на IV

v ov

3aKona\eecxvü Н.Д., Крейг. С.Г., Иго Зуй Как. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. Москва: Науха, 1989.

31 Олейньк O.A., Иосифъян Г.А., Шамаее A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

Au* = в П,

u* = 0 на Гх U 7£, A*g-gU* = 0 на Ге,

где

р*(х)

в 0\В£, рр в

а I/ — единичный вектор внешней нормали к границе Ш. Предполагается, что q = const > 0, а т < 2.

Во втором параграфе формулируется вспомогательная теорема Олей-ник-Иосифьяна-Шамаева32 и на её основе проводится усреднение задачи (53) и доказываются оценки отклонения собственных элементов исходной задачи от собственных элементов усреднённой задачи. Обозначим Р := Итщ-. Рассмотрим краевые задачи

I" Ase = -p£{x)fc в П ,

1_

I ди

s~ — и на 11 ü 7с

dsE п

О на Г£ ,

(55)

КитирЕл СООТБбхС-LБубТ СПвКТрйЛЬНОЙ (53), II

f As0 = В л , s° = О на сЮ, (Р = +оо),

5! + Р^о = 0наГ2,

Сг/

5° = 0 на Г,

(56)

/ о ^ ,

где <т„ — площадь единичной п-мерной сферы, а := сар(~,$) — гармоническая ёмкость (п—1)-мерного диска Пусть фикция ©£, периодическая по переменным ..., £„_1, является первой собственной функцией задачи

ТкхиЗ. Стеклова

Д6£ = 0 в Д

6е = 0 на Tg, яре

~ = се6£ на S\7c£.

Счп

(57)

Доказано существование такой функции. Зададим ve формулой

ад = 1 + #гп)(е£(!) -l)

32 Олей ник O.A., Иосифыт Г.А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва; Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

и продолжим её по периодичности. Здесь — гладкая срезающая функция одной переменной, 0<ф<1, ф=:1в некоторой достаточно малой окрестности Гг. Справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.2.1. Если Р < +оо, и — обобщённые решения задач (55) и (56), соответственно, то существует такая константа не зависящая от е, и д, что для достаточно малых е имеем

+ £■

,2-ш г2-т

tltr* Mi-JliP МП ¿¡110*1) J\'ck <rnfi-K'nt-> и m

£ 2

Теперь приведём спектральную задачу, соответствующую краевой (56):

Asg = -Agsg в П , 4 = « на dû, (Р = +со),

+ P^^-Sq = 0 на Г2|

ou

Sq = 0 на Гх

| sfis!„dx = Ski, 0 < X}t < Xl l. fi

, (P<+oo).

(58)

Теорема 2.2.2.Пусть Xg, Xff являются собственными значениями задач (58) и (53), соответственно. Тогда

\4 - Xç \ < + 1^-;- - F\ +£2 S2 "ч, если Р < оо,

\ i V I /

1

\\к ^ riîiJ^T : 1 _2-»пг2-пЛ er-ii Р — -!-<—

j^Q — /\е | к;), ^с. - -1--^уу +£ О i, eC/iU Г — T^OW,

£ ~

где постоянные не зависят от, е.

Если кратность собственного значения Xq задачи (58) равна г, то есть Х!0 — Aq+1 = ••■=-- AÔ+r, то для любой собственной функции 4 задачи (58), соответствующей собственному значению Aq, j|so|j.£,2(û) = ^ существует линейная комбинация ? собственных функций задачи (53), соответствующих собственному значению А[+1, • • • , А[+г такая, что

4- £2-mS2'my если Р < ос

1 1

( [(?(х)\¥- 2 < С2(е^Г + + е2-т62~т), если Р = +оо,

} ^ 2

где постоянные С}, С2 не зависят от е и

В третьем параграфе основная спектральная задача (54) сводится к операторному пучку и проводится её усреднение. В конце параграфа проводится аналогия исходной задачи с задачей о малых колебаниях вязкой неоднородной жидкости в неподвижном сосуде.

Доказано, что самосопряжённый операторный пучок, соответствующий задаче (54), имеет вид

1(А£):=/-А£А£-^В£, (59)

где оператор А£ определяется следующим образом: Аг[/] = в6, и — решение задачи (55), а Ве — оператор, который определяется равенством В£[</з] = ии£ и IVе — решение задачи

Г Д«г(:г) = 0 в П,

Я = V на Г6. оу

Аналогичные пучки возникали в работах А.А.Шкаликова3334. Имеет место теорема. Теорема 2.3.2.

Задача (59) обладает следующими свойствами.

л /7ПР1сгпп апгЪлыъг лил^по'тиг.п'/ и />л/чг1л1/ги но отипт

" Щ/\М у V и ин v и>ь> и I 41 (/ с i"1«« сии

действительных собственных значений конечной кратности, которые расположены на интервалах (0, г_), (г+, +со) действительной оси, где

Г± = 1^ЕМЗШ о<г <г+

и состоит из двух семейств {(А*)-}?^ с точками накопле-

ния +оо и 0, соответственно, т.е. (А*)- -> 0 при к —> оо, и (А^)+ -> +оо при к —> оо, при этом Хк ^ А+, к,^ £ N.

в Справедливы следующие оценки и асимптотические формулы:

33Marletta M-, Shkalikov A.A., Trctier C. Pencils of differential operators containing the eigenvalue parameter in the boundary conditions. // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133. 2003. № 4. P. 893-917.

Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula. Recent developments in operator theory and its applications (Winnipeg, MB, 1994). Oper. Theory Adv. Appl., 87. Basel: Birkhäuser. 1996, p. 358-385.

(КГ =

[1 + о(1)1

при

+оо,

9Л*(Ве) < (А*)" <

яШ)

1 - 2дА*(Ве)||А;

(А£Г = дА£(Ве)[Ц.0(1)]

при

к —+оо.

Далее проводится усреднение операторного пучка.

Доказано, что предельными при е —>■ 0 (усреднёнными) задачами для

(55) и (60) лвляюгСл, соопэсхственно, задача (56) и ' А(ж) = 0 в О;

и)

(;х) = 0 на Г],

диЦх)

+ = р на Г2 (Р< оо);

(61)

= 0 на 30

/ п_ ^

= ОО

7 .. тз „г;,,,.,..-.,., А Г г01 __ „О -Ег,_Т _ „..О...... и --

нук,.^^ игхш Л Л ^ху ДЛЦШУ1 . П. ^ j - О ) — а \

и В = 0 при Р = оо, где г0 — решение задачи (56), иР — решение задачи (61), тогда имеют место следующие утверждения.

Теопема 2,3,3,Пусть Хк(АЛ — собственные значения опешторл А-. такие что Х1(Ае) > Х*(АГ) > ■•• >0; А?(13«) — собственные значения оператора ВЕ, такие что А*(В£) > А^(В£) > • • • > 0; А* (А) — собственные значения оператора А, такие что Ад(А) > Ад (А) > • • • > 0, и пусть Ад (В) — собственные значения оператора В в случае Р < оо, такие что А^(В) А.0(В1 ■ • • У. Здесь осе нмборы собственных значении псоену-лъСрОбйНЫ с учетпе-лъ кратности.

Тогда- суи^естпвуютп константы О'г, ('$ « зависящие только от к, такие что

1 1

А|(А£) А§(А) 1 1

ХЦ(Ае) А*(А) КШ - Ад (В)

П. ( —

1 ^ ■ ^ ■ I 5

'Ч'

<С2(еп?+(её)

А 7

_ р! I ргпп И го "1С -----* ---'

\/<5 \

2~т -}- (-5=2) )! если Р = оо,

2

< Сз{ е ! + (е5)2_тт

¡А£(В£)| <

О-

Р| ), если Р< со, если Р — со.

