О решении задач с функциональными начальными условиями для обыкновенныхдифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДШИСТАН

г:

ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г 5 ОД

Б/ ПОП ^..'.^Специализированный совет К 065.01.02

На правах рукописи УДК 519.87.59

ДШШЛОВ ХУРШЕД 11АКСУД0БИЧ

О РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ФУНКЦИОНАЛЬНЕЙ НАЧАШШИ УСЛОВИЯМ! ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

01.01.02 -дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученей степени кандидата 4изико-иатеиатических наук

Душанбе - 1995 г.

Работа выполнена в Таджикском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ц.К.ШУСИ '

Официальные оппоненты- доктор $изико-математиче ских

наук, про<1ессор ИЛОЛОВ Ы.Н. кандидат физико-математических наук, доцент ДХОБИРОВ А.

Ведущая организация - Институт кибернетики научно-производственного объединения "Киберне-нетика" АН Республики Узбекистан

Защита состоится Я " 1995г. в_

со

1асов на заседании специализированного совета К 065.01.02 по трисуаданш) ученой степени кандидата физико-математических наук в Радхикском госушверситете (734025,г.Душанбе,пр.Рудаки,17).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета.

О т

Автореферат разослан " Ц " ПГ2.ТЗ Ор Я 1995г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф-ы.н., доцент

Хосабеков О.Х.

СЗДЛЯ XAPAKTEF/.rari'Ji РАБОТУ

Актуальность работа. Как извзстно при рссенки nsanix задач физики, биологии, геологии, хго.ппт, медицине, экономике и других отраслей естествознания большую роль играет днЩфон-циалыше уравнения. При этом вагным классом дифференциальных уравнений являются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые описывают различные явлешш природы и человеческой етзти

Обшшоеешшм дайеренциальшм уравнениям и связанное с mi-т задачей Коки посвящены многочисленные работы отечественных и зарубегашх учеши. Среди них работи Финна Хэртмана, Дк.Сансоне, Кодингтона Э.А., Лев;шсона H.A., Петровского И.Г., Понтряги-па Л.С., Гутера P.C., Тихонова А.Н., Васильевой А.Б., Свешникова А.Г., Уварова В.Б., Э.Каглсе, Ольсгольца Л.Э., Степанова В.В., Матвеева Н.М. и других. Во всех этих работах, либо изучены корректность задачи Кош, либо свойства рззоннй обыкновенных дифференциальных уравнений." В шюпк этих работах таккэ изучены вопросы устойчивости стационарного состояния.

Изучение репений задачи Копы для илтогро- дифференциальных ¡грашений 1-го порядка посвящены работы Шадаио Г., Волкова Е.А., ¿ассера Х.Л., Шефера Х.Х., П.Р.Халмоса, Г.И Марчукэ, Я.В.Быкова, {.Г.Петровского, Имоналиева M.Ii.» Короткова В.Б., Краснова Н.Л., З.П.Маслова и т.д..

В связи с математизацией биологии и общества в последнее фемя возникли новые постановка задач для обыкновений;: риНеренциальных урашгешй. В этих постановках задача Кож вменяется на так называемую задачу с функциональными начальными 'и граничными; условиями:

<яv

-- WHa), а), О < а « L

<3а z (Г)

F(O) = J B(H(t), V dg

о

да F(,), В(,) - заданные функции, Lo, L -заданные числа, адача (1> характеризирует стационарную численность популяций иологических сообществ с учетом возрастной структуры. Заметим,

что некоторые физические процессы аЛ-ьзаимодействий элементарных частиц также сводят к задаче (1). Термин задача с функциональны ми условиями типа (1), а также связанные с уравнениями I частных производных был введен и изучен в работах М. Шуей.

В задаче (1) не учтен эффект группового возрастного взаимодействия с конкретным биологическим видом, который очень вакв! с практической точки зрения. Этот эффект мокно учитывать введением нового интегрального члена в правой части уравнения (1).

