О статистическом оценивании импульсных переходных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Киевский университет нм. Тараса Шевченко р Б ОД На правах рукописи

б/.ИОЯБЗЗ.' '■ л .

УДК 519.21

- ■ '

О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОЦЕНИВАНИИ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев - 1995

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре высшей математики №1 Национального технического университета "Киевский политехнический институт".

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Булдыгин В.В.

Официальный оппоненты - доктор физико-математических

наук, ведущий научный сотрудник Иванов A.B. - кандидат физико-математических наук Кукуш А.Г.

Ведущая организация - Институт прикладной математики и механики HAH Украины (г.Донецк).

Защита состоится 1995 года в 14 часов на

заседании специализированного совета К 01.01.21 в Киевском университете им. Тараса Шевченко по адресу: 252127, Киев-127, пр. Акад. Глушкова, 6, корпус механико-математического факультета, ауд. 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "/¿Г" е>1СТЯ&(1% 1995г.

Ученый секретарь

А.А.Курченко специализированного совета ^Ц

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача оценивания или идентификации характеристик' линейных систем различной физической природы является одной из важных задач радиофизики, гидролокации, сейсмографии. Наряду с детерминированными методами исследования здесь находят широкое применение статистические методы. Различные статистические методы оценивания импульсных переходных (передаточных) функций линейных систем и свойства соответствующих оценок рассматривались в работах Д.Бриллинджера, ДБокса и Г.Дженкинса, А.Я.Дороговцева, А.Г.Кукуша и других математиков. Рассматриваемые в работе оценки тесно связаны с совместными коррелограммами совместно стационарных случайных процессов. Кореллограммы и совместные коррелограмиы для различных классов случайных процессов и полей детально изучались в работах Т.Андерсона, Д.Бриллинджера, Р.Ю.Бенткуса, З.С.Антошевского, А.В.Иванова, . Н.Н.Леоненко, В.В.Булдыгина, Ю.В.Козаченко, А.А.Дыховичного, В.В.Зайца, А.И.Стадник, А.А.Сидоренко, О.О.Демьяненко. Методы этих работ используются и развиваются в диссертации.

В диссертации рассматривается задача оценивания действительнозначной импульсной переходной функции Н(т),т > 0 (Н(т) = О, т=0) непрерывной физически осуществимой однородной линейной системы. Реакция системы на допустимый входной сигнал хф, I е Я = (-<х>,°о) имеет вид: ^ .

I —«

Пусть система возмущается стационарным центрированным действительнозначным стохастически непрерывным гауссовским случайным процессом Х4(0 со спектральной плотностью ^(Х), зависящим от некоторого параметра Дб(0,ю). При д-*ю спектральные плотности сходятся

с

равномерно на ограниченных интервалах к константе —, с > 0. В качестве

lit

оценки для Н(т) рассматривается совместная коррелограмма

HTA(t) = i;JXA(t)YA(t+.)dt, . (1)

01 о

где YA(t) - процесс на выходе системы. Оценка Нт>д(т) зависит от двух параметров Т н Л и является смещенной. Эти обстоятельства затрудняют изучение свойств оценки при Т-»оо, д-юо и не позволяют непосредственно воспользоваться известными фактами об асимптотических свойствах ( совместных коррелограмм.

Отметим еще одно существенное для диссертации обстоятельство. В работе априори не предполагается, что функция Н абсолютно интегрируемая. Имеется общее ограничение Н е Lz(R). Поэтому функция Н* (преобразование Фурье функции Н в смысле L^R) ) может быть локально неограниченной. Таким образом .исследуются как устойчивые (Н е Li(R)), так и неустойчивые линейные системы.

Цель работы. Нахождение условий, при которых имеет место асимптотическая нормальность для оценки импульсной переходной функции и погрешности оценивания.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты: -установлены условия асимптотической нормальности оценки импульсной переходной функции;

-установлены условия асимптотической несмещенности оценки импульсной переходной функции;

-установлены условия асимптотической нормальности погрешности, оценивания импульсной переходной функции;

-установлены, условия асимптотической ' нормальности оценки импульсной переходной функции и погрешности оценивания в пространстве непрерывных функций.

Основные результаты работы являются новыми.

