Об оценке нормы обратного оператора в линейных функциональных уравнениях второго и первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Санкт-Петербургокий государственный университет

РГ6 од

! V» !.:,;{. ¡У.-:

> На правах рукописи УДК 517

ПЕТРОВ Николай Григорьевич

(

ОБ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ОБРАТНОГО ОПЕРАТОРА В ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ВТОРОЮ И ПЕРВОГО РОДА

Специальность 01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук .

Санкт-Петербург,

1995

Работа выполнена на кафедр^ высшей математики С.Л.Г.Т.У.

Научный руководитель -кандидат физико-математических.наук, доцент А.И.Поволоцкий

Официальные оппоненты - доктор фивино-датештических наук,

профессор II. М. Матвеев

- кандидат фивико-математических наук, ■ доцонт А.Г; Катранов -

Ведущая органивация - Государственный Оптический институт имени С.И.Вавилова

Защита диссертации состоится 1995 года

в " часов на ваоедании диссертационного Совета К-063.57.16 по защите диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу,: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом 33. СЦфС^,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени Л.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета (199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., дом 7/9).

Автореферат разослан 1395 года.

Ученый секретарь . ' диссертационного совета •.

Иро$«ссор В.Ф.Горьковон

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является получения достаточно простых условий существования оператора обратного оператору уравнения

А а -(1±Н)и

НЕ и-* и!

и - банахово пространство, Н - линейный ограяичвшшй опора-тор и апостериорной оценке нормы этого оператора при наибольшем диапазоне изменения Ц И // и разработка методой и алгоритмов получения апостериорных оценок норм обратных операторов применительно к следующим йраевнм задачам,

Л,

г™ '--б

/]. {•£) - хотя бы один раз непрерывно диле-

ре ицируемне функции.

■ь й

хотя бн два:кды непрерывно дифференцируемая фуикиич -

з. У. '/¿у + <? (Ь) X ЧЪ) + ПЬ) (Ъ)^! и. Ъ £ С а, ь 3 ■

-Ч 4

X(ci)- Х- (b) - О

(l (t )9 П t)

£ С

г

4. В х -X 'Ш - АIVX ftj = i/f ¿J

^ , АН'

- матрица размерности//! У.//1, причем её элементы хотя бы один раз непрерывно дюЭДере.-щируемы; X (£) {I / £) векторы размерности Ьь,

Актуальность темы

При рассмотрении оценок погрешности приближенных методов решения различных линейных функциональных уравнений возникает необходимость получения оценки норны оператора обратного к заданному линейному оператору. Широко распространённые методы априорных оценок часто оказЬЁаются или невозможны или дают завышенные результаты. Поэтому удобнее использовать апостериорные оценки норы обратных операторов. Гак как эти оценки основаны на непосредственном получении оценки нормы обратного оператора. Число робот, в которых рассматриваются методы апостериорных оценок,весьма,ограничено. Поэтому задача получения'новых апостериорных оценок является актуально!!.

, Научная новизна работы

Результаты диссертация являются новыми и получены автором самостоятельно. Существует незначительное число раоот, в которых рвссыетриадюгся методы апостериорных оценок норм обратных операторов. В работах Самокша Б.А. и Сыолянской Н.А.* были пост-

1 Самокат Б.А., Смолякокая H.A. Об апостериорных оценках решений краевых задач 10 приложении общей теории приближенных методов анализа к получению апостериорных оценок решений кра-

- б -

роены алгоритмы вычисления оценок норм обратных операторов краевых задач для'линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго норядка иа основе схемы, изложенной в общей теории приближённых методов Л.В.Канторошгаа. Исходная краевая задача аппроксимируется разностной. Однако охема Л.В.Канторовича может давать завышенные оценки. В работах Зива А.Д. получены алгоритмы апостериорных оценок норм обратных операторов краевых задач длл линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков, систем линейных дифференциальных уравнений первого и второго порядков ha основе схемы Л.В.Канторовича и двух новых методов .-^Первый метод состоит в продолжении аппроксимирующего оператора на всю область задания точного и непосредственном применении теоремы Банаха. Второй метод заключается в представлении решения задачи в виде суммы двух слагаемых - первое слагаемое явно выражается через ладную часть уравнения, а второе имеет производную на порядок выше, чом исходное уравнение - и регуляризации правой части уравнения. Эти два метода аналитически прощё чем схема Л.В.Канторовича и часто дают возможность получить более точные оценки. Походная краевая задача аппроксимируется разностной. В роботах Зш!О.А.Д. указано на громоздкость получаемых в них вычислений при составлении алгоритмов оценок норм обратных операторов.

