О решении одной обратной задачи и апостериорные оценки погрешности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ШАБА I. НАХОЖДЕНИЕ ШШАЛШОГО ВЫПУКЛОГО ТЕПА ПО

ВНЕШНЕМУ ПОЛЮ.

§ I. Некоторые определения.

§ 2. Основная лемма и ее следствия.

§ 3. О минимальном выпуклом гравитирующем

§ 4. Определение центра тяжести гравитирущих

§ 5. Определение максимальной глубины залегания аномального тела.

§ 6. Оценка снизу минимальных размеров гравитирущих тел.

§ 7. Замечание к вычислению полного вектора напряженности-.

ГЛАВА П. АПОСТЕРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ И ЗАДАЧА

АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ.

§ I. Постановка задачи аналитического продолжения

§ 2. Асимптотическое поведение апостериорных оценок погрешности

§ 3. Решение задачи аналитического продолжения с апостериорной оценкой погрешности

1МВА Ш. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ.

§ I. Нахождение минимального шара.

§ 2. Минимальный крут для некоторых модельных

Общеизвестно, что гравитационный потенциал и(Ю в произвольной точке с радиус-вектором zjr связан с неотрицательной плотностью масс L> (Т) в области Т , с точностью до нормировки, следующим соотношением со.« где ?Т , о/г = с/х'-cty'-olzf.

Решение уравнения (0.1) в общем случае существенно не единственно, в частности, потенциал поля точечной массы, помещенной —* в точку to > эквивалентен потенциалу внешнего поля однородного шара той же массы с центром в точке Ъо .

Первая теорема единственности для внешней обратной задачи была получена Новиковым П.С. [l] . При различных предположениях о плотности и области, вопрос о единственности внешней обратной задачи изучали Сретенский J1.H. [2,3] , Иванов В.К. [4,5] , Раппопорт И.М. [6,7] , Заморев A.A. [8-I0j , Шашкин Ю.А. [Ii] , Тодоров И.Т. [12] , Зидаров Д. [13] , Прилепко А.И. [14-16] , Цирульский A.B. [17] , Остромогильский А.Х. [18] . Последние работы в этой области принадлежат Страхову В.Н. [19-23] и Бродскому М.А. [24-26] , которые приводят примеры не единственности решения внешней обратной задачи.

Наибольшие успехи в решении данной проблемы достигнуты в двумерном случае, в силу возможности применения методов теории функций комплексного переменного (ТФКП). Впервые методы ТФКП при изучении обратных задач теории потенциала использовали Заморев A.A. [9,10] и Иванов В.К. [27,28] . Дальнейшее развитие этих методов связано с именами Страхова В.Н. [29,30] , Цирульского A.B. [3l] , Воскобойникова Г.М. [32-34] и другими.

Иванов В.К. предложил методы, аналогичные используемым в ТФКП, для изучения обратных задач теории Ньютоновского (трехмерного) потенциала [35] . Его идеи получили дальнейшее развитие в работах Страхова В.Н. [Зб] и Жданова М.С. [37-39] .

Другая сложность решения внешних обратных задач потенциала обусловлена их некорректностью [40] . Основополагающие работы, посвященные методам решения некорректных задач применительно к задачам геофизики, принадлежат Тихонову А.Н. [40-42] , Лаврентьеву М.М. [43-46] , Иванову В.К. [47] , Гласко В.Б. 148] , Страхову В.Н. [49-55] , Старостенко В.И. [50] и их многочисленным ученикам.

При сформулированных, достаточно общих предположениях относительно плотности р(Х ) и области Т~ теоремы единственности не существует. Любое гравитирующее тело Т можно заменить на большее - в смысле диаметра или объема - с тем же внешним гравитационным полем, проведя, например, усреднение плотности масс с некоторым сферически симметричным ядром. В то же время и при такой общей постановке задачи, некоторую априорную информацию хотелось бы иметь. К такому роду информации можно отнести: общую массу аномального тела, координаты его центра тяжести, расстояние до ближайцей, к дневной поверхности Земли, границы и т.п. Так, например, методы определения массы и координат центра тяжести гравитирущего тела предлагаются в [57-59] . Метод определения, по конечному числу гравитационных измерений, нижней границы плотности, а если плотность известна - минимальной глубины залегания верхней границы тела предложен в работах Паркера (Pafckui ) [60,61 ] . На основании его метода составлена программа для ЭВМ нахождения границ возмущающего тела и описана в [62]. Способам оценки предельной глубины залегания возмущающих масс посвящены работы [35,63] .

