Об автоморфизмах в пространствах аффинной полуинтегрируемой связности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи.

НИКИТИН Николай Дмитриевич

ОБ АВТОМОРФИЗМАХ В ПРОСТРАНСТВАХ АФФИННОЙ ПОЛУИНТЕГРИРУЕМОЙ СВЯЗНОСТИ

01.01.04—геометрия н топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

'У

Казань—1991.

Работа выполнена иа кафедре алгебры Пензенского государственного педагогического института им. В. Г. Белинского.

Научный руководитель: Заслуженный деятель пауки РСФСР,

доктор физико-математических наук, профессор |И. П. ЕГОРОВ1.

Официальные оппоненты: Заслуженный деятель науки

РСФСР, доктор физико-математических наук, профессор А. П. ШИРОКОВ, кандидат физико-математических наук, доцент 3. Н. ЧЕТЫРКИНА.

Ведущая организация: Белорусский государственный унн-1 верситсг.

Защита состоится 20 июня 1991 г. в 14 часов на заседании специализированного Совета К 053.29.05 по математике Казанского университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Ленина 18, корпус 2, аудитория 217.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Ленина 18).

Автореферат разослан . _ 190«Ь г.

Ученый секретарь специализированного Совета

доцент у^2— / Б. И. ШАПУКОВ. >¿¿¿'-¿■4: -у*--

СЩЛЯ ХАРЛЮТШСДОД. РЛЛУШ

Актуальность те^ц. Сатюо место в современной дифференциальной геометрии заннулет теория автоморфизмов обобшешшх пространств. Начало зтой теории было полонено работой С.Ли*, изучавшего автомор.^игш евклидова пространства. В конце XIX-пачало XX пекои появились работа: Киллшга, $убтм, Шапки п других авторов по группам двихешШ в ринановпх пространствах. Э.¡Сарганом, Н.А.Схоутеиом, Г.Вейлем била вндвшгута идея пространств с жпейаой сз.чзностьто. Д.П.Эйзопхарт и М.С.Кпсбзль-:.:а!i изучали аффпшша и проектшзгшо дшкения в эмпс пространствах.

Составной частью теории автоморфиоцоз.обобщеинш: пространств является проблема распределения возможных порядков полню групп автоморфизмов п изучение, соответствующих им пространств. Режеь.до отой проблеют в а^фшно связных и ришновых пространствах посвящена работа H.IL Егорова?". Среди зарубеишх геометров исследования в этом направлении^проводили Г.Врэпча-ну, К.Яно, Муто, Г.Окубо.

Движения в пространствах тензорных опорных элементов

I. iio. S-, êiupt ST (ÏÏÎitotLa. dût WtansfoutiafcLoit&çjruippeti-

&ФЩ: Vàdiivu, V. X, ;VT К, ./230. - S5S&. ;

Vf, i№. ~S2>Os. Z. Егоров И.П. Движения и пространствах аффинной связности// Уч. зап. Пепз. пед, ¡ш-га.- Казань: Каогш. гос. ун-т, 1965.- С. 3-179.

рассматривали А.Й.Егоров3'^, А.П.Урбонас®. В работе4 показано, чю максимальный порядок групп движений в пространствах линей-ш;х элементов афишной полуинтегрируемой связности равен

Изучению ипфшштеэиыалышх автоморфизмов в расслоенных пространствах с внутренней связностью, в касательном расслоении с метрикой Сасакл, синектической метрикой посвящены работы Б.Н.ПЬлукова и учеников А.П.Широкова.

Большой интерес с прикладной и геометрической точки эре-ния представляет изучение автоморфизмов в дифференциально ге-оыетрическнх пространствах-шлих разыеркостейОс=2,з,^) . Оео-бенно следует отметить работы Л.З.Петрова и его учеников: А.В.Аминовой, В.Р.Кайгородова и других, изучавших группы автоморфизмов в четырехмерных римаиовнх пространствах, связанных с полями тяготения^. Движения и гомотетии в пространствах Финслвра двух и трех измерений рассматривала З.Н.Четцркина. Гоыотьлгееские двинеккя в четырехмерных пространствах Финслера исследованы Л.И.Егоровой. Трехмерные обире пространства путей проективной связности, допускающие всевозможные группы двияе-

3. Егоров А.И» Движения в пространствах тензорных опорных элементов: Дне...канд. физ.-мат. наук,- Казань, 1974.- 150 с.

