Об асимптоматических свойствах нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в цилиндрической области со смешанными условиями на её боковой поверхности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

9/

ё 1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.957

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ И ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ СО СМЕШАННЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ЕЕ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

01.01.02-дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - академик РАН,

профессор O.A. Олейник.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Ю.А. Дубинский

кандидат физико-математических наук, научн. сотр. Г.А. Иосифьян.

Ведущая организация - Институт прикладной математики

имени М.В.Келдыша.

Защита состоится "У> " 1997 года в 16 час. 05.

мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ(Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " ¡6 "__Си-рр^ 1997 года.

/ Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. В диссертации изучается асимптотика решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в цилиндрической области с граничными условиями смешанного типа, то есть в случае, когда на части боковой поверхности цилиндра заданы однородные условия Дирихле, а на остальной части этой поверхности заданы однородные условия Неймана. В частности, описаны асимптотики решений модельного уравнения

ДиОО-|иГ'м = 0, р> 1 (1)

при —> +оо , заданных в цилиндре

Яф,к») = {(*„...,*„)! х' = О,,,..,*„ ,) е« с Л""', 0 <хп < -ко} со смешанными условиями на боковой поверхности цилиндра.

Аналогичная задача для линейных уравнения рассмотрена в работе [11- Получены асимптотические свойства при хп —> -ко решений уравнения Лм(х)-/(х) = 0 в полуцилиндре со смешанными граничными условиями на боковой поверхности цилиндра в зависимости от емкости множества, где выполняются граничные условия Дирихле.

Уравнения типа (1) возникло при моделировании многих физических явлений. В частности, в теории Томаса-Ферми взаимодействие между атомами в первом приближении приводит к следующему уравнению

Л 2 ¿и 2

-ТГ + ——~иг=0. (2)

аг г с/г

Особенности и асимптотическое поведение любого решения

[1] Т.М.Керимов, В.Г.Мазья, А.А.Новрузов, Аналог критерия Винера для задачи Зарембы в цилиндрической области. Функциональный анализ и его приложения, 1982, Т.16, вып. 4, 70-71.

уравнения (2) хорошо изучено(см. [2],[3]).

Впервые в 1907 году Эмденом были рассмотрены положительные и радиальные решения уравнения (1). Позже это уравнение изучалось в работе [4]. В работе [5] изучается монотонность, симметрия и асимптотические свойства на бесконечности решений некоторого класса нелинейных эллиптических уравнений, заданных в цилиндрической области. В работе [6] получены асимптотические свойства на бесконечности решений как для некоторого класса дифференциальных неравенств, так и для модельного уравнения (1) в цилиндрических областях с граничным условием Дирихле или Неймана на боковой поверхности цилиндра. Кроме того, рассмотрен случай, когда решение меняет знак, а в работе [7], когда решение знакопостоянное.

В работах [8-10] рассмотрен более широкий к-пясс уравнений, л именно рассмотрено уравнение

[2] A.Sommerfeld, Asymptotishes integration der

differential-qleichung des Thomas-Fermichen atoms. Z. fur Phys., 78, 28.3-308, (1932) ,

[3] E.Hille, Sortie aspects of the Thomas-Fermi equation. J. Analyse Math., 23, 147-170, (1970).

[4] R.H.Fowler, Further studies on Emden's and similar differential equations. Q.J1.Math.,2,2 59-288(1931).

[5] H.Berestycki, L.Nirenberg, Some qualitative properties of solution of semilinear elliptic equations in cylindrical domains. Analysis, ed. by P.Rabinovitz, New York, Academic Press 1990,p.114-164.

[6] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, On asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear elliptic equation in unbounded domains.Partial differential equations and related subjects. Preceeding of the conference dedicated to Louis

Nirenberg Longman, 1992. p. 163-195.

[7] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Some results for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains.Operator Theory: Adva. AndAppl., Vol.57, 185-195(1992).

L(u(x)) - а0|«Г' а = ¿¿-(M*')^) +1 aAx')f~~» = 0'

в 5(0,00) с граничным условиям Неймана на боковой поверхности цилиндра.

В работе [11] для одного класса неоднородных полулинейных эллиптических уравнений доказана однозначная обобщенная разрешимость задачи Дирихле, задачи Неймана и смешанной краевой задачи в неограниченной области без каких-либо предположений о росте обобщенного решения и свободного члена уравнения на бесконечности, и получена асимптотика решений задачи Дирихле на бесконечности.

