Распространение волн в неоднородных упругих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГБ ОД

Московский Государственный Университет

им. М. В. Ломоносова 2 7 ПИП 199^

Механико-математический факультет ' ' '

На правах рукописи

Саакян Степан Геворгович

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ УПРУГИХ СРЕДАХ

Специальность - 01.02.04- Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

02

Москва, 1996

Работа выполнена в Институте механики МГУ и б Ереванском архитектурно-строительном институте.

Официальные оппоненты:

Член-корр. РАН, профессор A.B. Николаев Д. ф.-м. н., профессор В.Б. Поручиков Д. ф.-м. н., профессор В.Н. Костюченко

Ведущая организация:

Вычислительный Центр Сибирского Отделения РАН

заседании диссертг

государственном университете им. М.ВЛомоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.03, доктор физико-

математических наук, профессор C.B. Шешенин

Защита состоится

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования процесса распространения упругих воли в неоднородных (в частном случае - однородных) упругих средах важны для решения проблем сейсмологии, сейсморазведки, динамики конструкций и сооружений и др.

Задачи динамической теории упругости для полупространства впервые изучались в связи с проблемами сейсмологии. В основе описания динамических процессов в однородном и изотропном полупространстве лежали уравнения линейной теории упругости. Задача для упругого полупространства или упругого шара с учетом неоднородности среды была применена для изучения сейсмических явлений и оценки воздействия возникающих при сильных взрывах упругих волн на наземные и подземные сооружения и конструкции.

Исследование распространения волн в неоднородных упругих средах в настоящее время имеет многочисленные научные и технические приложения, поскольку во многих случаях таких приложений материал обладает существенной неоднородностью в распространении упругих свойств по объему.

Научная новизна.

- Представление вектора перемещений в виде суммы линейно-независимых векторов через три обобщенных потенциала.

- Метод обобщенных потенциалов для разделения векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений.

- Уравнения движения в терминах обобщенных потенциалов для слоисто-неоднородных упругих сред в шести ортогональных системах координат: прямоугольных, цилиндрических (круговых, эллиптических, параболических), сферических и конических.

- Условие разделения для слоисто-неоднородной и радиально-неоднородной упругих сред и решение соответствующих разрешающих соотношений.

- Модификация метода Каньяра-Хупа для решения динамических задач для однородной, слоисто-неоднородной, радиально-неоднородной упругих сред.

- Точное аналитическое решение пространственных задач о распространении упругих волн в слоисто-неоднородных (в частности, однородных) акустических и упругих полупрост-ранствах.

- Точное аналитическое решение граничных задач о рас-пространении упругих волн в радиально-неоднородных упругих шарах.

- Исследование закономерностей распространения и отражения упругих волн в различных слоисто-неоднородных упругих средах.

- Исследование упругих колебаний слоисто-неоднородного упругого полупространства и радиально-неоднородного упругого шара.

- Изучение динамических характеристик упругого полупространства и шара - колебаний, фазовой и групповой скоростей, дисперсии, резонансных частот и др.

Апробация результатов. Материалы диссертации докладывались на:

- семинаре волновой и газовой динамики в Институте Механики МГУ. 1971, 1978;

- пятом Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упруго-пластических волн, Алма-Ата, 1971;

- научно-технической конференции профессоров, преподавателей, научных работников и аспирантов ЕрПИ, Ереван, 1973,1974, 1983;

- шестом Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Фрунзе, 1975;

- шестой Всесоюзной конференции по композиционным материалам, Ереван, Ленинакан, 1987;

- второй Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур, Львов, 1987;

- региональной конференции "Динамические задачи механики сплошной среды", Дивноморск, 1988;

- семинаре "Механика сплошной среды", ЕрГУ, Ереван, 1986,1987;

- семинаре "Волновые процессы" Института Механики HAH Армении, Ереван, 1976,1996.

Публикация. По материалам диссертационной работы опубликовано 22 работы. Список приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение и список литературы. Общий объем составляет 285 стр., из них 15 стр. введение, 4 стр. заключение, 22 стр. список литературы с 239 наименованиями. Имеются 36 рисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и практическая значимость темы, дан обзор современного состояния проблем, связанных с тематикой диссертации, и методов их решения. Отмечаются классические работы Пуассона, Стокса, О. Коши, в которых рассмотрены задачи о распространении акустических волн в пространстве при любых начальных условиях.