Теорема З.ЗА.Пустъ щ — решение задачи (54), тогда ие —>■ и0 слабо в Я1 (О) при 0, где

( Аи° — —Ли0 в П; и° = 0 на Гь

+ = 0 ма p2j (р<оо),

= 0 на дП, (Р = оо).

Операторный пучок

/-А А-|в (Р<оо), Л

/ - AÄ (JP = оо)

называем усреднённым операторным пучком для (59).

Третья глава. В третьей главе рассматривается задача для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с концентрированными массами на границе. Доказывается теорема усреднения, строятся решения и их аналитические продолжения и доказывается сходимость полюсов аналитического продолжения к собственным значениям предельной задачи.

В первом параграфе ставится задача, строится аналитическое продолжение стандартным способом35 и доказывается теорема сходимости. Пусть Q — гладкая область в R3 с границей Г = 80.. Предполагается,

что Г = Ti U Гг, участок Гг принадлежит плоскости {жз = 0} и состоит

N, .

из двух частей, и Гг\7£, где 7£ = U 7'. Введём следующее обозначение:

5=1

N5

Ве = (J В\ — объединение полушаров, находящихся внутри области Г2.

Поясним теперь построение. Пусть Ве — гомотетичное сжатие 5В, В - область, полученная целочисленными сдвигами множества В0 на плоскости {£з = 0}, с центрами в точках — (кх, к2,0), ki, к2 (= N. — это полупхар

{(£ь £3) [ £1 + £9 + £3 < £2, 6 < 0} в растянутом пространстве Ж3, £ =

__о

7о = {(6,6,6) I it + £2 < £2, 6 = 0}. При этом т£ = ВеП dil. Заметим,

Рассматривается случай, когда S = 5(e) зависит от е и lim = оо. Предположим, что F — функция из Ь2(Ш?) с ограниченным носителем.

35 Sänchez-Palencia Е. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin - New York: SpringerVerlag, 1987.

Рассматривается следующая задача в неограниченной области:

Г (Д + Рек2) и€>1 = Г, в М3\7е и Г2) 1«е,г = 0, на 7еиГ2,

с условиями излучения

(

' дг

0X1

= ОО"-1), - гки^5 ~ о(г~1) при г->оо, (63)

С 1 + —в В, где 1тА; > 0, г = |ж( и рг\х) = ^ (ей)"5' " , т < 1.

I 1, в

Справедлива теорема.

Теорема 3.1.1. Предположим, что / и / — суть сужения функции Г на а и на М3\Г2, соответственно. Тогда решение задачи (62), (63) сходится к функции

_ Г ио(я), е П, ~~ | «„(ж), е М3\Й

сильно в //¿„(Е3) при £ —> 0, где щ{х) — решение задачи

—Ащ = к2щ — /, в О, щ = 0, на Г, (64)

а ио(^) — решение задачи

(А + к2)щ = 7, в М3\Ц и0 = 0, на Г, (65)

удовлетворяющее ^¡едпохиш. нялучр.нт

•мл

яг дг

ит л аа паотгъ ггпаемыы ы ЯНа<ир'^'Ие^л

СД/иии 1V * ы/^ьи^ик.! I Ьти, ан.и Ги и^иичвчиш.и." .....и.«..

уравнения Гсльмгольца в области О.

Если к2 — к2 — собственное значение уравнения Гвлъмгольца в области О, то существует полюс те^^ аналитического продолжения решения (62), (63) в полуплоскости 1т к < 0, сходящийся к ка при £ -> 0.

и

щ = 0(г-1), —--гкщ = о(г-1) при г —¥ оо. (66)

Основные публикации автора по теме диссертации (из официального Перечня ВАК)

[1] Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сборник. - 1993. - т. 184, № 6. - с. 99-150.

[2] Чечкин Г.А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. -1993. - т. 48, вып. 4. - с. 218-219.

[3] Чечкин Г.А. О колебаниях тел с концентрированными массами, расположенными на границе // УМН.- 1995,- т. 50, № 4.- с. 105-106.

[4] Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий // Труды семинара им. И.Г.Петровского.- 1996.- т. 19.- с. 323-337.

[5] Чечкин Г.А. Граничное усреднение в областях с сингулярной плотностью // Дифференциальные уравнения,- 2003.- т. 39, № 6.- с. 855.

[6] Чечкин Г.А. Расщепление кратного собственного значения в задаче о концентрированных массах. // УМН,- 2004,- т. 59, вып. 4,- с. 205-206.

[7] Чечкин Г.А. Об оценке решений краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы. Случай "лёгких" масс. // Мат. заметки,- 2004.- т. 76, № 6.- с. 928944.

м Г А Л »rr тлтттт» л л тт л л/лйлгтодттит rV' "DimiTCiiiju тл

j^VJj ХЪ тгаш 1 .Ji. J IVXXIVUllVXJU Xwuw ^yuj/xuiivviiuu bvuviuvuuuui uxi« AviliitJ. II

собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе "лёгких" концентрированных масс. Двумерный случай. // Известия РАН.- 2005.- т. 69, № 4,- с. 161-204.

[9] Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение собственных элементов оператора Лапласа в области с большим количеством близко расположенных на границе "лёгких" концентрированных масс. Многомерный случай. // Проблемы математического анализа.- 2005,- т. 30.- с. 87-119.

[10] Чечкин Г.А. Усреднение модельной спектральной задачи для оператора Лапласа в области с большим количеством близко расположенных "тяжёлых" и "средних" концентрированных масс. // Проблемы математического анализа - 2006.- т. 32,- с. 45-76.

[11] Чечкин Г.А. Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа ь неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе // Проблемы математического анализа.- 2006.- т. 33.-с. 103-111.

(прочие)

[12] Chechkin G. A. Vibration of Fluids in a Vessel with a Net on the Surface // In Homogenization and Applications to Material Sciences. Edited by D.Ci-oranescu, A.Damlamian, and P,Donate., Vol. 9, GAKUTO International Series. Mathematical Sciences and Applications. Tokyo: Gakkotosho, 1997, 95-112.

[13] Chechkin G.A. On Vibration of Partially Fastened Membrane with Many "light" Concentrated Masses on the Boundary // CR Mécanique.- 2004.-.. ООО y„ 1 О у, П/)0_0Ц/1

v. ooi, л- lzi.- p. д-iii ь/отe.

[14] Chechkin G.A. Spectrum of Homogenized Problem in a Circle Domain with Many Concentrated Masses //In Multi Scale Problems and Asymptotic Analysis. Edited by D.Cioranescu, A.Damlamian, P.Donato, and A.L.Piatnitski. Vol. 24, GAKUTO international Series. Mathematical Sciences and Applications. Tokyo: Gakkotosho, 2005, 49-62.

[15] Chechkin G.A. Operator Pencil and Homogenization in the Problem of Vibration of Fluid in a Vessel with a Fine Net on the Surface // IMA Preprint Series #1367. Minneapolis: Institute for Mathematics and its Applications. University of Minnesota. November 1995.

[16] Chechkin G.A. Vibration of Fluid in a Vessel with a Net on the Surface /'/' Abstracts du Colloque EurHomogenization "Homogénéisation et Applications aux Sciences des Matériaux" , Nice , June б - 10, 1995.- p. 16-17.

