О разрушении решений нелинейных сингулярных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

" 3442

На правах рукописи

Галахов Евгений Игоревич

О РАЗРУШЕНИИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание степени доктора физико-математических наук

Москва - 2010

Работа выполнена в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

член-корр. РАН С.И. Похожаев Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Жиков доктор физико-математических наук, профессор В.А. Кондратьев доктор физико-математических наук, профессор A.B. Шабат Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М.В. Келдыша РАН

Защита диссертации состоится 15 апреля 2010 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д.002.022.02 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Ю. Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Нелинейные модели возникают во многих областях современной математики, естествознания и техники при исследовании явлений, параметры которых изменяются в широком диапазоне. Для многих нелинейных уравнений в частных производных известны достаточные условия разрешимости на малых интервалах времени, но для прогноза долгосрочного развития процессов, особенно в критических ситуациях, этого, вообще говоря, недостаточно. Возникает вопрос о необходимых условиях существования глобального решения, а в случае их нарушения - об оценке времени разрушения (катастрофы) решения и области его существования.

В работах С.И. Похожаева1 о разрешимости нелинейной задачи Дирихле, X. Фуджиты2 об отсутствии глобальных решений нелинейного уравнения теплопроводности и Т. Като3 о нелинейном волновом уравнении было показано, что эти условия характеризуются критическими показателями нелинейности, возникающими при глобальном анализе соответствующих задач. Начиная с 1980-х годов появились многочисленные статьи и монографии отечественных и зарубежных специалистов4 (X. Брезис, В.А. Га-

Щохожаев С.И. О собственных функциях Au + \f(u) = 0 // ДАН. - 1965. - Т. 165. - С. 36-39.

2Fujita Н. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut — А и + u1+a / / J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sect. IA. - 1966. - Vol. 13. - P. 109-123.

3Kato T. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations//Comm. Pure Appl. Math. - 1980. - Vol. 32. - P. 501-505.

4См., например: Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987; Galaktionov V., Levine Н. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonl. Anal. - 1998. - V. 34. - P. 1005-1027.

лактионов, X. Левин, JI. Ниренберг, A.A. Самарский. Дж. Серрин и другие), посвященные явлению разрушения (blow-up) решений уравнений в частных производных.

Методы, предложенные этими авторами, основаны на использовании принципов сравнения и анализе автомодельных решений, а поэтому неприменимы в тех случаях, когда принцип максимума не имеет места, в частности, к полигармоническим, гиперболическим и другим операторам высокого порядка но пространственным или временным переменным. Для исследования таких ситуаций С.И. Похожаевым был предложен5 и развит 13 соавторстве с Э. Митидиери и другими зарубежными коллегами6 метод "нелинейной емкости", позволяющий сводить исследование дифференциальных операторов к алгебраическому анализу интегральных тождеств и неравенств с оптимальным выбором пробных функций в рассматриваемом функциональном классе и тем самым получать точные значения критических показателей нелинейности, при которых происходит разрушение решений, для различных классов операторов.

Во многих важных случаях (см. ниже) проблема глобального существования или разрушения решений до последнего времени оставалась открытой. Ее решению и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы заключается в получении оптимальных в рассматриваемых функциональных классах достаточных условий разрушения решений

5Похожаев С.И. Существенно нелинейные емкости, порожденные дифференциальными операторами // Докл. РАН. - 1997. - Т. 357. - С. 592-594.

"Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных, М.: Наука, 2001 (Труды МИАН им. В.А. Стеклова. - Т. 234).

и оценок на время их существования для следующих типов задач:

- нелинейные стационарные неравенства и системы в ограниченных областях с линейными операторами высокого порядка или с квазилинейными операторами в главной части и с сингулярными коэффициентами внутри области или на ее границе;

- квазилинейные эллиптические задачи в полупространстве с нулевыми условиями на границе;

- нелинейные эволюционные неравенства и системы с линейными операторами высокого порядка или с квазилинейными операторами в главной части и с сингулярными коэффициентами внутри области или на ее границе, а также с сингулярными начальными условиями;

- гиперболические уравнения и системы с компактным носителем начальных данных, критической нелинейностью и ненулевым потенциалом.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми, обоснованы строгими математическими доказательствами и состоят в следующем:

- Для нелинейных эллиптических неравенств и систем в ограниченных областях получены точные критические показатели в зависимости от порядков роста нелинейных слагаемых и поведения коэффициентов.

- Для квазилинейных эллиптических задач в полупространстве получены новые версии сильного и слабого принципов сравнения, а также достаточные условия монотонности и отсутствия положительных решений.

- Для нелинейных эволюционных неравенств и систем также определены значения точных критических показателей в зависимости от данных задачи, включая начальные условия.

- Для гиперболических уравнений и систем с компактным носителем начальных данных и ненулевым потенциалом доказаны теоремы о разрушении решений при критическом показателе нелинейности. Кроме того, обобщены на сингулярный случай некоторые достаточные условия глобального су шествования решений.

Точные формулировки основных результатов работы приведены ниже.

Методы исследования. В качестве основного метода исследования используется метод нелинейной емкости, упомянутый выше, со специальным выбором пробных функций в соответствии с особенностями рассматриваемых задач. А именно, вводится семейство сглаженных характеристических пробных функций с носителем в виде шара или шарового слоя в стационарном случае и цилиндра или цилиндрического слоя в эволюционном. Путем алгебраического анализа интегральных тождеств и неравенств с этими пробными функциями получаются оптимальные априорные оценки решений в рассматриваемых функциональных классах, причем, в отличие от задач в неограниченных областях, исследуется асимптотическое поведение этих оценок при стремлении к нулю параметра, характеризующего меру носителя пробных функций или их производных. Из стремления к нулю величины, являющейся верхней априорной оценкой положительного функционала от решения, вытекает отсутствие нетривиальных решений.

Кроме этого, используются метод движущихся плоскостей для эллиптических задач в полупространстве, метод преобразования Радона для гиперболических задач и другие.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории

нелинейных уравнений с частными производными и в задачах прогноза катастроф, возникающих в теории горения, эволюции звезд и других областях естествознания и техники. В частности, результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИАН им. В.А. Стеклова, С.-ПГУ, РУДН и в других высших учебных заведениях и научных центрах.

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались на международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве в 2002, 2005 и 2008, памяти И.Г. Петровского в Москве в 2001 и 2007, по случаю 75-летия профессора Дж. Серрина в Перудже (Италия) в 2002, по нелинейному анализу в Хассельте (Бельгия) в 2003, по случаю 70-летия профессора Г. Аман-на в Цюрихе (Швейцария) в 2004, по разрушению решений в Эскориале (Испания) в 2006, по теории функциональных пространств во Фрайбурге (Германия) в 2008, на семинарах под руководством Д.В. Аносова (МИАН, Москва), А.К. Гущина и В.П. Михайлова (МИАН, Москва), В.В. Жи-кова (ВГГУ, Владимир), Л.Д. Кудрявцева и С.М. Никольского (МИАН, Москва), В.А. Кондратьева и С.И. Похожаева (МИАН/МГУ, Москва), Г.Г. Малинецкого (ИПМ, Москва). В.А. Садовничего и А.И. Прилепко (МГУ, Москва), В. Бальзера (Ульмский университет, Германия), К. Бандль (Ба-зельский университет, Швейцария), Х.-О. Вальтера (Гиссенский университет, Германия), П. Такача (Ростокский университет, Германия).

Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных научных изданиях. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав основного текста, разделенных на параграфы. Нумерация параграфов двойная и ведется по главам, нумерация определений, теорем, замечаний и т.п. - тройная, единая для всех этих элементов текста и сквозная внутри каждой главы. Этим же способом организована нумерация формул. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 112 наименований, где вначале в алфавитном порядке перечислены работы на кириллице, а затем - на латинице. Общий объем диссертации - 209 страниц.

Обзор содержания диссертации

Первая глава является введением. Во введении дается краткое изложение содержания диссертации и формулируются ее основные результаты.

Вторая глава содержит результаты об отсутствии решений сингулярных нелинейных эллиптических неравенств и систем в ограниченных областях. В этой главе вводится аппарат, используемый на протяжении всей диссертации, в частности, основные классы пробных функций, используемых в рамках метода нелинейной емкости. Все они имеют вид сглаженных характеристических функций некоторых множеств, выбор которых зависит от свойств рассматриваемого оператора и х^еометрической структуры особенностей коэффициента при нелинейном слагаемом. А именно, в случае особенности, локализованной внутри области, используются пробные функции с кольцеобразным носителем в проколотой окрестности особого множества, причем мера этого носителя стремится к нулю. Если же коэффициент растет в окрестности границы, то носители пробных функций аппроксимируют рассматриваемую область изнутри.

