О разрушении твердых тел при сжатии и нагреве тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I. Некоторые вопросы решения краевых задач механики деформируемого твердого тела. II

§ 1.1. Постановка линейных задач теории упругости. II

§ 1.2. Общие сведения из теории метода конечных элементов (МКЭ).

§ 1.3. Применение МКЭ для решения задач термоупругости

Глава II. Исследование кинетики разрушения в некоторых статических задачах теории упругости

§ 2.1. О прочности материалов на сжатие.

§ 2.2. К кинетике разрушения выступа на контуре выработки.

§ 2.3. Расчет полей напряжений в телах с полярной симметрией.

§ 2.4. 0 разрушении бесконечно длинного кругового цилиндра (бразильская проба)

Глава III.Методика решения термоупругих задач в твердых телах с учетом разрушения.

§ 3.1. Численное решение задач типа Стефана одномерный случай)

§ 3.2. Скорость сходимости вариационно-разностных схем для двумерных линейных параболических уравнении.

§ 3.3. Исследование полей температурных напряжений в длинном толстостенном цилиндре.

На практике часто возникают задачи, связанные с определением напряженно-деформированного состояния различных тел.Исследование прочностных свойств этих тел, выяснение причин их возможного разрушения имеет большое практическое значение.

Одним из наиболее распространенных состояний ,в которых находятся элементы конструкций, детали машин, горные породы,является состояние сжатия. Для оценки этого состояния введено такое понятие, как предел прочности на одноосное сжатие; эта характеристика материала наиболее проста в экспериментальном определении и считается одной из основных. Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования посвящены изучению предела прочности различных материалов на одноосное сжатие и влияния на его величину различных факторов: масштабного, изменения линейных размеров высоты,диаметра образцов,условий на торцах и т.д. См.например,работы П.Бриджмена[12], Л.С.Бурштейна ¡15], Е.И.Ильницкой и др.[3б], Ю.М.Картшева,А.А.Грохольского [39] , М.Ф.Кунтыша(49,50] ,М.М.Протодьяконова [81] ,А.Б.Фадеева[98], Г.Н.Кузнецова[48] и многих других. Появились работы,в которых для исследования влияния указанных выше факторов применяются численные методы:метод конечных разностей - МНР, метод конечных элементов - МКЭ: это работы Вга^ В.Т. [П2,ПЗ) , £ .Т. и др. [114], С.1 £0д], р.Б.Бейсетаева,

В.С,Никифоровского[б], М.М.Муздакбаева, В.С.Никифоровского [63]. В ряде исследований сделана попытка расчета появляющегося разрушения, см.например, работы Л.М.Качалова[37], М.М.%здакбаева, В.С.Никифоровского [б5,67], авторефераты диссертаций В.В.Бундае-ва [14] , В. Н. Крамаренко [47].

Экспериментаторы давно пришли к заключению,что предел прочности на одноосное сжатие не является характеристикой материала характеристикой образца-конструкции. Действительно зафиксированные описания картин разрушения образцов с образованием наклонных поверхностей разрушения или поверхностей разрыва,соосных действующей сжимающей нагрузке,можно скорее всего связать с напряжен?* иями сдвига или растяжения.Проведенные численные исследования показали, что в условиях простого, на первый взгляд, испытания имеет место сложная неодномерная картина напряженного состояния, изменяющаяся при изменений условий численного эксперимента [5, 63,65,67,109,112,ИЗ, 114} .

Нарушение однородности напряженного состояния массива горных пород поверхностными обнажениями с разнородными физико-механическими свойствами, а также в случае резкого изменения геометрического очертания, как например, пласт-целик, неровность контура реальной выроботки и т.п. в условиях больших давлений глубоких горизонтов, воздействия взрывных волн значительной амплитуды может привести к нежелательному разрушению контура, опасно-ъфг для окружающего персонала и оборудования. Одно из распространенных явлений такого типа-стреляние горных пород - представ^ . ляет собой квазистатическое разрушение части поверхности контура выработки, сопровождающееся отделением её от массива иногда со значительными скоростями. Это явление представляется серьёзным, издавнв находится под неослабным вниманием исследователей ^10,4^, в настоящее время к его исследованию привлечены численные методы механики сплошной среды, причем изучено не только напряженное состояние в начальном сплошном, но и в разрушающемся массиве[10, 47,661 V