Методы исследования. В работе используются методы статистики случайных процессов и спектрального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при оценивании или идентификации импульсных переходных функций непрерывных однородных линейных систем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах по теории гауссовских процессов (КПИ), на международных научных конференциях по математике им. академика М.Кравчука (КПИ, 1994, 1995), на 1"й и 2'" Всеукраинской конференции молодых ученых (математика) (Киевский университет им. Т.Шевченко, 1994,1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-3].

*ч

Структура и объем работы. Диссертация включает введение, четырнадцать параграфов и список литературы, содержащий 47 наименований. Общий'объем работы 135 страниц.

приводятся работы наиболее близкие к теме диссертации, кратко излагаются основные результаты диссертации.

В § 1 вводятся основные понятия и обозначения, а также приводятся утверждения, необходимые для основного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации,

В дальнейшем, как обычно, ЬР(Я), р е[1,°о) - пространство, вообще говоря, комплекснозначных функций ср=(ф(х), х 6 Я), интегрируемых в р"°я

Ь„(Л) - пространство ограниченных

функций: |ср||я = 5ир|ф(х)| < оо

хеК

В § 2 вводится семейство центрированных стохастически непрерывных измеримых, сепарабельных стационарных действительнозначных гауссовских процессов Х^), 1еЯ = (-со,оо), де(0, оо), поступающих на вход непрерывной физически осуществимой однородной линейной системы с действительнозначной импульсной переходной функцией Н(т), т^О.

Пусть ^(Х), ХеЯ - спектральная плотность процесса Хд,

Вд(()= еЯ- корреляционная функция процесса Х4. Функция

—00

4 является неотрицательной четной функцией и ^еЬ^Л). Относительно спектральных плотностей Де(0,оо) предполагаются постоянно

выполненными следующие условия: а) М = вир яир} ^д (Х)| < с»;

б) для любого а > 0 , lim sup

= 0,где c>0;

в) существует такое ¡¡¿0, что для всех Де(0,оо) Вд eL|+p(R).

Пример 2.1. Пусть f(x), х е R- действительнозначная неотрицательная

четная функция и l)f(0) =—>0, 2)f eL|(R)f|L„(R), 3) функция f

2к

непрерывна в точке х = 0, 4) для некоторого р^О В eLi+p(R), где B(t)= ]eitxf(x)dx, t eR.

-co

Тогда функции fA(X) = eR; Д e(0,oo) удовлетворяют условиям

00 00 а) - в). Заметим, что если Jf(x)dx = 1, то Л = JfA (X)dA, = ЕХд (t).

-оо -да

Если импульсная переходная функция Н такова, что

HeLi+ip(R)nL2(R) (2)

1+2р

то для каждого Де(0,оо) корректно определен процесс Уд(1)= /н(1-8)Хд(з)СЬ>1еК,

—СО

являющийся откликом системы на входной процесс Хл.

По процессам Хд, ¥д строится совместная коррелограмма Нт д(т), х £ О (см. (1)), которая рассматривается в качестве оценки функции Н. Заметим,

что ЕНТА (т) = - /вд(1 - з)Н(з)<1з * Н(х), т.е. оценка является смещенной. со

В § 3 устанавливается вид корреляционной функции оценки Нт д. Рассмотрим случайный процесс 2Т д(т) =

Теорема 3.1. Если выполнено условие (2), то для всех Т > О, Л > О, Т1,х22:0 Е2т,4(т,)гГЛ(т2) = Стд(т„т2) =

. С -ю -«Л

X Фт(и2 - и,)Гд(и, )ГД(и2 ,аи2;

где .V-, 2пТ

1V >

' . ТхУ

Б1П-

_2

X

V 2 )

В § 4 установлены условия, при которых существует предел функции Ст,д(Т|, т2) при Т, Д->оо и указан вид предела.

Теорема 4.1. Пусть 1) Н еЬ2+2р(К-)ПЬ2(К.); 2) существует такое р > 2,

1+5Р

что Н'бЬр(Я); 3) функция Н* непрерывна почти всюду (относительно меры Лебега) на II. Тогда для всех Т|, х2 ^ О |ипСт,л(т1,т2)=С(т|,т2) =

Д-юо

, . (3)

2я

/[е'(^-т')и|н'(и)|4е1(т1+")и(н'(и))2]аи

Следствие 4.1. Пусть в условии в) р = О, т.е. для всех лб(0,со) ВдеЬКЯ). Если НеЬ2(Я) и выполнены условия 2), 3) теоремы 4.1, то имеет место соотношение (3).

