О распространении волн в слабо неоднородных слоистых акустических и упругих средах со слабо искривленными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение,. Э

ГЛАВА I. О МАТРИЧНО-ОПЕРАТОРНОМ ОПИСАНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ И УПРУГИХ ВОЛН В СЛАБОНЕОДОРОДЦЫХ СЛОЯХ И ПОЛУПРОСТРАНСТВАХ

§ I. Некоторые свойства формальных разложений специального вида ♦ . ♦

§ 2. Построение формального разложения матричного оператора С слабонеоднородного акустического слоя

§ 3. Построение формального разложения матричного оператора А границы слабо неоднородной акустической среды »••.

§ 4. Построение формального разложения матричного оператора С слабонеоднородного упругого

§ 5. Построение формального разложения матричного оператора А границы слабо неоднородной упругой среды .«.••••.*••••*

ГЛАВА 2. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ВОЛН В СЛАБО НЕОДНОРОДНЫХ СЛОИСТЫХ АКУСТИЧЕСКИХ И УПРУГИХ СРЕДАХ

§1.0 рассеянии волн пачкой слабо неоднородных акустических слоев, разделяющей полубеаконеч-ные среды

§ 2. О нормальных модах слабо неоднородного слоистого акустического волновода.

§ 3. О колебаниях свободной поверхности пачки упругих слоев, лежащей на упругом основании • * ♦ . »Л

§ 4. О нормальных модах слабо неоднородного слоистого упругого волновода •

§ 5. О функции Грина слабо неоднородного волновода

§6.0 функции Грина слоистого слабо неоднородного; акустического волновода .,6 ?

ГЛАВА 3. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЮЛН В СЛОИСТЫХ АКУСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ

§ I, Характеристическая матрица в случае акустических волн, распространяющихся вдоль оси цилиндрических слоев »•«.*. .7?

§ 2» Характеристическая матрица в случае азимутальных волн, распространяющихся в цилиндрических акустических слоях . ♦ #. 82.

§ 3* Характеристические матрицы многослойной среды и жидкого сферического слоя

§ 4. Получение выражений характеристических матриц методом суммирования рядов

§ 5. Характеристическая матрица произвольного слабо искривленного жидкого слоя *.

ШВА 4. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЮЛН В СЛОИСТЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННЫМИ ГРАНИЦАМИ.

§ I. Характеристическая матрица слабо искривленного цилиндрического упругого слоя в случай волн, распространяющихся вдоль образующих •

§ 2. Характеристическая матрица слабо искривленного цилиндрического слоя в случав азимутальных волн « .Y05"

§ 3. Характеристическая матрица слабо искривленного сферического слоя в случае азимутальных волн //

§ 4. Характеристическая матрица слоистой упругой системы со слабо искривленными границами . +

§ 5. Переход к матрицам пятого и шестого порядков .^^

Исследование распространения волн в слоистых упругих и акустических средах имеет большое значение для сейсмологии, сейсморазведки, акустики океанн и других приложений. В частности, в сейсмологии широко применима модель земной коры, представляющая ее в виде пачки слоев, ограниченной, с одной стороны, свободной поверхностью и лежащей на упругом полупространстве /22/. На основании теоретического решения задач распространения волн в слоистой среде осуществлю ется интерпретация натурных сейсмограмм, получаемых при землетрясениях и взрывах. Результатом интерпретации являются данные о строении земной коры и происходящих в ней процессах. Одной из задач, решения которых могут быть использованы при интерпретации наблюдений, является задача о колебаниях, вызванных волнами, приходящими из бесконечности» Эта ситуация отвечает землетрясению, происходящему на большой глубине. Самостоятельное значение имеет вопрос о рассеянии сейсмических волн пачкой слоев, разделающей две среды. Важность этого вопроса связана с возможностью глубинного залегания исследуемых слоев. При этом падающее поле формируется независимо от их строения, и его можно считать заданным» Большое прикладное значение имеет также задача о возбуждении колебаний источником, расположенным в системе слоев и моделирующим очаг неглубокого землетрясения. Наибольший интерес при этом представляет возбуждение нормальных мод слоистого волновода - волн типа Рэлея и Лява, переносящих колебательную энергию на значительные расстояния вдоль земной поверхности /22/.

В акустике океана модель слоистой акустической среды отвечает резким изменениям свойств среды в зависимости от глубины» Эти изменения встречаются в придонном слое, а также вблизи берегов. Б последнем случае слои образуются водой разной солености. Пресная вода, выносимая реками, имеет меньшую плотность и занимает верхний слой» Важным для практики является вопрос об отражении волн от системы слоев, так как по отражению зьука от дна определяют глубину моря. Также большое значение имеет задача о возбуждении нормальны] мод сосредоточенным источником, поскольку именно нормальными модами определяется акустическое поле на большом удалении от источника.

