Представление и приближение периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ («ТЕМАТИКИ ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССШСК.ОИ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

Пустсвойтов Николай Николаевич

' ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫ)! С ЗАДАННА СМЕШАККЬМ .МОДУЛЕМ КЕПРЕРНЗКОСТИ "

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических каук

Работа выполнена в лаборатории операторных и приближенных методов анализа Института прикладной математики ИБО РАН.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

В. Н. Темляков

Официальное оппоненты - доктор физико-математических наук.

профессор А. Г. Зарубин - доктор физико-математических наух, Б. А. Юдин

Ведущая организация - Мссковский Государственны,» Университет

им. М. 3. Лсмэнсссза

Эацита состоится " Iff "ноября"1£32 года в 11 часов на засед; ни/, специализированного совета К С02.С5.12 при Президиуме Дальневосточного отделения РАН по адресу: г.Хабаровск, ул. Тихоокеанская 153, Институт экономических исследований.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики ДЕО РАН

Ученья секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук ¿Г) ,

(У М. Ш. Браверма*

-ч-

ОБДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш.:. Б настоящее время интенсивно изучается Н-классы и В-классн функция многих переменных, так или иначе характеризуема через заданны?, смешанный модуль непрерывности данного порядка, причем этот смешанный модуль непрерывности имеет

сЗ г

вид П(0=П(Ц.....1^) = П 3 предлагаемой диссертации изу-

чзстся обобщения Н- и В-классо^ на случай смешанного модуля неп-' рерывности общего вида.

Пель работы. Целью работы является рассмотрение вопросов представления и приближения Н-классСв, задаваема смешанным мо-* дулем непрерывности общего вида. Такг'.э рассмотрены задачи представления В-классов с. общим смешанным модулем непрерывности и взаимосвязи К-функционала со смешанным модулем непрерывности' функции.

Методика исследования. Основными методам исследования является методы теории функций, математического анализа. Бажную роль в наших исследованиях играют многомерный аналог теоремы Литтлвуда-Пэли и теорема Иарцинкевича о мультипликаторах.

Научная новизна к практическая ценность. 1. Доказана многомерная теорема Джексона об оценке наилучшего приближения периодической функцни многих переменных через смешанный модуль непрерывности (произвольного порядка) приближаемой функции.

2. Доказана теорема о представлении функций с заданной мажорантой смешанных модулей непрерывности (произвольного порядка).

3. В ряде случаев кайден правильный порядок верхних граней наилучших приближений по классам функций, смешанный модуль

У •

непрерывности которых не превосходит-данного смешанного модуля

непрерывности.

4. Рассмотрены указанные классы функция с заданной мажорантой смешанных модулей непрерьзнссти специального вида.

5. Доказана теорема о представлен;:;! хлассоз Бесова со смешанным модулем непрерывности общего вида.

6. Получека опенка К-функциснала для функции : через смешанны:! модуль непрерывности этой функция.

Апробация работы. Все результаты работы докладывались на семинарах. Института прикладной математики Д50 РАН. Часть результатов докладывалась на семинаре под руководством С. э.Стечкнна и С.А.Теляковсксго в Математическом Институте им. 5 А. Стэклова. Мнсгомэрная тзорема Джексона Сила сообщена на конференции в Алуате в мае 1591 года. '

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в . работах С16-18].

Стуктуса и объем работы. Диссертация состоит из введений, четырех глав, примечаний и списка литературы. Первая глава разбита на два параграфа, вторая глава состоит из четырех параграфов, третья и четвертая главы содержат по два параграфа. Далее изложены примечания и список литературы, содэрхацнй £1 наименование. Такая структура диссертации.позволяет оптимально, с точки зрения автсра, расположить материал. Примечания излсгекь: з отдельном разделе,что позволяет не загрсмсгдать излс.г.ение основных фактов интересны?.'.!: примечаниями, которые, однако, не связаны непосредственно с результатами диссертации.. Объем диссертации -72 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Лерьая глаьа посвящена многомерной теореме Джексона.