Замечание. Если' функция Н' непрерывна на Я, то условие 2) теоремы . 4.1 можно опустить.

Следствие 4.2. Пусть НеЬ|(Я)ПЬ2(К), тогда имеет место соотношение

(3).

В § 5 получены условия асимптотической нормальности конечномерных распределений процесса 2Тд=(гг,л(т), т>0). Для асимптотической нормальности требуются дополнительные условия к условиям теоремы 4.1. Рассматриваются два случая, связанные с ограниченностью. и неограниченностью функции Н*,

Пусть 2={2{х), т20) - центрированный гауссовский процесс с корреляционной функцией, определенной в (3)..'

Теорема 5.1. Пусть 1) Н еЬ2+2(1(11)ПЬ2(К); 2) Н'бЬ^ХХДЯ); 3)

14-2(5

функцияН* непрерывна почти всюду на Я. Тогда для всех Хь ...т„е[0,<ю);пг:1

, Нш Е

т-»«о

П^Лч)

1_М

= Е

тч)

(4)

В частности, все конечномерные распределения процесса сходятся при Т, д—>оо к соответствующим конечномерным распределениям гауссовского процесса Ъ.

Замечание. Если НеЬ^ХХгСЯ) и Н*бЬ|(Я), то имеет место утверждение теоремы 5.1.

Следствие 5.1. Пусть р = 0; Не Ь2(Я); Н^Ь^ЯЛЬ^); функция Н* непрерывна почти всюду на К. Тогда имеет место утверждение теоремы 5.1.

Если Н «*Ь„(11), то оказывается, что асимптотическая нормальность конечномерных распределений процесса Z-Íл имеет место при согласованном стремлении Т и Д к бесконечности. (Напомним, что еги(х) есть целая часть числа х).

Теорема 5.2. Пусть 1) Н еЬ2+2р(Я)ПЬ2(К); 2) существует такое р> 2,

1+2Р

что Н*еЬ2Р(Я); 3) функция Н* непрерывна почти всюду на II; 4) Т-юо, Д-»со так, что для любого натурального числа т £ 3

iMrwr

•>0 (5)

К2КИ Т 2р

где а(ш) = 0, Ь(ш) = 1, если ш = 3, а(ш) = 1, b(ni) = ent(m/2)-l, если ш Z 4.

е

Тогда имеет место соотношение (4) и, в частности, все конечномерные

распределения процесса ZT,4 сходятся к соответствующим распределениям

гауссовского процесса Z.

Условие (5) в конкретных ситуациях достаточно легко проверяется.

Лемма 5.2. Пусть функции 4, 4е(0,со) определены в примере 2.1 и Т=Д",

v>0. Тогда соотношение (5) эквивалентно следующему неравенству:

12 v>- + -

2 р-2

Заметим, что при доказательстве теорем 5.1,5.2 используются методы работ Р.Ю.Бенткуса, В.В.Булдыгина, А.А.Дыховичного.

В § 6 изучаются условия асимптотической несмещенности оценки

' Рассмотрим условия дополнительные к условиям а) - в): параметры Т и / Д стремятся к бесконечности так, что

д) для любого »0 7т|вА(1)& 0;

е

00

е) для любого е>0-/Г/Вд 0.

Б

Теорема 6.1. Пусть Не 1^(11) и точка те[0,со) такова, что функция Н удовлетворяет в точке т условию Липшица с показателем ае(0,1]. Тогда, если Т, д—юо так, что дополнительно к условиям г) - е) выполняется условие

б

ж) существует такое б>0, что л/Т Цвд (^Р Л 0, то

-е ■ ■ '

ЧЛт)=7Г[ент1л(т)-н(т)]->0.

На функциях, определенных в примере 2.1 проиллюстрируем условия г>-ж).

Для ае(0,1] и р>0 положим ЙТ^ = •

Vt

—, еслиа<р; да Р

VTlnA

—-—, если а = р; д

л/т

Д'

.р '

если а > р.