Ламе впервые представил общее решение векторного уравнения движения в перемещениях в виде суммы градиента скалярного и ротора векторного потенциалов, которые удовлетворяют системе независимых волновых уравнений.

Влияние границы на распространение упругих волн было рассмотрено в основополагающих работах Рэлея, Лемба, Похгаммера, Лява, Стоунли и др.

В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым был предложен логически безупречный и математически строгий подход к решению задач о распространении волн в однородной или слоисто-однородной упругих средах, называемый ныне методом функционально-инвариантных решений или методом Смирнова-Соболева. В дальнейшем метод функционально-инваришггных решений успешно развивался в работах Е. А. Нарышкиной, И. А. Векуа, Н. И. Еругина, В. А. Спекло, М. М. Фридмана, Н. В. Зволинского, Б. В. Кострова, А. Ф. Филиппова, Е. Ф. Афанасьева и других авторов.

Большой вклад в развитие метода интегральных преобра-зований для решения задач динамической теории упругости внесли Г. И. Пеграшень и Л. Каньяр. Проблемы динамической теории упругости рассматривались в работах Б.Л.Абрамяна, А.С.Алексеева, К.Аткинсона, Дж.Ахенбаха, В.А.Бабешко,В. М Бабича, А. Г. Багдоева, Р. Барриджа, Г.Бейтина, М.Био, Л.М.Бреховских, В.С.Будаева, И.А.Викторова, Дж.Виллиса, И.И.Воровича, Л.А.Галина, Д.Гакенхаймера, Б.Я.Гель-чинского, С.С.Григоряна, Дж.Гука, А.Н.Гузя, Г.Даффа, А. Де Хупа, Ф.Карала, Дж.Келлера, В.Н.Костюченко, П.В.Крауклиса, В.Д.Кубенко, В.Д.Купрадзе, В.Н.Кукуджанова, Дж.Майлса, Г.И.Марчука, Дж.Микловица, Я.А.Миндтина, М.Митра, И.А.Молоткова,

A.В.Николаева, Л. В. Никитина, Ф.Норвуда, К.И.Огурцова, М.Пападопоулос, Р.Пейтона, С.Пекериса, В.Б.Поручикова, Ф.Пресса, Я.Рао, С.Г.Сааюша, Л.И.Слепяна, Т.Тинга, Л.Фройнда,

B.Л.Файшпмидта, Ш.Чао, Г.П.Черепанова, Г.С.Шапиро, Е.И.Шемякина и других авторов.

В первой главе диссертации получены основные уравнения динамической теории упругости, разделение векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений для неоднородной упругой среды и условия его разделения.

В первых трех параграфах дается вывод основных уравнений движения механики деформируемого твердого тела.

В четвертом параграфе построена модель линейного неоднородного упругого тела.

В пятом параграфе получено векторное уравнение Ламе для неоднородного линейного упругого тела, представляющее уравнение движения в перемещениях:

б[и] = дтас![( А + 2 ¿г)Лгш] — го£[/хгой?]+ +2\дтав.цдтайй + дгайц ■ <Иьй 4- го1ц х гоШ\-\-

м

В шестом параграфе дается разделение векторного уравнения Ламе (1) на систему независимых скалярных уравнений для однородной упругой среды.

Показано, что в декартовой ортогональной системе координат (£\ £2> £3) представление вектора перемещений

(2)

допускает разделение векторного уравнения (1) на систему независимых скалярных уравнений

+ (3)

+ 7 = 0 (а — 1,2), (4)

если образ оператора Лапласа Д от переменного вектора 1р(£\ £2,{-3)е, определяется соотношением

Д [(ре^ = + дтайтУ\, (5)

гдее{. - орт координатной оси 1[р\,тп\1р],11[ир],та\фа] - дифференциальные операторы. Сл = yfА +ТО/Я cs = sJWp ~ скорости распро страдания фронтов объемных волн.

В системе уравнений (3) и (4) потенциалы Ф и Ф„ связяны с массовой силой F из (1) по формуле

F = gra.d<& + гог[Ф)ее] + г otrot[i'2e^}. (6)

Следует отметить, что представление вектора перемещений (2) определяет поперечные волны в однородной упругой среде двумя скалярными потенциалами и ip2. Часть поперечных перемещений, определяющихся потенциалом ipi выражением го1{ф\е^<), касательная к поверхности = const, а другая часть поперечных перемещений, определяющихся потенциалом Ф2 выражением rotrot(xpне совпадает с первой, но его ротор также касателен к поверхности = const.

