Сопряженные уравнения в задачах вычислительной механики сплошных сред тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Расчет чувствительности функционалов с помощью сопряженных уравнений.

1.1 Вариационная постановка задач механики сплошных сред и сопряженные уравнения.

1.2 Сопряженные уравнения и тождество Лагранжа.

Глава 2. Сопряженные уравнения в некоторых задачах механики жидкости и газа.

2.1 Сопряженная задача для уравнений Эйлера.

2.2 Сопряженная задача для параболизированных уравнений Навье-Стокса.

2.3 Сопряженная задача для уравнений Навье-Стокса.

Глава 3. Сопряженные уравнения второго порядка.

3.1 Сопряженные уравнения второго порядка и расчет Гессиана

3.2 Сопряженная задача второго порядка для уравнений Навье-Стокса.

Глава 4. Определение погрешности расчета функционалов с помощью сопряженных уравнений.

4.1 Апостериорное уточнение решения уравнения теплопроводности и определение границ погрешности с помощью дифференциального приближения конечно-разностной схемы.

4.2 Апостериорное уточнение решения уравнений газодинамики с помощью дифференциального приближения.

4.3 Апостериорное уточнение решения и определение границ погрешности с помощью невязки.

Глава 5. Расчет переноса погрешности исходных данных с помощью сопряженных уравнений.

5.1 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал для уравнения теплопроводности.

5.2 Определение точности оптимального решения из погрешности исходных данных для уравнения теплопроводности.

5.3 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал вдали от стационарной точки для ПНС.

5.4 Расчет влияния погрешности исходных данных на функционал в окрестности стационарной точки для ПНС.

Глава 6. Сопряженные уравнения и вариационная постановка обратных задач.

6.1 Итерационное решение обратных задач механики сплошных сред и сопряженные уравнения.

6.2 Восстановление начальных параметров течения по финальному наблюдению.

6.3 Идентификация граничных условий для уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости.

6.4 Вейвлетная регуляризация некорректно-поставленных обратных задач.

Основным источником информации, связанным с решением задач механики сплошных сред в настоящее время стал численный эксперимент. Как правило, он дает приемлемые результаты за конечное время, к тому же он существенно дешевле лабораторного, а тем более - натурного экспериментов. В общем-то, сейчас у практиков нет реальной альтернативы численному расчету, в сложившейся ситуации аналитические и экспериментальные методы служат для тестирования методов расчета и для проверки наиболее важных результатов. В настоящее время существует большой набор численных алгоритмов, который позволяет смоделировать практически любой физический процесс в механике жидкости и газа и получить соответствующее поле параметров. Однако выбор или программная реализация наиболее подходящего метода расчета представляют собой только первую часть задачи. Далее необходимо определить численную погрешность и погрешность, связанную с выбором конкретной физической модели. После того, как выбрана подходящая модель и соответствующая программа расчета, остаются вопросы с выбором оптимальной расчетной сетки, критерия останова и т.д. для решения конкретной задачи. При этом представляется крайне желательным после окончания расчета иметь количественную информацию о погрешности конкретного расчета.

С другой стороны, для значительной части практических задач недостаточно просто получение поля физических величин (параметров течения) (в дальнейшем такую задачу мы будем обозначать как "прямую"), а представляет интерес получение "оптимального" в некотором смысле решения, что соответствует решению обратных задач.

Поэтому, сейчас практически актуальны такие задачи, как определение погрешности, с которой реализована данная физическая модель (верификация расчетных методов), определение погрешности, связанной с выбором конкретной физической модели (валидация), а также решение обратных задач.

Достаточно экономичные и универсальные методы решения широкого класса таких задач опираются на использование сопряженных уравнений, применению которых и посвящена данная работа.

