Об одной общей схеме метода фиктивных областей и ее приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи

УДК 517.98.25

ТРУШИН Виктор Борисович

ОБ ОДНОЙ ОБЩЕЙ СХЕМЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском институте стали и сплавов.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, академик ВЛАДИМИРОВ В. С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук АГОШК.ОВ В. И., кандидат физико-математических наук АГАХАНОВ Н. X.

Ведущая организация — Московский энергетический институт

Защита состоится « 4Г » ОКЖ^ 1991года в //«/ час. на заседании специализированного совета Д 002.38.01 в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 117333, Москва, ул. Вавилова, 42.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан «'/Ь"» 199Д^года.

Ученый секретарь специализированного созста

ГУЩИН А.к.

4: > * »

' w /

uq' г^^я

оная ШЬШ21С?Ш РАБОТЫ

Актуальность те:.:ы. Летод фиктивных областей (;*ФО) является одлии лз алодов рв^ен:!я краевых задач ыатаиатичаской физики. Этот ¡¿9Тод кироко известен в советской литература. Его описание, обоснованно к библиография имеется в известной учебника F.ii. барчука Подробны* обзор результатов и болзе

полную библиографию метода до ISo2 года составили О.Д. Зойце-

р 3

ховский, U..I. Гаврилюк и В.л. Макаров • . В этой работа r..i-атся классификация вариантов ¿¿ФО, основэнная на хронологической принципе. Выделано четыре cxaiiu ¿iOO (В.л. Саудьев, Ь.Л.

Лебедев, л.А. Руховац, В.Д. Копченоз). Недавно о УФО выпуцона

h

иокогрн^ия ¿.л. Вабпцавича . ^

Пусть • Q - ограниченная область /2 с достаточно гладкой границей (сведения об условиях гладкости исходных данных в разных работах ыозно найти в обзоре -

1 -арчук Г.й. катоды вычислительно/: математика. U.: Наука, ХУси, 536 с.

2

БоЬцаховский С.А., Гаврилок ii.i1.., Макаров З.Л.- О ¡¿зтоде фиктивных областей для ррзэния задач катеиатической уазики в областях слоаной фарш и его реализация. I.// шчисл. и прикл. иатаи./ Киев: Вшца икола, 1S33. //¿51. С. 23 - ЗА-.

Q

Зойцеховский С.А., Гаврилюк il.il., ^икауоз В.л. О иатода ¡¿активных областей для решения задач математической уазики в областях сложной формы и его реализация. Ii.// Вычисл. и прикл. иатаи./ Киев: Вица школа, 19Ь4. Si 52. G. 3— 10.

¡1

Забицевич Б.Н. ¿1етод фиктивных областей в задачах математической физики.- и.:-Изд-во Jock, ун-та, 1591. - 156 о.

параллелепипед с ребрами, параллельными осла координат, такой, что . Оооааачав .

Пусть Д - сильно эллиптический оператор второго порядка. Рассмотрим в Я первую или вторую однородную краевую заДачу Ди= / . = О ■ илл Ш- \д^=0 •

Вариа.чты ИщО для этих задач строятся так: в ^ решают вспомогательную однородную краевую задачу Дирихле где р- - продолженная нулей вне функция ^ . Для

задачи Дирихле полагают Д£ — Д в , Д^ —

• в С В.1С. Саульов) или оператор Д определен в

" = Л в » -дв % -характеристи-

ческая ¿ункаия области ¡52^ ( В.И. Лебедев), £ -

• большой положительный параметр. Для задачи Неймана Д ^ определяется так ¡ке, как в первом варианта УФО для задачи Дирихле, но с малым положительным £ ( В.Д. Колчанов). 'На граница ^^ предполагаются обычные условия согласова-

