О строго точных неприводимых характерах конечных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

(уАхашпсо-математический факультет

О строго точных неприводимых характерах конечных групп

01.01.06 — математическая логика , алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой стеяени кандидата физико - математических наук

2 ОКТ 1995

На правах рукописи УДК 312.547.2.14

Масляков Игорь Юрьевич

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского _ государственного ' университета имени М. В .Ломоносова.

Научный руководитель

член-корреспондент РАН, профессор А.И.Косгрикин

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор С.П.Струнков кандидат физико-математических наук В.И.Логинов

Ведущая организация

Институт математики и механики Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится

1995 г. в 16 час. 05 мин. на

заседании диссертацискпсго Совета Д.053.05.05 при Московском • государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, -Москва, Воробьевы горы,МГУ .механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан "Л£" С^Я^*1995 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д.053.05.05

при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие строго точного характера первоначально

возникло в связи с изучением групп перестановок конечных множеств. Пусть

G — группа перестановок множества П, состоящего из я элементов. Следуя

{4], обозначим через fix{g) число элементов из ft / неподвижных при действии

geG. Пусть L = {fu(g)\g e С, g # 1} .В 1904 году Х.Бликфельдт доказал, что

число П("-') Делится на порядок группы С (см. [3]). Этот результат также UI

упоминается в чуть более ранней работе'[12] . В 1979 году новое доказательство этого факта дал М.Киота (см. 111]). Возникает естественный вопрос: при каких условиях возможно равенство |G|= 1~1(я -1)1

UL

Эта проблема имеет следующую геометрическую интерпретацию. Для двух произвольных элементов g и h группы G можно определить "расстояние" между ними как число л - (Hamming distance). Легко видеть, что

введенное таким образом "расстояние" удовлетворяет аксиомам метрики , то есть определяет на группе С структуру метрического пространства. Пусть множество попарно различных ненулевых "расстояний" между элементами группы G известно. Тогда в силу результата Бликфельдта произведение элементов этого множества делится на \G\, в частности, ограничивает величину |G| сверху. Каким может быть максимальный порядок группы G при заданном множестве "расстояний" между ее элементами? Может ли он совпадать с указанным выше произведением?

Другая интерпретация этой задачи использует терминологию теории представлений и характеров. Заметим, что функция Ja{g) является точным характером естественного представления (размерности в) группы перестановок

G. Если выполняется равенство \G\ = ]"](«-/),то этот характер называется

ui ......

строго точным (sharp character). Таким образом, задача сводится к поиску и

изучению строго точных характеров естественных перестановочных

представлений. Для некоторых частных случаев эта задача решена в [10j.

В 1988 году в работе [5] понятие строго точного характера было введено в

более общей ситуации. А именно, пусть х ~~ произвольный обобщенный

комплексный характер конечной группы G, L = {;г(г)1г е G,g * l},z(V) = л .

Тогда (см. [5]) число ]"][(«-/) является целым и делится на |G|. UL

Если х —характер комплексного представления группы G, то, очевидно, |~[(л-/)£ft, причем J"[(n- /) * О тогда.и,только .тогда, когда и е L, то

UL Itl

есть х ~ точный характер. В этом случае справедливо неравенство . Точный характер % конечной группы С называется строго

ImL

точным ( типа Z ), если ]~J(n-i) = |G| •'

UL

В [5] описаны строго точные характеры типа X пря |i| = l,i.«= {О,/>,¿ = {-14), ¿ = {-1,0,1}, L- {-1Д1Д}, а также в случаях, когда L — семейство алгебраически сопряженных чисел над ¡iojsr:, Q или i. = {3}UZ" , где V — семейство алгебраически сопряженных. Эти р -.лътаты были уточнены и удалены в {!], [2], 115] .

Авторы указанных выше статей, в основном, описывают строго точные характеры заданного типа, то есть изучают конечные группы , обладающие строго точным характером с заданным множеством значений на группе. В диссертации проблема ставится несколько иным образом. А именно, пусть задана нетривиальная конечная группа С . Имеет ли она строго точный характер? В такой постановке вопрос заведомо имеет утвердительный ответ, поскольку регулярный характер любой конечной группы является строго точным (типа {0}). Поэтому представляется разумным ввести некоторые дополнительные ограничения на искомый характер. В настоящей работе в качестве такого дополнительного требования рассмотрена неприводимость характера. Следует заметить , что среди известных примеров строго точных характеров значительную долю составляют именно неприводимые характеры. Более того , например, в случае |Л] = 2 неприводимость точного характера автоматически влечет строгую точность (см. [5,Ргор.2.1]); а при 1. = {1,1+ 1,1 + 2,1 + 3) , наоборот , из строгой точности следует неприводимость (см. [15]).

