О несвязных редуктивных линейных группах со свободной алгеброй инвариантов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВ А Механико-математический факультет

РГ Б ОН

На правах'рукописи УДК 512.74

Щмелькин Дмитрий Альфредович

О несвязных редуктивных линейных группах со свободной алгеброй инвариантов

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

— Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре высшей атгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В .Ломоносова.

Научный руководитель -Оффициальные оппоненты

Ведущая организация -

доктор физико-математических наук, профессор Э.Б.Винберг. ■ доктор физико-математических наук, профессор В.Л.Попов, доктор физико-математических наук, доцент П.И.Кацыло. Ярославский государственный университет.

Защита диссертации состоится б />¿1995 г. в 16 ч. 05

мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899,. ГСП, Воробьевы горы, МГУ, механико-математичесЕ.::п факультет аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан ^ О^млуиЛ с^ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.05 при МГУ доктор

физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена изучению комплексных редук-тнвных линейных групп (7 С (7Х(Т/) со свободной алгеброй инвариантных полиномов - С[У]с. Линейные группы <7 с таким свойством а также линейные представления, образ которых обладает этим свойством называются корегулярными. Интерес к нерегулярным линейным группам происходит, в частности, из интереса к структуре ка-тегорных факторов У/С = 8ресС[У]с редуктивных линейных групп, являющихся аффинными алгебраическими многообразиями,* ввиду теоремы Гильберта об инвариантах. Для ко регулярных линейных групп категорньш фактор изоморфен аффинному пространству А". В то же время, если исключить случаи, когда С - конечная группа или тор,, то оказывается, что среди линейных групп, для которых структура фактора может быть установлена, значительное большинство составляют именно корегулярные группы.

История изучения ^регулярных групп насчитывает более 100 лет, восходя к работам классиков теории инвариантов, исследовавших инварианты (конкомитанты, коварианты) конкретных групп, и в некоторых случаях обнаруживших их нерегулярность. _ Результаты этой деятельности были использованы в данной работе. С ;

• Начало классификационному подходу в исследовании корегулярйых групп было положено работой Шевалле ([7]), в которой был .установлено, что конечная линейная группа корегулярна тогда и только то-

[1] Кас V.G., Popov V.L., Vinberg E.B. Sur les groupes algebriqnes, dont l'algèbre des invariants est libre // Cjr. Acad. sei. Paris -1976-283 ser.A.-c.875-878.

[2] Адамович O.M., Головина E.O. Простые линейные группы, имеющие свободную алгебру инвариаптов//Вопросы теории групп и гомод. алгебры. Ярославль, 1979 - с.3-41.

[3] Schwerz G.W. Representation of simple Lie groups with regular rings of invariants// lav. Math. -1978-49-C.167-I91.

[4] Винберг Э.Б., Попов В Л. Теория инвариантов// Итоги науки итехняки. ВИНИТИ. Соар. пробл. иатем. фундам. направл. - 1989 - т.55 - с.137-309.

[5] Пагаошев Д .И. О полупростых группах, допускающих конечное корегулярное расширение // и>ун. анализ н его првдож. - 1993 - т.27 - аып.З - сЯ2-84.

[6] Виаберг Э.Б., Окяшик АЛ. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам - М. Наука 1?88 3 43 с. , ,

V

гда, когда она порождена отражениями.

Первыми примерами связных корегулярных линейных групп, не исследованных классиками, следует, по-видимому, считать присоединенные группы редуктивных алгебраических групп, чья корегулярность была получена Шевалле (в тесной связи с приведенной выше теоремой) и группы изотропии симметрических пространств (Костант, Рал-лис). Начало классификационному подходу в теории связных корегулярных групп было положено в работой [1] Э.Б.Винберга, В.Г.Каца и ВЛ.Попова, в которой была получена классификация неприводимых корегулярных представлений связных простых групп. Ответ был получен в виде списка. В работе было также доказано, что корегулярность редуктивной линейной группы влечет корегулярность ¿пайс-представлений стабилизаторов всех полупростых точек. В сочетании с найденной там же оценкой на множество корегулярных линейных групп (вообще говоря, несвязных) с простои трехмерной алгеброй Ли это дало очень сильный и удобный метод доказательства некорегуляр-ности редуктивных линейных групп.

