О солитоноподобных явных решениях нелинейных интегрируемых уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ПРШУТС" !;1Л'Г^Л?1КИ II ЛН УИРЛ!^?

На нршзох р^хсй^сз

ТЦЦПШ Игорь ïe;i0p0ETï4;

О СОЖОНОПОДОБШХ ЯВНЫХ РЕПЕК'ЛХ БЕЖЖ^ЕЫХ КНТЕГР1 ¡PyZ&IX УРАВНЕН! й

Gl.01.01 -..'латег.'-атическиГ! анализ

л В-Т О Р Г. Í SPAT -дцссеугсцап па со::о:-:анио упс:.с£ стопе;-кавд^дата $л:шЕО-:л<гшлатач;гСких паут:

- ÏS9I

Работа выполнена л бдесскс:.'. элзк?рс?охнйческогг институте ивязи км. А.С.Попова.-

Паучий руководил!-: док-хор ф;:зт:о-:.:атег.;ат;1Чйс;->1х каук , ' 1тросТ:соор САХНОВИТЛ.А.

С?луаль:-ше оппоненты: доктор (р1зикочлато;латйчеокюс науг:

профессор ТКАЧЕЖО В.А.;

кгщцпда? 0азико-1.:ате::атиче'ских па доцр.ят ЦЗГОНОВСК1Й З.Р.

Ведущая организация: Киевский институт ката--атаки

АН Украиш.

Залита состоится " ^" уАШ X 1992 года в час

ка ¿аседазсш спецлал&зировакного совета К 016.046 в Институте прикладной математики п мех&шиш АН Украинц по адресу 340114, хчДокьцк, ул. Розы Люксембург, 74.

С диссертацией ьшво ознакомиться в библиотеке институте

Авторефера'

т разослан " &У\уУи*Л 139$ г. • .

Ученый секретарь .. ' "

.спсш:ап13крованного совета ' Д . ^ А.И.Марковск

ОБДЛЯ lAPÜKTEPIICTXiA РАБОТЫ

Актуальность TG-i.?-!. Метод обратной задачи рассеяния (Абло-I Ü.,- Сигур а. Соллтоны и метод обратной задачи. - ТЛ_: Сар, 37. - 480 с.) успешно используется для исследования нелико&зас элюционнкх уравнений (нелинейного уравнения Шреднпгера, уравпе-1 Кортевега- до Фриза, модифицированного уравнения Кортевега -Фриза и многих других). На этил пути полнены я-солптоннке пения указанных. уравнений, решена задача Ксгди

В статье Ю.М.Еерезанского (Интегрирование нелинейных разност-с уравнений методом обратной задачи //Докл. АН УССР. - IS05. -Ü8I, Б I. - С.16-19) высказана п реализована в дискретном слу-з идея перехода от данных рассеяния к спектральным данным.

В работах Л.А.Сахновича (Нелинейные уравнения и обратит за-Е па полуоси. - Киев: препринт Ш АЛ УССР, 87.30. - 56 е.; хшзцпя спектральных данных я' нслйпейше уравнения /Дкр.?;ат. та. - 1988. - Т.40, 4. - С.533-535; Явные формулы для спзкт-тъшх характеристик и решение уравнения sh-Гордон //Укр.гат. • :н. - I9S0. - Т.42, ß II. - С.1517-1523) метод обратной спект-' ibHofi задачи используется для исследования' нелинейных уравнэш:.': -области 0<cc;t^oo . Отметим такг.е, что переход от обратной даи рассеяния к обратной спектральной задаче позволяет отпа-* сься от требования регулярности решения. В данной днссертацнон-I работе указанная методика' приценяется для изучения уравнения -рогйок . (sh-G) '.'..-"■'■'■.-

tjS^^w). "'- ; (i)

зестно, -что уравнение (I) но имеет солптсшшх решений. 3 данной 5ото для уравнения (I) построены явные■ формулы для 'оволгж5;п цедил Вейля-Тптчмарла и сингулярных реыений. По^;::е аналогичная 5ота била проделана в статьях Л.А.СахноЕИча (Кнтегрйрусгжс не-ю«ше уравнения па.-полуоси // Укр.глат.:гурн. - ICSI. - Т.43, [I. - C.I578-I5B4; rroooönre ci aolvinö nönltnof.r *<i4«ytiMi3

Imlf-arcis // TVoc. of tho IV Int. Workshop on r.onlin. •Ъ» r-i'oo. Ая ph. V.2. ■ - iricV: 3Ts«3:ovr Й ¿:а, - 31 7 ) г-уравнений. -■'.

q,t ~ А/ DX1 ^ • (2)

(подп&щированное уравнение Кортевега-де. ©риза)' DUCocrfc) I f^Utet)

^ _^_2lulcc>t)1 uicc^J (3)

(нелинейное уравнение Шредингера).

