О сходимости и суммируемости тригонометрических и общих ортогональных рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОДНОМЕРНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

§1. Расходимость сильных Ф-средних рядов Фурье.

§2. Стремление к бесконечности рядов Фурье по плотным подпоследовательностям номеров.

§3. Оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер.

§4. Экспоненциальные оценки оператора Кальдерона-Зигмунда и смежные вопросы рядов Фурье.

§5. Экспоненциальные оценки частичных сумм рядов Фурье по системе Уолша и по переставленной системе Хаара.

Глава 2. КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

§1. Двойное преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье.

§2. О точной оценке роста прямоугольных интегральных средних функции из класса L1 (Rn).

§3. Необхадимое и достаточное условие дифференцируемости интегралов случайных мер по прямоугольникам.

Глава 3. ОБЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

§1. Об эквивалентных ортонормированных системах.

§2. О подсистемах сходимости с логарифмической плотностью номеров.

§3. Оценки частичных сумм общих ортогональных рядов из L2.

В теории ортогональных и тригонометрических рядов важное место занимают вопросы сходимости и суммируемости. Еще в первой половине 20-ого века фундаментальные результаты в этом направлении были получены Д.Е.Меньшовым, А.Н.Колмогоровым, А.Зигмундом, И.Марцинкевичем, С.Банахом, В.Орличем и другими. В дальнейшем теория ортогональных и тригонометрических рядов продолжала бурно развиваться как в СССР так и во многих других странах (Польша, Венгрия, США и др.). Были получены важные теоремы П.Л.Ульяновым, А.М.Олевским, Е.М.Никишиным, С.В.Бочкаревым, Б.И.Голубовым, К.И.Осколковым, Б.С.Кашиным, С.В.Кон-ягиным, К.Тандори и другими. В 1966г. Л.Карлесоном была подтверждена гипотеза Н.Н.Лузина о сходимости почти всюду рядов Фурье из L2. Ранее, еще 1923г., А.Н.Колмогоровым был построен пример, расходящегося почти всюду ряда Фурье.

Остаются открытыми многие вопросы о природе поведения частичных сумм рядов Фурье из L1.

В настоящее время бурно развивается также теория кратных рядов Фурье. Отметим, что многие свойства одномерных рядов Фурье не верны для кратных рядов. Одним из примеров этого факта являются теорема Ч.Феффермана [78], утвеждающая существование непрерывной на квадрате функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду по прямоугольникам, а также результаты С.В.Конягина [32] и Р.Д.Гецадзе [31], о существовании кратного ряда Фурье, расходящегося по мере по прямоугольникам.

В главах 1 и 2 диссертации получены новые оценки о поведении частичных сумм одномерных и кратных рядов Фурье. Некоторые из этих оценок получены как следствие, доказанных в диссертации более общих результатов о дифференцировании кратных интегралов и о свойствах преобразования Гильберта. Получены также оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер.

В главе 3 диссертации мы рассматриваем общие ортогональные ряды. Изучаются вопросы сходимости почти всюду а также сходимости в Lp на множествах большой меры ортогональных рядов из класса L2.

В первых двух параграфах главы 1 мы рассматриваем расходящиеся почти всюду (п.в.) ряды Фурье. Отметим, что история расходящихся тригонометрических рядов Фурье начинается с примера А.Н.Колмогорова. Результаты и задачи этой тематики детально обсуждаются в обзорной статье П.Л.Ульянова [72].

В параграфе 1.1 строится ряд Фурье, сильные свехэкспоненциальные средние которого расходятся п.в. Этот результат обобщает теорему А.Н.Колмогорова и в то же время является решением одной задачи В.Тотика.

Классическая теорема Марцинкевича-Зигмунда (см. [19],[20] а также [2] стр. 275) утверждает, что ряды Фурье сильно р-суммируемы п.в. Точнее, имеет место

Теорема А. Если / £ i1(T) и р> 0, то имеем п.в. к=1

В связи с этим В.Тотиком 1983 г. была поставлена задача: для каких непрерыных возрастающих Ф(£) : [0,+оо) —> [0,+оо), Ф(0) = 0, ряды Фурье сильно Ф-суммируемы п.в., т.е.

1 п lim ~Y*{\Sk(x,f) - f{x)\) =0 п.ъ. (0.1) к=1 при любой / € Х^Т) (см. К.И.Осколков [21])?

Тотик высказал гипотезу, что необходимым и достаточным условием для выполнения (0.1) п.в. является og$(t) = 0(t) (t —У -)~оо). (0.2)

Отметим, что аналогичная задача, о равноменой сходимости средних (0.1) в случае, когда f(x) непрерывна, расматривалась Тотиком ранее в работах [34] и [35]. Он установил, что условие (0.2) необходимо и достатачно для того, чтобы (0.1) выполнялось равномерно при / £ С(Т).

Первый результат в связи с поставленной задачей был получен К. И. Осколковым [21]. Он доказал, что (0.1) имеет место при = O(t/loglog£). В.А.Родин [18] и Л.Д.Гоголадзе [17] установили, что условие (0.2) достаточно для сходимости п.в. средних (0.1) для рядов Фурье и для сопряженных рядов Фурье.

В параграфе 1.1 доказывается, что выполнение условия (0.2) также необходимо для сильной Ф-суммируемости п.в. рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье.

Теорема 1.1.1([91]). Пусть для непрерывной возрастающей функции Ф(£) : [0, +оо) —> [0, +оо),Ф(0) = 0, имеем log ФОР iim sup- = оо. t—>-+оо t

Тогда существует f £ L1(T) такая, что

1 п limsup - $(\Sk(x,f)\) = оо, П к=1 I limsup - y]$(\Sk{x,f)\) = оо п—>оо П' , , к=1 почти всюду на Т.

Перейдя к следующему параграфу, отметим, что согласно примеру Колмогорова неограниченно расходящегося п.в. ряда Фурье существует функция / £ Ь1(Т) такая, что для почти всех х £ Т можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел {nk(x)}'£=1 для которой lim \Snk(x)(xJ) \ = +оо. (0.3) к—>оо

Возникает вопрос: насколько плотной может быть последовательность {тгЦж)} в (0.3)? В параграфе 1.2 строится пример функции, у которой расходимость п.в. проявляется по экстремально плотным номерам частичных сумм.

Точнее доказывается следующая

Торема 1.2.1([93]). Пусть {Hk}^1 последовательность натуральных чисел, для которой lim ^ = 00. (0.4) k—юо к

Тогда существует функция / £ ^(Т) такая, что для п.в. х £ Т можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел {^(ж)}^! со следующими свойствами: пк{х) < Нк, к = 1,2,., lim Sn2k{x)(xJ) = +00, fc-юо lim Sn2kl{x)(xJ) = -00.

00

Из теоремы 1.2.1 вытекает

Следствие 1.2.2. Для любой последовательности еп \ 0 существует функция / <Е ^1(Т) такая, что для почти всех х £ Т и для любого Л > 0 неравенство k£n:l<k<n, | Sk(x,f) - f{x) I > Л} I > enn (0.5) выполняется при п > п(х,Х).