В связи с вышесказанным, несомненный интерес представляет вопрос, поставленный Винокуровым В.А. в [64] : существует ли наименьшая область - в смысле диаметра или объема - с тем же потенциалом, что и заданная?

Изучению данного вопроса при дополнительном требовании замкнутости и выпуклости области посвящена данная работа.

Рассмотрим некоторые работы, которые, так или иначе, связаны с изучаемой проблемой. Отметим работы Страхова В.Н. [65-68]. В них автор исследует связь особых точек аналитического продолжения потенциала в область, занятую массами с формой и расположением этой области, определяет и изучает классы эквивалентных по внешнему полю распределений объемных масс.

Аппарат, разработанный Цирульским A.B. [69-70] , позволяет достаточно глубоко изучить свойства логарифмического потенциала, исследовать вопрос аналитического продолжения внешнего потенциала внутрь масс и его связь с формой границы возмущающей области. Кроме этого, исследованы эквивалентные по внешнему полю тела с постоянной плотностью масс.

В работах этих авторов не ставится цель нахождения минимального, в каком-либо смысле гравитирукяцего тела.

По-видимому, первыми работами, в которых поднимается этот вопрос, являются работы Зидарова Д. [13,72] . Автор исследует семейства эквивалентных по внешнему полю тел и предлагает (но, к сожалению, не дает строгого математического обоснования) метод концентрации положительных масс для нахождения минимального эквивалентного тела. Минимальность понимается в следующем смысле. Пусть в области Т » не обязательно выпуклой, сосредоточена положительная масса. Тогда Т называется минимальным (автор называет его материнским), если не существует замкнутого тела Т , содержащегося в замыкании Т и принадлежащего данному семейству эквивалентных тел.

Главным звеном, связывающим перечисленные выше работы, является аналитическое продолжение внешнего поля в область, занятую массами, и нахождение особых точек данного аналитического продолжения. Указанная задача аналитического продолжения, как и вообще внешние обратные задачи теории потенциала, является некорректной задачей. Вопросам аналитического продолжения внешних гравитационных полей посвящена обширная литература [.29,35, 44,47,53,55,73-83] , и эти вопросы по-прежнему остаются в центре внимания исследователей [84-89] .

В качестве основных укажем работы Лаврентьева М.М. [44] , Иванова В.К. [35] , Страхова В.Н. [76-80,90] .

Как неоднократно отмечалось Страховым В.Н. [29,91] , наряду с развитием методов аналитического продолжения полей является важным разработка методов поиска особых точек.

На связь особых точек аналитического продолжения с формой возмущающих масс указывали Голиздра Г.Я. [92-94] , Цирульский A.B. [31,69,70] , Страхов В.Н. [95-97] , Жданов М.С. [98,99] . Изучение расположения и типа особых точек открывает большие возможности для интерпретации гравитационных наблюдений. Настоящая работа служит еще одним тому подтверждением. В числе основных работ, посвященных проблеме поиска особых точек, следует указать [97,100] .

При изучении эквивалентных по внешнему полю распределений положительных масс используется понятие эквивалентного по внешнему полю простого слоя [68] .

Важным методом построения эквивалентного простого слоя для многих классов поверхностей, ограничивающих гравитирующие тела, является метод выметания Пуанкаре [ IOl] .В частности, изучению данного метода, его обобщений, а также практической (численной) реализации посвящен ряд работ Страхова В.Н. [65-67], [102,103] .

Как было замечено, существенную роль в определении минимального выпуклого тела играет полный вектор напряженности (градиент) внешнего гравитационного поля. По-видимому, впервые на этот факт обратил внимание Чередниченко В.Г. в [104] . Он показал, что наряду с особыми точками, выпуклому телу знакопостоянной плотности масс принадлежат и нули полного вектора напряженности. Автор предлагает метод оценки размеров области, занимаемой выпуклым гравитирующим телом, основанный на указанном факте.