Представляет интерес исследование динамики сингулярностей р£ шеккй уравнений (1)-(3)..Отметим, что к идее изучения двпкенпя пс яхов решений нелинейных уравнений обращались многие авторы.. Выдели:.: работы (Аркадьев В.А. Метод обратной задачи рассеяния в пр: логезш к сингулярны?.: решениям нелинейных уравнений. Ш // TL1S. -IS8-1. - Т.53, Д I. - С.38-49; PogreKcov А.К. _Singular solitona: a:; a::ar.ple oi a cinh-Gordon equation // Lett, in ICatb. Ph.- 19S1

:: 5. - P.277 - 295), в которых сингулярные решения отождествляйте; с системой частиц, взаимодействующих посредством нолей излучения В данной работе показано, что динамика сингулярностей полученных решений уравнений (Г)-(З) является конечномерной, вполне интегрн руемой, гакильтоновой., .

Уравнения (1)-(3) находят широкое'Применение в различных'об ластях математической физики (статистическая механика, неустсйчи вести в плазме, распространение длинных волн, расфокусировка; волн); геометрии.. ' • ' "•-: /• - :' ■

Цель работы. В диссертационной работе поставлены.следующие задачи:' - - . "■. V' 1 ;•■.',;••; •■':"./ ' ' '.

I. Получить явше'21Г-'параметрические решения уравнения ch-G , соответствуете'функциям Вейля-Титчмарша Из класса (J*

2.. Исследовать асимптотику• полученных решении уравнения- ch-3. Исследовать асимптотическое поведение явных решений урах пения МКдФ. • :■'*'• ' ■ \:7 ' ' - . •■"

■ 4. Исследовать, асимптотику явных решний БУШ. . . 5. Изучить поведение линий сингулярности решешй указанных уравнений. •'.■'■' - •

!.'етод исследования. В работе использован метод обратной спектральной задачи. '.,''■'

Научная новизна работы заклвчена в следующем: .1 .■ Получены явные 2п- параметрические формулы для решения }?&гК6Е2Я sb-G . ' •

г

2. Получены асимптотические фсрыулц прл ^->+оо для ресе-. кий уравнений вЬ-й , МКдФ и КУШ.

3. Показано, что -динамика сингулярноетей рассматриваемых решений является конечномерной, .вполне интегрируемой, гамильтоновоп. Найдены переменные типа действие - угол для этой системы.

4. Численными методами исследовано поведение линий сингулярности при - N¿4.' "

Практическая а теоретическая значимость. Работа тлеет теоретический характер.'Полученные результаты,могут быть'использованы в статистической механике, теории распространения длиннмх.еолн, теориях леустоичивоЬтей в плазме, 'расфокусировке волн; геометрии.

' Апробация работы н публикации. Излотепкге в работе результаты докладывались на ХЬТ (1990 г.) и ГСТТ (1991 г.) научно-технических конференция:-: профессорско-преподавательского состава и научных сотрудников Одесского электротехнического института связи им. А-С.Попова;-.на научном- семинаре 0Э11С 'ш. А.С.Попова "Теория солптснов и обратше' задачи" (рук. д.ф.-м.н., про£. Сахновяч Л.А.); ; на I/ (1990 г., г .Ульяновск) и Ш.Ц991 г., г.Нптлж! Новгород) всесоюзных сколах по'теории операторов в ^ункцпоЕглыпк пространствах; на республиканской конференции' "<гунйцасная5икй анализ и его приложения" (Одесса, 1930 г.).

Основные результат диссертации-опубликованы в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация излсмсна па 129 страницах п состоит из Еведойкя, трех глав и прихокзивя. Библиографии содерглт 47 названий.

- -СОДЕРлЖЕ'"РЛЕОТИ .