В седьмом параграфе получена система независимых скалярных уравнений движения для однородной упругой среды в прямоугольных, цилиндрических (круговых, эллиптических, параболических), сферических и конических системах координат.

В прямоугольных, цилиндрических (круговых, эллиптических, параболических) координатах за единичный вектор е^. примем орт оси г, т.е. е^. = ё2. Образ оператора Лапласа Д от переменного вектора уег

Д(?>ё,) = (А <р)ё„ (7)

тогда

а = gradip -f- roi(t/> ¡ёг) + rotrot^&t) (8)

и векторное уравнение Ламе (1) эквивалентно системе независимых скалярных уравнений

1 5V Ф

LMsA*>-?dW + xTrr0' (9)

г , 1 д'гфп

Ьа\ф„] = - -—^ + -i = 0 (о = 1, 2). (10)

В сферических и конических системах координат, если за единичный вектор ер примем орт ёг координаты г, т. е. е^. = ёт, имеем

Д(рёг) = (Дфт + дгаё , (11)

тогда

й = дга<1(р + то1{фхёг) +- го1го1(тр2ёг) (12)

и системой независимых скалярных уравнений движения, эквивалентной векторному уравнению Ламе, будет

+ = (13)

В восьмом параграфе вводится понятие обобщенных потенциалов и рассматриваются свойства следующей системы линейно -независимых векторов:

/(М)дга<1ЦМ), /1(М)го^1(М), /2(М)г<^Ф2(М), (15)

где Ф(Л/) - обобщенный скалярный потенциал с весом ДМ), а Фа(М) (а — 1,2) - обобщенный векторный потенциал с весом /а(М).

В девятом параграфе рассмотрена модель неоднородной упругой жидкости и получено уравнение движения

1 1 С\р] = Ар- -(дгайр ■ дгаёр) +Р~ = 0, (16)

где

р — -кИьй, с = \f\Jp, Р = -рйыЕ. (17)

В десятом параграфе рассмотрено разделение векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений через обобщенные потенциалы для слоисто - неоднородной и радиально -неоднородной упругих сред. В связи с этим следует отметить, что

другой подход к разделению векторного уравнеиоя Ламе на систему независимых скалярных уравнений был рассмотрен и работах Дж. Гука, А. Бен-Менахема и С. Сингха.

Для неоднородных упругих сред, механические свойства которых зависят только от координаты векторное уравнение Ламе (1) будет иметь вид

С(й) = grad^divu) — rot(fxrotu) + rot

- I* -

и х -е\

ffn .

+

+grad I й ■ —ё\ ] — —¿¡¡ейии — Мгу ( —ё\ ) + V 011 / 9п \9п )

+ — ёу х гоШ - рдгаЛ$й(£1) - = 0, (18)

9п оъ*

где £ = А + 2ц, /I1 = ¿1 - орт оси - компоненты

метрического тензора, Фо - потенциал массовых сил.

Общее решение уравнения (18) представлено в виде суммы трех

линейно - независимых векторов

+ (19)

где Фа(а = 1, 2,3) - обобщенные потенциалы вектора перемещений й, (а = 1, 2) - весовые функции, которые определяются усло-

вием разделения уравнения (18) на систему независимых скалярных уравнений для обобщенных потенциалов.

Подставляя (19) в уравнение (18) и при соблюдении условий

Pi +р2 ±Рр = О, т+&2 + 2/ = 0,

(20) (21)

t у. 2 dlnfln^/ctoito , W 2 с 5 In 511 ^.922533 _ „ (m) i~m-^fi-= +ZP2-&2-щ\-= ^.

¿С

д1пдцу/дюдзз Э(>

-?р- 2

91x1511

д?

К+

{(2№+£р2)

дЫд^и/Шам

де

+

+(2€ _ + {т - + Кмр, +

-2(№ - 2р)-^-+ 2(мр! + д

(РР1 +

= 0.