Интерес к понятию строго точного характера подтверждается публикацией в последнее время целого ряда статей, посвященных этой теме. Помимо работ, уже упоминавшихся выше, можно отметить, например,[9], (13], [14]. Вызывает интерес и теоретико-числовая сторона вопроса, связанная с возможностью выполнения числового равенства, определяющего строгую точность.

Цель работы: описание строго точных неприводимых комплексных характеров некоторых^ классов конечных групп.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Задача описания строго точных неприводимых характеров решена в работе для следующих классов групп:

1. Симметрические и знакопеременные группы.

2. Конечные неприводимые группы Коксгера. •

3. Произвольные группы порядков рч,ргд или pqr(p, q,r — различные простые числа).

4. jkгруппы (для представлений размерности р).

Методика исследования. В работе применяются методы теории представлений, в частности, техника диаграмм Юнга; теоретико-числовые методы, связанные с вопросами распределения простых чисел в натуральном ряду, а таже специальные подходы к исследованию множеств значений, принимаемых характерами конечных групп (см. [1],[5]).

Научная и практическая ценность. Диссертация имеет теорепгческий характер, ее результаты могут найти применение в теории конечных групп и их представлений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на научных семинарах механике - математического факультета МГУ "Избранные вопросы алгебры" под руководством чл.-корр.РАН, проф. А.И.Кострикина , проф. Ю.А.Бахтурина , д.ф.-м.н. М.В.Зайцева ; "Тег,л у групп" под руководством проф. А.Л.Шмелькина , проф. А.Ю.Ольшанского и на кафедральном иаучно-исследовательском «леабрэтескх« сем?;!--ре ич. '0.10.Шмидта. .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [16),[17],[18], перечисленных в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 104 страницы. Библиография содержит 36 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, дается краткий исторический обзор, формулируются основные результаты (теоремы 1—4).

В главе 1 приведены некоторые используемые, автором известные результаты о строго'точных характерах, доказанные в [1],[2),[5].

Среди известных примеров групп, обладающих строго точными неприводимыми характерами, фигурируют , в частности, симметрические и знакопеременные группы малых степеней , причем некоторые из них обладают более чем по одному такому характеру. Это обстоятельство, а также тот факт, что при п > 4 все неприводимые представления групп и Л, , за исключением одномерных, являются точными, наводят на мысль о разумности поиска новых примеров строго точных характеров среди неприводимых характеров этих групп. Решению этой задачи посвящена вторая глава диссертации, где доказана следующая

Теорема 1. Если С = при я ь 7 или <5 а Ая при п 2:9, то группа С имеет ровно один строго точный неприводимый комплексный характер,' равный

<р-I, где f> — характер естественного представления G как группы перестановок.

В §1 главы 2 приведены некоторые общие сведения о представлениях симметрических и знакопеременных групп, среди которых следует выделить правило Мурнагана—Накаямы — эффективное средство для вычисления

ч

значений характеров на конкретных классах сопряженных элементов. На основании фактов, приведенных в §1, автор доказывает в §2 несколько лемм технического характера.

В §3 обсуждаются некоторые вопросы, связанные с распределением простых чисел в натуральном ряду. В частности, доказывается

Лемма 2.13:Э

(а) При п г 17 существуют два различных простых числа, больших к не превосходящих я -3;

(б) при »¿44 существуют такие простые числа pt и рг у что ••- •-

3 7

PZ<PX ¿a-3, рг>-п , Pi>~я-4 8

(в) при я i. 43 существуют такие простые числа рг и рг , что

В §4 автор возвращается к группам SK и А,, указывая все строго точные неприводимые характеры этих групп при п 5 16.

Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 игр., • след ;утвержиаме (см. [8]), приведенное в §5.

Предложение 2.15. Если комплексный характер конечной группы О принимает на С только целые значения, то значение лг(шоЛ р) постоянно на любом р-классе б.

