О вложениях классов функций Н w в классы функций ограниченной обобщенной вариации и некоторые вопросы теории аппроксимации функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной обобщенной вариации. Случай произвольного класса Нш

1.1. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Ф-вариации

1.2. Вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации

2. Условия вложений классов функций Нш в классы функций ограниченной Л-вариации при дополнительных ограничениях на модуль непрерывности

2.1. Предварительные теоремы, упрощающие переход от общего к частным случаям

2.2. Случай классов Нш, близких к классам Липшица Lip а,

О <а<1.

2.3. Предельный случай при а —> 0. Классы Нш, содержащие объединение всех классов Липшица.

2.4. Случай классов Нш, промежуточных между Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а <

3. Приближение непрерывных на отрезке функций суперпозициями сигмоидальной функции 97 3.1. Оценка приближения функции

3.2. Отсутствие характеристики структурных свойств функции на основании поведения ее приближения суперпозициями сиг-моидальной функции.

Диссертация посвящена изучению условий вложения классов функций Нш в классы функций ограниченной обобщенной вариации, а также некоторым вопросам приближения непрерывной на отрезке функции суперпозициями сигмоидальной функции.

В теории функций действительного переменного встречаются различные обобщения понятия вариации функции. В настоящей диссертации рассматриваются такие обобщения вариации, которые появились в работах, где обобщалась теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье [1, стр.121]. Различные обобщения этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации получали Н.Винер [20], Дж.Марцин-кевич [17], Л.Юнг, который ввел общее определение Ф-вариации [21], Р.Салем [18]. Обобщения теоремы Жордана также получали А.Гарсиа и С.Сойер [14] в терминах условия на индикатрису Банаха. Функции ограниченной А-вариации впервые были рассмотрены Д.Ватерманом в работе [19], где было получено для них обобщение теоремы Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье. В дальнейшем исследовались и другие свойства функций ограниченной Л-вариации.

Дадим некоторые определения.

Пусть функция Ф, определенная на [0,оо), непрерывна, строго возрастает и Ф(0) = 0. Будем говорить, что функция / : [а, 6] —> Ш. является функцией с ограниченной Ф-вариацией (/ Е ФBV), если N sup V Ф(|f(8k) - f{Sk-l)\) < оо, где супремум берется по всем разбиениям G = {s^} отрезка [а,Ь], а = s0 < . < sN = b.

Пусть Л = — монотонная последовательность положительных чисел такая, что А*. —оо при к —> оо и — = оо. Функция / : [а, Ь] —М. Ai. называется функцией с ограниченной Л-вариацией (/ Е ABV), если sup > ———-—-—— < оо , G к Xl где супремум берется по всем конечным системам G попарно непересекающихся интервалов из отрезка [а,Ь]. Если Л = то такая вариация называется гармонической pi класс функций ограниченной гармонической вариации обозначается HBV.

Д.Ватерман получил обобщение теоремы Жордана для функций класса HBV и доказал, что полученный таким образом признак сходимости ряда Фурье сильнее перечисленных выше признаков.

Вопросы сходимости рядов Фурье функции ограниченной Ф-вариации рассматривали также А.Бернштейн [12], К.И.Осколков [9] и З.А.Чантурия [11].

В дальнейшем, для упрощения записи, в качестве отрезка [а, 6] будем рассматривать отрезок [0,1].

Функция ш, определенная на [0, оо) или на [0,/], 0 < / < оо, называется модулем непрерывности, если она непрерывна, не убывает, w(0) = 0 и + h) < + ^{h) при t\ и t2, для которых обе части неравенства имеют смысл.

Пусть на отрезке [0,1] задан модуль непрерывности ш. Через Ны обозначим множество непрерывных на [0,1] функций /, для которых и(6, /) = 0(u>(S)) при 5 0, где sup \f(x + h)-f(x)l 0<5<1. a<h<s

0<х<1-h

Пусть 1 < р < оо. Обозначим через Vp класс ФBV, где Ф(£) = tp. В работе О.Ковачика [16] содержится теорема, утверждающая, что для заданного модуля непрерывности ш: а) если w(t) = 0{t1/p) при t0, то Нш С б) если u(t) ф 0(tl!p) при t -> 0 и, более того, i1/p = o(w(t)) при t О, то существует функция / Е такая, что f £Vp.

