О свободных (конформных) алгебрах Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Чибриков Евгений Сергеевич

О СВОБОДНЫХ (КОНФОРМНЫХ) АЛГЕБРАХ ЛИ

(Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск. 2004

Работа выполнена на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Бокуть

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.М.Копытов

на заседании специализированного совета' К 212.174.01 Новосибирского государственного университета по адресу: 630090 Новосибирск, ул.Пирогова,2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан "_"_2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.174.01 кандидат физико-математических наук

доктор физико-математических наук, профессор А.Н.Зубков

Ведущая организация:

Омский государственный университет

Защита диссертации состоится

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [25] в 1950г. В диссертации А.И.Ширшова [10] (1953, опубликовано в [12], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [33]. Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [11] и Р.Линдоном [24], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления книги М.Лотера [29], эти слова назывались правильными (ассоциативными и неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [5], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [29] эти слова названы словами Линдона, так же они называются и в книге Х.Рейтенауера [31]. Мы называем их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [15].

А.И.Ширшов в работе [13] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Л.А.Бокутсм [2] (1962), который построил базы свободных алгебр Ли, дающие после факторизации базы свободных разрешимых алгебр Ли и, более общее, свободных полинильпотентных алгебр Ли. Вазы свободных разрешимых алгебр Ли были значительно позднее переоткрыты Х.Рейтенауером [30] (см. также его книгу [31]).

Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [7] и Л.С.Штерн [9] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов пеассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [14]).

Г.П.Кукин [6] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена правонормированной базе, но в этой части имеются ошибки (см. текст

диссертации).

В работах Д.Блессенохла, Х.Лауе [20], Р.Брайснта, Л.Ковача, Р.Штёра [22] и С.Гуилфойла, P.Штеpa [26] построены базисы свободной алгебры Ли, состоящие из многочленов.

В упомянутой выше работе [13] 1962 года А.И.Ширшов ввел понятие композиции для лиевских многочленов и доказал для них лемму о композиции. Б.Бухбергер [23] в 1965г. ввел аналогичное понятие для коммутативных многочленов (s-многочлены) и доказал аналогичное утверждение (теорема Бухбергера). Замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Б.Бухбергер назвал базисами Гребнера. В последнее десятилетие такие множества для алгебр Ли и ассоциативных алгебр стали называть базисами Гребнера-Ширшова. .Важным следствием леммы о композиции является Composition-Diamond лемма (CD-лемма). Для ассоциативных алгебр CD-лемма содержится в работах Л.А.Бокутя [4] и Дж.Бергмана [19].

В восьмидесятых годах А. А. Михалев [8] распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр. С.-Дж.Канг и К.Х.Ли [28] доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей. Теория базисов Гребнера-Ширшова построена и для конформных алгебр (см. следующий абзац).

Понятие конформных алгебр появилось в теории вертексных алгебр, которая, в свою очередь, возникла в середине 80-х годов из математической физики (релятивистской квантовой теории поля и теории струн). Впервые вертексные алгебры были введены (неформально) в работе [18], формальное определение было дано Р.Борчердсом [21]. В.Кац в книге [27] дал формальное определение конформной алгебры и использовал его для изучения вертексных алгебр. В работе [21] Р.Борчердс анонсировал сущесгвование свободных вертексных алгебр (их существование не следует из общих теорем универсальной алгебры, так как класс вертексных алгебр не образует многообразия). Этот результат был получен М.Ройтманом [32]. В

той же работе М Ройтман доказал существование свободных ассоциативных конформных алгебр (другое доказательство см в [16]) Л А Бокугь, И Фонг и В -Ф Ке [17] распространили идеи и технику базисов Гребнера Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр

Цель работы. Основной целью работы является построение правонормированных базисов свободной алгебры Ли и свободной супералгебры Ли (главы 1 и 2) Кроме того мы находим базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих (глава 3)

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории колец, структурной и комбинаторной теорий конформных и вертексных алгебр

Основные результаты.