4. Егоров А.И. Максимально подвижные пространства линейных элементов аффинной связности. I// Украинский геометр, сб,-1979.- Вып.22.- С. 47-59.

5. Урбонас Л.П. Максимально подвижные пространства гиперплоскостных элементов общей аффинной связности// Литовский матеы. сб.- 1269.- Т.9, W 2.- С. 153-179.

6. Подробный обзор можно найти в статье Егорова И.П. Движения

В § 5 доказано, что если Оч_ группа аффишкх двпленил с одномерный орбитами б пространстве А ^ . то алгебра. Ли '•"<?<г.операторов либо абелева, лнбо.Лъ содержит абслев идеал J-tit-L и внутреннее доМеренцировалке си)- X для лпбого X^^i» 'Х^^|1-хоога1,ляе,г нпварнантнш каздкй элемент абелспого идеала- J-j г-t ■ Установлено, что иакау.'-алънкГ: порядок групп acTöini-•■н-'к, двикениП с одномерными орбита).« г> общих пространствах пу-.т/jii равен in-i . Приведены необходимые к достаточные условен ;т$го, чтобы пространство А и,у. допускало группу а^фишък'двк-.кеннй с одномерными орбита;,я ¡.шеекмального поря,),.:а.

В 5 ö вменена структура алгебр JIii операторов групп проективных движений с однокершлда орбитам! в общи пространствах, путей. Доказало, что максимальный порядок групп проектив-,икк двдаениГг с одномерном орбита?.« в пепроективно евялидовщ.; пространствах А н.,^ равен и. . ¡.риводены необходимее и достаточнее условия того, чтобы общее пространство путей допускало абелеву группу Q 1С проективньх движений с одномерными орбитам:. Доказано, что если «Л ъ. алгебра Ли операторов группы G ^проективных движений d непроективно евклидовых пространствах- : А а,у , а Sit. - алгебра операторов абелевой подгруппы С,с одномерны?.»! орбитам, то Sn. идеал алгебры ~b>L.

В § 7 установлено, что максимальный пордцок абелевих групп аффинных движений с (И.-Г) -мерными орбитами в пространствах путей А w,у . не сводящихся к пространствам адаишюй связности, равен 2. н.-3 , а максимальный порядок абелевнх групп с -мерными орбитами (in-C 11-1, Ш=г И) равен Hl(ll-m) +tu. Показано такте, что максимальны?! порядок абелевкх групп аффинных движений в четномерных пространствах А и-.ij равен

IV (и,, в нечетномерных пространствах Ап.,^ - -(. И >3) и равен трем, если и.= 3 .-Аналогичные предложения справедливы для абелевкх групп проективных движений в непро-ективно евклидовых обс^х пространствах путей.

В третьей главе (§§ 8,9,10) найдены пространства аффинной полуинтегрируеыой связности Н^,^ , допускайте группы . движений 01,(1- & . В § 8 определены пространства Нзд 'с группами движений .

В § 9 найдены вое пространства Нз ч » допускающие пол"-' ' ные разрешимые группы движений С_г % (¿172) . В основе определения пространств Нй,^. г допусками?« полные разрешимые группы движений СгС?-^<2) лежит классификация алгебр Ли

о

третьего порядка, данная Л.Бланки и упрощенная И.П.Егоровым^. Для каждой разрешимой алгебры Ли третьего порядка строятся всевозыо)шые представления в виде алгебры Ли векторных полей в хоординатной -окрестности •И' двумерного дифференцируемого многообразия. Далее находятся составляющие геометрических объектов пространств Нд^ » допускающих группы движений алгебраш Ли операторов которых являются данные представления. Дня найденных пространств в выбранной системе ко-'" ординат определяются .операторы полных групп движений.

Этот же метод применяется в § 10 для отыскания пространств Н^ ^ > допускающих полные неразрешимые группы движений, и операторов этих групп. Используя результаты, полученные'

(к Ьгаи£{о1мьа/цоп1 дрет1. - Рма., 19 И. 9. Егоров И.П. Геометрия,- Ы.: Просвещение, 1973.- 256 с.

,в,5 9, 10, показывается, что максимальный порядок групп движений в пространствах Н *> ч Р^011 четырем. Существуют два класса максимально подвижных пространств Нд,^ • Один класс пространств Н^. допускает разрешимую группу двияений , другой класс пространств - неразрешимую С^ . Приводятся необходимее ■ условия того, чтобы пространство Нд,^, допускало группу движений максимального порядка.