Математически, соответствующая задача имеет вид:

Г с£У г

= Р(К,а) 4 ] ф та), V <*£ и <р (И(а)). О < а £ I.

(За

(2)

О) - ] в (На), I) £35

где, ФГ,<р(,^-заданные функции. К задаче типа (2) также сводятся некоторые другие физические процессы. Эти физические процессы, например, связаны с си-взаимодействиям и описаны в рамках партонных моделей. Для уравнения переноса, в работах и.Шуей и Сила поставлена и решена модельная задача с функциональными условиями типа (2).

Таким образом класс задач типа (2) является очень важным классом в теории дифференциальных задач с функциональными условиями и имеет немаловажное теоретическое и практическ< значения.

Теоретическая а практическая ценность. Работа носит теор тическиЯ и практический характер. С теоретической точки зрени ценность работы состоит в исследовании решений нового класс задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании численности популяций биологических сообществ, число элемента]: ннх частиц, при проектировании мероприятий по заадте уроь-ая 01 селыозвредитолей и охраны редких видов.

Цз£ь работы состоит в исследовании ноього класса за; для обыкновенных н интегро- дифференциальные уравнений, т. (

задач с функциональными начальными условия)™, связанных с шсленностыо изолированной популяции и биологических сообществ с гчетом внутри- и межвидовых взаимодействий и числам элементарных юстиц. Отличительная черта рассматриваемых задач заключается в 'ом, что начальные значения являются функционалом (интегрального тага), от неизвестного решения. Для линейных задач рзссматривают-:я вопросы корректной их разрешимости и представления решения врез входные параметры в явном виде. Доказаны теоремы :уществования и единственности задачи (1), (2) в банаховом ространстве, а также исследованы соответствующие задачи с (ункциональными условиями для уравнения Бернулли, Риккати, Клеро других. Рассматривается такие вопросы численного решения оотвегствующих рассматриваемых нелинейных задач.

Научная новизна. Для одного класса обыкновенных и ин-егро - дифференциальных уравнений с функциональными начальными словиями изучены вопросы корректной их разрешимости и устойчи-ости соответсствущых стационарных решений. Доказаны теоремы уществования и единственности их классического решения» боснованы также существования и единственности решения задач с ункциональными начальными условиями в банаховом пространстве, риведены конкретные примори решения задач с функциональными словиями для уравнения Бернулли, Риккати, Клеро и другие.

1йтодц исследования. в работе использованы современные этоды теории дифференциальных уравнений, функционального анали-а и вычислительной математики.

Основные положения, которые являются новыми для данной аботы, следувдие:

). Для линейной интегро-дифференциальной задачи с функциональными начальными условиями доказаны теорема существования и единственности ). Обоснованы представления решения некоторых однородных и неоднородных линейных задач с функциональными начальными условиями.

). Исследований решение линейных задач с функциональными начальными условиями в банаховом пространстве.Поставлены а решены соо^ь^тстЕупзие змдачи для уравнения Берну дли, Риккати и Клеро.

4). Изучены вопросы иакэдошй приближенного решения, дока-ьшеш сходимость и устойчивость решений разностных апцрок-шляру пцих з ъда ч. 6). ПровудэнлУ вычислительные эксперименты для решена мод^лькнх задач на ЭВМ.

¿лробация работы. Основные результаты диссертаци

докладывались на семинарах кафедры математического моделировани и оптимизации маханико математического факультета Тадаикског Государственного Университета (рук. проф. М. К. Юнусн) на екегодпих апрельски научно - теоретических конференция профессорско-преподавательского состава Тадглкского госушшерсн тота (15Э2, 1ЭЭЗ, 1934, 1ЭЭ5 г.). на международной конфоренцл "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент ( 28 -30 ноября 1994 г, г. Ташкент) ц на осъеденоннс заседании кафедр "Дифференциальные уравнении н функционально: анализа", "Высшая матеглатика", "Пршсладная математика" "Математического моделирования н оптимизации" (24.11.1994).