Во всех перечисленных задачах рассмотрение слоисто однородных сред является идеализацией. В действительности среда каждого слоя также не однородна. Ее свойства меняются от точки к точке, однако в ряде случаев эти изменения существенно более плавные, чем скачки от слоя к слою. То же касается и геометрии слоев: их поверхности искривлены, толщины плавно меняются. В практических важных случаях расстояние, на котором становится заметным изменение толщин и наклонов слоев, их акустических или упругих свойств, значительно превосходит характерную длину волны рассматриваемого поля колебаний. Иначе, исключая весьма частные случаи, поле колебаний имеет сложную структуру, не поддающуюся в настоящее; время интерпретации. Это связано с тем, что для расчета таких волновых полей необходимо применение численных методов, требующих значительных вычислений даже при наиболее рациональном их проведении/2/. Существенной экономии можно добиться за счет применения метода возмущений, основанного; на выделении поля колебаний слоисто однородных сред. Плавные неоднородности свойств среды вносят относительно малые возмущения поля колебаний соответствующей однородной среды. Важность учета этих возмущений связана с тем, что именно* неоднородности сред представляют наибольший интерес в ряде приложений, например, в геофизике.

Таким образом задачи о колебаниях слабо неоднородных слоистых сред в глашом члене сводятся к соответствующим задачам для однородных слоев с плоскопараллельными границами раздела* Для их решения применяются разнообразные методы /46,5<^. Рассмотрим некоторые из них с точки зрения возможности обобщения на слабо неоднородные среды. Поле колебаний слоисто-однородных сред, возбуждаемых волной, приходящей из бесконечности, может быть получено суммированием многократно отраженных волн /13-16,21/. Падающая волна, встречая первую границу, порождает прошедшие и отраженные волны. Те, в свою очередь проходя границы, порождают двукратно рассеянные волны и т.д. Поле колебаний представляется суммой падающей волны, однократно рассеянных волн, двукратно рассеянных волн и т.д.

Достоинством этого метода является простота интерпретации нестационарных волновых полей, связанная с тем, что времена вступления различных волн легко вычисляются по их лучевым схемам. Недостаток этого метода состоит в том, что при большом числе контактирующих слоев учет всех многократно отраженных волн недоступен даже для современных ЭВМ. Вследствие этого приходится учитывать лишь ограниченный набор волн, и метод становится качественным, приближенным. Этот же недостаток не позволяет обобщить метод суммирования многократно отраженных волн на слабо неоднородные среды, В этом случае рассмотрение каждой волны связано с решением дифференциальных уравнений, описывающих набег фазы и изменение амплитуды. Поэтому учет даже относительно небольшого числа волн требует значительных вычислений.

Точное решение задач распространения волн с учетом их интерференции в слоисто-однородных средах дает матричный метод/33,59,64,67/, впервые введенный в работах /61,68/. Этот метод использует разделение переменных . Для нестациона ных задач зависимость от времени отделяется при помощи преобразования Мвлляна; зависимость от координат, оси которых идут вдоль границ слоев - при помощи преобразования Фурье или Фурье-Бесселя. В результате уравнение колебаний в пределах каждого слоя приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению по координате, ось которой перпендикулярна границам слоя. Решение этого уравнения однозначно определяется данными Коши на одной из границ слоя. Эти данные могут быть найдены по давлению и нормальной компоненте смещений для акустических и по векторам смещений и напряжений для упругих волн. Решение обыкновенного дифференциального: уравнения определяет линейную связь амплитуд смещений и напряжений на одной границе слоя с одноименными величинами 9 9 на другой границе. Эта связь описывается характеристической матрицей. Характеристическая матрица пачки сдоев равно проиэ ведению матриц, описывающих отдельные сдои в случае акустического или жесткого контакта между слоями. Матричный метод позволяет рассчитывать для сложных слоистых сред интерференционные коэффициенты отражения и преломления /56,6!У, диспер сионные характеристики нормальных мод слоистого волновода /47/ и вычислять поле источника, помещенного в слоистую; среду /60/ и пр. Достоинство метода состоит в том, что сложность алгоритма и количество вычислений практически не зависят от числа контактирующих слоев. Это свойство примуще матричному формализму, согласно которому каждая среда характеризуется своей матрицей, зависящей от параметров среды и частоты, а указанное произведение этих матриц в порядке, соответствующем расположению сред, описывает всю систему в целом. В случае упругих волн типа P-5V характеристические матрицы Томсона-Хаскелла имеют размерность 4x4. Один из недостатков подхода Томсона-Хаскелла состоит в том, что он не позволяет при больших частотах вычислять интерференционные коэффициенты отражения и преломления за предельными угла ми и рассчитывать фазовые скорости, если последние меньше скоростей распространения в сдоях. Другой недостаток этого же подхода связан о невозможностью рассматривать упруго-жидкие среды при сохранении матричного формализма.

Чтобы избежать эти недостатки, в работе /35/ был предложен другой подход матричного метода, использующий матрицы большей размерности. Переход от характеристических матриц

10

10 четвертого порядка к минорным матрицам 6x6 был осуществлен в статьях /58,69/, а сокращение количества строк и столбцов у характеристических матриц до 5 было проведено в работе /70/. Установившийся подход, использующий матрицы 5x5, изложен в работах /27,31/. При решении дисперсионных уравнений и расчете интерференционных коэффициентов этот подход не имеет ограничений. Другая эквивалентная формулировка этого подхода изложена в более поздних работах /54,65/.