В настоящее время существует несколько способов проведения испытания материалов на растяжение. Одним из таких способов является,по-видимому,удобной технической прочностной является сжатие длинного кругового цилиндра по двум противоположным образующим к его центру (бразильская проба), и связано это с тем, что внутри образца имеют место напряжения растяжения [3,15, 68,94*] . Кроме этого возможна несколько другая трактовка разрушения такого цилиндра от нагруженных образующих с мест контакта по максимальным касательным напряжениям [П9] ,при этом в расчете учитываются новые свойства материала в разрушенной области.

В последнее время все большую актуальность приобретают вопросы определения температурных полей и температурных напряжений. К ним относятся освоение ядерных источников энергии,расчет конструктивных элементов машин и летательных аппаратов на температурные воздействия - далеко не полный перечень задач, в которых необходимо определение таких полей и напряжений. Исследования на эти темы велись как советскими , так и зарубежными учеными.Подобного рода задачи актуальны и в горной промышленности. К ним можно отнести задачи шелушения материалов под действием тепловых источника ов ,поскольку в подобных условиях часто возникают значительные градиенты температуры, сопровождающиеся температурными напряжениями.

Теоретическому и экспериментальному исследованию полей температурных напряжений и явлений шелушения, возникающих в твердых телах под действием неравномерного нагрева посвящены работы Э.Д.Бергмана [?], Б,Боли; Д.Уэйнера [II], Х.В.Вильсона [19,20] , Р.Х.Галлагера и др. [24], А.М.Дмитриева и др. [29] , Д.Б.Лонгкоуп и др. [53], В.С.Ники^оровского, В.М.Серякова [70],И.0.Сйлво [?5], Г.Паркуса [?б} .В некоторых вышеуказанных работах, для анализа полей напряжений, применялись численные методы, в том числе и мкэ.

Задача шелушения твердых тел под действием тепловых источников , как и задачи течения многофазных жидкостей или движения границ, фаз в твердых телах, например, замерзание или плавление, приводят к решению краевых задач типа Стефана, т.е. определению неизвестных границ между фазами при соответствующих условиях на этой границе. Постановка задачи Стефана, её обоснование и доказательство теоремы существования и единственности даны для некоторых простейших случаев¡17,38] .Более сложные краевые задачи типа Стефана обычно решаются численными методами, например, работы Б.М.Будака, Ф.П.Васильева, А.Б.Успенского ¡13] ,В.П.Васильева [17] и других авторов. В книге Б.З.Амусина, А.Б.Фадеева [з], в статьях Ш.Смагулова, М.М.Муздакбаева ¡88},О.С.Зенкевича, и др.¡129] к решению краевых задач типа Стефана привлечен МКЭ,

Многие прикладные задачи не поддаются решению классическими аналитическими методами. В результате появления ЭВМ, их развития и дальнейшего совершенствования, широкое распространение получили численные методы: метод конечных разностей (МНР), вариационно-разностный метод (ВРМ) и метод конечных элементов (МКЭ). Решение прикладных задач сводится к решению краевой задачи для системы линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими краевыми условиями.

Теория таких дифференциальных уравнений получила развитие, благодаряяусияиям : многих советских и иностранных математиков. Среди советских ученых, которые сделали значительный вклад в теорию МНР,ВРМ можно указать работы Г.И.Марчука{Ьб], С.Г.Мих-лина¡6ij , J1. А.Оганесяна¡73,74], A.A.Самарского[j85j. Р.Курант ]ыб)обра®ил внимание на такую форму вариационно-разностного метода, которая в дальнейшем совпала с основной формой МКЭ. А само понятие МКЭ под названием дискретных элементов (или прямой метод жесткости) появилось в работах Р.У.Класса, М.Д.Тернера, Дж.Аргириса и других авторов ¡4,41,110,125]. Дальнейшее развитие МКЭ получил в работах 0. С.Зенкевича [31,32], М.Зламала¡127, 128], В.Г.Корнеева¡44,45], Л.А.Розина[84]и других исследователей [30,60,87,96] . Теоретическое обоснование МКЭ и его связь с теорией сплайнов, теорией аппроксимации, а также с методом Рит-ца и ВРМ подчеркивалось в работах Ж.Деклу[27], Г.Стренга, Дж.Фикса [93], И.Бабушки[ill], Е.А.Оливейра [l2l], а также в некоторых вышеуказанных работах.