Асимптотические свойства решений нелинейных параболических уравнений рассматривались в работах [12-16]. В [12-13J изучалось асимптотическое поведение решений перЕсй и второй краевой задачи в цилиндрической области, а также задачи Коши для уравнения вида

ди I

—— - Аи + ж и - 0 .

et

В работе [14] был получен первый член асимптотики решения второй краевой задачи в цилиндрической области для

[8] O.A.Oleinik, Some asymptotic problems of the theory of partial differential equations. Lezioni Lincei, Accademia Naz. Dei Lincei. Cambridge: Cambridge University Press,1995.

[9] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik, Boundary value problems for поп linear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff. Eqs., Vol 6, № 1, 10-16(1993).

[10] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, О поведении на бесконечности решений одного класса нелинейных эллиптических уравнений в цилиндрической области. ДАН, 1995, том 341, № 4, с.446-449.

[11] J.I.Diaz, O.A.Oleinik, Nonlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solutions. C.R.Acad.Sci.Paris, t.315, Serie 1, p.787-792 (1992) .

слабо-нелинейного уравнения теплопроводности.

В работе [15] изучается поведение при *->оо решений уравнения

в цилиндрической области, удовлетворяющих краевому условию Неймана на боковой поверхности цилиндра. Исследована задача в случае, когда решение меняет знак, то есть решение принимает как положительные, так и отрицательные значения при сколь угодно больших значения координаты, направленной вдоль оси цилиндра, и когда решение знакопостоякое.

В работе [16] рассмотрены вопроси об асимптотике при / —> а) решений краевой задачи Неймаш длл нелиасйпи;: параболических уравнений и систем, предложен метод средних функций.

Цель работы- исследование асимптотических свойств решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем в неограниченных областях.

[12] A.Grima, L.Veron, Asyiaptitic Behaviour of the Solution of a Semilinear Parabolic Equation. Monatshefte fur Math.,Bd.94, S.299-311(1982) .

[13] A.Grima, L.Veron, Large Time Behaviour of the Solutions of a Semilinear Parabolic Equation in RЛ . J.Diff.Eq., Vol 53, №2, 258-27 6(1984).

[14] P.Baras, L.Veron, Part.Diff.Eq., Vol. 4(7), 795807 (1979) .

[15] В.Н.Арефьев, В.А.Кондратьев, Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. Дифф.Уравн., Том 29, № 12, с.2104-2116(1993).

[16] В.А.Кондратьев, О.А.Олейник, Об асимптотике при больших значениях времени решений эволюционных уравнений и систем. УМН, т.51, вып.5, ст.159-160(1996).

Методы исследования. В диссертации используются методы теории линейных и квазилинейных уравнений с частными производными (различные варианты принципа максимума для эллиптических и параболических уравнений, теоремы сравнения, а также метод энергетических неравенств),

Научная новизна. 1) Получена асимптотика на бесконечности решений нелинейных эллиптических уравнений в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 2) Получена асимптотика решений нелинейных параболических уравнений при неограниченном возрастании времени в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа на его боковой поверхности. 3) Аналогичные задачи рассмотрены для квазилинейных параболических и эллиптических систем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными и математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции, посвященной 95-летию И. Г. Петровского, в Москве, на семинаре академика РАН О.А.Олейник и семинаре профессора Е.М.Ландиса и профессора В.А.Кондрать ева.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две научные работы. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на 13 параграфов, и списка литературы, содержащего 57 наименования. Объем диссертации 104 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации и сформулированы основные результаты диссертации.

В первой главе рассматривается эллиптическое уравнение

в цилиндрической области 5(0,оо) = е/?"|х' е&,0< хя <ooj , где

р> 1, й>-ограниченная область в Л"-1 с гладкой границей, звездная относительно некоторого шара, /--эллиптический оператор, в,..(х')- достаточно гладкие функции, au=aj,, «/,(*') = 0 ири '<«, am(x')=l .

Предполагается, что решения уравнения (3) удовлетворяют граничным условиям

и(х',х„) = 0 на Qcrt , (4)

Su

= 0 на cr(0,oo)\ljcrt , (5)

где ст(0,оо) = дш х(0,оо), = х [xf ], 0 < х' < х* <....< х* <....,

А П^Г^Г, ¿=1,2,.....

В зависимости от меры множества at , Л = 1,2,...., получены различные асимптотики решения задач (3), (4), (5) при хл-»оо.

Теорема 1. Пусть u(x) effr2u"c(S(0,oo)) - обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,00), удовлетворяющее граничным условиям

(4), (5), где рк < A, A = const>Q, у0 = const >0,£ = 1,2,.....

Тогда существуют константы С = const > О,р = const >0 такие ,

что

|и(х',хл)| < Сехр(-/?х„) , при х„ > г , г = const > 0 .

Теорема 2. Пусть u(x) eW^1™(S(0,ao)) - обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,оо), удовлетворяющее граничным условиям (4), (5), где t}k=xlk+2-xl" <D, D=const>0, Гк = х? " »

П = /(*") f /(0 -> 0 np« i->oo, /(/,) < f(t2) при t, S t2, * - ........