1) Построен правонормированный базис свободной алгебры Ли

2) Определена новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова Доказано, что полученные лиевские слова образуют базис свободной алгебры Ли Для этого базиса доказан вариант CD леммы

3) Построен правонормированный базис свободной супералгебры Ли

4) Найден базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми

Практическая ценность. Результаты имеют теоритическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития теории (супер)алгебр Ли теории конформных и вертексных алгебр

Апробация работы. Результаты диссертации были представленны на Международной алгебраической конференции памяти 3 И Боревича (Санкт-Пекрбург 2002), на XXXIV Ре1иональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной магсма1ики"(Екааеринбур1, 2003), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел современные

проблемы и приложения."(Тула, 2003), на Международной алгебраической конференции (Москва, 2004). Результаты также докладывались на семинаре им. А.И.Ширшова "Теория колец" ИМ СО РАН, семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, четыре из них - тезисы трудов конференций.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 89 страницах, состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы. Первая глава состоит из четырех параграфов, вторая и третья из трех. Список литературы содержит 49 наименований.

Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена линейным базисам алгебр Ли. В §1.1 приведены необходимые определения и результаты. Основная часть. данной главы посвящена построению базиса свободной алгебры Ли, состоящего из правонормированных слов [а,,^,^. • • [аЕ1_1С1,*(]...]]], где - свободные порождающие.

Пусть X = {а;|г € /} - линейно упорядоченное множество, к - поле, Ые(Х)- свободная алгебра Ли над полем к, порожденная множеством X. Обозначим через свободный моноид всех ассоциативных слов в алфавите X (включая пустое слово 1). Элементы свободного моноида (X) упорядочим лексикографически: и < 1 для любого непустого слова и и, по индукции, и < V, если и — а,и', к = а^ь', где а; < а^ или а; = и и1 < V1.

Слово и назовем строго лексикографически меньшим слова V, в обозначениях и

некоторых букв

Будем говорить, что ассоциативное слово и (строго) почти больше или равно ассоциативному слову V, в обозначениях и У V (и >-5 ь), если и < V (и <8 г;), но и = иец для некоторого слова й > V и некоторой буквы а;.

Для любого слова ги = о^а^.-.а,-, через к* = обозначим

инверсию слова и). Приведем основное определение первой главы.

Определение 1.8 Определим подмножество Тд- С (X) индукцией но числу вхождений старшей буквы в слово Если слово имеет единственное вхождение старшей буквы а и может быть записано в виде уа, то мы полагаем, что уапринадлежитмножеству Тх■

Пусть V) - слово, в составе которого старшая буква, которую мы снова обозначим через а, встречается более двух раз, и

ги — и'м(ау)п,ащи[... (ау)п'аи2и'2(т)п'ащь'а, (1)

где

Условия на и} определяют представление (1) однозначно. Все слова из {X), которые не могут быть представлены в виде (1), по определению не принадлежатмножествуГх-

Предположим, что для любого алфавита Z мы уже определили все слова, множестваГг, у которых число вхождений старшей буквы меньше, чем число вхождений буквы а в слово т. Пусть

В слове ш заменим все подслова вида (аи)"'аи} на буквы (здесь

и во всех непустых словах заменим все буквы

на буквы Получим новое слово

в алфавите

Упорядочим множество У следующим образом

Тогда число вхождений старшей буквы в слово гу'1' меньше, чем число вхождений буквы а в слово ш Используя индукционное предположение, мы полагаем, что ш принадлежитмножеству Тх тогда и только тогда, когда слово принадлежит множеству

Теорема . 1.1 Пусть Lie(X) - свободная алгебра Ли над полем к, порожденная множеством X, и Тх - множество ассоциативных слов из определения 1.8. Тогда слова

где аца^.-.а^ ЕТх, образуют линейный базис Ые(Х).

Существенное применение в доказательстве теоремы 1.1 нашли слова Линдона-Ширшова. А именно, для доказательства линейной независимости построенного множества правонормированных слов в §1.2 определяется биективное отображение, которое перерабатывает (с сохранением состава) базисные правонормированные слова в (неассоциативные) слова Линдона-Ширшова. При этом важную роль играет найденное представление слов Линдона-Ширшова с выделенными старшими буквами.

В заключительном §1.4 этой главы мы определяем новую расстановку скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова Новая

расстановка скобок (как и расстановка скобок Линдона-Ширшова) удовлетворяет следующему свойству: старшее слово ассоциативного многочлена [[и;]] совпадает с т. Это позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 1.2 Множество

{[[Н] I ш— ассоциативное слово Линдона-Ширшова) образует линейный базис свободной алгебры Ли Ые(Х).

