О зависимости спектральных свойств обыкновенных дифференциальных операторов от симметрии коэффициентов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАР АПН

Р Г Б Ой

,- - пи нравах рукописи

Джумабиев Сернк Асекншч

О ЗАВИСИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ОТ СИММЕТРИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

Авторефяра г диссертации на сокскшше ученой степени кандидата фишко-штсмашческнх наук

Алматы -1994

Работа выполнена в институте прикладной математики HAH и МО PK (г.Караганда)

Научный руководитель член-корреспондент Н£Н РК, доктор

физико-математических наук, профессор М.О.Отелбаев.

•Официальные оппоненты: доктор физико-математических йаук

профессор ЖД5. Ыырзалиев кандидат Зтатсо-катвм&игаесгос: наук доцент Я.А. Токибетов

Ведущая организация: Институт теоретической й прикладной-

математики НАН РК (г.Длмзтк)\ ■

Защита состоится " £5 « 1994г. в °° час,

на заседании специализированного совета К 14/А.01-05. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государственном национальном университете им.Аль-Фараби.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " ^ " 0КГ«Е|иа 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук, . М

доцент Б.М.Кадыкенов

СЩАП ШШШЖЖк РАБОТЫ

А:щ;агьноаг:ь яелы. Теор;гя регулярных по Елркгофу краевых задач дня обакноадданх да^ронцкалшлс уравнений хорошо развита я кязет разнообразные приложения . Отделение регулярности дается в зезнсжгс-ги от коз^ЦЕенгов г.загр:ан краевых условий, яегеденле когффгщ»йнтоз даф^ренциапыхого вкразашю при этом не-тшнв00?ся, хотя ii320cthh шогочйс.п9кш9 пргмерц, когда определенная связь мэкду шведвшем коэффициентов дифференциального уравнения и коэффициентов краевш: условий схшзьпшет существенное ВЛ1 яяпе на спектральные свойства операторов. Например, при J^loOsO,

3 О и определенном выбора пгмсоедянешшх функций корневне Я i

векторе задач:? И + р^х)и 4- p2(oc)U = .AU с рэгуляр^уж крсэвыми услогняма U(o) = о, и'(о) = и!(Я) сЗразута; базкс F:icca з L^O,Cr), а ups р^ (xl } [3t) « о. на обладают свойством бйетсяостя в LgiP/jT) ,ш при .каком внборе ■ хфисоединенкых функций.. (В.A.I!льин ).

что яри p,(<t)s £ о задача изучалась С&чгарсхим A.A. я Ноьташзгя К;*!., гльшш ее. особенность в нблпзаи бесконе'шого «шга •n^.öosÄzaeHfflix. ф/акций. Задачи с Згсшючяга. <ззслом Ерасег-ЙЕешвс <й?нк!{кй д^знвй'ют особый яэторзс • в вопросах разлоз^аня по слстомэ кормгнх фуккцдй, а ?8кзэ' Сшсноста этой

Утакшап поведшие- *ю84Йис;?нто2 ¡»¡■.жаднж! иеа$хо*г&м ^nscse при ггсеяедот,нт-т ^ог.остй^тшосг-я сдектра гзшГй« атарчтсроз (Kpofö: 8;Г.„ Юдсглч В.И. и &аиюк«кй1 35.0. ).

heulсдоч сйльяря згсптаюсть 'швмрзльшс свойств о? повз-ужя 00Л8ру:<шэ«я дгл oKoptwcp-M, хторсг-г^пах

трч-твн:.«

Пусть L скшрзгар n t^io» язрэздоншы ь^амш

P.[uJ s ч- ШП/, (I)

и нерегулярнжк «развт усдовшв

Шо) ~ iuíSi). UÍO) s-¿W(áí) (2)

В.Л. Седовшчш к В.Е. ¡Ыаякжти бтао показано, что много ство собственных чисел ошрзтора IÍ* s аавковмости от случаев;

1. а tyST-X), (йфг д] ШШ iV* COOÍB6TOTD0KHO

совпадает со cocS шэдвшяЗ йгхкоотьп issee аточое кноаэствэ;

2. [o^efo-f/sj; а« .