Глава начинается с рассмотрения модельной задачи

-Аи > uqp~a{x) (xeÜ\S), (1)

где П - гладкая ограниченная область, S - замкнутое подмножество ее замыкания, р(х) - расстояние от точки х до 5, q и а - действительные параметры. Решения задачи рассматриваются в классе функций и £ L}0C(Q\S) таких, что идр~а G \ S) и неравенство (1) выполняется в смысле

распределений.

Для иллюстрации метода приводится новое доказательство результатов, полученных X. Врезисом и X. Кабре7 и С. Хашимото и М. Отани8.

Теорема 2.1.1. Если S = {0}. q > 1 и а > 2. то задача (1) не имеет нетривиальных неотрицательных решений.

Для случая S = дй. аналогичный результат имеет место при а > q + 1:

Теорема 2.1.2. Если S = д£1, q > 1 и а > q + l: то задача (1) не имеет нетривиальных неотрицательных решений.

Приводятся примеры, показывающие, что эти критические показатели являются оптимальными. Следует отметить, что, в отличие от известных результатов в неограниченных областях, эти и последующие критические показатели не зависят от размерности области.

Далее в параграфах 2.2-2.5 доказываются теоремы об отсутствии решений для эллиптических операторов высокого порядка, к которым неприме-

7Brezis Н., Cabré X. Some simple nonlinear PDE's without solutions // Boll. Unione Mat. Italiana, Sez. B, Artie. Ric. Mat. - 1998. - Vol. 78/1. - № 2. - P. 223-262.

8Hashimoto S., Otani M. Elliptic equations with a singularity on the boundary// Diff. Int. Eq. - 1999. - Vol. 12. - P. 339-349.

нимы методы перечисленных авторов, основанные на принципе сравнения:

а также на системы неравенств с такими операторами. В частности, справедлива

Теорема 2.2.3. Задача (2) не имеет положительных решений при 5 = {0}, д > 1 и а > 2к.

Неравенства и системы с нелинейной главной частью, например

где Ари :— (Иу(\Ви\р~2Би) (р > 1), исследуются с помощью пробных функций, имеющих более сложную структуру. В параграфах 2.6-2.7 рассматриваются неравенства и системы с точечными особенностями на границе (случай 5 = {0} С <9П), для которых строятся пробные функции с носителями в виде шаров уменьшающегося радиуса в окрестности особой точки. В частности, доказывается

Теорема 2.6.1. Пусть Б = {0} С дП. и а > + 1.

Тогда задача вида (3) не имеет нетривиальных решений.

Глава завершается доказательством теорем существования и отсутствия решений для различных классов эллиптических задач с градиентными нели-нейностями (параграфы 2.8-2.10).

Основные результаты главы 2 можно свести в таблицу (строки - типы особенностей, столбцы - операторы, в клетках - значения критического показателя а):

(~А)ки > и9р-а{х) (х € П \ Б)

(2)

Ари > ичр-а(х) (х е П \ 5)

(3)

Таблица 1

-A (-Д)* -Ap

S cfl 2 2 к P

S = dQ q + 1 (2k — l)q + 1 <7 + 1

S = {0} с дП <7 + 1 q + 2k - 1 9 + 1

Третья глава посвящена отсутствию положительных ограниченных решений эллиптических уравнений в полупространстве с нулевыми граничными условиями:

-Ари = и" {х <Е Ш.+ := {(ж', xN) : х' G MN~\, xN > 0}), и = 0 (х' е xN = 0).

Ранее эти задачи рассматривались при р = 2 Л. Ниренбергом и соавторами9, Э. Дансером10, а в общем случае - Л. Дамашелли и Б. Шыон-ци11, X. Зоу12 и другими авторами. Так, X. Зоу был получен критический показатель для произвольного р в пространстве И/1,Р(ЖЛГ) П L^IR^). В диссертации исследуется проблема критического показателя при р ф 2 в пространстве L00(HiV).

Метод доказательства основан на технике движущихся плоскостей, т.е. на сравнении решения и с его отражением и\(х',хдг) := и(х',2Х — хдг),

9Berestycki Н., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems // Topol. Meth. in Nonl. Anal. - 1995. - Vol. 4. - P. 59-78.

10Dancer E. N. Some notes on the method of moving planes // Bull. Austral. Math. Soc.

- 1992. - Vol. 46. - P. 425-434. uDamascelli L., Sciunzi B. Monotonicity of the solutions of some quasilinear elliptic

equations in the half-plane, and applications // 2009. - To appear in J. Diff. Eq.

12Zou H. A priori estimates and existence for quasi-linear elliptic equations// Calc. Var. -

2008. - Vol. 33. - P. 417-437.

где Л > 0 - произвольный параметр, позволяющем доказать монотонность предполагаемых решений по переменной хдг. Последующий предельный переход при хм оо приводит к противоречию с известными результатами об отсутствии решений уравнения из (4) в Ш^-1 при субкритических значениях д.

Для применения этого метода к вырожденным и сингулярным эллиптическим операторам типа р-лапласиаиа требуется доказательство различных версий слабого и сильного принципов максимума для таких операторов в неограниченных областях. Эти утверждения представляют и самостоятельный интерес. Их доказательство проводится в параграфах 3.1 и 3.2 соответственно. При этом для доказательства слабого принципа максимума используется техника нелинейной емкости.

В параграфах 3.3-3.5 доказываются, в частности, следующие утверждения:

Теорема 3.4.1. Пусть и € С^К-^) П - решение задачи

~Ари = /(и) в = {{х, у) € Ж2: у > 0}, и > 0 в Ш.+, (5)

и — 0 на

где / Е С(М+) П и /(в) > 0 при я > 0, ^ < р < 2.

Тогда и монотонно по у.

3

Следствие 3.4.1. Задача (4) при /(и)=и9сд>1и-<р<2не имеет ограниченных положительных решений в С^Н^).

Теорема 3.5.1. Пусть и е С11ос(К^)ПЬ0°(Ж^) - неотрицательное нетривиальное решение задачи

-Д„и = /(и) (х е = {х е хм > 0}),

и(х) = и(х', Ждг) —> 0 при \х'\ -> СО, X» е Ж+, (6)

и = 0 (х е дШ:

Предположим, что / 6 ^(11+), /'(0) = 0 и /(и) > 0 при и > 0. Пусть

2Ы + 2 также ——— <р <2. N + 2 И Тогда и монотонно возрастает по хдг.

Следствие 3.5.1. Пусть /(и) = и4. Если 1 < д < — 1, г^е

_ (ТУ - 1)р

есть критический показатель Соболева для вложения И^1,Р(ЖЛГ~1) ¿'(Ж"^-1), то задача (6) не имеет ограниченных положительных решений в С1^).

Полученный показатель совпадает с результатом Э. Дансера при р = 2. В параграфе 3.6 часть этих утверждений обобщается на системы квазилинейных неравномерно эллиптических уравнений с нулевыми граничными условиями в полупространстве.

В четвертой главе исследуется мгновенное разрушение решений сингулярных нелинейных эволюционных неравенств. Глава начинается с введения необходимых обозначений и формулировки задач. Типичными являются задачи вида

Г и<?] - Аи > аичр~а - Ь\Ои\3р~Р ((ж,«) € С} = П' х Ж+),

где А- стационарный линейный или квазилинейный дифференциальный оператор, например (—А)к или ±ДР, ГУ = О- гладкая ограниченная

область в Ш^. замкнутое подмножество П или р(х) - расстояние от точки х до множества 51, а > О, Ъ > 0. Здесь остается существенным различие между случаями 5 С О, 5 = д£1 и5 = {0} С дО,. Для доказательства теорем о локальном отсутствии (мгновенном разрушении) решений вновь используется метод нелинейной емкости с такими же пробными функциями по пространственным переменным, как в главе 2, и с пробными функциями типа сглаженных характеристических функций правой окрестности нуля по временной переменной.

Для задач вида (7) первого порядка по времени (] = 1) без градиентной нелинейности (Ь = 0), в частности, параболических и обратных параболических, достаточные условия мгновенного разрушения решения при произвольных неотрицательных начальных данных имеют такой же вид, как условия отсутствия решений соответствующих задач в главе 2 (см. таблицу 1). С другой стороны, существование решения зависит также от поведения начальной функции в окрестности особого множества, а при Ъ ^ 0 - и от показателей 5 и /3 в градиентном слагаемом. Точные формулировки соответствующих теорем приведены в параграфах 4.2 (для 5 С О, и Б = дП) и 4.4 (для 5 = {0} С дП). В параграфе 4.3 исследуется случай ^ > 2, охватывающий, например, квазилинейные гиперболические неравенства. Параграф 4.5 посвящен обобщению предыдущих результатов на случай эволюционных систем. Приводятся примеры, свидетельствующие об оптимальном характере полученных результатов в рассматриваемых функциональных классах.