Сопряженные уравнения и сопряженные параметры впервые были использованы в 1945 г., когда Е. Вигнер, участвуя в Манхеттенском проекте, применил их для расчета переноса нейтронов в ядерном реакторе (определялась зависимость показателя роста числа нейтронов от малых вариаций модели) [151]. В этом подходе стартовой точкой анализа является тождество Лагранжа (билинейное тождество). Впоследствии Г.И. Марчук внедрил этот подход для задач механики жидкости и газа применительно к задачам динамики атмосферы [55-57]. С середины 50 годов, и, судя по всему, независимо, сопряженные уравнения стали применяться в задачах проектирования оптимальных сверхзвуковых сопел и других оптимальных форм (Guderley K.G., Шмыглевский Ю.Д., Крайко А.Н.) [111,80,41]. В этом подходе основное внимание уделялось не расчету возмущения целевого функционала, а поиску условий оптимальности и сопряженные параметры трактовались как обобщение множителей Лагранжа.

Решение обратных задач является одной из важнейших областей применения сопряженных уравнений [27,28,77,26,102,101]. Во многих практических приложениях недостаточно просто расчета поля течения, а нужен выбор наилучшего решения. В одних случаях ищется геометрическая форма, обеспечивающая минимальное сопротивление, максимальную подъемную силу и т.д. В других случаях ищутся граничные условия, обеспечивающие управление течением (максимальное смешение, минимальное сопротивление, увеличение или подавление вихрей и т.д.). При диагностике газодинамических процессов оцениваются коэффициенты, источниковые члены, граничные условия и т.д., наилучшим способом воспроизводящие измерения. Все эти задачи можно отнести к обратным задачам механики сплошной среды. Они довольно часто формулируются как задачи минимизации некоторого функционала. Следует отметить, что каждая "прямая" задача, моделирующая реальный процесс, может породить целый набор "обратных". Некоторые из обратных задач могут быть решены с помощью узкоспециализированных алгоритмов. Однако, из-за большого разнообразия таких задач, естественно стремление к единому подходу. В рамках единого подхода эти задачи могут быть решены в вариационной постановке итерационными методами. Так как каждый отдельный расчет аэрогидродинамической задачи, имеющей практический интерес, занимает достаточно много компьютерного времени, число таких расчетов не может быть велико. С учетом того, что во многих задачах число управляющих параметров достигает 103-106, выбор метода оптимизации существенно ограничен. Практически единственным вариантом является использование градиентных методов оптимизации и сопряженных задач для расчета градиента, поскольку их эффективность не зависит от числа управляющих параметров. Затраты времени счета при решении обратной задачи при использовании сопряженных уравнений соответствуют нескольким десяткам расчетов прямой задачи (поля течения, температуры). Поэтому решение сопряженных уравнений является ключевым фактором при решении обратных задач. Сопряженные уравнения достаточно универсальны, что позволяет решать обширный класс обратных задач, связанных с данной прямой, с помощью небольших модификаций сопряженной задачи. Сопряженные уравнения используются при проектировании оптимальных аэродинамических форм в вязком потоке, начиная с работы О. Pironneau [132], в невязком потоке [115-116], задачах усвоения данных в метеорологии [60,102,1,82]. При решении обратных задач тепломассопереноса в вариационной постановке они применены О.М. Алифановым [27,28] и являются основой для итерационной регуляризации широкого класса нелинейных некорректно-поставленных задач.

Другой важной с практической и методологической точки зрения областью применения сопряженных уравнений является апостериорная оценка погрешности численного расчета. При этом оценивается локальная погрешность аппроксимации как правило с помощью невязки. Далее сопряженные уравнения позволяют рассчитать перенос этой погрешности по полю течения. В результате удается достаточно дешево с вычислительной точки зрения уточнить значение целевого функционала, получить верхнюю границу погрешности уточненной величины. Без дополнительных затрат усилий получается распределение вклада погрешности по полю, которое можно использовать для построения оптимальной (обеспечивающей минимальную погрешность искомой величины) сетки. Применение сопряженных уравнений в этом направлении началось с работы I. Babushka [94] в конечно-элементном анализе задач упругости. В настоящее время этот подход активно развивается как в области конечно-элементного (Галеркинские методы), так и в области конечно-разностного решения задач механики жидкости и газа [134,112,113].