Мы получили более общее утверждение, частным случаем которого является эта теорема.

Ранее были доказаны теоремы вложения для различных классов функций. Вложения классов функций, задаваемых некоторым модулем непрерывности в другие классы функций изучали Г.Харди и Дж.Литтлвуд [15], П.Л.Ульянов [10]. В настоящей работе исследуются необходимые и достаточные условия вложения классов функций Нш в классы функций ФBV, условия вложения классов функций Нш в классы функций ABV и некоторые смежные вопросы. Получены теоремы как общего характера, так и теоремы вложения при различных условиях, наложенных на модуль непрерывности w{t). В данной работе также даются ответы на некоторые вопросы о сигмоидальных функциях, поставленные в работе Чен Дебао [13], где функция а : М —> М. называется сигмоидальной, если lim a(t) = 1 t—>+оо и lim a{t) = 0. Теоремы, относящиеся к вложениям Нш С ABV, состаt—b—OO вляют основное содержание диссертации.

Теоремы о вложениях Нш С ABV позволяют автоматически переносить все результаты для функций ограниченной А-вариации на функции из вложенных в ABV классов. Остановимся кратко еще на одном аспекте рассматриваемых вложений. Известно, что признак Жордана и признак Дини-Липшица сходимости ряда Фурье несравнимы, то есть существуют непрерывные функции ограниченной вариации, не удовлетворяющие условию Дини-Липшица, и существуют функции неограниченной вариации, удовлетворяющие условию Дини-Липшица. В этом же смысле несравнимы признак Ватермана сходимости ряда Фурье для функций ограниченной гармонической вариации и признак Дини-Липшица. Ни один класс более широкий, чем класс Липшица Lip 1, не вкладывается в класс функций ограниченной вариации. В то же время все классы Липшица Lip а, 0 < а < 1, содержатся в HBV. Для оценки признака Ватермана интересно также выяснить, насколько этот признак близок к признаку

Дини-Липшица в отношении других классов, которые характеризуются модулем непрерывности.

Разумеется, в такой общей постановке вопрос не совсем ясен. Ограничимся случаем, когда в окрестности нуля модуль непрерывности u>(t) имеет вид 1 |lnt| In | lntj . 1пп2 | lntj | lntj)^ '

Ясно, что для u(t) условие Дини-Липшица выполняется. Произведение In | In t\. (lnni | lnt\)P при t —> 0 является бесконечно большой величиной меньшего порядка по сравнению с | \nt\s для любого 8 > 0. В рамках указанных и следствие 5 из теоремы 9 дает вполне определенный ответ: Нш С HBV тогда и только тогда, когда (5 > 1.

Первая глава диссертации посвящена результатам общего характера об условиях вложения Нш С ФВУ и условиях вложения Иш С ABV. Получены следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть Ф — выпуклая на [0,+оо) функция такая, что

Ф(0) = 0,Ф(д?) > 0 при х > 0, и существует число с > 1, при котором ф (сх) lim ^ . / < оо. Тогда для вложения Нш С ФBV необходимо и достаточно Ф(х) но, чтобы и(t) = 0(Ф-1(£)) при t 0.

Выпуклость Ф на [0,+оо) означает, что Ф(а£! + (1 — a) t2) < аФ(^) + (1 - а) Ф(г2), tut2 > 0, 0 < а < 1.

Непосредственно из теоремы 1 получаем следствие 1.

Следствие 1. Пусть 1 < р < оо. Тогда для вложения Нш С Vp необходимо и достаточно, чтобы сo(t) = 0{tl^p) при t —ь 0.

Приведенная выше теорема О.Ковачика является частным случаем этого результата.

Если в условии теоремы 1 предположить, что существует с > 1 при ко ф(сх) тором lim ^ = оо, то условие u{t) = 0(Ф-1^)) при t —)■ 0 будет являться необходимым, но не будет достаточным для вложения Нш С ФВУ. В работе А.С.Белова [2] приведена теорема, сходная с теоремой 1. Не останавливаясь подробно на сравнении теоремы 1 и результата А.С.Белова, отметим, что при дополнительных предположениях они приводят к одинаковым утверждениям, но в целом не следуют друг из друга.

Теорема 2. Для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы для всякой последовательности {ife}^ такой, что tk > О, h < ряд сходился. Кроме того, если для всех указанных последовательностей {^/г}^ последний ряд сходится, то существует число М такое, что V^ < М для каждой такой последовательность ~ к=1 * сти.

