О модулях непрерывности и их применениях в проблемах вложения классов функций и приближения функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1. Два обобщения леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте модуля непрерывности

1.1. Обобщение леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте на модуль непрерывности от нескольких переменных.

1.2. Решение задачи П.Л.Ульянова о существовании гладкой вогнутой мажоранты модуля непрерывности.

2. О вложениях классов Нш непрерывных функций двух переменных в классы АВУ функций обобщенной ограниченной вариации

2.1. Теоремы общего характера.

2.2. Случай симметричных модулей непрерывности.

2.3. Связь проблемы вложения классов для функций двух переменных с проблемой вложения классов для функций одной переменной.

2.4. Частные случаи.

3. Теоремы типа Джексона для наилучших приближений кусочно-постоянными функциями в пространствах Орлича

3.1. Прямая теорема типа Джексона.

3.2. Обратная теорема типа Джексона.

Одним из основных понятий в теории аппроксимации функций является модуль непрерывности функции от одной или нескольких переменных, который определяется по-разному в зависимости от типа рассматриваемых функций. Если функция непрерывна, то, как правило, ее модуль непрерывности оценивает разность значений функции в любых двух точках из ее области определения. В случае измеримых функций, принадлежащих, например, пространству Ьр, 1 < р < оо, используют интегральный модуль непрерывности функции. Кроме того, вводят понятие модуля непрерывности как самостоятельной функции с определенными свойствами. Модуль непрерывности и модуль непрерывности функции — два различных понятия, тесно связанные друг с другом. Если задан модуль непрерывности, то можно выделять классы функций, для каждой из которых ее модуль непрерывности оценивается сверху с точностью до постоянного множителя заданным модулем непрерывности, и доказывать теоремы сразу для целых классов. Такими классами являются, например, классы Липшица.

Настоящая диссертация состоит из трех глав. Во всех главах значительное место занимает понятие модуля непрерывности или модуля непрерывности функции, а в первой главе модуль непрерывности — единственный объект исследования.

В первой главе решена задача, поставленная П.Л.Ульяновым на семинаре по теории функций в Московском государственном университете. Точную формулировку задачи и полученного нами решения этой задачи дадим после необходимых для изложения определений и краткого обзора истории вопроса.

Функция с<;(£), определенная на полупрямой [0, оо) или на отрезке [О,/], О < I < оо, называется модулем непрерывности, если она не убывает, полуаддитивна и Нто;(£) = о>(0) = 0.

Полуаддитивность означает, что о;(£1+£2) < для всех ¿х,£2, для которых обе части неравенства имеют смысл. Ясно, что ш^) > 0 во всех точках определения функции. В исследованиях ряда авторов используется вогнутый модуль непрерывности, то есть модуль, удовлетворяющий неравенству и{а.11 + (1 — а)^2) > аш^1) + (1 — а) а;(£2) для 0 < а < 1 и ¿2 из области определения со. Не всякий модуль непрерывности является вогнутым. В связи с этим весьма полезным оказалось существование вогнутой мажоранты модуля непрерывности, также являющейся модулем непрерывности.

Первым применил такую мажоранту А.В.Ефимов в работе [11], где доказана следующая лемма, принадлежащая, как указывает автор, С.Б.Стечкину. (Мы нумеруем только те леммы, которые являются частью наших собственных доказательств.)

Лемма А. Для любого модуля непрерывности и/(¿) ф 0, заданного на отрезке [0,7г]; существует вогнутый модуль непрерывности а)(£); удовлетворяющий на (0,7г] неравенству и{Ь) < а>(£) < 2и{{), причем множитель 2 нельзя заменить на меньшую константу.

Из доказательства в [11] видно, что лемма остается справедливой, если отрезок [0,7г] заменить на любой отрезок [О,/]. В монографии Н.П.Корнейчука [12, стр. 182] содержится лемма, отличающаяся от леммы С.Б.Стечкина лишь тем, что она относится к модулю непрерывности, определенному на полупрямой [0,оо). Именно такой вариант леммы понадобился нам для решения задачи П.Л.Ульянова. Доказательство в [12], как будет показано на примере в §1 главы 1, опирается на неверное утверждение. Аналогичное утверждение есть и в [11], но там оно верно в силу компактности отрезка. Позже Н.П.Корнейчук [13, стр. 670], изменив доказательство, получил более общую лемму для модуля непрерывности ш, определенного на [0, оо). Ее формулировка приведена в §1 главы 1 данной диссертации. Мы упоминаем монографию [12], поскольку ее автор указывает и в самой монографии (стр. 311) ив [13, стр. 671], что доказательство в [12] для и> на полупрямой [0,оо) принадлежит Стечкину. Такое указание неточно, иначе оказалось бы, что недостаток в доказательстве допустил

Стечкин, хотя в доказательстве самого Стечкина неверных утверждений нет. В работе Е.П.Долженко [8] для модуля непрерывности, определенного на [0, оо), строится дважды непрерывно дифференцируемая на (0,оо) вогнутая мажоранта с некоторыми свойствами второй производной. К сожалению, в приведенном там построении имеется тот же недочет, что и в монографии [12]. Но нам важно сейчас отметить, что от вогнутой мажоранты в отдельных задачах требуется гладкость некоторого порядка. Вогнутая мажоранта модуля непрерывности используется и в работах других авторов, например, в [15], [27].