Публикации. Основные результат диссертации олуОлшсовш в работах [1] - [5].

Обь си и структура работы. Диссертационная работа изломе! на 104 страницах машинописного текста, состоит из.введения, двз глав и списка литературы, нкжчащего 100 наименования.

В диссертации использована двойная нумерация, причем первая ц»1.ра сзначаатномэр параграфа, а вторая - номер формулы I парагрь1>э.

Кривой содорс^сшо работы.

Ь нурио»! главе рассмотрена так называемая задача с функциональна® условиями (начальное условие является функциоишш шизисствого розешши, которая описывает динамику биологически: популяция в стационарном рог-имо:

Г г

-- Г(И.а) + ] ф (N(1),. ^ х (р (ПСа)), 0 ^ а а I.

Оа

О)

то) = | в (Ш), аг

где Я(а)=(Н1(а), Пг(а).....Нт(а)): /Г Га;-искомая неизвестная

функция характеризйруадая численности популяции 1-го вида возраста а, ОйКЕ; Р(П,а), В(П,а;-п-мерная вектор функция,и. рГГГ.а^-заданные и-морше скалярные функции.

Функция Р(Н,а), В(М,а) характеризируют соответственно функ-щи смертности и роадаеиостл популяции, а функции ф(7/, I), р(У(а)) означают внутривидовую конкуренцию.

Заметим, что задача (3) является стационарной задачей для

$адачи

эха Н* = Г(И*(а, г),аЛ) + { ф (ПК,г), и * (а,г ) ),

о

О < а < Ь

Л*(а, О) = Я* (а); 0 < 1 « 1., О « а ^ I. (4)

н*(о, г) = / в г) о * <

о

де г-время, Я* (а; - начальная численность биологического вида

озраста а, и оператор определяется таким образом:

д д = — + — ; 1а аг аа

В диссертационной работе рассматривается, случай, когда а) я В=В(Ьг, а).

педуя работ М.Юнуси сформулированную задачу (3) назовем зада-эй с функциональными начальными условиями.

зедем обозначение: пространство непрерывных функций,

1ШЭВДИ кусочно-непрерывные производные первого порядка. Опрадзлэше I. Под решением задачи (3) ("или (i)) будем понимать непрерывную функцию Н=Н(а) Гили N*=N*(a,t)),

ОвкЦ, С&Ш^) из С|оы, которая удовлетворяет

условиям (3) (или (4)).

В первом параграфе первой главы приведены и исследоваш примеры модельных задач с функциональными начальными условиями:

щшер I. Предолош, что Ш, а} = F0(aj ¡f(a).

ФМ(). V = Ф0ги ; WÍ). <р№, а) = Я(а).

В(Я(1), Í) = ва) ; N(a);.

где обозначено: фот ; H(í)=Z Ф^О; NJÍ)

i

Для задачи (3) с описашми вше функциями, введем в рассшт рение параметр ь

h = S Bo(V eXP¡ f ЙП ] ,

о

тогда справедливо следующее: Для всех Ва(а) > О, F0(a) < О, VQelO,LJ при h<1 задача (3) не имеет положительного решения, а при Л>/ существует единственное решение данной задачи, которое определяется с помощью формулы

tffaj = tffo; eap[ / P0f£J - 0твка ],

где

б

там

¡Но) = —- ;

J ф0Га; ezp( / FJV di - вшмо ) da

о

и б^-является вещественным, максимальным, положительным кора

уравнения а

J В(а) е450 <3а - 1, В(а)= BJa) exp¡ / FJt¡) ár\ } (Б) О °

В случае, если , то N(0)=0, т.е. tffa) = 0;