Отметим, что из теоремы Марцинкевича-Зигмунда о сильной р-суммируемости п.в. следует, что величина в левой части (0.5) имеет оценку сверху о(п) п.в. Следствие 1.2.2 показывает, что это наилучшая оценка в классе рядов Фурье функций из L1.

В параграфе 1.3 устанавливается точная оценка роста частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса.

Введем некоторые обозначения. Пусть (Т, т)-вероятностное пространство на окружности, с нормированной мерой Лебега. Обозначим через (А,т) бесконечное произведение вероятностных пространств (Т, т)(определение произведения вероятностных пространств см. [б] стр. 13). Элементом этого пространства в £ А будет последовательность в = где вп £ Т. Рассмотрим меру оо дце = (0.6) г=1 на окружности Т, где - единичная мера в точке а {т.;}- последовательность чисел с условием оо

0<т = 5]|т.;|<оо. (0.7) г= 1

Через Sn(t]d/j,в) обозначим частичные суммы ряда Фурье-Стилтьеса меры dfie

Отметим, что такие меры в неявном виде использовал А.Н.Колмогоров при построении своего знаменитого примера расходящегося п.в. ряда Фурье. В общем виде они рассматривались Каханом в [47] (см. также [6] стр. 164), где приведено новое доказательство теоремы Колмогорова с некоторыми обобщениями. Легко заметить, что обыкновенные ряды Фурье и ряды Фурье-Стилтьеса ведут себя одинаково в многих вопросах сходимости. В частности можно установить, что если для некоторой последовательности шп +оо оценка

Sn(x,f) = о(шп) почти всюду имеет место для любой функции / £ La(T), то для произвольной меры dfio вида (0.6) будем иметь

Sn{x,diio) - о(шп) почти всюду , и наоборот, из второго утверждения следует первое. При этом, рассмотрение случайных рядов Фурье-Стилтьеса имеет свою специфику, так как то или иное свойство проверяется не для всех, а для почти всех рядов.

В [47] Каханом установлена следующая

Теорема В. Пусть Ik +оо-последователъностъ натуральных чисел, а шп +оо удовлетворяет условию шп = o(loglogra). Тогда существует последовательность m.j \ 0 с условием (0.7) такая, что при п.в. в £ А

Sik{x-dfj,e) . limsup- = оо п.в. на 1. (0-oj к —> оо Wfc

Следующий результат, доказанный в параграфе 1.3 устанавливает точную оценку сверху рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер вида (0.6).

Теорема 1.3.2([94]). При условии (0.7) для любой последовательности натуральных чисел при п.в. в £ А имеем

Sik (ж; d/uo) = o(loglog к) п.в. на Т. (0-9)

В связи с (0.9) отметим, что для произвольного ряда Фурье наилучшей известной оценкой сверху является классическая оценка Харди [88] sn(x-f) = o(logTz) п.в. , (0.10) и Зигмундом была поставлена задача о точности логарифма в (0.10) (см. [1], с. 484). Недавно С.В.Конягин [40] сделал существенное продвижение в этом направлении. Им установлена

Теорема С. Если о( / logn ^ ^ у log log п)' то существует функция f £ L1(T); для которой у Sk{x-f) limsup- = оо п.в. ж £ (—7г;7г). к—>оо Vк

Отметим, что до результата Конягина наилучшей известной оценкой снизу была оценка loglogr?. (Чен [81]), которая следует также из теоремы В, и аналогичный результат для системы Уолша с vn = c^ylog п) получен С.В.Бочкаревым в [74].

Отметим также, что Н.Ю.Антонов [87], развивая знаменитый метод Л.Карлесона, доказал, что ряды Фурье функций из класса L log L log log log L сходятся почти всюду. Этот результат является усилением ранее известных теорем Р.Ханта [15] и П.Шелина [33].

Из теоремы С следует, что оценка (0.9), которая имеет место для п.в. в не может выполнятся для всех в. А из теоремы В (см. (0.8)) следует, что в (0.9) оценка o(loglogri) является точной в смысле п.в. в.

Отметим, что теорема 1.3.2 получается как следствие более общих оценок, которые доказываются в параграфе 1.3.

В параграфе 1.4 устанавливаются некоторые оценки оператора Кальдерона- Зигмунда и преобразования Гильберта, которые являются обобщениями ранее известных результатов. Из этих оценок получены новые свойства рядов Фурье.

Если / £ L(Rn), то обозначим ж) = sup — £>0 7Г

Ы ctg у-х\>е У dy

0.11)

Mf(x) = sup™ / \f(t)\dt,

В Эх \-В\ В f#(x) = sup т4т I \f - fBI' ?В = Ш1 в Эх \d\ Jb \±S\ Jb

0.12)

0.13) где В n-мерный шар. Здесь (0.12) есть максимальная функция Харди-Литтлвуда, а функция (0.13) введена Фефферманом и Стейном [25]. С ее помощью можно определить класс В МО, как пространство функций /, с условием £ L°°. Отметим, что при / £ i1(T) каждая из этих функций почти всюду конечна. Это следует из оценок слабого типа для (0.11) и (0.12) ([79],[80]) и неравенства /#(ж) < 2Mf(x).

Задача оценки /(ж) с помощью максимального оператора (0.12) является одной из важных задач в теории сингулярных интегралов и рассматривалась многими авторами (Буркхольдер, Койфман, Ганди, Ч.Фефферман, Стейн, Хант и др.). Эти вопросы подробно рассмотрены в монографии Стейна [41] и обзорной статье Дынькина [7].

Классическая теорема Зигмунда [22] утверждает, что для любой функции / £ L°°(T) имеет место неравенство

1/1

0.14)

Хант в работе [23] установил более общее неравенство, а именно, для любой функции е£х(т)

1:|/»|>Л,М/М<«}|<С1еХр(-^), А>0, s>0. (0.15)

Нами получено следующее усиление этого неравенства: Следствие 1.4.4([99]). Если f <G L(T), то где с\ и С2-абсолютные постояные.

Отметим, что неравенство (0.15), а следовательно и (0.14), вытекают из следствия 1.4.4. Причем, даже для случая / £ L°°(T), неравенство (0.16) сильнее (0.14), так как отношение М/(ж)/||/||^ может быть близко к нулю на множестве большой меры. Так будет если supp/ имеет малую меру. Заметим, что в этих неравенствах экспоненциальную функцию нельзя заменить на функцию, растущую быстрее чем exp ct, даже если / £ I/00. Из неравенства (0.16) следуют также теорема А.Н.Колмогорова([79]), о том, что |/(ж)|р (0 < р < 1) суммируема для любой / £ L1 и неравенство Рисса([28]) f\\p < cp\\f\\p, i<p<oo.

Отметим, также, что для доказательства (0.16) применяется новый подход, который существенно отличается от доказательства неравенства Ханта (0.15).

Оценка (0.16) получается как следствие из следующего более общего неравенства для максимального оператора Кальдерона-Зигмунда Т*/(ж)(см. определение из параграфа 1.4), которое доказывается в том же параграфе.