Одним из успешных применений МКЭ явилось решение ряда двумерных задач теории упругости: работы 0.С.Зенкевича, И.Чанга[31], Р.У.Клафа [4l], С.Б.Ухова [рб], М.Дж.Тернера и его сотрудников [12^ и других авторов [з,5,16,21,22,25,30,35,40,45,55,60,80,84,85] . Исследование скорости сходимости схем МКЭ и получение априорных оценок также рассматривались в работах Ю.Р.Акопяна, Л.А.Оганесян Ha[l], Ж.Деклу[27], В.Г.Корнеева (45], А.В.Львова^55]и других f/3,93,100,101, III, 120,124,127].

Таким образом, все выше сказанное позволяет выделить некоторые актуальные проблемы и задачи :

1) Необходимо сформулировать и реально осуществитв алгоритм расчета упругих и термоупругих задач с учетом реальных изменений твердых тел (появление и кинетику разрушений механического, теплового и. т.п. характера), причем твердое тело может иметь произвольную форму и достаточно произвольно менять первоначальное очертание.

2) В качестве первого примера рассмотрен численный аналог эксперимента на сжатие трубчатого элемента материала с учетом его разрушения. Показана сложная неодномерность полей напряжений и возможность описания разрушений, принимая в качестве критерия касательные напряжения. Ставится вопрос о том, является ли предел прочности на сжатие характеристикой материала или это скорее всего удобная в получении и использовании техническая

- 8 прочностная характеристика образца-конструкции.

3) В качестве остальных механических примеров расчета поставлены и решены важные задачи о стрелянии кусков горной породы в шахтах, о бразильском методе определения предела прочности на растяжение.

4) Проведено исследование температур и температурных напряжений в толстостенных цилиндрах с каналами сложной формы.Форма канала,а7следовательно, и стенка цилиндра меняется в процессе плавления или шелушения ( задача Стефана ).

5) Для изменяющихся в процессе решения областей (пункт 4 ) возникает проблема обоснования и доказательства существования и единственности решения для двумерного случая краевой задачи типа Стефана.

Первая глава имеет вводный характер; в ней рассматриваются необходимые для работы основные элементы общей постановки задач теории упругости и несвязанной термоупругости, основы метода конечных элементов. Приводится методика построения схем решения для эллиптических и параболических уравнений 2-го порядка.Описываются два подхода к решению уравнений термоупругости.

Во второй главе дан краткий обзор теоретических и экспериментальных работ посвященных,исследованию зависимости прочностных свойств цилиндрических образцов от различных факторов.Приведена постановка задачи и результаты численного исследования, влияния геометрических размеров и условий на торцах на их напряженно-деформированное состояние. Использована модель учитывающая появление зон разрушения и кинетику их развития. Выведены и численно реализованы соотношения для коэффициентов матрицы жесткости секториального элемента в случае плоской деформации.Приведены результаты моделирования эффекта расклинивания образца, вызванного использованием "смазок" на торцах. Решена задача о сжашии полуплоскости с выступом. В зависимости от геометрических размеров выступа указаны места возможного начала разрушения и их механизм возникновения. Изложены результаты численного решения задачи об испытании образцов по методу "бразильская проба" с помощью секториальных и треугольных конечных элементов; проанализирована кинетика зон разрушения.

В третьей главе рассмотрены краевые задачи типа Стефана . Построен алгоритм для решения двумерной задачи несвязанной термоупругости для областей с движущимися границами. Для нахождения нового положения границы применены два метода.

