О приближении функции сферическими средними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

министерство образования азербайджанской республики

БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М, Э. РАСУЛ-ЗАДЕ

ЭФЕНДИЕВА САМАЯ ХАНБАБА кызы

О ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ СФЕРИЧЕСКИМИ СРЕДНИМИ

01.01.01 —Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученых степеней кандидата физико-математических наук

РГо ОД 2 3 ^АЙ Ш

На правах рукописи УДК 517.5

ПАКУ-1994

Работа выполнена па кафедре «Высшая математика-1» Азербайджанской Государственной Нефтяной Академии.

Научный руководитель:

—доктор физико-математических наук, ;

профессор Р. Г. Мамедов.

Официальные оппоненты:

—доктор физико-математических наук,

профессор А. Дж. Джабраилов, —кандидат физико-математических наук, доцент Ар. С. Джафаров.

Ведущая организация: Институт Математики и Механики АН Азербайджанской Республики.

Защита состоится . 1 « ¿¿Шгьь 1994 г.

часов на заседании Специализированного совета Д. 054.03.02 по защите диссертаций на соискание ученых степеней физико-математических наук прн Бакинском государственном университете имени М. Э' Расулзаде, по адресу: 370145, Баку, ул. акад. 3. И. Халнлова, 23.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке БГУ имени М. 3- Расулзаде.

Автореферат разослан . * 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физико-математических на

профессор

М. я. ЯГУБОВ

Общая ¿аргтериот.ика^абота

Теория приближения функвдй является одним зга "интенсивно развивающихся разделов штзкатЕческого анализа.Фундамент этой теорга был залетел работах® П.ЛЛебниева /1854-59 гг./ о кап-лучкем равноглерпом приблменлл нвлрертвннх фухтаий кнотсчленаш я К.Еейерштрасса,устан0згашого/1Р(?5 г./ ггрпшигоальную возможности приблизить непрерывную т конечнон отрезке функцию алгебраически-ж чногочзенахяз со сколь утолю халой погрешностью.

{йюготасяехгоао иссдедсвагаи различиях авторов посвявдэпн изучению сходвмоста п скорости сходямоста сингулярнах гдтетрадсв, установлению пряодх я обратных теорем пркблгстактя фупгаий ляией-ними операторами,выявлению о'гккк закономерностей аеимптотгткп лть кояшх операторов и друтжм задачам. В-этой обхастн. следует"отаететь работа А.Лебега, ШЛЛйлле-Пуссеха, С.Н.1ерштеПва, Д.Джокссш, И.ПЛйтансага, II.й.Романовского, Д.К.Фадеева, П.П.Корспкит, Р.Г.Мамедава и других.

Одной нз шжннх проблехл соврэхлэннсй конструктивной теории функций является проблем* ваетяеняя лаяейнах операторов в различных пространствах.Ода берет свое начало в работах Ж.Фавара, а

дальнейиёо развитие,в значительной степеня,получила в работах

■ * • "

Г.Алексича, М.Заюнского, А.X.Турецкого,' П.Бутцера, Н.Еёрвша, Р.Несселя, Г.Суноитп, Ф.Х Ларшиладзе, Р. Г ДЬ медсва и других.

По сравнении с одномерным случаем исследование вопросов приближения функций многих леременних линейшма операторами звзчг-тельно усложняются ввиду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с многомерностью. Так напргелчр .сложность появля-

ется пр2 ешасантш. дафференцкьльно-разностннх свойств .Эта свойства кагут ¿'iть,вооСтдэ гешорд, различила по раздам гаправленкям.

Вопросы праблзаения фунжкй многих переменных кратными сушами в разные кратшми срэдаташ hгг. рядов Фурье/,а также определением йордаз. в класса тсыценяя ноксхоргх кратшх сингулярных интегралов авзшакнсь к занимаются многие шгештаки: Б.И.Гсхиуйов.А.К. Сгешкзн, Б.Г.Псноавренка, B.A.IQkh, П.Бутиер, М.К.Потапов к другие

В последние г от получше развитие теория функций на сфзре. В 8тем направлении получено много нотах интересных результатов вак в кашей "стране,так и за рубежом. К этому числу относятся работа Борвнда, Бутцера, Бавелке, С.М.Ивкольского, П.И.Лизоркшв , 'С.Б.Тоггурия.Ар.С.Дшфарсва т; других.