' ния. Основным результатом теории ¡¿50 являетоя доказательство сходимости решений II£ вспомогательных задач к решению Ца исходной краевой задачи и получение оценок скорости сходимости типе | ио К^ • Дяя краевых задач второго и четвертого порядка и некоторых вариационных неравенств подобные оценки доказывалась при различных условиях гладкости исходных даниьйс в многочисленных работах « (А.Н.Бугров, И.П.Гаврилок, В.Д.Иакаров, А.Н.ловалэв, В.Д. Копченов, В.Л.Ривкинд, С.А.Войцаховский, В.Н.Новиченко, ■ В.Г.Осмоловский, "ВЛ.Цербак, В.С.Сакенвк, Б.Н.Вабицевич и другие)» Доказательства этих оцаиок зависят как от исходной краевой задачи (от гладкости исходных данных, от порядка уравнения, вида его нелинейности и односвязности 5/р ),

та* и от варианта М50. ГЬэтому при построении метода возникала необходимость обоснования оценки скорости сходимости для каждой конкретной задачи.

В диссертации М50 рассматривается как метод регуляризации некорректной задачи в банаховом пространстве В . Рассмотрим в 3 уравнений и задачу "штрафа" :

Р и — О , Р : а (П

(=и + ¿Ли = О, Р,Л:&-+&*> £ >о ■ (2~)

Для операторов монотонного типа такие задачи хорошо изучены ' .

к

в монографии Ж.-Л.Лионса . В диссертации этот класс операторов несколько расширен. Для него доказаны нэкоторда -неко-врцитивныэ условия разрешимости уравнения (I) и сходимости аппроксимации (2) . Ввделены достаточкш условия получения оценок скорости сходимости и условия, при которых уравнение (2) является реализацией конкретных схем ШЮ. Предложенная схема является обобщением^эарианта №0 В.И.Лебедева. Такой подход к проблеме М50 позволяет доказывать разрешимость, сходимость и оценки скорости сходимости в -рамках теории операторов монотонного типа. Поэтому доказательства не зависят от конкретного вида уравнения, ого порядка, характера его нелинейности, выбора варианта ¡»ЕЮ, односвязности области и требуют более слабых предположений гладкости данных исходной краевой задачи.

к

Лионе К.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972..587 с.

2 связи с этим предложенное исследование является актуальный и может иметь практические приложения.

Цаль работы. Выделить различные условия, характеризуйте ЫФй в абстрактов форме в виде уравнения "штрафа" в банаховой пространства, которые достаточны, соответственно, для доказательства разрешимости, сходимости и оценок окорооти оходимоо-ти метода активных областей.

Методика исследования. Схема МФО рассматривается нав задача "штрафа" для некоторого ¿равнения. Ьта задача затем изучается методами теории операторов монотонного типа.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации введены условия С jUl ). 8ти условия слабев условий (*>£) И«В.Скрыпника, свойстве (*Л1) Х.-Л.Лионса, псевдомоиотснноотв Х.Бреаиса, полуограниченной вариации Ю.А.Дубинского и полумо-нотоннооти и.Ц.Вайнберга. Получены некозрцитивные условия разрешимости и сходимости задач "штрафа" для уравнений с оператора ии типа (t/lli) . Для уравнений о монотонными операторами приводятся условия достаточные для получения оценок окорости оходимооти задач "штрафа" и доказаны такие оценки при раглич-нцх ограничениях роста на операторы. Изучаются условия, при которых задача "штрафе" в банаховой пространства является реализацией схем МФО, подучены оценки скороон; сходимости для таких схеи. Исследуютоя конкретные схемы МФО для уравнений адлиптичаокого типа с различными .краевыми условиями, вариационных неравенств, а также некоторые задачи "штрафа".

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались . на семинаре акад. АН СССР В.С.Владимирова в Математическом институте им. В.А.Стекл(>ва АН СССР, на семинаре проф. В.Д.Михайлова в 11атематическом инотитута им. В.А.Стеклова АН СССР,

аа семинаре проф. В.А.Треногина в Московской институте стали и сплавов, на семинаре проф. Ю.А.Дубинского в Московском энергетическом институте, на научных конференциях Московского физико-технического института в 19а?, 19ъ8, 19Ь9 г.г.

