Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве Lp[a,b] тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО «ХАКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Ф. КАТАНОВА»

На правах рукописи УДК 517.52

КУДРЯВЦЕВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ

ЧЕЗАРОВСКАЯ СУММИРУЕМОСТЬ ОТРИЦАТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА РЯДОВ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь [а,ь\

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АБАКАН 2004

Диссертация выполнена в ГОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н.Ф. Катанова»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор Сурвилло Г.С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Носков М.В. кандидат физико-математических наук, доцент Шлапунов А.А.

Ведущая организация: Томский государственный университет,

г. Томск

Защита состоится «11» июня 2004 года в «12» часов на заседании диссертационного совета Д 212.099.02 в Красноярском государственном i

университете по адресу 660041, г. Красноярск, пр. Свободный 79.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Красноярского государственного университета.

Автореферат разослан « » мая 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, /

доцент . У» ЬчЖ^ ¿^-Голованов М.И.

Актуальность темы. Пусть Ф = {<?„ (*)}"„ - ортонормированная система в пространстве [«,&]> в общем случае комплекснозначная, и

£<■•*«»*(*) (1)

*=о

ь

-ряд Фурье функции /(*), то есть ск=\/(х)<рк(х)4х. Величины

а

Сл = 1к(х), АСбМ],

К 4=0

(а + 1)(а + 2)•...■(« + '«) , „

где Л„ =-----——-а * -1,-2,...;/и = 0,1,..., называют чезаровскими

т1

средними порядка а или (с,а)-средними ряда (1). Говорят, что ряд (1) суммируется методом (С,а) ((С.а)-суммируем) в метрике пространства ¿Да, б], если

/)-/«| = (2)

1

\-р

где М„ = il/(J£)T'ic = "(1) означает,что Нша„=о.

Рассматриваемые методы суммирования были введены в 1890 году итальянским математиком Э.Чезаро [10].

В диссертации рассматриваются методы (С,а), где -1 < а < 0.

Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства Lp[a,b], pSl. Поэтому можно считать, что условия равномерной суммируемости ряда (1) методами (С,а) являются достаточными для (С,«)-суммируемости ряда (1) в метрике пространства Lp[a,b]. Один из первых результатов, относящихся к равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [14] в 1925 году. Он показал, что если 2я - периодическая функция f(x) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (С, /3) (Р>~а) к /(дг). Позднее результат Л.

WC-HAUWaHAJtbiiAH

библиотека

С.Пстсрб рг ОЭ »кт"7

Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Литтлвудом [И], К. Яно [12], Л.В. Жижиашвили [5], Г.С. Сурвилло [9] и другими математиками. Первые результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в метрике пространства были получены Л.В. Жижиашвили

(анонсированы в 1975 году в работе [6] и доказаны в 1976 году в работе [7]). Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и устанавливают интегральные условия на функцию /(х), достаточные для выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа были получены Т.И. Ахобадзе [I]. Обобщения на двойные тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [8] и У. Гогинава [4].

Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции /(*). А. Зигмунд [14] заметил, что если 2л периодическая функция всюду удовлетворяет условию Липшица

порядка а (0 < а < 1),

cos nx + b„ sin пх) (3)

- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье

_ /2 + ^2

удовлетворяют условию

п

ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [14] сформулировал задачу:

су.ммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующимпорядкукоэффициентов? Л.В. Жижиашвили [7] отметил, что соотношение

|%А"_кк.(ак coskx + bk sinfo:)| = о(п'"*) (п —><*>)

является необходимым и достаточным для. (с,а)-суммируемости ряда Фурье (3) функции f(x) к /(.х) в метрике пространства 1.р[-л,я\ 1S «>-1.