Теорема 1.4.1 ([99]). Существуют положительные постоянные с, Ъ и d, зависящие от п и Т, такие, что для любой функции / £ L2(Rn) A\fIU- , -exp(-cA), при A > b и 5 > 0.

Из неравенства (0.16) можно получить ряд следствий для рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье.

Зигмунд [22] установил, что если / £ L°°(T), то ( \Sn(x,f)\\ Г ( . J exp ^ci——-J dx < c2, J exp I ci——- ) dx < c2, (0.17) f ( \Sn{x,f) - f{x)\ \ J [ ( \Sn(xJ)-f(x)\\ J J exp -—-J dx1, J explci-—- I dx 1, (0.18) при некоторых абсолютных постоянных с\ и с2.

Найдено обобщение утверждений (0.17) и (0.18) для функций из L1(T).

Теорема 1.4.7([99]). Для любой функции / £ £(Т) имеем ( \Sn(xJ)\\ . [ ( \Sn(xJ)\\

JTехр (,С1 -mjw) 25 иехр г)dx<c2>n=i>2>•••' г<9е ci и С2-абсолютные постояные.

Из этой теоремы очевидно следуют оценки (0.17) и (0.18) , и более того, даже если / £ L°° в них сделается уточнение, а именно везде ||/||оо можно заменить на Mf(x). Известно, что существует функция / £ L1(T), для которой

II Sn{x,f)\\Ll -)• ОО. см. [1] стр. 294 ). Тем не менее, оказывается, что ряд Фурье любой функции / £ i1(T) сходится в некотором пространстве L^(T), с весом w(x) > 0, х £ Т, причем w зависит от функции /. Это получается как следствие из теоремы 1.4.7.

Введем определение множителя сходимости в Ьр для произвольного функционального ряда. Пусть оо дп{х), хб(а,Ь) (0.19) k=1 есть некоторый функциональный ряд определенный на интервале (о, Ь) Неотрицательная функция w(x) > 0 назовем множителем сходимости в Lp(p > 0) для ряда (0.19), если этот ряд сходится в пространстве с весом Ь), т.е. для его частичных сумм

Sn(x) имеем ъ

J \Sn{x) - f{x)\pw{x)dx 0 а для некоторой функции / £ Ъ).

Из теоремы 1.4.7 очевидно вытекает

Следствие 1.4.8([99]). Если /(ж) £ L1 (Т), то для любого р > 0 функция w(x) = (wf(x))P является множителем сходимости в Lp для ряда Фурье и сопряженного ряда Фурье функции f.

Следствие 1.4.9. Пусть 8 > 0-некоторое число. Для любой функции f £ L1{Т) (/ ф 0), существует множество Es.f С Т такое, что

Я5)/| >2тг-Я, ( ,\Sn(xJ)\\ J f ( £\Sn(xJ)\\ J

J exp ^cjo—цу||-Jdx<c2, J ехр I Cxi—|jy||—— I da; < c2, n = 1,2,., lim n—>00 exp(c\Sn(x, f)-f(x)\)-l)dx = 0, lim n—>00

Es,f exp(c\Sn(x, f) - f (x)\) - l)dx = 0,

0.20) где c\ и с^-абсолютные постоянные, а равенства (0.20) выполняется для любого с > 0.

Отметим, что из (0.20) следует сходимость 5п(ж,/) и Sn(x,f) в Lp(Esj)(p > 1) и это дает количественное уточнение того факта, что ряд Фурье сходится по мере.

В параграфе 1.4 установлено также следующее обобщение теоремы Джона- Ни-ренберга [24] об экспоненциальной оценке распределении для функции из класса В МО.

Теорема 1.4.2([99]). Если f € £(Rn) и В С Rn есть некоторый шар, то для любого Л > 1

-/в I ж е В : ж) Л с\В\ ехр(—спЛ).

В параграфе 1.5 устанавливаются аналогичные теоремы 1.4.7, 1.4.8 и 1.4.9 результаты для системы Уолша и для переставленной системы Хаара ([98]).

В главе 2 рассматриваются кратные ряды Фурье и смежние задачи теории дифференцирования интегралов в Rn.

В параграфе 2.1 изучается двумерный аналог некоторых задач, рассмотренных в параграфе 1.4. В частности, устанавливается аналог следствия 1.4.8 для двойных рядов Фурье. Причем методы, использованные здесь, существенно отличаются от методов, которыми мы пользуемся в параграфе 1.4.

Для функции / 6 L1(Tm) обозначим jm 1— 1

1т«Шга / mi(о-21)

Hi— xi\>8i

Функция f(x) называется сопряженной функцией к /. А.Зигмунд в [38] установил, что если / £ LlogLm1(Tm), то /(ж) существует п.в. Л.В.Жижиашвили в работах [62] и [63] доказал, что L log Lm1 (Tm) является точным классом Орлича, для функций которого существуют п.в. сопряженные.

Следующей теореме рассматривается двумерный случай оператора / —/ определенный в (0.21). Применив ее, мы устанавливаем затем ряд новых результатов для двойных рядов Фурье.

Теорема 2.1.1([96]). Для любой функции F Е L\ogL(T2), с F(x,y) > 0, и любого 8 > 0, существует множество £ Т2, [ Es,f !> (27г)2 — S, такое, что для любой измеримой функции f(x,y), удовлетворяющей условию

I f{x,у) |< F(x,y) имеем «к ()1/2<w» < <=»•

J У1 + ||LiogL(T2)/

Теперь сформулируем следствия, которые получены из теоремы 2.1.1.

Теорема 2.1.2([96]). Для любой / £ LlogX(T2) и любого 8 > 0, существует множество Egj € Т2; с | E$j |> (27т)2 — 8, такое, что (CiS \ SN,M{x,y,f) IV/2 J А п Т ы / ехр - dxdy < С2, N,M = 1,2,.

J \ 1 + ||/ ||L log L(T2) / lim f (exp(| f) — f(x,y) I)1/2 — l)dxdy = 0 (0.23)

Отметим, что равенство (0.23) обеспечивает сходимость по мере рядов Фурье функций из LlogL(T2) по прямоугольникам. Если бы (0.23) имело место для функций из некоторого другого класса ф(Ь), то для функций этого класса мы также имели бы сходимость рядов Фурье по мере. С другой стороны из работ С.В.Конягина [32] и Р.Д.Гецадзе [31], [83] следует, что LlogL(T2) является точным классом функций, прямоугольные частные суммы рядов Фурье которых сходятся по мере. Эти факты обосновывают рассмотрение именно класса Llog-L в теореме 2.1.2.

Следствие 2.1.3([96]). Для любых / £ LlogL(T2) и 8 > 0 существует множество Esj £ Т2, | Egj |> (2-7г)2 — 8, такое, что lim (J SN,M{x,y,f) - f{x, у) || lp (Eg f) = 0 nPu любом p > 1.