Публикации. Результаты работы опубликованы в трех статьях

[х-а].

Объем работы. Дисоартация состоит из введения, двенадцати параграфов, списка литературы из 103 названия и излогена на 125 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, близких в рассматриваемым вопросам, и кратко излагается содержание диссертации. '

В § I приводятоя необходимые для изловения результаты теории банахогых пространств. Вводится а исследуется для оо-болевских пространств условно (П):

Определение 1.4. Пусть В) - банахово пространство, Р('). - непрерывная полунорма в

р замкнутое подпространство. Будем говорить,

что пара подчинена условию (И), если фактор-норма'

пространства &/М эквивалентна полунорме Р(') > оуществует такая положительная постоянная С » что для каждого и из 3 найдется элемент "}/ из ¡\! , для которого выполняется неравенство: | Ц ^ Ср(Ц) .

Дается построение операторов с заданным ростом (леммы .1.3, 1.4). Пусть '-РС^) ~ непрерывная монотонно возраотапцая функция, 1^(0)= О . при г?-—- ч-оо ,

(X 1 и Л^ 1 - ограниченный оператор. Тогда

существуют монотонные операторы р и 2! , удов-лугворяящие

условиям:

аг^аЛи\)\ии(Ри,и)4, ач>(а\и\)\и\, \Зи\*> (Ыи\ + £)\и\.

Необходимость построений подобных операторов связана о техникой доказательства теорем оувдствования решений уравнений при некоторых односторонних ограничениях.

В § 2 вводятся п.изучаются локальные аналоги операторов монотонного типа и аналоги ограниченных операторов (определа-•ныя 2.2, 2.9).

Определенна. Будем говорить, что оператор 'Д? 3) ' открытое выпуклое подмнохество из £> удовлетворяет условии ар, еола Уи^З) ° ^ Я справедливо неравенство

(Лии-Ю^ - УСА),

где Ф(Я) ^ О - неубывающая функция неотрицательного аргумента;

(0) , еоли _ а для воякой ограниченной последовательности /^Д } из ограниченности сверху последовательности {(¿(¿¿а , ) \ следует ограниченность последовательности ^'¿/[иа {

(01), если для воякой ограниченной пооледовательнооти \и+1 | С ¿Ь • нз.°1'РаЫ11чвШ1001и оверху последовательности \СЛип Щ\~и}\ некотором аавиоячеи от

СЛ0дув1 ограниченность последовательности {¿$ип\ ' (И0), если из уоловий , Щх —Ц }

Дип О, <£¿471 (Лип ~ О следует неравенотвр

(<Ауи , И ~ II) & О справедливое щи воех 1/ иа } - водила условий { ¿¿а } С } ¿¿к —^ ¿1

следует неравенство Ц— 2Î) £ О справедливое при всех if

яа Я) i __

(а2), если из условий dtln , Un) é (ьЮ следупт

неравенство îf)^ ^справедливоё при всех tf

из iU и равеаотво

сильной монотонности, если

(du-JlifyU-гО > тШ), где m(u,if) > о . если и ф tf > Sn_m(u,iJ)/

\U-lf\-~ + OQ при любой фиксированной и \Cl\-*oo „

i виш U и т(1ЬгМ)-+0 .

Условие'(Aj) обобщает условие (А), вводенное в 6 А.А.Фояа-ревим. Условие сильной монотонности, предложенное эдесь, слабев аналогичного из монографии Ц.И.Вайнбарга . В дисоертации показано, что оператор, удовлетворяющий условию (А^), локально ограничен в каздой точке инояества 2J я удовлетворяет условии (Oj). Изучены условия, при, которых сумма операторов удовлетворяет условию (Ы 1 ), (О I ). Доказано, что дешшепрерывные монотонные, полумонотонные, псевдомонотонные операторы с полуограниченной вариацией и операторы типа удовлетворят условию (И^). Условия

, aCCëÔ)

11 З.Скрыпника для де-минепрерывных операторов сильнее условий (:iQ) и (Hg). В атом параграфе исследуется такяе возможность предельного перехода.