(23)

получим уравнение

<?({?) = рф1дга<1\<?лЬ1{Ф1)\ + ^2гоггог[с^Ь2(Ф2)ё1]+

+ ргоф^Ь з(Фз)в1) = б. (24)

В формулах (20) - (24) приняты следующие обозначения:

(25)

^(ФО = Д$1 + —- Кт + 1)Р1 + 2р„] Щ + ^Г \Р1Р»

, 91пд229зз д1пдп +Р1~Рм—--Р1

ае

1 д2Ф1

+ (26)

Ь2(Ф2) = ДФ2 +

Я11

+

аЬ

(7 + 1)р2 + 2рм--

(7рг)' +- + ТРг ~ 7Р2"

] эе

зе1

д1пд2?дм

р" де

1

1 82Фг

, , 1 („ д1пд22дзз\ дФз Р» д1п9пд33

= ДФз + жV0"- зг-

1 32Ф"!

Векторное уравнение эквивалентно системе независимых скалярных уравнений для обобщенных потенциалов

1а[Фа] = 0 (а =1,2,3). (29)

Система уравнений (20) - (23), носящая название условия разделения, незамкнута и ее решение можно получить при дополнительных предположениях относительно Р1,Р2,Рр, М и Любое решение Р101 (?')> 'Ы?1) системы (20) - (23) определяет параметры неоднородной упругой среды и весовых функций обобщенных потенциалов, допускающих разделение векторного уравнения движения (1) на систему независимых линейных дифференциальных уравнений (29).

В одинадцатом параграфе в прямоугольных и цилиндрических (круговых, эллиптических, параболических) системах координат при условии, что коэффициенты Ламе А, д и плотность р упругой среды зависят только от координаты г, получены разложение вектора перемещений, система независимых скалярных уравнений через обобщенные потенциалы и условие разделения:

й = фх^дгай + ^2(г)го4гог(Ф2ё;) + го1( Ф3ёг), (30)

Ьх{ Ф0 = ДФ, + (2р1 + Рр)~д^ +

1 Ф

+ 7"'[Р1^+Р1+р|]Ф1 - + (31)

Сс1 01

ЭФ2 о

¿2(Ф2) = ДФ2 + [(7 + 1)р2 + 2 + [(7Рг) + 7Р2Р„ + 7Р2]$2~

1 д2Фо

-Ы=0' (32)

ЭДЕДФ.+^-^У =0, (33)

Р1+йг+Р/. = 0, (34)

Р1 + 7Рг + 2рр = 0, (35)

(тУ + да? = Ы + = ВД (Зб)

(37)

Решению условия разделения (34) - (37) посвящен параграф двенадцатый. Показано, что существуют классы слоисто - неоднородных упругих сред с переменным коэффициентом Пуассона, для которых имеет место разделение векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений. В частности, для этих слоисто - неоднородных упругих сред получены уравнения движения и разложение вектора перемещений через обобщенные потенциалы.

Система уравнений (34) - (37) при условии, что коэффициент Пуассона постоянен, рассмотрена в тринадцатом параграфе.

Решение системы (34) - (37) получено также при дополнительном условии, что скорость распространения фронтов объемных волн постоянна.

Наконец, в последнем параграфе рассмотрены радиально - неоднородные упругие среды и в сферических и конических системах координат получены уравнения движения и разложение вектора перемещений через обобщенные потенциалы:

1 О Ф1

и (Ф,) = Д Ф, + 7""'[(7 + 1 )Р1 + 2р„]

+ 7'1 \р\ +Р1 +Р1Рм - - + Ф5 = 0, (38)

2 дФо

Ь2(Ф2) = ДФ2 + [(7 + 1)Р2 + 2?/! -

КтРг)' + 7Р2Р^ + 7Р% ~ ^(7Р2 + 2^)]Ф2 - ^^ = 0, (39) № +(л„

и = ф1(г)дга(1Ф1 + гр2(г)го1го((Ф2ёг) + го4( Фзёг). (41)

В сферических и конических системах координат условие разделения (20) - (23) векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений имеет представление

Р1+Р2+Рр = 0, (42)

Р i + 7Р2 + 2р„ = 0, (43)

(m)' + №Í - ~m = Ы + (,р\ - = К(г), (44) т г

2М)р1Р2 = 0. (45)