В 1985 году китайский математик Wang Zhengao [13] показал, что условие

I S A°n-l-k ("le cosfor + ¿4 sin far| = a(n" )

является необходимым и достаточным для (с,а)-суммируемости ряда Фурье (3) функции f(x) к f(x) в метрике пространства ¿[-я,л] -1<а<0, а в случае квазимонотонных последовательностей таким условием

является условие а„ +ЬК = о(л"). Кроме того, им доказана

Теорема А. Если -1<а<-^, то |<т"(;г,/)-/(.г)| =о(1) тогда и только тогда, когда

Тем самым Wang Zhengao дал отрицательный ответ на вопрос А. Зигмунда для и тем более в случае равномерной

суммируемости.

В 1988 году Г.С. Сурвилло и автор [16] распространили утверждение теоремы А на ряды Фурье-Виленкина по мультипликативным ортонормированным системам X. Естественно возникают задачи

(А) проверить, сохраняется ли утверждение Wang Zhengao для произвольных ортонормированных систем Ф в пространстве l\a,b\ и можно ли его перенести на пространства Lp\a,b],p> 1;

(Б) попытаться найти условия на коэффициенты Фурье функции /(х), при выполнении которых соотношение (2) имеет место для ~-^<а<0.

Целью работы является решение задач (А) и (Б).

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближения функций, а также при чтении спецкурсов.

Апробация Диссертации. Результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математического анализа Московского государственного педагогического института в 1988 году, на заседаниях 5-й и 6-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений в 1990 и 1992 годах, на заседании Красноярского городского семинара по комплексному анализу в 2004 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15] - [19]. Из совместных статей в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Объем диссертации 61 страница. Нумерация утверждений включает последовательно номер главы и порядковый номер утверждения в главе.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертации сформулированы задачи работы, дана краткая характеристика глав диссертации.

В первой главе вводится понятие чезаровской суммируемости числовых и функциональных рядов и устанавливаются свойства чисел Чезаро А" (леммы 1.1-1.9), используемые в дальнейшем при доказательстве основных утверждений о суммируемости рядов Фурье.

Во второй главе решается задача А. В теореме 2.1 показано, что для широкого класса ортонормированных систем Ф условие

является необходимым для суммируемости ряда (1) методом (с,ог), -1< а < О в метрике пространства ¿Да,б], 1< р<+~. В теореме 2.2 установлено, что для

-1<а<—^ и 1<р<2 условие (4) является и достаточным, то есть имеет

место критерий (С,а) - суммируемости ряда (1) для -1<а<-^ в пространстве ¿Дд.б], I < который сформулирован в теореме 2.3.

Теорема2.1. Пусть функция Дх)еЬр[а,Ь\ 15р<-н~ и Ф = хе[а,Ь]

-ортонормированием система, удовлетворяющая условию

[р. II < М < +оо, п = 0,1,...(р-1 = 1) (5)

и ф„(х)е еслг/ 2 < р <+~. Тогда для -1 < а < 0 га соотношения (2)

следует условие (4).

Теорема 2.2. Пусть функция Ах)еЬр[а,Ь], 1 <р <2, и Ф = хе [а,Ь} - полная в Ьг\_а,Ь\ ортонормированная система, удовлетворяющая условию (5). Если -1 <а<-^, то из условия (4) вытекает соотношение (2).

Теорема 2.3. Пусть функция Дх)е 1ч,[а,Ь\ 1 < р <2, и Ф = хЕ [а,Ь] - полная в Ц[а,Ь] ортонормированная система, удовлетворяющая условию (5). Если -1 <а<-~, то условие (4) является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось соотношение (2).

Таким образом, теорема А полностью переносится на ортонормированные системы Ф, удовлетворяющие условию (5), и пространства Ьр\а,Ь\, 1<р<2. В случае 2<р< сделать это удалось для

более узкого множества значений а, -1 < а < -—

— + — = 11, и более узкого р 1

класса ортонормированных систем Ф в теореме 2.4.

Теорема 2.4. Пусть функция f(x)eLp[a,b], 2 < р < +оо, и Ф = {<М*)}Г>о' х£ [а,Ь] - полная в L^a.b] ортонормированием система, удовлетворяющая условию |<рл(л)|<Л/ < + оо, /г - 0, 1, ... почти всюду на [а,Ь], р'1 +<?"'= 1. Если

-1<а<-—, то условие (4) является необходимым и достаточным для <7

того, чтобы выполнялось соотношение (2).