N,M—>00

Следствие 2.1.4([96]). Пусть Nk,Mk оо, к = 1,2,., произвольные последовательности натуральных чисел. Тогда для любой функции / £ LlogL(T2)

SNk,Mk{x,y,f) = o(log2fc) п.в. при k -f оо. (0.24)

Следствие 2.1.5. Пусть для последовательности {tOij > 0} оо

У^ ехр(—dy/uij) < оо (0.25)

Ы = 1 для некоторого d > 0. Тогда для любой последовательности Nk оо, Nk £ N, к = 1,2,., и для каждой f £ ZlogZ/(T2)

Sn{,Nj {x, у, /) = o(ivi:j) п.в. при тт(г, j) оо. (0.26)

Пусть = log г log j. Легко проверить, что для некоторого d > 0 выполняется (0.25). Поэтому из (0.26) получаем

Следствие 2.1.6. Для любой последовательности Nk —> оо, Nf. £ N, к = 1,2,., и для каждой / £ L log £(Т2)

SN,,Nj (x,y,f) = o(logilogj)) п.в. при min(z, j) оо. (0.27)

В связи с оценкой (0.27) отметим, что Шелин в [33] доказал, что

5Чм(ж,?/,/) = o(log(min(A/",M))) п.в. для любой функции / £ Lp(Т2), р > 1.

Отметим также, что К.И.Осколков в работе [16] в одномерном случае доказал оценки аналогичные (0.24) и (0.22).

В параграфе 2.2 найдена точная оценка ростов прямоугольных интегральных средних интегрируемых на R" функций, из которой получены новые оценки для частичных сумм кратных рядов Фурье.

Напомним следующее максимальное неравенство Иессена-Марцинкевича-Зигмунда (см. [82] или [5] стр. 50): Для любой функции / £ L( 1 + logL)n1 (Rra) x £ Rn : Mf(x) > A}| < / 1/1(1 +log+|/|r-\ A > 0

A J R" где

Mf(x) = sup^r / 1/1,

1Эх \-l | JI есть максимальная функция по n-мерным интервалам I.

Из этого неравенства следует, что базис интервалов в Rn дифференцирует интегралы J / почти всюду на Rra для любой функции / £ Llnn1 L(Rre) (п > 2), т.е.

1 [ lim -—г / f(t)dt = f(x) почти всюду на Rn. rf(I)—\I\ J ' I

С другой стороны, Сакс построил пример функции / £ L1(RTl), интеграл которой не дифференцируется по прямоугольникам всюду на Rn (см. [36] или [5] стр. 92), и более того

1 f limsup — / f[t)dt = +оо для любого х £ Rn. с1{1)^0,1Эх \Ц /

Причем, доказательство Сакса позволяет выбрать функцию / из класса ф(Ь), если ф(Ь) растет медленнее чем £logn t. Это означает, что Llogn L есть точный класс

Орлича, интегралы функций которого дифференцируются по прямоугольникам почти всюду. Возникает естественный вопрос об оценке роста интегральных средних I для любой функции / £ L1(R") при d(I) —>• 0. Нами получена точная оценка роста этих величин п.в. Пусть функция

Ф(*1,.,*п1) : (О,*)""1 [0; +оо) (0.28) убывает по каждой переменной ti,i = 1, .,n — 1 (0 < 8 < оо) и f dt\.dtn-i

0,7]"-! +oo (0.29) для некоторого 7 < 8. Для данного гг-мерного интервала I через (I)1, (/)2,., (1)п обозначим стороны этого интервала. Будем рассматривать максимальную функцию

M*f{x) = sup |П(ЬП,П1|1 ,/Пп1П / \f[t)\dt, 1ЭхЯ(1)<7 M^lK7) l»-> l(J) I) J где /-интервал в R*\

Теорема 2.2.1([97]). Если функция (0.28) удовлетворяет условию (0.29), то максимальная функция M$f(x) имеет слабый тип (1.1), т.е. для любой функции / £ L1(R"') имеем х £ Rre : М#/(ж) > А}| < у ll/b^R"), (0.30) при А > 0.

Теорема 2.2.2([97]). Если не выполняется (0.29), то существует функция f £ L1(Rn),/ > 0, такая, что limsup , Т,ЖП,Т,, ,-гтт^-ПТ I f(t)dt = +00 для любого х £ Rn.

Отметим, что частичное обобщение теоремы 2.2.1 недавно получено Г.Лепсвери-дзе в [42] и [43]. В частности, в двумерном случае установлено неравенство типа (0.30) для класса Орлича <^(L)(R2), который находится между LlogL(R2) и L(R2). Установлены также аналогичные оценки для максимальной функции по двоичным интервалам. А в тг-мерном случае рассмотрены максимальные функции типа (0.30), где Ф зависит не от длин сторон интервала 7, а от отношений длин сторон.

Пусть ., (/)" стороны интервала I С Rn в порядке возрастания длин, т.е.

1(/)11>->1№

Следствие 2.2.3([97]). Пусть для Ф выполняется (0.29). Тогда для любой функции / £ X1(Rn) имеем

Щ J / = о(Ф(|(/)^,.,|(/)Г1|), при I почти всюду на Rn.

Предположим ф(т) : (а, +оо) —> [0,+оо) есть возрастающая функция с условием

1/а f dr <00. (0.31) т о ф(1/т)

Пусть ш = (mi,m2,.,mn) G Zn, Sm(x, /)-прямоугольная частичная сумма ряда Фурье функции / £ Т71), а сгm{x,f) и f(r, ж), где г = (п,., гГ1), 0 < г; < 1, соответственно, средние Фейера и Пуассона. Для любого к = (к\,., кп) £ Z" пусть есть перестановка чисел ki,.,kn в возрастающем порядке [к^ < . < /г*), и m(A;) = mini<i<?l к{. Справедливы следующие оценки.

Следствие 2.2.4([97]). Для любых / £ Х1(ТП) и ф с условием (0.31) имеем п-1 crk(x,f) = о J^J ф(к*) I п.в. при т{к) —> +оо. (0.32) п-1

Sk{xJ) = о Y[logmt Ф{к*) I п.в. при т[к) —)► +оо. чг=1 1=1 п-1 f(r, х) = о ( ТТ ф ( - ] | п.в. при min {гЛ —> 1. (0.33)

Из следующего утверждения вытекает, что оценки (0.32) и (0.33) неулучшаемы.

Следствие 2.2.5([97]). Если интеграл в (0.31) неограничен, то существует / £ i1(Tn) такая, что v ak{x,f) hmsup -=- = +00 всюду на 1 ,

Т-ТП —1 //, \ f ' m(*)-*00 ф(кг) f ( V X ) lim sup ---— = +00 всюду на Tn.

Как уже отмечалось, из теорем Йессена-Марцинкевича-Зигмунда и Сакса следует, что L\ogn lL является точным классом Орлича, интегралы функций которого дифференцируются по прямоугольникам почти всюду в Rn.

В параграфе 2.3 мы рассматриваем аналогичную задачу для случайных мер на единичном те-мерном кубе. Отметим, что такие меры в одномерном случае нами были рассмотрены в параграфе 1.3 в задачах оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса.