Еще одно преимущество подхода, использующего матрицы 5x5, состоит в том, что он позволяет, сохраняя матричный формализм, рассматривать упруго-жидкие системы /29,30/. Характеристическая матрица всей системы по-прежнему представляется произведением матриц, описывающих среды. Притом в указанное произведение дополнительно включаются матрицы 2x5 и 5^2, описывающие упруга-?адкиб границы. Так же может быть рассмотрен случай, когда между упругими средами имеет место контакт с проскальзыванием. Такой контакт характеризуется матрицей 5x5 /28/. Через элементы упомянутой характеристической матрицы всей системы простым образом вьфажаются коэффициенты отражения и левая часть дисперсионного уравнения. Чтобы получить формулы для коэффициентов преломления, в работе /30/ вводятся специальные матрицы преломления. При этом матричный формализм сохраняется.

Матричный метод обобщается на случай слоев, неоднородных в направлении перпендикулярном к границам, с полным сохранением матричного $юрмализма /26,27,32/. Изменяются только выражения для характеристических матриц, которые в случае неоднородных слоев представляются в виде сходящихся матричных рядов. Одно из возможных представлений быстро сходится в области низких частот, другое - в области высоких частот /66/.

В общем трехмерном случае, когда волновое поле не разделяется на волны SH и Р - 5v , распространение волн в упругих средах описывается матрицами 6x6 (на границах между упругими средами выполняются 6 условий). В случав изотропных сред и плоских границ удается привести эти матрицы к квазидиагональному виду при помощи специального выбора координатных осей. При этом разделяются волны типа SH и Р -5V . Волны 5Н характеризуются матрицами 2x2, а волны Р - 5V" матрицами 4x4. Последние могут быть заменены на матрицы 5x5. Таким образом трехмерное распространение волн в упругих средах может быть описано квазидиагональными матрицами седьмого порядка. Это описание позволяет рассматривать упруго-жидкие среды и вести расчеты дисперсионных характеристик и интерференционных коэффициентов отражения и преломления без ограничения области частот /41/.

С использованием характеристических матриц 6x6 может быть рассмотрено трехмерное распространение волн в упругих средах с любой анизотропией /57/. В случае трансвереально-изотропных сред и плоско-параллельных границ эти матрицы также приводятся к квазидиагональному виду, и волновое поле разделяется на волны типа Р- SV* и 5Н. Для волн типа P-SV могут быть использованы модификации матричного метода! применяющие матрицы 4x4 и 5x5. Вследствие аналогии в описании волн в изотропных и трансверсально-изотропных упругих средах с помощью матричного метода в работе /37/ указано правило, позволяющее построить поле смещений в трансверсально-йзотрох ной среде, если известно соответствующее поле в изотропной среде,

В спучае границ в виде коаксиальных цилиндрических поверхностей и концентрических сфер распространение волн также может быть описано с помощью матричного метода /32/, Двумерная задача имеет место в трех случаях: I) цилиндрические волны вдоль образующей, 2) азимутальные цилиндрические волны и 3) меридиональные сферические волны, В каждом из этих случаев упругие волны характеризуются матрицами четвертого или пятого порядков, а волны в жидкостях описываются матрицами 2x2, Для слоев, неоднородных вдоль радиусов, характеристические матрицы представляются в виде рядов. Если систеиы являются у пру го-жидкими или содержат границы с контактом проскальзывания, то упругие среды в таких системах по леано описывать матрицами 5x5. Упруго-жидкие границы и контакты с проскальзыванием по-прежнему будут характеризоваться матрицами 5x2, 2x5 и 5x5. Случай, когда упругий цилиндрический слой обладает трансверсальной изотропией, исследовался в работе /34/.

Обобщение матричного метода на слои со слабо искривленными границами, не являющимися цилиндрическими ийи '.сферическими, проведено в работах /25,36/. Допускается, что кривизна границ много меньше толщин слоев и харанг ерншй длины волны. На основании сравнения выражений для характеристических матриц плоских, цилиндрических и сферических слоев удается найти характеристическую матрицу слабобскривленного слоя. Эта матрица отличается малой поправкой от характеристической матрицы плоского слоя. Матричный формализм в этом случае полностью сохраняется.

Таким образом для однородных слоистых сред имеются эффективные методы, позволяющие находить коэффициенты отражения и преломления волн системой слоев, исследовать дисперсионные характеристики многослойных волноводов и решать задачи о возбуждении колебаний слоистых сред.

В случае одной слабо неоднородной среды, т.е. среды свойства которой зависят от \ где У'эУ^У5 координаты, а £ - малый параметр, распространение волн ош сывается лучевым методом /17/. Для акустических сред этот метод изложен в монографиях /7,8/, для упругих изотропных -в статьях /1.5/, для анизотропных в работе /3/ и монографии /42/. При этом сходным образом рассматриваются монохромат-рические колебания, квазимонохроматрические колебания (волновые пакеты) и распространение волновых фронтов. В основе метода лежит рассмотрение волновых полей, близких к плоским волнам в окрестности каждой точки.

