Об асимптотических свойствах решений некоторых нелинейных эллиптическихи параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б О МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ \ " М-.Г им. М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.957

НАСРУЛЛАЕВ АСАД ИБАД ОГЛЫ

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель — Официальные оппоненты —

Ведущая организация

академик РАН, профессор O.A. Олейник доктор физико-математических наук, профессор Ю.А. Дубинский кандидат физико-математических наук, научн. сотр. Г.А. Иосифьян Московский государственный институт электроники и математики (технический университет).

Защита состоится " " с^б-О/гуугла. 1996г. в 16 час. 05 мин. на заседании Специализированного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж)

Автореферат разослан " 1996г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д.053.05.04 при МГУ,

профессор Т.П. Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуются асимптотические свойства на бесконечности решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е". Уравнение

Au = е", (1)

встречающееся в дифференциальной геометрии, в теории автоморф-ных функций, а также в ряде физических задач, было предметом изучения многих авторов. Одной из первых работ, посвященных изучению уравнения (1), является работа [1], где доказано, что в плоской области, ограниченной гладкой кривой, существует решение уравнения (1), принимающее на границе бесконечные значения. Аналогичный результат был получен в работе [2] в случае ограниченной трехмерной области. В работе [3] уравнение вида (1) было рассмотрено в связи с изучением поверхностей отрицательной гауссовой кривизны, так как если первая квадратичная форма поверхности имеет вид

ds2 = e"(dx2 +dy2), то ее гауссовая кривизна вычисляется формулой

к{х,у) =

Далее, в работе [4] было доказано, что положение равновесия заряженного газа в сосуде описывается с помощью уравнения (1). В частности, в случае идеального газа показано, что функция

и(х) = 1пр(я) + In

1L. Bieberbach, Au = e" und die automorphen Funktionen, Math. Ann., Vol. 77, 1916, 173-212.

2H. Rademacher, "Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik", edited by P. Frank and R.v. Mises, I., pp. 838 -845, Braunschweig, Vieweg, 1935.

3И.Н. Векуа, О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса, Труды Матем. ин-та ям. В.А. Стеклова, 64 (1961), 5-8.

где р(х) — функция распределения плотности газа в сосуде, а, гп, R,T — постоянные, характеризующие данный газ, удовлетворяет уравнению (1).

В последние годы появился ряд работ, посвященных изучению уравнений типа (1). Например, в работе [5], которая обобщает результат, полученный в [1] и [2], уравнение

Аи=р(х)еи (2)

рассматривается в ограниченной области Q С R". Здесь доказано, что если непрерывная функция р(х) удовлетворяет условию < < р(х) < к2 в П при некоторых кг,к2 = const > 0, то уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию и(х) —> оо при d(x) —► 0, d(x) = di st (х, dÜ), и это решепие удовлетворяет оценке |u(:c) — Ind-2(ж)| < const.

Некоторые работы посвящены исследованию асимптотических свойств решений краевых задач для уравнений вида (1) в цилиндрических областях. В работе [6] получены асимптотики решений уравнения (1), удовлетворяющих па боковой поверхности цилиндра однородным граничным условиям Дирихле и Неймана. Эти результаты приведены при изложении §§ 2 и 4 диссертации. Также следует отметить работу [7], где исследованы асимптотические свойства решений эллиптического уравнения

£(а0'(*КЛ,=е"

¿j=i

в полубесконечном цилиндре, удовлетворяющих на боковой поверхности однородному условию Неймана.

4J.B. Keller, The equilibrium of a charged gas in a container, J. Rational Mech. Anal., Vol. 5, No. 4, 1956, pp. 715-724.

5A.C. Lazer, P.J. McKenna, On a problem of Bieberbach and Rademacher, Nonlinear Anal., 21 (1993), no. 5, 327-325.

6B.A. Кондратьев, O.A. Олейник, Об асимптотике решений нелинейных эллиптических уравпепий, УМН. 1993. Т. 48, вып. 4. С. 184-185.