Пршер 2. Пусть в задаче ,(3), F(N, а) = F (a) N(a),

00

/ |F0ca;i da < со, ^(N(t), i) = фсги; щ; фГУ, а) = 7, swe;f и - BfaJs ^ra;;

i J B(a) da < от,

a

да функции B0(a), Fo(a), ф0(а), ф(а) - заданные непрэрывные 5УНКЦИИ и Во(а)>0, Fo(a)^0, фо(а)20, <р(а)}0, 0&4L, тогда реше-гие задачи (3) представляется в виде

!f(a) = С Р(а) ф0 + ф (а),

да

V 7 г Shtnm

\1ф0(1) Ф (i)J di jB0(a) Je« d\dn

о

Г = - , F(a) =

1 - ! <i>0ru fw de

oo

1 - [ В (a) da

То• о

о

; Jp0(vm

q(a) ----, pi=j B0(a) J <pfa) e 6 dg da.

f - J В (a) da ° о

о

pmtep 3. Пусть теперь в задаче (3), F(N,a)=F0(a)N(a),

ФГ1ГШ. ЕМ0Ш B*(V. <?(Н, a)=Ft(a), B(N(Z),t)=B(a) N(a); где Fja), FJa), B(a), ф0Га;-заданные функции н кроме того В0 faJ>0, P0(a)W. FjaJX>, )гда решение задачи (3) представляется в виде

№(а) = с х jfa;, /

. с = "i:-

S Ф0ги F*a> ai

о

.е

а)

S B0CUr F a) езрГ / F (f\) tfn lcto'd£

» о a ' ' ' f а. .

z--- ezp[ /i"0Wdr)J-

J Bjv exp\ r F (l}) dq ) de - 1

1 о V

Fja) exp[ TFJU d? )cto'

Во второй параграфе первой главы, для задачи (3) доказаны теораш существования и единственности. Введем определение:

Определашо 2. Классическим решением задачи (3) назовем любую функцию Н=1Ца), из С|оы которая в точках непрерывности удовлетворяет первому уравнению (3) и для нее выполняется соответствующее функциональное начальное условие (2-ое уравнение (3)).

Пусть имеют место условия:

Teopoua I.

Tccpaua 2.

a) F(l¡,a) = FJH.a) lf(aj. |F fff.aJI < TjaJ

L '

<p(N,a)=N(a), J lt(t№<«, V(V.

o

L.

B(N.a)=Bo(N,a)lI(a)+p¿a),

o

тогда существует классическое решение задачи (3)

Пусть выполняются условия а) теореш I и кроме того выполнено условие

<

б) h = J ехр £ J j^j $ Я < U VJ7; 0$f<L

о о

где q=con£it>0, тогда ревение задачи (3) существует ц единственно. З^зчап^а I. Теореш I, 2 справедливы и в случае, когда

BOt,a)=Bo(N,a) H(a)+pja), cm<L,

и

F(H,a)=Fo(lf,a) N(a)-f <J>0(N(l),Í№ Л + afaj

где,

mг f Fjl¡(i).tm < mr J ^0(li(í),t)dí <

1 £ e 1 °

o < S Bo(H(U. t) exp^ S (FJ N(t\) £?T1 ] di < 1.

Зашчапне 2. Теоремы I, 2 справедливы, если условие а),

заменить на условие

L

[F(K,a)\<F0(a) n", \В(Н.а)\<Ша(а)Я, ;фСУ.£№<С.

[íp-VfíF0('ci?)da]''~i<£f3o{aJdaJ"'~" '; р>1, q>1,

о о

В параграфе 3 исследуются вопросы корректности постановки соответствующих систем с функциональными начальными условиями, т.е.

ах г

= Ао(а) N(a) -J <|> (й) X(V di * N(a) + а(а), О < а < L.

ва

(S)

Н(0) = J В (i) luí) dt, h p

o*

o

где Н=(Н1 (а), Нг(а),...,Нт(а)), ^^(аЬискомиа вектор функция Ао(а), Во(а)~т»т матрицы, ф(аЛ а(а), р - т-мерные неотрицательные вектора, о,

(» со оо .