дискретное шоаество о,«,». 10

Исследование сдаксральша свойств рагуз^ж. ракафзшз

оператора второго порядка, с помощью общего йрглсйазййш

обратного оператора в описании М.О. Отелбавв*., арзйодалюсь

Б.Н. Бияровда.Заметим,что регулярные расширения даффэрэнцпалъаого

оператора описнвают все граничные операторы, у когорт

.0

резольвентное множество не пусто. В случае к 4 Л им уотапзадбно сильное влияние поведения С^, на полноту корновызс векторов оператора и вольтерровость краевой задачи lf U - OiU ,

На основании вышеизложенного, следует, что при исследовании спектральных свойств нерегулярных краевых задач, г гстлэ при исследовании "тонких" вопросов вещественности к крэгаосд: собстази-ша чисел и т.п. регулярных задач н*обход!Шо утавзъ- не- только

чта 1".р;овнх. ус ?mt£t,i.>~: и коз4?5щязкдч дхА^рскщ^ rasero вцрэюэякя.

Оздедьяао ейгАРсряж:-® гсярсся для некоторых классов норзрулярга цк г^елэдоволпсъ тега® в работах

B.А. Нарчанко , В.А.Са/даячзго В.й.йяьыра » А.П. Хромова , А.А.Ейдахово » Б.Е«.Кенг:<->"яа , А.Л.Дэ®Я8а , Н.Б. Серых ,

C.К.ЯясзшекоЗ , Я.С.Якубсеп « лр;тя£.

тамхщай Оуссвржцчм .является мслэдовсккэ спектральных свойств спэрг.торов» поро^'ярк ьа. конэтасм отрезка обыкновенной дг^фзрэггщ'шлъной операцией и крабсшит условна?®, в заЕ^сксости

от тю20дзнжя коэф&щеонтоз. . .

Наушзл нсбтна. Изучещ слэктральше сеойстеэ задачи - II1' Ч С|(0С) и = , гко « К-, 1.« (ЯГ) , 1ЦО) ■•■ и (51).

При К,,« - Кг * 4. «I1 = 4 .шясноно исгодагстгпосяов зювидеяае собсгагной чисел» Получек тофзма о- шл-юа хорш^ях иэг-торов. ■Бокззшз свезет»;-»? . -ят^оон, спэйграяьшя свойсгв - с? шЬвгря» я ^.шштаесзп

1?тл ^жгз^, а ^ одйо .пз чизл ,

зшя ягятъ-, & щ>7гой прсп320дьтй>3 -гчс-як««-

ежэ. з дарсшяк. сет^э^чк оотш^зяа - 'С; ' , полупеш-гфп'аисет-ч я звв&отозтовода со&жюящвс чисэл, сдоввгвсзпяда-

за;;;)»; для урявгЬшя Щ^и^.У'Ш^ло- тайстпа э;"юй зпдсги хорох^шэдЗ.

•ял кос^иу» отгдрж^ •

ио-Ь+С^Ь-

а а. к._с

(коэффициенты рк(.л,<зс), (К^О,«-1?.) могут быть целыми функциями спектрального парвматра '.X ), показана существенная зависимость спектральных свойств этой задачи от симметрии коэффициентов.

Прсшшестя и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Подученные результаты могут, быть использованы в различных разделам спектральной теории дифференциальных операторов.

Апробация работ.. Основное результаты диссертации докладывались на семинарах члзн-коррешондэй1ов НАНРК, профессоров: М.О. ОтелСаева, Т.Ш. Калъывнова, К.А. Касимова »Д.У.УмОеткавова ; профессоров Н.Т.Темиргалиева, Р. Ойнарова;на 12 - республиканской конференции по математике и механике (г. Алма-Ата, 1989, сентябрь), на научных конференциях "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений (г. Алма-Ата, 1991, май), "Теория приближения и вжшшш функциональных пространств" (г. Караганда,1991, май), "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачак математической физики" (г.АлматыДЭЭЗ, сентябрь)

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в работах [1-81.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списке литературы, содержащего 34- наименования.