Несомненный интерес представляет также изучение уравнения

Ды + к(х)е" - 0 при к(х) > 0. (3)

Например, в работе [8] уравнение изучалось при к{х) =2 в связи с задачей о тепловом самовоспламенении. В работе [9] получены необходимые условия существования решения и(х) уравнения (3) в пространстве Rn, указывающие характер поведения решения и(х) в окрестности бесконечности, а также необходимые условия существования решения в неограниченных областях с компактной границей. В случае ограниченных областей для уравнения (3) рассмотрена задача Дирихле и указаны необходимые условия существования решения этой задачи.

Цель работы — исследование асимптотических свойств реше-пий нелинейных эллиптических и параболических уравнений с нелинейностью вида е" в бесконечных областях.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравиений с частными производными (различные варианты принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, оценки ПТаудера, теоремы сравнения, а также метод усреднения).

Научная новизна. 1. Для некоторых классов уравнений вида (1) исследованы асимптотические свойства решений краевых задач в полубесконечном цилиндре.

2. Получены асимптотики на бесконечности решений краевых задач для уравпения (1) в плоском угле.

3. Получены необходимые условия существования решений задачи Неймана для уравнения (3) при к(х) = 1, указывающие характер поведения решений на бескопечпости.

7J.N. Flavin, R.J. Knops, L.E. Payne, Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations on the half-cylinder, Z. Angew. Math. Phys., 43 (1992), no. 3, 405-421.

аИ.М. Гельфанд, Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 87-158.

9И. Каметака, O.A. Олейник, Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка, Мат. сб., 1978. Т. 107. № 4. С. 572-600.

4. Получены асимптотики решений при £ —> оо основных краевых задач для параболического уравнения и, — Дм — еи.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными, дифференциальной геометрии и электрогидродинамики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара И.Г. Петровского и Московского математического общества, на семинарах кафедры дифференциальных уравнений МГУ им. М.В. Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 7 параграфов и списка литературы, содержащего 26 наименований. Объем диссертации 95 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и сформулированы основные результаты диссертации.

В § 1 доказана теорема существования в ограниченной области О С К", удовлетворяющей условию внешней сферы, единственного решения эллиптического уравнения

¿(а^К),, =е", (1)

удовлетворяющего однородному условию Дирихле па д(Л. Этот результат является вспомогательным и используется в дальнейшем.

В §2 уравнение (1) рассматривается в полубескопечном цилиндре 5(0, оо) = {х: х1 Е и>, хп > 0} С Ж". Там получена асимптотика решений при хп —> оо, удовлетворяющих однородному условию Дирихле на боковой поверхности а(0, оо) = {х: х' £ дю, хп >0}. Здесь и> — ограниченная в ¡К"-1 область, имеющая достаточно гладкую границу, х' = (а?!,... ,хл_а).

Итак, рассматривается краевая задача

¿(в°'(г'К-).. =е" в 5( 0, оо), (2)

•',¿=1

и = 0 да <т(0, оо), (3)

где коэффициенты а''(х') не зависят от переменной хп, апп —

= const > 0, а{'(х') G C"-a(w), a G (0,1), aij(x') = a]i(x') при всех

i,j = 1,..., п, х' £ и>, для коэффициентов а4 выполняется условие эллиптичности.

Согласно утверждению §1 задача (2), (3) имеет решение и0(х'), которое не зависит от х„. Для простоты будем предполагать, что ап'(х') = 0, г — 1,..., п — 1, в и. При этих предположениях справедлива

ТЕОРЕМА 1. Если ы(х) б C2(S(0,oo)) П С(5(0,оо)) является решением задачи (2), (3), то либо

и(х) — —C1<fi1(x') ехр + 0(1) при хп —> оо,

либо

и(х) = Ио(х') + 0{е~х°х") при хп —► оо,

где и0(х') — решение задачи (2), (3), не зависящее от хп, и0(х') < О в и у <Pi(x') — собственная функция задачи

"¿(а>х,),.+Ар = 0 в а,,

<р = 0 на ди>,

соответствующая первому собственному значению Ах, (;/;') > 0 в и, Cj, Л0 = const > 0.

Заметим, что в работе [6] задача (2), (3) рассмотрена в случае оператора Лапласа и Теорема 1 является обобщением результатов, полученных в [6] для решений задачи Дирихле.