Близкой к задачам апостериорной оценки областью применения сопряженных уравнений является расчет переноса погрешности исходных данных (начальных, граничных условий, коэффициентов). Сопряженные параметры для расчета моментов ценного функционала используются начиная с работ В.В. Пененко [60]. Полученные в результате расчета поля "сопряженной температуры", "сопряженной плотности" и т.д., позволяют рассчитать влияние случайной погрешности всех исходных данных на точность практически интересного функционала (например, результата в контрольной точке). Поиск погрешностей набора целевых функционалов сводится к решению ряда сопряженных задач с коэффициентами, порожденными одной прямой задачей. В такой постановке возможно эффективное естественное распараллеливание.

Таким образом, расчет поля течения на практике часто является элементом решения более общей задачи. Это может быть задача поиска оптимального решения или задача получения решения с оценкой погрешности (как из-за ошибки данных, так и из-за ошибки аппроксимации). Нетривиальным является то, что все эти разнородные задачи эффективным (а зачастую и единственно возможным) способом могут быть решены с использованием сопряженных уравнений которые, таким образом, выступают в качестве необходимой компоненты. Этот подход для расчета вариации (градиента) некоторого практически полезного функционала предельно экономичен с вычислительной точки зрения, так как кроме решения уравнений, описывающих течение, требует рассчитать только одну сопряженную систему уравнений.

Однако, несмотря на достигнутые к настоящему времени успехи, применение сопряженных уравнений в механике сплошных сред и особенно в задачах механики жидкости и газа далеко от желаемого уровня. В значительной степени это связано с тем, что в паре "прямая+сопряженная" задача последний компонент изучен с вычислительной точки зрения несравненно хуже. С одной стороны сопряженные уравнения зачастую рассматриваются как некоторый вспомогательный элемент, не имеющий собственного значения и физического смысла, поэтому использование сопряженных уравнений затруднено при отладке. Действительно, не просто убедиться в правильности решения задачи, описывающей перенос субстанции с неизвестными свойствами в отсутствие тестовых задач. В связи с этим представляется привлекательным использовать сопряженные уравнения в дискретной постановке [110,111,40], особенно с применением средств автоматического дифференцирования [110,111]. К сожалению, построение сопряженной модели из дискретной модели прямой задачи не позволяет исследователю контролировать численный метод решения сопряженной задачи. В результате, многие важные численные вопросы, такие как монотонность, поведение схемы на разрывах и т.д. остаются без должного внимания [140,142], что часто вызывает разнообразные вычислительные патологии.

С другой стороны универсальность сопряженных уравнений недооценивается, в частности недооценивается то, что по сути одна и та же система уравнений может использоваться в широком классе обратных задач, в задачах апостериорной оценки погрешности численных методов и в задачах переноса погрешности исходных данных.

Анализ физического смысла сопряженных параметров позволяет существенно облегчить как их вывод, так и разработку (и отладку) соответствующих алгоритмов. Например, в одних задачах сопряженные параметры можно соотнести с функцией Грина [106], в других - с множителями Лагранжа [41,80,111,136], что позволяет формулировать соответствующие тестовые задачи.

В целом сопряженные уравнения в задачах механики жидкости и газа изучены недостаточно и их применение не соответствует их реальному потенциалу. Данная работа посвящена разработке методов применения сопряженных уравнений в вычислительной механике сплошных сред, а именно:

1. Апостериорному уточнению расчета функционалов поля течения и определению погрешности уточненного решения с использованием сопряженных уравнений и дифференциального приближения разностной схемы.

2. Апостериорному уточнению расчета функционалов поля течения с использованием сопряженных уравнений и шаблона повышенной точности, действующего на численное решение.

3. Определению переноса погрешности исходных данных с помощью сопряженных уравнений.

4. Решению и регуляризации обратных задач механики жидкости и газа в вариационной постановке с помощью градиентной оптимизации и сопряженных уравнений.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, выводов и списка литературы; содержит 251 стр. текста и 87 рис. Библиография насчитывает 154 наименований.