[17] Chechkin G.A. On Properties of Eigenelements of Boundary Value Problems in Domains with Many Concentrated Masses on the Boundary // Abstracts of the Conference "Advanced Mathematics, Computations and Applications" (AMCA - 95), Novosibirsk, June 20 - 24, 1995,- v. 1,- p. 69-70.

[18] Chechkin G.A. On Spectral Properties of Boundary Value Problems in Domains with Many Concentrated Masses Near the Boundary // Proceedings of the Fifth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium on Spectral and Evolutional Problems (KROMSH - V), p. Laspi, Crimes Ukraine, September 19 - 30,1994,- p. 51-53. (Simferopol - 1996: Simferor

State University, Crimean Mathematical Foundation, Crimean Academy of Science).

[19] Chechkin G.A. Boundary Homogenization for Elliptic Operators // Abstracts of Junior Mathematical Congress (JMC-96), 8. Miscolc, Hungary, July 29 - August 2, 1996.

[20] Chechkin G.A.. Homogenization Problems in Domains with Concentrated Masses// Book of Abstracts of the 5th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM 2003) (July 7-11, 2003, Sydney, Australia), 147, Sydney: Sydney University of Technology Press, June 2003.

[21] Чечкин Г.А. Усреднённый спектр краевой задачи для оператора Лапласа в области с большим количеством концентрированных масс критической плотности, близко расположенных на границе. // Book of Abstracts of the International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 103-d Anniversary of Ivan G. Petrovskii (XXI Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society) (May 16-22,2004, Moscow, Russia), 44-45, Moscow: Moscow University Press, 2004. [Международная конференция, посвященная 103-летию со дня рождения И.Г.Петровского (XXI сессия совместных заседаний ММО и семинара им. И.Г.Петровского): Тезисы докладов. - М.: йзд-во МГУ, 2004,- 280 е.]

[22] Chechkin G.A. Spectrum of Homogenized Problem in a Domain with Manу Heavy Concentrated Masses. Book of Abstracts of the Midnight Sun Narvik Conference (June 22-26, 2004, Narvik, Norge), 16-18, Narvik: Narvik University College Press, 2004.

[23] Чечкин Г.А. О поведении спектра краевых задач в областях с концентрированными массами // Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (10-15 июля 2006, Суздаль, Россия), 224-226, Владимир: Изд-во "Собор", 2006.

[24] Chechkin G.A. Behavior of Bodies with Singular Perturbation of Density // Book of Abstracts of the International Conference on Differential Equations, Dedicated to the 100-th Anniversary ofYa.B.Lopatynsky (ICL-100) (September 12-17, 2006, Lviv, Ukraine), 80-81, Lviv: Ivan Franko National University of Lviv Press, 2006.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В.Ломоносова. Подписано в печать 20.12.06. Формат 60x90 1/16 Усл. печ. л. 3.0

Тираж 100 экз. Заказ 34

Введение

1 Обзор литературы и описание проблемы.

2 Структура работы.

Уравнение Лапласа в области с концентрированными массами

§ 1.1 Постановка задачи в области с концентрированными массами около границы.

§ 1.2 Теорема усреднения и оценки.

§ 1.3 Построение асимптотических разложений в случае часто расположенных концентрированных масс.

1.3.1 Простые собственные значения.

1.3.2 Кратные собственные значения.

§ 1.4 Построение асимптотических разложений в случае редко расположенных концентрированных масс.

1.4.1 Формальный асимптотический анализ.

1.4.2 Обоснование построенной асимптотики.

1.4.3 Вспомогательные утверждения для построения "промежуточного" разложения.

1.4.4 Вспомогательные утверждения для построения "внутреннего" разложения.

§1.5 Асимптотические разложения в круговой области с часто расположенными "лёгкими" массами.

1.5.1 Постановка задачи.

1.5.2 Построение первого корректора в разложении.

1.5.3 Полное разложение в случае простого собственного значения.

1.5.4 Полное разложение в случае кратного собственного значения.

1.5.5 Обоснование асимптотики.

2 Операторный пучок в области с концентрированными массами. Скалярный аналог линейной гидродинамики

§2.1 Постановка задачи.

§ 2.2 Об усреднении краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы.

2.2.1 Обозначения и формулировка основных результатов.

2.2.2 Предварительные замечания и утверждения.

2.2.3 Доказательство теоремы об оценке.

2.2.4 Доказательство основных утверждений.

§ 2.3 Асимптотическое поведение собственных элементов операторного пучка.

2.3.1 Сведение задачи к операторному пучку.

2.3.2 Свойства операторных пучков.

2.3.3 Необходимые замечания.

2.3.4 Теорема усреднения.

2.3.5 Малые колебания вязкой неоднородной жидкости в открытом неподвижном сосуде с жёсткой сеткой на поверхности. Нормальные колебания.

3 Уравнение Гельмгольца в неограниченной области с концентрированными массами

§3.1 Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе.

3.1.1 Постановка задачи и основное утверждение

- 43.1.2 Построение и аналитическое продолжение решений214 3.1.3 Доказательство основной теоремы.

1 Обзор литературы и описание проблемы.

Задачи с сингулярными возмущениями (уравнения с сингулярно возмущёнными коэффициентами, сингулярно возмущённые граничные условия, задачи в сингулярно возмущённых областях и т.д.) привлекают внимание исследователей на протяжении длительного времени. Для исследования такого рода задач оказались наиболее эффективными инструментами— тория усреднения и асимптотические методы. Отметим труды таких учёных в этой области, как В.М.Бабич, Н.С.Бахвалов, A.Bensoussan, Н.Н.Боголюбов, Б.С.Булдырев, В.Ф.Бутузов, А.Б.Васильева, M.D.Van Dyke, М.И. Вишик, P.P. Гадылыпин, G.Dal Maso, В.В.Жиков, А.М.Ильин, Г.А.Иосифьян, С.М.Козлов, О.А.Ладыженская, J.-L.Lions, Л.А.Люстерник, В.Г.Мазья, В.А.Марченко, В.П. Маслов, Ю.А. Митропольский, Е.Ф. Мищенко, F. Murat, С.А.Назаров, О.А.Олейник, Г.П.Панасенко, G.Papanicolau, Б.А.Пла-меневский, Л.С.Понтрягин, А.Л.Пятницкий, Н.Х.Розов, Е. Sanchez-Pa-lencia, И.В.Скрыпник, L.Tartar, А.Н.Тихонов, М.Ф.Федорюк, Е.Я.Хрус-лов, А.С.Шамаев (см., например, [2], [5], [59], [60], [199], [195], [180], [80], [125], [129], [55], [И], [7], [162], [56], [184], [174], [68], [69], [70], [74], [37], [154], [140], [16], [18], [93], [141], [142], [98], [44], [67], [10], [61], а также см. обзор в [89]).

В диссертации рассматриваются задачи в областях с сингулярной плотностью около границы. Предполагается, что сингулярных уплотнений ("концентрированных масс") — много. Их диаметр, а также расстояние между ними являются малыми параметрами, а плотность масс и их количество — большими параметрами. В зависимости от соотношения между этими параметрами выводятся усреднённые задачи и строятся асимптотики собственных элементов исходных задач.

