Об оценках колебаний параметрически возмущаемых систем с двумя степенями свободы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА ~ 5 ДПР МЖАНЖО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

АЛЕКСАНДРОВА ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

УДК 534.014

ОБ ОЦЕНКАХ КОЛЕБАНИЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЮЭМЦШЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ

Специальность 01.02.01 "теоретическая механика"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993 год

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель:, доктор физико-математических наук, профессор Ю.А.Архангельский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.Р.Либерзон

кандидат физико-математических наук, доцент В.Н.Жермоленко

Ведущая организация: математико-механический факультет Санкт-

Петербургского государственного университета

Защита диссертации состоится "23" 1993 г.

в /'б час. на заседании специализированного совета Д 053.05.01 (№ I по механике) при Московском государственном университете игл. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, зона "А", ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета М1У.'

Автореферат разослан " " Л1£>/)7гг 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Линейные нестационарные системы под действием возмущений, известных с точностью до функционального множества и их устойчивость изучались с 30-х годов с использованием различных методов. С развитием этих методов стало возможным построение конструктивных оценок колебаний подобных систем, связанных с возможностью возникновения резонансных явлений.

Цель исследования - построить оценки колебаний систем с двумя степенями свободы, которые бы не могли бы быть превышены, как бы не изменялись в определенном классе функций аддитивные и параметрические возмущения, действующие на систему. Используя возможность возникновения резонансных явлений, найти необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости изучаемых систем.

Научная новизна и практическая ценность. Рассмотрены полусвязанные и связаные линейные нестационарные системы с двумя степенями свобода, находящиеся под действием возмущений, известных с точностью до функционального множества. Построены оценки колебаний решений этих систем, найдены необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости систем, связанные с возникновением резонансных явлений. Рассмотрены некоторые системы с /г степенями свободы, изучение которых проводилось с помощью введения квадратичной формы без требования отрицательной определенности ее производной.

Результаты работы могут быть использованы для получения сведений об абсолютной устойчивости линейных нестационарных систем с возмущениями, известными с точностью до функционального множества, а так же для того, чтобы оценить возможности максимального роста амплитуды колебаний решений системы.

Методы исследования в диссертации: анализ поведения траекторий в фазовом пространстве и принцип максимума Понтрягина.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на се-

минарах кафедры теоретической механики механико-математического факультета МГУ

по теории устойчивости под руководством акад. В.В.Глянцева и проф. Ю.А.Архангельского,

на семинаре "Билинейные задачи механики управляемых систем" (руководители проф. В.В.Александров и д.ф.н.н. В.Н.Моро-зов)^на^международном семинаре памяти А.М.Ляпунова (ишь 1992г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Работа изложена на /¿^страницах. Приложение состоит из 20 рисунков. Библиография диссертации насчитывает ¿¿Г наименование. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-43 .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В § I главы I дается постановка задачи оценивания возможных колебаний в динамической системе:

где

где О, _ кусочно голоморфная

функция I

и рассматриваются различные виды возникающих вариационных задач анализа.

В § 2 рассматривается полусвязанная линейная система с двумя степенями свободы, на которую действует аддитивное возмущение

I Л + + (I)

I Л +¿>4 Л

где } (2)

>о, к- >о ¿*> , >с? ; хго)=о.

Когда все корни характеристического уравнения, соответствующего системе (1)(2), являются вещественными при любом ¿¿ГО;*™) для переменных Х< и Хг найдены максимально возможные значения для любого момента времени -¿/ (0J .

Когда все корни характеристического уравнения являются комплексными при любом / для решений J

уравнений (I) на фазовых плоскостях {х,^ X,} и найдены замкнутые предельные циклы С и с', за пределы которых траектория решений системы (1)(2) не выходит при любом

¿V-; к

В качестве примера системы (1)(2) рассмотрены уравнения движения купуло-эндояимфатической системы полукружных каналов вестибулярного аппарата человека.

В § 3 рассматривается полусвязанная система с аддитивным возмущением \Zcfi) Б первом уравнении системы и параметрическим возмущением во втором уравнении, принадлежащие классу функций У :

/ X + * К (3)

I Хг * 14/У)Х2 +АЬХ/ = 0

где КГ-); £ (кг-), ^Г') ¿Ж/М ^

} (4)

Для переменной в (3) в случае отсутствий диссипации

^ - О) в каждый момент времени , где производ-

ная уг {■£) обращается в нуль, получена реккурентная формула для максимальных значений /г* - X/ {£п) , являющихся оценками сверху для значений /2 {¿„) , за пределы которых переменная Хг не выходит.

С = ¡/¡му^^ ' *

у;

-га

ГД8 ^

X/ — -гт V,

В случае, когда коэффициент диссипации во второй парциальной системе больше определенной величины ¿Г* .* <?г >

доказано существование замкнутой кривой, за пределы которой переменная не выходит. В случае, когда коэффициент

диссипации достаточно мал ^о £г < доказано су-

ществование экспоненциальной оценки, характеризующей рост колебаний переменной Хг :

2 * = (?£>/>/£ у с*. > осо> р

В главе П находятся оценки собственных колебаний полусвязанных систем и исследуется их абсолютная устойчивость.