Введем некоторые обозначения. Пусть (fin,u;n), (n > 1) бесконечное произведение вероятностных пространств, каждое из которых-единичный куб In £ RТ1(/ = (0,1)) с мерой Лебега. Для каждой точки в = $25 • • •) € где 6i £ In, определяем меру на Г: dpe = Е CiS^i ■ г=1

Здесь ^-единичная мера, сосредоточенная в точке 6L £ /"', а последовательность с = удовлетворяет условию оо

Ci|<oo. (0.34) i=1

Для каждой точки х = , х2,. ■. , хп) £ 1п рассматриваются средние щ J d/j>e, J Эх, где J С In есть п-мерный интервал.

Устанавливается необходимое и достаточное условие на последовательность {cj}?^ для того, чтобы при почти всех в £ имело место соотношение

If lim -—г / due = 0 для п.в. х £ 1п. d(J)->0,J9* \J\ Jj

Обозначим Ап = On x /"'. Точкой в Дге будет пара (в,х), где в £ Пи и ж £ Г\ Определим максимальную функцию меры dji$

M(dfi$,x) = sup т^— j \d(j,#\, Jz!X \ J I J j где J-n-мерный интервал, a |dpLq\ = ^ [c;j8${. Имеет место следующая

Теорема 2.3.1. Пусть п > 2 и последовательность {ci}?^ удовлетворяет условию оо log"-1 — < оо. (0.35)

Тогда

00 I I / А \

0,ж) £ Ди : M(dfj,0,x) > А}| ^ Е А V1 +10§Г1"1 НУ для любого А > О, где dn > О-некоторая постоянная.

Следующие две теоремы дают необходимое и дастаточное условие, о котором мы говорили выше. Причем, первую из них можно вывести из теоремы 2.3.1.

Теорема 2.3.2([92]). Если п > 2 и последовательность {с^}?^ удовлетворяет условию (0.35), то для п.в. в £

1 Г lim — / dfi0 = 0 при п.в. х £ 1п. d(J)-*0,jBx \ J\ Jj

Теорема 2.3.3([92]). Если п > 2 и последовательность с условиями

0.34) такова, что Ci > 0 и

ОО J

Vcilog"-1 — = ОО, Ci г=1 mo для п.в. в £ ГР имеет место соотношение

1 /• lim — / dug = +оо при п.в. х £ I71.

J| Jj

Теперь сформулируем следствия этих теорем для кратных рядов Фурье-Стилтьеса. Для данного т = (тi,. ,тп) £ Z™ обозначим через am(dfie,x) средние Фей-ера ряда Фурье-Стилтьеса меры d/iв

Следствие 2.3.4. Если п >2 и {с;}?^ удовлетворяет условию (0.35), то для п.в. в £ Qn имеем lim am{djiQ,x) = 0 при п.в. х £ 1п. min m; —>00

Следствие 2.3.5. Если п > 2 и последовательность с условиями (0.34) такова, что С{ > 0 и оо J

Vcilog™"1 — = ОО, а t=i то для п.е. 0 £ Г271 имеет место соотношение limsup crm(dfj,e,x) = +оо при п.в. х £ 1п. min т; —>оо

Аналогичные результаты верны также для средних Абеля.

В парграфе 3.1 рассматриваются общие ортонормированные на (0,1) системы. Хорошо известна теорема Меньшова-Радемахера ([45], [46], см. также [11] стр. 291).

Теорема D. Последовательность log2 п является множителем Вейля для любой ортонормированной системы . определение множителя Вейля см. в начале параграфа 3.1). В той же работе [45] Меньшовым доказана

Теорема Е. Существует ортонор мир о ванная система {</>п(ж)}^1 х такая, что для любой возрастающей последовательности шп = o(log п) существует расходящийся п.в. ряд оо

0.36)

71=1 коэффициенты которого удовлетворяют условию оо

Е < ОО. (0.37) п= 1

Из теорем D и Е следует, что log2 п является точным множителем Вейля для некоторой ОНС.

А.Н.Колмогоров и Д.Е.Меньшов [54] доказали, что при шп = o(logn) существует ОНС {фп(х)} с \фп(х)\ = 1, такая, что ряд (0.36) расходится п.в. для некоторой последовательности {ап} с условием (0.37). Далее Д.Е.Меньшов ([52], [53]) обобщил теорему Е, доказав аналогичный результат с дополнительными условиями над {фп(х)}. Соответственно, было установлено, что {фп(х)} может быть ортонормированной системой полиномов ограниченной в совокупности (см. [53]), или же может удовлетворять условию \фп{х)\ < 1 + е(е > 0) (см. [52]).

Б.С.Кашиным в работе [55] установлена

Теорема G. Существует ортонормированная система {фп{с \фп(х)\ = 1, п — 1, 2,. для которой log" п является точным множителем Вейля.

К.Тандори было предложено более простое доказательство теоремы Сив работах [48]-[51], [60], [84] им рассмотрены разные задачи, смежные к данному вопросу. Напомним некоторые определения из работы [60].

Для данного числа 1 < К < оо обозначим П(К) класс ортонормированных на (0,1) систем ф = {фп{хУ)^=1, для которых фп{х)\<К, х £ (0,1), п = 1,2,.

Из определения следует

1) С ЩКг) С П(К2) С Щоо) (1 < Кг < К2 < оо).

Здесь fi(oo) есть класс всех ортонормированных систем на (0,1), а в случае ф £ ^(1) имеем \фп(х)\ = 1 п.в.

Обозначим через М{К) класс последовательностей а = {on}^L1 £ Z2, для которых ряды оо

Y апфп{х)

71= 1 сходятся п.в. для каждой системы ф £ £1(К).

Для данной последовательности а = {а^ обозначим

2 Л 1/2 sup 2\ акфк{х) dx п /

Пусть Л = {Ап} возрастающая последовательность с Ап —оо. Обозначим через М(\]К) класс последовательностей а = {an}^L1 £ для которых равенство

1 п lim — У^ акфк(х) = О гг^оо Ап ^ выполняется п.в. для каждой системы ф £ £1(К) и определим о;А';А|| = sup I ( sup [ ~ V] акфк(х) ) dx ФеП(К) J о п \лп у

1/2

Следующие теоремы доказаны К.Тандори, соответственно, в работах [48], [49], [51] и [84].

Теорема Н. Для каждого К, 1 < К < оо, имеет место равенство М(К) = М( 1).

Теорема F. Для любого числа К, 1 < К < оо; существует положительное число С [К) такое, что для каждой последовательности а = {«п}^^ выполнено неравенство щК\\ < С{К)\\а- 1|[.

Теорема К. Для любого числа К, 1 < К < оо, имеем М(А; /Г) = М(А; 1).

Теорема L. Для любого 1 < К < оо существует число С (К) > 0 такое, что для каждой последовательности а = {ап}п=i выполнено неравенство a;if;A||<C(in||a;l;A||.