Теорема 6.2. Пусть HeL2(R) и точка те[0,оо) такова, что функция Н удовлетворяет в точке т условию Липшица с показателем ае(0,1]. Пусть также функции fA, Де(0,оо) такие же, как в примере 2.1 и для некоторого р>0 |B(t)| = 0(|t|"<,fp)) при t->oo. Тогда, если Т и д стремятся к бесконечности так, что!£р4'-»0,тоУт.д(т)->0.

Пример 6.1. Если в теореме 6.2 Т = А" и 0<v<2min{o,p}, то при д-х»

В § 7 изучается асимптотическая нормальность нормированной погрешности оценки импульсной переходной функции, что позволяет судить о качестве оценки Нт д(т). На протяжении § 7 предполагается, что в условии в) Р=0.

Положим У/т д (х) = л/т[нт д (т) - Н(т)], т ;> 0. Так как Wr,4(т) = гт_11(т>+,/т>Л(т), то из утверждений §§ 5,6 вытекают утверждения § 7. Пусть ае(0,1] и 8ас[0,оо) множество точек, в которых функция Н удовлетворяет условию Липшица с показателем а. Обозначим ,г<8°> сужения процессов Ъ на параметрическое множество 8а. Теорема 7.1. Пусть выполнены условия 1)- 3) теоремы 5.1 и ае(0,1]. Если Т, Д—>со так, что выполнены условия е) - ж), то все конечномерные распределения процесса сходятся к соответствующим конечномерным

распределениям процесса г'8"^.

Теорема 7.2. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 5.2 и ае(0,1]. Если Т, д—>оо так, что выполнено условие 4) теоремы 5.2 и выполнены

условия е) - ж), то все конечномерные распределения процесса сходятся к соответствующим конечномерным распределениям процесса

г<4

Пример 7.1. Пусть де(0,оо) - функции, определенные в примере 2.1, а функция Дх) совпадает с одной из следующих функций:

Кроме того, пусть Т = Д\ Тогда, если выполнены условия 1) - 3) теоремы 5.1 и 0 < V < 2а, то при д->оо имеет место утверждение теоремы 7.1. Соответственно, если выполнены условия 1) - 3) теоремы 5.2 и 12

— +-< V < 2а, где р - параметр из условия 2), то при Д-у» имеет место

2 р-2

утверждение теоремы 7.2.

0, т <0;

Пример 7.2. Пусть Н(т1 = 1

-,т£0.

1 + т

Функция Н удовлетворяет всем условиям теоремы 7.2. При этом параметр р можно выбрать произвольно из интервала (2, со). Условиям теоремы 7,1

функция Н не удовлетворряет, так как sup|H*(X.)| = «>. Поскольку для всех

t>Q функция Н удовлетворяет условию Липшица с показателем а-1, то 3ц=(0,аэ). Пусть 4, Д€(0,оо) - функции из примера 7.1. Тогда, если Т = Д" и ve(l/2,2), то при Д-юо все конечномерные распределения процесса (Wt.a(t), t>0) сходятся к соответствующим конечномерным распределениям процесса (Z(x), т>0).

В § -8 на примере функций fA(x) = дxeR;Ae(0,oo)

2п 1 ' 1

изучается ситуация, когда в условии в) р > 0. В теоремах 8.1, 8.2 показано, что при дополнительных, предположениях относительно гладкости функции Н имеют место теоремы аналогичные теоремам 7.1,7.2.

В §§ 9—12 рассматривается задача несколько отличная от той, что рассматривалась ранее. Пусть наблюдению доступны процессы:

I

Y(t)= }H(t-s)dW(s),t6R,

Хд(1)= Jg4(t-s)dW(s),te=R,

-00

где W(t), teR - стандартный винеровский процесс на R, а Де(0,оо) -некоторый параметр. Предполагается, что действительнозначные импульсные переходные функции g^t), t £ 0 известны. Требуется оценить действительнозначную импульсную переходную функцию Н(т),т £ 0.

Относительно функций g4 предполагаются выполненными следующие общие условия:

A)BieL,(R)nl2(R), Де(0,со);

■ Б> supfgâ||

Д ■ •

В) существует такое число с е R \ {0}, что для любого аХ) lim suplgl(x)-Sj = 0,

где - преобразование Фурье функции gA.