Использование правонормированных базисных слов из теоремы 1.1 дает возможность доказать теорему 12 для любого k-операторного кольца Ли. Это в свою очередь позволяет доказать теорему 1.1 в случае, когда к -произвольное ассоциативное коммутативное кольцо с единицей. В конце §1.4

мы доказываем аналог CD-леммы для новой расстановки скобок:

Теорема 1.3 Множество Э С Ые{Х) является базисом Гребнсра-Ширшова тогда и только тогда, когда множество слов

{[[ги]| | и: — 8-редуцированное ассоциативное слово Линдона-Ширшова} образует линейный базис фактор-алгебры Ые(Х)/Ы(3) = ¿ге[Х|5].

Во второй главе на основе тех же идей мы строим правонормированный базис свободной супералгебры Ли над полем характеристики отличной от двух и трех. Этот базис устроен заметно сложнее, чем правонормированный базис свободной алгебры Ли, это видно из следующего определения.

Определение 2.2 Определим подмножество С}х С (X) индукцией по числу вхождений старшей буквы в слово, здесь X = Хд и Х\ - объединение четных и нечетных букв соответственно. Если слово м> имеет одну старшую букву а в своем составе и ю = ш, то мы полагаем, что м> принадлежит множеству Ох- Рассмотрим слово вида ш = ЬЯ20Л1)1(1 с двумя старшими буквами а в своем составе. Тогда мы считаем, что м> принадлежит множеству Ох, если и)\ можно представить в виде ги\ — щь* так, что выполненно одно из следующих условий:

1) если ау является четным словом, то щ У V;

2) если ау - нечетное слово, то либо И1 = V, либо Щ У, V.

Пусть - слово, в составе которого старшая буква, которую мы снова обозначим через а, встречается более двух раз, и

т = и'м(ау)п,ащи[... (ау)п'аи2и'2(аь)щсш1ь*а, (4)

где не содержат буквы а в своем составе для всех

2<^'<< + 1 и выполненно одно из следующих условий:

1) если ау является четным словом, то П\ > 0 и «1 >- V;

2) если ау - нечетное слово, то щ — О и Щ — V или щ У, V.

Условия на И] определяют представление (4) однозначно. Все слова, которые не могут быть представлены в виде (4), по определению не принадлежат множеству Qx.

Предположим, что для любого алфавита 2 ~ и где ¿¿о и '¿\ - непересекающиеся множества четных и нечетных букв соответственно, мы уже определили все слова множества у которых число вхождений старшей буквы меньше, чем число вхождений буквы а в слово w.

Если в слове ш (4) выполнение равенство щ = V (в этом случае = О, av — нечетное слово), то положим

й — и[+1(ау)п,ащи[... (ау)пзащщ(аь)п''1'1аи2 (5)

при м'2 — 1>11

■ш ~ и[+1(ау)п'ащи'(... (ауу1 аи^и^аь^тт^) (С)

при и'2 — ап 6 X. В случае щфу полагаем

ю - и'м[аь)п,ащи\... (аъ^ащи'^аь')"1^ащ. (7)

В получившемся слове й) заменим все подслова вида (аи)т>ащ на буквы •^(ач^аи, (в равенаве (6) считаем, что и^ := и'^, гч :— Уа,^), и во всех непустых словах заменим все буквы на буквы

Получим новое слово в алфавите У = { Лг | г € {(а«)"1^^-, а^,} } Обозначим и^ — ... -^Оу^ (• Если w выражается одним из равенств (5), (6) или (7), то

соответствено. Букву Аг множества Уназовем четной, если z - четное слово, и нечетной в противном случае. Упорядочим множество У обычным образом:

Тогда число вхождений старшей буквы в слово к;'1' меньше, чем число вхождений буквы а в слово w. Используя индукционное предположение, мы полагаем, что w принадлежит множеству Qx тогда и только тогда, когда слово ии^ принадлежит множеству Qy.

Теорема 2.1. Пусть Ые(Хо;^) - свободная супералгебра Ли над полем к характеристики отличной от двух и трех, порожденная множеством X, и Qx - множество ассоциативных слов из определения 2.2. Тогда слова

где апа,,... ац 6 £}х, образуют линейный базис Ые{Хц\ Л^).

Как и в случае обычных алгебр Ли, для доказательства линейной независимости выбранных правонормированных слов мы строим отображение, образом которого являются слова Линдона-Ширшова и квадраты нечетных слов Л индона-Ширшова, т.е. базисные слова свободной суиералгебры Ли из [7] и [9]. В этой главе мы используем вспомогательные результагы из предыдущей главы, в частности, представление слов Линдона-Ширшова с выделенными старшими буквами.