аг г г

Далее найдены некоторые важные классы решений системы (42) - (45) и для таких радиально - неоднородных упругих сред получены уравнения движения и разложение вектора перемещений через обобщенные потенциалы.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассматриваются пространственные задачи о распространении волн давления в слоисто-неоднородной (в частности, однородной) упругой жидкости. Общим математическим подходом к решению этих задач является применение интегральных преобразований Лапласа, Фурье и Ханкеля. Строится решение задачи в образах, удовлетворяющих начальным и граничным условиям. После обращения преобразования Фурье или Ханкеля, обращение преобразования по Лапласу находится методом, являющимся модификацией метода Каньяра-Хупа. В полученные формулы вместо бесселевой функции подставляется ее интегральное представление Пуассона и прозводится замена переменных интегрирования, аналогичных переходу от полярной системы координат к декартовой при условии положительности параметра преобразования по Лапласу Далее процедура обращения преобразования по Лапласу заключается в приведении каждого из слагаемых решения к преобразованию Лапласа для известной функции, откуда и находится его оригинал. Дня этой цели на комплексной плоскости изучается расположение особенностей подынтегральных функций относительно специально выбранных контуров интегрирования и применяется теория вычетов Коши.

В первом параграфе получено точное решение трехмерной задачи о проникании давления в полупространство идеальной жидкости, возникающего при распространении по ее свободной поверхности из некоторой точки в определенном направлении. Рассмотрены дозвуковой и сверхзвуковой случаи распространения фронта и произвольно изменяющегося во времени давления. В частности, решение для постояного поверхностного давления получено в элементарных функциях.

Далее показано, что при сверхзвуковом распространении фронта постоянного давления в определенном направлении по поверхности возникают стационарные волны, и путем предельного перехода получено их аналитическое выражение. Наконец, получено решение задачи о распространении волн давления в жидком полупространстве, поверхность которого возбуждается приложенным вдоль некоторой полупрямой постоянным давлением.

Во втором параграфе получено аналитическое решение осесимметричной задачи о проникании в упругое неоднородное жидкое полупространство равномерно расширящегося по его свободной поверхности давления. Механические свойства слоисто-

неоднородной жидкости в зависимости от глубины меняются по экспоненциальному закону.

Выполнено исследование решения, изучено его поведение на фронтах акустической и конической волн, падение давления по глубине слоисто-неоднородной жидкости и представлены графические зависимости в разных точках жидкости в зависимости от безразмерного времени.

В третьем параграфе решена задача о распространении волн давления в упругом слоисто-неоднородном жидком полупространстве, рассмотренном в предыдущем параграфе, вызванных внутренним точечным источником давления. Проведен анализ полученного решения, исследовано поведение волн на фронтах и вблизи плоской границы жидкости. Показано, что для этого типа неоднородной жидкости происходит полное внутреннее отражение падающих волн и они могут быть описаны в рамках лучевого метода. Исследованы также установившиеся колебания и дисперсионные свойства слоисто-неоднородного жидкого полупространства и получено условие, при котором появляются стоячие волны, определены фазовая и групповая скорости и волновые числа падающих и отраженных волн.

В четвертом параграфе рассмотрена аналогичная задача для упругого слоисто-неоднородного жидкого. полупространства, механические свойства которого в зависимости от глубины меняются по степенному закону. Показано, что в зависимости от показателя степени в этом законе может происходить поглощение волн; при некоторых показателях падающие волны в приповерхностном слое полностью поглощаются и, естественно, в этих случаях отраженные волны отсутствуют.

В третьей главе получены точные решения некоторых задач динамической теории упругости.

В первом параграфе рассмотрена нестационарная задача определения вектора перемещений в однородном изотропном упругом пространстве, возбужденном движущимся в среде сосредоточенным импульсом. Точное решение в виде эффективных аналитических формул получено путем построения формального решения задачи на основе интегральных преобразований Лапласа и Фурье с последующим обращением формального решения модифицированным методом Каньяра-Хупа.

Во втором параграфе дана постановка задачи о распрост-ранении упругих волн в полупространстве под действием осесимметричной нагрузки, распространяющейся по его свободной поверхности с

постоянной скоростью и с фронтом бесконечного разрыва половинного порядка.

В третьем параграфе получены образы преобразования Лапласа для радиального и вертикального компонентов скорости точек полупространства.