В статье Бродского М.А. и Надирашвили Н.С. [105] получены необходимые и достаточные условия того, чтобы гармоническая вне шара функция являлась внешним потенциалом положительных масс, расположенных в этом шаре. Для этого использованы коэффициенты разложения внешнего потенциала в гармонический ряд. Исследования проведены как для плоского, так и для пространственного случая.

При решении вычислительных задач одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность приближенного решения. Исследованию погрешности различных методов решения некорректных задач посвящена обширная литература. Достаточно указать работы [40,47,106] , содержащие наиболее полную библиографию по этому вопросу. Существует два основных подхода к вычислению погрешности: статистический и детерминированный. Как отмечалось в работе Винокурова В.А. и Гапоненко Ю.1. [107] , недостаток статистического подхода заключается в том, что, вообще говоря, нельзя утверждать, что расстояние от приближенного решения до точного в данной реализации не превосходит дисперсии. В цитируемой работе предложена схема приближенного решения некорректных задач, в которой вместе с приближенным решением находится апостериорная оценка погрешности, мажорирующая расстояние от точного решения до приближенного при достаточно малых погрешностях в исходных данных. Данная схема решения получила дальнейшее развитие в работах Гапоненко Ю.Л. [108,109] .

В настоящей работе схема Винокурова-Гапо не нко применяется к решению задачи аналитического продолжения потенциала.

Основные результаты предлагаемой вниманию работы опубликованы в [64,ПО,III] .

Перейдем к изложению материала по главам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе установлен факт пересечения замкнутого выпуклого тела неотрицательной плотности масс лучом, исходящим из внешней, по отношению к телу, точки в направлении вектора напряженности создаваемого телом гравитационного поля. На основании этого факта предложен метод оценки снизу размеров минимального выпуклого гравитирующего тела. Для двумерного случая составлена программа оценки минимального выпуклого тела и включена в библиотеку прикладных программ Всесоюзного научно-исследовательского института минерального сырья. Построено максимальное выпуклое замкнутое тело, принадлежащее каждому телу семейства эквивалентных по внешнему полю замкнутых выпуклых тел неотрицательной плотности. Предложен новый метод нахождения максимальной глубины залегания и метод приближенного вычисления координат центра тяжести аномального тела. Метод регуляризации с апостериорной оценкой погрешности рассмотрен применительно к задаче аналитического продолжения потенциала. Получены асимптотические оценки погрешности метода.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность руководителю - доктору физико-математических наук Винокурову В.А. за постоянное внимание к работе, а также профессорам Старостенко В.И. и Страхову В.Н., в плодотворных беседах с которыми возникли основные идеи данной работы.

1. Новиков П. Об единственности решения обратной задачи потенциала. - Докл. АН СССР, 1938, т.18, №3, с. 165-168.

2. Сретенский Л.Н. Об одной обратной задаче теории потенциала. -Изв. АН СССР, сер. Математическая, 1938, №5-6; с. 551-570.

3. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала. Докл. АН СССР, 1954, т.99, Ж, с. 21-22.

4. Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств. Изв. ВУЗов, Математика, 1958, №3, с. 99-106.

5. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела близкого к данному. Изв. АН СССР, сер. Математическая, 1956, т.20,с. 793-818.

6. Раппопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1941, т.31, М, с. 302-306.

7. Раппопорт И.М. Об одной задаче теории потенциала. Укр. матем. журн., 1950, т.2, №2, с. 38-55.

8. Заморев A.A. Обратная двумерная задача теории потенциала. -Докл. АН СССР, 1941, т.31, J®, с. 872-874.

9. Заморев A.A. Исследование двухмерной обратной задачи потенциала. Изв. АН СССР, сер. Географическая и геофизическая, 1941, М-5, с. 487-500.

10. Заморев A.A. Решение обратной задачи теории потенциала. -Докл. АН СССР, 1941, т.32, №, с. 546-547.

11. Шашкин Ю.А. Об единственности в обратной задаче теории потенциала. Докл. АН СССР, 1957, т.115, Ж, с. 64-66.

12. Тодоров И.Т., Зидаров Д. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала. -Докл. АН СССР, 1958, т.120, №2, с. 262-264.

13. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применение к вопросам геофизики. Изд-во Болгарской АН, София, 1968. - 155 с.

14. Прилепко А.И. Об единственности определения формы тела по значениям внешнего потенциала. Докл. АН СССР, 1965, т. 160, Ж, с. 40-43.

15. Прилепко А.И. О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела близкого к данному. -Сиб. матем. журн., 1970, т.XI, №6, с. I32I-I332.

16. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала. Матем. заметки, 1973, вып. 14, №5, с. 755-767.

17. Цирульский A.B. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1969, т, с. 60-65.

18. Остромогильский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала. Ж. вычисл.матем. и матем.физ., 1969, т.9, Ш, с. II89-II9I.

19. Страхов В.Н. К вопросу о единственности решения плоской задачи теории потенциала. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1972, №2, с. 38-49.

20. Страхов В.Н. Некоторые вопросы эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1973, Jfö, с. 39-62.

21. Страхов В.Н. О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для распределения масс с кусочно-постояннойили кусочно-переменной плотностью. Докл. АН УССР, сер.Б, 1976, №3, с. 234-238.

22. Страхов В.Н. К вопросу о неоднозначности решения обратной задачи гравиметрии. В кн.: Прикладная геофизика, вып.69, М.: Недра, 1979, с. II5-I40.

23. Страхов В.Н., Бродский М.А. К проблеме единственности в плоских обратных задачах гравиметрии и магнитометрии. Докл.

24. АН СССР, 1983, т. 273, №5, с. I097-II0I.

25. Бродский М.А. К решению обратной задачи потенциала цилиндрических тел. В кн.; Теория и методика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, М.: 1979, с. 82-110.

26. Бродский М.А., Страхов В.Н. О единственности решения двумерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии для многоугольников. Докл. АН СССР, 1982, т.264, №2, с. 318-322.

27. Бродский М.А. О единственности в обратной задаче гравиметрии для однородных многогранников. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1983, Ж2, с. 60-67.

28. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала. Докл. АН СССР, 1955, т.105, ЖЗ,с. 409-411.

29. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. Докл. АН СССР, 1956, т.106, М, с. 598-599.

30. Страхов В.Н. О путях построения математической теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий. В кн.: Прикладная геофизика, вып. 35, М.: Недра, 1962, с. 95-128.

31. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии. -Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1970, Щ2, с. 32-44.

32. Цирульский A.B. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1963, Ш7, с. 1072-1075.

33. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и расположение особенностей логарифмического потенциала. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1965, М, с. 76-89.

34. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1965, М2, с. 21-30.

35. Воскобойников Г.М., Начапкин Н.И. Метод особых точек для интерпретации потенциальных полей. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1969, №5, с. 24-39.

36. Иванов В,К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа. Матем. сборник, 1956, т.40, №3, с. 319-338.

37. Страхов В.Н. Об определении распределения особенностей потенциальных функций. В кн.: Прикладная геофизика, вып.44,

38. М.: Недра, 1965, с. I32-I6I.

39. Жданов М.С. О решении обратной задачи теории потенциала.

40. В кн.: Полевая геофизика, вып. 95, М.: Недра, I97I,c.III-II3.

41. Жданов М.С. Некоторые вопросы теории интерпретации гравитационных аномалий, зависящих от трех пространственных координат.-Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1974, Ш, с. 32-46.

42. ZLkw yyi.S. ЪС&& oft Ссшуопм Lb/tuffга£ ст-а£о<^ Lib Uul fye&jjioijeritCQ^ ^¿edof tfvuo^^. — CUuv. ^op-fuj^^

43. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979 , 285 с.

44. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. Докл. АН СССР, 1943, т.39, с. 195-198.

45. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1968, ЖЕ2, с. 30-48.

46. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче потенциала. -Докл. АН СССР, 1956, т.106, №3, с. 383-390.

47. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962. - 92 с.

48. Лаврентьев М.М. Об одном классе нелинейных интегральных уравнений. Сиб. матем. журн., 1963, т.4, с. 837-844.

49. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Штатский С.Л. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. -288 с.

50. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.; Наука, 1978. - 206 с.

51. Гласко В.Б. Некоторые математические вопросы интерпретации геофизических наблюдений. Автореферат дис. докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1972. - 21 с.

