О разрешимости некоторых классов нелокальных интегро-дифференциальных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

стегстерство образования респубезш тлдзиго/н -

тлдяткскип г0судлрстве1ш! згшшегайет

РГ6 ОА 2 5 ИЮЛ 1394

СпещгалйзировЕШннй совот К 065.01.02

На правах рукописи удк 519.87.59

КС'.'ЛТОВ ¡Ш51ЦС10П ?даШШЩ0НС1Ш

о разрег^ости ишсоторж кялссов шлашшш шп^о-дагжршсшьрж ЗАДАЧ

01.01.02 -дпйерэншалыше уравнешш авторейера!

ДИССеИТЗС"! НО С0ИСИО!3?5 "/ЧгЛ'Пй СЗГЗЯО"-!

кввдвдаю ^зжо-катадетгке'.гпх наук

Душанбе - 1994 г.

Работа выполнена в Таджикском государственном университета.

Научный руководитель-доктор физико-математических наук, профессор М.К.Шуей

Официальные оппоненты- доктор физико-математических ,

наук, профессор Бойматов К.Х. кандидат физико-математических наук, доцент Днобиров д..к.

Ведущая организация-Институт кибернетики научно-производственного объединения "Кибернз-Еотика" Ш Республики Узбекистан

/ -2с

Зазщта состоится * " ¿¿¿Д-ОД- 1Э94г. в часов на заседании специализированного совета К 065.01.02 по присуздотт ученой степени кандидата физико-математических наук з Таджикском гооушворсаго'то. (734025,г.Душанбе,пр.Рудаки,17).

О диссертацией г,;о;л» ознакомиться в научной библиотек Тадаикского госувиварситета.

Автореферат разослан

ссамгЛ— 1994г.

Учений сезггрэгарь сшциализЕрованного совета, К.ф-м.н., доцент

Хосабеков ОЛ

ОЩЛЯ ХЛРЛКТЕЩЯПСА РАБОТЫ

Актуальность работ. Охрана природных ресурсов является одной ira вакпеЯипх проблем нашего времени. Разработка методов защити урожая от сельхозврэдитедай и охраны ценных биологических видов, прп тех или иных антропогенных воздействиях, требует пропюэа далангат биологических популяций, сообществ и экосистем.

Соответствующие этим по стационарным и стационарным процессам уравнения являются в основном нелинейными дифференциальными уровнопиячи а частных производных. Разработке методов решения таких уравнений играет ноналовагное значение в теории д$Ф1юронциалышх уравношй в частных производных» О трудности этих задач говорит и тот факт, что соответствующие граничные условия являются фупкщюколышки.

Линейным, квозилтюГлка и нолипойшн уравнениям и системам теша уравнений посвящено достаточно много монографий, учебных пособий и научных работ. Сцда в первую очерэдь относятся книги К.Млрондц, Н.И.Лионсо, О.А.Лэднгопсхой, Н.Н.Уральцевой, В.Л. Солопшгкова » А.Сртдоапа» A.ÎL Уыачопи, Д. А. С&'юрского s B.C.Владимирова, В.П.?,'лхаЯлова, Р.Курвпта и работы А.Фридмана, И.Сорина, Л.О.СндиттоЕа, О.А.ОлоГлик, С.Н.Крупсова, В.А.Солон-пиково и шогие другие.

К'ЯОГПО процооси ПрНрОДЦ ПрППОДПТ К рОООНКП сгядасопряяон-iriJit и иоссмосопряг.еншх полоколышх :~г~г"г. задач. С::да относятся исслодсвшшя В.А.Ильина, H.Ii. "cir.zzu, Î.UL Комарова и ?.тло-гие другие.

Вопросом матемаюггосгсого »одзглроспсгя x.mv.i-2m чкслон-ности биологических популяций поеввгопо ряд зглзчотэльпп: работ Вольтера. Мптомаот-юскпм гспросс.ч устеГлнгссти бгеспстои с учетом вро?,;ошшх, возряоизгс П ПрОСТфЗПСТЗЭШК СВЯ20Й посвящена обвшрная бп(5люграф;ш. Это п пэрзуп очередь рчботн Дп„ Мзрри, Ю.М. Свирошза,. Д.О. Логофоте, Н.Б. Удьппсез. Долнзйгзз продолжение исследования устойчивости матоматичосих. кодэлэй с учетом временной, возрастной и пространственных связв;! для модельных популяций, сообществ и экосистем ст2;:о предметом изучения работ U.K. Шуей.