Теорема 2 дает полное решение проблемы вложения Нш С ЛBV в том смысле, что она содержит необходимое и достаточное условие вложения без каких-либо дополнительных предположений о модуле непрерывности и последовательности Л = {Л^.}^. Столь же полное решение получено А.С.Беловым [2], но его необходимое и достаточное условие вложения сильно отличается от условия в теореме 2, и в настоящей работе этот результат А.С.Белова нигде не используется. Полученное в теореме 2 условие вложения оказывается, как будет показано ниже, простым, когда Hw является классом Липшица Lip cv, 0 < а < 1. Однако, в более сложных частных случаях возникают существенные трудности из-за необходимости рассматривать указанное в теореме обширное семейство последовательностей {£jb}jbLi- Доказанная далее теорема 3, основанная на теореме 2, позволяет делать вывод о вложении Нш С ABV, рассматривая лишь однопараметрическое семейство последовательностей {tk}^Li с Ука~ оо занием их построения. Для этих последовательностей условие ^Г^ Ц < 1 к=1 может не выполняться.

Известно утверждение, доказанное С.Б.Стечкиным [3, стр.78-80], что для каждого модуля непрерывности u(t) ^ 0 существует вогнутый модуль непрерывности сo*(t) такой, что ш t) < w*(t) < 2u{t) при t £ [0,1]. Тогда класс Нш совпадает с классом Нш* и мы можем считать, что и> — вогнутый модуль непрерывности {u{ati + (1 — a) t2) > > au(ti) -f (1 — a)w(t2), ti,t2 > 0, 0 < a < 1). Итак, всякий класс Нш задается некоторым вогнутым модулем непрерывности.

Пусть со — вогнутый модуль непрерывности. Положив uj(t) = ы(1) для t G (1?оо), будем считать, что uj(t) задан на [0,оо).

Поскольку u(t) — вогнутая функция на [0,оо), то у нее всюду на (0,оо) существуют конечные правая производная uj'+(t) и левая производная u/(t), причем u+(t) < u'(t) и для т < t верно со'+(т) > ui'{t).

В точке t = 0 правая производная u/ДО) конечна или бесконечна. Кроме того, обе односторонние производные — невозрастающие функции, равные нулю при t > 1.

В случае lim^-^- = оо (^+(0) — оо) введем функцию t = t(X) еле-дующим образом. Для каждого Л > 0 найдется t е (0, оо) такое, что M+it) < А < Lo'{t). Бели таких значений t больше одного (например, на промежутке, где u>'(t) = const), то выберем одно из них и обозначим t(А). Таким образом, u+{t(\)) <\<u'{t{\)).

Так как сУДт) > при т < i, то из определения t(А) следует, что с увеличением Л значение t(X) не возрастает. Более того, lim t(А) = 0. а—юо

Под окрестностью нуля будем понимать правую окрестность нуля, исключая нуль. В случае, когда u)'(t) существует в некоторой окрестности нуля, функция i(А) имеет простой смысл. Именно, t = t(А) — это один из корней уравнения u>'(t) — А при достаточно больших Л . Если к тому же в окрестности нуля функция u>'(t) строго убывает, то t(А) — обратная к u'(t) функция в этой окрестности.

Заметим, что в случае lim ~~~ < оо из определений классов Нш и ABV непосредственно следует, что Нш С KBV.

Теорема 3. Пусть для вогнутого модуля непрерывности uj(t) выполняется lim = со. Тогда для вложения Нш С ABV необходимо t мо и достаточно, чтобы существовало число с > 0, при котором ряд

ЕЫ( сходится.

Вторая глава посвящена критериям вложения Нш С ABV при тех или иных ограничениях, наложенных на u(t). Поскольку всякий класс Нш задается некоторым вогнутым модулем непрерывности, то всюду в формулировках следующих теорем мы будем полагать, что и — вогнутый модуль непрерывности. Для некоторых модулей непрерывности эти теоремы позволяют делать вывод о вложении Нш С ЛBV, исследуя сходимость ровно одного ряда.