Хорошо известен классический результат Джексона (Jackson. D.), опубликованный в 1911 г. в [1], касающийся оценки наилучшего приближения периодической функции Содней переменкой) в равномерной метрике через ее модуль непрерывности Спервого порядка). В дальнейшем вопрос о связи наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами с ее модулем непрерывности произвольного, порядка в одномерном случае был всесторонне исследован.

Так, Н.И. Ахиезер обобщил теорем^ Джексона на случай модуля непрерывности второго порядка (см. [2, стр.217]), ?. С.Б.Стечкин СЕ31Д413 доказал теорему- Дз-ексона для модуля непрерывности произвольного порядка.

Обобщение теоремы Джексона на многомерный случай для периодических функций мсхет быть осуществлено неоднозначно - в зависимости qt аппарата приближения и определения разностей,порождавших соответствующий модуль непрерывности. Так, варианты многомерной теоремы Джексона можно найти в книгах А. Ф. Тимана [5,стр. 288] и С.М.Никольского, [6,стр. 133-194], а также в статьях В.А.Юдина 17), и М. И. Ганзбурга [81.

Через Ef, Cf)_ будем обозначать наилучшее приближение urv 4 •

функции fCx) в пространстве L^ тригонометрическими полиномами с гармониками из гиперболических крестов :ТСх)= £ с 'О.где

d мч

s -1 s.

pCs)={k=Ck1.....kd3:kj-uenne,2 4 £ kj <2 J,j=l.....d>.

Пусть I-натуральное число, h>0. Для функции одной переменной определим разность порядка I о шагом h так: .

«ЬСхЗ = £ С-13i-:rl С? ¿Cx+irh).

п=0 L .

Пусть теперь h=Ch^,... Лля функции fCxJ-fCxj.....xd) раз-

ность а£ fСхЗ определим равенством Д^ 1"(х) = Д^ ... ¿^ fCx), то

d 1

есть это смешанная разность порядка I с иагом hj по переменной х^ Cj-1.....d).

Для е с { 1.....d > рассмотрим разность Д^СеЖх) =С

J€e J

разность порядка I лпазь по переменным .Xj, jee.

Лля fCxicL ird) и для' L=Ct1.....i-d), t >0 Cj=i.....d). будем

рассматривать смешанные модул;*, непрерывности С порядка I):

Cf;t) = sup II д£ Се) fix) !L .

е Ч |h )< t h ч

j j

jee

Введем следующие' обозначения: при s=(s,.....sd) положим

-з -s

2 -С 2 l,...,2 ); для .произвольного подмножества е множества <1.....d> через |е| будем обозначать количество элементов е.

Будем оценивать величину EQ Cf) через определенный выше . ске-

шанныЯ модуль непрерывности порядка I. В этом случае при q=oa С в

пространстве непрерывных периодических функций) многомерную теорему Джексона доказал 3. Н.Темляков в работе [3]. При l<q<m многомерная теорема Джексона формулируется следуищям образом.

Теорема 1. Пусть функция fCx) из L-Cjij) (l<q<m) является 2гЛ •

периодической по каждой переменной. Тогда верно неравенство

Eq Cf) SCCq.l.d) Е ( г [^(f.2 еэ j °J n l<|e|<d ÜSgll^n '

Здесь sg обозначает |е|-ыерньй вектор, компоненты которого i'-Jg^j принимает целые неотрицательные значения при je е; qo-n;in {q,2>.

Ео второй главе рассмотрены задачи представления и приближения функций с заданным смешанном модулем непрерывности.

Теорема о представлении является аналогом теоремы С. М. Никольского (см. [10], [11], такхе см. работу В. Н. Темлякова [12]). Запись fCx)eL°Cn^3 означает, что fCxieL^fл^) и, креме того,

л с

JfCxDdx j=0, j=l.....d.