Заключение

Показано с помощью анализа и численных экспериментов, что информативность и эффективность численного моделирования задач механики сплошных сред может быть резко увеличена в рамках системы, включающей прямую и сопряженную задачи при умеренном увеличении потребных ресурсов компьютера. При этом при минимальных изменениях структуры сопряженной задачи представляются возможности проведения верификации и валидации расчетного метода, получения оценок погрешности расчета в зависимости от параметров численной реализации и от погрешности исходных данных, решения обратных задач.

К основным научным результатам, сформулированным в диссертации, относятся следующие:

1. Разработан метод апостериорного уточнения расчета и определения погрешности уточненного решения (функционалов поля течения) с использованием сопряженных уравнений и дифференциального приближения разностной схемы или шаблона повышенной точности, действующего на численное решение.

2. Предложен метод многомасштабной (вейвлетной) регуляризации решения обратных задач механики сплошных сред с использованием сопряженных уравнений второго порядка.

3. Сформулирована, проанализирована и численно исследована задача определения погрешности функционалов решения исходя из ошибки исходных данных с помощью сопряженных уравнений второго порядка.

1. Агошков В.И., Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики, М.ИВМ, 2003.

2. Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П., Методы решения задач математической физики, М. Наука, 2002.

3. Алексеев А.К., Апостериорная оценка погрешности конечно-разностного решения с помощью сопряженных уравнений и дифференциального представления, ЖВМ и МФ, т. 45, N7, с. 1213-1225, 2005.

4. Алексеев А.К., Журин С.В., О постпроцессоре для апостериорной оценки погрешности расчета параметров течения // ЖВМ и МФ. 2006. т. 46. N9. С. 1703-1708

5. Алексеев А.К., Контроль погрешности конечно-разностного решения уравнения теплопроводности с помощью сопряженного уравнения, Инженерно-физический журнал, т. 77, N 1, стр. 145-151. 2004

6. Алексеев А.К., О расчете погрешности температуры с помощью сопряженного уравнения, Инженерно-физический журнал, т. 77, N 1, стр. 141-144. 2004

7. Алексеев А.К., Бондарев А.Е., Визуализация переноса погрешности при расчете поля течения, Научная визуализация в прикладных задачах, с. 413, Москва, МГУ, 2003

8. Алексеев А.К., Построение адаптивных сеток с помощью сопряженных уравнений Тез. Докл. XII межд. Конф. по выч. Мех. и совр. Прикл. програм. сист., Владимир, 30 июня 2-5 июля 2003, с. 40-41

9. Алексеев А.К., Расчет ошибки параметров течения с помощью сопряженных уравнений Тез. Докл. XII межд. Конф. по выч. Мех. и совр. Прикл. програм. сист., Владимир, 30 июня 2-5 июля 2003, с. 42-43

10. Алексеев А.К., Об использовании сопряженных уравнений первого и второго порядка при оценке погрешности решения уравнения теплопроводности, Инженерно-физический журнал, 2002, т. 75, N 2, стр. 143-147

11. Алексеев А.К., Об использовании сопряженных уравнений в задачах диагностики течений вязкой сжимаемой жидкости, Тез. Докл. XI межд. Конф. по выч. Мех. и совр. Прикл. пр. сред, Истра-Москва, 2-6 июля 2001, с. 39-41

12. А.Алексеев А.К., О регуляризации некорректной задачи с помощью многомасштабного разрешения, Математическое моделирование, 2001, т. 13, N9, стр. 110-118

13. Алексеев А.К., Михалин В.А., К идентификации струйных течений газа, Тезисы докладов Третьей международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2000), Истра-Москва, 3-7 июля 2000, с.22-23

14. Алексеев А.К, К управлению свободно-конвективным теплообменом с помощью температуры стенки, ММФ-2000, т. 1, Конвект. тепломассообмен, стр. 59-66, Минск, 2000

15. Алексеев А.К., К идентификации параметров течения с помощью сопряженной системы для параболизированных уравнений Навье-Стокса, Математическое моделирование, 2000, т. 12, N 6 , стр. 61-66.