В качестве примера может быть приведена Теорема 4.3.1. Пусть А = Ар; q > р — 1, uQ Е С1^), причем uq(0) >0u

(-l)J'-4_i(a:) >0

в некоторой окрестности 0. Пусть, кроме того, либо 1<р<2иа>р, либо 2 <р < а <

Тогда задача (7) с Ь = 0 не имеет локальных решений и £ Clj~1(f2 х [0, г]) ни для какого т > 0.

В пятой, заключительной главе диссертации рассматривается проблема глобального существования решений гиперболических уравнений и систем с компактным носителем начальных данных. В параграфе 5.1 формулируется задача

Au + V(x)u-utt + W{x,t)\u\p = 0 bR" х IR+, и(х, 0) = f(x), ut(x, 0) = g{x) в IR^, (8)

где

0 < V{x) < C( 1 + |x|)-(2+a), W{x, t) > C(1 + \x\)a{l + tf (x G JRn) (9)

с некоторыми С, S > 0 и a, /3 G IR, а начальные данные удовлетворяют условиям

f(x) = g(x) = 0 при |ж| > R > 0. (10)

Первый результат о критическом показателе для этой задачи при N = 3

был получен Ф. Джоном13. Гипотеза о том, что при 1 < р < min{pc(N, а, /3), 2}.

13John F. Blow-up of solutions of nonlinear wave équations in three space dimensions// Manuscripta Math. - 1979. - Vol. 28. - P. 235-268.

где Pc(N, a, pi) - положительный корень квадратного уравнения

(N - l)p2 - (N + 1 + 2а + 2Р)р - 2 = 0, (11)

любое локальное решение задачи (8) имеет конечное время "жизни", в случае а = /3 = 0 и У = О была выдвинута У. Штрауссом14 и полностью доказана Б. Иордановым и К. Чжаном15. Но методы этих авторов оказались неприменимыми к случаю Уф 0.

В диссертации разработана новая техника, основанная на комбинации метода преобразования Радона, предложенного Б. Иордановым и К. Чжаном, с методом нелинейной емкости. Благодаря ей была доказана

Теорема 5.1.1. Пусть f, g > 0 почти всюду в Ш.^ и f+g ф 0. Предположим, что задача (8) имеет решение (и,щ) € C([0,Ti),H1(lRN)xL2(JRN)) с Т\ > 0 такое. чт,о supp(и,щ) С {(x,t) : |.т| < t + R}. Если а < 0, Р < 0, а + Р > тах{—2, (N - 1)(р/2 - 1)} и 1 < р < mm{pc(N,a, Р),2}, то Т\ < оо.

Аналогичная теорема формулируется и для нелинейных гиперболических систем с показателями нелинейности, лежащими на так называемой критической гиперболе.

Доказательство этих утверждений проводится в последующих параграфах. В параграфе 5.2 с помощью метода нелинейной емкости, а также модификации метода преобразования Радона, предложенного Б. Иордановым

"Strauss W. A. Nonlinear scattering theory at low energy// J. Funct. Anal. - 1981. -Vol. 41. - P. 110-133.

15Yordanov В., Zhang Q.I. Finite time blow up for critical wave equations in high dimensions// J. Funct. Anal. - 2006. - Vol. 231. - №2. - P. 361-374.

и К. Чжаном. получены априорные оценки решений рассматриваемых задач сверху и снизу, которые в параграфе 5.3 приводят к противоречию с гипотезой о глобальном существовании решения в рассматриваемом диапазоне параметров для задачи (8), а в параграфе 5.4 - для систем. В заключительном параграфе 5.5 с помощью оценок Штрихарца доказывается теорема существования глобального решения нелинейной гиперболической системы при невыполнении полученных условий.

Работы автора по теме диссертации

1. Е. Galakhov. Some nonexistence results for quasilinear elliptic problems. J. Math. Anal. Appl. 2000. Vol. 252. P. 256-277.

2. E. Galakhov. On some elliptic and evolution equations with singularities at the boundary. Diff. Int. Eq. 2002. Vol. 13. P. 1137-1154.

3. E. Galakhov. Some boundary value and mixed problems for quasilinear partial differential equations. Atti Sem. Univ. Modena. 2003. Vol. 51. P. 295-313.

4. Е.И. Галахов. Положительные решения некоторых полулинейных дифференциальных неравенств и систем. Дифф. уравнения. 2004. Т. 40. С. 662-672.

5. Е.И. Галахов. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения. Дифф. уравнения. 2005. Т. 41. С. 661-669.

6. Е.И. Галахов. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения. Матем. заметки. 2005. Т. 78. С. 202-211.

7. E. Galakhov. Positive solutions of some quasilinear partial differential inequalities and systems. Math. Nachr. 2006. Vol. 279. C. 831-842.

8. E. Galakhov. Some nonexistence results for systems of nonlinear partial differential inequalities. Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 2005. Vol. 37. C. 237-272.

9. E. Galakhov. Some nonexistence results for quasilinear PDEs. Comm. Pure Appl. Anal. 2007. Vol. 6. C. 141-161.

10. Е.И. Галахов. О дифференциальных неравенствах с точечными особенностями на границе. Труды МИАН. 2008. Т. 260. С. 119-129.

11. Е.И. Галахов. Разрушение решений некоторых волновых уравнений. Дифф. уравнения. 2009. Т. 45. С. 59-68.

12. Е. Galakhov. A comparison principle for quasilinear operators in unbounded domains. Nonl. Anal.: TMA. 2009. Vol. 70. C. 4190-4194.

13. E. И. Галахов. Об эллиптических и параболических неравенствах с точечными особенностями на границе. Матем. сборник. 2009. Т. 200. С. 3-24.

14. Е. И. Галахов. Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач. Матем. заметки. 2009. Т. 86. С. 337-349.

2009194142

1 Введение

2 Нелинейные сингулярные стационарные задачи

2.1 Обозначения и модельная задача.

2.2 Задачи высокого порядка.

2.3 Системы с главной линейной частью.

2.4 Внутренняя сингулярность: квазилинейные уравнения.

2.5 Внутренняя сингулярность: квазилинейные системы.

2.6 Стационарные неравенства с точечными сингулярностями на границе.

2.7 Системы эллиптических неравенств.

2.8 Задача с градиентной нелинейностью.

2.9 Сингулярные задачи с градиентной нелинейностью.

2.10 Стационарные системы с градиентными нелинейностями

3 Нелинейная задача Дирихле в полупространстве

3.1 Сильный принцип сравнения.

3.2 Слабый принцип сравнения.

3.3 Лемма о предельном переходе.

3.4 Монотонность и отсутствие решений в двумерном случае

3.5 Монотонность и отсутствие решений в многомерном случае

3.6 Монотонность для систем.

4 Сингулярные нестационарные нелинейные задачи

4.1 Обозначения и формулировка задач.

4.2 Квазилинейные эволюционные задачи первого порядка по времени

4.3 Квазилинейные эволюционные задачи высокого порядка

4.4 Параболические неравенства с точечными сингулярностями на границе.

4.5 Сингулярные нелинейные системы.

5 Нелинейные гиперболические задачи

5.1 Формулировка задачи.

5.2 Вспомогательные результаты.

5.3 Доказательство теоремы 5.1.1.

5.4 Доказательство теоремы 5.1.2.

5.5 Доказательство теоремы 5.1.3.

Глава

Настоящая диссертация посвящена проблеме существования и отсутствия положительных решений нелинейных дифференциальных задач различных типов.

Типичную проблему из этого класса можно сформулировать так. "Пусть А - дифференциальный оператор в частных производных, а / : О х Н+ —> И+ сП С - заданная функция. Каковы достаточные условия для отсутствия положительных решений задачи

А(и)>/(х,и) в О, (1.0.1) где и £ Б, а 5 - соответствующий функциональный класс, зависящий от А, / и О?"

Проблемы такого рода представляют не только теоретический, но и практический интерес, так как возникают во многих областях физики и техники (прогноз техногенных катастроф, теория горения, эволюции звезд, рассеяния электромагнитного излучения, нелинейной диффузии и т. д.) Обзор некоторых приложений можно найти в [22]—[24], [105], [106] (см. также библиографию там).