-л J

Пусть ГСх)бЬ^лй) и ?Ck)=C2n3"d J fCx) e~ia''x)dx - хоэффи-

"d

циенты Фурье функции fCxD. Введем следующее обозначение:

<5С Cf,xD= Е f(k)eiCk'x3, kepCs)

где SjiO-целые числа Сj=l,...,d),

s.-l s,

pCs3=Ck=Ck1.....kd):kj-uentie,2 J <kj<2J,j=l.....d>.

Пусть, далее, Vn(T3 обозначает (одномерное) ядро Валле-Пуссена порядка 2m-1 и

AsCx)=2driCVs .2(Xj)D,

j=l 2 J 2 J

yi-'o-

Пусть fiCt) - функция типа смешанного модуля кепреривнности дорядка I. Определим класс функций Н?? С l<q< cd ргъонством

Н^ -(ГСхЗ б 1.° Спй):пЧг-Л) < СПСШ.

О 4 г(

Классы Н с 0С1) = [~~]Ц - хорошо изученные классы

С. М. Никольского С см. , например, 112]).

Используемые в теореме о представлении условия СО и СЗ^З формулируются в статье Н.К.Бари и С. Б.Стечкина [13]. 'Условие (5). Функция С одного переменного) ^СтЗ удовлетворяет

условии (33, если ф(. т)/та почти возрастает при некотором О < а < 1.

Условие (.Бр. Функция £СтЗ удовлетворяет условии СБ^), если

найдется }'. О < у < I. таксе, что ¿(т)/т^ ^ почти убывает.

Напомним, 'что неотрицательная функция уСт) называется почти возрасташей (соответственно почти убьгеасаей), если существует положительная константа С такая, что уСт^С-Дг^З Ссоответственно уСт^ИСуСт^ при т^ £ т2.

Рассмотрим функцию типа смешанного . модуля непрерыЕнности порядка I ПСО, определеннус на

^ = < I е ^>0, j=l_____й У.

Будем говорить, что ПС 13 удовлетворяет условии С23 Ссоответст венно (Б^ЗЗ, если ПС 13 по каждой переменной, при ' фиксированные остальных, удовлетворяет условно СБЗ Ссоответственно (2^33.

Теорема 2 Со представлении). Пусть ОС 13-заданная функция типа смешанного модуля непрерывности порядка I, удовлетворяющая

условиям СБ) и СЙ^З.Пусть, далее, ГСх)еЬ°Ся^З.В этом случае

для того, чтобы ЯхЗеНд с некоторой константой (^.необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства:

fl (5sCf,x3|q < C2 Q(2_s),1 < q < ю ; Cl)

Ц AsCf.x)Bq 5 f!C2~s).. 1 < q < » (2)

с некоторыми константам C^ и Сз.

Аналог теоремы 2 для Н^* с iîCt) типа смешанного модуля непрерывности первого порядка см. в И43, £153. В &3 главы 2 показано, что от условий CS) и CSjD нельзя отказаться.

Теорема 3. Условия CS) и С§необходимы для справедливости теоремы 2, то есть при нарушении условия CS) при KqSco, либо условия CSp при l<q<ao найдется функция Г(х),для которой Еерны

л '

неравенства Cl), С2), но fCx)$ Н^.

Замечание.Необходимость условия CS) при q=l доказать не удалось, однако, по всей видимости, условие CS) необходимо и в .этом случае.

Завершается глава 2 рассмотрением величин

при различных соотношениях параметров q и р. Найдены правильные порядки указанных величин в случаях Kq=p<œ, Kq<p<m, 2ip<q<œ. В случае p<q<œ, 1<р<2 удалось определить лишь оценку сверху. Теорема 4.Пусть функция типа смешанного модуля непрерывности

порядка I QCt^nCtj.....удовлетворяет условиям CS) и (S^p.

Тогда при l<q<œ Cqo=minCq,2))

. Eq œ")_ = sud Е0 (f) X Г Е [ nC2"s)]q°]1/q°.

n feH n lls 11 Г=п ■

Теорема 5. Предполояш, что Kq<p<Œ. Пусть функция типа смешанного модуля непрерывности порядка I QCt)=ncC ,... Д^) удовлетворяет условию CSj) к, кроме того, ^Цр почти возрастает

чJ

по ^ при некоторая |3<с^<1, где /3-1/я~1/р < 1. Тогда

Е0 Г Е Г пс2-*ЛР ]1/р.