^ Фонарзв А.А. О некоторых нелинейных операторах //Дифференциальные и интегральные уравнения. Сб.научных трудов/ Иркутск. 1980. С. 155 - 166.

7

Вайнберг а.11. Вариационный метод и метод ионотоннчх операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

В § 5 изучается раарашииость уравнения (I). Пусть & -вещественное сепарабельное рэфаексивное банахово пространство, $ - открытое выпуклое ограниченное подыновество ио ,

- последовательность конечномерных подпространотв такая, что ект Вп = /г , ДгсЬ/ц-± . (Л2>п -Л * • • - „*

Теореиа БД. Пусть I) оператор /-".' % Ю непрерывен на конечноиерных подпространствах и удовлетворяет условия (0); 2) при всех выполняется неравенство

• Тогда в 'Ш найдетоя такая последовательность элементов "{/^я}* > что I) Ц^б. Вп • 2) при всех иеВ/г 5 8) Рйп О .

?Теореы$ 3.2. Пусть в условия:: теоремы 8.1 оператор удовлетворяет условию (И0). Тогда уравнение (I) имеет решение.

Теореаа 3.8. Дуоть I) пространство строго выпукло; .

2) оператор ограничен и удовлетворяет усло-

вию (Ы^); 3) для некоторого полоаительною Я и всех Ц. о \и || ^ Я выполняется неравенство ( РЦ^Ц^ > ~ \РЦ Щц ||, Тогда уравнение (I) ииает решение

и о ¡иЫ Я •

Теореиа 3.4. Пусть I) пространство строго выпукло;

2) оператор р \ непрерывен на конечноиерных под-

проотранотвах и удовлетворяет условиям (и^), (0); 8) для некоторых положительных; 'чисел и С " всех II и справедливо неравенство II) ^ ~~ С \М || ; Ч) множест-

во {иеВ: \ Fu\4C\

ограничено. Тогда уравнение (I)

имеет решение.

Несколько И8иынив условия теорем 8.3, 3.4, можно отказаться от .строгой выпуклости проотранотва $*Чоледствия 8.5, 3.6 и теореиа 3.5)'.

В § 4 изучается сходимооть аппроксимации (2), где F 1 В-В'* - монотонны* радиально непрерывный оператор, jf; ■ $ —»- В - непрерывный на конечномерных подпространствах (1^) - оператор, -.открытое выпуклое ограниченное подмножество из $

Леина 4.1. Пусть для некоторой последовательности положи—" тельных чисей таких, что <5л ~*~0 уравнение (2) ииеет

решение Un при £ = Вп такое, что Un —Ц0 ,

dUb—í ueeK={ue&: Fu = 0}%

(■f,u-j¿c) ^ О \iueK и (áuo-f,u-iO*0

VU *

Теорема 4.1. Пусть I) ; 2) выполняется

одно из условий: а) d — ¡i>~t~C , где $ имеет полуогра-ниченнуя вариации, а С ~ слабо непрерывный оператор со слабо полунепрерывным снизу функционалом

(Си, и) ; б) оператор Д ограничен; в) оператор F ограничен, а оператор d удовлетворяет условию (0) ; 3) для всех U из справедливо неравенство

. Тогда I) уравнение (2) имеет решение ; 2) множество ^/-¿¿j- при ££ LO,S¿>2 ограничено;.3) любая слабо продельная точка ыноаества {¿/gj- ПРИ + 0 является, резанием вариационного неравенства (ВН): найти Ц0 из ffc "Такой, что

(du0,u-uo)> О, УиеК\ (з)

4) если ВН (3). имеет единственное решение U0 , то при 6 —*-+0 « 5) если ВН (3) имеет единственное решение и оператор^ удовлетворяет условию , то •

6) если оператор d сильно монотонен, то L¿0

Теорема 4.2. Пусть I) выполнено одно из условя'" 2а, 26

теоремы 4.1 иди оператор удовлетворяет условию (01), а

оператор р ограничен; 2) такой, *то

для любого и из справедливо неравенство (

. Тогда справедливы заключения теоремы 4.1. ^

Следствие 4.1. Пусх'Ь I) операторы В В

монотонны и радиально непрерывны; 2) 0&/С ; В) для некоторого Я>0 и всех и на 3 таких, что|[//Ц = ^ выполняется неравенство . Тогда уравнение

(2) имеет решение о К Ц^ || ^ Я и справедлива за-

ключения 2-6 теоремы 4.1.