Пример 9.1. Пусть g = (g(t), teR) - такая действительнозначная функция,

что g(t) =» 0 при t < 0, и удовлетворяющая следующим условиям:

«

gAeL|(R)DL2(R); Jg(t)dt=c *0.' Тогда функции gâ(t)=Ag(At), teR; Дб(0,оо) о

удовлетворяют условиям А) - В).

В качестве оценки для Н(т),т2Ю рассматриваем

Нтд(т) = ^]хд(1)У(1 + т)Л. ;

В § 10 устанавливается вид корреляционной функции процесса 2т.д(т) = VtJht д(т)- ЕЙТЛ(т)|,т £ 0 и находится ее предел при T, Д-х».

Теорема 10.3. Пусть 1) HeLîiR); 2) существует такое р > 2, что H*eLp(R); 3) функция Н* непрерывна почти всюду на R. Тогда для всех Ti.tjâO

ПтЕ2т>д(т,)2т>д(т2)=С(т,,т2),

Д-+0О * .

где функция С(ть т2) определена в соотношении (3).

В § 11 рассматривается асимптотическая нормальность конечномерных распределений процесса ZT A. Установлены теоремы, аналогичные теоремам 5.1,5.2.

Пусть Z - гауссовский процесс, определенный в § 5. Теорема 11.1. Пусть 1) HeL2(R); 2) H*cLi(R)(TU(R); функция H* непрерывна почти всюду на R. Тогда для всех Т|,...д„е[0,оо); nàl

11тЕ[п2т,д(хк)1=Е[п4тк)]. (6)

Д-к» 1-к»1 J 1Д-1 2 '

В частности, все конечномерные распределения процесса ZTlД сходятся при Т, Д—>® к соответствующим конечномерным распределениям процесса Ъ.

Теорема 11.2. Пусть 1) Не 1^(11); 2) существует такое р > 2, что Н бЬ2Р(Я); 3) функция Н* непрерывна почти всюду на К; 4) Т-»<ю, д-*» так, что для любого ш £ 3

тт%\г

->0,

(Ш-2ХР-2) •р 2р ,

где Гд(х)=фд(х)|2, а а(ш), Ь(т) определены в теореме 5.2. Тогда имеет место соотношение (6) и, в частности, все конечномерные распределения процесса Ъх д сходятся к соответствующим конечномерным распределениям процесса Ъ.

В § 12 устанавливаются условия асимптотической несмещенности оценки Нтд(т) и условия асимптотической нормальности погрешности оценивания. Полученные утверждения подобны утверждениям §§ 6,7.

Рассмотрим условия, дополнительные к условиям А) - В): параметры Т, д стремятся к бесконечности так, что:

Г) •Ут

(0;

Д) для любого е>0 4Т -» 0;

е

СО

Е) для любого е>0 ^71й2А(\уы-+0.

Лемма 12.1. Пусть НеЬ2(К) и точка хе[0,оо) такова, что функция Н удовлетворяет в точке х условию Липшица с показателем ае(0,1]. Тогда, если Т, Д—>оо так, что дополнительно к условиям Г) - Е) выполняется условие

1

Ж) существует такое е>0, что -у/Т [^¿(^"ск -> 0, то

^т[ЕЙт,д(т)-Н(х)]->0. Пусть ^т,л(т)= 7Т[НТЛ(Т)-Н(х)], т£0.

Теорема 12.1. Пусть выполнены условия 1)-3)теоремы 11.1 и ае(0,1]. Если Т, д->ао так, что выполнены условия Е) - Ж), то все конечномерные распределения процесса сходятся к соответствующим конечномерным распределениям процесса .

Теорема 12.2. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 11.2 и ае(0,1]. Если Т, д—>со так, что выполнены условия Е) - Ж), то все конечномерные распределения процесса сходятся к соответствующим конечномерным распределениям процесса .

Пример 12.1. Пусть = 0 при г < О и ё^Ц) = Де"А', I 5: 0; де(0,оо). Кроме того, пуль Т = Д". Тогда, если выполнены условия 1) - 3) теоремы 11.1 и о<у<2а, то при д—>а> имеет место утверждение теоремы 12.1. Соответственно, если выполнены условия 1) -3) теоремы 11.2 и 1 2

- +-< v < 2а, где р - параметр из условия 2), то при Д->°о имеет место

2 р-2

утверждение теоремы 12.2.