Естественной моделью реальных границ раздела являются слабо искривленные границы. Характеризующие их кривизны имеют порядок малого параметра* £, деленного на карактерную длр ну волны. Рассеяние волн слабо искривленной границей в главном члене описывается формулами для плоских волн в однородных средах. Поправки могут быть найдены из решений рекурреш ных систем уравнений (45,51,53?.

Будем называть слоистой слабо неоднородной средой систе му слоев слабо неоднородных сред, разделенных слабо искривленными поверхностями. На этих поверхностях выполнены условия жесткого для упругих сред или акустического контакта в случае жидкостей. Поле колебаний слоистой слабо неоднородно! среды может быть представлено суммой падающей волны, однократно рассеянных волн, двукратно рассеянных волн и т.д., однако это представление не рационально, поскольку необходил учет большого количества многократно отраженных волн»

Более продуктивным является подход, рассматривающий неоднородность сред и искривленность границ как локально малое возмущение волн, рассеянных пачкой плоско-параллельных однородных слоев. Задача о невозмущенном рассеянии допускает точное решение, даваемое методом разделения переменных. Используя это решение в качестве главного члена, можно получить для поправочных членов рекуррентную последовательность неоднородных задач Штурма-йау билля. Аналогичным методом в работе /50/ исследовано рассеяние электромагнитных волн одним слабо неоднородным слоем. Для главных членов: амплитуд рассеянных волн и для поправочных членов получены дифференциальные уравнвЕйя, отличающиеся друг от друга только правыми частями. Граничные условия для них записываются на основании условий контакта сред: граничное условие для каждого члена имеет правую часть, зависящую от предыдущих приближений, Ддя определения правых частей уравнений и граничных условий нужно знать производные членов, найденных ранее. Недостатком этого метода является необходимость аналитического или численного определения всего поля колебаний на каждом шаге, в то время как практический интерес прел ставляют колебания в определенном месте. В связи с этим возникает трудность обобщения на системы, содержащие большее число слоев. В этом случае аналитическое решение уравнений для амплитуд представляет трудности, а применение численных методов неоправданно увеличивает необходимый объем вычислений.

Задача о колебаниях многослойной среды с неоднородностью рассмотрена в работе /62/. В ней допускается, что слои плоско-параллельные, а параметры их сред отличаются от постоянных только глобально-малыми добавками. Это допущение позволяет применить регулярную теорию возмущений. В то же время оно сильно ограничивает область применимости результатов.

Распространение нормальных мод слабо неоднородного слоистого волновода изучено в работах /9,12,71/. Рассмотрены также волны Релея и Лява по свободной поверхности слабо неоднородной упругой среды, а также волны Стоунли по границе раздела сред /11,42,43/. Общим для этих решений является то, что коэффициенты разложения амплитуды в ряд по степеням малого параметра £ находятся как решения рекуррентной последовательности задач Штурма - Лиувалля на собственном числе.

Возбуждение нормальных мод слабо неоднородного слоистого волновода точечным источником до настоящего времени не было исследовано, хотя метод, позволяющий решить эту задачу, широко известен /10/. Этим методом быда решена задача о точечном источнике в слабо неоднородной среде /4,55/.

Таким образом для однородных слоистых сред имеются эффективные методы, позволяющие находить коэффициенты отражения и преломления волн от системы слоев, исследовать дисперсионные характеристики многослойных волноводов и решать задачи о возбуждении колебаний источником. Именпиеся до настоящего времени методы исследования волн в слоистых слабо неоднородных средах позволяли решить лишь незначительную часть из задач, продиктованных практикой. Было изучено распространение волн Рэлея, Лява и Стоунли} для задачи рассеяния волн слабо искривленной границей построены алгоритмы, учитывающие одну границу в случае упругих воля и две в случае электромагнитных (что аналогично акустическим). Эти алгоритмы не допускают непосредственного обобщения на большее число границ и не удовлетворяют, следовательно, современным потребностям геофизики и акустики. Несоответствие имевшихся к настоящему времени методов исследования волн в слоистых слабо неоднородных средах современным требованиям акустики и сейсмологии делает актуальным создание метода, позволяющего рассматривать сколь угодно сложные системы слабо неоднородных слоев.

Целью работы является решение важных для приложений задач теории колебаний слабо неоднородных экустических и упругих слоистых сред со слабо искривленными границами. Еешения задач должны давать простые и экономные при любом. количестве слоев алгоритмы расчета величин, имеющих практическую важность. Для однородных сред такие решения могут быть получены матричным методом. Естественно искать решения в форме обобщения матричного метода.