Однако к настоящему времени внжше вопроси приближения #унк-ДЕй многих пвремешых многомерными сингулярными интегралами л ле-ноЕнымп операторами так и не были 'исследованы в общем случае.

,".лкзая работа посещена изучению вопросов асимптотуки ,сходк-ностй я скорости сходимости кратных о поверхностных интегральных onojXiTopcr, а яаюко о пробеле кию порядка и класса насыщения этих операторов.

Работа состос? жз введения е орех глав. Известно,что на порядок приближения функций линейными пешо-аштельяыыи операторами ,'вообце говоря , не влияет хорошие диМя-репцкалыше свойства функций, например, существование производшх высших порядков. Однако,-для приближения функций из определенного класса, ка основа данного линейного оператора могло построить лннейше агрегата дапцме высокий порядок приближения. Подобные вопросы дня приближения гТуикций одной переменной линейннми опега-горами изучена Р-.Г.Мзмедсязы«.

первая глава посвящена построению линейнах агрегатов на основе кратных и поверхностных ¡щтегральннх операторов, а таи же изучению их асимптотических свойств.

В § 1.1 рассматриваются функция олредэленные в Л-мерной евклидовом пространстве К* .вводятся дифференциалы« е оператор* Рт(.{,х) и КтС?'^) -обобщениие лапласианы гит Пеано а Рага-на.Эти операторы определяются следующим образом.

Тля функции 4 .определенной в- К а суммируемой по сф'орап г) - X } при достаточно ттх Ъ .

полежим

где 5*(ОЛ) , /5*7

ной сферы э .Пусть в точке. ь л жэ.егся конечный предел Ъ)-4'(х>0)ъст существует конечные пределы

где^ ~ <5, /, . ■ ■> -некоторое постоянные, то назовем их

^М-й обобщенным лалласганом соответственно таш Пеаир и Рида-па / или коротко, Р -лапласиан и -лапласиан/,

Коли фузодял ^ в точке -ГС имеет непрернгше '.пстшо ' производные до порядка З.т вклототчшио.то /тф^)" = ■ г.'1й А '). Л = ' -оператор Лиш~

са, г_л -тстдостгтяшй оператор.

"'«л-о таргакш онркрлязаются зим,что они явгя:й-■ <•- - ^ ^ < г^длогап: соотгргстэ-зкио -х сбобпекнау

симметрических производных Пеано /определение принадлежит Валле-Пуссену/ иЯт-х симметрвчемких производных Ршана функции одной переменной.

В § 1.2 'рассматриваются функики определенные на единичной сфере К -мерного евклидова пространства,аналогичным образом вводятся обобщенные сферические лапласианы тага Пеано и Ридана / Р -лапласстн и К -лапласиан/.

Параграфы 1.3 и 1.4 посвящены изучению асимптотических

5

свойств соответственно кратных и поверхностных интегральных операторов, Приведем лишь основные результата шраграфа 1.4.

■ Цусть класс интегрируемых ш единичной сфере /'-мер-

ного евклидова пространства функций.

Вассшгрнвается последовательность поверхностных интегральных операторов ■ />

' Л/4,*)- -а)

с эЪтальным даром .Известно, что если ,то интег-

' * ' к

рал в правой часта равенства (I) .почти для каждого значения ¿С 6 5

существует.' . ,

Для функции .интегрируемой по контурам (Х^)- (у > о) .сферический сдеиг определяется равенством

15 !6и' <* tx.fr соь$

где лС(^) является (К-3-) -мерным поверхностным элементом поверхности

Пусть СЩ Я' ф/ ■ 31 .где О* § $

Ш основе интегрального оператора (I) .подобно одномерному "Ч.УЧЧЮ, строятся . /7г. -сунгуляржй Ентегчял ДЛЯ с'бсрк