Заметим, что из теорем 2.3 и 2.4 следует отрицательный ответ на вопрос А.Зигмунда для систем Ф с соответствующими ограничениями на них и для соответствующих значений а.

Известно [2, стр. 886], что если числовой ряд суммируется методом (с,аг) и а'>а>-1, то он суммируется и методом (с,а'). Для (С,а) -суммируемости в метрике пространства Lp[a,b\ р> 1 такой факт не установлен. С помощью полученных в теоремах 2.3 и 2.4 критериев суммируемости справедливость его доказана для значений а и р из этих теорем в следствиях 2.1 и 2.2.

Следствие 2.1. Пусть функция f(,x)^Lp[a,b\l<p<2 и Ф - {<р„О)}"0, хе \а,Ь] - полная в [a, b] ортонормированная система, удовлетворяющая условию (5). Если -1 <а)<а2<--^, то (С,а,)- суммируемость ряда Фурье

функции f(x) к■ f(x) в пространстве Lp[a,b\ влечет его (С,а2)~ суммируемость к ]\х) в этом пространстве.

Следствие 2.2. Пусть функция f(x)e Lp[a,b\ 2<р<+~, и Ф = {ф„(*)}Г=о> jte [а,б] - полная Lp[a,b\ ортонормированная система, удовлетворяющая

условию [фи(л')|<А/ <+оо, п = 0, 1,... почти всюду на [a,b], p~l+q~1=l. Если

-1 <а <а <-—, то (С,а,) - суммируемостьряда Фурье функции fix) к fix) 1 i п

в пространстве Lp\a,b\ влечет его (С,аг)~ суммируемость к fix) в этом пространстве.

В третьей главе решается задача (Б). В теореме 3.1 для любой полной в ортонормированной системы Ф получены условия на коэффициенты Фурье с„ функции /(jt), достаточные для (С,а) - суммируемости ряда (1)

в метрике пространства ^¡[а.ь] ~^<а<0. Эти же условия оказываются

достаточными и для суммируемости рядов Фурье по системе Виленкина [3] в пространстве ¿[од] для тех же значений а (теорема 3.2).

Теорема 3.1. Пусть f(x)eL2[a,b\ Ф = {р^О)^- полная в L2[a,b] ортонормированная система Тогда

1) если

то

К,2 (*./)-/(*) =о(1);

2

2) если

то

|<(*-/)-/(*)|2=0(1),

- < а < 0. 2

Теорема 3.2. Пусть /(л)е L[0,l] и sup/; <+°°. Тогда

п

В формулировке теоремы 3.2 последовательность {/)„} простых чисел определяет ортонормированную систему Виленкина [3].

При доказательстве теоремы 3.2 существенно используются свойства ядра системы Виленкина X. Поэтому примененный метод доказательства может быть использован для доказательства утверждений, аналогичных теореме 3.2, только для систем Ф с похожими свойствами ядер этих систем.

Список литературы

[1] Ахобадзе Т.И. О сходимости и суммируемости простых тригонометрических рядов Фурье II Некоторые вопросы теории функций (сб. работ). Т.1. Тбилиси. - Изд. Тбилисского ун-та, 1979, с. 5-66.

[2] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, 1961.

[3] Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем II Изв. АН СССР, серия матем.,1947, 1, с. 363-400.

[4] Гогинава У. О чезаровских средних двойных тригонометрических рядов Фурье //Мат. заметки, 2003, 74, №4, с. 502-507.

[5] Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории рядов Фурье и сопряженных к ним тригонометрических рядов.- Тбилиси.: Изд. Тбилисского ун-та, 1965.

[6] Жижиашвили Л.В. О сходимости и суммируемости триг. рядов Фурье //Сообщ. АН Груз. ССР, 79, №2 (1975), с. 273-276.