Работы U.K. Юнусп посвящены разработка моделей ч методов исследования задач управления агроценозаки и охраняемыми биодо-

плесками популяциям, гдо исследуются созер^ешю новые системы штегра-дойвренциальних уравнений. Для широкого класса проетранственно-распраделэншх глоделэй с шиегро-дайоренциаль-шми системе:,si кзучош вопросы устойчивости стационарных решений.

В настоящей работе рассмотрены близкие к работам .'.!.К.Шуей задачи, однако в отлично от работ U.K.Шуей здесь в рассмат-риваеких уравнениях втоткэ производные берутся не по пространственна координатам, а по возрасту. В связи с чем получаются новые задача, описиващне численность некоторой изолированной популяции с учатся диффузионного возрастного обмена.

Тссрзтачссыш к практическая цзшость. Работа носит теоретический и практической! характер. Результаты, полученные в работе, могут бить использованы, при проектировании мероприятий по 32чпте урожая от сольхозвредителей и охраны "ценных" (редких) биологических видов, где требуется прогноз динамики численности биологшоскпх в:!дав.

Цель робот состоит в разработке моделей и методов исследования решения нелокальных задач, связанных с численность» изолированной популяции и биологических систем с учетом возрастного состава и пространственных распределений. Отличительная черта рассматриваемых задач заключается в том, что начальные (или гравичвде) значения является функционалом (интегрального типе) от неизвестного решения. Для етих задач рассматриваются вопроси корректной разрешимости в -соответствующих линейных, полулинейных и нелинейных моделях. Рассматриваются таетш вопросы распространения нелинейных волн, рогами с обострением и локализации решений.

Научная новизна. Для некоторых классов 'нелокальных интегро-дифференциальных задач изучены вопросы устойчивости стационарных реваний. Доказано существование и единственность классического и обобщенного решают рассматриваемых задач Найден способ раненая вырожденных задач.

, Уатода исследования. В работе использоващ совремэшше методы теории уравнений в частных производных и функционально-гс анализа. Это -правде всего принцип максимума, теорема сравнения t метод априорных оценок, метод Фурье и приближенные катода решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Осяовяно подеггенлл, KOTorrio является iios-t-t дет дсглтой работы, слэдующие :

1)свздошо лшэйнэй гагсагро-дкффэрэшршльпой зодачи к соотсэтствущэй носвмосопрягяигай зодачэ л рошппе посладаэй зодачи(§1-§2);

2 )полу!:91пю апр::оргшх оценок в различтшх нор:ле.хг та которих з частности сладуо? коррзктпооть постановки .¡ттглзйлсЛ опдата(53-55);

3) рогошго полулшг-^тяг. огдач;

4) ртлопио пзлтозпшх задач; .

5) пр'Гбли^эттио ï.-'îTo^î росонля;

6) рстажто рлггеотллх аэдпч us ЭЕ!1.

ЛпроЗкил р}:б"':ио о ролул?лглг"~ ;™':o'î"pTî:n;n'; леллл-

дчваллсъ ло з^ллл!;.л\*л л" рт::лл:л ™ гсладов ои'ллллллцлт: л?хлл;лсо-"лт:л ::ллл':елог". Г;л;л:лл.ллл Гзя-тт.л.слого гссу^лгатгст'-ого л^гг. Г'РГлул:'

"•j r~criyo.>r*Ki:c-col: :-лрт лл/'лл'лл

улуллл :: сллцтглллстор "у - -ллрглл -, : У:у "у : :'7 ■ лллл::. ,л: :JÍ: л у;л л-

лр'.Ул:-:л ти':■"' "-7.2 "лсллЛр-1; л- "Л рл

■ :jj'CTvO"г лг лл:"р-~ *,;:' *'л [¡"-.г -пщт,-титл- рг'пгллл л лл

'л ' рлулг. Р;>:73, лл'ллл if;,::;: ллл л:л'у- ллл:>-

лл. СУ'-ол р"";ТЗ' ........

П ,л:сл^р:лл:л ¡¡(.го,:- • с,.1: ,<y :v;rzp: ллл, лрл"сл

л;ллал : и -;-"i'j :;c:v;p л:р;ллл ' ¡ л лт.урля Уу.лллл .:

ларагргфз.