В §3 изучается поведение на бесконечности решений краевой задачи

Ли — а(х)еи = 0 в 5(0, оо), (4)

и — 0 на ст(0,оо), (5)

где а(х) £ С1 (5(0, сю)) — положительная функция.

Пусть ojj — ограниченная гладкая область в R"-1, строго содержащая ш. Hi — первое собственное значение задачи

+ в (6)

ф — 0 на . (7)

Основным результатом § 3 является

ТЕОРЕМА 2. Пусть функция а(х) при некоторых X, С, а0 — = const > 0 удовлетворяет условиям

271-2 _

— < а(х) < Се^»'*" в S(X, оо), (8)

Хп

а(х)>а0 в 5(0, X), (9)

где — первое собственное значение задачи (6), (7). Тогда, если

и(х) е С2(5(0,оо)) ПС(5(0,оо)) является решением задачи (4), (5), то

и{х) = -С2(р1{х')е^1"+Н{х) в 5(0, оо), где С2 = const > 0, 93, (х') — собственная функция задачи

Ар -н А^з = 0 в и, (р — 0 на ди,

соответствующая первому собственному значению , (х1) > 0 в ш, h(x) < 0 и h{x) — 0(еч/'"1") при хп —► оо. Если а(х), удовлетворяющая условиям (8), (9), ограничена, то h(x) также ограничена в 5(0, оо).

Как уже отмечалось, в работе [6] была получена асимптотика на бесконечности решений краевой задачи

Ли — е" = 0 в 5(0, оо), (10)

ди

^=0 на ст(0,оо), (11)

где = i v — {v-l ,..., i/n_!, 0) — единичный вектор внешней нормали на сг(0, оо). В [6] доказано, что если и(х) £ £ C2(S(0,оо)) П ^(5(0,00)) является решением задачи (10). (11), то либо

и(х) = — 21п:еп + o(]n2n) при хп —> оо,

либо

и(х) = —С3хп + о(хп) при х„ —> оо, С3 = const > 0.

В §4 доказаны теоремы об асимптотике решений задачи (10), (11), утвеждения которых можно сформулировать в виде следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 3. Если и(х) £ С2(5(0,оо))пС1(5(0,оо)) является решением задачи (10), (11), то либо

и(х) = —21па;„ + 1п2 + 0(1п"Ег„) при хп оо, (12)

либо

и(х) — -Слхп + 0(1) при хп —* оо, (13)

где е, С4 = const > 0.

Эта теорема уточняет асимптотику решений задачи (10), (11), полученную в [6]. В § 4 также приведены примеры решений задачи (10), (11), имеющие вид, соответственно, (12) и (13).

Далее, в §4 доказана теорема, также характеризующая поведение решений задачи (10), (11).

ТЕОРЕМА 4. Пусть и(х) £ С2(5(0, оо))ПС1(5(0,оо)) является решением задачи (10), (11) и

U(xn) = т^т [ u(x)dx', ui(t) = {х:х 6 5(0, оо), хп =

Тогда

\и(х) - U{xn)| < Cbe~ain в S(0, oo),

где Cs,a = const > 0, а не зависит от u(x). В § 5 уравнение

Ли - е" = 0 (14)

рассмотрено в плоской области Ка( 1,оо) = {(х1гх2): |г| > 1, la^l < < ах2}, а = const > 0. Предполагается, что решения уравнения (14) удовлетворяет либо граничному условию Дирихле:

и — 0 при \х1\ = ахг, \х\ > 1, (15)

либо граничному условию Неймана:

ди

-д—= 0 при xi=ax2, |х| > 1, (16)

ди

т;— = 0 при хг——ах2, Ы > 1, (17)

OV2

где и v2 — единичные векторы внешней нормали на соответствующих сторонах угла Ка{ 1,оо).

Доказаны следующие теоремы об асимптотике решений этих задач.