евых задач. Деп. в ВИНИТИ 15.04.76 г. № 1274-76. , Самокиш Б.А., Смоленская H.A. Об апоотвриорннх оценках реше» ний краевых задач П Численная апостериорная оценка обрпткого оператора первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.'Дел. в ВИНИТИ 15.04,76, № 1275-76.

Зив А.Д. Апостериорная оценка обратного оператора для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с вырождением. В об. Методы вычислений 1978т. Л II, с.118-141.

Зив А .Д., Самокиш Б.А. Об апостериорной оценка обратного оператора вырожденной двухточечной краевой задачи. Еурнал вн-числ.мотем. и мат.физики. 1980, т.20, № 1, 0.77-83.

Зив А.Д. Методы апостериорной оценки решения краевых задач для сио.гям первого порядка«. № 30"Iß-81. Дпп. от 22 июня 1983 г., ВИНИТИ, Л., 1981/

В работе Павлова 11.1* получено два способа апостериорной оценки нормы обратного оператора краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка при использовании метода моментов.* Они опираются на схему Л.В.Канторовича и на метод продолжения аппроксимирующего оператора на вою область задания точного и непосредственном применении теоремы Банаха. Не выписаны подробно алгоритмы оценок нормы обратного оператора.

Для оценки нормы обратного оператора в случае линейного ,. функционального уравнения второго рода известны теорема Банаха о сжатии, две теоремы о близких уравнениях, георема Л.В.Канторович а. Но первые три теоремы могут использоваться при довольно "узком диапазоне изменения II Н Н , теорема Л.В.Канторовича трудна для использования.

к для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго 10дп известны теорема об оценке погрешности метода замени ядра нп вырожденное и теорема об оценке нормы обратного оператора с использованием метода механических квадратур и второй теоремы о близких уравнениях, изложенные в книге'Двуговета И.К.^

Но первая теорема трудна для реализации, так как удачный выбор близкого вырожденного ¡ядра требует известного искусства вычислителя. Вторая теорема может быть реализована только при выполнении большого числа условий.

В диссертации получено пять оценок норм операторов обратных операторам линейных уравнений второго рода при достаточно простых условиях для широкого крута банаховых пространств при произвольной II Н II и довольно широком диапазоне её иэ-

Зив АД. Апостериорная оценка решения краевой задачи для дифференциального уравнения четвёртого порядка. К 3017-81. Деп. от 22 июня 1981 г. БШВГГИ, I., 1981.

Зив А.Д. Оценка решения краевых задач для систем второго порядка. № 3018-81, Деп. от 22 июня 1981 г. ВИНИТИ, Д., I9SI.

* Павлов Н,£. Апостериорные оценки обратных операторов с помощью проекционных методов, дурнал вычислительной математик и математической физики. 1987, т.27, & 8, с.1249-1252. ® Лвуговет U.K. Приближённое решение лннейных функциональных уравнений. Л., 1985.

менвния. Сделаны обобщения теоремы Банаха и двух известных теорем о близких уравнениях второго рода, указаны случаи получения оценки нормы обратного оператора более точной, чем в теореме Банаха, получены оценки нормы оператора обратного оператору линейного уравнения Фрадгольма второго рода.

В данной работа предложена такжз exe«а получения оценок норм обратных операторов краевых задач для линейных обыкновен-. них дифференциальных уравнений /п. -го порядка (/п. ) и систем линейных обыкновенных.дифференциальных уравнений первого порядка с помощью указанной модификации проекционных методов (методы Б.Г.Галёркина и одного из важных в практическом отношении вариантов метода моментов) и одной из общих теорем функционального анализа. Указанная теорема при поставленных условиях не реализуется при использовании, проекционных методов в обычной форме. Получены также подробные алгоритмы оценок норм обратных операторов краевых задач для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений /?г~го порядка ( ).