Рлслля глзлл ллеллуллл лег.::"1;,г;:;::::::; .лл:":''": ' л лл-ллт" 1:т;т0грс-лл'5рзр':'ттцлал1-нсй задало

о

ы(а1,а2,о)=не>(а1,а2), -о < о4 < ь4 • («-1.2) ■ н(0.аг^)=о, н(а1,о,1)=о, о«за.«£., (1=1,2)

/ХВ(а1,аг№(а1,агД)с!я1с1аг=0, ,

где

В(а1,аг)=ехр(- ^ (сг^+а.)), ?=сопаг<0; а=С071зЬО, ь=сопаг*0, И (<\, я. „ г) -ЕзсзЕостаая фушащ

Введя Еовуп неизвестную функцию и(а4,а2Д) по формуле

задачу (I) сводом к следующей задача относительно функции и:

(2) I и(ал,ая,о)*р(ал,а3), о < < ({И,2)

и(й,аг^)=о, и(а1,о^)=о, 0^*31, , (1=1,2)

х $ и(а4,о8,оа^ ... :.. .

Очевидно, что ранение уравнения и^=аАп+?г удовлетворяющее граничшы условиям

ди ,т _ <3и ди ,п т аи удовлетворяет текеэ и гршшчногду условии

о о

■ Обратное гл поогда хэрао. В связи с егаа для

исследования сыпанной задачи (1)(пли

(2)) достаточно исслодовать корректность следующей задачи

2 Z

+ l+/(Q1.ai»i). 0<a <1 ,0<a <L ,a>0,0<t<t ,

l<ja; ear J 1 * i i -а г к

uia^.oj^a^c^), оза1сь1

u(o,a2,t)=o, ,

u(ai,0,t)=0, os^C^, (KKi,. ,

Ш (L, »a2»i)_ 35 (ö,a2,t)=0, V t£[0,tk],a €[0,bj j i "

ggj0»»3^»*'-g§ (с£,0,1) =0, V t€[0,tk].a1€[0,bj

Определение I. Функцию ue сНг>а(QT)n°°(Ц_)назовем

классичосшш решением задачи (I), если она удовлетворяет уравнении, начальным и граничным условиям задачи (3) в обычном классическом смысла.

Разыскивая решение задачи (3) методом Фурье в виде u(ai,a^,t)=v(al,a,JRftJ, посла разделения переменных голучш следущую нвсемосопряжзнпуп задачу:

' ,a„ )+\v(a ,a„ )нэ, (alVa, )eQ

u(Q,cz)=0 ü(a ,о)=о,

ua (О,с )= ис {L ,аг). v, (а ,$.)

i 1 г г

Сопряшгтпя задача к задаче (4) еет глд:

(4)

(5)

' Äi;(a ,a )+I Ufa. ,azJ-0, (а ,а„)еО

у(о,а2]^й(а. ,0), йа (г,,аг)-о, [о,DJ

у(аг,0)--у(0,а2), о^1 (Gt,Jj?)-о, 10, LJ

ССбСГЕСГШЦО ' СНПТОПТМ И СИОТОПО СЗбСТВЭШШХ Я ПрИСС'ЗДЯ-,чогсш: фунт:!":.*! гадот (•<) ;t (5) spu гг'.епт зад:

Я ' -А. =0, Я -^(SZzf+fZnz)2,2----

ОО O'i * lern .. .->

. v (а „а }=а ,а, у,, fa .а,)^3ln21irj3 sinSaza,,

[ O.Ov 2 l1 2* 2 k е Zrn v 1 Я <

У

(6)

fo, ,аг}=alti2terniaxcoaSszn, =i> •,

V^.zb-Jbt'0*)"8™™1^0032^ Я.П, ' ц.. , , . fa. ,a,eoaSfera,a,ссссгяа ,

Z к — X , лГГ>" i i 2 i я. z -c * » ' 1

Лаа» I. Посдедовагехькооть собогсэпнах x: прасоздаизнных функций задача {€) s сопрахангой к нзау ¡задач:: (7) 'Образуют биортогональиуа скотому фушвдЯ в L£(QJ, Q^(0>Li)'(0,Iíj),

т.е„ удовлетворяет соотношениям:

L L

1 г

И» (а ,а Я ía .а Jüada, =ö, С ,

k . m* » ' 3 ' клго* А * £ ' 1 г кп пр'

о о

где и се-езлн Кронзкора , т.о., напр:г.ор, Г í, Gkr.s' 1 О,

Teer:---- I. Восис^свапольноапь фти&шй ft>, fa »a. JJf апргдем};яиэ по фор^цлал <6) и(7) образует базис Риаса б пpoc:,i-рансзЗэ &jusií£ü. LJQ), -.-..о. дия мхЗой <£¡puajfju q(a ,а )tL (Q)

справедливы оцешш. ;

03

cJiíSf « Е. , где

Ж к.га-о с

0"4£< < В

Z к,т=0 2

С=9/10, С = 272. Воэду в д&гаэйгеы, оаш не указано особо во всех нормах so Q псхшазтсЕ область Q»(0,1)*(0,1).