В четвертом параграфе дано обращение преобразования Лапласа. Рассмотрена различные случаи обращения решения в зависимости от значений отношений скорости распространения фронта нагрузки к скоростям упругих объемных волн, а именно: дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой. Для каждого из этих случаев скорость внутренних точек полупространства получена в виде суммы одинарных интегралов и алгебраических членов, причем каждому члену соответствует характерная волна. В частности, интегралы представляют продольную и поперечную волны и связанную с ними так называемую головную волну Шмидта, а алгебраические члены - конические волны, следующие за фронтом распространяющейся нагрузки.

В пятом параграфе исследовано поведение решения в окрестностях фронтов волн.

В шестом параграфе получено решение для поверхности полупространства и рассмотрены волны Рэлея .

В седьмом параграфе рассмотрено асимптотическое поведение решения в окрестностях фронтов волн для поверхности полупространства.

В восьмом параграфе приведены численные результаты для определения динамических характеристик поверхности упругого полупространства для трех режимов распространения фронта нагрузки: дозвукового, трансзвукового и сверхзвукового.

И, наконец, в последнем параграфе обобщены результаты для упругого полупространства, для класса осесимметричных нормальных поверхностных нагрузок, равномерно расширяющихся по его свободной поверхности.

В четвертой главе исследовано распространение волн в неоднородных изотропных упругих средах. Метод обобщенных потенциалов, допускающий разделение векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений, является общим подходом этой главы для решения граничных задач динамической теории упругости.

В первом параграфе получено точное аналитическое решение задачи о распространении осесимметричных упругих волн в слоисто-неоднородном упругом полупространстве от внутреннего точечного источника. Принимается, что механические свойства упругого

полупространства в зависимости от глубины меняются по квадратичному закону.

Точное аналитическое решение задачи получено методом интегральных преобразований. Исследовано поведение решения в окрестностях падающих и отраженных волн. Показано, что на границе полупространства происходит полное внутреннее отражение падающих волн. Рассмотрены установившиеся колебания слоисто-неоднородного упругого полупространства.

Второй параграф в сущности дополняет первый параграф. Рассмотрено такое слоисто-неоднородное упругое полупространство, в котором градиенты скоростей объемных волн постоянны. Методом обобщенных потенциалов векторное уравнение Ламе приведено к гиперболической системе линейных дифференциальных уравнений, которая решается методом интегральных преобразований давлешя в плуфсстрагстве цдеалыш сжимемй жидкости. Точное аналитическое решение задачи Грина получено в бисферических координатах. В этой слоисто-неоднородной упругой среде фронты волн и ортогональные к ним лучи совпадают с бисферическими координатными повехностями. Исследованы поведение решения, дисперсия и геометрия распространения волн, а также установившиеся колебания слоисто-неоднородного полупространства и другие динамические характеристики. Показано, что при некоторых частотах в слоисто-неоднородном полупространстве появляются стоячие волны.

В последних двух параграфах рассмотрены первые и вторые граничные задачи для радиально-неоднородного упругого шара, свойста которого изменяются по радиусу по степенному закону.

Решение этих задач при любых граничных условиях, зависящих от времени и одной угловой координаты, получено после разделения векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных уравнений методом Неполного разделения переменных. Показано, что распространение волн в радиально-неоднородном упругом шаре существенно отличается от распространения волн в однородном упругом шаре. В неоднородном случае волны распространяются, в основном, вблизи поверхности шара и никогда не доходят до его центра. Поэтому отраженные волны в неоднородном шаре не появляются. Далее рассмотрены установившиеся колебания радиально-неоднородного упругого шара и определены его динамические характеристики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод разделения векторного уравнения Ламе теории упругости на систему независимых скалярных уравнений. Разделение уравнения Ламе в перемещениях для неоднородной упругой среды получается представлением вектора перемещений в виде суммы трех линейно-независимых векторов, определенных скалярными потенциалами и соответствующими весовыми функциями.

2. В декартовых, цилиндрических (круговых, эллиптических, параболических) системах координат для слоисто-неоднородной среды получено разделение векторного уравнения Ламе на систему независимых скалярных дифференциальных уравнений второго порядка.

Аналогичное разделение векторного уравнения Ламе получено в сферических и конических системах координат для радиально-неоднородиой упругой среды.