Вскоре почтя одновременно и независимо вышли работы Дж.Шварца ([3]) и О.М.Адамович и Е.О.Головиной ([2]), в которых был получен список приводимых корегулярных представлений связных простых групп. Следует отметать, что необходимая проверка некорегулярности линейных групп в обоих случаях выполнена в духе работы [1], тогда как доказательство корегулярности потребовало исследования многих, ранее не рассматривавшихся случаев и разработки (особенно в работе [3]), новых методов.

Наконец, ШЬгггельманном, в работе [8] было получен список неприводимых корегулярных представлений связных полупростых групп.

Дальнейшего развития классификационная работа для связных групп пока не получила, что связано, скорее всего, с необходимостью рассмотрения слишком большого количества случаев.

В классе бесконечных несвязных групп были "известны примеры ко-

[7] Chevalley C., Invariants of finite groups, generated by reflections, Amer.J.Math. - 77 - (1955), 778-782.

[8] LitteSmann P., Koiegulare und aquidimensionale Darstellungen ha! beinfacher Liegnippen, J.Algsbra 123 - (1989),193-222..

[9] Nakajima H. Representation of a reductive algebraic groups, whose algebra of .invariants are complete intersection//.], reine aagew. math. - 1985 - 367. - c. 115-138.

регулярных групп, однако классификационная работа в этом направленна до последнего времени не велась. Между тем уже при первом взгляде на предмет легко понять, что проблема для несвязных групп может быть разделена на две различные части. Имеется множество несвязных корегулярных групп G С GL(V) для которых связная компонента единицы G0 сама является корегулярной. Это значит; что фактор V//G0 изоморфен линейному пространству С" для некоторого п, причем действие на нем конечной группы G/G0 - линейное. Но существует естественный изоморфизм V/G = (V/G°)/(G/G°), и применяя теорему Шевалле (см. выше) получаем, что нерегулярность группы G равносильна порожденности образа группы G/G0 отражениями, при представлении последней в пространстве V/G0. Последнее условие нетрудно проверить для данной группы G0 и ее произвольного конечного - расширения, если только известны образующие алгебры C^V]0". Таким образом, если в некотором классе редуктивных линейных групп получена классификация связных корегулярных представителей, то в принципе нетрудно получить описание несвязных корегулярных групп G в этом классе с корегулярной группой G0, единственный недостаток которого состоит в том, что для многих связных групп описание всех их конечных корегулярных расширений займет очень много места. Поэтому автор решил оставить пока эту часть задачи без рассмотрения, удовлетворившись идейной ясностью ситуации, и заняться . рассмотрением второй возможности - несвязных-корегулярных групп с некорегулярной связной компонентой. Для этого автор ввел следующее определение:

Определение. Линейная алгебраическая группа G называется ква-зикорегулярной, если она допускает конечное корегулярное расширение; линейное представление называется квазикорегулярным, если таков его образ.

Теперь может быть сформулирована цель работы.

Цель диссертации. Цель диссертации заключается в исследовании квазикорегулярных и некорегулярных связных редуктивных линейных групп и их корегулярных конечных расширений.

Методы исследования. В работе используются методы геометрической теории инвариантов, теории представлений редуктивных групп и

классической теории инвариантов.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми п состоят в следующем:

1. Получен критерии нерегулярности несвязной подупростой группы <7 в терминах действия группы С?/С?° в касательном пространстве ИЛ к фактормногообразию в точке - образе начала координат и естественного вложения У/£7° С ]У.

2. В качестве следствий п.1, получены:

новое, более простое доказательство того, что фактор по действию связной квазикорегулярной полупростой: линейной группы является пол-ньум пересечением, что было ранее доказано в [5] (напомним, что аффинное алгебраическое многообразие X С А" размерности'я называется полным пересечением, если идеал 1(Х) порожден п-в элементами).