Поставим задачу обобщить матричный метод на слабо неоднородные слоистые среды и решить основные задачи распространения волн в них* Математическая формулировка задачи состот в следующем. Рассматривается система слоев, ограниченная поверхностями /5- и в криволинейных координатах от 3 3 x, x , x .Границы раздела слоев имеют уравнения у ~<я2 . X3- CL-i,., У3=. (Xni . На внешних поверхностях и

Х3= & и. либо заданы граничные условия, либо условия контаь та со средами, простирающимися до бесконечности. В пределах каждого слоя выполнены уравнения колебаний, которые могут быть записаны в виде

ЪЫ/ЭУ^ ^^ЪГ с 1) где матричный оператор не содержит дифференцирования по переменной X . Столбец 1и в акустическом случав равен (UL, jp)T , где U - нормальная к поверхностям у3 — CGVOiX компонента вектораакустических смещений U а р - давление. В случае упругой среды столбец кГ = = ((Л? U* u3, G3'j, где uj - компоненты i s вектора смещений, a Q>* - тензор напряжений. На границах раздела слоев выполнены условия акустического контакта для задач акустики, или условия жесткого контакта, если рассмат риваются упругие среды. Эти условия выражаются требованием непрерывности столбца ♦ Требование плавности изменения свойств слоев приводит к тому, что метрический тензор систе! координат и параметры среды каждого слоя выражаются 2. 3 s> гладкими функциями от переменных £ £ У > £ У > где Ь * малый параметр*

Будем ощ*!$ь, что пол© колебаний в слоях допускает представление: где У - время, эйконал и коэффициенты разложения амплитуды ~ гладкие функции своих аргумент©в* Смещения в ере-дах, простирающихся до бесконечности, будем считать представляющимся в виде наложения конечного числа лучевых решений, таких, что на границе среды с системой слоев справедливо представление (2)* На бесконечности поставим условие излучения, формулировка которого зависит от конкретной задаmi p^-.kit^fi, г щятм ■ ■ н ■' ■ \

P'.^jf- ■ . ■ *

Уравнение колебаний, записанное в виде (I), показывает, что полное поле колебаний однозначно определяется но значениям столбца Itf , заданным на поверхности вида c&Wit\ Отсюда следует, что и столбец амплитуд W во воем пространстве однозначно задается своими значениями на поверхности вида C&YUit , если определен эйконал &С€Х0у GX^ £Уг)а Это значит, что существуют матричные операторы, действующие на функции от и дающие функции тех же аргументов, такие, что Vl/f.„. Gt%) п € -WY. , At/C.A^ Здесь % - столбец начальных значений амплитуд всех возможных при заданном эйконале волн лучевого типа в среде, простирающейся до бесконечности и ограниченной

3 л поверхностью У * Задача состоит в том, чтобы построить операторы А и £ в яюом виде и описать с их помощью) колебания слоистых слабо неоднородных сред в важных для практики случаях. Это описание должно допускать численную реализацию.

В случае если Е = О, т.е. изменениями свойств среды можно пренебречь, эту задачу решают формулы матричного метода. Операторы А и С при этом равны характеристическим матрицам слоя и полупространства. Таким образом поставленную задачу можно сформулировать и так; найти поправки к формулам матричного метода, учитывающие слабую неоднородность сред и слабую искривленность границ слоев. Особо следует рассмотреть случай слоисто-однородных упругих сред со слабо искривленными границами. В этом случае операторы АиФ , описывающие волны ¥ипа Р -5V , являются матрицами 4x4 , для которых можно найти конечные выражения. Использование этих матриц соответствует методу Томсона-Хаскелла, имеющему ограничеь ную по частоте область применимости и не позволяющему рассматривать упруго-жидкие слоистые среды. В задачу обобщения матричного метода входит определение поправок к матрицам; 5x5, позволяющим вычислять дисперсионные характеристики упруго-жидких сред и слоистых сред со слабо искривленными границами, в широком диапазоне частот.

Для решения поставленной задачи применяется методика формальных асимптотических разложений /7/. Операторы А и С разыскиваются в виде рядов по степеням малого параметра Б. Удовлетворение граничным условиям и уравнению колебаний во всех порядках по В возможно только, если главные члены этих разложений равны характеристическим матрицам, а поправочные представляют собой матричные дифференциальные операторы порядка, равного номеру приближения. Достоинство метода формальных асимптотических разложений в применении к поставленной задаче состоит в том, что с его помощью удается получить явные выражения для коэффициентов матричных дифференциальных операторов, задающих поправки к характеристическим матрицам.

Некоторые из прикладных задач, решаемых далее с помощью операторов А и С, имеют решения, не искпользующие матричного метода. Так, например, задача о волнах Рэлея и Лява по поверхности слоистого слабо неоднородного упругого тела была решена в работах /9,12,71/. Ее решение сведено в задаче Штур ма-Лиувилля. В результате применения матричншГоператоров А и £ достигается экономия машинного времени по сравнению с решением этой задачи Штурма-Лиувилля численным методом.

Другое достоинство матричного метода состоит в том, что с его помощью удается включить задачу о волнах Рэлея в круг задач распространения волн в слоистых слабо неоднородных средах, решаемых единым подходом. Возможность такого единого подхода позволяет создать относительно простую универсальную программу, решающую круг родственных задач. Программы, реализующие матричный метод, обладают естественной блочной структурой и потому просты в отладке и легко допускают модификацию.