Крстюв сооерг.сеж районы. Б введегаы после краткого оазсра литературы сформулированы

ссплБше розудтята сяго?;; -д указана зосжоопягь с раоото?н другая авторов. ШрБПЛ ТЯКЗ ООСТОЯТ Г.З ПТО ПЯрЗГр'А^СВ. Б §1 ПрйЗЭДОШ не&оторнз иззестш® вспо?логат8Ли1И8 у-гвврзаденпя , теоремы, опродолоная. В §2 йсслэдуэ1ся спохггр оператора L . при

Пуссь ' £)«) - Ц С*'-^) •

/¿горела 1.2.1. Пусть .Ес^ш найдется целее число

I такое, что (Л) - О да всех целых

¡С (СИ К< ,то шс^эства ""собственных значений оператора ^ дискретно- и для.■собственных чисел справодливо асимптотическое ар'а.доч'звхеттв

л2 _ 7? , т а Щ , тг^-г , = , -2Р-»* .

"•к" 4^о" ~Г — 4 ^г -5* о (к ;,

к к

*** } Л >1 л

гтХ-К-^— при о - четком гиш раЕНом ну.та5 ¡^ =?С (фк с н« четном, р - целая часть числа . ) / , а коэффициента'-"Ч Р не^завясгшэ "от -X «теле,

^ V

Дпу Д т ы I ® %

С Си да^^пл

- — -'р-'О Да о 1*0

а ж

Прихер Г. Пусть

[од], ОЧО)^ СЦ.Я) ,тогда для собственных чисел оператора 4 1 справедливо асимптотической представление

Прилер 2. Пусть 6 С&[С;Я] , Ц(0)4-Ц(5Г),

тогда для собственных чисел оператора А справедливо

асимптотическое представление

Замечание I. Первый член 1С = ,<{?)'и; остаточные члена-разложения для собственных чисел (*) оператора »в отлкчан от операторов порожденных регулярными краевыми условиями, зависят не только от числа

,5*1) , но и от числа £ < I - порядок самой младшей производной функции 0(х) , которая в точке х = 5Г не обращается в нуль).

В дальнейшем будем считать,что непрерывная на отрезке [О, Я ] функция.

1А

Теорема 1.2.2. Оператор 1_ при «I = А имеет бесконечное множество собственных чисел Оно сОЕпадаэт со всей"

комплексной плоскостью, тогда и только тогда, когда

0.С*) = Ц{Х) - С^5Г-«> = О, X 6 [о.ЗГ/г] , (3)

в противном случае О?^) - дискретное множество, не имеющее конечной точки сгущения.

Пусть Ь о, й -оператор в порожденный дифференциальным

выражением (I) и краевыми условиями Ша) = и Ш = О ;где СХ, & - некоторые точки отрезка [о,Я] . ФИ"*), } - множества

собственных чисел операторов , 1»а,Д соответственно.

Тесрет 1.2.3. Если С|(£) обладает яа сегменте [о, 51/2] двойной симметрией относительно точки ОС = 5Г/Ц

5 Ц (5Г/2 - X), ос € [о, ЗД] (4)

и точки х = Ш/8

цт-сс), же [о,т], (5)

а на сегменте [¡я/2, 5Г ] обладает двойка стасмвтрзвй относительно точки X = 35ГА

С)Д2} = ^(33/2 -сс), КС- [зГ/2, Ж] (6)

н точки 01 = 53?/8

Ц(<&) 2 § (5ЭД -ее), се 5 [я/а.зз/з], <?)

тогда спрзгэдязво ссстапоняе

Тесрежз 1.2,4, Еслч обладав!1 сасйс?£2?.гя (4), (5), (б),

гогда сараэедлязо соотношение

Гворелз 1,2,5, Если обяадаз? свойства?,гл (5), (6), (7),

тогда справедливо соотношэнкэ

Зшечаяие 2. Функция (^(.х1) .удовлетворяющая условиям (4), (6) и одному из условий (5) или (7) не может удовлетворять условиям теоремы 1.2.1 так как значения функции в точках £-0» X = 5Г

£=3/2. , а также ОС =5/4 , или Х=35Г/4 связаны. При выполнении

(?) Е I!)

условия С{/ (о) Ф {-\) С|, ' (Д) нарушается гладкость во

внутренних точках отрезка [о, 5Т] ( О $ £ < ).