Будем говорить, что модуль непрерывности u(t) удовлетворяет 1. t-ш'М) Л ^ m-условию, если lim--— > 0. Это условие аналогично Д2-условию для t-*o v(t) выпуклых функций [6, стр.35-37]. Будет показано, что m-условие равноt-uj'Jt) п сильно условию ит-—— > 0. t-м w{t)

Обозначим через ^-кратный логарифм 1п(1п .(1пж)) и через ехрА(ж) обозначим fc-кратную экспоненту ехр(ехр .(ехрж)).

Теоремы 4-7 выделены в отдельный параграф 1 главы 2. Их назначение — упростить переход от теорем 2,3 общего характера к условиям вложения Нш С ABV с дополнительными предположениями о модуле непрерывности. Обратим внимание на важную особенность предположений в теоремах 5,6. В этих предположениях не упоминается последовательность А = {Afcj-j^Lp Они содержат лишь неравенства, связывающие модуль непрерывности или аргумент t с производной модуля непрерывности. Последовательность {AfcjfcLi участвует только в заключениях теорем. Это обстоятельство играет решающую роль при рассмотрении частных случаев, исключая простой случай классов Липшица. Теоремы 5,6 задают направление поиска в частных случаях. Мы стремимся сначала к построению функций Gi, i = 1,2, и установлению неравенств, входящих в предположения теорем 5,6, отвлекаясь от последовательности {AjJ^Lj.

Теорема 4. Пусть lim^y^- = оо и uj(t) удовлетворяет т-условию.

Тогда для вложения Нш С ЛБУ необходимо и достаточно, чтобы оо существовало число с > 0, при котором ряд ^^f(cAjt) сходится. к=1

Теорема 5. Пусть на (0,оо) заданы функции F\(z) и F2(z), положительные и невозрастающие. Тогда

1) если в окрестности нуля выполняется неравенство F\(uf+(t)) < u(t), то для вложения Нш С ABV необходимо, чтобы при некотором с > О оо ^ сходился ряд V — Fi(cAfc); —' At. k=i если e окрестности нуля выполняется неравенство uj(t) < ^(и/Д^)), то для вложения Нш С ЛБУ достаточно, чтобы при некотором с > О оо сходился ряд V^ -г—^(cAjt). 1

А;=1 ft

Следствие 2. Пусть а>0, А>0иВ>0. Тогда 1) если б окрестности нуля выполняется неравенство A[uj( -i )]а < то для вложения Нш С ЛБУ необходимо,чтобы сходился ряд -^—;

Jb=l если в окрестности нуля выполняется неравенство u(t) < B[cv(———■)]", то для вложения Нш С ЛБУ достаточно,что бы

UJ+(t)

А Мг))а сходился ряд у.-г^-• к=1 к 1 1

Следствие 3. Условие \ —w(—) < оо является достаточным для fi Xk Хк вложения Нш С ЛБУ.

Теорема 6. Пусть на (0, оо) заданы функции Gi(z) и Gi{z), положительные и невозрастающие. Пусть также сo(t) удовлетворяет т-условию. Тогда

1) если в окрестности нуля выполняется неравенство Gi(uj'+(t)) < t, то для вложения Нш С ЛБУ необходимо, чтобы при некотором с > О оо сходился ряд ^^ Gi(cA^); k=i

2) если в окрестности нуля выполняется неравенство t < G2(и'+ (t)); то для вложения С ABV достаточно, чтобы при некотором с > О сю сходился ряд ^^ G2{cXk). k=i

Теоремы 5 и 6 останутся в силе, если в предположениях теорем правую производную сo'+(t) заменить на левую производную w'(t). Теоремы 4-6 используются при доказательствах теорем 8-13.

Следующая теорема о числовых рядах используется при доказательстве теорем 10-13.

Пусть {ffcjjjjli — неубывающая последовательность положительных чисел, т £ N. оо

Обозначим \i = inf{c : с > 0, -^ < со}. Если при всех к=1 еХРгп{С£к) оо ^ с > 0 ряд -—— расходится, то положим /л = оо. с expm(c£fc)

-lnm к

Теорема Т. Справедливо равенство /л = lim

Рассмотрим вопрос о вложении Нш С ABV при более сильных ограничениях, наложенных на u(t). В теории функций действительного переменного важное место занимают функции, удовлетворяющие условию Липшица [4, стр.75]. Говорят, что функция / удовлетворяет условию Липшица порядка а, 0 < а < 1 (/ £ Lip а), если u{t,f) = 0(ta) при t —> 0. Итак, класс Lip а совпадает с классом Нш, задаваемым модулем непрерывности Lo(t) = ta, 0 < а < 1. Как было замечено выше, если lim^^- < оо,