Замечание. Для всякой конечной группы <7 и простого числа р любой элемент ^еС может быть единственным образом представлен в виде g = , где г, и — коммутирующие элементы С, — р-элемент (т.е. его порядок — степень р), а — ^-элемент (т.е. его порядок взаимно прост с р) (см. [8]) . Элемент gt называется ^-компонентой, а — р'-компонентой элемента Элементы группы (? называются сопряженными, если их ^'-компоненты сопряжены в С в обычном смысле. Таким образом , мы получаем разбиение С на классы эквивалентности , состоящие из ¿^сопряженных между собой элементов.

С помощью предложения 2.15 далее автор доказывает лемму 2.16, дающую необходимое условие' строгой точности характера группы 5„ или А, в виде существования в соответствующей диаграмме Юнга так называемых косых

л

крюков некоторых простых длин. В связи с условиями этой леммы далее разумно отдельно рассмотреть характеры, отличные от 0 и равные 0 на тройных циклах (§§ 6 и 7 соответственно). В обоих случаях леммы 2.13 и 2.16 позволяют ограничиться исследованием довольно узкого множества характеров и довольно быстро доказать теорему 1 для достаточно больших значений л (я >43). После этого автор завершает доказат?льство рассмотрением оставшегося конечного множества значений я. ■

Симметрические группы представляют собой одну из бесконечных серий неприводимых конечных групп Кокстера. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть задачу о существовании строго точных неприводимых характеров у остальных таких групп. Естественность рассмотрения этой задачи определяется также тесной связью между представлениями симметрических групп и грухш Вейля типов В„ и В главе . 3 доказывается

Теорема 2. Если конечная неприводимая группа Кокстера С имеет строго точный неприводимый комплексный характер, то ■ С изоморфна симметрической или диэдральной группе. Диэдралъная группа Ю, при л - не имеет строго точных неприводимых характеров. Если же л

нечетно или делится на 4, то любой точный неприводимый характер группы £>ш является строго точным. Все такие характеры имеют степень 1, их

количество равно где <р{я) — функция Эйлера.

§1 главы 3 содержит общие сведения о группах Кокстера и их комплексных представлениях. Основным результатом §2 является

Лемма 3.3. Пусть С — кеабелева конечная группа, £ — центральный элемент в С простого. порядка р. Тогда, если % — строго точный неприводимый характер группы С, то ¿(1) — степень р.

Так как многие конечные неприводимые группы Кокстера содержат центральный элемент второго порядка, лемма 3.3 часто позволяет автору ограничиваться в главе 3 рассмотрением характеров степени вида 2* .

Вопрос о существовании строго точных неприводимых характеров диэдральных групп £>,(« г 3) не представляет особого труда, поскольку таблицы характеров этих групп хорошо известны. Он полностью решен в §3 третьей главы. §§ 4 и 5 посвящены, соответственно, группам Вейля типов Я, и 1)„. Как уже отмечалось выше, их представления тесно связаны с представлениями Поэтому содержание §§ 4 и 5 перекликается с главой 2, особенно в случае групп типа О, при нечетном я.

Наконец, в §6 главы 3 рассмотрены группы Кокстера исключительных типов. Глава 4 состоит из двух параграфов, в первом из которых доказываются вспомогательные утверждения теоретико-числового характера, а во втором

Теорема 3. Если р-группа б имеет строго точный неприводимый характер степени р, то р = 1, а С изоморфна диэдральной или обобщенной кватернионной группе. Наоборот, если С — группа указанного вида, то любой ее точный -неприводимый характер степени 1 является строго точным.

Некоторые идеи из доказательства теоремы 3 могут быть применены и в других ситуациях. Например, в главе 5 они используются в случае произвольных групп, имеющих порядок вида рч,ргч или ~

различные простые числа). Доказанные результаты (приложения 5.1—5.3) могут быть объединены в следующую теорему.

Теорема 4. Пусть конечная неабелева группа С имеет гггрого точный неприводимый комплексный характер. Тогда (а) если ¡С] = ря{р > ч) , то ц = 1 и О О/,

(б) если |С| = р2д , то либо р = = 3,С = Х4 у либо р = 2,? = 5, С изоморфна группе Фробениуса порядка 20, либо ? = 2 и С= ;

(в) если |С1 = > ч > г), то г = 2 и либо С , либо р- 2?+1 к С изоморфна группе Фробениуса с ядром порядка р и дополнением порядка 2д.