Точность алгоритма проверялась для области в форме цилиндра с круговой конфигурацией внутреннего канала и,полученное численное решение сравнивалось с точным £[7] • Для нахождения нового положения движущейся границы применены два метода.

Получены априорные оценки скорости сходимости схем МКЭ для нестационарного уравнения теплопроводности в метрике пространств и (-О.) и в областях с движущимися границами (краевые задачи типа Стефана). Доказана единственность решений такой задачи и его ограниченность.

Анализируются результаты решения несвязанной задачи термоупругости для длинного толстостенного цилиндра с различной конфигурацией внутренного канала при,её движении под воздействием плавления или терморазрушения.

Появление зон разрушения и их кинетика развития учитывается с помощью модели, описанной во второй главе.

После каждой главы приведены основные выводы по главе. В заключении кратко изложены основные результаты полученные в диссертации.

В приложении приводятся результаты некоторых расчетов.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.

- ю м.н. В.С.Никифоровскому и к.ф.-м.н. В.М.Серякову за обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

- II

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предлагается численная модель для изучения теплового и напряженного состояния тел с учетом появления неоднородности свойств - разрушения.

1. Использована модель, учитывающая появление и развитие зон разрушения в твердых телах при решении плоских и осесимметри-ческих задач теории упругости и термоупругости. Написаны программы, реализующие эту модель на ЭВМ при исследовании напряженно-деформированного состояния твердых тел с учетом разрушения.

2. Исследовано напряженное состояние трубчатых образцов с учетом влияния геометрических размеров, прокладок, условий на контактах. Показано, что критерии разрушения по максимальным касате^ льным напряжениям Треска или Кулона-Мора с уточнением по растягивающим напряжениям дают возможность описать все системы трещин разрушения;это показывает, что предел прочности на сжатие по-ви« димому не является характеристикой материала, хотя и является не-:: плохой технической характеристикой образца-конструкции. Исследована кинетика разрушения, показано, что разрушение может прекращать дальнейшее развитие и стабилизироваться в условиях отсутствия дополнительного увеличения нагрузок. Частично разрушенный образец ещё имеет определенную несущую способность.

3. Проанализировано напряженно-деформированное состояние выступа, изучена кинетика его разрушения; с механической точки зрения об"ясняются причины опасного явления отскока (отлета) выступа.

4. На основе созданного алгоритма проведены расчеты испытания горных пород на растяжение методом "бразильская" проба. Показано, что разрушение начинается с зон около точек нагружения или с центра в зависимости от величины пределов прочности на сдвиг и растяжение, поэтому метод "бразильская" проба не является вполне характерной для определения предела прочности на растяжение .

5. Для вариационно-разностной схемы, написанной для уравнения неустановившейся теплопроводности, получены априорные оценки сходимости приближенного решения к точному в области с движущейся границей.

6. На основе предложенной схемы МКЭ написана программа для расчета температурных полей, используемых в дальнейшем для нахождения температурных напряжений. Решена задача несвязанной термоупругости с учетом разрушения внутренней границы для длинного толстостенного цилиндра со звездообразным каналом, подверженного нагреву изнутри. Исследованы поля температурных напряжений, описаны возникновение разрушения и его кинетика, об"яснены причины появления разрушения. Построено изменение внутреннего канала с течением времени.

1. Акопян Ю.Р. »Оганесян J1.A. Скорость сходимости вариационно-разностных схем для двумерных линейных параболических уравнений. "Вариационно-разностные методы решения задач математической физики", Тр.ПВсесоюз.Семинара,Новосибирск,1976,с.27-36.

2. Алексеев А.Д.,Журавлев В.И.,Яровая Л.И., и др. Влияние геометрий и условий разрушения образцов горных пород на их прочность, ШГРПЙ, 1970, №3, с.47-51.

3. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики. М., "Недра", 1975.

4. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М., ИЛ, 1968.

5. Бейсетаев Р.Б., Никифоровский B.C. К вопросу о прочности твердых тел на одноосное сжатие. ФТПРПИ, 1976, №3, с.15-23.