V ' ' - i-40 t то Нш С ABV. Это означает, что для всякого класса ABV имеет место вложение Lipl С ABV. Для других классов Липшица непосредственно из теоремы 2 легко получить простое условие вложения, не обращаясь к последующим теоремам. А именно, пусть 1 < р < оо. Тогда для вложения 1 11 Lip- С ABV необходимо и достаточно, чтобы > — < оо, где - -f - = 1. tlXl Р Я

Сразу приведем доказательство этого утверждения. Полагая u[t) — U, применим неравенство Гельдера к частичным суммам рядов из теоремы

2 и учтем, что < 1. Получим jfe=i

1 ( п 1V1 где равенство достигается, когда tk = ~ I у^ —} , & = 1,га. В силу \trixkj теоремы 2 отсюда немедленно следует доказываемое утверждение.

Порядок а для класса Липшица Lip а = Нш, где w(t) = ta, 0 < а < 1, tcu'(t) п п равен отношению а = —-Л-1. Далее в параграфе 2 главы 2 будут рассма

UJ[t) триваться условия вложения классов Hw) являющихся обобщением классов Липшица в следующем смысле. Мы рассмотрим классы Нш такие, что tu'+(t) и;(t) а~\-о( 1) при t -4 0, 0 < а < 1. Именно такие классы мы называем tco'Jt) близкими к классам Липшица. Будет показано, что если lim —= а, о w(t)

О < а < 1, то для всяких а;2, 0 < ai < а < < 1, выполняется Lip «2 С Нш С Lipai. Полученная теорема останется в силе, если в предположении теоремы правую производную cu'+(t) заменить на левую производную oj'(t).

Теорема 8. 1) Пусть для модуля непрерывности uj(t) выполняется условие tuj'Jt) 1 1 ч

У/ = - + 0(-—) при t0, 1<»<оо. LJ{t) р In Г

Тогда для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы

00 1 1 11

ГМГ))'<°°, где- + - = 1. (1) Лк Лк р q к=1 1 . (lnm I ln£|)°\ 2) Если 0{—) заменить на и{---———) со сколь угодно большим натуральным т и сколь угодно малым а > 0, то для каждого р,

1 < р < оо, указанное условие вложения Нш С ABV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

3) Пусть —у^Д = - + о(1) при t —> О, 1 < р < оо. Тогда если в

Ld{t) р окрестности нуля —7—--->0. то условие (1) достаточно для влоu(t) р л ^ tw'At) 1 жения Hw С ABV. Если в окрестности нуля —7-т---<0. то условие u(t) р ~

1) необходимо для вложения Нш С ABV.

Хотя в пункте 2) теоремы 8 снижаются требования только к модулю непрерывности и, последовательность Л = {А/-}^, как видно из формулировки, не предполагается фиксированной. Поэтому для обоснования пункта 2) и аналогичных пунктов последующих теорем будут строится пары и, Л, а не и по заданной последовательности Л.

Следствие 4. Если со(t) ~ tp\Intj^1 (In | | \nt\)0n при t —> 0 , 1 < p < 00, j3i £ Ш, i = то для вложения Нш С A BV необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд v(lnAt)ft'(lnlnAt)^.(ln„At)^ 1 1

А? ' Р ? ' к где сумма берется по тем к, для которых члены ряда имеют смысл.

Для функций fug запись f(t) ~ g(t) при t —У 0 означает, что о g(t)

Если в равенстве —= а + о(1), t —> 0, формально перейти к пределу при а —У 0 или просто заменить а на ноль, то получится равенство = о(1) при t 0. Классы Нш, для которых модуль непрерывноu(t) сти удовлетворяет последнему равенству, рассматриваются в параграфе 3 главы 2. Будет показано, что каждый такой класс содержит объединение всех классов Липшица. В качестве примера можно взять класс Нш с модулем непрерывности w(t) ~ | \nt\P при t —> 0, (3 < 0. Полученная теорема останется в силе, если в предположении теоремы правую производную u>'+(t) заменить на левую производную w'(t).