ип Я Р ЧбИ^п 1 ■>■>

Теорема 6. Пусть 25р<ч<а> и ПСО удовлетворяет условиям СБ) и С Б р. В этом случае

Теорема 7. Пусть 1<р<д<оо и 1<р52. Тогда •

В главе 3 рассмотрены классы Н^ с ОСЬ) специального вида. 3 изотропном случае

а

пси^сгн ). о < тг. J=l.....а, СЗ)

где и(т)~ заданная одномерная функция типа модуля непрерывности, порядка I, удовлетворяющая условиям (2) и .

Результаты этого параграфа вытекают из соответствующих теорем главы 2.

В анизотропном же случае полагаем

г У,

ОуШ .В[П1/], С4)

где «С т)- ф;-нкция типа одномерного модуля непрерывности порядка .....

Замечание. Прежде всего отметим, что здесь имеется существенное отличие от ПС1) из СЗ). Именно, ОШ из СЗ) является функцией типа модуля непрерывности порядка I по каждой переменной Здесь же при показатели степеней у, больше 1 и функция

по этим переменным ухе является модулем непрерывности белее высокого порядка, чем I, а именно, порядка I/• при у^ излом и при у^ нецелом (здесь [а] обозначает целу» часть числа а). Поэтому будем рассматривать классы функций, определенные следующ!м образом = , если у -целое, + 1, если у ^-нецелое):

Н^Су) = { КхЗеЦС^): й А^1 ••• «хЗ < С ОуСи >. Введем следующее обозначение:

<£ = и ре*),

^ 'С5.у)<п

где вектор у-(у^,.. ■ .у^ с вещественными компонентами удовлетворяет следуюздм неравенствам: 1=^=,,, ^¡/^у*!-- ■ ■ Отметим, что в определении берется объединение по всем

векторам .....и^) с целыми неотрицательными компонентами

б

такими, что £ 2 п. Е „ СГЗ_ будет обозначать наилуч-

]=1 ] -1 % 4

аее приближение Св Ь^-норме) функции Г полиномами с гармониками

из <£ Считаем

<Ъ 4 4 у) 4

Теорема 8. Пусть 1 £д<ао. Пусть, далее функция типа Содномерного) модуля непрерывности порядка I иСт) удовлетворяет условию (8). Тогда для П^СО вида (4) и для вектора у' такого,

что 1-^=^=.. . j=v+l.....а. зерно

неравенство:

Е [ Н^Су) ] « аС2 п) п " , Чо=Щ1П {ч,2>,1<Ч<а;

V ( Н^'Э )« «

ип

При у=1 получаем оценки без множителя п" Это позволяет по-т.учить для приведенной теоремы утверждение, близкое к обратной теореме. А именно, если неравенство

Е СП„ < С«С2"ПЭ Ч

выполняется с константой С, не зависящей от то из этого

неравенства следует принадлежность функции 1"СхЗ классу Н^Ср). В

диссертации приведен пример, показывающий, что теорема 8 полностью не обращается. В главе 4 доказывается теорема о представлении классов

м

ир ^казанные классы является обобщениями хорошо изученных

классов 0. В: Бесова в!1 на случай произвольного смешанного

модуля непрерывности порядка I. Классы Вр дСя^З рассмотрены в работах Динь Зунга С14] и [15].

Пусть 1<д<и, АС О-данная функция типа смешанного модуля непрерывности порядка I.

Положим Сли

3 + = [0,713е5. В класс функций Вр дСп^) входят функции ГСхЗ из Сл^З, для которых конечна полунорма

ИГ II

л •/= [ 5 ( о1сг;«р / ОС!) ]Ч П I"1 С31 )1/ч

Отметим, что при д=оа будет В^ Верна следующая те-

орема р представлении классов В^ „Сл^З.