дополнительные условия, необходимые для существования конечного »»регулярного расширения связной подупростой группы, полученного с помощью циклической (соотв. абелевой и абелевой, централизующей связную компоненту) конечной группы.. • ;

3. Получен пример квазикорегулярной связной неполупростой ре-дуктивной линейной группы, фактор по действию которой не является полным пересечением.

4. Для любого представления ж группы б обозначим через С[тг] адгет бру регулярных функции на пространстве представления, и положим:

• = {де М(ж(С))\С[к]с с ОД}-

¡"руппа 1(тт) является некоторым расширением группы т(<3). Доказано, что почти для всех квазикорегулярных и некорегулярных представлении тг связной простой группы й это расширение тривиально. Для двух случаев, когда оно нетривиально, оно найдено (см. теорему 0.2). Для произвольной] связной редуктивной группы й получено утверждение, < сводящее описание конечных корегулярных расширений группы р{С), где р = р++ра, представление ро тривиально, а р+ не содержит тривиальных компонент, к соответствующему вопросу для р+{0) и знанию группы /(р+).

о. Методы доказательства некорегулярности, полученные в [1] развиты до соответствующих методов доказательства неквазикорегуляр- •

о

- ностп редуктивных линейных групп. Доказано, что для связной простой лпнейной группы G п ее представления р конечное корегуляр-ное расширение группы p{G), централизующее эту группу может быть получено с помощью операторов, действующих скалярно на каждой изотипной компоненте представления р { в частности абелево ), если только (G, р) ф (Sin. Vi + ). В сочетании со вторым следствием пз п.2 это дало новый сильный-метод доказательства неквазикорегуляр-ности простых линейных групп.

6. Получен основной результат диссертации: список всех квазикоре-гулярных но не корегулярных представлений связных простых групп G за исключением трех линейных представлений, для о.бразов которых вопрос о квазикорегулярности пока не решен. Для каждого представления р из списка найдены: группа 1(р), все конечные корегулярные расширения группы p(G), образующие алгебры С[р]с инвариантов группы G и соотношение между ними (единственное в каждом случае).

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории инвариантов линейных алгебраических групп.

Аппробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории инвариантов кафедры высшей алгебры механико-математического фа^льтета МГУ, а также на конференции по алгет браической геометрии, имевшей место 14-28 августа 1994 года в Международном центре теоретической физики (I.C.T.P.) в г.Трнест (Италия).

Публикации. Полученные результаты опубликованы в трех работах автора, указанных в конце-автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти параграфов. Список литературы насчитывает 31 работу. Объем диссертации 72 страницы, включая 11 страниц таблиц и 1 страницу с рисунками.

Краткое содержание диссертации

Во введении дан обзор результатов по исследуемым вопросам; введена система обозначений из которой нам ниже понадобятся следующие: V

Система обозначении. Простые алгебраические группы мы обозначаем одним ш символов SL„,Sp„, Spin„ (imi SOn), Gaji^-Ee, £7,Непростые линейные группы суть" образы простых алгебршпескпх групп при (конечномерных) линейных представлениях, причем разные представления, сопряженные при помощи некоторого автоморфизма схемы Дынкина, задают одну н ту же линейную груцпу. Это надо иметь в виду во всех нижеследующих результатах, содержащих списки линейных групп, так как в них указывается только одно из представлений, задающих описываемую группу. Нумерация простых корней простых алгебр Ли используется такая же, как в книге [6]. Неприводимое представление простой алгебры Ли ранга г, старший вес которого имеет отметку а,- на t-том корне при t = I,--- ,г, обозначается через <pl* • • -<Ргг- Приводимое представление обозначается аддитивной комбинацией символов, отвечающих неприводимым компонентам (например. ip\ + 2pi).

(G, р) или p[G) - образ группы G при представлении р.

V(p) - пространство представления р.

С[р] - алгебра C|V(/?)].

Nh(G) (Zn(G)) - соответственно, нормализатор и централизатор подгруппы G в группе "Я.