Теорема 9. 1) Пусть для модуля непрерывности w{t) выполняются условия: } ) при £ О существует а > О такое, что в окрестности нуля

HW > e-«vfM u(t)

00 1 1

Тогда для вложения Нш С ABF необходимо, чтобы \ ~r~UJ(~r~) < Afc

Если 0(—. ) заменить на ^ ) со сколь угодно болъ

VI М л/1 lnf| шим натуральным т и сколь угодно малым а > 0, то найдутся модуль непрерывности uj{t) и последовательность Л = {А^}^ такие, что оо х 1

Нш С ABV, но У" 7-Ц—) =

00 1 1

Заметим, что в силу следствия 3 условие ^ °° явллется k=1 достаточным для вложения Нш С ЛБУ без каких-либо дополнительных ограничений на модуль непрерывности u(t).

Следствие 5. Еслиф) ~ (lnm! | lni|)^(lnm | lni|)^TO+1.(lnni | при t —> 0 , рт < 0, п > т > 1, (3{ 6 К; г = m + 1,., п, то d/u вложения Нш С ЛБУ необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

V (lnm Atf-(lnm+1 Afc)^m+1.(lnn сумма берется no тем к, для которых члены ряда имеют смысл. В теории функций действительного переменного встречается класс Нш с модулем непрерывности u(t) ~ t\\nt\ при t —> 0 [8, стр.111]. Можно считать, что cu(t) = £|1п£| в окрестности нуля, так как класс Нш не изменится, если u>(t) заменить на эквивалентный модуль непрерывности. В параграфе 4 главы 2 мы рассматриваем обобщение этого класса. Предварительно отметим, что указанный модуль непрерывности является частным случаем модуля непрерывности, заданного в окрестности нуля равенством <jj(t) = t(lnmi I m > 1, (3 > 0. Каждый класс Яы с таким модулем непрерывности является промежуточным между классом Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а < 1, то есть Lipl С Нш С Lip а;, 0 < а < 1. Запишем последнее равенство в виде u(t) = tu{x), где х = lnmi 1\nt\ при малых Z, и(х) — . Заметим, что хи ^ = а и{х)

Теоремы 10-13 параграфа 4 главы 2 относятся к классам Нш, которые близки к только что описанным классам в следующем смысле. Пусть в окрестности нуля переменной t модуль непрерывности задан равенством o>(z) = tu(x), где х = lnmi |ln£| , т > 1. Рассматриваются классы Нш, для которых хи'(х) и

W. Р + о(1) при X -> оо, Р > 0.

Здесь и'(х) обозначает левую производную функции и(х) по х. Ее появлеr \ u{t) ние объясняется тем, что при дифференцировании функции и(х) = — по t (с использованием правила дифференцирования композиций) правой производной по t соответствует левая производная функции и(х) по х, так как x'(t) < 0. Будет показано, что такие классы Нш являются промежуточными между классом Lipl и всеми классами Lip а, 0 < а < 1. Полученные теоремы останутся в силе, если в предположениях теорем левую производную и'(х) заменить на правую производную Как видно из формулировок теорем, значение (3 = 1 оказывается особым среди всех значений (3 > 0.

Теорема 10. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu(x), где х = lnmi 11п£| при малых t, т > 1, выполняется условие

XU' (X) 1

7\ ' =(3 + 0(-—) прих-^оо, /3>0, (Зф 1. и(х) 1П£

Тогда для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы при некотором с > 0

ОО сд /3 ехр[- ехрш! L-T] < 00. k=i Wh))13

1 (lnr xY

2) Если 0(-—) заменить на 0(—p——) со сколь угодно большим наill ОС 111 X туральным г > 2 и сколь угодно малым и > 0, то для каждого (3, (3 > О, /3 ф I, указанное условие вложения Нш С ABV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

Теорема 11. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu{x), где х — lnmi j lnt| при малых t, т > 1, выполняется условие хи'(х) 1 т-т— = 1 + Of ,-) при х —)■ оо. щх) v 1п х

Тогда для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы при некотором с > О сХ\ expt-exp^— ехр[- expmx 77^] < оо. k=i

1 (lnr xY

2) Если Q( -.:) заменить на 0(—г ■ ) со сколь угодно большим у\ъх л/1пж натуральным г > 2 и сколь угодно малым а > 0, то указанное условие вложения Нш С ABV не будет необходимым. „ хи'(х)

3) Если —-—г--1 = oil) при х со и эта разность не меняет знака и(х) при больших х, то указанное условие вложения Нш С ABV является достаточным независимо от порядка малости этой разности.