пример з. пусть <|Сх)=[о, х€[о,я/г];Сх-5/акх-5), х€[я/а,я1]

тогда часть собственных чисел оператора имеет вид

!Х2к = Мк+а)*, к=ои.»-

Ирилер 4. Пусть

еоср(Н/ [<х-т)гх] )} ос е (о,Я/4)

(- </ [(*- - ),х € (я/ч, т)

X €

(5Г/г,5Г]

(} сх) = 0, I а =0,ос = 5Г/4,сс=

аг/2,

тогда часть собственных чисел оператора , = \ имеет вид

ЯСЧ 1

/л>\2 /, ^ Ь Г "С«-*®' ,

о

Заметим, что ч нэ является аналитической в окрестности точки Х-Я и =о , ? =0,1,а,...

Заявчате 3. Множество собственных чисел оператора 1_/ образует довольно сложное многообразие и в общем случае не может быть параметризовано в виде (*) .

Залечание 4. Пусть спектр оператора дискретен и С^ обладает свойствами (4) - (7), тогда восстановление потенциала го спектрам операторов , ^ и дополнительным данным, эквивалентно восстановления по части спектра оператора Ц* и тем же данным.

В ¿3 исследуются вопросы полноты системы корневых векторов, получены следующие результаты.

о И

Тесрела 1.3.1.Пусть € 0 [о, ¡й ] . Если найдется целое неотрицательное число 6 такое,что (^(^И О , 0.^001 о

для всех целых к (ОС К < £ ) , то система корневых функций оператора , <12 * \ полнев 1_2(.оД).

Теорэш 1.3.2. Если существует В (о < Е, <5Г/2) такое,что С> С*) = О при Ж, е [о, & ] , то система корневых

функция оператора не полна в (ОД).

Пусть Ь оператор в (.0,5Т) порожденный дифференциальным выракекием (I) и краевыми условиями ШсО+К^КУО-О, и(0)4-К^И -0.

Буле!,! считать, что О - вещественная функция. Пусть -'<•>,

если одно из чисел К^ , К2 равно плюс или минус единице, а другое - произвольное комплексное число, то оператор L» обозначим соответственно через L+ или L

Qj(lr), 6(Lo>c) -множества собственных чисел операторов L" , Lq.c соответственно. Полагаем, что кратные собственные числа входят в 611?) один раз.

В $4 получены условия кратности собственных чисел, существования бесконечного числа присоединенных функций для операторов

Теорела 1.4.1. Пусть Ц удовлетворяет условиям (3) и (4),тогда каждое собственное значение оператора L+ имеет кратность два. Более того, множество G(L+) совпадает с множеством ©(Lq^j)

Теорела 1.4.2. Пусть удовлетворяет условиям (3), (4) и (5), тогда из G(lT) можно выделить бесконечное подмножество собственных чисел. . имеицих кратность два. Более того,это подмноаество совпадает с множеством Ö) (1-о,37чУ

Замечание 5. Теоремы I.4.I, 1.4.2 за исключением, шкэт Сыть, конечного числа собственных чисел, останутся . воргзши н для комшюкснозначных функций 1^(0,S).

В §5 получен критерий ьольтерровоста краевых задач для урев&е-няя Штурыа-Лиувилля.

Пусть L - оператор в 1г(0,3) ссотвёхстзугща задаче

Litt] s-и + C^?c)u = $1*) (В)

Uj,Си]-а^гко) + а;,У(о)+а^шяиaiä4ttWо, ^н.г. о)

гда С^ (л^г 4,2) - комплексные числа, С^ комплвкснозначная функций, непрерывная на отрезке [о,Я] . Назовем вольтерроЕ'лми задачами,... задачи соответствующие дискретным дифференциальна* операторам Ь у которых, обратный вольтврров.

Тзорела 1.5.1. Задача (9),(10) (кроме задач Копти в точках •X = О , X = 5Р является вольтерровой тогда и только тогда, . когда граничные условия, имеют вид

= , гДо^-агия),

• 2.

где « у'С -г- А •* ¿* оз и-коэффициент- является ао/хлтркшкл^ фххэ^(зг-х), хс [о,5Г/2].