В 2000 году Н.Ю.Додонов [7] опубликовал без доказательства теорему для модуля непрерывности от п переменных, определенного на М", которая является аналогом леммы Корнейчука из [13]. Мы приводим полную формулировку этой теоремы в §1 главы 1. Отметим здесь, что в частном случае п = 1 теорема Додонова не приводит в полном объеме ни к лемме Стечкина, ни, тем более, к лемме Корнейчука из [13], так как в этих леммах содержится строгое неравенство, которого нет в теореме Додонова. В §1 главы 1 мы доказываем теорему 1 для модуля непрерывности от п переменных, которая при п = 1 дает обе указанные леммы в полном объеме. Для формулировки теоремы 1 введем необходимые обозначения и определение модуля непрерывности от п переменных.

Пусть п — натуральное число, и пусть для г — 1,. ,тг заданы промежутки 1г вида = [0, оо) или /г- = [0, /¿], 0 < /г- < оо. Положим Т == = 1\ х . х /п. Допускается вариант, когда /г- = [0,/г] для некоторых % и = [0, оо) для остальных г. Произвольную точку из Еп будем обозначать через I = (¿1,., £„). Нулевой элемент в Еп обозначается тем же символом, что и число ноль. Через обозначается множество точек в I" с неотрицательными координатами, а через п^М™ множество точек в Еп с положительными координатами. Для х Е Мп запись х > 0 равносильна х Е М", а запись х > 0 равносильна х Е и^М". Через О(гг) обозначается множество непустых подмножеств в {1,.,гг}. Если t Е К" \ {0}, то сг(£) обозначает множество тех номеров г, для которых £г- > 0. Если А = (Аь ., Ап) и £ = (¿1,. ,*„), то М = (А^ь ., Ап£п).

Функция u>(t), определенная на Т, называется модулем непрерывности, если она полуаддитивна, не убывает по каждому аргументу U и limu>(i) = = ы(0) = 0. Полуаддитивность означает, что u{tl + t2) < и>(t*) + если t1, t2 и t1 +t2 принадлежат Т. Назовем модуль непрерывности и на Т невырожденным, если ui{t) > 0 при t Е Т \ {0}.

Теорема 1.1) Пусть со — ненулевой модуль непрерывности, определенный на Т. Тогда существует вогнутый модуль непрерывности Си на Т, который является мажорантой функции и и который удовлетворяет неравенству

Q{\t) < (1+ ]Г A,>(i) iea-(t) для всех Л > 0 и всех t Е Т таких, что Xt £ Г и u(t) ф 0. 2) Существует модуль непрерывности и>, определенный на Т, для которого любая вогнутая мажоранта g обладает следующим свойством. Для каждого Л > 0 и каждого а Е Q(n) верно sup—— > 1 + > Xi, и it) ~ v ' ге<7 где супремум берется по тем t Е Т, для которых <r(t) = а и Xt Е Т.

Теорема 1 дополняет теорему Додонова, в частности, по следующим пунктам. Теорема Додонова содержит лишь нестрогое неравенство, аналогичное неравенству части 1) теоремы 1, причем множитель при u(t) п равен 1 + Xi для всех t, т.е. зависимость множителя от числа ненуг=1 левых координат точки t не отражена. Более подробно сравнение двух теорем изложено в §1 главы 1.

Сформулируем теперь задачу, поставленную П.Л.Ульяновым. Пусть w(t) — произвольный модуль непрерывности, определенный на [0, оо) и не равный тождественно нулю. Существует ли вогнутый модуль непрерывности u>o(t) заданного порядка гладкости на (0,оо), удовлетворяющий для t > 0 неравенству и (t) < coQ(t) < cu(t), где с — постоянная? В случае положительного ответа указать наименьшее значение с (или нижнюю грань значений с), общее для всех модулей непрерывности, не равных тождественно нулю.

В §2 главы 1 доказаны теоремы 2 и 3, которые дают решение задачи П.Л.Ульянова.

Теорема 2. Пусть для модуля непрерывности сu(t), заданного на [0, со), существует вогнутый модуль непрерывности Си (t), удовлетворяющий для t > О неравенству u>(t) < ü(t) < ¡JLU)(t), где ц постоянно. Тогда существует вогнутый на [0, оо) и бесконечно дифференцируемый на (0,оо) модуль непрерывности cüq(t), удовлетворяющий для t > О неравенству u(t) < u>o(t) < fiu>(t), причем u>o(t) = uj'(0)t в некоторой окрестности нуля, если о/(0) < оо.

Здесь и в дальнейшем под окрестностью нуля подразумевается правая окрестность нуля. Если модуль непрерывности u(t) определен на отрезке [0,1], то его можно продолжить на [0, оо), полагая u(t) — lü(1) для t > I, и применить теорему 2 к этому продолжению. Заметим, что любой модуль непрерывности u(t) от одной переменной имеет конечную или бесконечную правую производную а/ (0) (гл. 1, §2). Теорема 3 следует из теорем 1 и 2.

Теорема 3. Для любого невырожденного модуля непрерывности u(t)} определенного на [0,оо); существует вогнутый на [0,оо) и бесконечно дифференцируемый на (0, оо) модуль непрерывности сuo(t), удовлетворяющий для t > 0 неравенству tú{t) < u>o(t) < 2w(t), причем ujo(t) = cj'(0)t в некоторой окрестности нуля, если о/(0) < оо. Кроме того, существует модуль непрерывности, определенный на [0, оо); для которого множитель 2 нельзя заменить на меньшую константу.