Тогда

|»(Х',Х„)| SC~~r-exp(-/?]f(t + D)dt),

где С = const > О,/? ~ const > О , p> 1, xn > г, г = conrf > 0 .

Кроме того, рассмотрена задача, где граничные условия Дирихле заданы в криволинейной полосе на боковой поверхности цилиндра.

Для случая когда функция меняет знак получены следующие теоремы:

Теорема 3. Пусть н(х) cfí/2u°%S'(0;»)) -обобщенное решение уравнения (3) в S(0,°о), удовлетворяющее граничным условиям (4), (5), и(х) меняет знак в S( 0,сю), рк>р0 / р0-const >0, ук < Р, Р = const > 0 , 4 = 1,2,.... Тогда

где Ch = const >0, А-любое положительное число.

Теорема 4. Пусть u(x¡,x2) eW^M(S(0,co)) - обобщенное решение уравнения (3) в 5(0,оо), п = 2, u(x¡,x2) меняет знак в ¿'(О.00) и удовлетворяет граничным условиям и = О на У(0,оо),

£ = 0 на G2IJ(Gí \ 7(0, со)) ,

где V-внешняя конормаль, J(0,qo) = Q Jt , Jk = |(0,jc2)|jr"_1 < x2 < ,

i

к = 1,2,... , <x2" < ..., G,(0,oo) = |(r¡,í-2) ei?2|o<*2 <oo, x, =o|,

G2(0,oo) = еЛг|о<х2 <oo, x, = /;], h = const> 0.

Тогда существуют константы С-const >0,/] ^ const > О такие,

что

|tt(x„*2)|:sCexp(-/?x2) . Для решения уравнения (3) в 5(0,оо) с граничным условиям третьей краевой задачи на боковой поверхности цилиндра получена теорема:

Теорема 5. Пусть «(х) eC2(S(0,oo))fïC"(S(d,oo)) и и(х) -решение уравнения (3) с граничным условием âu

а(х)и(х) + — = 0 на а(0,оо), а0 < а(х) < а., а,. = const > 0, а, = const > 0 . PV

Тогда

|Й(х)| < Сехр(-ахп), где а = const > О, С = const > 0 .

Во второй главе рассматривается эллиптическая система вида

IÜ(r) = F(x,S), (6)

где к,/7 суть вектор-функции с Л/ компонентами: и = (и',«2,...,«"), __ _ " /9 Í âuhS

-*/(-')" достаточно гладкие функции, a¡f(x') = а^(х') , Lh-эллиптический оператор, х' = (х^х,,...*^,), h = \,2,...N .

Предполагается, что решение системы (6) удовлетворяет граничным условиям

и* = 0 на Cloí ' (7)

Jc=t

= 0 на cr(0,oo)\Lk\ (8)

e>V t=i

где ¿to x[x;-"-' ,x„"'], 0 S xnu s x„" <....< x„" <..., &*= xhn2i -x, PÎ= - x"„2t, A = 1,2,...W, к = 1,2,... .

Обозначим через B(S(0,œ)) пространство вектор-функций таких, что й(х) eC(S(0,oo)), ¿(x) сС2(^(0,оо)) ,

»*(*) еС'(5(0,OO)U(ît(0,OO)\Q(T*)) , й=1,2„..ЛГ, i = 1,2,....

м

Теорема 6. Пусть « eíf;,l benS('S'(0,<»))- обобщенное решение задачи (б), (7), (8), где ^(х,«)] < Ch\ü(x)\* , = соли/ > 0, Ch= const >0, F"(x,u)u" >0, F"(*,0) = 0, F"(x,ü¡)>Fh(x,щ) при pl<R,, = const >Q, h = 1,2,...ЛГ, A: = 1,2,...,

м(х',хл)-)-0 при х„-»оо. Тогда

|tt(x',x„)| <Cexp(-/?x„) e S(0,oo),

где xn ir,r = cortii > 0, ¡и(х',х„)| = J£(u'')2 , P = conrf > 0,C = conrf > 0 .

Vfci

В третей главе рассмотрено параболическое уравнение f = в Ж0.0О),

где р>1, Я(0,оо)= j(x,i)lx еш, 0<! <°о}, «-ограниченная область в R" с гладкой границей, звездная относительно некоторого

шара, 1л! = \а, \ - эллиптический оператор, а, Ах) -

t~lxdxx \ ' SxJ J

достаточно гладкие функции, /=1,2,...,и.

Для уравнения (9) рассмотрены задачи, подобные задачам,

рассмотренным для эллиптических уравнений. Одной из задач,

рассмотренных в третей главе, является следующая.