16. Алексеев А.К., Об использовании сопряженных уравнений второго порядка при решении обратных задач теплопроводности, Труды 2 Межвузовской научной конф. "Численно-аналитические методы решения краевых задач", Новокузнецк, 12-13 ноября 1999, с. 3-11

17. Алексеев А.К., Бондарев А.Е. Молотилин Ю.А, О визуализации сопряженных полей при идентификации и управлении трехмерным течением вязкой жидкости, Графикон-2000, Круглый стол "Применение методов научной визуализации", с. 8-17, Москва, МГУ, 2000

18. Алексеев А.К., К определению пространственной структуры течения из решения обратной задачи конвекции, Тр. II Рос. нац. конф. по теплообмену, М., т. 2, стр. 37-40, 1998

19. Температур, 1997, т.35, N 5, стр. 787-794.

20. Алексеев Г.В., Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции, Сиб. Мат. Журнал, 1998, т. 39, N 5, с.982-998

21. Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М., Машиностроение, 1988.

22. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В., Экстремальные методы решения некорректных задач, М., Наука, 1988

23. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р., Вычислительная гидромеханика и теплообмен, М., Мир, 1990

24. Белоцерковский О.М., Численное моделирование в механике сплошных сред, М., Физматлит, 1994

25. Бессонов О.А., Брайловская В.А., Никитин С.А., Полежаев В.И., Тест для численных решений трехмерной задачи о естественной конвекции в кубической полости, Мат. Моделирование, т. 11, N 12,1999, с. 51-58

26. Бонгард М.М. Проблема узнавания. М.: Мир, 1967. 319 с.

27. Бондарев Е.Н. и др. Аэрогидромеханика. М.: Машиностроение. 1993

28. ЗА.Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач, М., Наука, 1981

29. Воеводин В.В., Линейная алгебра, М., Наука, 1980

30. Годунов С.К., Элементы механики сплошной среды, М., Наука, 1978

31. У1.Голъдман H.JI., Обратные задачи Стефана, теория и методы решения,1. МГУ, 1999,294 с.

32. Гудерлей К.Г., Армитейдж Д.В., Общий метод построения оптимальных ракетных сопел, в Теория оптимальных аэродинамических форм, А.Миеле (ред.), М., Мир, 196939.,Денисов A.M., Введение в теорию обратных задач, М., МГУ, 1994

33. А2.Ким К .В. и др., Эффективный алгоритм для вычисления производных и экстремальные задачи, Экономика и мат. методы, т. 20, N 2, с. 309-318, 198443 .Киреев В.И., Вайновский А. С., Численное моделирование газодинамических течений, М., МАИ, 1991

34. Ковеня В.М., Черный С.Г. Маршевый метод решения стационарных упрощенных уравнений Навье-Стокса//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1983. Т. 23. N5. С. 1186-1198.

35. Ковеня В.М., Яненко Н.Н., Метод расщепления в задачах газовой динамики, Наука, Новосибирск, 1981, с. 304

36. Кряжимский А.В., Максимов В.И., Самарская Е.А., О реконструкции входов в параболических системах, Мат. Моделирование, т. 9, N. 3, 1997, с. 51-72

37. Криксин Ю. А., Плющев С.Н., Самарская Е.А., Тишкин В.Ф., Обратная задача восстановления источника для уравнения конвективной диффузии, Мат. Моделирование, т. 7, N. 11,1995, с. 95-108

38. Куликовский А.Г., Погорелое Н.В., Семенов А.Ю., Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений, М. Физматлит, 2001,

39. Ладыженская О.А., Краевые задачи математической физики, М., Наука, 1973

40. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралъцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., Наука, 1967

41. Лионе Ж.-Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М., Мир, 1972

42. Марчук Г.И., Основные и сопряженные уравнения динамики атмосферы и океана, Метеорология и гидрология, N 2, 1974, с. 17-34

43. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П., Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики, М., Наука, 1993, 224 с.5%.Марчук Г.И., Шайдуров В.В, Повышение точности решения разностных схем, М., Наука, 1979

44. Мышенков В.И. Расчет вязкой ламинарной сверхзвуковой струи в спутном потоке//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19. N2. С. 474-485.60 .Пененко В.В., Методы численного моделирования атмосферных процессов, JL, 1981, Гидрометеоиздат