Зе&ргю 2. %с;г.ъ ^yj^xjus ,aj tanpcpaSaa в npczcyzaiL-mas Q=fO, }J*fO,í J u по с ,a cff.:c3os;: iicnp3puSf;ii.:u npciz,ßoü;?j.-

UOpOCBG UOpilÖS.CZ U .^U-U 0 upGllZ'ZO-^ZlLll

yCAOüXlSttl

>0, Фс('0,сз; - Kcq í

фГо4,0)--0, q)ofat ,0J « (?ufciSiJ, С32,< í

fosös i'jiUüWi u{c ,a ,i) cupcSo^^zr, pr.Zc-:

? tz tz "l

„ Jfp. £rP . , , J Í fe 3;*

' «2 k-А » k m ¿ тг k - А ,2 rr>-ü J 2к.гт ¿ £ *

гглассотос::!*.! рс±йг<иел схетда?той ссвсли (Г). В порагрг,'*<э -л ."сказывается одгшстпопюсть репюния поставите;* эадтех, т.о. г*.:зет г.:эсто

Аверса 3. То-^пиз с.'^хтной ссВсни (3) из класса

}гС~ (П. }гС'(Пг 1 единственно. гк "Л Ч 1 Ч

О штагрсфэ 5 нпДдени гприорние оценки и устойчивость гаставлзнноЗ задачи.

В пупгсто I наЗдэш оценки для однородного уравнения. В частности, егэпт ::зста

Госрг.'.-з 4. Для рг^зния слегхтной заЗачи (3) справедлива сг-.злг-а:

• 415 зп^.^.а,«Щ' ЙФЗ,

гйо 0=272, с-9/10=0,9~.

5. Яри Сьполпзкш условий rsopa.ii I для рзхения с.".г> г;с:"1сй ссС&т (3) cr.pa5ed.tuCa сце:ия ч

г£э А=и:?/(2*2)

В пупггтэ 2 посопи еяргорпш оценил дал коодазрод^сго Л гзшо, плоот к-эсто 5. Длл р:"::-з:'.ип ссдсх'л (3) спрсОсй.-'.иОа с^смив

г,. ' , ч1'2

5 Ь Г'! ¡»/'л ^ 1-1"3 . /-7-г '

ИГЛ - (ОГ

/¿Г Бг~ 16:-:

.1

-.-л гаГсгга (3) при /•-/(",<

Д:л сцегга р--::'.:::::п ? г;ггэ прсстргпстаа С(3) *-осго

Тооре^а 8. Для решения слвщлтай задачи (3) при )=

справедлива оценка

тЧ'^Дс (Ъ)

вдэ

а Ы1, Мг-известные положительные постошшые.

Глава II посвяшена вопросам существования, единственности классического и обобщешюго решения полулинйных и -нелинейных нелокальных ште^о-дифференциальных задач. Предложен способ рошешш вырожденных задач. Пр;шедем основные результаты данной: главы.

В параграф I второй главы рассматривается в области ■

Щ ^«.[О,^],^«», гдо &=0+Г, С={а: о<а<Ь}, 1-граница области к

с, следующая полулинейная задача:

д^г и = Р(Ы) , вго, О < 1; «: ^ , Н \и0 = и0(а). о с <: Ъ , N (0, t) =. X В(Ы (?Д))с1£ ,

о

" |а-Ь = (<а -Щ- + Р

3 ta£=of+S§--55-е = е(а), К (а) -задсщыо шотрздатолышо <йгнкцпи, Г(Н), в (и) - соотвотстеошо функции смертности и рождаемости некоторой изолированной популяции, 1М;(аД) -числонность популяции возраста а в г,:о;лонт вр-змонл

Определение 2. Суетня 11(а„г) из класса СилЩ){~{Г,а(Ц^, которая удовлетворяет первому уравнению задачи (8) в" области 0+^(0,начальному условию и первым двум граничным условие,! задач;! (8) в обычном классическом смысле называется классически росонкзм первой емзценной задачи.