Метод, применяемый при рассмотрении слоисто-однородных сред со слабо искривленными границами, аналогичен методу работы /25/. Он основан на анализе точно решаемых задач о характеристических матрицах сферических и цилиндрических слоев. Из выражений для этих матриц в случае малой кривизны границ удается выделить характеристическую матрицу плоского слоя и поправки к ней. Найденные выражения для поправок на кривизну распространяются на случай слоев, обладающих произвольными малыми кривизнами.

Решение поставленной задачи естественным образом разбивается на следующие вопросы. Прежде всего надо найти оператор (В для отдельного слоя и оператор А. Для этого используется методика формальных асимптотических разлоданий. Второй вопрос состоит в решении при помощи найденных матричных операторов следующих задач: о рассеянии волн системой слоев произвольного строения, о колебаниях свободной поверхности слоистого полупространства, о распространении нормальных мод слоистого волновода, о колебаниях системы слоев под действие! точечного источника. Для решения этих задач исполь.цуемя схема матричного метода в форме Томсона-Хаскелла, в которой характеристические матрицы заменены операторами А и С, учитывающими слабую нерегулярность слоев. Третий вопрос состоит в том, как трансформируются формулы матричного метода в случае однородных слабо искривленных акустических слоев постоянной толщины. Четвертый вопрос касается случая однородных слабо искривленных упругих слоев постоянно толщины. При решении последних двух вопросов используется методика работы /25/.

Новым в диссертации является;

- алгоритмы явного определения коэффициентов формальных асимптотических разложений операторов А и С для слабо неоднородных слоистых акустических и упругих сред;

- применение матричного формализма к задачам колебаний слабо неоднородных слоистых сред;

- решение следующих задач: о рассеянии акустических волн системой слабо неоднородных слоев, о колебаниях свободной поверхности сйоистого упругого полупространства, о возбуждении точечным источником слабо неоднородного слоистого акустического волновода;

- выражения для поправок на кривизну к характеристическим матрицам слабо искривленных акустических слоев;

- выражения для характеристических матриц слабо искривленных упругих слоев, удобные для вычислений в случае многослойной среды; r-j

- выражения для характеристических матриц С размерности 5x5 слабо искривленных упругих слоев, пригодные для вычислений на высоких частотах.

Результаты работы докладывались на семинарах ЛОШ АН СССР им,В.А.Стеклова и кафедры математической физики физического факультета ЛГУ им.А.А.Жданова. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях (33-40,48).

Построенный метод вычисления волновых полей предполагает использование его при разработке алгоритмов решения прикладных задач геофизики, акустики океана и др. Применимость метода и эффективность получаемых с его помощью алгоритмов подтверждены вычислениями колебаний свободной поверхности слоистого слабо неоднородного упругого полупространства, приведенными в § 3 гл.2.

Принятое направление исследования волн в слоистых слабо неоднородных средах со слабо искривленными границами допускает развитие. Задачи, решения которых приведены в гл.2, не исчерпывают возможности метода, а лишь иллюстрируют их. Не составляет труда обобщение задач § I, § 2 гл.2 на случай упругих сред и задач § 3, § 4 на акустические среды. Аналогично § 6 гл.2 с использованием матричных операторов С могут быть решены задачи о точечных источниках разных типов в слоистом слабо нерегулярном упругом волноводе. Применение оператора А позволяет аналогичным способом рассмотреть точечные источники в волноводе, контактирующем с полубесконечной средой. Если в системе слабо нео; нородных слоев имеется контакт между упругой и акустической средами, рассмотрение сохраняет матричный Формализм отдельно в упругой и в акустической среде. Условия контакта между упругой и акустической средами рассматриваются особо. В случав, если слои однородны и сохраняют свою толщину постоянной, возможно применение матриц 5x5 с поправками на кривизну. Эти матрицы позволяют рассматривать любое количество контактов упругих и акустических сред в рамках матричного формализма. Более того, благодаря полученным в главах 3 и 4 выражениям для характеристических матриц автоматически обобщаются все' приложения матричного метода на случай слоисто-однородных сред со слабо искривленными границами .

ОПИСОК ИСГОЛЬЗЭ ВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Литература на рус .языке

1. Алексеев А.С., Бабич В.М. 0 лучевом методе вычисления интенсивности волновых фронтов. Изв.АН СССР, сер.геофиз., 1958, й I, с.

2. Алексеев А.С., Михайленко Б.Г. Расчет нестационарных волновых полей в неоднородных средах. - В кн.: Вычислительные методы в геофизике. М., 1981, с. 6-22.

3. Бабич В.М. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов в случае упругой неоднородной анизотропной среды. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.У. Л.л. 1968, с.36-46.

4. Бабич В.М. О коротковолновой асимптотике решения задачи о точечном источнике в неоднородной среде. Журн.вычисл.мат.и мат.физ. 1965, т.У,сс.949-951.

5. Бабич В.М. О пространственно-временном методе в теории упругости. - В кн.: Вычислительные методы в геофизике. М., 1981, с.31-39.

6. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М., 1972, 456 с.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C. Искусство асимптотики.

Вестн.Ленингр.ун-та (магем.), 1977, В 13, с.

8. Бабич В.М., Булдырев B.C., Молотков И.А. Пять лекций по асимптотическим методам в задачах дифракции и распространения волн. Л., 1972, 75 с.