ТЕОРЕМА 5 (задача Неймана). Пусть и(х) 6 G C2(Jia(l,cx)))nC,I(A''ll(l,oo)) является решением задачи (14), (16), (17). Тогда либо

и(х) = -21n|ij - 21nln|x| + 1п2 + о(1) при |а;| —>• оо, (18) либо

и(х) = -С6In|i| + 0(1) при |х| -»оо, С6 = const > 0. (19)

Здесь же приведены примеры решений задачи (14), (16), (17), имеющие вид (18) или (19).

ТЕОРЕМА 6 (задача Дирихле). Пусть и(х) Е G С2(Ä"a(1, оо)) П С(Ка(1, оо)) является решением задачи (14), (15). Тогда

1) и(х) < 0 в Ка(Т, оо), где Г = const > 1 и не зависит от и(х).

2) и(х) не ограничена при |i| —> сю.

3) если а < 1, то

и(х) = С7 р(х)\х\" + h(x)\x\2 + 0{\х\~я) при \х\ —+ оо,

где q = 7г(2 arctg а)-1, С7 = const > 0, р{х) и h(x) — ограниченные и отрицательные в Л'а(1,оо) функции. В § 6 изучаются решения уравнения

Аи + е" = 0 в 5(0, оо), (20)

удовлетворяющие граничному условию

ди

— = 0 на £г(0,оо). (21)

Здесь получены необходимые условия существования решения задачи (20), (21), указывающие характер поведения решения и(х), а также его средней функции

t/(in) = A f u(x)dx'.

I Uli J

ш(х„)

Доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 7. Не существует решения и(х) задачи (20), (21) из класса С2(5(0, оо)) П С1 (5(0, оо)), удовлетворяющего условиям

w*„(z',0) < 0, i'Ew, minи(х',хп) > m(xn) = In —^—, х„ > Rlt

ш'х„) X

^ 1 п

при некоторых RUS = const > 0.

9

ТЕОРЕМА 8. Не существует решения и(х) задачи (20), (21) из класса С2 (5(0,00)) П С1 (5(0, ос)), удовлетворяющего условию

min и(х',хп) > —а1пжп, хп > й2

при некоторых R2, о> = const > 0, а < 1.

ТЕОРЕМА 9. Пусть и(х) е С2(5(0,оо))ПСг(5(0,оо)) является решением уравнения (20) в 5(0, оо) и удовлетворяет граничному условию

ди

— >0 на <т(0,оо).

Тогда

U(xn) < Вххп + В2

при некоторых Вх, В2 = const, Bl <0.

В § 7 рассматриваются краевые задачи для параболического уравнения и, = Ди —е". Получены асимптотики решений краевых задач при t —> оо.

Пусть 5(0,оо) = {(i,t): х € Q, i > 0} С R™^1, где Q — ограниченная гладкая область в К", <7(0, оо) — dQ х (0, оо). Рассмотрим задачу

ut = Au-eu в 5(0, оо), (22)

и- 0 на сг(0,оо). (23)

Имеет место

ТЕОРЕМА 10. Если u(a:) G С2'1 (5(0, оо)) П С(5(0, оо)) является решением задачи (22), (23), то

u(x,i) = иа(х) 4-0(e~',i) при i —> оо,

где и0(х) — решение задачи

Ди - е" = 0 в Ü, V — 0 на 9П,

7 = const > 0.

Теперь рассмотрим уравнение (22) с граничным условием

ди

= 0 на сг(0,оо), (24)

где v = (z/j.... vn, 0) — направление внешней нормали на сг(0,оо). Доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 11. Если u(x,t) е С2'1(5(0,оо))ПС1(5(0,сю)) является решением задачи (22), (24), то

u(x,t) = — lni + 0(Гг) при t —► ос.

Автор приносит искреннюю благодарность своему научному руководителю академику РАН, профессору O.A. Олсйник за постановку задач и постоянный интерес к работе.

ПУБЛИКАЦИИ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. А.И. Насруллаев, Об асимптотике решений задачи Неймана для уравнения Ди — е" = 0 в полубесконечном цилиндре, УМН. 1995. Т. 50, вып. 3. С. 161-162.

2. А.И. Насруллаев, Об асимптотике решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка.— Москва, МГУ, 1995. /Рукопись деп. в ВИНИТИ 14.11.95, N 3014-В95/.