Во введении дан краткий исторический обзор рдяхтся метода обратных задач исслодовапия нелинейных эволиционш'л урш-кок:-^; п перочпелеш результаты, получению в дпссертавпонпеГ: габсто.

Порвал глава диссертационной работа пссгя:;;с.па пострясп;::^ явных 2 П-параметрических рекеии" уравнения (I). При .уг«: существенную роль играет функция Вопля-Тпт^ар^а, которая слсдупдпм образом. Пелгшсйноху уравнению (I) иосгсата соответствие линейпуго систему

^^«СаИСос^аЧяЛдУ. гУЮЛ^-Е^о^ос.Ь^», . (■•;)

У 6 ,

где'

ИСосЛ> . r

LexpUj^-^io.tV] /О

а - решение уравнения (I), "/ . . .

функция Войля-Титчмарша tfCt.S) системы (4) определяется помощи неравенства , , ,.';.'■•"

со - ~ • ;.,

НСос.фя.ос.-Ь.г.)

где

о ч "I о

riuctí)

cta

<00

Процедура построения upt'X.t) состоит в следующем (Сахнов JLA. Явные формулы для спектральных характеристик и решения у нения sh-Гордон // Укр.мат.кури. - 1920. - Т.42, й II. - C.I 1523). Положим:

г ' -оо . \

и введем в ., L (.0, £) оператор ' ■, ; ;

Тогда оператор э^ имеет вид • .

а реиение lf(.0C',-t) уравнения (I) записывается в виде. г ■ ■ ■. v ::• • ' ■

ЕЛЕ

. = " ,0/t).

Заметим, что виСу-* К' " ; " \ -

Через Ф обозначим класс соункцяй 17(/£) , для которого : полнявтея условия

I. Функция "ОХИ) является рациональной, все полюсы кот декат в полуплоскости ¿<0 , причем Зт"\7(2)>0 при ЗмЪ

црп ; ' . •

2. Верны соотношения •

(¡шиК^Ни , -1исо)>о.

. В глазе I {оргулн (5)-(9) прмгешштся к сдучаэ, когда функ-1Я \Г(.0 г) £ ф' К гллеет вид

«4*1

(11)

1 достаточно малом участке о^ Ь ,<-Т. функция 1К±,Ъ) имеет влд М

^-¿ПЩ^ Лсо)-^. . (К)

Рассмотрим многочлен '■."'.'.•

гэ ГЛСг-^СО^^г^-^^-ц-ьс.-^^ . Через б^и^гн)

»означал корни многочлена' ,СК=) , причем будем ]гредполагать,тго

и); при . Существенно отметить, что числа (.О^М-»

1 зависят от-Ь . Имеет" место

Теорема I. Справедливы равенства

; Равенства (14) представляют закон изменения до лсремс.>н:;с:Нс ;акок эволюции) величин Сл., ©ьС^С-к)) ..., .V)',

;о <3{.(») - элементарные симметрические формы М персметн^к: вс-I . Подставляя значения 6'{До!С*)5 , ^С^Ш) формулу ■ ■••".. •.'..■•

-Ч-ид^)}; <15)

>лучаем ясное прздетазлекг.е функции \ГС'Ь,с) (г;а:;сн ихгташ Ее11ля-Т;:тчг.:арлг). '

Зная закол тоояздйи ¡¡-утащи ВеЛля-Титчмар^а, тсусс:-: ратпой задачи ((¿орфж (б)-(З)) на;сод::м яз:юе пня ч^Д) урплн2ш:я- (1). Стсуу волросу пооглзхд 5 л'гд-лч- Т.'

Из формул (6)-(0) с учетом (12) щ-о,цм~и.с>-:Уо }.

•нкцял И» • глда '

Г А А А

«Цо-Ь из

А 4 - Ч

Юио - 'Цо

где еойраеи^^-ъ/юь^.^бгм

Обращая матрицу в (16), приходим к формуле

Iг*2. ^оф

где. . " .•

О

(к

(I

д,=

...

1

(

А»

А .