Последнее утверждение теоремы 3 остается верным, если от u¡o(t) требовать только конечный порядок гладкости. Это следует из теоремы 1. Закончим описание главы 1 следствием о существовании гладкой вогнутой мажоранты для модуля непрерывности от нескольких переменных, которое легко выводится из теоремы 3. Для каждого i = 1,., п обозначим через u>i(ti) функцию, которая получается из и (ti, .,£„) заменой всех переменных, исключая на ноль.

Следствие. Пусть u(t) — невырожденный модуль непрерывности, заданный на М". Тогда существует вогнутый на и бесконечно дифференцируемый в intмодуль непрерывности Uo(t), удовлетворяющий для t ф 0 неравенству u(t) < ujq(t) < 2ku(t), где k — число отличных от ности нуля, если ^(0) < оо для всех г — 1,., п.

Вопрос о возможности замены множителя 2к на меньшую константу остается открытым.

Перейдем к описанию главы 2. В ней рассматривается такое обобщение понятия вариации, которое представляет интерес прежде всего в теории тригонометрических рядов Фурье и имеет отношение к обобщениям известной теоремы Жордана о сходимости ряда Фурье функции ограниченной вариации [1, стр. 121].

Различными математиками обобщалось понятие вариации таким образом, что для функций с ограниченной обобщенной вариацией верно утверждение, аналогичное теореме Жордана. Для функций одной переменной обобщения этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации получали Н.Винер [31], Дж.Марцинкевич [28], Л.Юнг, который ввел общее определение Ф-вариации [32], Р.Салем [29]. Вопросы сходимости рядов Фурье для функций ограниченной Ф-вариации рассматривали также А.Бернштейн [24] и К.И.Осколков [18]. Понятие Л-вариации для функций одной переменной впервые ввел Д.Ватерман в работе [30].

Пусть Л = {А^}^ — монотонная последовательность положительных оо ^ чисел такая, что А& -» оо при к —> оо и ^ — = оо. Функция / : [а, Ь] —> Е к=1 й называется функцией с ограниченной Л-вариацией (/ 6 АВУ([а, &])), если где супремум берется по всем конечным системам О, попарно непересекающихся интервалов (а^бд.) из отрезка [а, 6]. Если Л = то та п нуля координат точки t, причем u>o(t) = е некоторой окрестi=1 кая вариация называется гармонической и соответствующий класс функций обозначается НВУ([а,Ь]). Д.Ватерман получил обобщение теоремы Жордана для функций класса НВУ([—7г, 7г]) и доказал, что полученный таким образом признак сходимости ряда Фурье сильнее упомянутых выше признаков.

Что касается аналога теоремы Жордана для двойных рядов Фурье, то в случае, когда их сходимость определяется по Прингсхейму, он был доказан Г.Харди [26]. Для этого Г.Харди ввел определение класса функций двух переменных ограниченной вариации на прямоугольнике. В дальнейшем Б.И.Голубов [4] обобщил классы Харди функций ограниченной вариации и ввел понятие классов функций, имеющих на прямоугольнике ограниченную Ф-вариацию. Для этих функций Б.И.Голубовым [4, 5, 6] был доказан аналог теоремы Жордана, обобщающий теорему Г.Харди о сходимости двойных рядов Фурье. Впоследствии А.А.Саакян [19] также обобщил понятие ограниченной вариации функции двух переменных, которое ввел Г.Харди. А.А.Саакян определил А-вариацию функции двух переменных при А = и назвал такую вариацию гармонической.

Для класса функций двух переменных ограниченной гармонической вариации А.А.Саакяном был получен аналог теоремы Жордана для двойных рядов Фурье, обобщающий результат Б.И.Голубова. А.И.Саблин [20] ввел понятие А-вариации для функций нескольких переменных и получил многомерный аналог теоремы А.А.Саакяна. Направление исследований, начатое А.А.Саакяном и А.И.Саблиным, продолжает развиваться в работах М.И.Дьяченко и других авторов (см. [10]).

В излагаемой диссертации А-вариация вводится для функций двух переменных, заданных на квадрате [0,1]2. Вместо квадрата [0,1]2 можно взять декартово произведение двух любых отрезков. Квадрат [0,1]2 выбран для сокращения записей. Пусть А = {А^}^ — монотонная последовательность положительных чисел такая, что Ад. —)■ оо при к ос и оо ^

V^ — = оо. Пусть / : [О, I]2 —> 1R. Для фиксированного у0 G [0,1] положим J Ai. к=1 к

К (/, Уо) = sup > ---, п к к где супремум берется по всем конечным системам О, попарно непересекающихся интервалов Ьк) из отрезка [0,1]. Аналогично, для фиксированного Xq G [0,1] положим

Vy(f,x0) =suPT Q — f(xp,pn) - f(xo,gn)| A n где супремум берется по всем конечным системам О, попарно непересекающихся интервалов (ап,(Зп) из отрезка [0,1].