В случае, когда А - обычный оператор Лапласа в эти исследования восходят к классическим результатам Коши и Лиувилля об отсутствии нетривиальных целых ограниченных функций (см. исторический обзор и ряд важных оригинальных результатов в [101]). Позднее необходимые условия существования решений уравнений и неравенств различных типов в частных производных, в том числе квазилинейных и высшего порядка, рассматривались во многих работах. В частности, для О, = некоторые нелинейные версии этой проблемы исследовались многими авторами в связи с соответствующими задачами Дирихле в ограниченных областях (см. [30] и ссылки там). Большая часть результатов в этом направлении относится к классу радиальных функций или решений, убывающих на бесконечности с определенной скоростью (см. [89], [92]). Однако метод, разработанный Б. Гидасом и Дж. Спруком для уравнения Лане-Эмдена с оператором Лапласа [76], свободен от этих ограничений. Их центральный результат можно сформулировать так:

Теорема 1.1. (С1с1а5, Эргиск, 1981.) Пусть N > 3. Тогда задача

-Аи = и« в

1.0.2) и > 0 вЕ^ не имеет решений и 6 С2(ИАГ) при 1 < д < дс := Простой контрпример и{х) = к{ 1 + И2)2^ (1.0.3) с подходящей константой нормировки к > 0 показывает, что при д > дс решения этой задачи существуют. Величину (¡с называют критическим показателем нелинейности.

Аналогичные показатели для других классов нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств были найдены X. Фуджитой [58], [59] (нелинейное уравнение теплопроводности; см. также классическую монографию [14]), Т. Като [81] (нелинейное волновое уравнение), Ф. Джоном [79] (нелинейное волновое уравнение с начальными данными, имеющими компактный носитель), Б. Гидасом, В.-М. Ни и Л. Ниренбергом [75] (эллиптические уравнения), И.Т. Кигурадзе и Т.А. Чантурией [12] (обыкновенные дифференциальные уравнения), Дж. Серрином и его соавторами [92], [101] (эллиптические неравенства), X. Брезисом и соавторами [31], [35] (эллиптические и параболические задачи, включая сингулярные), М. Эскобедо и М. Эрреро [56], а также В.А. Галактионовым и X. Левином [66] (параболические системы), А. Гарсиа, И. Пералем и Ж. Пюэлем [69], [70] (сингулярные параболические задачи) и другими математиками (см., в частности, [29], [88], [89], а также обзоры [50] и [85] и библиографию там). Проблемы режимов с обострением (отсутствия глобальных решений в некоторых классах гладкости), возникающие во многих приложениях, рассматривались в отечественной монографии [24]. Задачи с градиентной нелинейностью исследовались в [38], [96], [97] и в других работах (см. обзор [104]). В последнее время важные результаты об условиях существования и отсутствия глобальной разрешимости эллиптических уравнений были получены В.А. Кондратьевым, В. Лискевичем и их соавторами [83], [84]. Ряд физических и технических приложений, в которых возникают проблемы критических показателей, можно найти в [105]—[107].

Методы перечисленных авторов основывались на применении принципа сравнения и техники автомодельных решении. В силу этого их основные результаты относились к операторам, для которых справедливы различные версии принципа максимума. Ясно, что такие методы неприменимы для определения критического показателя нелинейности эллиптических дифференциальных неравенств высокого порядка

А)ки > и4 (гггеН^) или общих гиперболических задач второго порядка с переменными коэффициентами ау

- £ > и? ((х,1) е НЛГ х И+),

К и{х,0)=щ{х) (жем^), к щ(х,0) = щ{х) (хеш*).

Эффективный подход, позволивший решить эти проблемы, был предложен С.И. Похожаевым в [21] и развит в других работах того же автора, в том числе совместных с Л. Вероном, В.А. Галактионовым, Ю.В. Егоровым, В.А. Кондратьевым, Э. Митидиери, А. Тезеи: [1], [15]—[18], [22] - [23], [55], [67], [68], [93]—[95], [109] и особенно в монографии [19]. Этими авторами был разработан метод "нелинейной емкости", позволяющий получать точные результаты об отсутствии решений без предположений об их возможном поведении, а также априорные оценки для широкого класса квазилинейных неравенств. Метод основан на специальном выборе пробных функций в слабой формулировке задачи. Этот выбор зависит не только от структуры рассматриваемого оператора и нелинейности, но и от функционального класса, в котором ищется решение.

Точнее, в качестве типичного семейства пробных функций для квазилинейного стационарного дифференциального неравенства можно выбрать х{х) — <рц(х)и7(х), где и - предполагаемое решение задачи, срл - стандартная сглаженная характеристическая функция некоторого множества, диаметр которого определяется параметром И > 0, и 7 < 0 (для коэрцитивных задач знак обратный). Если главная часть дифференциального неравенства линейна, допустйм выбор 7 = 0. Преобразования интегрального неравенства, вытекающего из слабой формулировки задачи с указанным выбором пробных функций, приводят к априорным оценкам решения, зависящим от Я. Устремляя этот параметр к бесконечности (в случае неограниченных областей) или к нулю (в ограниченных), можно прийти к противоречию с предполагаемыми свойствами решения при определенных значениях параметров задачи. В эволюционных задачах пробные функции зависят также от временной переменной, но общая структура рассуждений аналогична. Ниже метод будет изложен подробнее.

Этот подход имеет следующие преимущества.

1. Простота. Как только выбор пробных функций сделан, все вычисления достаточно просты и очевидны. Фактически исследование задачи сводится к анализу соответствующих алгебраических неравенств.

2. Общность. В большинстве случаев этот подход не требует использования принципов максимума или сравнения для рассматриваемых операторов, что позволяет применять его к нелинейным гиперболическим неравенствам, неравенствам высокого порядка по времени и другим задачам, к которым неприменимы стандартные методы.

3. Точность. Многочисленные контрпримеры показывают, что условия на параметры, гарантирующие отсутствие нетривиальных решений, обычно неулучшаемы в рассматриваемых функциональных классах (хотя они могут меняться в зависимости от класса).

Сформулируем один из этих результатов для оператора р-Лапласа

Ари := сНу(\Ои\р-2Пи), совпадающего с обычным лапласианом при р = 2. (Это частный случай теоремы 12.2 из [19].)

Теорема 1.2. (Митидиери, Похожаев, 1999.) Пусть N > р > 1. Тогда задача

Р ~ 1 (1.0.4) и > 0, и ф 0 не имеет решений и 6 И^'^Ш,^) при р — 1 < q < ^ ^ ^——.

В частности, для случая р = 2 отсюда получаем интервал отсутствия решений 1 < д < т.е. для неравенства он уже, чем для уравнения (см. теорему 1.1). Тем не менее, контрпримеры наподобие (1.0.3) показывают, что этот результат точен.

Так как метод не требует применения принципа сравнения, имеет смысл исследовать с его помощью и дифференциальные операторы высокого порядка. Так, в [15] (теорема 5.2) было показано, что неравенство

А)ки > \х\~аи9 в (1-0-5) с к > 1 и а < 2к не имеет слабых положительных решений в точности N -а при 1 < д < ———. Дальнейшие ссылки можно найти в монографии [19] и обзорной статье [67]. В последние годы С.И. Похожаевым с помощью метода нелинейной емкости был получен ряд принципиально новых результатов для многих задач, имеющих большое прикладное значение, в частности, для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений ([20], совместно с

Э. Митидиери), уравнения Курамото-Сивашинского в многомерном случае [22], уравнения Гамильтона-Якоби [23] и т.д.

Случай ограниченных областей Q, исследован намного меньше. Насколько нам известно, большая часть результатов в этой области относится либо к радиальным решениям (см. [33], [34] и ссылки там), либо к краевым задачам для эллиптических уравнений с регулярной нелинейностью (типа a(x)uq, где a G L°°(f2)). Тем не менее, есть и отдельные работы по сингулярным дифференциальным уравнениям и неравенствам в ограниченных областях. Один из самых известных результатов в этом направлении - точная теорема об отсутствии решений для оператора Лапласа в ограниченных областях с сингулярным коэффициентом / в нуле, принадлежащий X. Брезису и X. Кабре ([35], теорема 2.1).

Теорема 1.3. (Brezis, Cabre, 1998.) Задача не имеет нетривиальных неотрицательных решений и Е 1^(0) в смысле распределений.

Методы работы [35] основывались на подходящем преобразовании переменных и применении принципов сравнения, не имеющих места для задач высокого порядка. Поэтому потребовался метод нелинейной емкости, чтобы установить необходимое условие существования положительных решений задачи и некоторых ее дальнейших обобщений в ограниченной области Г2 (при д > 1 это условие имеет вид а < 2к и оказывается также достаточным, по крайней

А и > \х\~2и2 в Q

1.0.6)

-А)ки > \x\-aui в Q

1.0.7) мере для шарообразной области О) в случае к = 1 или 2 (см. [19], раздел 7 и ссылки там, а также [13]).

Отметим, что процитированные примеры показывают, что в рассматриваемом случае определяющее значение приобретает критический показатель сингулярности, не зависящий от размерности пространства. Мы установим, что это же явление имеет место для / с сингулярностями в окрестности множеств большей размерности.