4

ицг" ... (А)ш

(1

Подставляя (17) в (9), получаем, что

. Б § 3 формулы (17)-(12) для-решения Ц1 Й/Ъ) упрощаются. 1 этом пути доказывается " ■

Теорема ¡2. Пусть ...,00^ , С

наборы чисел такие, что 10;^ 10^ (.(.-+• к) . > О и при эт<

6

:аздый из наборов О , С симметричен относительно вещественной юн.' Тогда решение Ц)СОС/Ь) уравнения (I) представляется в виде

. 2^15,11^/5»Сое^)|, (20)

■ 'Замечание. Если в теореме 2 соответствую^зя функция •о "решение Ц'С'Х/Ь) регулярно в области о^ХЭ . ■• Перейдем в (I) к "лабораторной" системе координат '

(22)

'огда уравнение (X) примет вид ■■ '.

' Длл уравнеглл. (23) теорема 2 переформулируется следр*»-« об-

• Теорема 3.' Пусть ОЧ*-0^, •.. -

габори хлеед тайне, что и^^из'^ СС^-&) , Й11\>0 а при этом :агдаГг из наборов О ', С сгжкетрлчоп сткосктслвно всдестЕскпой ■сн. Тогда'решотле упаг.на-гля (23) кредстазляется з виде

. (2-1)

до. ' .. •■ ;

№

1)-4 л 4-2» , ■

(25)

ела N - четное. Для кечеткж N л' бД^/О

.налоги со..

Згг.ечшхке. г теоис/ло 3 сосгаего'хгутхул й;.**)

1лиадкэза:т -клпос; Ф , то рь?ек/.е УЧ^Д) ^хша'ГС'А-.С^З) ро.-;?-.«рио п кспусе ог;>1'нЕ:1 . .. V

• Рсггеяия уршгскй (О,- (3), огалогг.чште

- -

' -.-л ■.

зстеризуяяся теор&гоЛ. .

Tdope.ua 4. Пус?ь 0»{и), ..., Ш,/}, -П <к<>, «Ц«. •,., ¿„.о^ . >рц чисел закнэ, что ^ из^ ?:) , & С0ь>о • Тогда репе-угжккв'л (2), (3) имеет вид ,

(26

ГДС

4 со, - л, их. ... 1

иу;г л , С^Х'^'./ • - - •> (27

к и), ... А .. .

'«г,ад . .. .. ^иСс/О - . (28

ид ■злсс/Ь) 5

случае ур^нення Щ»

ъ- сдуешь НУЕ;

В §§ 1-3 глави 2 выводятся асимптотические формулы при

для решений К(.Я/Ъ) , иЕ.ос,+) , I? С5.Д) , рассмотренни в первой глазе. Для решения ЩГДД) уравнения (23) справедливо Утверждение I. Пусть & к таковы, что -

Тогда при ■Ь—>:гоо для решения ^ОхД) уравнения (23). имеет место представление .. .

¿(.-'Ли. о и) 1, 429

■ .. Из утверждения'Г непосредственно вытекут, следствия.

Следствие,I. При достаточно больших по модулю 'и отрицательных .г функция Ц> j имеет особенности в области ^и Aj\4.£. Следствие 2. При достаточно больаих пололительшх Ъ функция тлеет особенность з области 1 ^j —t— 6w Aj\<Z . • Аналогичный результат имеет место и для решений (26)-(28) уравнений (2), (3). . • Утверждение 2. Пусть ос. и -Ь .таковы, чтоО<5<1й^-±(!гйAjU<c.

V^ni^ntiS ' :W

4 .i-jM i .

решения уравнений (2), (3) представитзн- в виде •

Здесь QCx^ßW, * в случае J3U* "

Q 101,4:^ U 1%-b) , 2l Cw^+iwjt-i 6м Cj) в случае НУШ.

Из. утверздепая 2 непосредственно внтекаат'следствия. . , Следствие 3. При достаточно больших по модулю и отрицательных -fc функция Q(2c'/fc) имеет особенность в области 1R«: *j - £vv \ А; U < £ .