Определение 3. Сушсцля из класса С2'*((}<.){£?■''(Щ)

которая удовлетворяет первому уравнении задета (0) в области

Qf , начально:',у условию и граничным условиям задзчи (8) 1к

(8)

N (0,Ь) =' / В(Н , О $ t ^ \ ,

о

<«-$Г+ Рй)|а=Ь=0' в обычном классическом- смысле называется репепиен третьей смешанной задачи.

( ЕолпргО, то тротья смешанная задача называется второй. скэшшшоЯ задачой.

Для того чтобы установить корректную разрешимость поставленных задач (8) доказываются следующие теореш Теореиа 9. Пусть, выполнены следущие условия:

а) Нв(а)-€ е(а) €

б) Из того, что Р№) 2> о , следует 11^0,

в) существуют функцпн р<а,4), 0о(а,г-), (31(а,г) для которых справедливы неравенства

рСа.ЮИ < в'(Н).« р0(аД)и + р^а.Ю, (а,4)€<3* ,

■ - к ь

О < т1л / р(а,г)йа < 1 , i о ь

пах / р Са,Х)да <1,

; t о ч

1.

Р°= таг / р^а.^аа < и , .

но(а) > о, а-€ С.

Тогда при любом tl(!0,tkJ а аеС для классического ресонпя задачи (8) Н(а,г) справедливы неравенства (9) I) Н(си4) > о

3 М0(Д) I 'Мо<Я)*

(Ю) '■ • аиЦ0{5 ) < оах

ч

. ках / ро<Ьз 1-сах / ро«За . t о {о

Теореиа 10. Пусть выполнены все условия теорекы 9, п кроме того выполнены следущие условия:

О

б) а^а^ШДВ^а.ЛДН

ГДЭ , АВ=В(Ял)-В(Пг), О < я!л / аойЗ<1,

I О

ь

0<а пах Г ай1<с5,

1 а. 1

Г о

í7fli: Ut-zz6uc дог рзсзппп задаче (8) о фунг-цц;;;,^; .

п°(а) и п°{а), соотвзтстезыно. Тогда справедливо неравенство

(И)

■ Ein I О, min ANo , ¡nin Alíjas0 } < ЛИ «

глг I О, е;ох ¿17q , щах ñ!J|(.=o |

из которого слодует:

«-.-'а <■■.-с.

I) если то tH=Ht{a,t)-Kz{a,t)^0 в Щ .

"к

26) 1- i;Ärr!ic(ö)i!]Äi;!;oa3 -----1-----WBot c^N,

к- Г ч/ аа ^

J о

В 2 II и oöäü-jki Qt рисс;:;.трнв::зхия

'к''

roí):;, eco, o«'t. ,

с г. - »r

j lAc3ü) ií0(a), aid,

! w -Шг ja-а

о.

Л,- V,-;-(Ï:Ï>-:<( ¡.:{0)--0 in;.: I ÍI;) - '„(:;):., (i'):-

'.'Пиан ■ íMJ(a0!./ 4^'Aj:: O-'Jj..;1.'.::;^. ':."' J

кой :.u;:.i\4i>, "C.:. : oy;.;;¿".^'or t

с ивидр^с;-.: l хоЗзП к:::гл:.;ЗЛ области QCü,. , »- cc"-

j^-cJd^ '-¿'-ПГ-гзус-зГ. в q. ç --■?(<?.,£),

к

pauiO.": иуд.) щм t—t^, cl удо^азгъэрпот хо;.:достб7

(13) J [e(<- (Ы)<р-В0(Н)17ф|a=0-«3taV]c2adt=

К и

J Ho(a)<p(a,0)da,

o

ГД9

я _ Q ._d_

"ta ~ UT+~Ua~ • • Заметим, что равенство (13) получается.посла у?шопенил

нелинейного уравнения на <р' и интегрированном по частя?.! по

области . При этом, интегрирование по частям, по переменной

а будет законным, если е(11)-щ- непрэрнЕна в области S , что пмэет место для широкого класса внроидаядихся • параболических уравнений. Ясно, что необходимость в . определении ренопип в обобщенном смысле возникает в том случав, когда рапениэ имеет

в Qt точки Еыроддения, где ií(a, tо. Обобщенное репонг.е за*

дата с гладкими коэффициентами кокно получить как продел при ги» монотонной последовательности гладких ограниченных • положительных'решений tln(a,t) той г:э задачи. В результате обобщенное решение в окрестности всех точек (a,t)íQ+ , где н>0,