В параграфе 3.1 доказывается следующая

Теорема 3.1.1([100]). Пусть заданы ОНС {фп{х)}^=1, х £ (0,1), и число К > 1, причем фп{х)\<К, п = 1,2,. Тогда существует ОНС {Tpn(x)}^=1 с условием фп{х)\ ЕЕ 1, П = 1,2,---для которой справедливы следующие утверждения:

1) для любой последовательности а = {а/с}^-! € I2 множества сходимости рядов совпадают п.в., при этом г1

С\ / sup

Jo п акфк{х) U Y акфк(х), к=1 к = 1

71 71 2

Y акфк{х) f1 dx< sup Y акФк{х) dx fc=l Jo П k= 1 с2К / sup

Jo п акфк{х) к=1 dx, где > 0 и с2 > 0 абсолютные постоянные.

2) для любых последовательностей а = £ I2 и \п +оо

1 / п п \ lim акфк{х) -2KY акфк{х)\ =0 п.в. ма(0,1), п.—^оо I ' J ^—^ I к = 1 к=1 при этом

С1 / sup —

Jo П Art fe=i dx< sup —— Jo П*

У^акфк{х) к=1 dx f1 1 < c2K / sup —

JO n ЛТ1 к=1 dx, где Ci > 0 и c2 > 0 абсолютные постоянные.

Отметим, что из утверждения 1) теоремы 3.1.1 следуют теоремы G, Н и F, а из 2) вытекают теоремы К и L. Причем, чтобы вывести теорему G, надо учесть также вышеупомянутые результаты Меньшова о существовании равномерно ограниченной ОНС с точным множителем Вейля log п.

Ортонормированную систему функций {■фп(х)}^>=1, х £ (0,1), назовем системой сходимости, если всякий ряд

Yani>n{x), с Yan < п= 1

71=1 сходится почти всюду на (0,1).

Отметим, что каждая система сходимости Ф = {фп(порождает оператор мажоранты частичных сумм : I2 —> Ь°(0,1):

5"|,(а) = 5ф(а,ж) = sup

1<ЛГ<оо N

У" апфп(х)

71=1

Этот оператор играет важную роль в задачах сходимости рядов почти всюду. Например, если оператор 5| ограничен в Lp(0, 1) при некотором р > 0, то система Ф является системой сходимости (см. например [69] стр. 307). Известно, что системы Радемахера, Хаара, Уолша и тригонометрическая система являются системами сходимости, более того, их операторы мажорант ограничены в L2(0,1) (см. работы

67],[14],[68]).

С другой стороны известны примеры ОНС сходимости мажоранты частичных сумм которых достаточно "плохие". В частности, известны следующие результаты: Теорема М (Олевский A.M., [69]). Существует ОНС сходимости Ф = {фп{х)}^=1, х £ (0,1), такая, что для некоторой последовательности а = ^ 2

Sl{a) £Up>oLp(0,l).

Теорема N (Кашин Б.С., [70]). Существует определенная на (0,1) ОНС сходимости Ф = {</>п(ж)}^2 такая, что для любого множества Е С (0,1) с \Е\ > О

S%{a)tI?{E) при некотором, зависящем от множества Е элементе а = {ап} £ I2.

Следующая теорема показывает, что тем не менее для систем сходимости оператор мажоранты частичных сумм обладают некоторой оценкой.

Теорема Р (Никишин Е.М., [71]). Пусть ОНС Ф = {фп{х)}™= 1; ж £ (0,1),-система сходимости. Тогда для каждого е > 0 найдутся множество Ее £ (0,1) с \Ее\ > 1 — е и постоянная се > 0 такие, что оо ж £ Е£ : 5ф(о, х) > у}I < с£-—т— У для любой последовательности а = {ата} £ I2 и любого у > 0.

Известен следующий классический результат Менынова-Марцинкевича (см. [56], [58] или [64] стр. 352).

Теорема Q. Для любой ортонормированной системы (ОНС) Ф = х £ (0,1), существуют номера п\ < < . . такие, что подсистема Ф = {фПк{х)} является системой сходимости, и более того, оператор мажоранты частичных сумм Sy ограничен в Ь2(0,1), т.е.

5^(a)||L2 < с]|а||2 для любой последовательности а = {ап} £ I2.

В работе [65] Г. Беннетом была поставлена следующая задача: существует ли последовательность чисел {гк}ь°=1 такая, что для любой ОНС {фп{х)}пLi можно извлечь ПОДСИСТему СХОДИМОСТИ {Фпк{х)}^=1, ДЛЯ КОТОрОЙ liirifc-^oo Пк/Тк = 0?

В работе [66] Б.С.Кашиным был дан положительный ответ на эту задачу. Им установлена следующая

Теорема R. Из произвольной ОНС {фп(х)}^=1 можно извлечь подсистему сходимости {фПк} с пи < Rk, к = 1,2,., где Ri = 3, Rk+i = (-Rjfe)v ^ = 1,2,. причем оператор мажоранты частичных сумм этой подсистемы ограничен в L1(0,1)

В той же работе [66] Б.С.Кашин поставил следующую задачу: можно ли в формулировке теоремы R условие пк < Rk заменить на < к1+е (для любого е > 0). В параграфе 3.2 доказывается следующая

Теорема 3.2.1. Пусть х £ (0,1),- произвольная ОНС и А > 1.

Тогда существует подсистема сходимости {Ф = фПк{х)}к=1 с

Пк < Хк, к > к\, для которой выполнены следующие условия

1) оператор мажоранты системы Ф ограничен в £р(0,1) для любого р, 1 < р < 2, т.е. a)IUf(o,i) < ср|1а!Ь (1 < р < 2), где ср = 0

2) для любого е > 0 существует множество Ее С (0,1) с \Ее\ > 1 — е такое, что причем d£ = О •

Аналогичная теорема без условий 1) и 2) ранее нами была доказана в работе [90]. Отметим, что тематика оценки плотностей "хороших" подсистем данной ортонорми-рованной системы довольно актуальна: Б.С.Кашин ([66], [11] стр. 328), И.Агаев ([75], [76]), Ж.Бургейн ([77], [85]) и у автора ([101], [102], [90]).

В параграфах 1.4 и 1.5 мы получили экспоненциальные интегральные оценки для частичных сумм рядов Фурье по тригонометрической системе, по системе Уолша и по переставленной системе Хаара на множествах большой меры (см. следствия 1.4.9 и 1.5.3). В параграфе 3.3 изучается аналогичная задача для общих ортогональных систем. Причем рассматриваюстя ряды Фурье функции из L2.

Пусть {0п(ж)}^=1, х £ (0,1),-некоторая ортонормированная система. Рассмотрим ряды с коэффициентами из 12 оо оо апфп{х), ]Ра2<оо. (0.38)

71=1 71=1

Обозначим частичные суммы ряда ((0.38) через N

SN(x) = Y апфп{х), N = 1,2,.

71,= 1

Известно, что ряд (0.38) сходится в L2 и, следовательно, сходится в любом пространстве Lp при 1 < р < 2. Однако, если сумма ряда (0.38) не принадлежит пространствам Lp при р > 2, то ряд (0.38) не сходится ни в одном Lp (р > 2). Оказывается, что на множествах с мерой близко единице имеет место сходимость любого ряда (0.38) в Lp при любом р > 1 и это следует из следующей теоремы, доказанной в параграфе 3.3.