г*/,,

I

(хт)( ¿1С j=o с «

где ^ ^¿аъ? 51/г (.4)

Вводятся следующие классы (функций на сйере: ■ |Ч.(х, tn, Р ) и И- (z;m;lf) -множества фунший измеримых и от раниченнкх на 5 ,а в точке ^ Xß t> имехида соответственно т -н Р и R лашастай; /¿^fXi/n;/* J -множество

функций удовлетворяющих условию

tun^ ds(y) < со

п__имею'л55х в точке /п. -й / -дашпслан;

f~L^(X'>m3 R ) -множество Фушший удсшетзорякш?1х условию

I 9 Uplfrtfl] < СТО

к ^

и имеющих в точке X 6 5 m -fl R- -лапласиан.Здесь, ° > / определенное число и определяется равенством (.'2) . Пусть

где /jf-^-l -евклидово расстояние между точками ^ •

Теорема I.4.I. Пусть ядро интегрального оператора

(I) является положительной зональной функцией и удовлетворяет

условию __

Üm. О (J-f,3,. .). (5)

j>~+ со ' °

Тогда выполнение соотношения

хотя ¿и щт одном штурально?л значении t .является необходимым в достаточным условием,чтобы для каждой функции из классов [1(х;гп;Р) и Н задели место соответственно следу-

юпуе равенства: _

ел-' х * а

Теорема' 1,4.2. Пусть ядро интегрального оператора (I) является положительной запальной функцией я удовлетворяет ус-лсзею (5] .Тогда , если соотношение

, Г ■

гапслняется хотя бы при одном натуральном зюченив £ ,то для ка-дой функции -г ' из классе© Р ) в )

справедливы соответственно асимптотические равенства (6) и (7).

Эти теореш применены к конкретным операторам.Например,применение теоремы 1.4.2 к оператору, Балле-Пуссену на сфере

где С05$я (Х^.)' и А ^ К-2. .дает следующий результат.

Для каждой функции 4 из классов - ¡-[ уС^Пх^Р*) и

/О справедливы соответственно'следующие асимйто-~~ таческие равенства:

пп+ин)1 п1' ■ гат^ш^яЩ"^

_ пТ%Ц)ЛГУпН±¡С&х), , т1т га+у

здесь 1&Х) --

а О

Б частном случае при т- í получаем

Сип О^Ф)

Применение этой теоремы к оператору Джексона на сфере

где 71 Ы/

и N -некотое натуральнее число,приводит к сведущему результату.

Если М>трИ 1р>1) ,то для каждой функции

,где ^ = ...имеет место следующее ' асиштотическое рад»енстя о

Ф /СМ.

Вторая гдат посряга» определению порядка сходимости крат^ яых и ясяерхностонх /п -сингуляи'Их интегралов .Приведем Некоторые рогуль тати' из ? 2.2.

Через ¿^^обозначается пространство функций определенных и непрерывных на 5* (К} 3) с нормой

. 14]с«5иек№)1.

р К

. ("5 ) (/¿р< оо ) есть пространство фикций, определенных на 5*" и интегрируемых тем относительно поверхностного элемента ^ ® в . Р -Й степени с нормой

• Р К

Через 3£(ЪК) обозначается один из пространств Ь (5 ) (7< Л-^^я!

ИЛИ ,).

Получен порядок сходимости поверхностных т -сингулярных интегралов (3) в терминах средних модулей непрерывности порядка ^ .которые определяются равенством

С

где. с>0 любое число

Л гп~> А —

Бдось Т- определяется равенством (4) .

Я к

¿дя каждой функцп ¿£(5 ) т -сингулярный ин-

теграл (3) входит в ¿С (5*) и

«ели ^5*) о сю) ,

если -Те ces*)

Теорема 2.2.1. Пусть иятегральныйсператор задается

м

равенством (3) и зональное ядро p-j» удовлетворяет следуздцим усяо-зг

] I Rj.IsLa'x ^М,

виям

-,0

а

0 ^ f/Stti.