[7] Жижиашвили Л.В. О сходимости и суммируемости тригономет-рическихрядов Фурье IIМат. заметки, 1976, 19, №6, с. 887-898.

[8] Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных. - Тбилиси.: Изд. Тбилисского унта, 1993.

[9] Сурвилло Г.С. О методах суммирования Чезаро отрицательного порядка II Материалы пятой научной конференции по математике и механике Томского университета. Томск, 1975, с. 30.

[10] CesaroE. Bull. Sci. math, 1890,14, №1, p. 114-120.

[11] Hardy G.H., Littlewood J.E. A convergence criterionfor Fourier series II Math. Z, 1928, 28, №4, 612-634.

[12] Jano K. On Hardy and Uttlewood's theorem IIProc. Japan Acad, 1957, 33, с 73-74.

[13] Wang Zhengao. L-convergence of Cesaro means of negative order II I. Hangzhou Univ. Natur. Sci. Ed, 1985, 12, №1, p. 43-48.

[14] Zygmund А. 5мг la somniabilite des series de Fourier des functions verifant la condition de Lipschitz IIBull, del'Acad. Polon, 1925, p. 1-9.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[15] Сурвилло Г. С, Кудрявцев А.И. О суммировании Чезаро отрицательного порядка рядов Фурье-Виленкина II Деп. В ВИНИТИ 25.03.87.-№2718-В87.

[16] Сурвилло Г.С, Кудрявцев А.И. О суммировании методами (С,-а) рядов Фурье-Виленкина в пространстве LII Деп. в ВИНИТИ 20.06.88. - №5624-В88.

[17] А.И. Кудрявцев. Об одном критерии суммируемости рядов Фурье методами (С, -а) в метрике пространства L II Деп. в ВИНИТИ

14.08.90.-№ 4602-В90.

[18] А.И. Кудрявцев, Г.С. Сурвилло. Об одном критерии L - суммируемости рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка II Изв. вузов. Математика, 1990, № 11, с. 47-50.

[19] А. И. Кудрявцев. Об условиях чезаровской суммируемости отри -цательного порядка рядов Фурье в пространстве L[a,b]ll Вестник ХГУ им. Н.Ф. Катанова. Серия 9: Математика. Физика. Вып. 1.-Абакан, 2004. - с. 24-47.

Подписано в печать 5~.eS. Формат 60x84/16.

Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. п.^0 Тираж 100 Заказ

Издательский центр Красноярского государственного университета 660041 Красноярск, пр. Свободный, 79.

IM 1 Я 5 4

Введение

Глава 1. Методы суммирования Чезаро

§1. Определение (С, а) - суммируемости.

§2. Свойства чисел Чезаро.

Глава 2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ъ],

-1 <а< —

§ 1. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ь [а,б],

§2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ь],

2 < р < +оо

Глава 3. Достаточные условия (С,а)~суммируемости рядов Фурье в

I [а,Ь], ~ — <а < О

§1. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье в

12[а,б].

§2. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье

Виленкина в пространстве ¿[од].

Пусть ф = {<рп(х)}™=0- ортонормированная система в пространстве ¿2[а,б], в общем случае комплекснозначная, и

00

Цск(рк{х) (1) 0 ь

-ряд Фурье функции /(х), то есть ск = ¡/(х)<рк(х)ск. Величины

J л — ZAn-/cck<Pk(x)> xe[a,b],

А *=о а-И)(аг + 2)-.-(а+/и) . где Ат = ---------, а ф -1,-2,.; т = 0,1,., называют чезаровскими т\ средними порядка а или (С, а) -средними ряда (1). Говорят, что ряд (1) суммируется методом {С,а) ((С, а) -суммируем) в метрике пространства Ьр [а, Ь], 1 < р < +оо, если

-/(*) = о(1), л «>, (2) где r)\Rxfdx^P а а а„= о(1) означает, что lim ап = 0.

