О строении проективных плоскостей порядка 9 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ Б ОД

/ к СЕН 1995

На праьах рукописи

ВАСИЛЬКОВ Вадим Ивановсч О СТРОЕНИИ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПОРЯДКА 9 01.01,06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1095

Работа выполнена иа кафедре алгебры и геометрии Курганского государственного педагогического института

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор 1Г0НИН Б.Г.11

кандидат физико-математические наук,

доцент СЕСЕКИН Н.Ф.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор НИКИТИН A.A.

кандидат физико-математических наук,

доцект, ИЛЬИНЫХ А.П.

Ведущей организация: Красноярский государственный

университет

Защита состоится СЛ^О^АЛ/ЭЯ 199 5~Г.

ü "/.5 " часов на заседании диссертационного Совета К.002.07.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620019, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться 2 библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан

"«Лч ^ 199 JT7

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физико-математических наук,

профессор j/C^v^— КОНДРАТЬЕВ A.C.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящее время общепризкана соусная роль дискретной математики, разделом которой является комбинаторный аиолиз. Значительное место з комбинаторно:.! анализе занимают блок-схемы, наиболее изученные из систем инцидентности. Частным случаем блок-схем лпллются конечные проективные плоскости, теория которых развита достаточно глубоко и представлена во многих крупных работах, в частности, и па русском языке (работы Е.Г. Гонина, Ф. Картеси, К.А. Рыбникова, Л.А. Скорнякова, М. Холла, А.й. Ширшова и A.A. Никитина, см. [I - 7]).

Из этой теория следует, что все конечные проективные плоскости, известный в настоящее время, имеют порядок, равный степени простого числа, причем, педезарговы плоскости существуют для всех порядка а рг ( р - простое я г - натуральное числа, г i 2 ), кроме порядков 4 и 8. Отсюда, наименьший порядок, для которого существуют недезарговы плоскости, равен 32-9.

Кроме дезарговой, в настоящее время известны три недезарговы плоскости порядка 9: плоскость трансляций, плоскость сдвигов (она "двойственна плоскости трансляций) и плоскость Хьюза. Они были открыты еще в 190? г. Вебленом и Веддербарпом [8], но последняя плоскость носит имя Хьюаа, так

как он построил целый класс недезарговых плоскостей, в котором

t

наименьший порядок плоскости равен как раз 9 [9].

Других проективных плоскостей порядка 9 пока не обнаружено, до и не доказано, что такоаых нет.

Ииенио эти четыре проективные плоскости порядка У и являются объектом исследования в диссертации.

Важным для теории конечна« проективных плоскостей является знание их строения, прежде всего для иевысог;их порядков. Круг вопросов, подлежащих исследованию для данной проективной плоскости, достаточно обширен. В рассматриваемой работе в него включены следующие:

1) группа коллннеаций (^лл,т»иеппмя плоскости - это преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку, прямая - в прямую, сохраняется инцидентность точки и прямой);

2) наборы точек; а частности,

k-дугн (к-дугд - любое множество из к точек плоскости, никакие три из которых не коллидеарны);

3) под плоскости (ПОДПДО£КО£?.Ь - часть плоскости, которая сама представляет плоскость);

4) связь между подплосксстямп одного порядка.

Разумеется, этот перечень вопросов нельзя считать полным,

но он содержит существенные вопросы, которые приходится гак или иначе решать, изучая строение конкретной проективной плоскости конечного порядка.

Изучением строения плоскостей порядка 9 занялись сравнительно недавно, для недезарговых плоскостей - с серьдии л пятидесятых годов, после публикаций в 1955 г. (Andre) и в 1S57 г. (Zappa) статей {10,11], з которых рассматриваются группы коллинеаций плоскостей трансляций и Хьюза соответственно. Знание групп коллинеаций позволяет дьть ответ на некоторые вопросы 2 - 4 из приведенного выше списка.

Главная цель диссертации единым методом провести классификацию и подсчеты оодплоскостей возможных порядков 2 и 3 в

каждой на недезарговых плоскостей порядка 9. После достижения этой цели - решить диа вопроса из книгь [12] о пересечении подплоскостей порядка 3 в плоскости Хьтоза порядка 0:

I. Существуют ли непересекающиеся подплоскости ?

II. Существуют ли такие подплоскости, пересечением которых является лишь тройка коллинеарных точек ?

Для реализации главной цели используется следующий план.