60 Ы 5 fJl -D

к1 *

при J5—сю .Тогда для каждой'функции -fc. икает место неравенство к./

IÄ ) Jf.)и i^kl^lÜ^ltO Q* •

Б одномерном случае подобные теорема доказаны Р.Г.Шмвдовам.' Из последнего неравенства при л tn~ i ,гак частный еы?уэ2

получаем ,

!tf, -j-fi-j^ < /е ХСА/+ Q, г<Г).

Этот результат для ^^ получен Ар.С.Дпафаровым. другая спс. собой.

Б § 2.3 получен порядок сходимости поверхностных /и- -'савгу-лярннх интегралов (3) в некоторых характерных точках в в пространстве

¿ (5*) •

Теорема 2.3.1. Пусть /eLCS*) ж не отрицательная на С о; л] фикция /¿р (cos$ )G L( удовлетворяет следу-ювим условиям: „

JC

-0 lsKl j /¿j,(cos^;? d?*ti

а

Ъ

6° монотонно уйшзаот на [О, Ж] ,

а N1K-1

.-О

Д -- ^ ¿¿/г^ tfas^) c/f — <? iipît

—»- СО

где ^>0 и оЯ -некоторые числа;

г° для любого О < % выполняется соотношение

) при •~оо)где о^и < Л/ ,

Тогда,если в точке ¿С выполняется условие " ^ т-1 •

^б1П.'г ¿Х*о(ЫлН) (к-* о),

то в этой точке справедливо равенство

'Теорема 2.3.2. Пусть

и функция

удовлетворяет условию а0 теоремы '¿.3.1. Кроме того,функция И^Ссо^Х) имеет моюранту ,

которая удовлетворяет' условиям б° - г"той же теоремы в

51< М .

0 с." ■

Тогда,если в точке выполняется условие

'Г /С-Д. г _

1)&пчг /Ц (-0 dt--oC6cn.fi) (П~*о)р

I 0 ¿=0 о

ю в этой топке будет верно соотношение (Р) при а.

д*) ■ Сг/^г^х ■

п Р ^ ^ *

Теорема 2.3,3. Пусть £ Ь ) (Р>1) и функция удовлетворяет условиям теореш 2.3.2. Тогда,

если в точке X £ б" выполняется условие О ° г

при /т---*-О ,то'справедливо следующее равенство - 1?. -

где определяется равенством (9) .

Третья глава посвящена вопросу тсыщения кратных я поверхностных интегральных .операторов.

Напомним,что проблема насыщения в общем виде впервые бйла сформулирована Дк.Фаварогл.

Пусть Ли) -положительная и ¡«возрастающая функция в . 0-с.и. < со с ~ 0 ■ Если для последовательности

линейных оператор®

\hJfCf-x.) существуст класс ФсН функций. ■ § ,что при —¡-с>о действительно:

1° из ?1 Ц.-М 1е = следует Ц>

2° из I ц»/- 41е = ОЩ)) следует ^ € Ф >

3° для калдой функции £ ^ справедливо

тогда называется насыщенным в пространстве

порядком скг) я классом тсащеная 'Р ■

В § 3.1 установлены несколько вспомогательных утверждений,

сред!^ которых основными являются следующие лети.

Л е мм-а 3.1.1. Для функций £ (1 <Р < Л)

следующие даа равенства равносильны:

Дт-2 ^ „к

(ЧХ1) почти всюду Б К

.....к; ') - Г-^бу ]; /^//гП(ф

г ...Цп-МИ.

° о с? ' о

13

к /

[¿^ Тс& ¿кг.,: ¿Ьхпгх & • 00)

о О

Будем говорить,что функция ^ £ Ь (К ) ( '). кжот^

I?'. -й сьлышй ^ -лашвсган.есля существует Функция ^ б [.. С? )

такая, что

"■¿/п- р . Л/п

И с-№р*о; К/

О / (А+1) (¿гп)! ^о "

где через ({ обозначается множество .

языеришх в функцвй,лдя которых

' Р К

Л е м к а 3.1.8. Для двух функций $ € ) ^

сведущее да равенства равносильны:.