Следствие 4.2. Дуоть I) выполняется условие I следствия

2) Я^ 'ф

; 3) для некоторого Я>0" , 2Г6/С , Я и всех 11 о \Ы. || = $ выполняется неравенство

(с4им-1!)>0 . Тогда справедливы заключения следствия 4.1.

Условие 3 следствия 4.2 выполняется, например, в следующих 1рех случаях (замечания 4.4 - 4.6): I) оператор ^ ко-врцитивен и

Уие,5 {

при \и || -г оо ; 8) оператор - сильно монотонен.

Теорема 4.3. Пусть I) оператор

удовлетворяет условию (^) и при некоторых положительных Я , С и всех и о II й \\ > Я

справедлива оценка 2) выполняется условие I теоремы 4.£. Тогда справедливы заключения теоремы 4.°..

В § 5'изучаются условия достаточные для получения скороо-. ти оходимскт задачи "штрафа" (2). В атом параграфе предполагаем^ что операторы

»

Р% , действуют из Ь в

В* и являются радиально непрерывными и монотонным«. Оператор предполагается сильно коноюшшм, , рО) ■ »

- II -

(}(') - непрерывные полунормы в Р : Ыноаество К ~ II ~ О ]• непусто.

Теорема 5.1. Пуоть (= = и VЫ€В Зи*

и~ . и*"« и = и+ь ¿¿-;

и для всех

2Г из Л выполняется неравенство Тогда I) ВН (3) имев! единственное решение ио ; 2) уравнение (2) имеет единственное решение Ц= и при

£-*■ + О ¿¿£ ¿¿0 • справедливо неравенство

(Г1и£,ие-и0)+(г1 ие,и^)+ет(и6,

Следствие 5.1. Пуоть имеет меото разложение

и^иг+и^ , где и+€Я » К/б^Г (Ри, Ц Ю 51 • Т°ГД8 справедливы ваклвчоиия I, г: таореиы 5.1 и оценка (FU.fi , ) 7е £РП( ¿¿0) ¿.

Следствие 5.2. Пуоть I) выполняются условия следствия 5.1;2) числа Г0,£) ,^>0 , , О

таковы, что для любых и , ТГ лъ & выполняются неравен-отва

7>гп\\и-гГ[1 и \(£и„4)\ ± СлрФШгГ\г:

Тогда справедлива оценка: || || ^

Следствие 5.Б. Пусть I) выполняются условия теоремы 5.1; 2) чиола Т€ (0,1] , о^ D^ . и , /72 , ^ ,

• ^ - положительные числа такие, что для любых Ц , из $ выполняются неравенства ^ ЖИ) ,

р(и-)^рси) , , р(и*)£р(и.\

Фл и,и~) (Ли-Ж и-гО »

;> /7/ || и - 2/~ Ц^" I а длл 8лвщ,нга ¿.¿г гьледзяг-гя г. о очи о-

пенил р(ио)= О и \CJUoM ^ 4 +

+ё3ъ*-Щ)рг(гГ) . тогда \ие-и0\\4

при ОС>0,и> О , ?< £ и <¿>0. 2>0 , = при <¿>0 ,.^=¿7,

г< ^ .