В этих случаях система независимых скалярных уравнений с переменивши коэффициентами является гиперболической. Переменные коэффициенты в уравнениях системы определяются упругими параметрами среды и весовыми функциями обобщенных потенциалов.

3. Получено и исследовано условие разделения уравнения Ламе для слоисто-неоднородной и радиалько-неоднородной упругих сред. Условие разделения является системой алгебраических и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно параметров среды и весовых функций обобщенных потенциалов.

4. Выделены некоторые важные классы слоисто-неоднородных и радиально-неоднородных упругих сред и для них получена система независимых скалярных уравнений движения через обобщенные потенциалы.

5. Получено и исследовано точное аналитическое решение задачи о распространении волн давления в полупространстве идеальной жидкости с распространяющимся по ее свободной

поверхности заданным образом и произвольно изменяющимся во времени давлением. В частности, путем предельного перехода из общего решения получено решение задачи о распространении волн давления в полупространстве идеальной сжимаемой жидкости от движущегося со сверхзвуковой скоростью вдоль прямой постоянного давления.

6. Получено и исследовано точное аналитическое решение задачи о проникании давления в полупространство, заполненное упругой неоднородной жидкостью, от равномерно расширяющегося на свободной поверхности давления.

7. Получено и исследовано точное аналитическое решение задачи о распространении осесиммегричных волн в упругом неоднородном полупространстве, вызванных внутренним точечным источником давления.

8. Разработан метод получения точных аналитических решений пространственных задач о распространении волн в упругой неограниченной акустической среде. Данный метод является модификацией метода Каньяра-Хупа. для обращения преобразования Лапласа формальных решений, полученных в образах интегральных преобразований Лапласа, Фурье или Ханкеля.

9. В рамках линейной теории упругости получено и исследовано точное аналитическое решение нестационарной задачи для упругого пространства при наличии в среде движущегося сосредоточенного импульса. Получено условие, при котором в пространстве распространяются стационарные волны и найдены их аналитические выражения.

10. Получены точные аналитические решения задач о распространении волн в упругом полупространстве, вызванных расширяющимися с постоянной скоростью нормальными осесимметричными поверхностными нагрузками. Рассмотрены различные случаи распространения фронта нагрузки: дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой. Определены динамические характеристики полупространства, соответствующие продольным, поперечным, головным волнам и волнам Рэлея.

11. Получены прифронтовые разложения объемных, головных и поверхностных волн Рэлея как внутри полупространства, так и на его поверхности. Вычислены компоненты скорости точек поверхности полупространства в зависимости от безразмерного времени при различных скоростях распространения фронта поверхностной нагрузки и приведены соответствующие графические зависимости.

12. Методом введения обобщенных потенциалов и применения интегральных преобразований получено и исследовано точное аналитическое решение задачи о распространении осесимметричных упругих волн от точечного источника в слоисто-неоднородном упругом полупространстве, в котором объемные волны распространяются с постоянными скоростями. Определены компоненты вектора перемещений в любой точке полупространства. Доказано, что для таких слоисто-неоднородных упругих полупространств происходит полное внутреннее отражение падающих волн от их границы.

13.Задача о распространении нестационарных волн в слоисто-неоднородном упругом полупространстве, возбужденных точечным источником массовых сил, приложенным внутри среды на конечном расстоянии от ее границы, решена методом обобщенных потенциалов и интегральных преобразований при условии, что скорости объемных волн в зависимости от толщины слоя среды меняются по линейному закону. В этом случае фронты и ортогональные к ним лучи являются координатными поверхностями в бисферических координатах.

14.Исследованы установившиеся колебания слоисто-неоднородных упругих полупространств, определены дисперсия, фазовые и групповые скорости волн, волновые числа. Показано, что при некоторых частотах в слоисто-неоднородных упругих полупространствах появляются стоячие волны.

15.Разработан метод получения точного аналитического решения осесимметричных задач для радиально-неоднородного упругого шара, сферического слоя и полупространства со сферической полостью. Методом обобщенных потенциалов

векторное уравнение Ламеразделено на систему независимых скалярных уравнений для обобщенных потенциалов, которые решены методом неполного разделения переменных и интегральных преобразований.

16.Получены точные аналитические решения первой и второй граничных задач для радиально-неоднородного шара, механические свойства которого меняются по степенному закону в зависимости от радиуса сферических слоев. Исследованы решения и получены закономерности распространения объемных и поверхностных волн в радиалыго-неоднородном упругом шаре.