г- \ ' л

йт.1 "С ^Р^гпф)^-) 1=0,

н-о гц-и) уГв * « 4 р

а/га ^ ^ -.к

(¿¡XI) /(х)- ^ рс] почта всюду, в ^

С помощью &т»х лемм-доказывается одаа теорема позволявшая определить порядок и класс насыяетжя' кратных ^ -сингулярных штегралсв '¡т.7

■ Тр =

_ ¿гГА^/ЛГ I Г (Ч) (2т)! уро <> ■-------- - Л Р______

Т е о р е ма ЗЛЛ. Пусть (/<р«А> .лшей-

Шй пшюгштельный оператор определен равенством (II) и его радиальное ядро К, у ,хога бы при ода ом натуральном ьначетж I удовлетворяет соотношению

Тогда

■В* ? hri]

а0 из \Tj tfj-b-fto/,, = o(<tr J следует,что почти зсгду в Я ;

следует .что -feH(L(.R*) >fn;Rl;

в0 для каздой функции -/б HllJ(R*);m;£) верно

/ JCml(4; .)-fdlP ---

Здесь ^ " ^fW'ty является могяттсм

порядка Jim функции и через /i(L,P(/? Ю обоз-

начается множество, функций -f £ b (R ) ныещад

сйлъний /п -й ^ -ла пластан.

Следствие 3.1.2. Если ядро 171 -сангулярного интеграла (II) удовлетворяет условиям теоре?,ы 3.1 Л , то m насыщен в простран тве

L(R') (

с порядком

frfЛ

) (j>-yoa) и классом гаенщения является мноясстбо

функций H(L"(R*)i}n;i?).

Класс даснщешя. операторов ill) совгадает со югожостпси функций удовлетворяющих следующим эквивалентным соотноиепипм:

1. в т/Ъ, w - 4о IIР = oerfi. (f-~e~>.

2. существует Функция ) такая,что

кГУ/ Г1М1) aix,fm4cx}:^qix) ■

ГСт+МО

лл

почти. вевду в л ;

3° существует -^ртавя Ccr") 1агля',что

реiно СУП). -

Этк результата применены к конкретным кратным интегральным операторам Баусса-Вейарштрасса ,

в Шкара ,, г ,о/ч1

■ V * у

т. -сингулярные интегралы 1&усса-Вейерштрасса и Пккара насыщены в пространстве 1?(Р*) и^Р^Ъ) с порядком 0(Ц ) в классом

насыщения является кнокество функций И- (Ь (И*)> №> .При т-! , как частный случай,получаются некоторые ранее известные результаты. В §3.2 доказана одна общая теораш насыщения для поверхностных интегральных операторов с положительным зоналышм ядром, которая легко применяется к конкретным операторам.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Эфендвева С.Х. О некоторых обобщениях оператора Лапласа и их применения /Йсс.по некот.вопросам кон стр. теории функ.и дер.урав-нений /темат.сб.науч.трудов/.МзД.АзШШТЕХШа .1991. С.32-37.

2. Эфендаева С.Х. О порядке сходимости линейных интегральных операторов на. сфере в некоторых характерных точках //Ясс.по некоторым вопросам кон сор. теории функ. и диФ. уравнений /темат.сб.научных трудов/,Езд.АэШШТЕХШЛ683. С.63-67.

3. Эфендаева С.Х. Об асимптотике и о классах насыщения линейных положительных многократных интегральных операторов //Приб.функ. линейными операторами и сходимость рядов Фурье /сб.науч.трудов/. Изд.АзИИШТЕХШЛЭе?. С.83-104.

4. Эфендиева С.Х. О насыщении кратных интегральных операторов в

• р х

пространстве' Ь (/? ) и^Р^й) //Рукопись деп.в рищти 29 ютя 1950 года Н536. Аз. 6 с.

.. Эфендиева С.Х. Об асимптотике поверхностных интегральных операторов для дифференцируемых функций на сфере //Рукопись дел. в шт. '¿Ь июня года ' я537. Аз. О с.

!в - -

l^pheüdievTi Îïîîsîîira Khnnhnbn î:ir.y-

Alxjît rji>ror.ohina fimctiws of special avoroSs.