Возможный способ обобщения результатов об отсутствии решений на квазилинейные эллиптические неравенства вида

-Ари > \х\~аи11 в П

1.0.8) и их системы

-Ари > \х\~аиауъ в П, —Аду > \х\~рисуа в О, и,у > 0 в О

1.0.9) с р, д > 1 и соответствующими условиями на а, Ь,с,<1,а и (3 представляет собой обобщение метода Брезиса и Кабре. Однако этот подход требует однородности операторов, а также применимости принципов сравнения, что может не иметь места, например, для задач с оператором средней кривизны сИу ( , Ви ) и его более общим аналогом сИу ( Пи ).

Это мотивирует использование техники нелинейной емкости, как в [33], где отсутствие положительных решений таких задач, как (1.0.8), (1.0.9) и их неоднородные обобщения, было доказано при предположении а > р или соответственно max{7, £} > 0, где p-a){q-l-d) + {q-¡3)b

7 = £

Ч ~ Р){Р - 1 -a) + {p-cx)c

Ъс — {р — 1 — a) {q — 1 — d) s Ъс — (р — 1 — a){q — 1 — d) Интересная версия (1.0.1) возникает в связи с проблемой существования положительных слабых (или классических) решений квазилинейных эллиптических уравнений с граничными условиями Дирихле, т.е.

-Ари - А|и\р~2и = K(x)\u\ip-a(x) (х е fi), < и{х) >0 {хе П), (1.0.10) k и(х) = 0 {хе дй) с р{х) := dist(a;,0O).

При а < 0 эта задача принадлежит к классу, подробно изученному, в частности, с помощью вариационного метода расслоения в [53]. Случай а > 0 представляет дополнительные трудности, так как эта гипотеза означает, что коэффициент нелинейности сингулярен на границе. Тем не менее в случае полулинейного оператора (р = 2) с А = 0 в шаровой области Q — В = Bi(0) — {х 6 IR^ : |.т| < 1}, в котором все положительные решения при радиальном К сами радиально симметричны, эта задача также рассматривалась рядом авторов, применявших методы ОДУ и вариационного исчисления [100], [78], [77]. При их предположениях задача (1.0.10) принимает вид

-Аи = ,, v / |Ч (х е В), (1 - \х\)° 4 ' и(х) >о {хе В), и{х) = 0 (х е дВ).

В частности, статья [78] содержит следующие результаты.

1.0.11)

Теорема 1.4. (Hashimoto, Otani, 1999.) Пусть функция К е Ь°°{В) радиально симметрична (зависит только от \х\). Пусть 0 < а < q + 3 и

N + 2

1 < q < ——-. Тогда задача (1.0.11) имеет по крайней мере одно (радиаль-1 \ " £ по симметричное) положительное решение и £ С2(В) П С1{В).

6 + 3

Теорема 1.5. (Hashimoto, Otani, 1999.) Пусть К = 1, а > —-— и N + 2

1 < (3 < ——-. Тогда задача (1.0.11) не имеет нетривиальных региений и G С2(В) П С1{В).

В [77] те же авторы утверждают, что ими был получен результат об отсутствии решений в промежуточном случае ^^ < а < q + 1 (с субкритическим q), хотя подробное доказательство этого результата нам неизвестно. Критерий разрешимости для особенно сложного "дважды критического" случая (о; = q + 1 = р) в терминах спектрального параметра Л и наилучшей константы в соответствующем неравенстве Харди был получен в [87]. С другой стороны, А.В. Демьянову и А.И. Назарову [48] принадлежат результаты о достаточных условиях существования решении эллиптических задач с сингулярностью на границе области. Однородные задачи такого типа рассматривались также И. Комбом (см., например, [82]), а обыкновенные дифференциальные уравнения с точечными сингулярностями - Дж. Хеем [25], [26].

В отличие от перечисленных работ, мы предлагаем общий подход, позволяющий получать необходимые и достаточные условия существования решений эллиптических неравенств и систем с сингулярными нелинейностями различных типов (на внутренних множествах различной размерности, в отдельных граничных точках или на всей границе) на основе метода нелинейной емкости.

Актуальной является также проблема нахождения критического показателя для квазилинеиных эллиптических задач в полупространстве, таких как -Аи = и* (х = (х', хАЛ е = Ш^-1 х Н+),

V V + (1.0.12)

0,0 = 0 (х'ешм~1), представляющая большую сложность по сравнению со случаем всего пространства вследствие нарушения симметрии по переменной :гдт- Теорема отсутствия решений для задачи (1.0.12) при 1 < q < q* = ^ ^ была доказана Э. Дансером [48] в 1995 г. как следствие результата о монотонности решений более общей задачи -Аи = /(и) (х Е Н^),

1.0.13) и(0,а/)=0 (^К^1), с гладкой неотрицательной монотонной функцией /. Для этого использовался метод движущихся плоскостей, опирающийся на принцип сравнения решений и их отражений относительно плоскости в областях малого диаметра по переменной х^. При других условиях на данные задачи (в частности, при N = 2) аналогичные результаты были получены также А. Берестики, Л. Каффарелли и Л. Ниренбергом [30], [32].

Для квазилинейных операторов, таких как Ари := сНу(|.Ог/-|р21>и) с р >

1, критический показатель в Ш/^, равный q* = ^ ^--1, был найден Серрином и Зоу в [101]. Что касается квазилинейных задач в полупространстве, то применение к ним метода движущихся плоскостей требует обобщения классических принципов сравнения на рассматриваемый класс операторов. В ограниченных областях эта техника была разработана Л. Дамашелли [40] и развита им же в соавторстве с Ф. Пачеллой, Б. Шьюнци и другими (см. [42]- [46], а также [99] и ссылки там). Важные обобщения сильного принципа сравнения на квазилинейные операторы были предложены также X. Васкесом [109], М. Куэстой и П. Такачем [39]. В неограниченных областях различные версии принципа сравнения были получены Л. Д'Амброзио, Э. Ми-тидиери и С.И. Похожаевым [47], а также автором настоящей диссертации [5]. Следует отметить также теоремы монотонности и отсутствия решений для систем, доказанные, в частности, в [27], [28] и [44] , а также результаты А. Фарины и других авторов о критическом показателе д > ц* для решений, удовлетворяющих дополнительным условиям устойчивости (включая решения с конечным индексом Морса) в неограниченных областях [41], [57].

Достаточные условия отсутствия глобальных решений для квазилинейных эллиптических неравенств в полупространстве удается получить с помощью техники масштабирования [86] или метода нелинейной емкости [33]. Мы также применим этот метод в сочетании с техникой Л. Дамашелли и Б. Шьюнци для доказательства слабого принципа сравнения для квазилинейных операторов в неограниченных цилиндрических областях, обеспечивающего применимость техники движущихся плоскостей к доказательству результатов о монотонности решений квазилинейного уравнения в полупространстве, из которых, в свою очередь, вытекают утверждения теорем типа Лиувилля.

С другой стороны, многие авторы уделяют большое внимание проблеме глобального существования или разрушения положительных решений нестационарных уравнений и неравенств в частных производных вида

-^г - сНу(А(:е, и, Ви)Ви) > д{х)ич вПхК+ (1.0.14) с 2 € 14 и систем таких неравенств, например, / щ - с11у(А(ж, и, Пи)Ви) > ¡{х)уд1 в О х < (1.0.15) 'щ - V, Оу)Ву) > д(х)иР2 в П х Ненаблюдаемый сейчас широкий интерес к разрушению решений таких неравенств восходит, в частности, к классическим результатам X. Фуджи-ты [58] о параболических задачах. За последние десятилетия благодаря как внутреннему развитию теории УЧП, так и многочисленным вновь обнаруженным приложениям к физике и биологии количество работ в этой области резко выросло, так что здесь невозможно перечислить даже основные достижения. Ряд важных ссылок можно найти в обзорах [50] и [85]. О связи разрушения решений с внешне противоположными, но фактически глубоко родственными явлениями, такими как их угасание (обращение в ноль) и возникновение "мертвых зон", можно прочесть в [80]. При этом нельзя не упомянуть еще раз результаты X. Брезиса и X. Кабре [35], получивших достаточные условия полного и мгновенного разрушения решений нелинейного уравнения теплопроводности в ограниченных областях с коэффициентом /, имеющим квадратичную сингулярность в начале координат: щ - Аи > \х\"V в П х (1.0.16)

Ими было показано, что эта проблема не имеет неотрицательных нетривиальных решений со сколь угодно малым временем жизни даже в очень слабом смысле при д > 1 п что соответствующий критический показатель, в отличие от случая регулярных нелинейностей при = 1КДГ, изученного Фуджитой и другими, не зависит от размерности пространства.