45. Лирумов У.Г., Росляков Г. С., Численные методы газовой динамики, М, ВШ, 1987, с. 167

46. Ы.Пупко В.Я., Зродников А.В., Лихачев Ю.И., Метод сопряженных функций в инженерно-физических исследованиях, М., Энергоатомиздат, 1984

47. Рао Г.В.Р., Построение оптимальных ракетных сопел методом сведения к вариационной задаче одного переменного, в Теория оптимальных аэродинамических форм, А.Миеле (ред.), М., Мир, 1969

48. Рихтмайер Р., Принципы современной математической физики, М., Мир, 1982

49. Родионов А.В., Монотонная разностная схема второго порядка точности для сквозного расчета неравновесных течений, ЖВМ и МФ, т. 27, N 2, 1987

50. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н., Системы квазилинейных уравнений,-М.: Наука, 1968.

51. Роуч П., Вычислительная гидродинамика, М, Мир, 1980

52. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

53. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений, М., Наука, 1978

54. Чернавский Д.С., Проблема происхождения жизни и мышления с точки зрения современной физики// УФН, т. 170, N 2, с. 157-182, 2000

55. ЪО.Шмыглевский Ю.Д., Вариационная задача газодинамики осесимметричных сверхзвуковых течений, ДАН СССР, 1957, т. 113, N 3, 520-52281 .Шокин Ю.И., Яненко Н.Н., Метод дифференциального приближения, Наука, 1985

56. Шутяев В.П., Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных, М., Наука, 2001

57. M.Ainsworth M. and Oden J. Т., A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis. Wiley Interscience, NY, 2000

58. Alekseev A.K., and Navon I.M., Adjoint Correction and Bounding of Error Using Lagrange Form of Truncation Term. Computers&Mathematics with Applications, 50, 1311-1332(2005)

59. Alebeev A.K., and Navon I.M., On a-posteriori pointwise error estimation using adjoint temperature and Lagrange remainder, Computer Methods in Appl. Mech. and Eng., 2005; Vol 194/18-20 pp 2211-2228

60. Alekseev A.K., and Navon I.M., "A posteriori pointwise error estimation for compressible fluid flows using adjoint parameters and Lagrange remainder", Int. J. Numer. Meth. Fluids 2005; v. 47, pp. 45-74

61. Alekseev A.K., and Navon I.M., Calculation of Uncertainty Propagation using Adjoint Equations, International Journal of Computational Fluid Dynamics, August 2003 Vol. 17 (4), pp. 283-288

62. Alekseev A.K., and Navon I.M., On Estimation of Temperature Uncertainty Using the Second Order Adjoint Problem, Int. Journal of Comput. Fluid Dynamics, 2002 Vol. 16 (2), pp. 113-117

63. Babushka I. And Miller A. D., The post-processing approach in the finite element method, iii: A posteriori error estimation and adaptive mesh selection, Int. J. Numer. Meth. Eng., 20, pp. 2311- 2324 (1984).

64. Bewley T.R. (2001). Flow control: new challenges for a new Renaissance, Progress in Aerospace Sciences 37 21-58

65. Carpenter M. H. and Casper J.H., Accuracy of Shock Capturing in Two spatial Dimensions, -AIAA J, v. 37, N 9,1999, pp. 1072-1079.

66. Cnossen J.M., Bijl H., Koren В., and van Brummelen E.H., Model error estimation in global fimctionals based on adjoint formulation, International Conference on Adaptive Modeling and Simulation ADMOS 2003, N.-E. Wiberg (Eds), Barcelona, (2003 ).