-П

Л|а| йЬ < со, ¡ио(1)й < Л0. ЛВсГа;| й£ < е р-сопз£ > О

О I ; О О

Основными результатами данного параграфа являются следующие: Теорэиа 3. Пусть а(а)=0, р=0, В(а)>0, Б(а)^В (а) ¿(а),

со -Ха

В(\)=1В(а) е (1а<оо для всех ,<»;, х ^ о.

о °

Тогда существует единственный максимальный вещественный корень уравнения

cteí <Т - ZJftJJ = 0 и X

тая

■ >О, если П = > 1

О, если К ---- 1 . <0, еслн Н < 1

'Опрэделенпо: Пусть а(а)*0, р^О, и функция В(а) удовлетвор-

яет условиям теоремы 3, тогда система (6) имеет единственное решение тогда и только тогдр,когда данная система в случае а(а)-0, р--0, но имеет не нулевых решения.

Сформулируем следующие условия: a) F(N, а) = Á(N, a) N(a), <р(Я(а)) = N(a)

B(N,a)=BJN,a) №)+ ßja), А(Я, а) с Aja)

Jp0fSJfl as < в О*/ф (Na),i) d£ < о

б)

Геореиа 5.

йet (I - В(\)) *0, В = S BJV е X(i) di,

Х(а), Х(О) » I, 0 < N(a) < со

da

■ d?

da VCa).

Пусть имеет место условие а), тогда существует по крайней мере одно решение задачи (6). Если же выполнено и условие б), то это решение единственно.

Четвертый параграф посвящено решению задач с функциональными начальными условиями с квадратичной правой частью, т.е.

da

= Fa(a) ¡T(a) - Ft(a) f фо(£) tne£j, mc£>i dl, 0<a<L.

(7)

по) * f B0(V Na) di

где, Ра(а), В0Са;-заданные матрицы порядка пит, Рк(а)~заданный

ш-вектор, фа(о) - заданная скалярная функция.

Геореиа 6. Пусть Р0(а), Рл(а) - являются непрерывными

функциями, Р^(а)Х) и вег(В-1)*0,

~ " РЛ)

В=$ Воа) е (1С, Х=Х(а) решение системы:

сЯ da

= Г Га Л, Х(0) = I,

тогда решение задачи (7) представляется в виде F(a) = С * /(а),

где,

f(a)=X(a)l J Bo(t)X(í) di - I Lo ■

I wmzn'üt

o

v* ь Í

S в0(и r xrur1 pi +

o

a

JtfaJ r'rü P/U de.

В параграфе 5 приведено решение задачи с функциональными начальными условиями для уравнения Бернулли, Риккати и Клеро. Этот параграф состоит из трех пунктов. В первом пункте рассмотрено уравнение Бернулли

dN

-- Р(а) N = Q(a) IT, О 4 а < I (8)

da

с функциональным начальным условиям

со

= J в0а) N(U ^ o)

о

где, Р(а), Q(a) - заданные непрерывные функции а, 0 ^ а с L Заметим, что в случае п=0, п=1, мы придем к тем известным результатам. В случае когда п/0, n¿1, справедливо следувдие ут-верадение:

со

Пусть В0(а) 2 0, J В0(а) da > 1, Q(a) £ О, 0 í a a,

о

тогда уравнение

со _

J BJa) [ 1-(п-1) aja) S ] " * da = 1 (10)

о

гдэ

В(а)=Во(а)е ° , a¿a)=¡Q(Z)e ° di;

о

имеет положительный максимальный вещественный корень

Следствие.

о = (О)

тля '

N*(0) = [ómaJ n"\ при n->со И*(0) = 1

Во втором пункте рассмотрено уравнение Риккати dN

-= Q(a) N* + Р(а) N + R(a), О < а < L (II)

da

и функциональное начальное условие

L

N(O) = J BQfa'; fffa'J £to'

о

где, Р(а), Q(a), BCaJ-задатшэ непрерывные функции a.QS&CL. Пусть известно частное решение уравнения (II), тогда после заме ны N=Nt+Z относительно Z мы получим уравнение Бернулли с функщ оналышш начальной условиями

L L.