В данной работе предложена также схема и подробный алгоритм оценки нормы обратного оператора краевой задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка с помощью предложенного полиномиального метода, используемой • ранее теореме функционального анализа и оценке нормы оператора . заданного в интегральной форме л рассматриваемого как оператор из пространства L2 L CLЬ 1 в Lz С b 1 . При получении оценки нормы обратного оператора по предложенным алгоритмам не требуется получения решений поставленных краевых задач в отличие от методов Самокиша Б.А. и Смолянской H.A., Зива А.Д. и нет трудоёмкой операции получения минимального собственного значения матрицы в отличив от методов Павлова Н.Б.

Общая методика исследования

Используются*две теоремы о существовании обратного оператора и оценки его нормы; общая теория приближённых методов Л'.В. Канторовича, теорема о наилучшем приближении функции для пространства (1 ^ c oo)t ■ .

На защиту выносятся пять новых оценок норм операторов обратных операторам линейных функциональных уравнений второго рода, результаты,' полученные, яра. модификации проекционных методов решения линейных дифференциальных уравяен'ий /n -го порядка

- е -

( Иг ^ ) и систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, полученный полиномиальный метод решения линейного дифференциального уравнения второго порядка и результаты, полученные при его использовании.

Практическая ценность работы 8аключавгоя в том, что её результаты могут быть непосредственно использованы при получении численных оценок погрешностей приближённого решения краевых задач, использованы также при получении оценок погрешностей приближённого решения линейных интегральных уравнений Фредголь-fcа второго рода.

Реализация работы

Это•вычислительные алгоритмы получения апостериорных оценок, реализованные в ряде примеров,на нахождение оценок норм обратных операторов.

Апробация работы'

Основные результаты диссертации докладывались на: Городском оешнаре "Дифференциальные уравнения и уравнения математической физшш"Р.Г.П.У. иЫ. А.И.Герцена (1990 г.), научном семинаре кафедры магешглки и методов математического моделирования В.B.W.У, им. М.Ф.Фрукзе (1991 г.), научной конференции Санкт-Петйрбургскйго Инженерно-Строительного института (1992 г.), на конференции "Рерценовские чтения" в Р.Т.П.У. им. А.И.Герцена (1993 п).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых помещён в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. В конце каждой Глав« указаны примечания. Список литературы содержит 41 наименование. Диссертационная работа изложена на 108 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение обоснована актуальность исследований, более подробно излагаются основные существующие методы получения апо-отариорных оценок норм обратных операторов.

В первой глава получено пять оценок норм оператора -обратного оператору

где /1

Н СО~?С/] - линейный ограниченный оператор, (/ - банахово пространство.

Теорема I.

Если при некотором натуральном Ц> и некотором вещественном £

<г - Н (1-с)Н^-гсТ/1

с

то оператор 4 -Х-// обратим и для IIА~~*Ц имеет место оценка

НА'*!! ± (и-сИ\Ннч+,.+ТИ)/(<1-д1)

Теорема 2.

Если при некотором натуральном нечётном /1> и некотором вещественном

то оператор А~Х+Н обратим и для II А~7/ имеет место оценка

IIГ 7/й '

Теорема 3.

Пусть Н и Не линейные-ограниченные операторы в <5гпаховом пространстве у и пусть:

1. Существует обратная оператор

A^-fl-H.)"1

2. Tip' некотором натуральном

at=IIA71/l-HHK-hJI4

Тогда оператор /f ~ h/ текже обратим и справедлива оценка

llA'Vl — i) А^1 (fi^-t-.^tl)}] /fi-az).

Теорема 4.

Пусть А/ и tj0 линейные ограниченные операторы в банаховом пространстве (J и пусть:

1. Существует обратный оператор Ai

2. При некотором натуральном Д,

hllAi1lhl(H^-H0)HH4

Тогда оператор Д обратим и

и *' 7/ ь ц (if а; 1н>) (н^ Y-,.. н) <-Ill/(i~f?j

Теорема 5.

Пусть /•/ и //0 - линейные ограниченные операторы в банаховом пространстве ¿/ и пусть:. .