9. Бабич В.М*, Григорьева Н.С. Пространственно-временной метод расчета волн в слабо неоднородной слоистой среде» - Зап.научн.семинаров Ж)МИ, 1980, т.99, с.5-18»

10. Бабич В.М., Кирпичникова Н»Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. Д., 1974, 124 с.

11. Бабич В.М., Русакова Н.Я. О распространении волн Рэлея по поверхности неоднородного упругого тела произвол! ной формы. 2£урн. вычислит, мат .и мат.физ., 1962, т.2, 4, с.652-665.

12. Бабич В.М., Чихачев Б»Aw Распространение волн Лява и

Рэлея в слабо неоднородной слоистой среде. Вестн. Лешшрр.ун-та, 1975, № I, с.32-38»

13. Баранов В., Клюнетц Г. Синтетические сейсмограммы с многократными отражениями. В сб»: Проблемы сейсмической разведки. М,, 1962.

14. Бреховских Л.М» Волны в слоистых средах. М*, 1973,

343 с.

15. Вавилова Т.И. Вычисления интенсивностей многократных волн графо -аналитическим- способом. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.Н, Л., 1971, с.90-123.

16. Вавилова Т.Н., Петрашень Г.И. К расчету полей суммарных кратных волн в многослойных средах. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.УШ, Л., 1966, с.48-54.

17. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М», 1982, 294 с.

18. Ватсон Д.Н» Теория бессолевых функций, чД.

М., 1949 , 799 с.

19. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ко вариантов. М., 1978, 296 с.

20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1966, 576 с.

21. Епинатьева A.M. 0 суммарных многократно отраженных волнах. Изв.АН СССР, сер.геофиз., 1959., № 8, C.I089-II03.

22* Кондратьев O.K. Тонкослоистые модели реальных сред. -В кн.: Интерпретация и обнаружение сейсмических волн в неоднородных средах. М., 1971, с.7-27.

23. Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны. М., 1973, 176 с.

24. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л., 1935,

674 с.

25. Молотков Л.А. Конечные выражения для характеристических матриц слабо искривленных упругих слоев.

Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1981, т.Ю4, с.156-169.

26. Молотков Л.А. Об интерференционных волнах в свободном неоднородном упругом слое. Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1973, т.34, с.II7-I4I.

27. Молотков Л.А. Об отражении и преломлении волн неоднородным слоем. -'В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.ХУ, Л., 1975, с.28-46.

28. Молотков Л.А. О дисперсионных уравнениях для слоистых сред с нежестким контактом на некоторых границах раздела. - Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1973, т.34, с .103-116.

29. Молотков Л. А. О дисперсионных уравнениях слоисто-неоднородных упругих и жидких систем. - Зап.научн.семинаров ЛОШ, 1974, т.42, с.189-211. ЗЭ* Молотков Л.А. О коэффициентах отражения и преломления в случае упруго жидких слоистых систем. - Зап.научн. семинаров ЛОШ, 1976, т.62, с.157-167.

31. Молотков Л.А. О матричных представлениях дисперсионного уравнения для слоистых упругих сред. - Зап.науч* семинаров ЛОМ, 1972, т.25, с.116-131.

32. Молотков Л.А. О низкочастотных волнах в неоднородных упругих цилиндрических и сферических слоях, окруже: ных средой. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн» Вып.Ж, Л., 1973, с.15-39.

33. Молотков Л.А. О применении матричного метода к исследованию процессов распространения в слоистых средах. - В кн.: Вычислительные методы в геофизике. М., 1981, с.91-102.

34. Молотков Л.А. О распространении волн в слоистых трансверсально-изотропных средах с цилиндрическими границами раздела. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.ХХ, Л., с.4-17.

35. Молотков Л.А. О распространении упругих волн в средах, содержащих тонкие плоско-параллельные слоим - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.У, Л., 1961, с.240^280.

36. Молотков Л.А. 0 характеристических матрицах слабо искривленных упругих слоев. - Зап.научн.оеминаров ЛОМИ, 1980, т.99, с.74-в4.

37. Молотков Л*А., Баймагамбетов У. Об исследовании распространения волн в слоистых трансверсально-изотроп-ных упругих средах» - Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1978, т.78, с.149-173.

38. Молотков Л.А., Разумовский Н«А« 0 матричном методе для слабо неоднородных слоистых акустических сред.

- Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1983, c.I05~II5«

39. Молотков Л.А., Разумовский Н.А. О характеристических матрицах слоистой жидкой среды со слабо искривленными границами. - В кн.Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.ХХШ. Л., 1983, с.68-77.

40. Молотков Л.А., Разумовский Н.А. О характеристических матрицах слоистой упругой среды со слабо искривленными границами. - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических веши Вып*ХХ1У. Л., с.71-83.

41. Молотков Л.А., Хило А.Е. Исследование распространения трехмерных волн в упругих и упруго-жидких слоистых системах. - Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1983, т.128, с.116-129.

42. Номофилов В.Е. Квазистационарные волны Стоунли. - Зап. научн.семинаров ЛОМИ, 1981, т.Ю4, с.180-19,5.