17.Исследованы радиальные колебания слоисто-неоднородного шара, определены резонансные частоты, дисперсия и другие динамические характеристики.

СПИСОК НАУЧНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Григорян С. С., Саакяя С. Г. Исследование некоторых задач динамической теории упругости. НИИ Механики МГУ. Отчет 1314, 1971,43с.

2. Григорян С. С., Саакян С. Г. Волны в упругом полупространстве, . вызванные осесиметричной нормальной нагрузкой специального вида. НИИ Механики МГУ. Отчет 1466, 1971, 47с.

3. Саакян С. Г. О распространении упругих волн в средах при наличии осевой симметрии. ДАН АрмССР, 1973, т.57, Н>4, с.225-231.

4. Саакян С. Г. Динамическая задача для границы упругого однородного изотропного полупространства при сильном взрыве на поверхности. Изв.АНАрмССР, Механика, 1973,т.2б,Ыо5,с.20-35.

5. Саакян С. Г. Волны в упругом полупространстве, вызванные бегущей осесимметричной нормальной нагрузкой. Изв. АН АрмССР, Механика, 1974, т.27, Ыо1, с. 18-38.

6. Саакян С.Г. О неустановившемся движении поверхности упругого полупространства. ДАН АрмССР, 1974, т.58, Ыо2, с.65-71.

7. Саакян С. Г. Колебания упругого полупространства под действием расширяющих поверхностных нагрузок. В сб. Распространение упругих и упруго-пластических волн. Материалы VI Всесоюзного симпозиума. Фрунзе, Наука, КирССР, 1975.

8. Саакян С. Г. Распространение трехмерных нестационарных волн давления в полупространстве идеальной сжимаемой жидкости. Изв. АН АрмССР, Механика, т.28, N06, с.3-13.

9. Саакян С. Г. Решение нестационарной задачи для упругого пространства при наличии в среде движущегося сосредоточенного импульса. Изв. АН АрмССР, Механика, 1977, т.ЗО, Ыо4, с.3-17

10.Саакян С. Г. Разделение векторного волнового уравнения для неоднородных упругих сред. ДАН СССР,1983, т.269, ИоЗ, с.565-567.

11 .Саакян С. Г. Неоднородные упругие среды, для которых векторное волновое уравнение разделяется на независимые скалярные уравнения. ДАН АрмССР, 1986, т.87, ЫоЗ, с. 121-124.

12.Саакян С. Г. О волнах в неоднородных упругих средах. ДАН СССР, 1986, т.290, N06, с.1324-1327.

13.Саакян С. Г. О распространении осесимметричных упругих волн в слоисто-неоднородной среде. Изв. АН АрмССР, Механика, 1987, т.11, Ыо4, с.40-45.

14.Саакян С. Г. Независимые скалярные уравнения движения некоторых радиально-неоднородных изотропных упругих сред. ДАН АрмССР, 1987,т.85,№>4, с.152-156.

15.Саакян С. Г. Модель радиально-неоднородных упругих сред, допускающих разделение векторного уравнения упругости на независимые скалярные уравнения. Механика неоднородных структур. Тезисы докладов II Всесоюзной конференции. Львов,

. 1987, т.1, с.240-241.

16.Саакян С. Г., Минасян А. Ф. Колебания неоднородного изотропного упругого шара. Материалы VI Всесоюзной конференции по композиционным материалам. Ереван, 1987, т.2, с. 194-195.

17.Саакян С. Г. Векторное волновое уравнение для неоднородной упругой среды через обобщенные потенциалы. ДАН АрмССР, 1989, т.88, N04, с. 163-167.

18.Саакян С. Г. Распространение волн от точечного источника в слоисто-неоднородном изотропном упругом полупространстве. Механика (Межвузовский сборник научных трудов). Ереван, 1989, вып.7, с.98-106.

19.Саакян С. Г. Распространение волн в радиально-неоднородном упругом шаре. Изв. АН АрмССР, Механика, 1990,т.43,Ыо 1, с.36-43.

20.Саакян С. Г. Решение первой граничной задачи для радиально-неоднородного упругого шара. Механика (Межвузовский сборник научных трудов). Ереван, 1991, вып.8, с.108-123.