■ Г- ~ .......1« - (в»

В4 главе 2 рассмотрена обобщенная задача на собственные числа П-2

Ч" + И = о

где кокшгекснозначнне функцзш ^(Э^осК С ^Со>5Г] и вместе с 4 (Л) -целые функции спектрального параметра

Обозначим через {^¿(ЛД)фундаментальную систему решений уравнения (10) порожденных условиями

?де , - символ Кронекера > - 4. =0 при & Ф } , Л - произвольная точка отрезка [О»Я].

пусть со£ои

Теорела 2.1.1. Для А - хар«:таристачьс;?ой функции задачи (10),(II), справедливо представление

ОТ

Дф* П0+ (-Л&). I ^ 0,<й,х> , (13)

П-2

КИ

■. с К--0 0

.где &0(>,!х) - опое делите ль, получгемна из функционального с

определителя

заменой & -го столбца столбцом ^ 0т\ -го столбца,

СТОЛБЦОМ ^ .

Пример 5. Для задачи (1),-<2) првдстазлешгз <Т5) кыгет щи

о Г г

£ "о

ПрИ,:'.?£ Ь» Пр.. Г И - 3 ¿ЩЬ

фрыуиэ (хН) гегг, с :гдгц

+ Л од ^(¡х.ос) У(л,ос)||-г

= сУ: II ^(ад-1)- АсмУсм) з'см-*) я'сл,*) ||.

Следствие Г. Если Q = о на отрезке (Ъ,5Г/2],то множество собственных чисел задачи (Ю)ЛП) з зависимости от случаев: -1) ■= Л заполняет всю комплексную плоскость; 2} - число и ^-М - пустое множзствО;

3) - Ь собственных. чисел, с учетом кратности.

Следствие' 2. Если 0 (л,сс) з О на отрезке [о, £ ], (о< £ < | )* то собственные числа задачи (10),(II) и задачи порозденной на отрезке [6 , Я- £] тем ке уравнением (10). и краевыми условиями

совпадают.

Зсиачаше 6. Зависимость спектра дифференциального оператора четкого порядка в случае -определенной симметрии- коэффициентов рассматривалась В.А. Садовнкчим- и . Б.Е. Кангушным с помогаю так называемых, "формул среднего значения". Пользуясь эТше формулами и специальными представлениями решений порожденных условиями (13) в точке СХ = Я7й для рассмотренной в примере 5 задачи при Л2- - 4 представление (13) было впервые получено Б.Б. Кангужшшм.

Пример 7. На отрезке- [о, 5Г] рассмотрим задачу

и!П 4- рсх)и = (Хи, и со) = г» са), и'(о) - -и'(аг), гДо) = гГ" (я)

Б это:« случае СЦ-А) - [4=0 -;-

Система корневых фуггсций этой задача полна с 1_ 4 Со ,6,') при любой непрерывной функция ^ Ся) . Прл ^(-О = - |> (5Г- -х) на отрезке [о, 0 „ а прл = , СХ * СГ/2 являются

собственными чзхсла.чш рассьшрявабыой задач!!.

Пусть ^ оператор в 1-2(0,С!) четного порядка, пороздвшшй дифференциальным ЕЬфааенпем

Е ("У] г г^ЧЯ^уг/1*21 +... + • ЦИ)

иткраевымк условиями (II), где <1 (.00 - произвольное комплексное число, а когфЗяциенты С^ (К) £ С [0,Ж].

Теорела 2.1.2. Пусть существует £ (о< £ <С К /2 ) такое, что

ъ-г

^—* к' 1*2

'.» г

тогда система, кэрнэвызс шгтороа- оператора I, .Щ щш ь •Ь4Со,3) « Ее® усдедоэ кшотшо,дая £-5?/?» , то

-ара , ¿.С©?'- '• ьэдги'а. _ шльго-^а»

Теорема 2.1 »о. Цуск, фф»и)в О , ссьГс,5/"2г • .тогда

' 3 л

справедшво тоздаства«

И " . .