6. Бергман Э.Д. Термическое разрушение горных пород плазмобурами и некоторые вопросы поведения породы при этом. Автореферат кандидатской диссертации. г.Новосибирск, 1976.

7. Бергман Э.Д.,Муздакбаев М.М.»Никифоровский B.C. Анализ полей напряжения в горных породах при термобурении методом конечных элементов. Тезисы докл.У1 Казахе.межвуз.конф. по математике и механике. 1977, с.191-192.

8. Биеник М., Шиноцука М. Конечная плоская деформация толстостенного цилиндра. " РТиК", 1964, 2, РЗ, с.199.

9. Ю.Бобряков А.П.,Крамаренко В.И.,Ревуженко А.Ф.»Шемякин Е.И. О стрелянии горных пород. ШБРПИ, 1980, №5, с.3-12.

10. Боли Б.,Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М., "Мир" , 1964.

11. Бриджман П. Исследование больших пластических деформаций и разрыва. М., ИЛ., 1955.

12. Дудак В.М.»Васильева Ф.П.,Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана.Сб."Численные методы в газовой динамике",вып.1У,Изд-во МГУ,1965,сЛ39-183.

13. Цундаев В.В. Исследование напряженно-деформированного состояния и разрушения массива горной породы с уступом.Автореферат кандидатской диссертации, Новосибирск, 1982, 23 е.

14. Бурштейн Л.С. Статические и динамические испытания горных пород. Л, "Недра", 1970.

15. Вайнберг Д.В.,Городецкий А.С.,Киричевский В.В. и др. Метод конечного элемента в механике деформируемых тел.1. ПМ, 1972, 8, №8, с.3-28.

16. Васильев В.П. О методе конечных разностей для решения однофазной задачи Стефана. "Вычислительная математика и математическая физика", 1963, 3, Р5, с.861-873.

17. Басильковский С.Н.,Кургузов В.Д. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной.

18. ПМТШ, 1980, №3, с.23-31. ГЭ.Вильсон X.В.Расчет на прочность осесимметрических тел. "РТиК", 1965, 3, №2, с.124-131.

19. Вильсон Х.В. Математическое определение напряжений и перемещений в зарядах твердого топлива со звездообразным каналом. "РТиК" , 1964, 2 , №7 , с.107-116.

20. Вовкунивский A.B. О решении уравнений метода конечных элементов в задачах теории упругости. "Изв. ВНИИ гидротехн.",1976 , НО, с.99-106, 121.

21. Ворошко П.П.,Квитко А.Д.,Уманский Э.С. К вопросу об автоматазации задания информации в методе конечных элементов. Проблемы прочности. 1975, №3, с.42-46.

22. Галлагер Р.Х. ,Падлог Ж. ,Бейлард П.П. Анализ напряжений в конструкциях сложной формы, подверженных нагреву.

23. РТиК" , 1962, 32, №5, с.52-61.

24. Горячев Л.П. Применение метода конечных элементов к решению осесимметричных задач. В кн. "Методы решения задач теории упругости и пластичности" ,Изд-во Горьковского университета, г.Горький, 197I , с.142.

25. ГУменяк Г.Н., Наяджан В.В., Курьяков А.И., и др. Проявление масштабного фактора в образцах угля при одноосном сжатии. "Науч.тр.Всесоюзн.научн.-иссл. и проект.-конструк. угольный институт", 1972, вып.44, с.I19-12I.

26. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М., "Мир" , 1976.

27. Дмитриев А.П., Кузяев Л.С., Протасов Ю.И., и др. Физические свойства горных пород при высоких температурах.М,"Недра", 1969.

28. Дмитриев А.П., Килль И.Д., Третьяков О.Н. Физические основы оценки терморазрушаемости горных пород. В кн. "Новые физические методы разрушения минеральных сред",Л,"Недра" , 1970.

29. Ержанов Ж.С., Каримбаев Т.Д. Метод конечных элементов в задачах механики горных пород, г.Алма-Ата, "Наука" , 1975.