N(G) (Z(G)) - то же, что и Nai{y) (G) (ZaL(V)(G)).

pr - представление^ связной полупростой группы G, получающееся действием на отметках представления р автоморфизма г схемы Дынкина.

Aut(p) - подгруппа всех автоморфизмов т схемы Дынкина, таких что рт = р

SLn = {д S GLn\det(g) = ±1}. Каждое рассматриваемое ниже представление р группы SLn (соотв. 50„) в пространстве тензоров над пространством тавтологического представления естественно продолжается на группу SLn (соотв. Оп); такое продолжение будет обозначаться также через р.

{сьСг;--- ;cj} - элемент группы GL(V(p)), где р = pi + + Ри ко-, торый действует в пространстве V(pi) умножением на скаляр с,-, г — 1, ••■ ,/, при некотором (вообще говоря, не однозначно определенном) разложении: V(p) = V(pi) ф • • • © V(pi) пространства V(p) в прямую сумму неприводимых.

1(М) - идеал всех регулярных функций,-обращающихся в нуль на

подмножестве М С А".

(5) или АБ - нде&ч. порожденный подмножеством 5 алгебры А. Во введении сформулированы основные результаты диссертации.

Теорема 0.1. ,

Пусть й - неприводимая связная простая линейвая группа, кпазико-регуляряая, но не корсгулярпая. Тогда <7 - одна та следующих групп: (^Ьг,^5), Единственным конечным нерегулярным

расширением группы б является в каждом случае группа, р(БЬп) для соответствующего п = 2,3.

Теорема 0.2. Пусть, (С?,/>) - квазикорегулярная, но не корегулярная связная простая линейная груша, прячем У(р)с = {0}. Предположим, что 1{р) ф р(С). Тогда имеет место один пз следующих случаев:

(1) (С,р) = > 3,1(р) = рфГп)

(2) (в, р) = {БЬП, <р\ + 2 + ^1), п = 2ш +1, тп > 2,

1{р) = р(С){{1;~1-(-1Г}).

Теорема 0.3. Все квазпкорегулярные, но не нерегулярные связные простые линейные группы С? С такие что Vе = {0}, за ис-

ключением, может быть, лишь групп (8Ьт,(рз + <Р2)}(ЗЬт,<рз + 95), (51»8, ¥>з+¥>1+¥>7)> суть группы перечисленные в таблице I. Во всех случаях' факторШоГообразие есть гиперповерхность, обладающая таким пнволютивным автоморфизмом а, что многообразие (V//С)¡/{а) изоморфно аффинному пространству. _ Для каждой такой группы в таблице указаны образующие алгебры инвариантов, вид соотношения между ними и все нерегулярные конечные расширения.

Поскольку таблица 1 занимает много места, приведем лишь наиболее важную часть содержащейся в ней информации - список всех квазико-регулярных и некорегулярных связных простых линейных групп:

1. (5Ь„,^.+ 21)р1),п > 2; 2. + (п - !)<?„_!+р1),п > 3; 3.

(БЬп, <р\ + <р»-2 + рц), я = 2т +1, т > 2; 4. (5Ь„, к<р\ + *у£_1 + ^), п > 2,к+1 = 2; 5. > 3; 6. (ЗО^+^п > 3; 7.

(50л,пр,),п>3;8. (5£2, 9. (512,^+^2);10. (51^, 11. (£¿2, </"), к = 5, б; 12. (5Ь3,13. (5Х3, V? + к<ру +1&), к + 1 = 1; 14. (51,4,^); 15. (5^7,^3+3^); 16. 93+2^1); 17. (Яршу.рз+рг); 18. + (5р6,+ 20. (С2,92 + ^1).