I. Существует оператор (X — //е ) при некотором натуральном

■ 2. При некотором натуральном /о

Тоща оператор Д обратим и

и

-ч^п+а-НьГ'нц/^

Во.втбройи третьей главе для оценки норма оператора обратного линейному уравнению'первого рода используется одна из общих теорем функционального анализа.

Теорема I.

Пусть 0 и V - линейные ограниченные операторы из пространства У в пространство У и ю У в , соответственно, где у , у - банаховы пространства. Тогда, если операторы 0 я у удовлетворяют условию

II и\/^1у11

то существует линейный правый обратный оператор Ьу. по

отношению к (У и линейный левый обратный V""** по отношению к У , причём ~ 4

Бо второй глава рассмотрена возможность применения проекционных методов для оценки, нормы оператора обратного к оператору линейного уравнения первого рода- о помощью сформулированной выше теоремы. Показано, что если пространства -ко~

нечномерны, то оператор решения - конечномерный и основное условие теоремы.не выполняется. Поэтому предложена некоторая модификация решения. Приближенное решение ищем в виде

(I)

где - решение уревнения

У - правая часть исходного уравнения, Ст - составная часть опер* тора исходного уравнения, оператор ' (г - непрерывный линейный опервтор, шивший ограниченный обратный.

Вторая часть решения ^с определяется из уравнения

к**; - с-

где - линейный проекционный оператор

А — опбратор исходного уравнения.

Товда оцр]?ятор приближённого решения . у^, ' - бесконечно-

мерен и основное условие теоремы может выполняться при условии бесконвчномерности пространств X, У. При рассмотрении граничной задачи I ищем в виде полинома степени неопре-

деленными коэффициентам, которые выбираем так, чтобы удовлетворить граничным условиям и равенствам

Г Ах^-Ь ^щ-^ьЬЬ ( ¿-о,

где

Исследована быстрота стремления

НА*» "111.

к нулю

для случаев Х= С } У^ £ J X" W/™

В первом случае применяя общую теорию цриближшшых методов Л.В.Г&нтаровнча, вторую теорему Джексона а оценку для [¡¡P^lf , получаем

Во втором случае применяя общую теорию приближённых методов Л.В.Канторовича, вторуп теорему Джексона, интегральное неравенство Шшговского и оценку для //Ц , ползаем

///jV-X//

При рассмотрении гранично!) задачи 2 получаем

ио методу Е.Г.Галёргаша ( • . .'.,'.

j£ /т) " нормированные полиномы Якоби. •

Кээйфициенты А-л' находятся из условии . ff 1

У АК Vj (t)d±

"f^f^jxf-bj-

Для случая Г = С2, У = С исследовала быстрота отрегмотт ll ~~ ДГ // ■ ■' к нулю. Применяя общую теорию прнблтйа-пнх методов Д.Б.Каиторошча, итсрум теорему Л.аэксона и оценку, для (lt?fi,H получаем .

При рассмотрении граничной задачи 4 ищем в виде

~ век,10РнЫ^ полином степени не превосходящей к о неопределенными коэффициентами, которые выбраны таким образом, чтобы удовлетворить -граничному условию а равенствам

где '

^ /"■£/ — проекционныо линейно независимые вентор-фунютии с полиномиальными ког.шононтамн.

Исследована быстрота стремления // (2 —^СЦ к лулю для случаев Х- С *л / ;= С ^ Ил/^ Л - ¿-2.

И первом случае, примоняя общую теорию приблиШших методов Л.В.Канторовича, вторую теорему Джексона и оценку для К /V // получим

Во втором случае, применяя общую схему Л.В.Канторовича, вторую теорему Джексона, интегральное неравенство Иннковского, оценку для Ц Р/^11 и неравенство

М! ¿-Ш-2-— 2-2.

получаем

,1<дя граничных задач I и 2 разработан подробна(1 алгоритм оценки

1/А-Ч-

Я !!1 главе для решения уравнения 9

гдв Л, - лннойный ограниченный оператор, переводящий банахово пространство X в банахово пространство У, причем пространства л, У предполагаются беоконвчномерэдт. предлагается йвгаый метод - пашшошшгьнш! штод. Решение уравнения ищем в пид.^г^^д^ где -Хо - решение уравнения, О- - составная часть, оператора' исходного уравнения.