43. Номофилов В.Е. О распространении квазистационарных волн

Рэлея в неоднородной анизотропной упругой среде.

- Зап.науч.семинаров ЛОМИ, 1979, т,89, с.234-245.

44. Петесрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Д., 1980,230 с.

45. Петрашень Г.И., Кашатан Б.М. Лучевой метод вычисления интенсивности головных волн, возникающих на плоской границе раздела упругих однородных анизотропных cpej - В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вш1«ХХШ. Л., 1983, с#5-30.

46. Ратникова Л.И* Методы расчета сейсмических волн в тонкослоистых средах. М., 1973, 124 с.

47. Ратникова Л.И., Лешин А.Л. Расчет спектральных характеристик тонкослоистых сред. - Изв.АН СССР, Физика земли, 1967, № 2, с.41-53,

48. Разумовский Н.А* 0 возбуждении нормальных мод слабо 1 неоднородного волновода точечным источником. -Зап.научн.семинаров ЛОМИ, 1984, т. 140, с.174-178.

49. Ризниченко Ю.В. О рассеянии отраженно-преломленных сейсм! ческих волн. - Докл.АН СССР, 1959, № 4, с.759-762.

50. Сухаревский И.В. О прохождении электромагнитных волн через радиопрозрачный слой. - Радиотехника и электрс ника, 1967, т.12, вып.2, с.208-215.

51. Цепелев Н.В# Об отражении волн в неоднородной среде.

- Изв.АН СССР, Геофизика, 1959, №1, о.11-17.

52. Чекин Б.С. Отражение и преломление сейсмических волн на слабой границе раздела. - Изв.АН СССР, Геофизика, 1959, № I, с.18-26.

53. Червены В., Фукс К., Мюллер Г., Загардник И. Теоретические сейсмограммы для неоднородных упругих сред. -В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. Вып.XX. Л,, 1981, с.84-109.

137

Заключение

Основными результатами работы являются:

- алгоритмы явного определения коэффициентов формальных асимптотических разложений операторов А и С для слабо неоднородных слоистых акустических и упругих сред;

- решение следующих задач: о рассеянии акустических волн системой слабо неоднородных слоев, о колебаниях свободной поверхности слоистого упругого полупространства, о возбуждении точечным источником слабо неоднородного слоистого акустического волновода;

- выражения для поправок на кривизну к характеристическим матрицам слабо искривленных акустических слоев;

- выражения для характеристических матриц слабо искривленных упругих слоев, удобные для вычислений в случав многослойной среды}

- выражения для характеристических матриц С размерности 5x5 слабо искривленных упругих слоев, пригодные для вычислений на высоких частотах»

1. АЪо-Zena A. Dispersion function computation forunlimited frequency vabus. Geophys. iR. Astr. Soc., 1979, v. 58, Ы I, p.91-105.

2. Avila G.s.s., Keller I.B. The high-frequency asymptotic field a point sourse in an in homogenesus medium. Comm. Pure Appl.Math., 1963, v.16, N 4, p.363-382.

3. Cerveny V. Reflection and transmission coefficientsfor transition layers. Studia geoph. at geod, 1974, v. 19, N I, p.59-68.

4. Crampin S. The dispersion of surface waves in multilayered anisotropie media. Goopliis. Astr. Soc. , 1970, v. 21, M 2, p.387-402.

5. Dunkin I.Y/. Computation of modal solutions in layeredelastic media at high frequencies Bull. Seirm. Soc.Am., 1965, v.55, N 2, p.335-358.

6. Gilbest P., Backus G.ii. Propagator matrices in elasticwave and vibration problems. Geophisics, 1966, v. 31, N 2, p.

7. Harkrider D.G. Surface waves in multilayered elasticmedia I. Rayleigh and Love waves from buried sourses in a multilayered elastic half-space. -Bull, seism. Soc.Am., 1964, v.54, N 2, p.627-673.

8. Haskell Ы.А. The dispersion of surface waves in multi-layered media. Bull, seism. Soc.Am., 1953, v.43, W I, p.17-34.62. xix-nnett B2i.II. Seismic waves in laterally inhomogeneousmedia. Geophys.J.R. astr. Soc., 1972, v.27, N 3, p.301-325.

9. Kind R. Computation of reflection coefficientsfor layered media. J.Geophis. 1976. v. 42, N I, p.I9I-2G0.

10. ICnopoff L. A matrix method for elastic wave problems.

11. Bull.Serm.Soc.nm., 1964, v.54, IJ I, p.431-438.

12. Lienke V/. Comment on "Dispersion f unlet ion computationsfor unlimited frequency values" by Anss лЪо-2епа.-Geophys. J.ii.AStr.Soc. , 1979, v.59, N I, p.315-323.

13. Thomson vV.T. Transmission of elastic waves through astratified solid material. J.appl.Lhys., 1950, v. 21, II 1, p. 89-93.

14. Y/oodhouse J.H. Surface v;ave in laterally varyinglayered structure. Geophys. J.Itoy. Astr.Soc., 1974, v.37, p.461-490.

15. РисЛ. Конфигурация исследованных численно упругих сред.