Рассмотрим теперь- более общую ситуацию. Пусть G - связная ре-дуктивная группа, р : G GL(V) - представление, р = р+ + ро, причем ро тривиально, а р+ не содержит тривиальных компонент, V+ = K(p+),Vo = V(po),V = V+ф Vq- Очевидно, что группа (G,p) кпа-зикорегулярна и некорегулярна в точности тогда же, когда и группа (G,pj-). Если Н - конечное раепшрение группы(<7, р), то пространства V+ и Vo Я-инвариаитны. Для г £ Я определим новый оператор г+ е GL(V) следующим образом: г+(и+ 4- Do) = r(u+) + v0 при любых € V+,vo G Vo- Положим Л+ = {г+|г 6 Я}. Симметричным образом определим оператор r<j и группу Но- Заметим, наконец, что пространства V+ и V0 инвариантны относительно группы Др), причем она действует тривиально на Vo, а ее ограничение на V+ совпадает с

Др+). . . ^

Теорема 0.4.

(1) Группа Н корегулярна. тогда, я только тогда, когда она совпадает с произведением таких своих подгрупп Я+ и Я0, что Я+ есть корегуляряое расширение группы p[G), тривиально действующее в пространстве Vq , а ограничения конечной грушш Н° на пространства Vo и V+ являются, соответственно, группой, порожденной отражениями, и подгруппой в I(p.f).

(2) Если дополнительно известно, что I(p) = p(G), то можно считать, что Я+ = Н+,Н° - Я0, л имеем: Н — Н+ х Но-

Пусть группа G С G£(V) связна, редуктивна, Г С jV(G) и мы интересуемся нерегулярностью группы СТ (как показывает предложение 1.1, каждая полупростая линейная группа представима в таком виде). Алгебра C[V]a инвариантна относительно действия группы Г в алгебре C[V] и, более того, можно выбрать систему ji,••■ , /п полиоднородных образующих этой алгебры так, чтобы линейное подпространство {/ь • • • > /п) Я СУ\ было Г-инвариантным. Положим: W = (Д, • • • , /„)*, и рассмотрим естественно возникающее линейное представление

г

гг:Г ->GL(W).

Фактормногообразие V/G естественно вкладывается в пространство W в видеТ-инвариантного квазиконуса' К, однородного относительно

градуировки, возникающей в алгебре C[IV], если положить, что отвечающая многочлену /,• линейная форма на W однородна и имеет степень, равную степени многочлена /,• при г = 1, • • ■, п.

Теорема 0.5. Если связная группа G С GL(V) полупроста, Г С N(G), то группа GT нерегулярна тогда, it только тогда, когда выполнены-следующие условия: ,

(1) группа 5(Г) С GL{W) порождена отражениями

(2) существует такая система gi, ■■■ ,g„ однородных (алгебраически независимых) образующих алгебры <С[№]Г, что 1{К) = = qw)(ga+l, ■ ■ ■ ,§п), где s = tr. deg. €[V]G.

В частности, если эти условия выполнены, то VJjG = К - полное пересечение.

Первый параграф диссертации.

В первом параграфе доказывается, что любая несвязная полупростая группа G пред ставима в виде <3°Г, где Г - конечная подгруппа группы N(G°). Далее анализируется ситуация конечного корегуляр-ного расширения некорегулярной группы. Сохраняем систему обозначений введенную выше. Очевидно, что многообразия V//GT и КЦГ изоморфны. Но известен следующий результат (см. [4]):

Пусть Г - конечны группа автоморфизмов неприводимого аффинного комплексного многообразия X. Если множества неособыг точек • • фактормногообразия Х//Г односвхзно, то группа Г порождена отражениями.

С помощью только этого факта (и теоремы Шевалле) доказывается теорема 0.4.

В вышеприведенном факте утверждается, что группа Г порождена отражениями в своем действии на X. Однако в случае, когда многообразие X факториально и квазиконично, оказывается, что автоморфизм X, являющийся на нем отражением, является также отражением на касательном пространстве к вершине (как линейный оператор). Установивший это автор работы [о] доказал тем самым:

Лемма 1.2([5]). Если группа G связна п полупроста, a GT корегу- ' лярва, то группа е(Г) порождена отражениями в пространстве W.

Это составляет первую часть утверждения теоремы 0.5, которая в петом следует из доказанной в §1 леммы 1.4.