Будем говорить, что / G ABVX, если sup Vx(f,y0) < оо. Аналогичный

Уо€[0,1] смысл имеет запись / G ABVy. Далее, положим

VXjV(f)= sup к,п f(bk,Pn) - f{p>k,Pn) - f{bk,an) + f(ak,an)\ где супремум берется по всем конечным системам Qi попарно непересекающихся интервалов (а*.,^) из [0,1] и всем конечным системам О2 попарно непересекающихся интервалов (ап,(Зп) из [0,1]. Будем говорить, что / G ABVx>y, если VXiV(f) < 00.

Назовем А-вариацией функции / значение Va.(/), определяемое равенством

Va(/) = SUP К(/,2/0) + SUP + (лift>€[0,l] ®oG[0,l]

Если Ул(/) < 00, то функция / называется функцией ограниченной Л-вариации на квадрате /2, где / = [0,1] (/ G ABV(I2)).

Таким образом, ABV(I2) = ABVX f] ABVy f) KBVXiy. Данное только что определение функции ограниченной Л-вариации совпадает с определением А.А.Саакяна в случае Л = {к}^^ и с определением А.И.Саблина, если в их определениях считать функции заданными на /2. В связи с использованием Л-вариации в математических исследованиях естественно поставить следующий вопрос. Как по какой-либо традиционной характеристике функции, например, по ее модулю непрерывности судить о принадлежности функции к классу ABV(I) или к классу ABV(I2)? Так возникает проблема вложения классов непрерывных функций в классы ABV(I) или ABV(I2). Для более точной формулировки рассматриваемой в главе 2 проблемы вложения и для формулировки полученных результатов приведем определения классов Нш{1) и Нш{12).

Пусть io{t) — модуль непрерывности, определенный на I = [0,1]. Через Нш{1) обозначим множество непрерывных на I функций /, для каждой из которых найдется число с > 0 такое, что u(f,t) < cu(t), где w(/,i)= sup \f(x + h)-f{x)\,tei.

0 <h<t x,x + h£I

Пусть uj(t,r) — модуль непрерывности, определенный на I2. Через Нш{12) обозначим множество непрерывных на I2 функций /, для каждой из которых найдется число с > 0 такое, что u>(f,t,r) < cu>(t,r), где u(f,t,r)= sup \f(x2,y2) ~ f(xi,yi)\, (t,r) в I2. xi,yi),(x2,y2)el2 \Я2-Х1\<1ЛУ2~У1\<Т

Различные необходимые и достаточные условия вложения Нш(1) С С ABV(I) были получены А.С.Беловым [2] и М.В.Медведевой [15]. В §1 главы 2 доказаны теоремы 4 и 5.

Теорема 5. Для вложения Нш{12) С ABV(12) необходимо и достаточно, чтобы для всяких последовательностей {tk\kLi, таких,

ОО ОО ОО / , u(tk, 0) что h > 0, тп > 0 и tk < 1, ^^ тп < 1, сходились ряды

Ль к= 1 п=1 к= 1 й

Е°° ^(0, тп) ^ тт{ш(^,0),ш(0,гп)}

-> --— '—--Кроме того, если при заданных и л ЛкЛп п—1 к,п— 1 и А эти ряды сходятся для всех указанных последовательностей то суммы рядов равномерно ограничены.

Предшествующая теорема 4 отличается от теоремы 5 только тем, что в теореме 4 последовательности {¿а}^ и {та}а^1 совпадают. Теоремы 4 и 5 дают полное решение проблемы вложения Нш(12) С АВУ(12) в том смысле, что они содержат необходимое и достаточное условие вложения без каких-либо дополнительных предположений о модуле непрерывности и и последовательности Л.

Теорема 7. Пусть ш{Ь,т) — невырожденный модуль непрерывности определенный на I2. Тогда для вложения Нш{12) С АВУ(12) необходимо и достаточно, чтобы для последовательностей оо оо таких, что ^ > 0, тп > 0 и ^^ ^ < 1, ^^ тп < 1, сходился ряд к=1 п-1

-fc' '-——. Кроме того, при заданных и и А из сходимоmin{cjfa,0),q;(0,rn)} к,п=1 сти таких рядов следует равномерная ограниченность их сумм.

Предшествующая теорема 6 отличается от теоремы 7 только тем, что в теореме б последовательности {tk}kLi и {т*.совпадают. Насколько легко или трудно проверять условия вложения HW(I2) С ЛБУ(/2), содержащиеся в теоремах 4-7? Это можно выяснить только при рассмотрении частных случаев, то есть при дополнительных ограничениях на модуль непрерывности u;(i, г) и последовательность Л или при конкретном указании такой пары. В §2 главы 2 показано, что полученные в §1 условия вложения Нш{12) С ABV(I2) сильно упрощаются, если модуль непрерывности а; симметричен, то есть oj(t,r) = cv(r, t) для всех (£, г) Е I2. Симметричные модули непрерывности представляют особый интерес в связи с широко принятым [9] определением модуля непрерывности функции двух переменных, который отличается от использованной выше функции u(f,t,r), когда мы давали определение классов Нш{12).

Модулем непрерывности u{f,6) функции /, заданной на /2 называется функция, которая определяется для О < S < л/2 равенством u{f,6)= sup \f(x2i у2) ~ f(xi,yi)\, х1,у1),(х2,У2)е12 \{Ах,Ау)\<6 где Ах = х2- Х\, Ау = у2- У\, |(Дж, Ду)| = \/(Ах)2 + (Ау)2.