30. Зенкевич О.С., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. М., "Недра" , 1974.

31. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике."Мир" ,1975.

32. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов от интуиции к общности.

33. Механика", Сб.переводов, 1970, №6, с.90-103.

34. Зламал М. Метод конечных элементов для уравнения теплопроводности. "Вариационно-разностные методы в математической физике". Тр.II Всесоюзн.семинара,Новосибирск,1976,с.21-26.

35. Ильницкая Е.И.,Тедер Р.И.,Ватолин Е.С.,Кунтыш М.§. Свойства горных пород и методы их определения. М., "Недра", 1969.

36. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. М.,"Наука", 1974, 312 с.

37. Каменомосткая C.JI. О задаче Стефана. Математичевкий сборник, 1961, 53(95), №4, с.489-514.

38. Карташев Ю.М.»Грохольский A.A. Методические указания по определению прочности горных пород на сжатие.Л.,ВНИИМИ,1973.

39. Квитка A.JI. ,Ворошко П.П. ,Заслоцкая A.A. Определение нестационарных температурных полей методом конечных элементов. "Проблемы прочности", 1975, №10, с.27-34.

40. Клаф Р.У. Метод конечного элемента в решении плоской задачи теории упругости. Сб."Расчет строительных конструкций с применением электронных машин",М.,Гостройиздат,1967,с.142-170.

41. Коновалов А.Н. Численные методы решения задач теории упругости. Новосибирск,НГУ,1969.

42. Кольский Г.,Рейдер Д. Волны напряжений и разрушение. В кн. "Разрушение",М.,"Мир",1973,т.I,с.570-608.

43. Корнеев В.Г. Сопоставление методов конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости.

44. Изв.ВНИИГ им.Б.В.Веденеева, т.83,1967,с.286-307.

45. Корнеев В.Г. Некоторые вопросы построения и исследования схем метода конечных элементов. Числ.методы мех.сплошной среды. Новосибирск, 1974, Р1, с.59-87.

46. Краслоу Г.,Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.,"Наука", 1964.

47. Крамаренко В.Н. Некоторые задачи разрушения в вариационных постановках. Автореферат кандидатской диссертации,Новосибирск, 1983, 14с.

48. Кузнецов Г.Н. Механические свойства горных пород. М., Углетехиздат, 1947.

49. Кунтыш М.Ф. О величине зоны влияния сил трения при испытании образцов на сжатие. Научн.сообщение института горного дела им.А.А.Скочинского,1971, вып.80, с.37-43.

50. Кунтыш М.Ф. 0 влиянии размера образцов горных пород на их прочность в условиях об"емного сжатия.'Торный журнал",1973, 1Р5, с.63-64.

51. Лавров С.С. Универсальный язык программирования.М.,"Наука", 1972.

52. Ладыженская 0.А.Краевые задачи математической физики, М., "Наука", 1973.

53. Лонгкоуп Д.Б.»Форрестол М.Д.,Уоррен У.Е. Температурные напряжения в трансверсально изотропном круговом полом цилиндре. "РТиК", 1967, 7, №11, с.151-154.

54. Лурье А.И. Теория упругости. М.,"Наука", 1970.

55. Львов А.В.,Минарская Е.М.»Цунгалова Л.Г. Исследование внутренней сходимости схемы метода конечных элементов в перемещениях. В сб."МКЭ в строительной механике",Горький,1975,с.54-62.

56. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.М.,"Наука",1980.

57. Мельников Н.В.»Ржевский В.В.»Протодьяконов М.М. Справочниккадастр) физических свойств горных пород, М., "Недра",1975, 279 с.

58. Мелош Э., Лобиц М. Численная проверка достаточных условий монотонной сходимости для моделей метода конечных элементов. "РТиК" , 1975, №5, с.175.

59. Методические указания по определению механических свойств массива горных пород приментительно к проблеме динамических явлений в шахтах. Л., Изд-во ВНИМИ, 1977, с.36.

60. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М., "Наука" , 1980.б!.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., Наука, 1970.