Теорема 9. Пусть 1<р<сс, 1<д<оо. Предположим, что задана функция ПС 13 типа смешанного модуля непрерывности порядка I, удовлетво-

рявдая услозиям СЭ) и (Б^). Тогда функция ГСхЗ из (я^З принадлежит классу Вр дСл^) тогда и только тогда, когда

Е I п'Чг'3) б5(г.Х) < с.

Сумиа берется по всем .....з^) с натуральными компонентами.

Второй параграф четвертей главы содержит тесрему об сценке К-функциснала через смешанный модуль нерперквности.

Используя многомерную тесрему Джексона, могло указать соотношение между П1СГ;ЬЗ и !(-функцисналом КСг;Г;1. = КСт;П. сп-.ределенньтм равенством:

KCr;f3 = inf С.'If-a IL rllgll .), „.-ul " q w£

geW* q

где d-мерный вектор 1-имеет все компоненты, равные I, и

llgll , = Hgll + llgC13Hq • q

Теоаема 10. Пусть Kq'oo. Тогда для всякой функции fСхЗ«sL^CttJD

и для лсбого LsW верно неравенство:

> -1/<з ' , г ^Q % I/o

К(2~ n °;f) « ( Е ( OlCf;2"s) )

Ils II =п 1

где q =min Cq,23.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jackson D. über Genauigkeit der Annäherung stetiger Functionen durch ganze rationale Functionen gegebenen grades und trigonometrische Summengegebener Ordnung, Diss. Gottingen, 1911.

2. Ахиезер H. И. Лекции по теории аппроксимации, Гсстехкздат, 1947.

3. Стечкин С.5. О порядке наилучших приближений непрерывных

функций, Изв. АН СССР, сер. матем. , 1951, т.15, N3, с. 219-242.

4. Стечкин С.Б. О наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами. Изв. АН СССР, сер. матем. , 1952, т. S3, N 5, с.651-654.

Е. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного, М.:Физматгиз, 1350.

6. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и тео-. рема вложения, М.: Наука, 1959.

7. Юдин Б.А. Многомерная теорема Джексона, Матем. заметки, 1976, т.20, вып.З, с.439-444.

8. Ганзбург М. И. 0 многомерных теоремах Джексона, Сиб. матем. журн. , 1931, т. 22, N 2, с. 74-83.

9. Темляков В.Н. О приближении функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами с гармониками из гиперболических крестов, Укр. матом, журн. , 1989, т.41, N 4, с.518-524.

10.. Никольский С.М. Теорема о представлении одного класса дифференцируемых функций многих переменных посредством целых фун-■ кций экспоненциального типа, Докл.АН СССР, 1953, т.150, N 3, с.484-4Б7.

11. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера, Сиб. матем. журк.,'1963, т. 4, N6, с. 1342-1364.

12.' Темляков В.Н. Приближение .функций с ограниченной смешанной производной. Тр.МИАН СССР, 1936, т.178, с.1-112.

12. Бари Н. К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения к дифференциальные свойства двух сопряженных функций. Труды Моск. матем. о-ва, т.5, 1956, о.483-522.

14. Дикь Зунг. Приближение гладких функций многих переменных

средствами глрмопшоского анализа. Дис.... докт. фиэ.- мат. наук, М:МУ, 1585.

15. Дикь Зунг. Приближение функция многих переменных на торэ тр;!гснсм?трическн:.!и полиномами, Матем. сб. . 1986, т. 131(173), N 2(10), с.251-271.

Работы автора по теме диссертации

16. Пустсвойтов H.H. О многсменоЯ тесреме Джексона в пространстве Lp , Матем. заметки, 1391, т. 49, вып. 5, с. 154-156.

17. ПустсвсЯтов H.H. Многомерная теорема Джексона в пространстве

L_ , Матем. заметки. 1992, т. 52, вып. 1. Р

13. ПустовсЛтов H.H. Q представлении и приближении периодических функций многих переменных с заданным смешанным модулем непрерывности, Препринт, 33с., Хабаровск, ИПМ ДВО РАН, 1992.