В области Я(0,°о) изучаются решения уравнения (9) ,

удовлетворяющие граничным условиям:

и = О на z(0,°°), (10)

011

— = 0 на 1(0,00)^(0,00), (11!

где 2(0,со) = {(х,0|х ейи,0</ < оо] , у (г) = Z(0,a>)Q{(x,0(t = г}, 0<г<оо, ^(0,оо)-замкнутое множество на Г(0,оо) такое, что

Цт) = у(т)Г\х(0,к>)*0, mesn_J(T) = j(t\ 0<т<оо, = ¿о,Дх)(,

V i j-\ V Ху

К = (к:,,...,*:„) , »с-направление внешней нормали к Z(0,oo) .

Предполагается, что решение задачи (9), (10), (11) обладает следующими свойствами: u(x,t) е С(77(0,ао)) , г/(х,0 еС2'(Я(0,оо)), «(*,/) еС,(Я(0,оо)и(Х(0,оо)\ЛГ(0,оо))) . Этот класс решений будем обозначать через 2(Я(0,оо)) .

Теорема 7. Пусть « е Г2';^(Я(0,оо))П б(Я(0,оо)) - обобщенное решение уравнения (9) в Я(0,со) , удовлетворяющее граничным условиям (10), (11), где функция j(l) монотонно стремится к

нулю при t -> оо, со -ограниченная область в R" с гладкой границей, звездная относительно некоторого шара. Тогда при т > г0, г0 = const > 0 справедливы оценки

\\u{x,tfdxdt < J|v«|2dxd, < С" ехр(-X){j(t)fdt),

Íl(r.r-H) KJ(T+lJ) П(Г,t.,1) \J\ r l)l , ]

где С = const >0, С" = const > ü, X = const > 0, и для любого цилиндра

Я'(О.оо) с Я(0,°о) существует константа C'"-const>0, зависящая

от расстояния Я'(0,оо) до границы Z(0,oo) области Л(0,со) такая,

что

j '

|«(х,/)| < С" ..— -exp(-¿J(y'(/)V/) , А = const > 0, t>v0,r0= const > 0 . Л' +')

В четвертой главе рассмотрена параболическая система вида ди_

где и,Р суть вектор-функции с N компонентами: и = (и\и2,...,и"),

= Lu(x,t)-]•'(*,t,») .■ (12)

,-.,„<? хД • ¿х^ аи(х) ~ достаточно гладкие функции, л*Дх) = в*,-(х), эллиптический оператор, Л = 1,2,...^.

Предполагается, что решения системы (12) удовлетворяют граничным условиям

и"(х,/) = 0 на 02:*, (13)

(14)

А =0 «a I(0,oo)\U2Í,

CV i,.

где Ой/* <(* <....<*£ <...,

1к='и+2-*и>т}*-1Х'' Н=\,2,...Ы , к = 1,2,..., И- направление внешней кокормали к 2(0, а>).

Обозначим через ЦЯ(0,оо)) пространство вектор-функций

таких, что u(x,t) sC(/7(0,qo)) , u(x,t) sC21(77(0,a>)) ,

«Ч*,0 еС\ЛфуссМШ*)\ОК)). ei?W,»)) h= 1.2....JV ,

Л =1,2,... .

Теорема 8. Пусть ¡¿(х,<) е^';,^(./7(0,оо))П Л(Я(0,оо))-обобщенное решение задачи (12), (13), (14), где |/<"А(х,7,й)| < С^г/р при [«¡2<я, а = const > 0, rh = const >l,Ch = const > О, Fh(x,t,u)uh > О, Fh(x,t,0) = 0 , l'h(x,ttul)> Fh{x,t,u7) при г/,' > м, ,

30 = const > О, А = 1,2,...// , к = 1,2,,.. . Пусть «*(*,<) ->0 при / -> » , h = \X-N . Тогда

|«(х, 0| < С ехр(-/? О в /7(0, оо),

где ? > т, г = cons/ > 0 , |и(дг,/)| = (г/)2 , /9 = const > О,С = сопл/ > 0 .

V ы

Автор выражает глубокую благодарность Ольге Арсеньевне Олейник за постановку задач, многочисленные обсуждения и ценные замечания в процессе работы над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Т.Уличевич, Об асимптотике решений в полуцилиндре с граничными условиями смешанного типа для одного нелинейного эллиптического уравнения, Вестн.Моск.Ун-та.Сер.1. Математика.Механика.1996.№2.стр.94-98.

2. Т.Уличевич, Об асимптотических свойствах решений нелинейных эллиптических уравнений со смешанными условиями на границе области, УМН.1996.т.21,вып5.стр.161-162.