Третья глава диссертации посвящена свободным конформным алгебрам Ли. В §3.1 приводится новая формулировка леммы о композиции для модулей, что дает новые основания для теории базисов Гребнсра-Ширшова для модулей. В §3.2 мы даем определения конформной и вертексной алгебр, и выписываем соотношения свободной вертексной алгебры используя которые можно быстрее, чем это было у М.Ройтмана [32], получать представление любого элемента из через базис. Пусть X = {а(п) | о. Е

В, п 6 М}, где В - некоторое множество и Ь- алгебра Ли, заданная

порождающими X и определяющими соотношениями

где N(a,b) - функция локальности, N : {В, В) Обозначим через

ЩЬ) ее универсальную обертывающую алгебру. Известно (см. работу М.Ройтмана [32]), что свободная вертексная алгебра имеет структуру

однопорожденного левого модуля над алгеброй ЩЬ), с порождающим элементом 1, и ^(Ь) 1, где а(п)1 — 0 для п > 0. Тогда упомянутые

выше соотношения в имеют следующий вид:

В §3.3 мы находим множество линейных порождающих свободной конформной алгебры Ли €(N,3) с постоянной функцией локальности •N(0,6) •= N, а, Ь 6 В, которое дает базис подпространства в €(N,3), натянутого на слова длины два.

Теорема 3.4 Пусть С(Ы,В)—свободная конформная алгебра Ли, порожденная множеством В с постоянной функцией локальности Ща, Ь) = N для всех а,Ь (Е В. Тогда следующие слова образуют линейный базис пространства слов длины два в C(N, В):

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Л.А.Бокутю за постановку вопросов, плодотворные дискуссии и поддержку

Список литературы

[1] Ю.А.Бахтурин Тождества в алгебрах Ли, М., Наука, 1985.

[2] Л.А.Бокутъ Базис свободных полинилыютентных алгебр Ли // Алгебра и логика, 1963, 2, N4, 13-19.

[3] Л.А.Бокутъ Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно представленных алгебр Ли // Изв. АН СССР, 1972, б, 1153-1199.

[4] Л.А.Бокутъ Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика, 1976, 15, N2, 117-142.

[5] П.Коп Универсальная алгебра, М., Мир, 1968.

[6] Г.П.Кукип Базы свободной алгебры Ли // Мат. заметки, 1978, 24, N3, 375-382.

[7] А.А.Михалев Базисы свободных цветных алгебр // Вести. МГУ, 1984, N5, с.94.

[8] АА.Михалев Лемма о композиции и проблема равенства для цветных супералгебр Ли // Мат. заметки, 1988. 43 (2), 178-191.

[9] А. С.Штерн Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. жур., 1986, 27, N1, 170-174.

[10] А.И.Ширшов Некоторые вопросы теории неассоциативных колец и алгебр. Автореферат канд. диссертации, Москва, МГУ, 1953.

[11] А.И.Ширшов О свободных кольцах Ли // Мат.Сб., 1958, 45, 87,113-122.

[12] А.И.Ширшов О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика, 1962, 1, 1, 14-19.

[13] А.И. Ширшов Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.Мат.Журн, 1962, 3, 292-296.

[14] Yu.A.Bahturin, A.A.Mikhalev, V.M.Pctrogradsky, M.V.Zaicev Infinite Dimensional Lie Superalgebras, De Gruyter Expositions in Mathematics, 7. Walter de Gruyter k Co., Berlin, 1992.

[15] L.A.Bokut, G.P.Kukin Algorithmic and combinatorial algebra. Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.

[16] L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Free associative conformal algebras // Proc. of the 2nd Taimen-Moscow Algebra and Combinatorics Workshop, Tainan 1997, 13-25. Springer-Verbag, Hong Kong, 2000.

[17] L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Composition-Diamond lemma for associative conformal algebras // J.Algebra, 2004, 272 (2), 739-774.

[18] A.A.Belavin, A.M.Polyakov, A.B.Zamolodchikov Infinite conformal symetry in two - demensional quantum field theory // Nuclear Phys. 1984, 241, 333380.

[19] G.M.Bergman The diamond lemma for ring theory // Adv. in Math. 1978, 29, 178-218.

[20] D.Blessenohl, H.Laue A basis constructionfor free Lie algebras // Exposition Math. 1993, 11, 145-152.

[21] R.E.Borcherds Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1986, 83, 3068-3071.

[22] R.M.Bryant, L.G.Kovacs, R.Stohr Invariant bases for free Lie rings // Quart J. Math. 2002, 53, 1-17.