67. Clerc M., Le Tallec P. and Mallet M., Controle Optimal de Navier-Stokes Parabolize, INRIA, Report N 2653,1995

68. Efraimsson G. and Kreiss G., A Remark on Numerical errors Downstream of Slightly Viscous Shocks, SIAM J. of Numerical Analysis, Vol. 36, N 3, 1999, pp.853-863

69. Engquist B. and Sjogreen В., The Convergence Rate of finite Difference Schemes in the Presence of Shocks. SIAM Journal of Numeric 1 Analysis ,35:2464-2485,1998

70. Estep D. A Short Course on Duality, Adjoint Operators, Green's Functions, and A Posteriori Error Analysis, Course Notes, Sandia National Laboratories, 2004

71. Ferm L. and Lotstedt P., Adaptive error control for steady state solutions of inviscid flow, SIAM J. Sci. Comput., 23 (2002) 1777-1798

72. Frieden B.R., Physics from Fisher Information, Cambridge Univ. press, 1998

73. Gieringand Th. Kaminski, Recipes for Adjoint Code Construction, 1996

74. Griewank, On Automatic Differentiation, ANL/MCS-P10-1088,1988

75. Guderley K.G., Hantsch E, Beste formen fur achensymmetrische Uberschallschubdussen, ZFW, 3, N9, 305-313, 1955, Сб. Механика, N4, 5369, 1956

76. Giles M.B. and Pierce N.A., Improved lift and drag estimates using adjoint Euler equations, AIAA Paper 99-3293, 1999

77. Giles M. B. andSuli E. Adjoint methods for PDEs: a posteriori error analysis and postprocessing by duality// Acta numerica, 2002, pp. 145-206

78. Huang J. and Modi V., Optimum Design of Minimum Drag Bodies in Incompressible Laminar Flow Using a Control Theory Approach, Inverse Problems in Engineering, vol. 1, pp. 1-25,1994

79. Jameson A., Aerodynamic design via control theory. J. Sci. Comput., 3:233— 260,1988

80. Jameson A, Martinelli L, Pierce N.A., Optimum Aerodynamic Design Using the Navier-Stokes Equations, Theoret. Comput. Fluid Dynamics (1998) 10: 213-237

81. Johnson, С., On Computability and Error Control in CFD. International J. for Numerical Methods in Fluids, Vol. 20 (1995), pp. 777-788

82. Joslin R.D. et al, Self-contained, automated methodology for optimal flow control, AIAA J., v. 35, N 5, pp. 816-824,1997

83. Hartmann R. and Houston P., Goal-Oriented A Posteriori Error Estimation for Compressible Fluid Flows. In F. Brezzi, A. Buffa, S. Corsaro and A. Murli, editors, Numerical Mathematics and Advanced Applications, pp. 775-784, Springer-Verlag, 2003

84. Hovland P., Mohammadi B. and Bischof C., Automatic Differentiating and Navier-Stokes Computations, CRPC-TR97768-S, 1997

85. Kudryavtsev, A., Khotyanovsky, D., Ivanov, M., Hadjadj, A., Vandromme, D., "Numerical investigations of transition between regular and Mach reflections caused by free-stream disturbances," Shock Waves, Vol.12, 2002, pp.157-165.

86. Lanczos C., Linear Differential Operators, Van Nostrand company, LTD, London, 1961

87. Liu. J, Gurrier В., Denard С., A sensitivity decomposition for regularized solution of inverse heat conduction problems by wavelets, Inverse problems, v. 11, pp. 1177-1187,1995

88. Liu, D.C., Jorge Nocedal, On the Limited Memory BFGS Method for Large Scale Minimization, Mathematical Programming, 45 (1989) 503-528

89. Lions J.L., Pointwise Control of Distributed Systems, in H.T. Banks, ed., Control and estimation in distributed Parameter systems. Frontiers in applied mathematics, v. 11, (SIAM, 1992) 1-39

90. Moutsoglou A., An Inverse Convection Problem, J. Heat Transfer, 111, 3743 (1989)

91. Moutsoglou A., Solution of an elliptic inverse convection problem using a whole domain regularization technique, J. Thermophysics and Heat Transfer, v. 4, N 3, pp. 341-349(1990)

92. Oden J.T. andPrudhomme S., Goal-Oriented Error Estimation and Adaptivity for the Finite Element Method, Computers&Mathematics with Applic., 41, pp. 735-756,2001

93. Oden J. T. and Prudhomme S., Estimation of modeling error in computational mechanics, Journal of Computational Physics, vol. 182, pp. 496-515, (2002).