Лемма 1.4. Пусть IF - линейное пространство, координатная алгебра С[ИГ] = C[ii, • • -, х„] градуирована таким образом, что линейные формы Х{ однородны и имеют положптельяую степень, К - квазиконус в W относительно данной градуировки, причем многообразие А' неприводимо, его линейная оболочка совпадает с пространством IF и имеется конечная группа Г С GL(VF), порожденная отражениями, такая, что Т(К) С К. Тогда следующие условия равносильны:

(1) фактор К /Г изоморфен А*

(2) для любой системы ffw ■ • ,gn однородных образующих алгебры C[W]r идеал 1(К) порождается однородными элементами вида (с точностью до нумерации):

,9s) :' = l,---,n-s

(3) существует такая система gi,--- однородных образующих алгебрьгС[Иг]Г, что I{I<) = •••

Кроме того, если эти условия выполнены то К - полное пересечение.

Далее в §1 строится пример связной квазикорегулярной линейной группы (двумерного тора), фактор по действию которого не является полным пересечением. Наконец, в §1 доказывается следствие теоремы 0.5 в условиях, когда имеется дополнительная информация про группу

¿т. ' ' :

Следствие 1.5. Пусть G С GL[V), группа G полупроста и не нерегулярна, а группа GT корегулярна, tr. deg. C[V]G = s. Тогда:

(1) Earn группа е(Г) циклическая простого порядка р, то алгебра C[F]G имеет систему образующих /ь - ,Д,<? с единственным соотношением между ними, имеющим вид:

(2) Если группа с(Г) абелева, то С[У]с = €[/ь-- - ,fs,gw• ,9k], причем система соотношений между образующими имеет вид :

= Ж/. /.).«'=!,

(3) Если группа Г абелева п коммутирует с G, то имеется такая подгруппа Г С Г, что группа GF корегулярна и все образующие алгебр инвариантов всех нерегулярных ограничений группы G на инвариантные, подпространства в V инвариантам относительно группы Г. В частности, число таких образующих не больше, чем s.

Второй параграф диссертации.

В §2 исследуются необходимые условия квазикорегулярностн, проверка которых позволяет доказывать ее отсутствие. Оказывается, что свойство квазикорегулярностн редуцируется на слайс-представление полупростой точки (предложение 2.3). С редукцией к подпредставле-ншо дело обстоит не так просто. Однако для связных простых групп она имеет место, что доказывается на основе леммы 1.2. После подготовительного предложения 2.4, позволившего доказать теорему 0.2 (считая теорему 0.3 доказанной), и технического предложения 2.5, была доказана весьма важная лемма 2.6. Для оператора г из группы N(p(G)) корректно определен e(t). Положим е(г) равным числу неединпчных собственных значении оператора s(r).

Лемма 2.6. Пусть G - связная простая алгебраическая группа, р - ее некорегулярноепредставление, прячем V(p)G = {0}, г 6 Z(p(G)),e(r) < 1. Тогда, если (G,p) ф (SLn,tp\ 4- 2<р\);то оператор г действует ска-лярно на каждой изотопной компоненте представления р.

В качестве следствия имеем:

Следствие 2.7. Если представление р связной простой группы G ква-зикорегулярно, причем группа p(G) имеет центральное нерегулярное расширение (что всегда верно, если группа Aut (р) тривиальна), то любое его подпредставление квазнкор егулярно.

Важнейшим из методов доказательства неквазикорегулярностп служит лемма 2.8, являющаяся обобщением на свойство кзазнкорегулярно-сти теоремы 1 из [1]. Кроме того, в §2 сформулировано еще несколько утверждений (доказанных в работах других авторов), необходимых для доказательства неквазикорехулярности.

Третий параграф диссертации. Третий параграф диссертации целиком посвящен -доказательству теорейы 0.1. "Это было установлено

автором непосредственно, но также может быть получено следующим простым способом. В работе [9] было получено, что в рассматриваемом классе групп факторы - полные пересечения имеют, помимо коре-гулярных, лишь группы, указанные в теореме 0.1, п может быть еще лишь группа (51-4,91^). Удалось установить, что фактормногообра-зие для последней группы не является полным пересечением (и тем самым уточнить результат [9]). Что же до групп, указанных в теореме 0.1, то образующие и соотношение для них известны, и нетрудно установить их квазикорегулярность на основе этой информации. Одновременно доказано, что для связных неприводимых простых линейных групп свойства квазикорегулярности-и того, что фактор является полным пересечением, равносильны (предложение 3.1). Также, в качестве следствия, получено, лто все неприводимые компоненты квазпко-регулярного представления связной простой группы юзазикорегулярны (следствие 3.2).