Пусть и(5) — модуль непрерывности, определенный для 0 < 6 < у/2. Положим о;(£, т) = и (£) + и (г) для т) £ I2. Тогда т) — симметричный модуль непрерывности, определенный на I2. Обозначим через Н%{12) множество функций /, определенных на /2, для каждой из которых найдется с > 0 такое, что Ц/, 6) < си(6) при 0 < 6 < у/2. Как будет показано в §2, класс Щ(12) совпадает с классом Нш(12), где второй класс задается модулем непрерывности а>(£,т) = ш^) +ш(т). Таким образом, вложение Н%(12) С АВУ(12) эквивалентно вложению Нш(12) С АВУ(12) с соответствующим симметричным модулем непрерывности.

Теорема 8. Пусть а;(£, г) — симметричный модуль непрерывности, определенный на 12. Тогда для вложения Нш(12) С АВУ(12) необходимо и достаточно, чтобы для всякой невозрастающей последовательности uJ(t 0) к 1 й}^ такой, что > ^ и — ^ сходился ряд Л ' У^ —. к=1 к= 1 пЙ Хп

Кроме того, при заданных и и К из сходимости таких рядов для всех указанных последовательностей следует равномерная ограниченность сумм этих рядов.

В следующей теореме симметричность модуля непрерывности не предполагается.

1 т 1 ^ 1

Теорема 9. Если Пт — ]Г — ^ — = оо; то Нш(12) (/ АВУ(12) т °° к= 1 к п=1 п для любого невырожденного модуля непрерывности и((Ьут).

Рассмотрим классы Липшица. Для 0 < а < 1 класс Липшица 1лр(/, а) = = Нш(1), где и = и(г) = Г, и Ыр(/2, а) = Нш{12), где ш = Ц*, г) = Г + та. В случае функции одной переменной класс 1лр(/, 1) содержится в любом классе АВУ{1)) поскольку каждая функция из 1лр(/, 1) имеет ограниченную вариацию. Для функций двух переменных ситуация принципиально другая. Из теоремы 9 следует, что возможен случай, когда при заданной последовательности А ни один класс Липшица не содержится в КВУ{12). Для примера достаточно взять последовательность А =

1 Г1 * 11°°

0 < § < -. Однако, если последовательность < — — > ограничена,

Ч П=1 ) то 1лр(/2,1) С КВУ{12) по теореме 8.

Теорема 10. Пусть u(t, т) — симметричный модуль непрерывности, для которого lim^-^- = оо. Тогда если lim — У^У^-г- > 0, то <->■ 0 t т^оо т ' Хк ' Хп

• ^ yi — 1

Нш{12) <£ ABV(I2).

В §3 главы 2 на основе теоремы 8 устанавливается связь между условиями вложения Нш(12) С АBV(I2) для симметричных модулей и условиями вложения Нш{1) С ABV(I). Эта связь позволяет при некотором ограничении на последовательность Л так переформулировать практически все теоремы, которые доказаны к настоящему моменту и будут доказаны в будущем о вложениях Нш(1) С ABV(I), что они превращаются в теоремы о вложениях Нш(12) С ABV(I2).

В работе М.В.Медведевой [15] доказана следующая теорема.

Теорема В. Для вложения Нш(1) С ABV(I) необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {tk}kLi такой, что tk > О

ОО ОО / ч и ^^ifc < 1, ряд —-— сходился. к=1 к=1 Хк Мы будем использовать теорему В с небольшим, но существенным для дальнейшего, изменением в формулировке. Последовательность не имеет предельных точек, отличных от нуля. Поэтому можно так переставить ее члены, что она превратится в невозрастающую последовательность. Так как последовательность {А*.}^ не убывает, то при такой

V^ ГЛ перестановке сумма ряда > ' не уменьшится. Отсюда следует, что теорема В останется верной, если слова "для любой последовательности" заменить на слова "для любой невозрастающей последовательности".

Для удобства формулировок введем два термина. Последовательность чисел будем называть А-последовательностью, если она не убываоо ^ ет, Sk > 0 для всех к, Sk —> 00 при к оо и V^ — = оо. Sk к=1 й

Последовательность S = будем называть ассоциированной с Апоследовательностью А = {Ад,}^, если S — А-последовательность и если существуют положительные числа А и В такие, что А yl<L<lyl

Afc An ¿-f An n=l n=l для всех к.

Пусть Р(и,А) — некоторое свойство пары (и, Л), где и — произвольный модуль непрерывности, определенный на /, а Л — произвольная А-последовательность. Свойство Р(и, А) может быть истинным для одних пар (lu, А) и ложным для других пар (и, А). Из теоремы В (с учетом сделанного к ней замечания) и из теоремы 8 вытекает следующее утверждение.

Если Р(и,А) — достаточное (соответственно необходимое) условие вложения HW(I) С ABV(I), то P(co,S) — достаточное (соответственно необходимое) условие вложения Нш(12) С ABV(12) для тех А, которые имеют ассоциированную последовательность S, и для симметричных модулей непрерывности Lû(t,r). В выражении P(lj,S) под и надо понимать модуль непрерывности, определяемый равенством u>(t) = w(t,0).