' Следствие 4.' При достаточно' большие дололнтелыпл: -fc пункция Ql'sc.-b) имеет особенность' в области .! н-ßulAjll<6

;1!з асимптотических формул;' (29), (30) вытекает еледуоигпй результат. Бела'Л рассматривать '.как пространственную, .a"fc - как временную ксорданзлн, то решения ^{.аД)-, R , ЦСссД-) уравнений (23), (2), (3), соответственно, при Jc—>± со представляются в виде совокупности JJ * элементарных сингулярных волн. Эти волны взаимодействует?, ярд этом форма их сохраняется.. Едояст-венпоо изменение, которое они претерпевают,.-.это разовый'сдвиг, раЕнкЗ ßvttAjl . Текли образом,.- построению ремеппл сблада:/: ярко щрагетшЕа солнтояными своПствш*'.' '• •':'•

Наличие скнгулярностей 'я солктогашй характер %ях взаимодействия позволяют трактовать' рассматриваемые решения- в терминах сг.с-теш частиц, при этом линии сянгухтрности (множество течек сингулярности репений на'Ж -плоскости) отождествляется с »iipo^ssa' линиями соответствующих частиц. V' '■'.'"

.Б §§ 4,.5 'Главы 2 исследуется-поведение спн^улятркостсй

ылГ. ,'RCoc^) уравнений (23), - (2) ,'(3) сом-.'

вотственно. . " . •' ■ '■•■•■■• . '

Виачаче рассматривается.решение ЦЧбЕД) уравнения (23) вида (24)-(25). Функция ЦЧТ.Д) имеет N линий сингулярности cc¿ Й) (j i ¿ Ы) , удовлетворяющих системе ,

ctaift).

I -1>-Ь. / ; <ъх .

.(31)

Ж ~ ctaitíD

Вводятся величавы . ■ , „ :•■'•.'

р.-^- (¿trJ , ' ■'.'.':• 'V: .

■ * . ■ ■'-■•■- (52)

i - COi -v 4

Справедлива 1' '■■. ; •..'•-.■•-. ■'■'■ \. : .

Теорема 7. Система (31) является 'вполне интегрируемой- гешш тоновой системой с гамильтонианом

• • - H-^lff. ■■' . \ • ' ^

v. величины pL (1 é.i N) ■ являются перемешеаш тина действие -угол для этой системы. ' '

J'ля реиенлй' R(oc,-t) уравнЬнкя. (2). к решений *UC^-t) ' уравнения (3) выводится следукцпй результат.' N • линий сингулярное та: ' • функций КС'хД) и UCOC/B удовлетворяют системе

Ganaaet«. велачкны- - • • . .

p¡.= - íüQi/EWi , , <бЦц.. , ' • '(35;

где Q.« - в слу -о уравнения КСдФ и Q¿-=» в случае Ib'L

Справедлива ' ' • " •.'.-.'..■ '.'..>'.'

Теорема 9. Ссстеыа (34) является вполне интегрируемой тамил типовой системой с усгяисьтхямапаи. (33), а величины (35) }шдяигся ксру-лсшяя тага действие - ¿тол для стой системы. .

Для ршзипя уравнения (23) и вещественного репеяпя

R loe/fc) уравнения МКдО доказывается следующее утверждение.

„ Утверждение 3. Вичети' уулкцнн- ^'ЭДС&ЗгУфЗ! и Rioc.-b) равш ±1.

На языке системы частиц ото означает, что рвзепяя Ц^се/т) я R C'X.ir) порождают 2 типа чдггиц в соответствии со гневом четоп. Из утгор.тдения С вытекает, что з случае, когда з одно;: точке пэрссекаотся m линии сингулярности, которш ссстьетстт.у-ют частицы одного'типа и U линий сипгулярносгк, которш соотгст-стзуют частицы другого типа, то , liM-n I < .3 слутоо частиц одного типа (Wi = 0 или VI = 0) липни сингулярности не пссссекс.-•отся,

В третьей главе диссертации при помоцп чкеленкых мс-тсдсг. производится построение графиков линий сингулярности на 2- ,1: -плоскости при 1Й.М44, что дает возможность ¿олез детально последовать поведение линии сингулярности з этих конкретики случа-".

Из (24) вытекает, что линии сингулярности росенил (.•£., уравнения (23) удовлетворяли системе Jo.Lv.yZ^p,

3-случае, когда - , решение уравнение (23) вид

^(iX'/l) 2(лл. Itvi Г и'ь)У1-л- vto-i/io)t-evA Cjj.