Поведение тел с неоднородной плотностью достаточно сложное и его изучение представляется интересной задачей, которая не может быть успешно решена без соответствующего математического аппарата. Вопрос о поведении тел, нагруженных присоединенными или концентрированными массами, интересовал исследователей давно. Наличие сингулярных возмущений плотности (концентрированные или присоединенные массы) существенно меняет, например, частоты собственных колебаний тел, и знание величины этого влияния позволяет более точно рассчитывать поведение структур с такими сингулярными возмущениями. На разных уровнях строгости были выведены формулы, описывающие эффективное поведение таких тел. Отметим недавние исследования, проведенные на физическом уровне строгости (см., например, [99][153], [43], [122], [118], [172], [175], [183], [157], [143], [35], [91], [127], [48], [148], [115], [124], [147], [160], [159], [170], [188], [200]), которые касались вопросов поведения струн, балок и пластин с конечным числом концентрированных масс. С появлением серьёзного математического аппарата в конце XIX - начале XX веков начинается бурное развитие этого направления исследований. Основным инструментом исследований сейчас являются методы асимптотического анализа, спектральной теории возмущений и теории усреднения.

Строгие математические работы, посвященные исследованиям таких моделей, впервые стали появляться в начале прошлого века (см. [47], [97], [22]). Первая математическая работа, положившая начало глубоким исследованиям в этой области, выходит в 1913 году ([47]). Там автор рассматривает задачу о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами.

С развитием аэродинамики и самолётостроения стало важным изучение устойчивости поведения крыльев и фюзеляжа летательных аппаратов под воздействием вибрации. На крыльях находятся сосредоточенные массы (моторы, вооружение), фюзеляж также испытывает точечные нагрузки (пассажирские кресла, шасси и т.д.), см. рисунок. Такая задача тоже сводится к изучению собственных частот колебаний нагруженной струны.

Предполагалось, что дополнительная масса М сосредоточена в точке, и рассматривалось предельное поведение решений задачи при стремлении массы к нулю и бесконечности. Особенностью этой модели является точечное прикрепление массы, при этом не учитываются размеры того множества, где фактически сосредоточена масса. В приложении к главе 2 книги [97] изучаются собственные частоты колебаний струны, нагруженной сосредоточенной массой в одной точке. Там рассматривается предельное поведение решений задачи при стремлении массы к нулю и бесконечности. В книге [96] рассмотрена струна с точечной присоединенной массой. Ставится задача со спектральным параметром в условиях сопряжения - вместо функции Дирака в плотности. В конце 70-х годов Е. Sanchez-Palencia рассмотрел задачу, где присоединейная к системе масса сконцентрирована в ^-окрестности внутренней точки, г — малый параметр, описывающий концентрацию и размер массы (см. [193]). В этой работе были использованы методы спектральной теории возмущений.

Другой подход был предложен в работах О.А.Олейник [75], [77], [76], [178], [78]. Базировался этот подход на введении нового основного параметра колебательных систем с локально присоединёнными массами — отношения присоединённой массы к массе всей системы. При этом удалось описать локальные колебания системы вблизи сосредоточенной массы. В [77], [76], [178], [78] использованы методы интегральных оценок в соболевских пространствах. Подробное обоснование модели Олейник — Sanchez-Palencia, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с присоединёнными массами сделал Ю.Д. Головатый (см.[23]).

Рассмотрим общую постановку задачи. Предположим, что колебания механической системы в области О С Ип происходят по закону р(х) ^ = Lo х)' (*»х) е х lij) = {t,x)e R+xdQ, j = 1,., где u{t, x) — смещение точки x 6 О относительно положения равновесия в момент времени t. Здесь Lq, = 1,. — дифференциальные операторы, а р(х) — плотность распределения масс. Примерами таких систем могут служить струна, стержень, мембрана, пластина, упругое тело и т.п. В случае плоской волны u(t,x) = v(x) егк1 мы приходим к спектральной задаче:

Lq v(x) + к2 р(х) v(x) = 0, х е О,

Пусть имеется следующее распределение масс. Предположим, что в области О, компактно содержится открытое множество ш, и р(х) = рп(х) + рш(х)хш(х), где рп(#) > 0 в ^^(ж) > 0 в Ш, а Хы{х) ~~ характеристическая функция множества из. Рассматривая случай локально сосредоточенной массы, естественно предполагать, что отношение объёмов ш и О, есть малый параметр при е 0, а отношение средних значений плотностей — большой, т.е.

Я J Pu(x)dx

---= £~т, т € М+. щ I pn(x)dx п

Таким образом, е можно считать параметром возмущения задачи. При этом ставится задача изучить влияние сосредоточенной массы на спектр колебательной системы при различных значениях параметра т. Приведём некоторые из полученных результатов.

В [193] Sanchez-Palencia рассмотрел эту задачу в случае, когда Lq — оператор Лапласа, а на границе выставлено условие Дирихле и п = т = 3. В работах О. А. Олейник [77] [76], [178], [78] такая задача решена для всех тип. В [27] авторы исследовали случай одной концентрированной массы для Lq = ^ с граничным условием Дирихле. В случае конечного числа концентрированных масс это работа была проделана Олейник О.А. и Соболевой Т.С. в [79]. Задача о колебаниях упругого стержня и упругой пластинки с концентрированными массами изучена в работах Ю.Д. Головатого [24], [25] (см. также [176], [121], [30], а также работы других авторов, где рассмотрены задачи о колебании плит и стержней с концентрированными массами [50], [58], [131], [132], [133], [182], [187], [190], [197], [198]). Случай, когда L0 - оператор Лапласа, а на границе выставлено условие Неймана разобран в [28] и [71]. В [90] исследуются первая и третья краевые задачи для оператора Лапласа (п > 2) в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс (см. также [80]). Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа получены в [26] и [29]. Случай, когда Lq — оператор системы теории упругости рассмотрен Sanchez-Palencia Е. и Tchatat Н. в [194] (см. также [150]). Отметим также работу [34], в которой рассмотрена система теории упругости с условиями Неймана на границе. Предполагается, что имеется точечное возмущение (одна масса). О колебании мембраны см. [161]. Статья [144] посвящена исследованию моделей с присоединёнными массами. Авторы ищут лакуны в спектре соответствующих операторов. В работах [163], [164], [165], [166], [167], [168], [151], [169], [36], [134], [84], [116], [117], [104], [106], [108], [185] и [186] рассматривается асимптотика колебаний тела, имеющего много небольших включений большой плотности, расположенных периодически вдоль границы. Предполагается, что L$ — оператор Лапласа. Изучены вопросы асимптотического поведения собственных значений. В этих работах разобрано много различных случаев, которые характеризуются размерностью пространства, плотностью маленьких включений и расстояниями между ними. Предполагается, что расстояние между массами много меньше, чем их диаметр. В этом предположении была доказана слабая сходимость решений задач к решениям предельных задач, сходимость собственных значений, получены оценки отклонения решений и собственных элементов предельных задач от, соответственно, решений и собственных элементов исходных задач. Аналогичные задачи были рассмотрены в [179], [191], [192]. В работе [36] рассматривается краевая задача для стационарной системы линейной теории упругости с непериодическими быстро меняющимися граничными условиями и большим количеством концентрированных масс около границы, её асимптотическое поведение, а также предельное поведение спектра этой краевой задачи. Разобран случай краевой задачи для системы теории упругости, когда предельная задача имеет третье краевое условие на границе области, а плотность включений не слишком велика (значение параметра т < 2). Получены оценки скорости сходимости решения исходной задачи к решению усреднённой, а также поведение собственных элементов такой краевой задачи.

Во всех этих моделях предполагается, что закон колебания груза или уплотнения должен описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы. В работе [189] рассматривается задача для линейной стационарной системы теории упругости в областях с концентрированными массами. Рассмотрены различные случаи поведения собственных элементов таких задач. В работе рассматривается ситуация, когда включения достаточно жёсткие. При этом законы колебания тела и масс — различны. В работе [155] обсуждаются вопросы существования и единственности обобщённых решений нестационарных уравнений, моделирующих колебание струны с присоединёнными массами, колебания которых также подчиняются разным законам.