1) Прежде всего для к = 1,2,3,4 изучаются к-наборы точек с точностью до изоморфизма (два к-набора точек, называются изоморфными, если существует коллинеация плоскости, отображающая любой из них в другой).

2) На основе изучения 4-наборов точек (в частности, 4-дуг) исследуются подплоскости: проводятся классификация и подсчеты подплоскостей.

Первый этап плана реализуется с помощью единого иехода отыскания всех типов к-наборов точек (прямых) в конечной

поэтапных отождествлений (предложенного Е.Г. Гониным [1В] и описанного Ю.Н. Зверевой в статье [14]) к условиям данной задачи. .

На втором этапе реализации плана используется дрш исследования (классификации и подсчета) подплоскостей с помощью 4-дуг. изученных на первом этапе.

• С помощью результатов, полученных на 1,2 этапах приведенного плана, решаются указанные выше два вопроса из книги [12]. При их решении применены специально

который является конкретизацией метода

В ходе исследования недезарговых плоскостей решены следующие задачи.

1) Найдены все опорные к-наборы точек для к = 3,4; при этом опорный !'.-;:дбор - ото представитель класса изоморфных между собой относительно группы коллинеаций плоскости к-кабором (исследование таких наборов стало возможным лишь после изучения к-наборов для к = 1,2 тем же методом).

2) Для каждого опорного к-набора точек найдены группа автоморфизмов этого к-набора (автоморфизм к-набора - это коллинеация плоскости, при которой к-набор отображаете» на себя), ее порядок и образующие элементы, а также общее число к-наборов, изоморфных опорному; это число при к > 2 находится по формуле И1! «=■ И : И .

В этой формуле: Ы^ - общее число к-наборов, изоморфных опорному набору ¡0| - порядок группы коллинеаций. плоскости,

- порядок группы автоморфизмов опорного набора

3) Проведены классификация н подсчеты подплоскостей порядков 2 и 3 в плоскости трансляций, при этом устранена ошибка итальянского математика Ма&ап [15] в подсчете подплоскостей порядка 3.

4) Пров едены классификация а подсчеты подплоскостей ■ порядков 2 я 3 ' в плоскости сдвигов, двойственной плоскости

трансляций. '.

О 1

5) Теил зке приемами, что ч для плоскости трансляций, проведены классификация и подсчеты подплоскостей порядков 2 п 3 в плоскости Хьюза,

6) Решены два упомянутых выше вопроса из книги [12] о оресечсаии подплоскостей порядка 8 в плоскости Хьюза.

Отметим, что классификация подплоскостей данного порядка в кал'.дсл"; л? гедсчарговых плоскостей проведена с использованием К'дйфигурацпл особенных точек и особенных прямых в составе

- 7т дплоскости, а именно: необходимым условием изоморфизма двух подплоскостей одного порядка является наличие однотипной указанной конфигурации; достаточным же условием изоморфизма таких двух подплоскостей является существование конкретной коллинеации, отображающей одну из подплоскостей на другую.

Подсчеты числа подплоскостей каждого типа X проведены по двум формулам:

Пх - £Г*41 : 7 - для порядка 2, Пх =• : 234 - для порядка 3.

Эти формулы являются частными случаями общей формулы, созданной для подсчета подплоскостей. В приведенных формулах: пх - число подплоскостей данного типа X;

- число всех 4-дуг, входящих в состав найденных

изоморфных подплоскостей типа X, й изоморфных, соответственно, опорным 4-дугам которые порождают эти

изоморфные псдплискости;

7 - общее число 4-дуг з состава одной подплоскости порядка 2; 234 - обгцез число 4-дуг в составе одной подплоскости порядка

3.

Решение перечисленных в предыдущем пункте задач в значительной степени устранило имевшиеся пробелы в изучении строения проективных плоскостей порядка 9. Наконец, методы и приемы, использованные в диссертационной работе, пригодны и для исследования проективных плоскостей более высоких конечных порядков.

■ Практически все основные результаты, полученные в диссертации для недезарговых плоскостей порядка 9, являются новыми й имеют теоретическое значение. В то же время, часть результатов [19] получена параллельно и независимо от

канадского математика Деннистона (161 единым методом, отличным от использованного последним.

Результаты работы были доложены на 25 - 28 конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны в 19671970 г.г., на б Казахстанской конференции по математике и ьхзхавико в 1974 г., ва семинаре по комбинаторному анализу при МГУ в марте и октябре 1974 г., на семинаре по алгебре при Новосибирском университете и Институте математики СО АН СССР в марте 1890 г., на городском алгебраическом семинаре в г. Красноярске в декабре 1989 г., на семинаре по алгебре при ИММ Уро РАН в ноябре 1994 г.