61. Муздакбаев М.М. Расчет полей напряжений методом конечных элементов в телах с полярной симметрией. Математические исследования. Изд-во Карагандинского государственного университета. г.Караганда, 1977, с.95-102.

62. Муздакбаев М.М., Никифоровский B.C. О прочности материалов на сжатие. ПМТФ, 1978, №2 , с.154-160.

63. Муздакбаев М.М., Никифоровский B.C. О разрушении трубчатых образцов при осевом сжатии. Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы У1 Всесоюзн. конф. г.Новосибирск, 1980, ч.П, с.91-96.

64. Муздакбаев М.М.»Никифоровский B.C.,Серяков В.М. Исследования кинетики разрушения выступа. ВД1РПИ, 1980, №6, с.29-33.

65. Муздакбаев М.М., Никифоровский B.C. О возможных причинахразрушения трубчатых образцов при сжатии. ШШ>, 1981, №3, с. 150-153.бв.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966.

66. Нестеров М.П., Литов Ю.Н., Титов Б.В. Влияние контактных условий на прочность и разрушение образцов каменной соли. ФТПРПИ, 1980, №5, с.40/44.

67. Никифоровский B.C.,Серяков В.М. К вопросу о тепловом и напряженном состоянии и разрушении составных тел при нагревании.Изв. СО АН СССР,сер.техн.наук г.Новосибирск,1973,РЗ, вып.1,0,109-114.

68. Никифоровский B.C. О прочностных характеристиках материалов. Тр.III семинара "Аналитические методы и применение ЭВМ в механике горных пород",г.Новосибирск, Изд.ИГД СО АН СССР, 1981.

69. Никифоровский B.C.»Шемякин E.H. Динамическое разрушение твердых тел. Новосибирск,"Наука",1979.

70. Оганесян Л.А. Сходимость вариационно-разностных схем при улучшении аппроксимации границы.ДАН CCCP.I966,I70,№I,c.4I-44.

71. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения. М., "Мир", 1963.

72. Партон В.3.,Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.,"Наука", 1974.

73. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения.В кн."Разрушение",1975,2,М.,"Мир",с.336-520.

74. Поляков Б.В.,Гордеев C.B. Исследование механизма продольного разрушения образцов при одноосном сжатии.Тр.Фрунзенского политехнического института,г•Шрунз е,1974,5,с.57-62.

75. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластич-ности.Изд.МГУ,1981,343с.

76. Протодьяконов М.М. и др. Паспорта прочности горных пород и методы их определения. М.,"Наука",1964.

77. Работнов ЮуН, Механика деформируемого твердого тела. М., "Наука", 1981.

78. Раджу И.С.,Pao A.K. Матрицы жесткости элементов в форме сектора. "РТиК",1969,№1,с.195-196.

79. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Л. ,Изд-во КПИ,1972.

80. Самарский A.A.»Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.,"Наука",1976.

81. Седов Л.И. Механика сплошной среды. 1976,т.т.2,1,М.,"Наука".

82. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М., "Мир", 1979.

83. Смагулов Ш.,Муздакбаев М.М. Вариационно-разностная схема для решения краевых задач типа Стефана и вопросы сходимости.

84. Тр.УН Всесоюзного семинара по числ.метод.механ.вязкой жидкое' ти.Численные методы динамики вязкой жидкости. г.Новосибирск, 1979.

85. Слепян Л.И. Механика трещин. Ленинград,Судостроение,1981, 295 с.

86. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л.Соболева и их приложение к краевым задачам для дифференциальных уравненийв частных производных. Уч.зап.Ленинградекого государственного педагогического института, 1975, с.54-112.

87. Соболев С.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.г.Новосибирск,"Наука", 1962.

88. Сосис П.М. Алгол-60 и применение его в строительной механике. г.Киев, "БудГвельник", 1965.

89. Стренг Г.,Фикс Дж.Теория метода конечных элементов. М, "Мир", 1977.

90. Тимошенко С.П.,Гудьер Дж. Теория упругости. М.,"Наука",1975.