52. Страхов В.Н. Сведение проблемы аналитического продолжения в горизонтальный слой к решению интегральных уравнений первого рода типа свертки с быстро убывающими ядрами. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1963, №8, с.1206-1221.

53. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1961, ч.1, М,с. 36-54; ч.П, $5, с. 33-53.

54. Страхов В.Н. О численном решении некорректных задач, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. Докл. АН СССР, 1968, Ж78, №2, с. 299-302.

55. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли,1969, ч.1, №8, с. 30-53, ч.П, 1Ю, с. 64-96.

56. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двумерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости примыкающие к оси . Изв. АН СССР, сер. Физика Земли,1970, №6, с. 35-52.

57. Страхов В.Н. О применении теории геруляризации при решении линейных некорректных задач магнито- и гравиметрии. В кн.: Геофизические исследования на Украине. Киев: Техника, 1971, с. 144-151.

58. Страхов В.Н. К теории фильтрации и трансформирования потенциальных полей при наличии априорной информации о помехах во входных данных. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1977, ЖЗ, с. 76-87.

59. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук.думка, 1978. - 228 с.

60. Гамбурцев Г.А. Прямые методы интерпретации. Определение массы и центра тяжести возмущающего тела. В кн.: Прикладная геофизика, вып. I, М.: Гостоптехиздат, 1936, с. 176-182.

61. Гамбурцев Г.А. Определение центра тяжести возмущающего тела по гравитационным наблюдениям. Изв. АН СССР, сер. Географическая и геофизическая, 1938, М, с. 307-315.

62. ЪшыЛси 7У1. Сл^иЛиМ&и, "Ьо ЬРш е&имм&ет, о^ ЦЩ. охЖи&Леь. о^ омлАхе. of ^¿сыгс^ ^ Си (й>ь£илЛьи,о, &ес1и. — З'Ьсо/. ыгюмЛш аеоъщо,р.ч2б-ззг.60. /?. X. IюшлЛ он- сЬтлИ^ смъоСг.*9, 4е.

63. РапАж К. ¿С. Шлъ^ о£ ьсСелЛ ¿оокел шьсмсЦь сиЛеярле&г&СУи^. — . V £ ои. Шг. ^ уЛ19 О 062. £ Р., т.е. этг си Регион192Ъу пг. 4р.Э99-тО.

64. Габайдуллин М.Г. Способ оценки предельных глубин возмущающих масс на основе пересчета аномалий с послойно адаптивной регуляризацией. В кн.; Геология и нефтегазоносность Севера Европейской части СССР, Тюмень, 1983, с. 95-101.

65. Винокуров В.А., Новак В.И. Оценка размеров гравитирующей массы по внешнему полю. Докл. АН СССР, 1983, т.273, №3, с. 525-528.

66. Страхов В.Н. Об эквивалентности в обратной задаче гравиметрии при переменной плотности масс. Докл. АН СССР, 1977, т.236, Ш, 1977, с. 329-331.

67. Страхов В.Н. 0 подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалентных распределений масс. -Докл. АН СССР, 1977, т.236, №3, с. 571-574.

68. Страхов В.Н. 0 выметании масс из области в область и его использование для изучения эквивалентности в плоской задаче гравиметрии. Докл. АН УССР, сер. Б, 1978, М, с. 315-318.

69. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметриии возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1980, ч,1, №2, с. 44-64; ч.П, Я9, о. 38-69.

70. Цирульский A.B. О связи задачи об аналитическом продолжении с проблемой определения границ возмущающего тела. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1964, Ж1, с. 1693-1696.

71. Цирульский A.B., Никонова Ф.И. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1975, №5, с. 37-46.

72. Цирульский A.B., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1981, ч.1, Ш, с. 45-53; ч.П, №12, с. 54-62.

73. ЪкЬол<or V., Ике£ехг- Zh. Dn, о^-¿odUbb, Ufi£hs ссЬш,Ыса£> &xteiUot. ywtocf ofr fatM&Hf. - Gwp&tfL. Р>сОЬр.у ±610, )(Vl\\,*/t р. Й -33.

74. Маловичко A.K. Методы аналитического продолжения аномалий силы тяжести и их приложение к задачам гравиразведки. М.: Гостоптехиздат, 1956, - 160 с.

75. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двумерных магнитных полей. Докл. АН СССР, 1956, т.126, №5, с. 987-989.

76. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей. I. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1961, №2, с. 215-223.

77. Страхов В.Н. К вопросу о построении наилучших вычислительных схем для трансформаций потенциальных полей. Изв. АН СССР,сер. Геофизическая, ч. I, 1963, Ж2, с. 1780-1798; ч.П, 1964, Ж, с. 55-67; с.Ш, 1964, Ж, с. 68-81; ч.1У, 1964, № 2, с. 213-227.

78. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении в боковое полупространство. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1966, №7,с. 36-51.

79. Страхов В.Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения. Докл. АН СССР, 1967, т.176, №5, с. 1059-1062.

80. Недялков H.A., Бырнев П.Х. Аналитическое продолжение гравитационных аномалий. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1963, №6, с, 922-935.

81. Голиздра Г.Я. О построении вычислительных схем для аналитического продолжения двумерных потенциальных полей при помощи интерполирования по Лагранжу. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1964, №2, с. 228-235.

82. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей в нижнее полупространство. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1964, ч.1, Ш, с. 1376-1388; ч.П, Ж1, с. 1654-1673.

83. Девицын В.М. Аналитическое продолжение двумерных полей с помощью рядов Тейлора и локализация особых точек потенциальной функции. В кн.: Прикладная геофизика, вып. 64, М.: Недра, 1971, с. 126-142.

84. Ангелова Е.И. О нелинейном методе аналитического продолжения двумерных потенциальных полей. В кн.: Теория и методика гравитационных и магнитных аномалий. М., 1979, с. 82-110.

85. Сса^сшь В., УУЪоиъсаА Н. Q£yOphcfycca£ (шлутак^4лLhaujtcuis роо^й, nvMlocL сшсС —

86. Мудрецова E.A., Дорофеев И.Ф., Целев В.И., Филатов B.K. Аналитическое продолжение гравитационного поля в нижнее полупространство на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1980, №2, с. 97-100.

87. Трошков Г.А., Грознова A.A. Метод устойчивой локализации особенностей потенциальных полей. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1980, Ш, с. 96-101.

88. Савинский И.Д., Брискин В.Я., Петрова A.A. Пересчет гравитационных и магнитных полей на наклонную и вертикальную плоскости в нижнем полупространстве. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1981, М2, с. 45-59.

89. Вабишевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1982, №7, с. 31-36.

90. Страхов В.Н. Теория построения вычислительных схем для трансформации потенциальных полей, В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск, 1966,с. 7 186.

91. Страхов В.Н. О состоянии и задачах математической теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1970, $5, с. II2-II9.

92. Голиздра Г.Я. О связи особых точек гравитационного потенциала с формой возмущающих масс. Геофиз. сб., $5(7), Киев, 1963, с. 3-9.

93. Голиздра Г.Я. Распределение особых точек гравитационного поля для одного класса двумерных тел. Изв. АН СССР, сер. Геофизическая, 1963, И1, с. I70I-I708.

94. Голиздра Г,Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс. В кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск, 1966, с. 273-388.

95. Страхов В.Н. Определение особых точек двумерных потенциальных полей на основе аппроксимации целыми аналитическими функциями экспоненциального типа конечной степени. В кн.: Прикладная геофизика, вып. 64, М.: Недра, 1971, с. 85-109.

96. Страхов В.Н. Методы определения особых точек потенциальных полей на основе аппроксимации целыми функциями конечной степени. В кн.: Прикладная геофизика, вып. 65, М.; Недра, 1972, с. 130-150.

97. Страхов В.Н., Григорьева О.М., Лапина М.И. Определение особых точек двумерных потенциальных полей. В кн.; Прикладная геофизика, вып. 85, М.; Недра, 1977, с. 96-113.

98. Жданов М.С. 0 связи особых точек гравитационного и магнитного потенциалов с формой контактной поверхности. Геология и геофизика. Новосибирск, 1970, №6, с. 119-121.

99. Жданов М.С. 0 связи геометрических свойств поверхности возмущающих тел с особыми точками гравитационного и магнитного потенциалов. В кн.: Полевая геофизика, вып. 95, М.: Недра, 1971, с. 114-118.