Верно и другое утверждение, а именно:

Если Р(ш, А) не является достаточным (соответственно необходимым) условием вложения Нш(1) С ABV(I), то найдутся симметричный модуль непрерывности u(t, г), определенный на /2, и последовательность А, имеющая ассоциированную последовательность 5, такие, что P(u,S) истинно, но Нш(12) (¡L ABV{I2) (соответственно Нш{12) С ABV{I2), но P{u,S) ложно). Это будет видно из доказательств в параграфе 3 главы 2. Здесь снова в P(uj, S) под и подразумевается модуль непрерывности, определяемый равенством u(t) = u(t, 0).

В теоремах, относящихся к вложениям Нш{1) С ABV(I) и опубликованных в [16], условия вложения или отрицания вложения таковы, что они приводят к эквивалентным условиям, если S заменить на последовательоо ность < А к у г • Подробнее об этом написано в §3 главы 2.

V П = 1 )

В §3 главы 2 доказаны теоремы 11-14. Доказательство опирается на описанную выше связь между вложениями Нш{1) С АВУ(1) и вложениями Нш(12) С АВУ(12) для симметричных модулей непрерывности. Будет показано, что для получения теорем 11-14 можно применить теоремы из работы [16], дополнив их выкладками, которые не вызывают принципиальных затруднений. По ходу доказательства возник, например, следующий вопрос. Если S = {sfc}^ — Л-последовательность, то существует ли А-последовательность А = {Afc}^, для которой S будет ассоциированной последовательностью? Приведем здесь же ответ на этот вопрос. Для любой А-последовательности S = {s^j^Lj существует А-последовательность

1^1 1

А = {А/с}^=1 такая, что т—Т~ = — Длл всех Доказательства тео

Ак An Sk п—1 рем 11-14 демонстрируют на более конкретном материале возможности той связи между вложениями Нш(1) С ABV(I) и вложениями НШ(Р) С С ABV(I2), которая была описана в общих чертах выше.

Во введении мы приведем формулировку только теоремы 11, но дадим здесь описание тех модулей непрерывности, которые присутствуют во всех четырех теоремах 11-14. Сделаем сначала несколько замечаний по поводу принятых ниже обозначений. Индекс + или — у производной обозначает соответственно правую и левую производную. Поскольку все модули непрерывности u(t), определенные на /, предполагаются в теоремах вогнутыми, то в каждой точке t £ (0,1) они имеют односторонние производные. В точке t = 1 существует конечная левая производная Во всех точках, за исключением не более чем счетного множества, существует производная u'(t). Через \пт х будет обозначаться m-кратный натуральный логарифм 1п(1п. (Inж)). Если т = 0, то ln0 х = х. Если u(t, т) — симметричный модуль непрерывности, то u(t) = cu(t, 0).

Теорема 11 относится к классам Нш(12), для которых u(t) удовлетворяет условию —= - + о(1) при t 0, 1 < р < оо. Если u(t,r) = Lü{t) Р t1/p + т1/р, то ffw(/2) — класс Липшица Lip(/2, -), 1 < р < оо. В этом случае ^ ^ — I дЛЯ о < t < 1. Таким образом, теорема 11 относится j(t) р к классам Нш(12)> в определенном смысле близким к классам Липшица, когда р ф 1. В теореме 11 оговаривается порядок малости слагаемого 0(1).

Теорема 12 относится к классам Нш(12), для которых cu(t) удовлетвори/(i) ряет условию ——— = о{1) при М 0 с указанием порядка малости о(1).

Каждый такой класс содержит объединение всех классов Липшица. Кроме того, теорема 12 содержит пункт, относящийся ко всем симметричным модулям непрерывности u)(t,r) и всем А-последовательностям А, имеющим ассоциированную последовательность. Этот пункт дает достаточное условие вложения Нш{12) С ABV(I2).

В теории аппроксимации функций встречается [17, стр. 111] модуль непрерывности, который с точностью до эквивалентности задается в окрестности нуля равенством cu(t) = i|lnij. Это частный случай модуля непрерывности, который в окрестности нуля задается равенством cv(t) = = ¿(In то—I т £ М, (3 > 0. Сделаем замену переменной, полагая х = lnmi 11п£| в окрестности нуля переменной t. Тогда ui{t) примет вид оси! (х) oj(t) = tx13. Обозначим и(х) = . Тогда —-Л-^ = (3. Теоремы 13 и 14 и(х) относятся к классам Нш(12) с симметричным модулем непрерывности сo(t,r), где u)(t) = u(t, 0) = а;(0, г) в окрестности нуля имеет вид u>(t) = tu(x). Функция и(х) может не совпадать с , но удовлетворяет условию хи>, , = р + oil) при х —> оо с некоторыми ограничениями на порядок и[х) малости о(1). Рассматриваемые в этих теоремах классы Нш(12) содержат класс Lip(/2,1), не совпадая с ним. В тоже время они содержатся в любом классе Липшица Lip(/2,-) для р > 1. В теореме 13 предполагается, что Р

3 ф 1. В теореме 14 предполагается, что (3 = 1.

Теорема 11. 1) Пусть Х-последовательность {А^}^ имеет ассоциированную последовательность, и пусть aj(t,r) — симметричный вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию tu'At) 1 ^ / 1 \ - + О ( -— при t -)> 0, 1 < р < оо.

U) t) р \\nt,

Тогда для вложения Нш{12) С ABV(I2) необходимо и достаточно, чтобы

1 ( (1 \Y , 1 1 ~ ' ----- Ч г и \ \Ги/ / г) а к=1 сходился ряд ^^ — (ш(—^ ) , где —|— — 1, Гк = Ад

Если О заменить на О указанное условие вложения Нш(12) С АВУ(12) теряет силу как в части необходимости, так и в части достаточности.