91. Угодчиков А.Г.,Длугач М.М.»Степанов А.Е. Решение краевых задач плоской теории упругости на цифровых и аналоговых машинах. М.»"Высшая школа", 1970.

92. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. М., Изд.МИШ, 1973.

93. Фадеев В.К.»Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Л., Физматгиз,1963.

94. Фадеев A.B. Прочность горных пород в условиях одноосного и всестороннего сжатия. ФТПРПИ, 1969,РЗ, с.51-58.

95. Филимонов Н.М.,Абаков Т.С.,Матюшина П.Н. Определение прочности пород при одноосном сжатии и расжатии на установке УПГП-3. В сб."Технология бурения нефти и газов скважин", вып.2, 1975, с.8-11.

96. Фрид И. Обусловленность конечно-элементных матриц,полученных на неравномерной сетке. "РТиК",1972,Ю,Р2, с.152.

97. ЮЗ.Халимовский М.А. Опорное трение,соотношение размеров образцов и упругие свойства горных пород. Изв.ВУЗ. "Горный журнал", 1969, №6, с.36-39.

98. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.,"Наука",1974, 640 с.

99. Черепанов Г.П.,Ершов JI.B. Механика разрушения. М., Изд-во "Машиностроение" , 1977.

100. Чирков С.Е. Влияние масштабного фактора на прочность углей.1. М., "Наука" , 1969.

101. Ю7.Шиноцука М. Напряженное состояние цилиндра с перемещающейсявнутренней границей из линейного несжимаемого вязкоупругогоматериала. Тр.амер.об-ва инж.-мех."Прикладная механика" ,сер.Е , 1963, 30, №3, с. 19-26.

102. Шемякин Е.И. Динамические задачи теории упругости и пластиности. г.Новосибирск , " Наука" , 1968. т. jte-cUtaic С. I. ^zt'/ct^r 'ом- '

103. Ck'2 ¿v¿аЛ. apS'tcí/ел. ¿7c Сди^р le^ih'w. /х^. <7 ЛесА.1. М<». ft, 2, 4Г

104. Pke'í. 7b<b*us. flog. dt*-., Sea. /Щ ¿Z1/ J63-1XZ. W, HuolîrOH. J. BT^D^ ¿т., ZiLmnU F. ТА^ fiu'é*»*

105. C¿L%?LS Qy*eí êoaAeJ- ¿K estfJWaJ. C¿ry> on.

106. Jr. Rmjl JltcÂ. jàw. iW:y Çf 24/-Z4X. ¡Яд. Jt 0& VU1A- TZu- ^ctsM- a+bJr -¿A*.1нЛ. ¿ /Я- /ЛГ.

107. Ш cL PieVtib*- £./. fic^aljd,^ с/iff*, 1Я9- fS-2 . №. Яо^и J. 2V tfuA^j /X Av^v Jx. ^AC^/S421. înzJ^çL^ y./J. TU. Utbtb'ftvA'w- ^¿к P^Z . fUtj. se?. /, /ffy /ft? 2.2?- 2ilfr Tonq f., Т.Н. ТА*. ie а//¡и*'А

108. Tu^i^t M. ¿¿ли^к- fi. W.t МолМ^ //. t.Jlfyp l. 3-.

109. U9. P.C., PQ&LILJI C-7-, a*J~ Wc¿¿6 77vl a^ffop^dßttuiS IfaVfi^/t"ИЛ JïxJe+tsé- Ae^f. y. /&1béC oMéj-Jc .

110. Амусин Б.З., Линьков A.M. Применение метода переменнных модулей в задачах линейно-наследственной ползучести. Труды ВБИМИ, 1973, вып.8.

111. Бок X. Введение в механику скальных пород.М.,Мир. ,1983,276 с.

112. Справочник (кадастр) физических свойств горных пород. М., Недра, 1975, 277 с.

113. Унксов Е.П. Инженерная теория пластичности.Машгиз.,М., 1959, 328 с.

114. Рис.1. Кинетика изменения изобар при сжатии трубчатого образца.-Зона разрушения и размеры области расчета как на рис.9.г