Основные результаты диссертации отражены в публикациях [18 - 24] автора, приведенных в конце автореферата.

Диссертация состоит из введения и пяти глав, "изложенных на 93 страницах, списка цитированной литературы из 35 наименований (из них 19 - на русской языке, 16 - на иностранном языке), а также приложении к главам 2-5, оформленных в виде таблиц 2.1, 3.1 - 3.7, 4.1 - 4.10, 5.1 - 6.10.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В гяпве 1 приведен план исследования и подробно описаны методы исследования (см. стр. 5-6 автореферата).

Глам. 2 посвящена дезарговой плоскости порядка 9 и написана для полноты картины, тел: более, что исследование подплоскостей и для этой плоскости проведено тем же методом, что и для недезарговых плоскостей. Но сначала пришлось описать построение дезарговой плоскости над полем порядка 9 [1].

В_глав£_3 рассматривается плоскость трансляций порядка 9, а именно:

построение этой плоскости над почти-полем порядка 9, группа коллииеацнй плоскости, к-наборы точек для к — 1,2,3,4 и подплоскости в ней.

Основные результаты этой главы, полученные автором, содержатся в теоремах 3.2 - 3.5. Основные утверждения этих теорем состоят в следующем.

В плоскости трансляций порядка 9:

1) имеются (с точностью до изоморфизма) 3-наборы точек точно 11 типов, из них 6 опорных 3-наборов точек являются 3-дугами (теорема 3.2);

2) имеются 4-наборы точек точно 42 типов, из них: 19 опорных 4-наборов являются 4-дугамн, 7 - четверками коллинеариых точек, 16 - четверками точек с тремя коллинеаряыми точками (теорема 3.3);

За) 3 опорные .4-дуги порождают подплоскости порядка 2 одного типа: с одной особенной точкой;

ЗЬ) 5 опорных 4-дуг порождают подплоскости' порядка 3 первого типа: с двумя парами сопряженных особенных точек;

Зс) 3 опорные 4-дуги порождают подплоскости порядка 3 второго типа: с четырьмя особенными точками из четырех различных пар сопряженных особенных точек; .

• Зс1) остальные 8 опорных 4-дуг порождают всю плоскость

(утверждения За - Зй - из теоремы 3.4);

4) имеется 51840 подплоскостей порядка 2, 360 подплоскостей порядка 3 первого типа и 720 подплоскостей порядка 3 второго типа (теорема £.5).

Кроме того, в дополнение к теоремам 3.2 и 3.3, для каждого опорного к-пабора при к ■» 3,4 найдены группа автоморфизмов (ее порядок и образующие элементы), а также общее число к-наборов точек, изоморфных опорному.

ЗАМЕЧАНИЕ. Результаты классификации подплоскостей полностью совпали с результатами, полученными Шъеяп [15] другим (алгебраическим) методом. В подсчетах же подплоскостей порядка 3 Ма#ап допустил сшибку из-за ве совсем аккуратного применения аналогии. В диссертации объясняется причина невозможности использования аналогии в рассуждениях Ма^аг!.

В главе 4 изучается плоскость сдвигов порядка 9 на основе того, что она двойственна плоскости трансляций порядка 9. Сначала выясняется, как свести задачу по изучению. наборов точек и подплоскостей в плоскости сдвигов к двойственной задаче в плоскости трансляций. Затем решается эта двойственная задача, после чего осуществляется переход к плоскости сдвигов.

Основные результаты этой главы, полученные автором, содержатся в теоремах 4.2 - 4.6 о типах к-наборов (к - 3,4) точек в плоскости сдвигов, типах и числе подплоскостей порядков 2 и 3 в ней.

Эти результаты не приведены здесь подробно в силу двойственности плоскостей трансляций и сдвигов.

В главе 5 исследуется плоскость. Хьюза. Схема ее изучения та же, что и для плоскости трансляций. Здесь добавлен лишь параграф о пересечении подплоскостей порядка 3.

Основные результаты этой главы, полученные автором, отражены в теоремах 5.2 - 5.8 в состоят в следующем.