94. Pironneau O., On Optimum Design in Fluid Mechanics, J. Fluid Mech., v. 64, N l,pp. 97-110, 1974

95. Press W. H., Flannery В. P., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т., Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of scientific computing, Cambridge Univ. Press, 1992

96. Prudhomme S. and Oden J. T„ On goal-oriented error estimation for elliptic problems: Application to the control of pointwise errors, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 176, pp. 313-331, (1999).

97. Putko M.M., Newmann P.A., Taylor 111 A.C., and Green L.L., Approach for Uncertainty Propagation and Robust Design in CFD Using Sensitivity Derivatives, AIAA paper, 2001-2528,2001, pp. 1-14

98. Rao G. V.R., Exhaust nozzle contour for optimum thrust, Jet propulsion, 28, N 6, 1958

99. Roache, P. J. "Quantification of Uncertainty in Computational Fluid Dynamics". Annual Review of Fluid Mechanics, 29:123-160,1997

100. Roy C. J., Grid Convergence Error Analysis for Mixed-Order Numerical Schemes. AIAA Journal. 2003, vol. 41, no. 4, pp. 595 604.

101. Roy, C. J., McWherter-Payne M.A., and Oberkampf, W. L. "Verification and Validation for Laminar Hypersonic Flowfields", AIAA Paper 2000-2550, June 2000

102. Sirkes Z. and Tziperman E., Finite difference of adjoint or adjoint of finite difference?, Monthly Weather Rev., v. 125, pp.3373-3378,1997

103. Theferthen L.N., Hydrodynamic Stability without Eigenvalues, Science, v. 261, N5121, pp. 578-584,1993

104. Thuburn J. and Haine T.W.N., "Adjoint of nonoscillatory advection schemes". Journal of Computational Physics 171:616-631, 2001

105. Tornberg A.K. and Engquist В., Regularization techniques for numerical approximation of PDEs with singularities. J. of Sci. Comput., 19, 527-552 (2003)

106. Zhi Vang, Navon I. M., F.X. Le Dimet andX. Zou, The Second Order Adjoint Analysis: Theory and Applications, Meteorol. Atmos. Phys., v. 50, pp. 3-20, 1992

107. Zhi Vang, Droegemier К. K., White L. and Navon I. M., Application of a New Adjoint Newton Algorithm to the 3-D ARPS Storm Scale Model Using Simulated Data, Monthly Weather Review, v. 125, N. 10, pp. 2460-2478, 1997

108. Venditti D. and Darmofal D., Grid Adaptation for Functional Outputs: Application to Two-Dimensional Inviscid Flow, J. Comput. Phys., 176 (2002), pp.40-69

109. Vidard P.A., Blayo E., LE Dimet F.-X. and Piacentini A., 4D Variational Data Analysis with Imperfect Model, Flow, Turbulence and Combustion, v. 65, pp. 489-504, (2000).

110. Walden J. On the approximation of singular source terms in differential equations. Numer. Meth. Part. D, 15 503-520 (1999)

111. Wang Y.Z., Controlling Chaos in a Thermal Convection Loop, J.Fluid Mech., v. 237, pp 479-498, (1992)

112. Wang Z, Navon, I.M., Zou, X and Le Dimet F.X, A Truncated -Newton Optimization Algorithm in Meteorology Applications with Analytic Hessian/vector Products. Computational Optimization and Applications, v. 4, (1995) 241-262.

113. Wigner E.P., Effect of small perturbations on pile period, Manhattan Project Report, CP-G-3048, 1945

114. Yamaleev N. K. and Carpenter M. H., On Accuracy of Adaptive Grid Methods for Captured Shocks, NASA/TM-2002-211415, pp. 1-37.

115. ZouX., Navon l.M. and Le Dimet F.X, Incomplete Observations and Control of Gravity Waves in Variational Data Assimilation Tellus, v. 44A, No 4 (1992) 273-296.

116. A.K. Alekseev, and l.M. Navon, A Posteriori Error Estimation by Postprocessor Independent of Flowfield Calculation Method, Computers & Mathematics with Applications, v. 51, pp. 397-404 (2006)