В диссертации рассматриваются методы (С,а), где -1 < а < 0. Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства Ьр[а,Ь], р> 1. Поэтому можно считать, что условия равномерной суммируемости ряда (1) методами {С,а) являются достаточными для (С. а) -суммируемости ряда (1) в метрике пространства Ьр[а,Ь]. Один из первых результатов, относящихся к равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [18] в 1925 году. Он показал, что если 2к - периодическая функция /(*) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (С,Р) (/?>-«) к /(х). Позднее результат А.

Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Литтлвудом [15], К. Яно [16], Л.В. Жижиашвили [6], Г.С. Сурвилло [12] и другими математиками. Первые результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в метрике пространства Ьр [а, Ь] были получены Л.В. Жижиашвили анонсированы в 1975 году в работе [7] и доказаны в 1976 году в работе [8]). Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и устанавливают интегральные условия на функцию /(х), достаточные для выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа были получены Т.И. Ахобадзе [2]. Обобщения на двойные тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [9] и У. Гогинава [5];

Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции /(х). А. Зигмунд [18] заметил, что если 2к -периодическая функция /(х) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), + 2(ап008п* + Ь„ Бтих) (3)

2 /1—1

- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье

I 2 2 „ д/а^ + ъ\ f(x) удовлетворяют условию +Ь„ =0(п ), то есть отношение п~а ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [18] сформулировал задачу: суммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующим порядку коэффициентов?

Л.В. Жижиашвили [8] отметил, что соотношение

II п

Yj Л."-k к(ак cos kx + bk sin кх)

И Аг=0 о(и1+а) (п —> со) является необходимым и достаточным для (С, а) -суммируемости ряда Фурье (3) функции /(х) к /(х) в метрике пространства ЬЛ-ж,л:\ 1<р<+ад, а>-\.

В 1985 году китайский математик Wang Zhengao [17] показал, что условие

2и-1 а . Il а

X ^2n-i-k(ak cos kx + bk sin£x)| = о(п ) к=п II] является необходимым и достаточным для (С, а)-суммируемости ряда Фурье (3) функции /(х) к f(x) в метрике пространства -1<а <0, а в случае квазимонотонных последовательностей {ап}, {b„} таким условием является условие ап + Ь„ = о(па). Кроме того, им доказана

Теорема А. Если -1 <а<-^, то сг"(*,/)-=о(1) тогда и только тогда, когда kl + \Ьп\ = о(па).

Тем самым Wang Zhengao дал отрицательный ответ на вопрос А. Зигмунда для -1 <а<~^ в пространстве ь[-к,и тем более в случае равномерной суммируемости.

В 1988 году Г.С. Сурвилло и автор [20] распространили утверждение теоремы А на ряды Фурье-Виленкина по мультипликативным ортонормированным системам Ф. Естественно возникают задачи

А) проверить, сохраняется ли утверждение Wang Zhengao для произвольных ортонормированных систем Ф в пространстве L\a,b\ и молено ли его перенести на пространства L [a,b], р> 1 ;

Б) попытаться найти условия на коэффициенты Фурье функции /(х), при выполнении которых соотношение (2) имеет место для - ^ < а < 0. Целью работы является решение задач (А) и (Б).

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближения функций, а также при чтении спецкурсов.

Результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математического анализа Московского государственного педагогического института в 1988 году, на заседаниях 5-й и 6-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений в 1990 и 1992 годах, на заседании Красноярского городского семинара по комплексному анализу в 2004 году.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] - [23]. Из совместных статей в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором.

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Объем диссертации 61 страница. Нумерация определений, лемм, теорем, следствий и формул в каждой главе сквозная. При этом первая цифра указывает номер главы. Например, «Теорема 2.3» - это третья теорема второй главы, (3.25) -25-ая формула третьей главы.