Позднее техника нелинейной емкости позволила обобщить эти результаты на другие нестационарные задачи (см. [33], [60] и особенно [19]). Приведем здесь такой результат для оператора р-Лапласа, хотя фактически эта техника применима к гораздо более общим операторам. Так, в [19] (теорема 47.1) было показано, что параболическое неравенство щ - Ари > \х\-агР в И7У (1.0.17) с 1 < р < N и неотрицательными начальными данными не имеет слабых положительных решений при тах{1,р — 1} < Ц < р — 1 + ^, глобальных по времени (т.е. время жизни каждого решения конечно, если оно вообще существует локально). Аналогичные результаты были получены в [19] и для полулинейных операторов высокого порядка (теоремы 30.1-31.1) и для систем вида (1.0.15) (теоремы 38.1, 40.1). В [13] были доказаны теоремы об отсутствии решений для неравенств и^ + {-А)ки > \х\~аид в П х (1.0.18) с ограниченным О, и произвольным ] € ЕЧ, к — 1,2 (как обычно, а > 2к и д > 1). Было также показано, что в этом случае любое неотрицательное нетривиальное решение (1.0.18) с^ = 1ид-2 разрушается (перестает существовать) мгновенно и полностью. Мы рассматриваем случай более общих операторов и сингулярностей.

Особый интерес представляет проблема разрушения решений задачи Ко-ши для полулинейного волнового уравнения с неотрицательными начальными данными, имеющими компактный носитель: ии - Аи + У{х)и = £)МР вЕяхЕ+,

1.0.19) ж, 0) = щ(х), щ(х, 0) = и\(х) в ГО, , где

W(x, t) > C{ 1 + |rc|)Q(l + tf (x G JRn) (1.0.20) с некоторыми С > 0 и a,/î G IR, а также для систем таких уравнений. Подобные задачи возникают в теории нелинейного рассеяния [106].

Чтобы сформулировать достаточные условия разрушения решений задачи (1.0.19) с произвольными начальными данными из рассматриваемого класса за конечное время, требуется ввести критический показатель pc{N, а, /3) задачи (1.0.19) как положительный корень квадратного уравнения

N - 1 )р2 - (iV + 1 + 2а + 2¡3)p -2 = 0. (1.0.21)

В соответствии с так называемой гипотезой Штраусса [106] при а — (3 = 0, ^Е0и1<р<рс все решения задачи (1.0.19) с неотрицательными начальными данными, имеющими компактный носитель, разрушаются за конечное время. С другой стороны, при р > рс и V = 0 для достаточно малых регулярных данных существуют глобальные решения.

Фактически результаты о разрушении решений при 1 < р < рс и об их существовании при р > рс (далее мы имеем в виду, что 7Е0иа = /? = 0, если не указано иное) были установлены Ф. Джоном [79] для N — 3 и Р.Т. Глэсси [73], [74] в случае N = 2. В [71] В. Георгиев, X. Линдблад и С.Д. Corre доказали существование глобальных решений для малых начальных данных при р > Pc(N) и N > 4. Соответствующие результаты о разрушении решений для 1 < р < pc(N) и N > 4 были получены Т. Сидерисом [103]. Критический случай с нулевым потенциалом рассмотрели Дж. Шеф-фер [98] при JV = 2,3 и Б. Йорданов и К. И. Чжан [110] при N > 4. В работе [111] те же авторы установили также результаты о разрушении решений для N > 3, 1 < р < Pc(N) и потенциалов V, удовлетворяющих естественным условиям убывания (см. (5.1.5) ниже). Мы обобщаем их результат на критический случай р = рс(№) с У ф 0 и а Ф 0.

Для системы полулинейных волновых уравнений с начальными данными, имеющими компактный носитель: д2и . тЛГ ы2 дг2

Аи + Уг{х)и = \¥1(х,г)\у\р {{х,Ь) еЕлх (0, Г)),

Ау + У2(х)у = уу2(х,г)\и\я ((ж,г) ек^х (о,т))

1.0.22) и{х, 0) = Мх), ^(х,0)=д1(х) (хешм), ь(х,0) =/2(х), ~(х,0)=д2(х) (хеШм). где а(1 + + ((я,*) еЕ^х (0,Т); г = 1,2) (1.0.23) с некоторыми С, > 0 и е Е, а V; - неотрицательные потенциалы, удовлетворяющие естественным условиям убывания, важные теоремы об отсутствии глобальных решений были получены В. Георгиевым, Д. Дель Санто и Э. Митидиери [10], [49] в терминах параметров (р, д) при фиксированных значениях размерности N и = 1,2). Именно, при «; = Д = 0 и

У{(х) = 0 (г = 1,2) ими было показано, что разрушение решений со сколь угодно малыми начальными данными происходит, если р, д > 1 и при этом точка (р, д) лежит ниже так называемой критической гиперболы тах

I Р9-1 Р9-1 / 2 ^ ' включая саму гиперболу в случае N = 3), а при (р, д), лежащих выше этой гиперболы, для достаточно малых регулярных данных существуют глобальные решения. Вопрос о существовании решений для (р, д), удовлетворяющих (1.0.24) при N > 3, в [10], [49] был оставлен открытым. Отметим, что при Р — Я условие (1.0.24) переходит в (1.0.21). Мы получаем аналогичные результаты для более широкого класса а^Д £ к которому техника [10], [49] напрямую неприменима.

Диссертация имеет следующую структуру.

В главе 2 рассматриваются стационарные неравенства и системы в ограниченных областях с сингулярными нелинейностями, которые могут возникать как внутри области, так и на ее границе. Типичными примерами таких задач являются, в частности, полулинейные эллиптические неравенства высокого порядка, а также задачи с нелинейной главной частью оператора, такой как р-лапласиан или обобщенный оператор средней кривизны.

Глава 3 посвящена применению метода нелинейной емкости и некоторых других к проблеме отсутствия ограниченных положительных решений квазилинейного эллиптического уравнения (1.0.13) в полупространстве.

В главе 4 методы главы 2 обобщаются на параболические и некоторые другие эволюционные неравенства с сингулярностями тех же типов как в нелинейной части оператора, так и в начальных функциях. Получены необходимые условия на соотношения между порядками роста этих сингулярно-стей, обеспечивающие мгновенное разрушение решений таких неравенств.

Проблема отсутствия глобальных решений для нелинейных гиперболических уравнений с компактным носителем начальных данных, критическим показателем нелинейности и ненулевым потенциалом рассмотрена в главе 5.

Результаты диссертации докладывались на международных конференциях по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям в Москве в 2002, 2005 и 2008, памяти И.Г. Петровского в Москве в 2001 и 2007, в честь 75-летия профессора Дж. Серрина в Перудже (Италия) в 2002, по нелинейному анализу в Хассельте (Бельгия) в 2003, в честь 70-летия профессора Г. Аманна в Цюрихе (Швейцария) в 2004, по разрушению решений в Эскориале (Испания) в 2006, по теории функциональных пространств во Фрайбурге (Германия) в 2008, на семинарах В.А. Кондратьева и С.И. Похожаева (МИАН, Москва), Л.Д. Кудрявцева и С.М. Никольского (МИАН, Москва), В.А. Садовничего и А.И. Прилепко (МГУ, Москва), В. Бальзера (Ульмский университет, Германия), К. Бандль (Базельский университет, Швейцария), Х.-О. Вальтера (Гиссенский университет, Германия), П. Такача (Ростокский университет, Германия).

Автор благодарит научного консультанта члена-корреспондента РАН С.И. Похожаева за постоянное внимание к работе, а также Л. Верона (Турский университет им. Франсуа Рабле, Франция) и Э. Митидиери (Триестский университет, Италия) за постановку ряда задач.

Глава 2

Нелинейные сингулярные стационарные задачи

1. Галактионов В.А., Похоэюаев С. И. Уравнения нелинейной дисперсии третьего порядка: ударные волны, волны разрежения и разрушения // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2008. - Т. 48. - С. 1819-1846.

2. Галахов Е.И. Положительные решения некоторых полулинейных дифференциальных неравенств и систем // Дифф. уравнения. 2004. -Т. 40. - С. 662-672.

3. Галахов Е.И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Дифф. уравнения. 2005. - Т. 41. - С. 661-669.

4. Галахов Е.И. Положительные решения квазилинейного эллиптического уравнения // Матем. заметки. 2005. - Т. 78. - С. 202-211.

5. Галахов Е.И. О дифференциальных неравенствах с точечной особенностью на границе // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2008. - Т. 260. - С. 119-129.

6. Галахов Е.И. Разрушение решений некоторых волновых уравнений // Дифф. уравнения. 2009. - Т. 45. - С. 59-68.

7. Галахов Е.И. Об эллиптических и параболических неравенствах с точечными особенностями на границе // Мат. сб. 2009. - Т. 200. - С. 326.

8. Галахов Е.И. Об отсутствии локальных решений некоторых эволюционных задач // Принято к печати в Мат. зам.