[23] B.Buchberger An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zcro-dimcnsional ideal. Ph.D. thesis, University of Innsbruch, 1965.

[24] K.T.Chen, R.H.Fox, R.C.Lyndon Free differential calculus.IV: The quotient gioups of the lower central scries // Ann. Math., 1958, 68, 2, 81-95.

[25] M.Hall A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc. Amer. Math. Soc, 1950,1, 575-581.

[26] S.Guilfoyle, R.Stohr Invariant bases for free Lie algebras // J.Algebra 1998, 204, 337-346.

[27] V.Kac Vertex Algebras for beginners. University Lecture Series, vol.10, AMS, Providence, RI, 1996.

[28] Kang, S.-J.; Lee, K.-H. Grobner-Shirshov Basis for Representation theory // Journal of Korean Mathematical Society 2000, 37, 50-72.

[29] M.Lothaire Combinatorics on words, Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

[30] C.Reutenauer Dimensions and characters of the derived series of the free Lie algebra. In M.Lothaire, Mots, Melanges offerts a M.-P.Schiitzenberger, 1990, 84-171. Hermes, Paris.

[31] C.Reutenauer Free Lie algebras. London Mathematical Society Monographs. New Series, 7. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993.

[32] M.Roitman On free conformal and vertex algebras // J.Algebra 1999, 217 (2), 496-527.

[33] X. G. Viennot Algebres de Lie libres et monoides libres. Lecture Note in Mathematics, 1978. V. 691. Springer, Berlin.

Работы автора по теме диссертации

[34] Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах. Международная алгебраическая конференция памяти З.И.Боревича, тезисы докладов. ПОМИ им. В.А.Стеклова, Санкт-Петербург, 2002, с.71-72.

[35] Е.С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах. Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 27-31 января 2003г., с.58-60.

[36] Е.С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах. Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции, Тула, 19-20 мая 2003г., с. 241243.

[37| Е.С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдопа-Ширшова. Международная алгебраическая конференция, тезисы докладов, Москва, 2004, с. 137-139.

[38] Е.С. Чибриков О свободных конформных алгебрах Ли// Вестник НГУ, 2004, 4 (1), 65-83.

[39] Е.С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова// Док. РАН, в печати.

[40] Е.С. Чибриков Право нормированный базис свободной супералгебры Ли и слова Линдона-Ширшова, Новосибирск, 2004, 26 стр. (Препринт / Новосибирский государственный технический университет).

Подписано в печать 12.11 2004 Формат 84 х 60 х 1/16. Бумага офсетная Тираж 80 экз Печ Л. 1,5 Заказ № С>ЙО

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 6300092, г. Новосибирск, пр. Маркса, 20

,Ш891

Введение

1 Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова

1.1 Основные определения и результаты.

1.2 Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова

1.3 Правонормированный базис свободной алгебры Ли.

1.4 Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова

2 Правонормированный базис свободной супералгебры Ли

2.1 Основные определения.

2.2 Отображение, перерабатывающее слова множества <3х в слова множества

2.3 Формулировка и доказательство основной теоремы.

3 О свободных конформных алгебрах Ли

3.1 Лемма о композиции для модулей

3.2 Конформные и вертексные алгебры

3.3 Порождающие свободной конформной алгебры Ли.

Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [30] в 1950г. История возникновения этого базиса восходит к работам Ф.Холла [31] (1933), В.Магнуса [37] (1937) и Е.Витта [42] (1937)(см. об этом, например, в книгах В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер [9] и Н.Бурбаки [б]). В диссертации А.И.Ширшова [13] (1953, опубликовано в [15], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [41] (см. также книгу Х.Рейтенауера [39]). Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [14] и Р.Линдоном [28], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления книги М.Лотера [35], эти слова назывались правильными (ассоциативными и неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [7], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [35] эти слова названы словами Линдона, так же они называются и в книге Х.Рейтенауера [39]. Мы будем называть их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [18].

А.И.Ширшов в работе [16] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Л^А.Бокутем [2] (1962), который построил базы свободной алгебры Ли Ь, совместимые с рядами степеней этой алгебры:

Ь э ЬП1 Э (ЬП1)П2 Э .(. (£П1)"2). .)Пк Э ., где П{ > 2, г > 1. В частности, при щ = 2, г > 1, получаем базу свободной алгебры (Ц Ли, совместимую с производным рядом. Начальные куски этой базы дают базы свободных разрешимых алгебр Ли, переоткрытые позднее Х.Рейтенауером [38] (см. также его книгу [39]).

Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [10] и А.С.Штерн [12] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов неассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [17]).

Г.П.Кукин [8] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена левонормированной базе, но в этой части имеются ошибки. Укажем их в явном виде.

Будем следовать обозначениям работы [8]. Правонормированные слова строятся в примере 3 работы [8], там же приведено доказательство. Возьмем X = {^1, х2}, где хх > х2. Тогда Со = {я1,я2}; Р\ — {хх}, Аг = {:г2} и Сх(1) = {жь хгхг2 \ г = 0,1,.}. Следовательно, РХ2 = {за^г}, Мг = {^1}; Р\з = {я^!}, А13 = {хь я^}. Откуда мы получаем, что С2( 1,2) = {(ххх2)х\ \ г — 0,1,.}, С2(1,3) = {(х\х2)х1,.}. Из С2(1,2) мы получим, что Р122 = {(заЖг)^}, ^122 = {^1^2}- Поэтому С3(1,2,2) = {(х1х2)х\(х1х2)г | г = 0,1,.} (все слова ассоциативные). Здесь мы выписали только те множества Ск(т1,. из которых нам потребуется выбрать некоторые элементы. Построение множеств Ск(тг,., т*) описано в [8], отметим только, что на каждом новом шаге этого построения длина слов увеличивается. Множества Со, Сх(1), С2(1,2), С2(1,3), С3(1,2,2) содержатся в множестве ассоциативных слов Ё. На всех словах из Р скобки расставляются левонормированным образом [. [[[а^я^Жгз] • • •]> полученное множество обозначается через Р. В [8] утверждается, что множество Р является базисом свободной алгебры Ли. При доказательстве линейной независимости автор пишет: "Запишем элемент / € ^ в алгебре иЬ[ха]. Очевидно, в его запись входит ровно один элемент из Ё - это / с коэффициентом 1."

Здесь 11Ь[ха] — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством {.та} и / — слово, получающееся из / снятием всех скобок. Рассмотрим слово х\х\хх £ Сг(1,3). Тогда жхжг]^]^] = —1(х2х\)2 +х\х\ - х\х\ + 2(х1х2)2.

Мы видим, что слово х\х\хх вообще не входит в эту запись. Поскольку доказательство линейной независимости строится на этом ошибочном утверждении, оно не может быть исправлено. Кроме того, в доказательстве того, что Р порождает свободную алгебру Ли, существенно используется следующий факт: если Д е Р и хр > ха, где хр - первая буква в слове Д, а ха - любая буква исходного алфавита, то /ха;а € Р. Это утверждения также не верно, поскольку если рассмотреть слово Д = (х 1X2)21 (ж 1^2) € Сз(1,2,2), то легко можно заметить, что слова Дях и /1X2 не принадлежат множеству Ё .

В работах Д.Блессенохла, Х.Лауе [24], Р.Брайента, Л.Ковача, Р.Штёра [26] и С.Гуилфойла, Р.Штёра [32] построены базисы свободной алгебры Ли, состоящие из многочленов.

В упомянутой выше работе [16] 1962 года А.И.Ширшов ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле, неявно, композиция включения была определена в 1958 году в [14]), а Б.Бухбергер [27] в 1965г. - аналогичное понятие для коммутативных многочленов (я-многочлены). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминалогия была введена Л.А.Бокутем в [3]).

Лемма Ширшова о композиции [16] и теорема Бухбергера [27] утверждают, что если множество 5 замкнуто относительно композиции (взятия е-многочленов), и / € 1<1(3), то старшее слово / содержит старшее слово многочлена из 5, т.е. / = usv для некоторого й б 5. Замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Б.Бухбергер назвал базисами Гребнера. В последнее десятилетие эти множества для алгебр Ли и ассоциативных алгебр стали называть базисами Гребнера-Ширшова.

Важным следствием леммы о композиции является Composition-Diamond лемма (CD-лемма), которая утверждает, что множество S (унитарных лиевских или ассоциативных многочленов) является базисом Гребнера-Ширшова тогда и только тогда, когда ¿"-редуцированные слова образуют линейный базис соответствующей алгебры с определяющими соотношениями S. Для ассоциативных алгебр последнее утверждение содержится в работах Л.А.Бокутя [4] и Дж.Бергмана [23].

В восьмидесятых годах А.А.Михалев [11] распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр. С.-Дж.Канг и К.Х.Ли [34] доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей. Теория базисов Гребнера-Ширшова построена и для конформных алгебр (см. следующий абзац).