Заключение

В диссертационной работе получены условия на коэффициенты Фурье функции fix) по ортонормированной системе Ф = {<р„(х)}~=0,х е [a;b]:

1) необходимое для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции /(х) в метрике пространства Lp[a,b\ 1 < р < +оо, -1 <а <О, \<pn\q <М < п = 0,1,. p~l+q~l = 1 и (pn(x)<zLp[a,b\, если 2<р<+оо. (теорема2.1);

2) необходимое и достаточное для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции f{x) в метрике пространства Lp[a,b\ 1 < р < 2, -1 < а < Ф - полная в Li[a,b\ ортонормированная система, \<pn\q <М <-н», п = 0,1,., p~l + q~l = 1 теоремы 2.2 и 2.3);

3) необходимое и достаточное для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции f{x) в метрике пространства Lp[a,b\ 2 < р < -ко, -1 < а < -—, р~х +q~l = 1, \<pnix)\<M < +оо, п = ОД,. - почти всюду на [a,b\ Ф - полная в Lp[a,b] ортонормированная система (теорема 2:4);

4) достаточные для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции fix) в метрике пространства Li[a,b\ <0, Ф - полная в Li\a,b\ ортонормированная система (теорема 3.1);

5) достаточные для (С,а)- суммируемости ряда Фурье-Виленкина функции fix) в метрике пространства l[o,l], < 0, в случае, когда последовательность {рп} простых чисел, определяющая систему Виленкина X, ограничена (теорема 3.2).

Кроме того, показано, что в условиях теорем 2.3 и 2.4 для а2 > ах из (С,а,)- суммируемости ряда Фурье функции fix) в метрике пространства Lp[a,b] следует его (С,а2)- суммируемость (следствия 2.1 и 2.2).

1. Андриенко В.А. О суммируемости ортогональных рядов методами Чезаро отрицательного порядка // Изв. вузов. Математика, 1988, №9, с. 3-10.

2. Ахобадзе Т.И. О сходимости и суммируемости простых тригонометрических рядов Фурье И Некоторые вопросы теории функций (сб. работ). Т.1. Тбилиси. Изд. Тбилисского ун-та, 1979, с. 566.

3. БариН.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, 1961.

4. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем.!I Изв. АН СССР, серия матем., 1947, 1, с. 363-400.

5. Гогинава У. О чезаровских средних двойных тригонометрических рядов Фурье //Мат. заметки, 2003, 74, №4, с. 502-507.

6. Жижиашвили Л.В. О сходимости и суммируемости тригонометрических рядов Фурье II Мат. заметки, 1976, 19, №6, с. 887-898.

7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории тригонометричес-- ких рядов Фурье и их сопряженных.- Тбилиси.: Изд. Тбилисского унта, 1993.

8. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Физматгиз, 1958.

9. И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

10. Сурвилло Г.С. О методах суммирования Чезаро отрицательного порядка II Материалы пятой научной конференции по математике и механике Томского университета. Томск, 1975, с. 30.

11. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. Москва, 1966.

12. Cesâro E. Bull. Sei. math, 1890, 14, №1, p. 114-120.

13. Hardy G.H., Littlewood J.E. A convergence criterion for Fourier series H Math. Z, 1928, 28, №4, 612-634.

14. Jano K. On Hardy and Littlewood's theorem II Proc. Japan Acad, 1957, 33, c. 73-74.

15. Wang Zhengao. L-convergence of Cesar о means of negative order II I. Hangzhou Univ. Natur. Sei. Ed, 1985, 12, №1, p. 43-48.

16. Zygmund A. Sur la sommabilité des series de Fourier des functions vérifant la condition de Lipschitz // Bull, de l'Acad. Polon, 1925, p. 1-9.

17. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

18. А.И. Кудрявцев. Об одном критерии суммируемости рядов Фурье методами (С, -а) в метрике пространства Lpll Деп. в ВИНИТИ1408.90.-№ 4602-В90.

19. А.И. Кудрявцев, Г.С. Сурвилло. Об одном критерии Lp суммируемости рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка H Изв. вузов. Математика, 1990, № 11, с. 47-50.

20. А. И. Кудрявцев. Об условиях чезаровской суммируемости отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве L a,b]ll Вестник ХГУим. Н.Ф. Катанова. Серия 9: Математика. Физика. Вып. 1.- Абакан, 2004. с. 24-47.