В работе [108] рассматривается случай, когда Lo — оператор Лапласа, п > 3 и массы расположены периодически на границе. Даются в соответствующих нормах оценки отклонения (оценки скорости сходимости) решений поставленных задач от решений предельных задач при стремлении малого параметра к нулю, а также аналогичные оценки получены для собственных значений соответствующей спектральной задачи. Базовые оценки работы частично анонсированы в [104].

В [107], [136] рассмотрен случай, когда Lo — оператор Лапласа, а расстояние между массами, расположенными на границе, имеет тот же порядок, что и их диаметр, при этом предполагалось, что массы достаточно "лёгкие". Некоторые частные случаи (т = 0, т.е. концентрированные массы отсутствуют, но тип граничного условия быстро меняется) изучены в [100], [101], [102], [89], [103], [105], [81], [181], [82].

В работе [111] рассматривается ситуация, аналогичная [107], [136], когда концентрированные массы находятся на расстоянии друг от друга порядка своего диаметра, но имеют другую плотность. Работа [134] (см. также [84]) посвящена детальному изучению поведения собственных элементов оператора Лапласа в области с непериодическими "лёгкими" концентрированными массами. В работе [108] (см. также [104]) рассматривается многомерная задача в области с периодическими "лёгкими" массами. Доказана теорема усреднения и получены оценки скорости сходимости собственных чисел и собственных функций исходной задачи к соответствующим собственным числам и функциям предельной задачи. В работах [136], [107], [109] и [110] построены полные асимптотические разложения собственных элементов для оператора Лапласа в областях с близко расположенными "лёгкими" концентрированными массами в случае двумерной и многомерной областей. Рассматривались случаи простых и кратных собственных значений предельной задачи. В работе [106] анонсированы результаты исследования задач с концентрированными массами в случае "критической" плотности. Отметим также работу [149], где впервые применен ВКБ-метод для задач с концентрированными массами, позволяющий более точно построить схему поведения собственных чисел в окрестности предельных точек. В [149] рассматривалась струна с произвольным возмущение плотности и построена асимптотика глобальных колебаний. Работа [4] посвящена изучению глобальных собственных колебаний. Показано, что сходимость собственных значений сильно неравномерна относительно номера. Для каждого значения малого параметра г > 0 только конечное число собственных значений являются малыми, а соответствующие собственные функции имеют вид локальных колебаний (см. работу [3]). Также построены ВКБ-разложения собственных функций. В работе [32] рассматривается случай, когда Lo — бигармонический оператор, на границе выставлено условие Дирихле, плотность возмущается в окрестности гладкой замкнутой кривой, лежащей внутри области. Описан случай т < 4, а также построена асимптотика локальных колебаний при т > 4. Предельная задача имеет очень интересный вид. Динамическая задача (когда Lq — гиперболический оператор, описывающий колебание струны) рассмотрена в [33]. Рассматривается стандартное возмущение плотности, т > 2, и ставится краевая задача для уравнения колебания струны. Исследуется асимптотика решения u£(t, х). В структуре асимптотических разложений можно узнать локальные и глобальные колебания, а также рассмотреть характер их взаимодействия в динамической модели.

В работе [109] рассмотрена двумерная задача в области с периодически расположенными "лёгкими" массами. Предполагается, что расстояния между массами и их диаметр имеют один и тот же порядок малости. Методом согласования асимптотических разложений [41], [18] строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. Эти разложения обосновываются. Результаты частично анонсированы в [136] и в [107].

Работа [112] (см. также [138]) посвящена изучению двумерной задачи в области с периодически расположенными "лёгкими" массами. Предполагается, что в отличие от работ [136], [107], [109] и [110], массы расположены на границе достаточно редко, как предполагалось в работах [163], [164], [165], [166], [167], [168], [151], [152], [169], когда расстояние между массами существенно больше их диаметра. При этом предполагается, что предельным граничным условием остаётся условие Дирихле (см. аналогичную ситуацию в [108] и [104]). Методом согласования асимптотических разложений [41], [19] строятся полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. Оказывается, что в отличие от случая "близко" расположенных масс (см. [109]), в этой задаче появляется промежуточный слой разложения. Построенные формальные асимптотики строго обоснованы.

В работе [137] строятся полные асимптотические разложения собственных элементов для оператора Лапласа в круговой области с концентрированными массами, расположенными чисто периодически около границы. Рассматривается случай как простого собственного значения, так и кратного собственного значения предельной задачи. Для построения использован метод погранслойных функций (см. [11]).

В работе [135] исследована задача о низкочастотных колебаниях тяжёлой вязкой несжимаемой жидкости в сосуде с наброшенной на поверхность жидкости сетью в случае, когда плотность жидкости около сети неоднородна. Рассматривается случай нормальных колебаний, т.е. ситуация, когда зависимость скорости жидкости от времени имеет экспоненциальную форму e~xt. Для простоты рассмотрен модельный скалярный случай. В таком предположении получается спектральная задача для квадратичного операторного пучка, которая исследована с помощью схемы Крейна (см. [46]). О задачах, приводящих к подобным пучкам, см. также в [171] и [196].

В работе [113] рассматривается задача в области с концентрированными массами около границы в случае, когда область неограничена. Предполагается, что Lq — Оператор Гельмгольца. В этом случае исходная задача имеет непрерывный спектр. После усреднения задача распадается на две. Одна из них в неограниченной области, а вторая — в ограниченной. У задачи в ограниченной области спектр состоит из счётного числа собственных значений. Доказано, что у аналитического продолжения решения исходной задачи есть полюса, которые сходятся к этим собственным значениям. Эффекты, возникающие в этой задаче, аналогичны эффектам, которые возникают в задачах о резонаторе Гельмгольца (см. обзор [16]). Методы, применённые в этой работе, были впервые использованы в [20] для систем резонаторов, а затем применены в работах [146] и [21] для задач теории усреднения.

2 Структура работы

Диссертация занимает 247 страниц текста и состоит из введения, трёх глав, разбитых на девять параграфов, и списка литературы, содержащего 200 наименований. Нумерация формул, теорем и лемм тройная -номер главы, номер параграфа и собственный номер, например, лемма 3.2.1 - лемма 1 второго параграфа третьей главы. Обозначения в каждой главе, как правило, независимы. Обратное оговаривается в каждом случае отдельно.

1. Агмон С., Дуглис А.,Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972.

3. Бабич Н. О., Головатий Ю.Д. Спектральна задача Неймана для сингулярно збуреного диференщального оператора четвертого порядку. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. матем. 1998. Вип. 51. С. 118-127.

4. Бабич Н. О. Короткохвильова асимптотика глобальних коливань у задач1 i3 локально-збуреною густиною // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 1999. Т. 42, № 3. С. 36-44.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

6. Беляев А.Г. О сингулярных возмущениях краевых задач; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1990.

7. Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.

8. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий. // Мат. сборник. 2002. Т. 193. № 7. С. 37-68.; translated in Sb. Math. 2002. V. 193. № 7. P. 977-1008.

9. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий. // Известия РАН. Серия математическая. 2003. Т. 67. № 6. С.23-70.

10. Васильева Л.Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973.И. Вишик М.И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой. // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12. Вып. 5. С. 3-122.

11. Гадыльшин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифференц. уравнения. 1986. Т.22. № 4. С. 640-652.

12. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа присингулярном возмущении граничного условия. // Матем. заметки. 1992. Т. 52. Nfi 4. С. 42-55.

13. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельм-гольца. // Алгебра и анализ. 1992. Т.4. № 2. С. 88-115.

14. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закреплённой на малом участке границы. // Сиб. матем. ж. 1993. Т. 34. № 3. С. 43-61.

15. Гадыльшин P.P. Существование и асимптотики полюсов с малой мнимой частью для резонатора Гельмгольца. // Успехи матем. наук. 1997. Т. 52. № 1. С. 3-76.

16. Гадыльшин P.P. О краевой задаче для лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями. // Докл. РАН. 1998. Т. 362. № 4. С. 456-459.

17. Гадыльшип P.P. Об асимптотике собственных значений для периодически закрепленной мембраны. // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. № 1. С. 3-19.

18. Гадыльшин P.P. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстроосциллирующими граничными условиями. // Дифферент уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С. 540-551.

19. Гадыльшин P.P. Системы резонаторов, // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. Т. 64. № 3. С. 51-96.

20. Гадыльшин P.P. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения. // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 11. С. 43-70.

21. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. M.-JL: Гос. тех. изд. 1950.

22. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1988.

23. Головатый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах упругого стержня с присоединенной массой. //УМН. 1988. Т.43. N 4. С. 173-174.

24. Головатый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах закрепленной пластинки с присоединенной массой. // УМН. 1988. Т.43. N 5. С. 185-186.

25. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник 0.А. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущением плотности. //УМН. 1988. Т.43. № 5. С. 189-190.

26. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А., Соболева Т.С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой. // Сиб. мат. журнал. 1988. Т.29. № 5. С. 71-91.

27. Головатый Ю.Д. Спектральная задача Неймана для оператора Лапласа с сингулярно возмущенной плотностью. //УМН. 1990. Т.45. № 4. С. 147-148.

28. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задач о колебаниях среды с концентрированными возмущениями. // Тр. Мат. Ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР. 1990. Т. 192. С. 4260.

29. Головатый Ю.Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединёнными массами: эффект локальных колебаний. // Тр. Моск. Мат. О-ва. 1992. Т. 54. С. 29-72.

30. Головатий Ю. Д., Головач I. А. Про асимптотику глобальних власних коливань сильно неоднор1дно'1 струни. // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. матем. 1997. Вип. 48. С. 88-99.

31. Головатий Ю. Д. , Лавренюк А. С. Про локальш власш коли-вання Е. Санчез-Паленсн для пластини i3 збуренням густини в окол1 одновим1рного многовиду // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех. -матем. 1998. Вип. 51. С. 134-141.

32. Головатий Ю. Д., Флюд В. М. Про взаемодда локальних та глобальних коливань сильно неоднор1дно1 струни // Сучасш про-блеми математики: Матер1али М1жнар. наук, конф.: в 4-х части-нах. Чершвщ - Кшв. 1998. Ч. 1. С. 138-141.

33. Грабчак Г. 6. Спектральна задача Неймана для системи р1внянь лшшно1 теорц пружност1 i3 сингулярним збуренням густини // BicH. Льв1в. ун-ту, сер. мех матем. 1996. Вип.45. С. 124-140.

34. Дзыра Б.И., Дидковский B.C., Павловский М.А. Нелинейные собственные колебания двух упруго соединённых стержней, несущих концентрированные массы. // Прикл. механика. 1984. Т.20. № 4. С. 125-129.

35. Доронина Е.И., Чечкин Г.А. О собственных колебаниях тела с большим количеством непериодически расположенных концентрированных масс. // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова. 2002. Т. 236. С. 158-166.

36. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов. Москва: ФизМатЛит, 1993.

37. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Матем. сб. 1976. Т.99. С. 514-537.

38. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Матем. сб. 1977. Т.103. С. 265-284.

39. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием, j j Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1981. № 6. С. 57-82.

40. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

41. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967.

42. Козлов В.В., Онищенко Д. А. О движении в идеальной жидкости тела, содержащего движущуюся концентрированную массу. // Прикл. мат. и мех. 2003. Т. 67. К0- 4. С. 620-633.

43. Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелиненых гиперболических уравнений. М.: МАИК "Наука", 1998.

44. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Об асимптотике в окрестности бесконечности решений с конечным интегралом Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка. // Труды семин. им. И. Г. Петровского. 1987. № 12. С. 149-163.

45. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. Москва: Наука, 1989.

46. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах. // Известия Николаевской морской академии. 1913. Вып.2. С. 325-348.

47. Культербаев Х.Р., Джанкулаев А.Я. Свободные продольные колебания стержней с концентрированными массами на них. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2002. № 4. С. 14-18.

48. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.

49. Лавренюк А.С. Сингулярно збурена спектральна задача для 6i-гармошчного оператора з умовами Неймана // Укр. мат. ж. 1999. Т. 51, № 1. С. 1467-1475.

50. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973, 407 с.

51. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1977.

52. Ландис Е.М., Панасенко Г. П. Теорема об асимптотике решений эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной. // Доклады Академии Наук СССР. 1977. Т. 18. № 4. С. 1140-1143.

53. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.

54. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва: Мир, 1972.

55. Мазья В.Г., Назаров СЛ., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1981.

56. Мазья В.Г., Назаров СЛ., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Известия Академии Наук СССР. Серия математическая. 1984. Т.48. № 2. С. 347-371.

57. Максудов Р. Осцилляция ненагруженной вязкоупругой плиты с концентрированными массами. // Исследов. интегро-диффе-ренц. уравнен. 1981. Т. 14. С. 220-226.

58. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Усреднённые модели микронеоднородных сред. Киев: Наукова думка, 2005.

59. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.

60. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

61. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами. // Докл. РАН. 1993. Т. 133. № 1. С. 13-15.

62. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями. // Алгебра Анализ. 2000. Т. 12. № 2. С. 188-238.

63. Мельник Т. A. Vibrations and pseudovibrations of thick periodic junctions with concentrated masses. // Доповда HAH Укра'ши. 2001. № 9. С. 47-53.

64. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова Думка, 1976.

65. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

66. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущённых системах. М.: ФизМат Лит, 1995.

67. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1983.

68. Назаров С.А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1984.

69. Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел. Ленинград: Изд-во Лен. ун-та, 1987.

70. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана. // Изв. вузов. Математика. 1989. N2 И. С. 60-66.

71. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

72. Назаров С.А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. I. // Труды семинара И.Г.Петровского. 1995. Т. 18. С. 3-78.

73. Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Новосибирск: Изд-во "Научная книга", 2002.

74. Олейник О. А. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1976, 108 с.

75. Олейник О.А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов. // УМН. 1987. Т. 42. Вып.З. С. 221-222.

76. Олейник О.А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988, с.101-128.

77. Олейник О. А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функциональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988, с.165-171.

78. Олейник О.А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс. // УМН. 1988. Т.43. № 4. С. 187-188.

79. Олейник О.А., Иосифъян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Изд. МГУ им. М.В.Ломоносова, 1990.

80. Олейник О. А., Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптических уравнений с быстро меняющимся типом граничных условий. // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48. № 6. С. 163-164.

81. Олейник О. А., Чечкин Г. А. Об одной задаче граничного усреднения для системы теории упругости. // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. №.4\ С. 114.

82. Олейник О.А. Лекции об уравнениях с частными производными. Второе издание. Классический университетский учебник. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005, 260 с.

83. Перес М.Е., Чечкин Г.А., Яблокова (Доронина) Е.И. О собственных колебаниях тела с "лёгкими" концентрированными массами на поверхности. // УМН. 2002. Т. 57. Вып. 6. С. 195-196.