Z(O) = j в0ги Z(V dg f p, где p=-wt(0) - / aa

o o

Следовательно задача решается как в предыдущем пункте, ("если иг вестно одно частное решение NJa)).

В третьем пункте рассмотрено уравнение Клеро

N(a) = рa + ф(р), 0 $ a £ L (12)

с функциональным начальным условиям

= ¡ BQ(a') N(a') da'

o

o

d2í

где, ©-данная дифференцируемая функция, Р=—, (р(р)^кр, Ь=соп81

(За

Справедливо следующее утверждение:

Пусть выполняются условия Вв(а) > О,

ь

$В0(а)(За<1, <р(а) такая что, уравнеше фСа;=йа.

Тогда в представлении решение неизвестная константа С определяется из

ь

J a х В0 (a) da <Р (0) = —-:-z-

1 - f Bja) da

Основным результате^ "параграфа б - является обоснованно

задач с фушщлоналышмн начальными условиям в бпкаховпх пространствах.

Пусть ¿(а^-однопаремотрическоо семейство операто-

ров банахового пространства В с общей плотной в В область» спро-лезгая ВсВ и пусть А(а) зависит от параметра а непрерывно, т.е. A(a)f-*A(at )f, а~>а , для V/CD.

Рассмотрим следующую задачу. Найти рвиение уравнения cLY

- = Ala) 11 -t- F(a) , 0 £ а 4 а (13)

cía

удовлотворящегося функциональному (начальному.) условию

сз

то) = 1в0(ит)й1ш

(3

где, F(a), роСи-задашшо интегрируемые функцхл. Следуя введем с.-.адущео определенна.

Сзрэдолэким Оператор ,lfaj в В обладает такими свойствами:

1) Опэратор А замкну? и имеет плотнуи область афедглявы ÍC.lfaJJcfl

2) Суиествует тачоо и», что все к>ш цршодяе&ат резольвентному 'множеству оператора Л(а)

3) функция [Ala) - КГ1 h (X>V), hcB) интегрируема по Бохнору;

4) Существует токсо i/ > О, что для лвоого разбиения ao > at > ал > ап > О

ЗГЛГа^ - ЯГ* f.lCa^; - kl~\..[A(an) - АГ\:|в $ Ч (X - у Г Б) J 1 pfaj fia < е.

о

Лз:~!л: Пусть Ala) обладает свсйстьом IJ-5;. Пусть

Ula) - некоторая непрерывная функция параметра

а со значетшпл a D (Ala)) с В такая, т:о

(IV (IV , .

•*ухссшш —, :t Fia) = — - ин?агг.:;:я-

cíi da

ни uo Boxuepy; 0ofaj - аадашам ч-'jа кн -

тегрируегл по Бохнору. Тогда

Ме ао тах В^Га;!,^- Г ш ¿а, ю> гр, (14)

СКаф_ ао о

I в Р0Ш!я <а

о

Глава II посвящена вопросам разностной аппроксимации -задач с функциональными начальными условиями и ее сходимость, устойчивости схем и погрешности аппроксимации. Показано, что матрица аппроксимирующей задачи идентична хорошо известной матрице Лесли для модельных ■ популяций с учетом возрастной структуры.

Приведем основные результаты данной главы.

В параграфе I второй- главы рассматривается на сетку

Ах= (а4, а,=1х, 1Ю, 1-Ц7п}, а а =Т/т, следувдий

I I . п*1п О " те* 1 * О А

вопросы аппроксимации задачи с функциональными начальными условиями для обыкновенных дифференциальных уравнений:

свг

- = Р(И.а) , 0 < а * I. (15)

00

Н(0) = / В (N(1). V

о

здесь а , а - полокительные числа, а $ а , а < I.