Следствие 6. Еслии{Ь) ~ *(lnmi | \nt\fm(\nm | lni|)^m+1.(lnni | Ш\)рп при t -4 0 7 /Зт > 0, п > т > 1, /3{ £ М, г = т + 1,., п, то для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы существовало число с > О при котором сходится ряд 1 сЛ 0т

Е expt- n х ^ *——Sri' где сумма берется по тем к, для которых члены ряда имеют смысл.

Теорема 12. 1) Пусть для модуля непрерывности u(t) = tu{x), где х = lnmi | In if j при малых t, m > 1, выполняется условие

Til1 ( T} 1 P + при x~> ос, /?>0, РФ I. u[x) In ж

Тогда для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно. чтобы lnm к • {и(Хк)) 1

Й,-тр-< хк

2) Если 01-—) заменить на -) со сколь угодно большим на

7 Мпж; v In а; ' туральным г > 2 и сколь угодно малым а > О, то для каждого (5, (3 > О,

3^1, указанное условие вложения Нш С ABV теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

Теорема 13. 1) Пусть для модуля непрерывности uj(t) = tu(x), где х = lnmi | \nt\ при малых t, т > 1, выполняется условие xu'ix) 1 j—г— = 1 + Oi —7=) при х —¥ оо. щх) Vina;

Тогда для вложения Нш С ABV необходимо и достаточно, чтобы

-lnm к • и(Хк) lim-г*2——- < оо. к—ь оо Л^

1 (1пг х)а

2) Если 0{ . ) заменить на 0(—г ) со сколь угодно большим пх v\nx натуральным г > 2 и сколь угодно малым а > 0, то указанное условие вложения С ABV не будет необходимым. xu'ix)

3) Если функция —т-г--1 есть бесконечно малая при х оо и не и{х) меняет знака при больших х, то указанное условие вложения Нш С ABV является достаточным независимо от порядка малости этой функции.

Следствие 7. Если и(t) ~ t(lnmi | Ini|)^(lnm ) lnt|)/?m+1.(lnni | Ьф^ при t —v 0 , (Зт > 0, п > т > 1, Pi £ М, i = т + 1, п, то для вложения С ABV необходимо и достаточно, чтобы

Рт+1 рп

-lnm к • (In Хк) е™ .(ln„m Хк)?" lim--7--< ОО. fc->oo д pm fc

Теоремы 10 и 11 приведены в качестве самостоятельных, так как в некоторых случаях вопрос о существовании с можно решить, не обращаясь к теоремам 12 и 13.

Наконец отметим, что в силу вогнутости модуля непрерывности предел lim—7—, если он существует, не превышает единицы. В tu'At) теореме 8 рассматривается случаи lim—= а, 0 < а < 1, в теореtuУ it} tuJ (t) ме 9 — случай lim —7-— = 0, а в теоремах 10-13 — случай lim —= 1. но w(t) t-»o u(t)

В третьей главе рассматривается задача о приближении функции, непрерывной на отрезке [0,1], суперпозициями сигмоидальной функции. Даются ответы на некоторые вопросы, поставленные в работе Чен Де-бао [13].

Функция <7 : М R называется сигмоидальной, если lim a(t) = 1 и lim cr(t) = 0. t—00

Обозначим n

Фп,а = {со + ci°{aix + bi) : en, b{, Ci eR,i = l,.,n,c0 e £ R}, inf 1/ - Л где / G C[0,1] и II/ - g\\ = sup | f(x) - g(x)|.

В статье [13] Чен Дебао формулирует следующую гипотезу: если и — монотонная сигмоидальная функция, и £ / £ 1], к £ N, к > 2, то dn>0.(f) = 0(n~h) при п —^ со. Кроме того, автор ставит вопрос о возможной аналогии с теоремой Джексона о приближении многочленами. Однако, многочлены являются бесконечно дифференцируемыми и даже аналитическими функциями. Поэтому естественно попытаться доказать гипотезу при более сильном предположении, а именно, что функция а -бесконечно дифференцируемая (аналитичность а не предполагается). В этом случае верна следующая

Теорема 14. Пусть а — сигмоидальная функция и а £ C°°(R). Тогда для любой функции f £ С'[0,1] и любого п £ N справедливо неравенство dn,a-(f) < En{f), где En(f) — наилучшее приближение функции / в пространстве С'[О,1] алгебраическими полиномами п-й степени.