84. Планида М.Ю. О сходимости решений сингулярно возмущённых краевых задач для лапласиана. // Матем. заметки. 2002. Т. 71. № 6. С. 867-877.

85. Планида М.Ю. Асимптотика собственных значений для цилиндра теплоизолированного на тонкой полоске. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. Т. 43. № 3. С. 403-413.

86. Планида М.Ю. Асимптотики собственных элементов оператора Лапласа со сменой типа граничного условия на узкой уплощенной полосе. // Математические заметки. 2004. Т. 75. С. 236-252.

87. Полиа ГСегё Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

88. Пятницкий A. JI., Чечкин Г. А., Шамаев А. С. Усреднение. Методы и приложения. Белая серия в математике и физике. Новосибирск: Изд-во "Тамара Рожковская". 2007 в печати].

89. Рахманов Н.У. О собственных колебаниях систем с концентрированными массами; Дисс. к. ф.-м. н. М.: МГУ, 1991.

90. Сажпидинов А. Исследование механических систем с распределёнными и концентрированными массами, j j Вопросы вычислительной и прикладной математики. 1981. Т. 64. С. 83-91.

91. Сандраков Г.В. Осреднение нестационарных задач теории сильно неоднородных упругих сред. // Доклады РАН. 1998. Т. 358. № 3. С. 308-311.

92. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990.

93. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

94. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщённых функций. М: Наука, 1989.

95. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. К.: Наукова думка, 1972.

96. Тихонов А.П., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

97. Федорюк М.В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения. // Труды семинара С.Л. Соболева. № 1. Новосибирск. 1980. С. 113-131.

98. Христенко А.С. Колебания непологих оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами // Изв. АН СССР сер. Мех. тв. тела. 1972. № 4. С. 116-122.

99. Чечкин Г.А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями. // Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных.- Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1988. с. 95-104.

100. Чечкин Г. А. О частично закрепленной мембране. // Бюллетень СМО, Новосибирск. 1989. С. 30-32.

101. Чечкин Г.А. Спектральные свойства эллиптической задачи с быстро осциллирующими граничными условиями. // Краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных.-Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1989. с. 197-200.

102. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий. // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 6. С. 99-150.

103. Чечкин Г.А. О колебаниях тел с концентрированными массами, расположенными на границе, j j УМН. 1995. Т. 50. Вып. 4. С. 105-106.

104. Чечкин Г.А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий. // Труды семинара им. И.Г.Петровского. 1996. Т. 19. С. 323-337.

105. Чечкин Г.А. Граничное усреднение в областях с сингулярной плотностью. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 6. С. 855.

106. Чечкин Г.А. Расщепление кратного собственного значения в задаче о концентрированных массах. // УМН. 2004. Т. 59. Вып. 4. С. 205-206.

107. Чечкин ГА. Об оценке решений краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы. Случай "лёгких" масс. // Мат. заметки. 2004. Т. 76. № 6. С. 928-944.

108. Чечкин Г.А. Усреднение модельной спектральной задачи для оператора Лапласа в области с большим количеством близко расположенных "тяжёлых" и "средних" концентрированных масс. // Проблемы математического анализа. 2006. Т. 32. С. 45-76.

109. Чечкин Г.А. Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе. // Проблемы математического анализа. 2006. Т. 33. С. 103-111.

110. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

111. Эшматов X., Абдикаримов Р.А., Вобоназаров Ш.Р. Влияние концентрированных масс на устойчивость вязко-упругих трубопроводов. // Доклады Академии Наук Узбекистана. Математические и технические науки естествознания. 1996. № 7. С. 20-23.

112. Яблокова (Доронина) Е. И. О собственных колебаниях тела с концентрированными массами критической плотности, расположенными непериодически на поверхности. // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. № 6. С. 171-172.

113. Яблокова (Доронина) Е. И. О колебаниях тела с тяжелыми концентрированными массами около границы. // Современная мат. прил. 2003. Т. 10. С. 216-226.

114. Achong A. Vibrational analysis of circular and elliptic plates carrying point and ring masses and with edges elastically restrained. // J. Sound Vibration. 1995. V. 183. № 1. P. 157-168.

115. Allaire G., Amar M. Boundary Layer Tails in Periodic Homogeniza-tion. // ESAIM Control, Optimisation and Calculus of Variations. 1999. V. 4. P. 209-243.

116. Amirat Y., Simon J. Riblets and Drag Minimization. // In: Optimization Methods in PDE's. (Eds. S. Cox and I. Lasiecka; Contemporary Mathematics AMS). 1997. P. 9-17.

117. Argatov 1.1., Nazarov S.A. Junction problem of shashlik (skewer) type. // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1993. V. 316. № 12. P. 1329-1334.

118. Chang Т.-P., Wu M.-H. On the use of characteristic orthogonal polynomials in the free vibration analysis of rectangular anisotropicplates with mixed boundaries and concentrated masses. // Comput. Struct. 1997. V. 62. № 4. P. 699-713.

119. Chechkin G.A., Perez M&E., Yablokova E.I. Non-Periodic Boundary Homogenization and "Light" Concentrated Masses. // Indiana University Mathematical Journal. 2005. V. 54. № 2. P. 321-348.

120. Chechkin G.A. On Vibration of Partially Fastened Membrane with Many "light" Concentrated Masses on the Boundary. // С R Meca-nique. 2004. V. 332, № 12. P. 949-954.

121. Damlamian A., Li Ta-Tsien (Li Daqian). Boundary Homogenization for Elliptic Problems. // J.Math.Pure et Appl. 1987. V. 66. P. 351 -361.

122. Dal Maso G. An Introduction to Г-convergence. Boston, MA: Birk-hauser Publ. 1993.

123. De Giorgi E. Convergence problems for functionals and operators. // Proc. Int. Meeting on "Recent Methods in Nonlinear Analysis Rome 1978, ed. E. De Giorgi, E. Magenes, U.Mosco, Pitagora ed Bologna, 245-256 (1979).

124. De Giorgi E., Spagnolo S. Sulla convergenza delli integrali dell energia per operatori ellitici del secondo ordine. // Boll. Unione Mat. Ital. 1973. V. 8. P. 391-411.

125. Erol H. Vibration analysis of stepped-pipe strings for mining from deep-sea floors. // Ocean Engineering. 2005. V. 32. № 1. P. 37-55.

126. Figotin A. and Kuchment P. Spectral properties of classical waves in high-contrast media // SIAM. J. Appl. Math. 1998. V.58. № 2. P. 683-702.

127. Gadyl'shin R.R. Asymptotics of the minimum eigenvalue for a circle with fast oscillating boundary conditions. // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I. 1996. V. 323. № 3. P. 319-323.

128. Gadyl'shin R.R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory. 11 C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. Math. 1999. V. 329, № 12. P. 1121-1126.

129. Gbadeyan J.A., Oni S.T. Dynamic response to moving concentrated masses of elastic plates on a non-Winkler elastic foundation. // J. Sound Vibration. 1992. V. 154. № 2. P. 343-358.

130. Glabisz W. Vibration and stability of a beam with elastic supports and concentrated masses under conservative and nonconservative forces. // Comput. Struct. 1999. V. 70. № 3. P. 305-313.

131. Golovaty Yu. D. On WKB-approximation of high frequency vibrations of a singular perturbed string. // Proc. of Int. Conf. "Nonlinear partial differential equations". Kiev, August 26-30. IX. 1997. -P. 62.

132. Golovaty Yu. D.} Lavrenyuk A. S. Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold. // Mat. Stud. 2000. V. 13. № 1. P. 51-62.