Четвертая глава состоит из трех параграфов. В 5 .II выясняется структура алгебр Ли операторов групп движений с одномерны!.« орбитами в пространствах Н уц^ • В этом де. параграфе устанавливается, что максимальный порддок аболевцх подгрупп в группах движений в четномерных пространствах Н * ч. равен

Д у, д

(ц, , в нечетномернкх пространствах - >5) •

м ц

В § 12 определяются составляющие геометрических объектов пространств К » допускающих абелевы группы движений с -мерными орбита:®. Здесь также доказывается,, что если пространство Н^ допускает абелеву группу движений...с (и,-1) -мерными орбитами максимального порядка, то присоединенное общее пространство путей А является пространством аффинной связности и догускает группу аффинных движений с (>1.-1.') -мерными орбитам! Ст^п.-! г алгебра Ли операторов которой имеет структуру (X*, Х(0=О> (Х<а,Хдц-а)=Х^ Х^к-Л).

Используя результаты § II, 12, а также классификацию вещественных структур алгебр Ли пятого порядка*®, в § 13 опре-

10. Мубаракзянов Г.П. Классификация вещественных структур алгебр Ли пятого порядка// Изв. вузов. Математика.- 1963.-

Г 3(34).- С. 99-105.

деляются пространства Н. , допускающие полипе группы движений с максимальной абслевой подгруппой, а также операторы этих групп.

ОСНОВНЫЕ 3ДЦЛЧИ, РБОЕННЬЕ В ДЯССЕРГЛЦЯИ

1. Выяснена структура алгебр Ли операторов групп атсЗишгкх

проективгщх движений с одномерными орбитам; в общем пространстве путей А я,,^ •

2. Установлен каксикальний порядок абелевых групп ап.*рпнга:гх и .проективных движений в пространствах А^ч > нс являющейся " точечная! пространства:.!« аффишой связности.

3. Определены пространства аафшшой полуинтегрируеиой связное-'' ти Нд , допускающие полные группы двизонкП.

4. Установлен шкск.\!алыгьй порядок абелевых подгрупп в группке движений пространств Н. ц,^ •

5. Определены пространства Нт,,^ > допускажре группы двигг.енк"

с цаксп:,!альной абелевой подгруппой. Дяя этих пространств найдены полные группы дарений.

В заключение автор шраяает глубокую признательность научному руководителю доктору йпз^о-матеыатлчесхих наук, профессору [И .Н.Егорову) за постановку задачи к постоянное внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ даССЕРТЛЦЖ!

1. ыжиткн Н.Д. Общие пространства путей проективной связное- г ти с абелевпьм группами движений/ Пенз. пед. ин-т.- Пенза, 1933.- 14 е.- Доп. в ВИНИТИ 9.06.83, Р 4373-83. • ;

2. Никитин Н.Д. О группах аффинных движений в обиргх простран-

ствах путей/ Пеиз. пед. ¡т~т.~ Пенза, 1984.- 13 е.- Деп. в ВИНИТИ 25.07.84, № 5395-84.

3. Никитин Н.Д. Об абелевнх группах движений в оби?« пространствах путеП проективной связности/ Г1епз. под. Пенза, 1534.- Г5 е.- Деп. в ВИНИТИ 25.07.84, Г 5395-° I.

4. Никитин Н.Д. 0 группах движений с одномерными орбптаг.'л в общих пространствах путей проективной связности// Двиденил в обобщении* пространствах: Медвуз, сб./ Рлзан. пед. ин-т.-Рлзапь, 1985.- С. 101-106.

5. Никитин Н.Д. О группах движений в пространствах линейнцс элементов усеченной аффинной полуннтегрируемой связности/ Пенз. пед. ин-т.- Пенза, 1986.- 17 е.- Доп. в ВИНИТИ 3.12.86, 8232-В86.

6. Никитин Н.Д. О группах движений в пространствах аффинной полуинтегрируеыой связности// Тезиси сообкрниП IX Всесоюзной геометрической конкуренции,- Кишинев, 1988,- С. 224,

7. Никитин Н.Д. Об абелевых группах движений в пространствах линейных элементов усеченной аффинной полуинтегрируеыой связности// Движения в обобщению: пространствах: Меквуз. сб./ Рязан. пед. ия-т.- Рязань, 1988,- С. 48-53.

■¡■¡икшисат