9. Галахов Е.И. О мгновенном разрушении решений некоторых эволюционных задач // Принято к печати в Дифф. ур.

10. Делъ Санто Д., Mumuduepu Э. Разрушение решений гиперболической системы: критический случай // Дифф. уравнения. 1998. - Т. 34. -N9. - С. 1157-1163.

11. Демьянов A.B., Назаров А.И. О разрешимости задачи Дирихле для полулинейного уравнения Шредингера с сингулярным потенциалом // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2006. - Т. 336. - С. 25-45.

12. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990.

13. Лаптев Г. Г. Об отсутствии решений одного класса сингулярных полулинейных дифференциальных неравенств // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2001. - Т. 232. - С. 1-13.

14. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных граничных задач. М.: Мир, 1970.

15. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие глобальных положительных решений квазилинейных эллиптических неравенств // Докл. Акад. наук. 1998. - Т. 57. - С. 250-253.

16. Митидиери Э., Похожаев С. И. Отсутствие положительных решений для систем квазилинейных эллиптических уравнений и неравенств в КЛГ // Докл. РАН. 1999. - Т. 59. - С. 351-355.

17. Митидиери Э., Похожаев С.И. Отсутствие положительных решений для квазилинеиных эллиптических задач в // Труды МИ АН им. В.А. Стеклова. 1999. - Т. 227.

18. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы типа Фуджиты для квазилинейных параболических неравенств с градиентными нелинейностями // Докл. РАН. 2002. - Т. 386. - С. 160-164.

19. Митидиери Э., Похожаев С.И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных, М.: Наука, 2001 (Труды МИАН им. В.А. Стеклова. Т. 234).

20. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы Лиувилля для некоторых классов нелинейных нелокальных задач// Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2005. - Т. 248. - С. 158-178.

21. Похожаев С.И. Существенно нелинейные емкости, порожденные дифференциальными операторами // Докл. РАН. 1997. - Т. 357. - С. 592594.

22. Похожаев С.И. О разрушении решений уравнения Курамото-Сивашинского // Мат. сб. 2008. - Т. 199. - С. 97-106.

23. Похожаев С. И. Об отсутствии глобальных решений уравнения Гамильтона-Якоби// Дифф. уравн. 2008. - Т. 44. - С. 1405-1415.

24. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

25. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений и неравенств высокого порядка // ДАН. 2003. - Т. 388, № 5. -С. 599-604.

26. Хей Дж. О необходимых условиях существования локальных решений сингулярных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств // Мат. заметки. 2002. - Т. 72, №6. - С. 924-935.

27. Azizieh С. Symmetry and monotonicity results for positive solutions of p-Laplace systems // arXiv: math/0108049vl fmath.APj.

28. Azizieh C., Clement Ph. A priori estimates and continuation methods for positive solutions of p-Laplace equations //J. Diff. Eq. 2002. - Vol.179. - P.213-245.

29. Bandle C., Levine H., Zhang Q. Critical exponents of Fujita type for inhomogeneous parabolic equations and systems// JMAA. 2000. -Vol. 251. - № 2. - P. 624-648.

30. Berestycki H., Caffarelli L.: Nirenberg L. Further qualitative properties for elliptic equations in unbounded domains // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, CI. Sci. Ser. 4. 1997. - Vol. 25. - P. 69-94.

31. Berestycki H., Capuzzo Dolcetta I., Nirenberg L. Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems // Topol. Meth. in Nonl. Anal. 1995. - Vol. 4. - P. 59-78.

32. Berestycki H., Nirenberg L. On the method of moving planes and the sliding method, // Bol. Soc. Brasil. Mat. (N. S.) 1991. - Vol. 22. - P. 1-37.

33. Bidaut-Véron M. F., Pohozaev S. Nonexistence results and estimates for some nonlinear elliptic problems // Journ. Anal. Math. 2001. - Vol. 84. - P. 1-49.

34. Birindelli I., Mitidieri E. Liouville theorems for elliptic inequalities and applications // Proc. Royal Soc. Ed. 1998. - Vol. 128A. - P. 1217-1247.

35. Brezis H., Cabré X. Some simple nonlinear PDE's without solutions // Boll. Unione Mat. Italiana, Sez. B, Artie. Ric. Mat. 1998. - Vol. 78/1. -№ 2. - P. 223-262.

36. Brezis H. et al. Blow up for ut — Au = g{u) revisited // Adv. Diff. Eq. -1996. Vol. 1. - № 1. - P. 73-90.

37. Caristi G., Mitidieri E. Existence and nonexistence of global solutions of higher-order parabolic problems with slow decay initial data // JMAA. -2003. Vol. 279. - P. 710-722.

38. Chipot M., Weissler F.B. Some blow up results for a nonlinear parabolic problem with a gradient nonlinearity // SIAM J. Math. Anal. 1989. -Vol. 20. - P. 886-907.

39. Cuesta M., Takac P. A strong comparison principle for positive solutions of degenerate integral equations // Diff. Int. Eq. 2000. — Vol. 13. - P. 721746.

40. Damascelli L. Comparison theorems for some quasilinear degenerate elliptic operators and applications to symmetry and monotonicity results // Ann. Inst. H. Poincare. 1998. - Vol. 15. - P. 493-516.

41. Damascelli L. et al. Liouville results for ?n-Laplace equation of Lane-Emden-Fowler type // Ann. Inst. H. Poincare. 2009. - Vol. 26. - P. logging.

42. Damascelli L., Pacella F. Monotonicity and symmetry of solutions of p-Laplace equations, 1 < p < 2, via the moving plane method // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa CI. Sci. Ser. 4. 1998. - Vol. 26. - P. 689-707.

43. Damascelli L., Sciunzi B. Regularity, monotonicity and symmetry of positive solutions of m-Laplace equations //J. Diff. Eq. 2004. - Vol. 206. - P. 483-515.

44. Damascelli L., Sciunzi B. Qualitative properties of solutions of m-Laplace systems // Advanced Nonlinear Studies. 2005. - Vol. 5. - P. 197-221.

45. Damascelli L., Sciunzi B. Harnack inequalities, maximum and comparison principles, and regularity of positive solutions of m-Laplace equations // Calc. Var. 2006. - Vol. 25. - P. 139-159.

46. Damascelli L., Sciunzi B. Monotonicity of the solutions of some quasilinear elliptic equations in the half-plane, and applications // 2009. To appear in J. Diff. Eq.

47. DAmbrosio L., Mitidiem E. Pohozaev S. Representation formulae and inequalities for solutions of a class of second order partial differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 2006. - Vol. 358. - P. 893-910.

48. Dancer E. N. Some notes on the method of moving planes // Bull. Austral. Math. Soc. 1992. - Vol. 46. - P. 425-434.

49. Ding K., Levine H. The role of critical exponents in blow up theorems: the sequel // J. Math. Anal. Appl. 2000. - Vol. 243. - P. 85-126.

50. Dolbealt J., Felmer P., Monneau R. Symmetry and non-uniformly elliptic operators // Diff. Int. Eq. 2005. - Vol. 18. - P. 141-154.

51. Dong W. Symmetry for boundary blow up solutions of elliptic equations in a half-space // Nonl. Anal. 2004. - Vol. 58. - P. 159-173.

52. Drabek P., Pohozaev S. Positive solutions for the p-Laplacian: application of the fibering method // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1997. - Vol. 127A.- P. 703-726.

53. Du Y., Guo Z. Symmetry for elliptic equations in a half-space without strong maximum principle // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 2004. -Vol. 134A. - P. 259-269.

54. Egorov Yu., Galaktionov V., Kondratiev V., Pohozaev S. On the necessary-conditions of global existence to a quasilinear inequality in the half-space // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 2000. - Vol. 330. - P. 93-98.

55. Escobedo M., Herrero M. Boundedness and blow up for a semilinear reaction-diffusion system// J. Diff. Eqns. 1991. -Vol. 89. -P. 176—202.

56. Farina A., SciunziB., Valdmoci E. Bernstein and De Giorgi type problems: new results via a geometric approach// Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa CI. Sci.- 2008. Vol. 7. - P. 741-791.

57. Fujita H. On some nonexistence and nonuniqueness theorems for nonlinear parabolic equations// Proc. Sympos. Pure Math. 1968. - Vol. 18/1. -P. 138-161.

58. Fujita H. On the blowing up of solutions of the Cauchy problem for ut — Au + u1+a// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA. 1966. - Vol. 13. - P. 109123.

59. Galakhov E. Some nonexistence results for quasilinear elliptic problems// J. Math. Anal. Appl. 2000. - Vol. 252. - P. 256-277.

60. Galakhov E. On some elliptic and evolution equations with singularities at the boundary // Diff. Int. Eq. 2002. - Vol. 13. - P. 1137-1154.