Линия сингулярности фунотра . при СО« W , С—С - прямая

! lip:: Ы =2 и Со,, , > о , ?> = 1,2 решение' (с1 ,4;} уравнения (23) имеет вид

IP Г* £ W О ¿1л О^О & ^Щг-Ъ) I ,

fb - i-f f.W t- Л / ю fc)i A Zv. IС U I] , fe-4,2.: ' " ■

Оункция ^('S.i;) имеет две линии сингулярности, удоглеоторяк^ле уравнениям "

/ ' - (33)

где " '

2Х — -J/u),-v W,- t/u) - !- t-л\С(Сг\.

1 - " ' ' { '"»С ^

... - - w'l /'

2 Y= [W.-lo^ i -v С и>г-ио,- iM^ i/u>i)-t ~ Cvt -сг1,

Отыоткл, что линиям (36) соответствует частица, прикгдлекадое рлглгёши хинам. Кривые- (33) изображены на рлс.1а. При' больвюс ко ксдуло н отрицательных значениях^ линии сингулярности, близка к арсгс.1:, соответствующим асимптотическим формулам (29) при ■т->-оо .С увеличение:,! ± линии сбли7.:шотся и пересекается. Зто означает, что соответствующие частица притягиваются 21 сталтдваат-ся. После столкновения частицы расходятся. При больших поло:;&тель-ккх Чс 'Линии сингулярности близки к прямим, соответствувдам асимл-аоткчвсшз формулам (29) при Зг—г+ ©о . Tai: что после столкновения частица восстанавливают первоначальпуэ свою скорость, а значит, и зкзргию. , ■ . ' ' .

При W^Wfc,^-!.?-/--! <0 « Ci>О , СО, > W, решение Ц>(а:Д) имеет вид ' : : ■'■•'..■■ ' ■

,-УЛ) сХу ly ы J с(л j >

3 ¡этом случае функция ЦЧ'хД.) имеет такгэ'две линии сингулярности, удовлетворяйте ургвкенсшл ".' •

где X п Y определяются соотношениями (37). Здесь частицц принадлежат одному'тнпу. Кривые .(38) изображены на рис.16. Так ке, как и в врсдвдуцем случае,* при болшас по модулю л. отрицательных $ ' лзшгс сингулярности близки к прямым, определяемым аеиштотпчесха-мп формулами. (29) при . С увеличением %. , после'некоторо-

го сближения линии расходятся в'сторона у. не пересска-дася. ото • означает, что соответствующие частпцц отталкиваются. Даюе с увеличение:.: % лшвш снкгулярностк приближаются к прякш, опредгияе-мгм формулами (29) при i-^ч-во однако, как видно из'рксуипа, линия I прпблихается к прямой, параллельной асимптоте .(при

-) лп1пш 2, а линия 2 приближается к прямой, параллель-not: асимптоте' (приоо ) линии I. То есть частицы-при оттал-гаше:;;::: сбиеиивазтся скоростник.'Вели :::е •'и),«»*?!.• «Ц. то рсмсние ЦЧ'ХД) уравнение (23) алеет вн.-, " '.'.'■• ' '' ' •

, к, ~ V ч р 1 Змиз,- sk* -v RtWt-

ih^b^/t/K

I й-лод- '^Х-RiOJ,- tt'nX

Е .это:.; случае функция. имеет две линии сингулярности :

' (39)

Кривые (3S) являются периодическими по'Y . Точки пересечения линии сингулярности имеют вид Х= о , Y= kirí^O/t-i,...) . Кривые (35) представлены на рис.Гв. На языке частиц такое поведение линии сингулярности можно интерпретировать как образование'связанного состояния двух частиц. '.'.,'>

Поведение линий сингулярности вещественных'решений RCcc/fcO уравнения (2) при N = 2 во многом подобно поведению линий ciuirj ¿яркости решения Ц>(5с/t) уравнения (23) при N1=2. Так, в случае, когда LO^Wk , Ck > о -(,2.) фушщля R(.OC/fc) имеет 2 лига сингулярности, соответствующие частицам различных' типов. При •t-^too линии сингулярности'имеют асимптоты, ■ соответствующие ' формулам (30). Кривые имеют одну общую точку. Это означает, что соответствующие частицы притягиваются и сталкиваются. При W^tc (■&= 1,2), С^«} ,Cj.>0 имеем случай," когда линии сингулярности ну имеют общих точек, что означает отталкивание, соответствующих частиц. _ ... - ,' .-■....