100. Березкин В.М. Использование полного вертикального градиента для определения глубины до источников гравитационных аномалий.-- Разведочная геофизика, 1967, №18, с. 69-79.

101. Сретенский Л.Н. Теория Ньютоновского потенциала. М.-Л.: Гостехиздат, 1946. - 318 с.

102. Страхов В.Н. О выметании масс по Пуанкаре и его использование при решении прямых и обратных задач гравиметрии.-Докл. АН

103. СССР, 1972, т.236, Ж, с. 54-57.

104. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии "аналитический мир", порождаемый выметанием Пуанкаре.

105. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1978, №2, с. 47-73.

106. Чередниченко В.Г. 0 нулях градиента гравитационного потенциала. Изв АН СССР, сер. Физика Земли, 1980, №8, с.84-86.

107. Бродский М.А., Надирашвили Н.С. О существовании и единственности в обратной задаче потенциала при априорной информации о распространении источников. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, 1982, №8, с. 55-64.

108. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981. - 156 с.

109. Винокуров В.А., Гапоненко Ю.Л. Апостериорные оценки решений некорректных задач. Докл. АН СССР, 1982, т.263, №2, с.277-280.

110. Гапоненко Ю.Л. Об одном классе вполне регуляризуемых отображений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т.22, Ж,с. 3-9.

111. Гапоненко Ю.Л. О степени разрешения и точности решения некорректной задачи при фиксированном уровне погрешности. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, т.24, М, с. 483-490.

112. Винокуров В,А., Новак В,И. Об оценке минимальных размеров гравитирующей массы. В кн.: Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Новосибирск,НГУ, 1983, с. I38-141.

113. Новак В.И. Асимптотика апостериорных оценок погрешности. -Моск. авиац. технол. ин-т. М., 1984. II с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 17 апреля 1984 г. № 2385-84 Деп.).

114. Ше^сМоигй^с Н. bUb^to&tt oond ionLoiAaru- Pto-ß-b^vn cLuv Qe^o^ykto^Ue.— Въсльпа^АЛ^^,iseo.

115. ИЗ. Страхов В.Н. Основше идеи и метода извлечения информации из данных гравитационных и магнитных наблюдений. В кн.: Теория и методика интерпретаций гравитационных и магнитных аномалий. М., 1979, с. 146- 269.

116. Страхов В.Н. Современное состояние теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий и пути ее дальнейшего развития. В кн.: Прикладная геофизика, вып. 106, М.: Недра, 1983, с. 68-80.

117. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 736 с.

118. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. - 516 с.

119. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. -М.: Наука, 1978, 416 с.

120. Шванк O.A., Люстих E.H. Интерпретация гравитационных наблюдений. М.: Гостоптехиздат, 1947. - 400 с.

121. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973, 736 с.

122. Винокуров В.А. О порядке погрешности вычисления функции с приближенно заданным аргументом. Ж. вычдсл. матем. и матем. физ., 1973, т.13, №5, с. III2-II23.

123. Лисковец O.A. Метод регуляризации для нелинейных задач с замкнутым оператором. Сиб. матем. журн., 1971, т.12, $6, с. I3II-I3I7.

124. Винокуров В.А. Регуляризуемые функции в топологических пространствах и обратных задачи. Докл. АН СССР, 1979, т.246,5, с. I033-1037.

125. Винокуров В.А. О погрешности решения линейных операторных уравнений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ 1970, т.10, М, с. 830-839.

126. Иванов В.К. Некорректные задачи в топологических пространствах. Сиб. матем. журн., 1969, т.10, №5, с. 1065-1074.

127. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных задач. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, №1, с. 30-41.

128. YYUdim К. 7tvu& UbcA tPwotAKUi ¿и, pcu^Ucbt cUfj&wvUout- е^оосииоил ctwoL a^>p£cccU<copv± to оги,-ръор-trdu po&bci- ръоб&.-уук1. — dacfi. Ration.1. TTUcA 1364 , ir.i£, и/i,р.Ш-lsy.

129. Данцер JI., Грюнбуам В., Кли В. Теорема Хелли. М.: Мир, 1968. - 160 с.