~ тт* тах _ ' . ггхх*" тая

Предположим, что функции Р(Н,а), В(Н,а) непрерывны и ограничены вместе со своими вторыми производными. Уравнение V15; заменяем разностным уравнением по схеме Рунге-Кутта 2-го порядка точности

У1+1 = у<+я[ п~а} а ^ (16)

где а-параметр, У{=«,(а(;. 1-0,1,2,....п. Функциональное начальное условие (9) заменяем с помощью одной из квадратурных формул имешей 2-й порядок точности ("например, формула средних или трапеция):

У0 = £ С( ВСГ(,а1) (17)

где С,- коэф&щенты квадратурной формулы. Введя вектор функцию

/ПЧ= (fJY).....fJY)).

Тогда получим систему нелинейных алгебраических уравнений Y = f (Y) (18)

dft

которая как известно, что при max

dT

J

< 1 имеет единственное

решение. Показано, что решение уравнения (18; сходится в равномерной матрице к решению исходной задачи со скоростью 0(ч2). Заметим, что матрица системы (18) является матрицей типа матрицы Лесли

■ 0.. aoto"' 'Qoio 0 "

a 0 ................ .0

»0

0 a ................ .0

а»................

0 . 0

, где

«Vc

а., - - 2> О

с предельной матрицией:

¿W -

dB dB

0. ..0 — , ..— . ,..0

dH ON

1 0 0.. . 0 . ...0

0 1 0 . a

0 0 ...... .. 1 0

Получено, что собственные значения матрицы А удовлетворяют уравнению

.n-{t , , i« « £»-£о

-а, а а

О t tO 2

а

= о (19)

Так как 0, п = (0,1 н свободный член характеристического

уравнения (19), J=o,п-1, 1=1, п, т.е. матрица А -неви-

розденная.

Аналогичным образом исследованы вопросы разностниЯ аппроксимации и устойчивости схем а также погрешности аппроксимации для следующий уравнений

сОТ da

= F(H,a) + J" ф (На)Л.Щ К(а), 0 < a <

(20)

N(0) = / B(X(t),Vdi , a _ S ci < a a

nn-1

Параграф 2 посвяшен вопросом устойчивости схем для задач (15)-(20) н вычислениям погроиюсти аппроксимации.

В параграфе 3, главы II приведены числе!шые решения рассмотренных: задач для разлшшых модельных данных.

В зшслючение выражаю глубокую благодарность своему научному руководите.:-о М.К.Юнуси за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликовании в следующих работах.

1. Чалилов Хуриед ("Хуршеди Максудзод;, Дар борал халли як масъалаи интегро-дифференциали бо шартхои аввалаи функционала (На тада. языке), Тез.докл.апрел.науч.тоорет.конф. прэф.преп.состава ТГУ, 1992

2. Хуршеди Максудзод (Джалилов Х.М.), Теоремаи мавчудият ва ягонопш халли як масъала бо шарти аввалаи функционала,

Тез.докл.апрел.науч.теорет.конф.проф.проп.состава ТГУ, 1993

3. хурше.пл Максудзод (джалилов Х.Ы.), Н. Шуей, Исследование математических моделей с учетом внутри и межвидовых конкуренции в стационарном случае, Тез. докладов международной конфронцш "Математическое моделирования н вычислительный эксперимент",(28 - 30 ноября 1994 г, Ташкент, стр.375)

4. Хуршеди Максудзод (Дкалилов Х.М.;, М. Юнуси, Решение одной задачи с функциональными начальными условиями, Тез.докл. апрел.науч.георет.конф.проф.преп.состава ТГУ, Душанбе -1994.

5. Хуршеди Максудзод (Джалилов Х.М. Л М. Юнуси, Исследование стационарных моделей с учетом внутри и меквидовых взаимодействий, Известия АН Тадж. N I, 1995г.

^/Х-ЗЛ'РЬ г. заказ 10Т>. Тирс» 100 окг.

Ро^гр'.'кт ТГУ^)уи-пнбв.уя.Лаху»м 2. 18