- Г4. -

оператор {г ~ непрерывный линейный оператор, имеющий ограниченный обратный. _

Вторая часть решения Х^ имеет полиномиальный ввд. Рассмотрена возможность применения полтожалъното метода для оценки нормы оператора обратного оператору уравнения (9) . с поиющыэ сформулированной ранее теоремы функционального анализа. Оператор приближённого решения - бесконечномерен и основное условие этой теоремы^вообще говоря^ожет выполняться. Рассматривалась граничная задача

А х - X "(Ъ X '/£;■+ /V- ЧЩ (10)

^(а) ~)С( Ь)~0 (II)

Полагаем

Оператор 6- существует при граничном условии (11)< Составляющую решения У^^/ищем в виде ' •■ • '

ъиш

а.

где

К(-Ь^) - С60

У/ " О^

Ест при небольшом значении /г-' ■ не выполняется основное условие, указанной ранее теоремы", то /VУ^ГJ . представляется через нормированные полиномы Якоби и система линейных.алгебраических'

уравнений, получаемая для нахоадения коэффициентов гh,^'bJ>SJ

будет обусловленной. . ' '

Исследована быстрота стремления Н А ~ХЦ к НУ-™

случая X - И'2.V- ¿2 ^ . : . ,

Используя одну 118 теорим теории приближения функций, изложенной в работе Тшаана А.Ф.известную оценку нормы оператора заданного в интегральной форме и рассматриваемого как оператор иэ пространства в 1~2

интегральные неравенства Ьуняковского и Минковского, оператор , определённый таким образом

и полученный в данной работе следующий результат - если функция Ч'(Ъ^) имеет разрыв первого рода при и, по край-

ней маре, один раз непрерывно дифференцируема в каждом из интервалов Ца,^) и ^ , то функция УУ¿,-С/ удовлетворяет условию Лщщиц& с показателем 0,5 для пространства получена следующая оценка

Для граничной задачи (10)-(Н) получен подробный алгоритм оценки // Й'^Ц при использовании теоремы I и полиномиального метода.

Б заключении сделаны выводы по результатам всех глав диссертации.

1 Тпман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. И., ••?1:з(,.,атгкэ, 1960.-

В и, (Ы =

Основные результаты диссертации изложены в следующих статьях.

1. Петров Н.Г. Об оценке оператора обратного дифференциальному. Сб. научных тр. Методы прикладной.математики и математической физики. Якутский филиал СО АН СССР, 1987, с.23-29.

2. Петров Н.Г. О некоторой оценке нормы оператора обратного интегральному. Сб.научн.тр. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский Политехнический институт, 1992, с.5-9.

3. Петров Н.Г. Об оценке нормы оператора обратного интегральному. Сб.научн.тр. Динамика систем управления и Вычислительные процессы. Якутский Гос.университет, 1991, с.53-56. .

4. Петров Н.Г. Об апостериорной оценке нормы некоторого оператора. Сб.научн.тр. Дифференциальные уравнения с частными производными. Р.Г.П.У. им. А.И.Герцена, 1992, с.122-124. ,

5. Петров Н.Г. Об оценке оператора обратного дифференциальному при использовании интегрального оператора с полиномиальным ядром. Сб.научн.тр. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский политехнический институт, 1993, с.5-10. •

6. Петров Н.Г. Об оценке норм обратных операторов для функциональных уравнений второго рода и получении решений для функциональных уравнений первого рода.. Сб.научн.тр. СПГАСУ.1994,с,145-154

7. Петров Н.Г. Об оценке оператора обратного дифференциальному для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Сб.научных тр. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский' Политехнический институт,.1989, с.5-13, ...

8. Петров Н.Г. Об оценке оператора обратного дкадеренциаль-ноыу для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Сб.научн.тр. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский Политехнический институт, 1991, с.5-Ц;

9. ПотроЕ Н.Г. О некоторых свойствах функции двух переменных. Сб.научн.тр. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский Государственный технический университет, 1994, с.30-40. Факультет лрикладаой математики - процессов у правд 9 гая.