В §4 главы 2 полученные теоремы применяются к классам Нш(12) с модулями непрерывности частного вида. К таким модулям относятся, например, симметричные модули и;(£,г), для которых в окрестности нуля

1 < р < оо. Здесь (Зг — произвольные действительные числа, за исключением случая р = 1, г — 1 ,.,п. Если р = 1, то (5\ > 0. Для указанного модуля непрерывности последовательность Л — произвольная А-последовательность, имеющая ассоциированную последовательность.

Перейдем к описанию третьей главы. Для системы функций Хаара в пространстве Ьр, 1 < р < оо прямая теорема типа Джексона была доказана П.Л.Ульяновым в работе [22], а обратная теорема типа Джексона доказана Б.И.Голубовым в работе [3]. З.Цесельский показал [25], что постоянный множитель С — 24 в теореме П.Л.Ульянова можно заменить на С — (2 + 2р+1)? < 6. В третьей главе эти теоремы обобщаются в двух направлениях. Во-первых, рассматриваются кусочно-постоянные на [0,1] функции, которые вообще говоря, не являются функциями Хаара. Прямую и обратную теоремы типа Джексона для функций Хаара в Ьр, 1 < р < оо, можно вывести простыми выкладками из частных случаев полученных теорем. Во-вторых, вместо пространств Ьр мы рассматриваем пространства Орлича. Пространство рассматривается отдельно.

Пусть (р — выпуклая функция, определенная на [0, оо) такая, что <^(0) = = 0, (р(х) > 0 при х > 0. Через Ь43 будем обозначать множество измеримых вещественных или комплекснозначных функций / на [0,1], для которых

0) = £1/р| Ь^1 (1п | Ш\У>. (1пп1 | \nt\f\ 1 о

Gv = {g : g(t) > 0 для t E [0,1], J <p{g(t))dt < 1}. о

Функции, совпадающие почти всюду, отождествляются. Каждая функция / считается продолженной на (—оо,оо) с периодом 1. Lv будет пространством Орлича, если на ср наложить дополнительные условия [14, стр. 83], но они в доказательствах основных теорем главы 3 не используются.

По аналогии с определениями в [22, 3] вводятся два модуля непрерывности функции / Е Lv: 1 u(f,ö,L*)= sup (sup f If(t + h)-f(t)\g(t)dt),

0<h<8 g<=Gv J 0

1 -h u*(f,6,L*)= sup (sup [ \f(t + h)-f{t)\g(t)dt).

0<h<8 g£Gv J 0

Пусть задано разбиение отрезка [0,1] на п > 1 равных промежутков точками i0 < t\ < • • • < tu- Пространство всех функций, постоянных на интервалах Aj = г = 1 ,.,п, будем обозначать через Dn.

Если D — подпространство в то E(f, D, L^) обозначает расстояние от / Е до D. Для натуральных чисел т < п через А (у, п, ш) обозначается минимальное из чисел А, для которых выполняется следующее условие: т т если аг- > 0, г = 1,., т, и <^(аг) < n? то X] ^ т- И3 полученных г=1 г=1 теорем 15-20 приведем во введении формулировки только теорем 15-17.

Теорема 15. Пусть f Е Ь^ или / Е Li, т — натуральное число.

Тогда или, соответственно E(f, Dm, Li) < 2 —, L^.

Показано, что множитель 2 нельзя заменить ни на какую константу 1

С<2

Теорема 16. Пусть f Е L^, — возрастающая последовательность натуральных чисел, ш0 = 1. Тогда если тk < п < mk+i и = £!/.!),„,,Г'), то

7—0 г==;+1

Теорема 17. Пусть f £ Ьр, I < р < оо, и — возрастающая последовательность натуральных чисел, т0 = 1. Тогда если т& < п < < тк+1 и = то < + етг

3=0

В теоремах 16 и 17 не предполагается, что Д^. С В работе [3] доказано неравенство

1 1 п "(/.-.■£).)< с, «И

5=1

44- I. 1 где Ср = 2 р(2р + 4) < 96, Е3($,ЬР) — наилучшее приближение функции / линейными комбинациями первых п функций Хаара. В §2 главы 3 из теоремы 17 будет выведено неравенство, совпадающее с неравенством ь,

Б.И.Голубова во всем, кроме значения Ср, которое будет равно 2? < 16. Таким образом, получена более точная оценка модуля непрерывности. Аналогичное неравенство для системы Хаара в пространстве Ь* можно вывести из теоремы 16. Но мы его не включаем в диссертацию, так как оно имеет громоздкий вид и не улучшает оценку модуля непрерывности, если в теореме 16 взять т^ = V.

Обратим внимание на одну особенность теорем 16 и 17. Будет показано, что для некоторых последовательностей правая часть неравенств в заключениях теорем 16 и 17 стремится к оо при п —У оо. Ясно, что подобная оценка модуля непрерывности бесполезна. Поэтому последовательность надо выбирать, соблюдая некоторые условия. В связи с этим в §2 главы 3 будет введено понятие состоятельной оценки, которое мы не приводим во введении. Отметим только, что теоремы 18-20 связаны именно с понятием состоятельной оценки. Показано также, что для состоятельных оценок теорему 17 и теорему 16 в случае, когда Ь^ — пространство Орлича, нельзя усилить, умножая правые части неравенств на бесконечно малую (при п —> оо).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [33]—[36].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю П.Л.Ульянову за постановку задач и внимание к работе.