Пример 5.1. Пусть I) $ и В - строго выпуклые рефлексивные банаховы пространства; 2) $ - напуотое замкнутое выпуклое подмножество из Р) ; 3) 3 I Р) $ * - оператор двойственности относительно функции ; 4) Рр*

оператор проектирования; 5) /~и= ЗС^-Р^Ц) . Тогда для решений уравнения (2) и ревеная В1{ (3) спра-

ведливы оценки _ V у

Ыие-Ли0,и6-ир^ \duM~ (еиис\),

Последнее неравенство взято из вамечания 6.5. Этот пример представляет самостоятельный инхерео: К.-Л.Дионо 5 доказал оходи-мооть, а И.П. Гаврилок а установил оценку || ¿¿0 \ С£, при атом он предполагал, что ¿С - замкнутый выпуклый конуо о вершиной в начале, оператор в целом и функция

в начала координат удовлетворяет условию Липпица и

В примерах 5.2 - 5.4 иаучаютоя уравнения "штрафа" для гадач о препятствием. £ примере 5.2 рассматривается вадача

Q

Гаврилок ПЛ. Метод штрафа для вариационных неравенств в случае конуса ограничений //Извеотия ВУЗов. Математика. 1988. Ё 12. С. 56 - 59.

о внутренним препятствием: найти /)Нд(о))

такой, что — А (ли

при Х€00 , , ^ О

на да) , С0& С0' • В примере 5.3 исследуется задача

о препятствием на границе: найти

ио €Н (иУ) такой, что

-Аи+и = / ПРИ ЖСг) х иъ-ф^^О, (и~9)-т- = 0 при Х£дсд. . Здесь ¥6Н*ССЬ>), Аб^^(о)) • С>* • в примере 5.4 изучается

следующее обобщение примера 5.3 : найти такой, что при О) , Ц—О пра

хеГи * . О при

ХбЦ » где Рц • Р^ - замкнута непереоекяадасп подмножества Ъо) > причем р имеет положитзльнув (7-мерную поверхностнуы меру, Ьо) = Ри I)Рл , у/ёу^

при , ^^ О при

хер* .

/равнения "итрафа" для этих задач имеют вид:

/ пйп (и(х) - ¥(х), О)

* + е $+ сЬ« о

40 г .

при вовх ¿/"из $ , где в примере 5.2 О - ¿V , ¿Я—С/ ,

В = Н*(й>) » в примере 5.8 сГ» да) , а~ ^ ,

$ = //^£«0 . в примере 5.4 сГ=/^ = 1 ,

$ = {и€Ц*(<д): и = 0} • Доказана оцеяна

| II£ - ¿о | 4 С^Т/С* . В следствиях 5.2, 5.3 и пр' ^пю-зэйеях 5".! 5.3 доказаны также оценки коногаят . ;

. Эта оценки здеоь не приводятся £ их гро^й;'. .,-,¿15».

В дается определение обобщенной задата ;и

• , \

отроятзя Абстрактная схема Ы50 для агой »егсча. Цуо-*» >

- непрерывные полунормы в - замкнутое подпространство, пара (ВЧР) обладает свойством (II), оператор

радиально непрерывен и сильно лонотоьен, оператор I В * является радиально непрерывный, монотонным и удовлетворяет условиям

Уи.гГеВ, и-^ёЛ: (Fu-Fir.it-гО> О,

множество ~ { В непусто.

Предложение 6.1. Пусть

произвольный элемент ыножест-ва К • Тогда К = .

Определение 6.1. Обобщенной краевой задачей в & назовем задачу: найти ¿¿~ Ц0£Л* такой, что при всех ¿Г из «V справедливо равенство

и,7Г) — О. (5)

Првдловенна 6.2. Обобщенная задачаОднозначно разрешима в /в .

Предложение 6.8. Уравнение (2) имеет единственное решение и. = ¿¿£ И при (5 -*■•/■ О Ц.£ сильно В В> оходитоя к Ц0 -единственному ранения обобщенной краевой задачи (5), при атом выполняется оценка следствия 5.1 а и = 110 ,

Предложение 6Л. Пусть оО и Л , - положительные постоянные такие, что при всех Ц из О и из

/Г

справедлива оценка (РИ^Ы.-+ ЛрГ+Чи-\1) огда

р(ие -и0) ^ (£С 14и01/-Л) ,

т(и„им (гЦ)Ог(с\Ал

Здесь и ниже постоянная' С взята из определения овойотва (П).