В §§ 13-14 изучаются условия слабой сходимости процессов Ътл, \¥т.д к процессу Ъ в пространстве непрерывных функций. Эти процессы считаем сепарабельными, что вполне естественно в силу их стохастической

непрерывности. Пусть С[0,а] - пространство непрерывных действительнозначных функций, заданных на интервале [0,а].

Теорема 13.1. Пусть выполнены условия 1) - 3) теоремы 5.1. Если дополнительно

^Н0(фе<со, (7)

(где Н„(е) - энтропия отрезка [0,1] относительно псевдометрики

то для любого а > 0

(I) геС[0,а] п.н.; '

(II) гТ>деС[0,а] п.н., Т,л>0; ■ ; ■

С[0,а]

Теорема 13.2. Пусть выполнены условия 1) - 4) теоремы 5.2 и дополнительно выполнено условие (7). Тогда имеют место утверждения (I)-(III) теоремы 13.1.

Энтропийное условие (7) достаточно просто проверить. Лемма 13.2. Пусть существует такое 6>0, что

j[ln(l «IX <00.

Тогда имеет место соотношение (7).

Теорема Г4.1 П4.2У Пусть а > 0 и функция Н равномерно на [0,оо) удовлетворяет условию Липшица с показателем ае(0,1]. Если выпонены условия теоремы 7.1 (или теоремы 7.2) и выполнено условие (7), то

(I) ZeC[0,a] п.н.;

(II) WT.AeC[0,a] п.н., Т, Д > 0;

С10..1

(III) Wr& => Z, в частности для любого б>0

Т.А-»®

Итоговые выводы. Таким образом установлено, что при достаточно общих предположениях оценка НТ1Д(т) импульсной переходной функции и погрешность НТ4(т)-Н(т) обладают свойством асимптотической нормальности. Однако при этом параметры Т и Д должны стремиться к бесконечности согласованным образом. Характер этой согласованности определяется в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1.Булдыгин В.В., Фу Ли. О статистическом оценивании импульсных переходных функций линейных систем. - Киев: Киевский политехнический институт - 1994. - 29с. Деп. в ГНТБ Украины 21.06.94. - № 1201.

2.Фу Ли. Об асимптотических свойствах оценок импульсных переходных функций линейных систем, возмущаемых стационарными гауссовскими процессами. - Киев: Киевский политехнический институт -

1994-20 с. Деп. в ГНТБ Украины 27.10.94.-№2074. *

3.Фу Ли. Об оценке импульсной переходной функции линейно? системы, возмущаемой белым шумом. - Пращ другоТ ВсеукраТнсько конференци'молодих вчених. Киш, 16-17 травня, 1995 р. Математика, стар 45-48. - Сборник деп. в ГНТБ Украины 4.09.95. - № 2034 Ук - 95.

Фу Jli. Про статистичне ощиювання ¡мпульсних перехщних функш$. Рукопис. Дисертащя на здобутгя вченого ступеня кандидата ф1зико-математичних наук 3i спещальноеп 01.01.05 - теор« ймов^рностей та математична статистика. Кшвський ушверситет ¡м. Тараса Шевченка, КиГв, . 1995. ' ' !

В дисертацп дослцркено асимптотичш властивосп статистичних оцшок ¡мпульсних перехщних функщй лшШних систем.

Fu Li. On statistical estimation of impulse transition functions. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science (Ph.D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.05 - Probability Theory and Mathematical Statistics. Kiev University, Kiev, 1995.

Asymptotic properties of the statistical estimation of the impulse transition functions are investigated.

Ключов1 слова: статистичш оцшки, ¡мпульсш перехщш функцп, лшШш системи, rayccoBi процеси, асимптотична нормальтсть.

П1дп. до друку I». ЛЦК Формат 60x847,6.

Яап1р друк. Л J . Cnocie друку офсетиий. Умовн. друк. арк. . Умовн. фарбо-в1дб. 1,04 . Обл.-вид. арк. 4,0 Тираж 1<Ю ■ Заи. ЛЬ X-Vjfj •

Ф|рма «В1ПОЛ» 2S21SI, КиГа, вул. Волииська, 60.