Понятие конформных алгебр появилось в теории вертексных алгебр, которая, в свою очередь, возникла в середине 80-х годов из математической физики (релятивистской квантовой теории поля и теории струн). Впервые вертексные алгебры были введены (неформально) в работе А.А.Белявина, А.М.Полякова,

A.Б.Замолодчикова [22], формальное определение было дано Р.Борчердсом [25].

B.Кац в книге [33] дал формальное определение конформной алгебры и использовал его для изучения вертексных алгебр. Вертексные алгебры нашли применение и в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы [25], [29]). В работе [25] Р.Борчердс анонсировал существование свободных вертексных алгебр (их существование не следует из общих теорем универсальной алгебры, так как класс вертексных алгебр не образует многообразия). Этот результат был получен М.Ройтманом [40].

В той же работе М.Ройтман доказал существование свободных ассоциативных конформных алгебр (другое доказательство см. в [20]). Л.А.Бокуть, И.Фонг и В.-Ф.Ке [21] распространили идеи и технику базисов Гребнера-Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр.

Настоящая работа посвящена построению правонормированных базисов свободной алгебры Ли и свободной супералгебры Ли (главы 1 и 2). Кроме того строится базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих (глава 3).

Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории колец, структурной и комбинаторной теорий конформных и вертексных алгебр. Основные результаты.

1) Построен правонормированный базис свободной алгебры Ли.

2) Определена новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова. Доказано, что полученные лиевские слова образуют базис свободной алгебры Ли. Для этого базиса доказан вариант СБ-леммы.

3) Построен правонормированный базис свободной супералгебры Ли.

4) Найден базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих.

Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории (супер)алгебр Ли, теории конформных и вертексных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации были представленны на Международной алгебраической конференции памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002), на XXXIV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2003), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения."(Тула, 2003), на Международной алгебраической конференции (Москва, 2004). Результаты также докладывались на семинаре им. А.И.Ширшова "Теория колец" ИМ СО РАН, семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном университете.

Публикации. Все основные результаты опубликованы в [43] — [49].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 89 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 49 наименований.

1. Ю.А.Бахтурин Тождества в алгебрах Ли, М., Наука, 1985.

2. Л.А.Бокутъ Базис свободных полинильпотентных алгебр Ли // Алгебра и логика, 1963, 2, N4, 13-19.

3. Л.А.Бокутъ Неразрешимость проблемы равенства и подалгебры конечно представленных алгебр Ли // Изв. АН СССР, 1972, 6, 1153-1199.

4. Л.А.Бокутъ Вложения в простые ассоциативные алгебры // Алгебра и логика, 1976, 15, N2, 117-142.

5. Л.А.Бокутъ, П.С.Колесников Базисы Гребнера-Ширшова: от зарождения до наших дней // Записки научных семинаров ПОМИ / Вопросы теории представлений алгебр и групп, 2000, 7, 272, с. 26-67.

6. Н.Бурбаки Группы и алгебры Ли, М., Мир, 1976.

7. П.Кон Универсальная алгебра, М., Мир, 1968.

8. Г.П.Кукин Базы свободной алгебры Ли // Мат. заметки, 1978, 24, N3, 375-382.

9. В.Магнус, А.Каррас, Д. Солитер Комбинаторная теория групп, М., Наука, 1974.

10. А.А.Михалев Базисы свободных цветных алгебр // Вестн. МГУ, 1984, N5, с.94.

11. А.А.Михалев Лемма о композиции и проблема равенства для цветных супералгебр Ли // Мат. заметки, 1988, 43 (2), 178-191.

12. А.С.Штерн Свободные супералгебры Ли // Сиб. мат. жур., 1986, 27, N1, 170— 174.

13. А.И.Ширшов Некоторые вопросы теории неассоциативных колец и алгебр. Автореферат канд. диссертации, Москва, МГУ, 1953.

14. А.И.Ширшов О свободных кольцах Ли // Мат.Сб., 1958, 45, 87, 113-122.

15. А.И.Ширшов О базах свободной алгебры Ли // Алгебра и логика, 1962, 1, 1, 14-19.

16. А.И. Ширшов Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли // Сиб.Мат.Журн., 1962, 3, 292-296.

17. Yu.A.Bahturin, A.A.Mikhalev, V.M.Petrogradsky, M. V.Zaicev Infinite Dimensional Lie Super algebras, De Gruyter Expositions in Mathematics, 7. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992.