Теоремы 3 н 4, а также известные примеры строго точных характеров

-ч -

позволяют высказать следующую гипотезу:

если группа С нечетного порядка обладает строго точным неприводимым характером, то она циклична.

Наконец, глава б посвящена простым конечным группам, интерес к которым обусловлен хотя бы тем, что все их нетривиальные характеры заведомо являются точными. К сожалению, существующие подходы к описанию характеров простых конечных групп (см., например, [6]), по-видимому, пока не дают достаточной информации о множествах значений, принимаемых ими. Поэтому автор диссертации ограничивается рассмотрением лишь тех классов простых конечных групп, для которых построены (в общем виде) таблицы характеров (группы Сузуки, Ри и некоторые другие). Рассмотрение этих групп, анализ таблиц характеров, содержащихся в {7], а также теорема 1 (для групп 4, ), по-видимому, дают автору основания высказать в §2 главы б следующее предположение:

если простая конечная группа С имеет неприводимый строго точный характер, то справедливо одно из следующих утверждений:

(а) {?— циклическая группа простого порядка;

(б) (г— знакопеременная группа;

(в) С? = гаф") (п г 2);

(г) G = GZ„(2) (л г 3);

(д) С з Ми;

(е) С г

Как показано в §1, все перечисленные в этом списке группы имеют строго точные неприводимые характеры.

Наконец, содержание заключительного §3 главы б вполне соответствует его названию "Некоторые открытые вопросы о строго точных неприводимых характерах".

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Алексею Ивановичу Кострикину за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также руководителям семинара "Избранные вопросы алгебры" Ю.А.Бахтурину и М.В.Зайцеву за полезные обсуждения и замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alvis D. On finite groups admitting certain sharp characters with irrational values// Commun. Algebra. 1993. Vol.21. №2. P. 535 -554.

2. Alvis D., Kiyota M., Lenstra H.W., Nozawa S. Sharp characters with only one rational value// Commun. Algebra.1994. Vol.22. №1. P. 95-115.

3. Blichfeldt H.F. A theorem concerning the invariants of linear homogeneouse groups, with some applications to substitution groups// Trans. Amer. Math. Soc. 1904. Vol.5. P. 461-465.

4. Cameron P.J., Deza M., Frankl P. Sharp sets of permutations// J. Algebra.

1987. Vol.111. P. 220 - 247. '

5. Cameron P.J., Kiyota M. Sharp characters of finite groups// J. Algebra.

1988. Vol.115. №1. P. 125-143.

6. Carter R.W. Simple groups of Lie type. Conjugacy classes and complex characters. Chichester — New York — Brisbane — Toronto — Singapore: Wiley—Interscience, 1985.

7. Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985.

8. Gorenstein D. Finite groups. New York: Harper and Row, 1968.

S. liycry N. Sharp characters and prime grafs of finite groups// J. Algebra. 1994. Vol.163. №1. P. 1—8.

10. Ito N. Kiyota M. Sharp permutation groups// J. Math Soc. Japan. 1981. Vol.33. P. 435-444.

11. Kiyota M. An inequality for finite permutation groups// J. Combin. Theory. 1979.Ser. A. Vol.27. P. 119.

12. Maillet. Armales de la Faculte des Sciences de Toulouse. 1895. P. 8.

13. Matsuhisa T. A class of finite groups admitting certain sharp characters. I// Tsukuba J.-Math. 1990.Vol.14. №1. P. 71-77.

14. Matsuhisa T., Yamaki H. A class of finite groups admitting certain sharp characters. II//Proc: Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 110. №1. P. 1-5.

15. Nozawa S. Sharp characters of finite groups having prescribed values// Tsukuba. J. Math. 1992. Vol. 16. №1. P. 269 -277.

Работы автора по теме диссертации

16. Масляков И.Ю. Строго точные неприводимые характеры симметрических и знакопеременных групп// Мат. сб. 1993. Т. 184. №8. С. 55— 80.

17. Масляков И.Ю. О строго точных неприводимых характерах конечных групп Коксгера// Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1994. -№1. С. 35-39.

18. Масляков И.Ю. О конечных группах со строго точными неприводимыми характерами// М: МГУ, 1995. Деп. ВИНИТИ № 1721 В-95.