133. Gomez D., Lobo M., Perez M-E. On the Eigenfunctions Associated with the High Frequencies in Systems with a Concentrated Mass. // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. P. 841-865.

134. Gomez D., Lobo M., Perez M-E. On a Vibrating Plate with Concentrated Mass. // C.R. Acad.Sci.Paris. Serie lib. 2000. V. 328. P. 494-500.

135. Howland R.C.J. The whirling speeds of shafts carrying concentrated masses. // Philos. Magazine. 1925. V. 49. № 6. P. 1131-1145.

136. Jikov V. V., Kozlov S. M., Oleinik O. A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functional. Berlin-New York: Springer Verlag, 1994.

137. Kasprzyk S., S§dziwy S. Vibrations of an elastic body carrying a number of concentrated masses. // Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci. 1999. V. 47. № 3. P. 209-220.

138. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1966. (Пер. на рус. яз.: Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М: Мир, 1972, 740 с.)

139. Kocaturk Т., Sezer S., Demir С. Determination of the steady state response of visco elastically point-supported rectangular specially orthotropic plates with added concentrated masses. // J. Sound Vibration. 2004. V. 273. № 4-5. P. 789-806.

140. Kondratiev V.A., Oleinik O.A. Asymptotic properties of the elasticity system // In: Proceed. Intern. Conference: Application of Multiple Scaling in Mechanics, Paris: Masson, 1987, pp. 188-205.

141. Lakin W.D., Kvaternik R.G. An integrating matrix formulation for buckling of rotating beams including the effects of concentrated masses. // Int. J. Mech. Sci. 1989. V. 31. № 8. P. 569-577.

142. Laura P.A.A., Laura P.A., Diez G., Cortinez V.H. A note on vibrating circular paltes carrying concentrated masses. // Mech. Res. Commun. 1984. V. 11. P. 397-400.

143. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the Eigenvalue of a Membrane with a Concentrated Mass. // Quarterly Appl. Math. 1989. V. XLVII. № 1. P. 93-103.

144. Lions J.-L. Asymptotic Expansions in Perforated Media with a Periodic Structure. // Rocky Mountain J. Math. 1980. V. 10, № 1. P. 125-140.

145. Lobo M., Perez M&E. Asymptotic Behavior of the Vibrations of a Body Having Many Concentrated Masses Near the Boundary. // C.R. Acad. Sci. Paris. Serie II. 1992. V. 314. P. 13-18.

146. Lobo M., Perez M-E. On Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 1993. V. 3. № 2. P. 249-273.

147. Lobo M., Perez M&E. Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary: High Frequency Vibrations. // In Spectral Analysis of Complex Structures. Paris: Hermann, 1995: 85101.

148. Lobo M., Perez M&E. Vibrations of a Membrane With Many Concentrated Masses Near the Boundary. // Math. Models and Methods in Appl. Sci. 1995. V. 5. № 5. P. 565-585.

149. Lobo M., Perez M-E. The skin effect in vibrating systems with many concentrated masses. // Math. Methods Appl. Sci. 2001. V. 24. № 1. P. 59-80.

150. Madan V.P. Vibration of viscoelastic beams carrying an arbitrary number of concentrated masses. // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1970. V. 15. P. 267-277.

151. Marietta M., Shkalikov A.A., Tretter C. Pencils of differential operators containing the eigenvalue parameter in the boundary conditions, // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 133. 2003. № 4. P. 893-917.

152. McMillan A.J., Keane A.J. Shifting resonances from a frequency band by applying concentrated masses to a thin rectangular plate. // J. Sound Vibration. 1996. V. 192. № 2. P. 549-562.

153. MeVnyk T.A. Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses. // Math. Models Methods Appl. Sci. 2001. V. 11. № 6. P. 1001-1027.

154. Murat F., Tartar L. Calcul des variations et homogeneisation. R 84012. Paris. Universite Pierre et Marie Curie, Centre National de la Recherche Scientifique, Laboratoire d'analyse numerique, 1984.

155. Naguleswaran S. Transverse vibrations of an Euler-Bernoulli uniform beam carrying several particles. // Intern. J. Mech. Sci. 2002. V. 44. № 12. P. 2463-2478.

156. Nazarov S.A. Concentrated masses problems for a spatial elastic body. //C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1993. V. 316. № 6. P. 627-632

157. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions. // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777-799.

158. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators. // In: Non classical continuum mechanics., 1987. - Lecture Notes series. 122, - Cambridge University Press. - p. 188-205.

159. Oleinik O.A., Sanchez-Hubert JYosifian G.A. On vibration of membrane with concentrated masses. // Bulletin des Sciences Ma-thematiques. 1991. V. 115. № 1. P. 1-27.

160. Oleinik O.A., Shamaev A.S., and Yosifian G.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. Amsterdam: North-Holland. 1992.

161. Onizczuk Z. Free transverse vibrations of an elastically connected double-beam system with concentrated masses, elastic and rigid supports. // Mech. Teor. Stosow. 1989. V. 27. № 2. P. 347-361.

162. Ozkaya E. Non-linear transverse vibrations of a simply supported beam carrying concentrated masses. // J. Sound Vibration. 2002. V. 257. № 3. P. 413-424.

163. Panasenko G.P. Asymptotic Analysis of Rod Structures. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers, 2001.

164. Raskovic D. Transverse bending vibrations of beam on many supports carried by a series concentrated masses. // Zbornik masinskog. Faculteta 1954-55. 1956. P. 42-52.

165. Rossi R.E., Laura P.A.A., Avalos D.R., Larrondo H. Free vibrations of Timoshenko beams carrying elastically mounted concentrated masses. // J. Sound Vib. 1993. V. 165. № 2. P. 209-223.

166. Rybalko V. Vibration of Elastic Systems with a Large Number of Tiny Heavy Inclusions. // Asymptotic Analysis. 2002. V. 32. № 1. P. 27-62.

167. Sadiku S., Leipholz H.H.E. On the dynamics of elastic systems with moving concentrated masses. // Ing.-Arch. 1987. V. 57. P. 223-242.

168. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Vibration and Coupling of Continuous System. Asymptotic methods. Berlin Heidelberg: Springer - Verlag, 1989, 421p.

169. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systemes avec masse concentree. . // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. II Mec. Phys. Chim. Sci. Univers Sci. Terre. 1989. V. 309. № 6. P. 507-510.

170. Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with concentrated masses. // In: Trends andApplication of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.

171. Sanchez-Palencia E.} Tchatat H. Vibration de systemes elastiques avec masses concentrees. // Rendiconti del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino. 1984. V. 42. W 3. P. 43-63.

172. Sanchez-Palencia E. Homogenization Techniques for Composite Media. Berlin New York: Springer-Verlag. 1987.

173. Shkalikov A.A. Operator pencils arising in elasticity and hydrodynamics: the instability index formula. Recent developments in operator theory and its applications (Winnipeg, MB, 1994). Oper. Theory Adv. Appl., 87. Basel: Birkhauser. 1996, p. 358-385.

174. Simsonas A.-I. The natural oscillations of thin plates with concentrated masses. // Lith. Math. J. 1978. V. 17. P. 275-279.

175. Solecki R. Vibration of plates with concentrated masses. // Bull. Acad. Pol. Sci., Ser. Sci. Tech. 1961. V. 9. P. 209-215.

176. Van Dyke M.D. Perturbation Method in Fluid Mechanics. New York: Academic Press. 1964.

177. Verma M.K., Krishna Murthy A. V Non-linear vibrations of nonuniform beams with concentrated masses. // J. Sound Vibration. 1974. V. 33. P. 1-12.