Предложение 6.5. Пусть I) оператор р такой жа как в предложении 6.4; 2) , о£ , С± , (Г - по-

ложительные постоянные такие, что при всех II из справедливы оценка \CJtUo, и)\ ^ С± 21~Г(и) р*(и). Тогда справедливы заключения предложения 6.3 и оценки

■(т)< Г(:1)

т(иё,им а "с^т^стРК

Предложение б.б. Пуоть и выподяяются все осталь-

ные условия предложения 6.5. Тогда справедливы заключения предлоаения 6.3 я оценка

Замечание 6.4. Иногда для увеличения скорости сходимости оператор р выбирают так, чтобы коэффициент оС из прэд-ловения 6.5 зависел от £ , т.е. о~, ,

О • ^огда оценка иа этого предложения имеют вид

рСие-иЛъб^+'+М'ЫЮ+Ъ ' сИ+сГа-'сп/г '

Коэффициенты пропорциональности вдесь такие на кап в предложении 6.5 о заменой

и

на

Замечание 6.5. Еоли оператор ¿Гц удовлетворяет «<<:^\с?чйэ Липшица видаЛ(\и\+Щ)\и~ где 6>0 . М(Ь) ~ неубывающая функция неотрицатеф аргумента. Тогда приведенные выше оценки иоано уоидитз./г'

- 16 -

(duo -áu6,u0-u¿)4 C¡áua-duei p(U6 -ио).

i Более подробно иоследуется самый проотой, но наиболее вчжный для приложений случай о квадратичными ограничениями монотонности. Пуоть для произвольных U 1 if ИЗ b И На которого W на 4£ выполняются оценки

(Fu, u-wjUpl(U -W),Ji >О,

Кроме atoro могут быть наложены ограничения вида:

I^J¡>О,

(6)

I áu-átf \ájl\U-lf\, Л^О.

(7)

(0)

Предложение 6.7. Пусть операторы á и F удовлетворяют оценкам (6). Тогда справедливы заключения предложения 6.Б и оцэнки: '

1) p(Ue-Up)4 £C\áu0\/j¿,

\иЕ-и0\\ ¿ lé/mji С IdUc \;

2) если выполняется оценка (7) и для некоторого ,

áií= О , то 1 áu01¡ ¿ CxMl ¡ Ftí\ ¡mjii-ZMWfr

8) если выполняется оценка (7) и для некоторого IÍ из /5 ,

F2Í=0 , то\áu0\¿Jt(Uií\lm^W\)^Ti\

4) если выполняется оценка (7), то | j£ll0 1 ~

■ i//*¡FOll-f- Jlju\\JcI)¡nyu

5) если выполняется оценка (В), то

\\ие-и0 и ¿ Ule *«luc II ftnju;

- 17 -

6) если выполняется оценка (¡3) и для некоторого ?f чъ ß %

О • то

7) если выполняется оценка (ß)u для некоторого lf шъ ß> , Flf=0 , то \du0\Z \\dlf\(d+M/m).

0деоь во всех оценках С - константа из определения уоло-вия (П).

В § 7 построено несколько вднкретных схеи ЫФО простай-иих эллиптических краевых задач Дирихле, иллюстрирующих результаты § 6. В этса параграфе предполагается, что cd и a)j -ограниченные облаоти Я*1 с границей класса С^ < причем

, cü^ - одш>овя8ная область, (x)£\(jü - открытое множество, компоненты овязнооти которого являютоя обдао-тяни о регулярной границей и замыкания этих компонент не пересекаются.