61. Galakhov E. Some boundary value and mixed problems for quasilinear partial differential equations// Atti Sem. Univ. Modena. 2003. - Vol. 51.- P. 295-313.

62. Galakhov E. Positive solutions of some quasilinear partial differential inequalities and systems// Math. Nachr. 2006. - Vol. 279. - P. 831-842.

63. Galakhov E. Some nonexistence results for quasilinear PDEs// Comm. Pure Appl. Anal. 2007. - Vol. 6. - P. 141-161.

64. Galakhov E. A comparison principle for quasilinear operators in unbounded domains// Nonl. Anal. 2009. - Vol. 70. - P. 4190-4194.

65. Galaktionov V., Levine H. A general approach to critical Fujita exponents and systems // Nonl. Anal. 1998. - V. 34. - P. 1005-1027.

66. Galaktionov V., Mitidieri E., Pohozaev S. On global solutions and blow-up for Kuramoto-Sivashinsky-type models, and well-posed Burnett equations// Nonl. Anal. 2009. - Vol. 70. - P. 2930-2952; arXiv:0902.0257.

67. Galaktionov V.; Pohozaev S. Blow-up and critical exponents for nonlinear hyperbolic equations// Nonl. Anal. 2003. - Vol. 53. - P. 453-466.

68. Garcia Azorero J., Peral Alonso I. Hardy inequalities and some critical elliptic and parabolic problems// J. Diff. Eq. 1998. - Vol. 144. - P. 441476.

69. Garcia Azorero J., Peral Alonso I., Puel J. P. Quasilinear problems with exponential growth in the reaction term// Nonl. Anal. 1994. - Vol. 22. -P. 481-498.

70. Georgiev V., Lindblad H. Sogge S.D. Weighted Strichartz estimates and global existence for semilinear wave equations// Amer. J. Math. 2007. -Vol. 119. - P. 1291-1319.

71. Georgiev V., Takamura H., Yi Z. The life span of solutions to nonlinear systems of high dimensional wave equations// Nonl. Anal. 2006. - Vol. 64. - P. 2215-2250.

72. Glassey R.T. Finite-time blow-up for solutions of nonlinear wave equations// Math. Z. 1981. - Vol. 177. - P. 323-340.

73. Glassey R.T. Existence in the large for Uu = F(u) in two space dimensions// Math. Z. 1981. - Vol. 178. - P. 233-261.

74. Gidas B., Ni W.-M., Nirenberg L. Symmetry and related properties via the maximum principle// Comm. Math. Phys. 1979. - Vol. 68. - P. 209-243.

75. Gidas B., Spruck J. Global and local behavior of positive solutions of quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1981. - Vol. 35. - P. 525-598.

76. Hashimoto S. Elliptic equations in an exterior domain, in: Proceedings of IXth Conference on Free Boundary Problems, Gokkotosho, Tokyo, 2000.

77. Hashimoto S., Otani M. Elliptic equations with a singularity on the boundary// Diff. Int. Eq. 1999. - Vol. 12. - P. 339-349.

78. John F. Blow-up of solutions of nonlinear wave equations in three space dimensions// Manuscripta Math. 1979. - Vol. 28. - P. 235-268.

79. Kawohl B. Remarks on quenching, blow up and dead cores, in: Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States, Birkhauser, BostonBasel-Berlin, 1991.

80. Kato T. Blow-up of solutions of some nonlinear hyperbolic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1980. - Vol. 32. - P. 501-505.

81. Kombe I. Doubly nonlinear parabolic equations with singular lower order term// Nonl. Anal. 2004. - Vol. 56. - P. 185-199.

82. Kondratiev V., Liskevich V., Moroz V., Sobol Z. A critical phenomenon for sublinear elliptic equations in cone-like domains// Bull. London Math. Soc. 2005. - Vol. 37. - № 4. - P. 585-591.

83. Kondratiev V., Liskevich V., Sobol Z. Positive super-solutions to semilinear second-order non-divergence type elliptic equations in exterior domains// Trans. Arner. Math. Soc. 2009. - Vol. 361. - P. 697-713.

84. Levine H. The role of critical exponents in blow up theorems// SIAM Reviews. 1990. - Vol. 312. - P. 262-288.

85. Lorca S. Nonexistence of positive solution for quasilinear elliptic problems in the half-space// Journal of Inequalities and Applications. Vol. 2007. -Article ID 65126. - 4 pages. - 2007. - doi:10.1155/2007/65126.

86. Marcus M., Shafrir I. An eigenvalue problem related to Hardy's LP inequality// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sc. 2000. - Vol. 29. -P. 581-604.

87. Mitidieri E.; Caristi G. Nonexistence of positive solutions of quasilinear equations// Adv. Diff. Eq. 1997. - Vol. 2. - P. 319-359.

88. Mitidieri E., Sweers G., van den Vorst R. Nonexistence theorems for systems of quasilinear partial differential equations// Diff. Int. Eq. 1995.- Vol. 8. P. 1331-1354.

89. Montoro L., Sciunzi B., Squassina M. Symmetry results for non-variational quasi-linear elliptic systems // 2009. arXiv:0907.0160vl.

90. Ni W.-M. On a singular elliptic equation// Proc. Amer. Math. Soc. 1983.- Vol. 88. P. 614-636.

91. Ni W.-M., Serrin J. Existence and nonexistence theorems for ground states of quasilinear partial differential equations: the anomalous case// Accad. Naz. dei Lincei. 1986. - Vol. 77. - P. 231-257.

92. Pohozaev S. The fibering method and its applications to nonlinear boundary value problems// Rend. Istit. Mat. Univ. Trieste. 1999. -Vol. 31. - P. 235-305.

93. Pohozaev S., Tesei A. Blowup of nonnegative solutions to quasilinear parabolic inequalities// Rend. Mat. Acc. Lincei, S. 9. 2000. - Vol. 11.- P. 99-109.

94. Pohozaev S. Tesei A. Non existence de solutions locales des inégalités semilinéaires aux dérivées partielles// Annales de l'Institut Henri Poincaré (C) Analyse Non Linéaire. 2004. - Vol. 21. -P. 487-502.

95. Quittner P. On positive solutions of semilinear elliptic problems// Comment. Math. Univ. Carolinae. 1989. - Vol. 30. - P. 579-585.

96. Quittner P. On global existence and stationary solutions for two classes of semilinear paraboilic problems// Comm. Math. Univ. Carolinae. 1993. -Vol. 34. - P. 105-124.

97. Schaeffer J. The equation utt — ôu = |w|p for the critical value of p// Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1985. - Vol. 101A. - P. 31-44.

98. Sciunzi B. Some results on the qualitiative properties of positive solutions of quasilinear elliptic equations// Nonl. Diff. Eq. Appl. 2007. - Vol. 14.- P. 315-334.

99. Senba T., Ebihara Y., Furusho Y. Dirichlet problem for a semilinear equation with singular coefficients// Nonl. Anal. 1990. - Vol. 15. - P. 299306.

100. Serrin J., Zou H. Existence and nonexistence for ground states of quasilinear elliptic equations// Arch. Rat. Mech. Anal. Vol. 121. - 1992.- P. 101-130.

101. Serrin J., Zou H. Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities// Acta Math. 2002. -Vol. 189. - P. 79-142.

102. Sideris Th. Nonexistence of global solutions to semilinear wave equations// J. Diff. Eq. 1984. - V. 52. - №3. - P. 378-406.

103. Souplet Ph. Recent results and open problems on parabolic equations with gradient nonlinearities // El. J. Diff. Eq. 2001. - №20. - P. 1-19.

104. Straughan B. Explosive instabilities in mechanics. Berlin-Boston-Basel, Springer-Verlag, 1998.

105. Strauss W. A. Nonlinear scattering theory at low energy// J. Funct. Anal.- 1981. Vol. 41. - P. 110-133.

106. Strauss W. A. Nonlinear wave equations. Providence (RI), Amer. Math. Soc., 1991. (CBMS Reg. Conf. Ser. Math.; Vol. 73).

107. Trudinger N. S. On Harnack type inequalities and their applications to quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 1967. - Vol. 20.- P. 721-747.

108. Vazquez J. A strong maximum principle for quasilinear elliptic operators// Appl. Math. Optim. 1984. - Vol. 12. - P. 191-202.

109. Yordanov B., Zhang Q.I. Finite time blow up for wave equations with a potential// SIAM J. Math. Anal. 2005. - Vol. 36. - №5. - P. 1426-1433.

110. Yordanov B., Zhang Q.I. Finite time blow up for critical wave equations in high dimensions// J. Funct. Anal. 2006. - Vol. 231. - №2. - P. 361-374.

111. Zou H. A priori estimates and existence for quasi-linear elliptic equations// Calc. Var. 2008. - Vol. 33. - P. 417-437.