18. L.A.Bokut, G.P.Kukin Algorithmic and combinatorial algebra. Mathematics and its Applications, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.

19. Bokut, L.A.; Shaio, L.-S. Grobner-Shirshov bases for Coxeter groups // Communication in algebra 2001, 29 (9), 4305-4319.

20. L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Free associative conformai algebras // Proc. of the 2nd Taimen-Moscow Algebra and Combinatorics Workshop, Tainan 1997, 13-25. Springer-Verbag, Hong Kong, 2000.

21. L.A.Bokut, Y.Fong, W.-F.Ke Composition-Diamond lemma for associative conformai algebras // J.Algebra, 2004, 272 (2), 739-774.

22. A.A.Belavin, A.M.Polyakov, A.B.Zamolodchikov Infinite conformai symetry in two demensional quantum field theory // Nuclear Phys. 1984, 241, 333-380.

23. G.M.Bergman The diamond lemma for ring theory // Adv. in Math. 1978, 29, 178218.

24. D.Blessenohl, H.Laue A basis constructionfor free Lie algebras // Exposition Math. 1993, 11, 145-152.

25. R.E.Borcherds Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1986, 83, 3068-3071.

26. R.M.Bryant, L.G.Kovacs, R.Stöhr Invariant bases for free Lie rings // Quart J. Math. 2002, 53, 1-17.

27. B.Buchberger An algorithm for finding a basis for the residue class ring of a zero-dimensional ideal, Ph.D. thesis, University of Innsbruch, 1965.

28. K.T.Chen, R.H.Fox, R.C.Lyndon Free differential calculus.IV: The quotient groups of the lower central series // Ann. Math., 1958, 68, 2, 81-95.

29. Frenkel, I; Lepovski, J; Merman, A. Vertex operator and the Monster. Academic Press, Boston, MA, 1988.

30. M.Hall A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 1950, 1, 575-581.

31. P.Hall A contribution to the theory of groups of prime power order // Proc. London Math. Soc., 1933, 36, 29-95.

32. S.Guilfoyle, R.Stöhr Invariant bases for free Lie algebras // J.Algebra 1998, 204, 337-346.

33. V Kac Vertex Algebras for beginners. University Lecture Series, vol.10, AMS, Providence, RI, 1996.

34. Kang, S.-J.; Lee, K.-H. Gröbner-Shirshov Basis for Representation theory // Journal of Korean Mathematical Society 2000, 37, 50-72.

35. M.Lothaire Combinatorics on words, Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

36. R.C.Lyndon On Burnside's problem I // Trans. Amer. Math. Soc., 1954, 77, 202-215.

37. W.Magnus Uber Beziehungen zwischen höheren Kommutatoren, J. reine u. angew Math., 1937, 177, 105-115.

38. C.Reutenauer Dimensions and characters of the derived series of the free Lie algebra. In M.Lothaire, Mots, Melanges offerts a M.-P.Schützenberger, 1990, 84-171. Hermes, Paris.

39. C.Reutenauer Free Lie algebras. London Mathematical Society Monographs. New Series, 7. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1993.

40. M.Roitman On free conformal and vertex algebras // J.Algebra 1999, 217 (2), 496527.

41. X.G. Viennot Algebres de Lie libres et monoides libres. Lecture Note in Mathematics, 1978. V. 691. Springer, Berlin.

42. E.Witt Treue Darstellung Lieschen Ringe //J. reine u. angew. Math. 1937, 177, 152-160.Работы автора по теме диссертации

43. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах / / Международная алгебраическая конференция памяти З.И.Боревича, тезисы докладов. ПОМИ им. В.А.Стеклова, Санкт-Петербург, 2002, с.71-72.

44. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах / / Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 34-й региональной молодежной конференции, Екатеринбург, 27-31 января 2003г., с.58-60.

45. Е. С. Чибриков О свободных вертексных и лиевых конформных алгебрах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции, Тула, 19-20 мая 2003г., с. 241-243.

46. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова // Международная алгебраическая конференция, тезисы докладов, Москва, 2004, с. 137-139.

47. Е. С. Чибриков О свободных конформных алгебрах Ли // Вестник НГУ, 2004, 4 (1), 65-83.

48. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова // Док. РАН, 2004, в печати.

49. Е. С. Чибриков Правонормированный базис свободной супералгебры Ли и слова Линдона-Ширшова, Новосибирск, 2004, 26 стр. (Препринт / Новосибирский государственный технический университет).