Задача 7.1. Рассмотрим s CÖ однородную задачу Дк^'хзэ:

найти

, удовлетворяющий уравне-

нкз:

w в Г, JS-Я)/* , л р

£ у

где

. Под решением задачи 7.1 мы понимаем обобщенное решение. уд

Предложение 7.1. Задача: найти U = UgdWp такой, что л

af(vuvu) '\uvifdx+£J\u\s'*uifd^

cüj\co Ct)j\U)

+ tj(vuvu) vuviidx- afaclx^o

eOi со

а^О, 4&0, а+.ё* О, О,

при всех ^ иг (сО^) имеет единственное решение

1Ц=ие и при и6 . Ш 1'д, -

обобщенное решение задачи 7.1 и , при аюк

выполняется оценка: \Цс~ Ы.Л /с, ^ С, где

I)/ = если а>о , \

Ь А = 1/(3-IX3-3) , *™а>0 ,¿>0,

3) А = *°**а>о , ¿с>0,

4) А = гЛ - $) , если

Х>0 . ¿/^ ,

вой а = 0

6)воли а-0% ё>0 ,

, а^ -

облаоть, $ % } _

8, волн О , -

облаоть,

В предложении 7.1 описано четыре схемы МО для и $ ^ ¿2. . Две первые и две последние схемы но требует включения в

т.к. доказательство оценок основано не на мультипликативных оценках, а на (И) овойотве соответствующей пары С р) •

. Задача 7.2. Пусть теперь о)^ параллелепипед о ребрами параллельными ооям координат и характерным размером £ -

= . где - длины соот-

ветствующих ребер. Рассмотрим в а) неоднородную задачу Дирихле:

mm(a0(cc.),û)^-6jU0/L\

При этих условиях уравнение имеет единственное обобщенное решение Uc

Предлоаание 7.2. Пусть множество Ci)¿\OJ является

областью. Тогда вспомогательная задача: найти U — г d

такое, что при всох V из Н0С^±) справедливо тождество LÚJALO V

6 U X aH *í¿+ о, е>о

имеет единственное решение ¿¿= Ug и при £ У- О i-is сильно в HqC^i) сходится к ио , где L¿0 j^ - ofo<f— щенноа решение исходной краевой задачи, цоJ •= ^

и выполняется оценка |¡ Ug~ Ис\ ^^(cû^) ^ CS^' ''Р112^^1^ таете формула для оценки константы £ .

В предложении 7.3 дается описание еца четырех схе^г .-^дачи 7.2 без предложения ^ ~ область.

В ¿ 8 рассматривается построение схем iiüO для второй и' третьей краевых задач. Доказывается возможность примаие--'л МФО для неоднозначно разрешимых задач Не:1ь;ино.

В § 9 показано, что некоторую задач . .;-,'па задача)"ак-

ции можно рассматривать, как обойденную краевую задачу. Дано построение схеи МФО для некоторых таких задач.

, В § 10 дается обоснование первого и второго вариантов для задачи о внутренним препятствием (частный случай - препятствие класса ). При доказательстве оценок скос

рости сходимости здесь непосредственно используются результаты § 5.

В § II дается обоснование схеьш UvO для одного класса вариационных неравенств и при помощи этого результата обосновывается первый вариант ¿100 для задачи с внутренний препятствием (обций случай - препятствие класса J-j (и)) )• В § 12 изучаются аппроксимации типа

Fdu + ¿Fzu-r ЯU в О.

Даются приложения этой схомы для обоснования MÍO смевашшх краевых задач и некоторых задач типа задачи дифракции.

Автор глубоко благодарен академику В.С.Владимирову за постоянное внимание к работе, почоць и поддержку.

По теме диссертации опубликованы следующие работы.

1. Трушин В.Б. О ранении некоторых нелинейных уравнений и вариационных керавэаств//ДАН АН CCCP.I9o9.T.S09.ü2.C.289-292.

2. Трувин В.Ь. Применение метода (¿иктивьых областей в реые-нии некоторого вариационного HapaB9hüiBa//HeK0T0pbie проблемы математики в задачах физики и механики. Меадувед.сб./ U.: Ша, I9tíó. С. 74-76.

3. Трушин В.Б. Об одной обцей схеме метода активных областей //Проблемы современной математики в задачах уизики и ue-ханики. ¡¿евдувед. сб./ü.j Ш. 15а9. С. 11ч - 121.