' V—4 • ' г-Ч {х-".) ,1 г Vй

ук -г1» •

4

Г Я

гдо 'и,дс>/х) 4 , в фор^-улэ <16) рвшеюя ур&внейзя '.Т1 > порощдэ.кше уогоЕКЖ-й (12) .ь 0,-0

SCUH4GHU3 7. АЛЙ.ЯОГГСЧЕОЗ ТОГДОСТИО KICS3T К9СТО и длп.решэтий

3 заключений евтор т^грагает глубокую благодарность своему умному руководителю Кухтарбагэ Огелбаэвичу . Отэлбаеву за отаайюэ вшкапкэ :t робото и всесторонняя поддержку, а такте лтабеку Ееиатошчу Кзнтушшу н Базаркану Нуроддкковичу Биярову шедсяжордаз сотрудничество.

' «икзккв дщжшз?: опшкшйш в работах:

Cwí.. В^Н. Об одной нерегулярной

|дзч& н-з c£f*-5Ko // !Тзгосг;:я AK Каз ССР. Серия фвз.-

£ I,- С. И-18.

2. Д>;yy.B6ü-v- С.Д. О стокжрэ ^¿орФщтаяыздх операторов ?орого порядка с норэгулярнквя; крз'ввыкн условиям / Тезисы доклада IX - республиканской'иагвузовсзой научной конференции 'по ¡тэмат-нке к механике. - Алма-Ата.- 1939.- С. 16.

3, Дкуязвязв С.Л. О вальтерровнх крчещх задачах для юра горя глтуруа -.гпузлллл / Тезиса докладов научной конференции "pöei:«o иадочи -л in. спохтрэлыиа вопроси для дгаЗфэрзшщалышх ЗЗЗКО'СГЙ".- Л«а-Ат.'1.-1991." С.118.

4. Джумабаев O.A. О кратности собственных чисел оператора -Штурма-Лиу вилля / Тезисы докладов научной конференции "Применение методов теории функций и функционального анализа к задачам математической физики".- Алматн.- 1993.- О. 74-75.

5. Д&умабаев С. А. О некоторых спектральных свойствах оператора Штурма-Лиувилля с симметричным потенциалом // Институт прикладной математики HAH и МО FK. - Караганда. -1994. -7с. Библиогр.:4 наз.- Деп. в КазГосИНШ.-I.03.94.- .4 4S37-Ka94.

6. Джумабаев С.А. О связи мезду сжметривй коэффициентов и спектральным:; свойствами дифференциальных операторов // Институт прикладной математика! HAH и НО PK. -Караганда. -1994. -11с. -Бяблиогр; : 7 каз.-Деп. в КазГосИКШ.-1.01.94. - JS 463S-K&94.

7.Днуьгабаев O.A. О тождествах для решений дифференциального уравнения. с симметричными коыЗйэдиэнташ // Сборник трудоз межвузовской научной кенфэронщш "Теория приблшкекий 'й вясквкия, функциональных пространств".-Караганда,- 1994.-С.7.7-80.

8. Еияров Б.Н.,Даума<3&зв С.А. Критерий вольтерровоста крау.агд задач для уравнения Итурма-ЯкуБшш // Уатематическке зы.в'пгл, Росскйская бкадегжя .Наук.-1934.-Т. 5G. -jfön.I.-C. 143-145.

KAPAÏÏA&R! JMî^EPEHmiAJÎSiK OÏÏEPATOPJIAPJIUH CHEKTPAJDqJ&K KACMETTEPIHIH KOS&MfflHEHTTEPIHIH CKMMETFKHCHHAH TSyEJIfllJIiri IGHIHïïE

Imaöaes CepiK aceryjin

Eyji KYMUCT& aKupJiu. KeçiHaî,ne KapanaftuM ffinSiepeHUHajiflUK inapaunHMSH. KatieK03(|iîKiBieHTTepÂîH esrepy TspTtdiHeH Tsyejiai eKâpa^HK .mapTïapMeH • TyuH^araH onepaTop^ap^H cneKrpaJibffiiK aciieTTept sepm-nrea.

ON THE DEPENDENCE OF SPECTRAL PROPERTIES OF ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORS ON THE SYMMETRY OF COEFFICIENTS

Ddumabayev Serlk Asetovich

In this work the spectral properties of the operators enerated by the ordinary differential operation and boundary ondltions on the finite interval are investigated depending on he behavior coefficients.