SVMMRY

For fractions dofir!«.i in 5 - dcnofitional evcklid rpneo arcl in a ninglfi nptaare of this rf^nc? hpr« iitrcdiiced :: - doiTorrit.ïal cî^t*1 tor'; - généraiïcod lspj.'i'iinu of Pefino nnd Ricsîpnn typ«.' Tiïrae opcrntr>r;3 natural nnuloÊ* cornoqiiîintly, of ?i3 - Ëeiiornlispd

pysr^fïî.rien 1 Pesno derivative nrd 'in - ry—ytv-:rn 1 Rien^n derivativ« or t.ï« function of rüio yiriable.

A nurbor of Ur;<>rf*ïï rjy.tit ¿¿ryr^lniic of E^ltiple 1 surfera integral op^rntors nro ^proverï. I'rrß Um clmrocteristicîï of npprojir;fwxi fmtcfcifyis !tfonernlii^KÎ lap 7 ö/Mpnrr.

Ti« nver;?£r ^piwrîcnl p.vcnpîîj mntîalus cf nc*rjt.iiiiiâty

nrn inl-rtrtirad. The theoresi atxxit Ur orrier cf r-jltipls end surface înt.fj^rRl everstorr; by öoduiur. of conlijmity are ?':'rcv~ivi, ar well

t he thoorirrï ahoist ths ordor of convergence oC sarfrice integral operstarts in scœn clmactsTcd pointa pjkI in iho rrneo of

Ccwmon Urror^-n of catiation for poaitiva ouTtiple of o - sinsilar intégrais ara nprcrrcd. This thsorea is splayng eanily for concreto raultiple integral Operators. The usina oE this tboorto in

ti = 1 for rultiplral n - Singulars integral of Gut ist! - Weierstrar« *

smri Picard loads to ae] IJtnowi rerults of Kessel orej Buzer. Analoßical r«î>lts abolit, satmtion of :rufsce integral Operators nr« obtninrd.

бфзндиЗвва Самаре Ханбаба гызы ©УНКСИШАШ CSiïPHK ОРТАЛАРЛА JAÏKBUASHACH МГГИВДА I У Л А С 8

К -eimnï евглид ({авасызда ва бу феэанын ваЬид сферасы ysg-рицдс ïs"jiîB олувауп фуикоа^апар ïiyb m-m дифврвнсиол опоре-горпар Псойо за Риивв тип ли tn-ч и таувилашшя лапаасианлар ■ seejnn ояунур.Бу операсорлар f у;)гуэ олараг, бирдв^иЕвипп функси-jßüfiii Лпъ—ът унукалзшш сшшогряк Пваво героивсянив ве Sm-чп сяуиегрз« íaaaB зорзиэсввнв аввлогларыдыр.

■ ¿агывлапдкрылав фувксиЗа уиуыилзвыиш лапласиаиларла характе-раев олунадгу Ъаллар учхв.чокгэе вэ сатЬ иитаграл операюрларыя ссввл501И280ы Ьаггында юороапер исбаг олунур.

СферЗЕ ор?а ва аовал орга косцлиазлиц иодупиара та"эив олунур. 4d£vas sa cash иаюграл операгорларыи jmraua гврвдбиви бу кесил-иззлшс кодуляары пло кфадз одон тсореидэр вэ Ьзычинив carh ингег-рая олерагорлериэ бе"аи харакгерик яеггэлврдв ве L ÍS ¡ (Pzf) fdsaouBjia Зыгылла ïepsaÔH Ьаггывда геореилар нсбат олувур.

Uïc6as чохгс! m -свигул^ар ив!8граллар учун умуии до^«а ieo-реив всбаг ояувмуш ве ковкрет onapasopnapa татбиг олуныушдур.Бу soopçaa tn = -t . Ьалында Гаусс-ВеЗерштрассыв ва Викарии К -raí tn -оввгулЗар ивтегралларывй *етбиг етдикда Нессел ве Бутсерин Н8"лум вэгичэлзри влйвыр.

Cerh ивгеграл олерагорлэр учув ввалсда додиа _хеоремлери исбат овуввуидур. г—