1. Н.К.Бари Тригонометрические ряды — М.: ФизМатГиз, 1961.

2. А.С.Белов Соотношения между различными классами функций обобщенной ограниченной вариации // Докл. расширенных заседаний семинара ин-та приклад, математики им. И.Н.Векуа (Тбилиси), 1988, т.З, №2, с. 11-14.

3. Б.И.Голубов Наилучшие приближения функций в метрике Ьр полиномами Хаара и Уолша // Матем. сб., 1972, т.87, №2, с. 254-274.

4. Б.И.Голубов Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье и сопряженных тригонометрических рядов // Доклады АН СССР, 1972, т.205, №6, с. 1277-1280.

5. Б.И.Голубов О сходимости двойных рядов Фурье функции обобщенной ограниченной вариации I // Сиб. матем. ж., 1974, т.15, №2, с. 262-291.

6. Б.И.Голубов О сходимости двойных рядов Фурье функции обобщенной ограниченной вариации II // Сиб. матем. ж., 1974, т.15, №4, с. 767-783.

7. Н.Ю.Додонов О выпуклой мажоранте модуля непрерывности в многомерном случае // Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения С.Б.Стечкина, Екатеринбург, 2000, с. 68-69.

8. Е.П.Долженко Об особых точках непрерывных гармонических функций // Изв. АН. СССР, сер. математика, 1964, т.28, с. 1251-1270.

9. М.И.Дьяченко Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // УМН , 1992, т.42, вып.5(287), с. 97-162.

10. М.И.Дьяченко Двумерные классы Ватермана и и-сходимостъ рядов Фурье // Матем. сб., 1999, т.190, №7, с. 23-40.

11. А.В.Ефимов Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Матем. сб., 1961, т.54, вып. 1, с. 51-90.

12. Н.П.Корнейчук Экстремальные задачи теории приближения — М.: Наука, 1976.

13. Н.П.Корнейчук О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций // Матем. заметки, 1982, т.32, №5, с. 669-674.

14. М.А.Красносельский, Я.Б.Рутицкий Выпуклые функции и пространства Орлича — М.: ФизМатГиз, 1958.

15. М.В.Медведева О вложении классов Нш // Матем. заметки, 1998, т.64, №5, с. 713-719.

16. М.В.Медведева О классах Нш и АВУ // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы, Воронеж, ВГУ, 2001, с. 185-186.

17. И.П.Натансон Конструктивная теория функций — М.-Л., ГТТИ, 1949.

18. К.И.Осколков Обобщенная вариация, индикатриса Банаха и равномерная сходимость рядов Фурье // Матем. заметки, 1972, т.12, №3, с. 313-324.

19. А.А.Саакян О сходимости двойных рядов Фурье функции ограниченной гармонической вариации // Изв. Академии наук Арм. ССР, сер. матем., 1986, т.21, №6, с. 517-529.

20. А.И.Саблин А-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов, сер. матем., 1987, №10, с. 66-68.

21. А.Ф.Тиман Теория приближения функций действительного переменного — М.: ФизМатГиз, 1960.

22. П.Л.Ульянов О рядах по системе Хаара // Матем. сб., 1964, т.63(105), №3, с. 356-391.

23. М. Хирш Дифференциальная топология — М.: Мир, 1979.

24. A.Baernstein On the Fourier series of functions of bounded Ф-variation // Studia Math., 1972, v.42, №3, p. 243-248.

25. Z.Ciesielski Propeties of the orthonormal Franclin system // Studia. Math., 1966, v.27, №3, p. 289-323.

26. G.H.Hardy On double Fourier series and espesially those which represent the double zeta-function with real and incommensurable parameters 11 Quart. J. Math., 1906, v.37, №1, p. 53-79.

27. O.Kovacik On the embedding Нш С Vp // Math. Slov., 1993, v.43, №5, p. 573-578.

28. J.Marcinkiewicz On a class of functions and their Fourier series // Compt. Rend. Soc. Sci. Varsovie., 1934, v.26, p. 71-77.

29. R. Salem Essais sur les series trigonometriques // Actual. Sci. Ind., 1940, №862, Paris.

30. D.Waterman On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Studia Math., 1972, v.44, №2, p. 107-117.

31. N.Wiener The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients 11 J. Mass. Inst. Techn., 1924, v.3, p. 72-94.

32. L.C.Young Sur une généralisation de la notion de variation de puissance p-ième bornée au sens de M. Wiener, et sur la convergence des séries de Fourier // С. R. Acad. Sei., 1937, v.204, p. 470-472.

33. А.В.Медведев Теоремы типа Джексона в пространствах Орлича // Вестн. Моск. Ун-та, сер.1, Математика. Механика., 1998, №4, с. 10-16.

34. А.В.Медведев Теоремы типа Джексона в пространствах Орлича // Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции, Тула, ТулГУ, 1998, с. 176-177.

35. А.В.Медведев О вогнутой мажоранте модуля непрерывности II Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского, т.5: Материалы Международной научной конференции, Казань, 2000, с. 142-143.