Теорема 3.3.1 ([95]). Для любого ортогонального ряда (0.38) с коэффициентами из Р и любых чисел 0<е<1,0<сг<|, существует множество Ее,а С (0,1), \Е£:а\ > 1 — е, такое, что ( ( У^Л, sup / ехр се а --7- \ dx < 2,

V Ki^ZrO ' ) J где с£iм-положительная постоянная.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [91]-[100]. Автор выражает глубокую благодарность профессору Б.С.Кашину за внимание к работе.

1. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т.1, Москва, "Мир", 1965.

2. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т.2, Москва, "Мир", 1965.

3. Бари Н.К., Тригонометрические ряды, Москва, "Физматгиз", 1961.

4. Гарнетт Дж., Ограниченные аналитические функции, Москва, "Мир", 1984.

5. Гусман М., Дифференцирование интегралов в Rn, Москва, "Мир", 1978.

6. Кахан Ж.-П. Случайные функциональные ряды,Москва , "Мир", 1973.

7. Дынькин Е.М. Методы теории сингулярных интегралов, Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, т. 15, 197-292.

8. Стейн И., Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Москва, "Мир", 1973.

9. Жижиашвили JI.B. , Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа , Тбилиси, Изд-во ун-та, 1983, с. 61.

10. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А., Ряды и преобразования Уолша, Москва, "Наука", 1987.

11. Кашин Б.С., Саакян А.А., Ортогональные ряды, Москва, "Наука", 1984.

12. Kolmogoroff A.N., Une serie de Fourier-Lebesque divergent presque partout , Fund. Math., 1923, 4, 96-97,

13. Stein E.M., On limits of sequences of operators , Ann. Math. 1961, 74 , 140-170,

14. Carleson L., On convergence and growth of partial sums of Fourier series, Acta Math., 1966, 116 , 135-157,

15. Hunt R.A., On the convergence of Fourier series in orthogonal expansions and their continous analogues, Southern Illinois University Press, 1968, 235-256,

16. Осколков К.И., Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций, Труды МИАН., 1985, 167, 239-260,

17. Гоголадзе Л.Д., О сильной суммируемости почти всюду, Матем. сб., 1988, 135, 158-169,

18. Rodin V.A., The space ВМО and strong means of Fourier series, Ann. Math., 1990, 16,291-302,

19. Marcinkiewicz J., Sur la sommabilit.ee forte des series de Fourier, J. London Math. Soc., 1939, 14, 162-168,

20. Zygmund A., On the convergence and summability of power series on the circle of convergence, Proc. London Math. Soc., 1941, 47, 326-350.

21. Осколков К.И., О сильной суммируемости рядов Фурье, Труды МИАН., 1985, 172, 280-290.

22. Zigmund A., Sur les functions conjuguees, Fund. Math., 1929(49), 284-303.

23. Hunt R.A., An estimate for conjugate function, Studia math., 1972,v. 44, 4, 371-377.

24. John F., Nirenberg L., On functions of bounded mean oscilation, Comm. Pure Appl. Math., 1961, 14, 415-426.

25. Fefferman Ch., Stein E.M., Hp spaces of several varables, Acta Math., 1972, 129, 3-4.

26. Calderon A.P., Zigmund A., On the existance of certain singular integrals, Acta Math., 1952, 88, 85-139.

27. Kotlar M.A., Unified theory of Hilbert transforms and ergodic theory, Rev. Mat. Cuyana, 1955, 1, 105-167.

28. Riesz M., Sur les function conjuguees, Mathematische Zeitschrift, 1927, v.27, 214-244.

29. Paley R., A remarkable series of orthogonal functions, Proc. London Math. Soc., 1932, v. 34, 241-279.

30. Watari C. On general Walsh-Fourier series-I, Proc. Japan Acad., 1957, v. 73, 8, 203-208.

31. Гецадзе P.Д., О расходимости кратных рядов Фурье, Сообщ. АН Груз. ССР, 1986, т. 122, No 2, 269-271.

32. Конягин С.В., О перестановках функций и расходимости рядов Фурье по кубам, Труды МИАН СССР, 1989, т.189, 98-109.

33. Sjolin P., Convergence almost everywhere of sertain singular integrals and multiple Fourier series, Arkiv for mat., 1971, v.9, 65-90.

34. Totik V., Notes on Fourier series strong approximations, Journ. of App. Theory, 1985, v. 43, 105-111.

35. Totik V., On the strong approximation of Fourier series, Acta Math. Acad. Sci Hung., 1980, v. 1-2, 157-172.

36. Saks S., Remark on the differentiability of the Lebesgue indefinite integral, Fund. Math., 1934, v. 22, 257-261.

37. Плеснер А.И., О сопряженном тригонометрическом ряде, Докл. АН СССР, 1935, т. 4, 747-755.

38. Zigmund A., On the boundary values of functions of several complex varables, Fund. Math., 1949, 36, 207-235.

39. Hardy G.H., Wright E.M., An introduction to the theory of numbers (Oxford 1954).

40. Конягин С.В., О всюду расходящегося тригонометрического ряда Фурье, Мат. Сборник, 2000, т. 191, 1, 97-120.

41. Stein Е.М., Harmonic Analysis: Real-Variable Metods, Orthogonality, and Oscilatory Integrals, Princeton Univ. Press, 1993.

42. Lepsveridze G., Weak type maximal inequality and the rate of growth of integral means, Georgian Math. Journ., 2000, v. 7, 531-550.

43. Lepsveridze G., On growth order of rectangular means of summable functions, Proc A.Razmadze Math. Inst., 1999, 121 , 89-107.

44. Кусис П., Введение в теорию пространств Нр, Москва, "Мир", 1984.

45. Меньшов Д.Е., Sur les series de functions orthogonales 1, Fund. Math., 1923, v. 4, 82-105.

46. Rademacher H., Einige satze uber Reihen von allgemeinen Orthogonalfunctionen, Math. Annalen, 1922, 87, 111-138.

47. Kahane J.P., Sur la divergence presque sure presque partout de certaines series de Fourier aleatoies, Annales Univ. sci. Budapest, 1960-61, 3-4, 101-108.

48. Tandori K., Uber baschrankte orthonormierte Systeme, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1978, v. 31, 279-285.

49. Tandori K., Gewisse Abschatzungen uber beschrankte orthonormierte Systeme, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 1979, v. 34, 85-90.

50. Тандори К., Об ограниченных ортонормированных системах функций, Труды МИАН, 1983, т. 164, 169-179.

51. Tandori К., Uber die Mittel von orthogonalen Funktionen, Acta Math. Hung., 1984, v. 44, 141-156.

52. Меньшов Д.Е., Sur les series de functions orthogonales bornees dan leur ensemble, Мат. сборник, 1938, т. 3, 103-120.

53. Меньшов Д.Е., Sur les multiplicateurs de convergence pour les series de polynomes orthogonaux, Мат. сборник, 1939, т. 6, 27-52.