Четвертый параграф диссертации. Четвертый параграф диссертации посвящен доказательству того, что все представления из таблицы 1 квазикорегулярны, а также получению всей остальной информации таблицы. Эта работа производится для каждого представлентя в отдельности последовательным перебором всех случаев. В качестве методов используются:

классическая теория инвариантов;

Лемма Игусы (лемма 4.1), причем проверка всех ее условий, как обнаружил автор, может быть значительно упрощена в случае, когда ре-дуктивная линейная группа квазикорегулярна (лемма 4.2 и предложение 4.3);

специальный метод, разработанный автором, позволяющий сделать вывод о количестве и степенях образующих полиградуированной алгебры по "хорошему" явному вида- ее ряда Пуанкаре, при проверке некоторых условий:

Предложение 4.4. Пусть ряд Пуанкаре алгебры А имеет вид:

1 + ¿а°

(1 — )(1 — £аг) - • • (1 — ¿а")' прячем степень ао не лежит в полугруппе, порожденной степенями с*1 ,-•-, а„. Тогда имеем:

. (1) алгебра А имеет образующий /о, такой что скй/о = а0- •

(2) Earn существуют такие алгебраически-независимые элементы Sw" ,/» С А, что deg/i = а;, то А = €[/(>,/!,-•• ,/„] я 6

Нахождение явного вида ряда Пуанкаре производится так. В каждом случае представление имеет две неприводимые компоненты, назовем их я- и г. Обозначим через Т максимальный тор в G, а через U максимальную у импотентную подгруппу, нормализующую Г." Ряд Пуанкаре для алгебры Цт+ж]а полностью определяется рядами Пуанкаре для алгебр C[r]v и C[ir]w, градуированных; во-первых степенями, и во-вторых, характерами ¡/-инвариантов - доминантными весами тора Г. В ка ждом случае суммы рядов Пуанкаре последних алгебр известны, и это позволяет, оперируя с рядами, получить и сумму ряда Пуанкаре для алгебры (^-инвариантов. Проверка условий предложения 4.4 производится либо непосредственно с помощью простых вычислений, либо „ весьма тонким образом используя хорошее знание инвариантов слайс- . представления, свойства идеалов, порожденных в алгебре всех регулярных функций на пространстве представления образующими алгебр инвариантов связных полупростых групп (предложение 4.5), и наличие сечений Вейерцгграссе.

Пятый параграф диссертация. Пятый параграф диссертации посвящен доказательству неквазиюорегулярности всех представлений простых групп, не упомянутых в теореме 0.3. При этом основная часть представлений разбирается с помощью трех методов, проверка условий которых сведена в таблицы: проверка условий леммы 2.8 - в таблицах А1-А8; проверка условий предложения 2.3 - в таблице Б; наконец, проверка условий, гарантирующих ввиду 1.5.3 и 2.6 (см. выше) неква-зикорегулярностъ некоторых представлений, выполнена в таблице В. Остается еще 14 специальных случаев, доказательство неквазикорегу-лярности в каждом из которых методами §2 представлено а §5.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Эрнесту Борисовичу Винбергу за постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. ShmelTrin D.A..Coregular algebraic linear groups, locally isomorphic

to SLn //Lie groups, their discrete subgroups and invariant theory. Advances in Soviet Mathematics - vol.8 - 1992 c.173-190.

2. Шмелыохн ДА. О квазикорегудярных группах. Депонировано в ---ВИНИТИ от 12.05.95, номер 132£В95, Москва 1995, 70 с.

3. Шмелышн Д.А. О несвязных корегулярных простых группах. // Успехи мат. наук.- 1995 т.50 - вып.3 с.169-170