При lO^UJt , d^-^ d-. -('& = 1,2) так ке, как к в случае рее кия , возникает связанное состояние.' '.' *'. '"■

Б случае Ы> 2'вычислить в явном виде линии сингулярности' не удается. Поэтому дяй расчета ланий сингулярности -была исполь: вала ЭКЛ. Рассчитанные трагики-с одной стороны отражают получении с в диссертационной работе"общие закономерности,, такие, как'

1) поведение'.линий сингулярности при больших•значениях Itl (утверждения I, 2), . . .

2) характер пересечений линий сингулярности (утверждение 3] с другой стороны щюявляат некоторые новые эффекты, ещо'-не получившие строгого обоснования. Tai;, пусть Н = 4. На рис.2а) пред-стевлопв линии сингулярности функции ЦКссД) при значениях пар; ветров IО, = Ii G)t = 2, W5= 6, Ч, = 8; <^=0.2,^ = 0,8, ¿s=2,í о5,8. Б этом случае C¡. > О (&= 1,2,3,4) и линиям сингулярности I, 3 соответствует частицы одного типа (вычеты равны +1),

' лпн'шгл 2, 4 - частицы ругого типа (вычеты равны -I). Из рисукк; 1-нд1-:о, что ькхдю гиделии, области, в, которых линии сингуляркост; "сбл.'л,;г;отся" парили. В этом случае "взаимодействие" 'линий ошгу-.огрности главно локально описывать в рамках более простой модели, ( - 2). На рисунке 26) приводится -пример, в котором описанное-

14 -

1 *

V" \

\ *

\ ? \ 1 Ч ( \\1

а). '

■

Рис. 2. Поведение лиши сингулярности' функции ^йД:) в' случае Н =4\. -

Рис.3. Поведение линий с'шгуля^пости функции ^С^) в случае М =3

свойство ке проявляется. "•. _ '.* • ,

На рз:с-.3 представлены.линии сингулярности решения Ц1 Со; Д) при N = 3 и значениях параметров 031== I, ¡=.2 + 1 , ¡= 2-1-; ^ = 0.5, ~ 2, с1ь- 3.. Этот .пример показывает, что возможно "взагл-юдейстЕпе" связанного состояния со "свободной частицей"'с' разрывал первого и образованием нового связанного состояния и "свободной частицы".

Аналогичные результаты получаются к в случае'вещественных' решений Р Со: Д) уравнения МКдФ.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Получение явных сингулярных решений уравнения .еЬ-согаоп при помощи метода обратной спектральной задачи.

2. Асимптотическое поведение явных'сингулярных решений уравнений дЬ-Оог£оп, ЫКдФ и НУШ. Солитоноподобный характер рассматриваемых. решений. -;

3. Гамальтонова' динамика сингулярностсй явных решений урав-копий сЬ-Оогйсж, МКд5" к НУШ. ' '-.

4. Поведение линий сингулярности. Результаты численных расчетов. - '• ' ,'. ; " .-"■' • .

Список работ,, опубликованных автором

1. Л.А.Сахнович, И.Ф.Твднюк. Об одном классе интегральных урав^е: ний статистической радиотехники // Сб.науч.трудов 0ЭГ1С. -Одесса, -1983. - С.94-33. -.."..'•" •

2. Л.А.Сахнович,' И.Ф.Тыдшок. Элективное решение уравнения аь-аогаоп - Рук.'дед. в ВИНИТИ,- 11-04-20,-..К2015-Е90. - 26 с

3. Л.А.Сахнович, И.Ф.Тыднкж. Эффективное решение уравнения еЬ-Оогаоп' // Докл. АН УССР, Сер.А,- К 9, 1990. - С.20-25.

4. ПЛ-.Тыдшэк. Солитонше свойства сингул5фных решений уравнения яЬ-Согйоп // Тезисы догл. на ХУ всесоюзн.шк. по теор.опер. в функц.прост! - Ульяновск, 1990. - С.94. '

5. П.О.Тпднюк.' Гамильтонова динамика сингулярностей решений нелинейных уравнешй // Тезисы дом. на ХУ1 лсесоюзн.шк. по теор. опер, в фушщ.цре.. _р.\-т'биений Новгород, 1991. - С.2.28. ;