В плоскости Хьюза порядка 9:

1) имеются 3-наборы точек точно 25 типов, из них 16 опорных 3-наборов суть 3-дуги (теорема 5.2);

2) имеются 4-наборы точек точно 164 типов, из них: 92 опорных 4-набора суть 4-дуги, 13 • четверки коллинеарных точек, остальные - четверки точек с тремя колливеарными (теорема б.З);

За) 3 опорные 4-дугл порождают подплоскостн порядка 2 первого типа: с тройкой неколлиьеарных особенных точек и тройкой особенных прямых, соединяющих эти точки;

ЗЬ) 5 опорных 4-дуг порождают подплоскостн порядка 2 второго типа: с одной особенной точкой и одной особенной прямой, которые не инцидентны;

Зс) 3 опорные 4-дуги порождают подплоскостн порядка 2 третьего типа: без особенных точек и особенных прямых;

Зс!) одна опорная 4-дуга порождает подплоскость порядка 3 первого типа: все ее 13 точек - особенные, все ее 13 прямых -особенные; ~

Зе) 10 опорных 4-дуг порождают подплоскостн порядка 3 второго типа: с пятеркой особенных точек, четыре из которых коллинеарны, и пятеркой особенных прямых, соединяющих эти точки;

3£) 7 опорных 4-дуг порождают подплоскостн порядка 3 третьего типа: с четверкой коллинеарных особенных точек и четверкой конкурентных особенных прямых, проходящих через одну из указанных точек;

ЗЬ) 8 опорных 4-дуг порождают подплоскости порядка 3 четвертого типа: с одной особенной точкой и одной особенной прямой, которые инцидентны;

31) остальные 56 опорных 4-дуг порождают всю плоскость

(утверждения За - 31 - из теоремы 5.4);

4а) подплоскостей поряди 2 имеемся: 5616 - первого типа, 16848 - второго типа, 11232 - третьего типа, а всего - 33696;

4Ъ) подплоскостей порядка 3 имеется: 1 - первого типа, 351 - второго типа, 104 - третьего типа, 624 -четвертого типа, а всего - 1080

(утверждения 4а - 4Ь - из теоремы 5.5);

5) имеется 3 пары подплоскостей порядка 3 с общей тройкой коллинеарных точек {В0,В4,В3} и 27 пар подплоскостей порядка 3 с общей тройкой коллинеарных точек {В0,В4,Е12} (теорема 5.6);

6) имеется при фиксированной подплоскости (б3) г.орядка 3 четвертого типа:

a) 54 пары подплоскостей порядка 3 вида (р3,(63)) без общих точек,

b) 54 пары подплоскостей порядка 3 вида (£3,(6з)) бес общих точек (теорема 5.7),

где р8 - подплоскость порядка 3 второго типа, а 53- подплоскость. порядка 3 четвертого типа;

1 ^

- АО -

7) всего имеется:

a) 33696 пар подплоскостей порядка 3 вида (Р3,53) без общих течек,

b) 33696 пар подплоскостей порядка 3 вида (53,53) без общих точек (теорема 5.8).

Кроме того, в дополнение к теоремам 5.2 и 5.3, для каждого опорного к-набора точек при к = 3.4 найдены группа автоморфизмов (ее порядок и образующие элементы), а также общее число к-наборов точек, изоморфных опорному.

Заметим, что подплоскости в плоскости Хьюза порядка 9 независимо и другими методами изучал Бептз1оп [16], фактически параллельно по времени с .автором диссертации. Результаты, полученные разными методами, совпали, что свидетельствует об эффективности использованных в диссертации методов.

ВЫВОДЫ

1. Исследование иедезарговьп: проективных плоскостей порядка 9 в очерченном на стр. 5-6 автореферата плане проведено и полном объеме, получены ответы на те вопросы, которые включены в указанный план.

2. Проведенное исследование и его результаты существенно приблизили время окончания полного исследования строения педезарговых проективных плоскостей порядка 9. В частности, Г.В. Масленникову вместе с автором в конце 1994 г. удалось завершить исследование Ь-дуг в плоскости Хьюза порядка 9 при

5 £ Ь 2 10 [17].

- 14' 3. Полученные в работе результаты могут найти явно© применение, в частности:

1) при отыскании групп автоморфизмов подплоскостей, принятых в работе в качестве опорных;

2) при исследовании к-дуг в плоскости Хьюза порядка 9 для

к ? 5 , что уже сделано в статье [17] (для плоскостей дезарговой и трансляций полное исследование к-дуг при к £ 3 проведено Ю.Н. Зверевой [14]).