Заметим, что если при некотором k Е N производная ограничена на [0,1], то из теоремы 14 следует оценка dn<(T(f) = 0(п~к) при n —f оо.

Улучшить полученную в теореме 14 оценку dn^(f) < En(f) нельзя, как показывает следующее утверждение.

Теорема 15. Существует монотонная сигмоидалъная функция а, а Е С°°(Е) такая, что при всяком п Е N найдется функция fn 6 С[0,1] для которой dn>(r(fn) = E„(fn) ф 0.

Чен Дебао ставит также обратную задачу: можно ли сделать какой-либо вывод о гладкости непрерывной на [0,1] функции /, зная последовательность 4,<г(/)? Теорема 16 показывает, что даже для бесконечно дифференцируемой функции а никакого заключения о гладкости функции / по последовательности dnj<r(f) сделать нельзя без дополнительных предположений о функции а.

Теорема 16. Существует сигмоидалъная функция а, а Е С°°(Е) такая, что для любой фунщии / Е С[0,1] приближение dniT(f) = 0 для всех п Е N.

Существует также монотонная сигмоидальная функция, обладающая аналогичным свойством, то есть даже если известно, что бесконечно дифференцируемая сигмоидальная функция монотонна, то никакого заключения о гладкости функции / по последовательности dnj(r(f) сделать нельзя.

Теорема 17. Существует монотонная сигмоидалъная функция сг1; cti Е C°°(R) такая, что для любой функции / Е С[0,1] и любого п Е {2,3,.} величина dHj(ri(f) = 0.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]-[26].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю П.Л.Ульянову за постановку задач и внимание к работе.

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961.

2. Белов А.С. Соотношения между различными классами функций обоб- гценной ограниченной вариации / / Докл. расширенных заседаний семинара ин-та приклад, математики им. И.Н.Векуа (Тбилиси). 1988, Т.З,№2,11-14.

3. Ефимов А.В.Линейные методы приближ,ения непрерывных периодических функций II Матем. сб. 1961,T.54,JV2l,51-90.

4. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.Т.1. М.: Мир, 1965.

5. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976.

6. Красносельский М.А., РутицкийЯ.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Гос. изд. физ.-мат, ЛР1Т., 1958.

7. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.2. М.: Наука, 1968.

8. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.: Гос. изд. тех.- теор. лит., 1949.

9. Осколков К.И. Обобгценная вариация, индикатриса Банаха и равномерная сходимость рядов Фурье / / Матем. заметки. 1972,Т.12, JY23,313-324.

10. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Н^ / / Изв. АН СССР. Сер.матем. 19б8,Т.32,№3,б49-б86. и. Чантурия З.А. О равномерной сходимости рядов Фурье jj Матем. сб. 197б,Т.100,№4,534-554.

11. Baernstein А. On the Fourier series of functions of bounded Ф-variation II Studia Math. 1972,V.42,№3,243-248.

12. Chen Debao. Degree of approximation by superpositions of sigmoidal function II J. Approxim. Theory and Appl. 1993,V.9,JY23,17-28.

13. Garsia A.M., Sawyer S. On some classes of continuous functions with convergent Fourier series 11 J,Math and Mech. 1964,V. 13,586-601.

14. Hardy G.H., Littlewood J.E. A convergence criterion for Fourier series II Math.Z. 1928,V.28,JY24,612-634.

15. Kovacik 0 . On the embedding H"" С Vp 11 Math. Slov. 1993,V.43,№5, 573-578.

16. Marcinkiewicz J. On a class of functions and their Fourier series 11 Compt.Rend.Soc.Sci.Varsovie. 1934,V.26,71-77.

17. Salem R. Essais sur les series trigonometriques II Actual.Sci.Ind. 1940, №862,Paris.

18. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation 11 Studia Math. 1972,V.44,№2,107-117.

19. Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients II J. Mass.Inst.Techn. 1924,V.3,72-94.

20. Young L.C. Sur une generalisation de la notion de variation de puissance p-iem.e bornee au sens de M. Wiener, et sur la convergence des series de Fourier II C.R.Acad.Sci. 1937,V.204,470-472.

21. Медведева М.В. О вложении классов Н'^ j j Матем. заметки. 1998, Т.64,№5,713-719.