является классическим и теряет гладкость только на поверхности вырождения, отделящей области s=-^(a,t):ll(a,t)>0,(a,t)£Qt j-

от области so=£(a,t.): l¡(a,t)=o, (a.tjc Q^» причем asas S0<e

для некоторого достаточно малого е>о. :

Наряду с сформулированной нелинейной задачей рассмотрим следующую задачу без 'вырождения' :

dta2lf = yo(II)N» aeG» 0<t$tk,' И'(а,О) = и (а), aeS,

(14)

N (O.t) = /з ¿N(a',i))ffáa' ,0«ta k,

O

где д^ = 3lai|e=sn(lí), 8n(U)>so>0, 71=0,1,2,..., еп(11)-срзд-

нио функции Соболева.

Для задачи (14) такг.о доказана справедливость теорем 9 и 10. Теорема II. Пусть выполнены условия

~ ?.(Н) > /„» /O=conaí>o, Bo(Q,t)0ofa,tj

Тогда справедливо неравенство

X ч*

«-гР^'т^11 М*-°«<

и Т, а

к

где ск ={(а,х):0<а<Ь, 0<т<1), 0 = 'сошПХ). ч 1

В параграфа 3 второй главы даотся приближенное рошошю вырожденной волуяпюКпой и шлинейиой задачи.' Вводом свмэну поромошшх

Тогда получим

' Аи дП , 6П 02и д*П ЪаЬГ 5а- • *

Решонио задачи (14) будзм искать в следушем виде: ы(а,т)=?го(а,т)+е?14(а»'с)+«г/гг(а,т)+о(е0) Сушарш Г(?П также разложил в ряд по стопоням милого параметра о .

Решило соотвотствукдас полулииойхшх »: лшойют задач шлется в виде плоской волш:

(16) и(о1т)«0(Р(т)о), гдэ р(1)- известная функция от параметра ч.

Продпологая е-малым подоштелышм параметром, решение задача пцом в ездо:

(17) 0 (С)=Ло(е)+«Л1(е)*е2Лк(е)+0(е9)

Тогда для определения функций 1x^1) (1=0,7,2,) получим сле-дукцуи задачу:

<ЭЛ 'СО

Гг-1^ \«»>

о 1 о ао 1 о

Тоюж образом, для нахождения функции \(1), 1=0,1,2

получил рокурэнтпув систол дифференциальных уравнений. . Роиая последовательно сиотому (18), т -находим (£),

Ла(Е) и т.д. Тогда решение полулинейной и нелинейной задачи имепций вид плоской волны принимает такой вид:

В параграфа 4 глаш Я приведены.результаты вычислительных экспериментов с различными модельными данными рассмотрап- ' ных задач.

■ В заключении вырапап глубокую благодарность своему научному руководителю • М.К.Юнусн за постоянное внимание к

работе. -''-.''

Основные результата диссертации опубликовании в елоду щах'работах.

1. Юнусов И.К., Исматов H.!J. О корректной разрешмооти одного класса нелокальных задач.Еэсггош ТГУ, 1ЭЭ1г., .'.'5, с.32-37

2. Исматов H.Ii. Об одной нелокальной интогро-д^фзрэшщальЕоЯ задаче// Тезисы республиканской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов, Душанбе 1989 г.,о.29

3. Исматов H.Ii. О разрешимости одной нелокальной иптегро-диф-фэр'знциальной задачи// Еэстнкк ТГУ,' 1990г. ,.'3 5, с.24-27

4.. Исматов H.H. Принцип максимума для одной нелокальной инт0гро-диф5зр9нцпальЕой задачи// Тезисы докладов колодах ученых н специалистов,- Курган-Тюбе 1991г. с. 134-136

5. ¡'сматов Н.М. О численности Еозрастно-пространствэнных распределенных популяций в стационарном случае// Ыатеиатачес-кпе проблемы экологии(тезисы докладов),1991г. с.42

6. Исматов H.H. Ресаппа одного класса нелокальных задач методом Фурье// Тезисы докладов республиканской научной конференции "Дкффорзщиалышэ уравнения и их пралохепия. Куляб, IS3I, 0.42

7.' Нсматсз H.H. Об одном методе реяения нелокальных штогро-дайюрэшщалышх задач// Докл. АН Республик Таджикистан, •ill, Т.34, 1991г. ^

27/У-1994 г. Заказ 48. Тираж 100. Ротаговит ТГУ.