4. Результаты, полученные в работе, целесообразно использовать при чтении спецкурса "Конечные проективные плоскости" для студентов-математиков в пединститутах и университетах. Многие вз них позволяют подчеркнуть существенное отличие иедезарговой конечной проективной плоскости от дезарговой, а также от классической проективной плоскости.

б. Видимо, найденные конкретные группы автоморфизмов различных опорных к-наборов точек в плоскостях трансляций к Хьюза дают специалистам по теории групп значительный материал для использования как в учебных, так и в научных целях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гонин Е.Г. Конечные проективные плоскости. - Пермь: Перм. гос. пед. ин-т, 1983. - 94 с.

2. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии: Пер. с англ.-М.: Наука, 1980. - 320 с.

3. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. -2-е изд. - М.: изд-во МГУ, 1985. - 307 с.

4. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // Успехи математических наук. - 1951. - Т.6, N6.-0. 112-154.

- 155. Холл М. Теория групп: Пер. с англ. - М.: ИЛ, 1662. - 468 с.

6. Холл М. Комбинаторика: Пер. с англ. - М.: Мир, 1970. -424 с.

7. Ширшов А.И., Никитин A.A. Алгебраическая теория проективных плоскостей. - Новосибирск: НГУ, 1987. - 84 с.

8. Veblen О., Wedderburn J. Non-Desarguesian and non-Pascalian geometries // Trans. Am. Math. Soc. - 1907. - Vol. 8. -

P. 379-388.

9. Hughes D.R. A class of non-Desarguesian projective planes // Canad. J. Math. - 1957. - Vol. 9. - F. 378-388.

10. Andre J. Projective Ebenen über Fastkörpern // Mat. Z. -1955. - Vol. 62. - P. 137-160.

11. Zappa G. Sui gruppi di collineazioni dei piani di Hughes ,// Boll. Un. mat. Ital. - 1957. - Vol. 12, N" 3. - P. 507-516.

12. Room T.G., Kirkpatrick P.B. Miniquaternion geometry. -Cambridge, 1971. - 176 p.

13. Гойпп Е.Г. Метод поэтапных отождествлений // Материалы к XXVI копф. мат. кафедр пединститутов Урала: Тез. докл. - Киров, 1968. - С. 50-51.

14. Зверева 10.Н. Дуги в проективной плоскости трансляций порядка 9 // Комбинаторный анализ / Под ред. К.А. Рыбникова. -М.: изд-бо МГУ, 1972. - Вып. 2. - С. 99-102.

15. Magari R. Le configurazioni parziali chluse contenute nel piano, P, sul quasicorpo associativo di ordine 9 // Boll. Un. mat. Ital. - 1958. - N 13. - P. 128-140. Y

16. Denniston R.H.F. Subplanes of the Hughes plane of order 9 // Proc. Camb. Phil. Soc. math. phys. Sei. - 1968. - Vol. 64, N 3. -P. 589-598.

17. Васильков В.И., Масленников Г.В. Исследование к-дуг в плоскости Хьюза порядка 9 /Кург. гос. пед. ин-т. - Курган, 1994. -12 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 02.02.95, N 296 - В 95.

18. Наборы точек в плоскости Хьюза порядка 9 // Материалы к XXVI конф. мат. кафедр пединститутов Урала: Тез. докл. - Киров, 1968. - С. 76.

19. Наборы точек и подплоскости плоскости Хьюза порядка 9 // Материалы XXVII конф. мат. кафедр пединститутов Уральской зоны: Тез. докл. - Ижевск, 1969. - С. 231-232.

20. Подплоскости плоскости трансляций порядка 9 // Там же.

21. О пересечении подплоскостей порядка 3 в плоскости Хьюза порядка 9 // Тезисы докладов 5 Казахстанской конференции по математике и механике. Ч.. 2. Математика. -Алма-Ата, 1974, - С. 23В-234.

22. О строении Плоскости Хьюза порядка 9 // Ученые записки Пермского пединститута. - Пермь, 1976. - Т. 156. - С. 55-68.

23. Наборы точек и подплоскости в недезарговых проективных плоскостях порядка 9 // Комбинаторный анализ / Под ред. К.А. Рыбникова. - М.: изд-во МГУ. - 1976. - Вып. 4. -

С. 48-53.

24. О существовании непересекающихся подплоскостей порядка 3 в Плоскости Хьюза порядка 9 / Кург. гос. пед. ин-т. -Курган, 1994, - 11 6. - Деп. в ВИНИТИ РАН 02. 02. 95, N 297 -

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

С. 230.

В 95.