54. Колмогоров А.Н., Д.Е.Меньшов, Sur la convergence des series de functions orthogonales, Math. Z., 1927, v. 26, 432-441.

55. Kashin B.S., On Weyl's multipliers for almost everywhere convergence of orthogonal series, Anal. Math., 1976, v.2, 249-266.

56. Меньшов Д.E., Sur la convergence et la sommation des series de functions orthogonales, Bull. Soc. Math, de France, 1936, v. 64, 147-170.

57. Меньшов Д.Е., Суммирование рядов по ортогональным функциям линейными методами, Изв. АН СССР (сер. Математика), 1937, 203-230.

58. Marcinkiewicz J., Sur la convergence des series orthogonales, Studia Math., 1936, v. 6, 39-45.

59. Hobby C.R., Rice J.R., A moment problem in ^-approximation, Proc. Amer. Math. Soc., 1965, v. 16, No 4, 665-670.

60. Тандори К., О системах знаков, Успехи Мат. Наук, 1985, т. 40, 4, 105-108.

61. Геворкян Г.Г., Некоторые теоремы о безусловной сходимости и мажоранте рядов Франклина и их применение к пространствам, Труды МИАН, т. 190, 1989, 49-74.

62. Жижиашвили JI.B., Сопряженные функции и тригонометрические ряды, Тбилиси, ТГУ, 1969.

63. Жижиашвили JI.B., О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов рядов, Успехи мат. наук, 1973, т. 28, 2, 65-119.

64. Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, 1958, Москва, "Физмат-гиз".

65. Bennett G., Lecture on matrix transformation of /p-spaces, Notes in Banach spaces (ed. H.E. Lacey). Austin. University of Texas Press. 1980.

66. Кашин B.C., О выборе подсистемы сходимости из данной ортонормированной системы, Успехи мат. наук, 1985, т. 40, 2, 181-182.

67. Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Functionen systeme, Math. Annalen, 1910, v. 69, 331-371.

68. Hant R.A., On the convergence of Fourier series, Proceedings of the Conference on Orthogonal Expantions, Carbondale, 1968, 81-116.

69. Олевский A.M., Об одной ортонормальной системе и ее применениях, Мат. сборник, 1966, т. 71, 3, 297-336.

70. Кашин Б.С., О некоторых свойствах ортогональных систем сходимости, Труды МИАН, 1977, т. 143, 68-87.

71. Никишин Е.М., Резонансные теоремы и надлинейные операторы, Успехи мат. наук, 1970, т. 25, 6, 129-191.

72. Ульянов П.JI., А.Н.Колмогоров и расходящиеся ряды фурье, Успехи Мат. Наук, 1983, т. 38, 4, 51-90.

73. Неве Ж., Математические основы теории вероятностей, Москва, "Мир", 1969.

74. Бочкарев С.В., О проблеме гладкости функций, ряды Фурье-Уолша которых расходятся почти всюду, ДАН, 2000, 371, 4, 730-733.

75. Agaev I., Lacunary subsets of orthonormal sets, Analysis Math., 1985, v. 11, 283-301.

76. Агаев И., О выборе подсистем сходимости из данной ортонормированной системы, Сообщ. АН ГССР, 1986, т. 121, 1, 45-48.

77. Bourgain J., Bounded orthonormal systems and the A(p)-set problem, Acta Math., 1989, v. 162, 227-245.

78. Fefferman Ch., On the divergence of multiple Fourier series, Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v.77, 2,191-195.

79. Колмогоров A.H., Sur les functions harmoniques conjuguees et les series de Fourier, Fund. Math., 1925, 7, 24-29.

80. Hardy G.H., Littlewood J.K., A maximal theorem with function-theoretic applications, Acta Math., 1930, v. 54, 81-116.

81. Chen Y.-M., A remarkable divergent Fourier series, Proc. Japan Acad., 1962, v. 38, 6, 239-244.

82. Jessen В., Marcinkewicz J., Zygmund A., Note on the differentiability of multiple integrals, Fund. Math., 1935, v. 25, 217-234.

83. Гецадзе P.Д., О расходимости по мере общих кратных ортогональных рядов Фурье, Труды МИАН, 1989, т. 190, 75-87.

84. Tandori К., Uber die Mittel von orthogonalen Funktionen II, Acta Math. Hung., 1985, v. 45.

85. Bourgain J., On A(p)-subsets of squares, Isrel Jour, of Math., 1989, v. 67, 3, 291-311.

86. Яглом A.M., Яглом И.М., Неэлементарные задачи в элементарном изложении, Москва, "Гостехиздат", 1954.

87. Antonov N.Yu., Convergence of Fourier series, East J. Approx., 1996, v. 2, 187-196.

88. Hardy G.H., On the summability of Fourier's series, Proc. London Math. Soc., 1913, v.12, 365-272.

89. И.М.Дьяченко, Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов, Успехи мат. наук, 1992, т. 47, 5, 99-162.

90. Карагулян Г. А., О выборе подсистемы сходимости с логарифмической плотностью из произвольной ортонормированной системы, Мат. сборник, 1988, 1, 41-55.

91. Карагулян Г.А., О расходимости сильных Ф-средних рядов Фурье, Изв. АН Армении, сер. "Математика" 1991, т. 26, 2, 159-162.

92. Карагулян Г.А., Необходимое и достаточное условие дифференцируемости интегралов случайных мер в Rn по тг-мерным интервалам, Мат. заметки, 1991, т. 49, 4, 63-68.

93. Karagulian G.A., On the convergence to infinity of Fourier series along dense subsequence of numbers, Analysis Mathematica, 1992, v. 18, 4, 249-259.

94. Карагулян Г.А., О порядке роста o(loglogn) частичных сумм рядов Фурье-Стил-тьеса случайных мер, Мат. сборник, 1993, т. 184, 1, 15-40.

95. Карагулян Г.А., О сходимости в Lp ортогональных рядов на множествах почти полной меры, Изв. НАН Армении, сер. "Математика", 1994, т. 29, 2, 59-66.

96. Карагулян Г.А., Преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье, Мат. сборник, 1996, т. 187, 3, 55-74.

97. Karagulian G.A., On the growth of integral means of functions from East Journal on Approx., 1997, v. 3, 1, 1-12.

98. Карагулян Г.А., Экспоненциальные оценки частичных сумм рядов Фурье по системе Уолша и по переставленной системе Хаара, Изв. НАН Армении, 2001, 4.

99. Карагулян Г.А., Экспоненциальные оценки оператора Кальдерона-Зигмунда и смежные вопросы рядов Фурье, Мат. заметки, 2002, 3,

100. Карагулян Г.А., Об эквивалентных ортонормированных системах, Изв. АН Арм. ССР, сер. "Математика" 1987, т. 22, 5, 510-513.

101. Карагулян Г.А., О подсистемах сходимости произвольной ортонормированной системы, Acta Sci. Math., 1988, v. 52, 373-386.

102. Карагулян Г.А., О выделении подсистем безусловной сходимости из ортонормированных систем некоторого класса, Докл. АН Арм. ССР, 1986, т. 82, 3, 112-115.