В § 4 рассматривается полусвязанная система без демпфирования под воздействием параметрического возмущения, принадлежащего классу функций:

Г X, * = О (5)

{ Хг - ъхг +#гХг=0

Рассмотрены два случая:

I. V, = гол*? = !/г /?)

В этом случае найдена реккурентная формула для значений

-

V = Лг &2 / ¿'г где ¿?г - константы из выражения для ✓///V) , определяемые из начальных условий; за пределы которых переменная Хг/г?) в моменты , где производная обращается в нуль, не выходит.

II. \/г = сел!£ ^ У, = Г,

К*}, ' (7)

, 1/,~ * Ъ * К*

В этом случае найдена точная оценка роста переменной на интервале ¿г] , где /г {■£,) =0 > - первый

после ¿ = С? момент, где /г ~ ¿2 . Параметры оценки определяются при решении трансцендетного уравнения. Продолжая построения таких оценок с интервалом Лу , получим оценку роста колебаний системы (5)(7).

В § 5 определены понятия колебательности и неколебательности полусвязанной системы. Рассмотрены два случая когда параметрическое возмущение присутствует в первом уравнении системы или во втором:

х> + к я = О (в)

■Л '¿¿г. А+ К.Х1 +

I) Уг =

; ^ К= /V,/"•) £ №/ (9) .

2) V, =

1/2 = И^)

(?< *} (Ю)

Решение системы (8) неколебательно, если решения первого и. второго уравнений У* /г!) и У г ) будут неколебательными. Будем говорить, что решение системы (8) колебательно, если колеблется решение хотя бы одного уравнения (8) при каком-либо возмущении <£ V для случая (9), и Для случая

(Ю).

Решение системы (8) в случае (9) и ч случае (10) неколебательно, если корни соответствующего характеристического уравнения являются вещественными. Системы (8)(9) или (8)(10) являются абсолютно колебательными, если решение Уг шш Л'г будет колебательным при любом возмущении у,/.) е или

Ч V соответственно.

§ 6 непосредственно связан с § 5. В нем системы,описанные в § 5,исследуются на предмет абсолютной устойчивости с использованием разбиения их на колебательный и неколебательный классы. Получены следующие результаты.

Утверждение. В случае неколебательности система (8)(9), её тривиальное решение будет абсолютно устойчиво, если все параметры системы положительны.

Теорема. Тривиальное решение системы (8)(9) или (8)(10) в подклассе или {¿г ^ соответственно, абсолютно

устойчиво тогда и только тогда, когда выполняются следующие

условия- >0, <?г У О; >0 -и демпфирование соответству-

ющей парциальной системы удовлетворяет условию:

где - единственный корень уравнения

. / а * , л-, - £ <

= Я-я^е&^А ^ а^гб? /А

' . , М- -/ '

Г(/р) - монотонная функция (-{г..

Для случая, когда ]/, = I/, ^ ¡4 = ¿^

М, М) II)

верна

Теорема. Для абсолютной устойчивости абсолютно колебательной системы (8)(II) (т.е. при ¿",2<? ¿гг * 14"* ) необходимо и достаточно, чтобы все параметры системы были положительны, а демпфирования и удовлетворяли неравенству:

где - единственный корень уравнения + //<?•

Я/А^ , Л'&'е ,

где имеет тот же вид, что и в предыдущей теореме.

В Щ главе рассматриваются связанные системы с двумя и П степенями свободы.

В § 7 исследуется абсолютная устойчивость тривиального решения связанной системы под действием параметрического возмущения, определяемого с точностью до функционального множества:

X, У,- < ЯХг ' 0 (12)

Л 4<?<*г Уе. * УгХг * /^гУг

и/.) мс/с^и,VК®±Г, ¡Щ/Ь)/ ^/

) (13)

Исследование системы (12) проводится с помощью сведения ее

к одномерной системе .четвертого порядка:

г,™ * <?(<?, -ег) г/л)ф2 + +к ' * Ъ +<?г V, &)) Лг -К Х^г^Я Ц4)

Шделяются колебательный, абсолютно колебательный и абсолютно неколебательный подклассы систем ввда (14)(13). Находится необходимое условие абсолютной устойчивости тривиального решения ГУрвидевой системы (14)03).

Георема. Для абсолютной устойчивости тривиального решения Гурвицевой ( >0, ^>0, V,' системы

(14)(13) необходимо выполнение одного из следующих двух условий: либо система (14)03) является абсолютно неколебательной по второй производной, либо ^Р Зур 2,2 №

пта краевых условиях ]//-60}= 1//^ ')- ^ , И" ¿ГУ^ У] >

¿¿^¿лЬ

где /Г - коническое множество достижимых прямых,

Прямая £ из этого множества называется достижимой, если существует такое возмущение V, (•) £ V/ , что ¿{¿с)с£ и через конечное время (■£, с £ Таким образом,

момент -¿£ - это первый момент времени после ¿о , когда решение системы приходит на прямую € из множества £ . Находится достаточное условие абсолютной устойчивости системы (14)(13).

Теорема. Для абсолютной устойчивости^аосолютно колебательной 1Урвицевой системы (14)(13) достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Лор г^ЛУ <£(¿1) <х

г V

где X = 2?

при краевых условиях 2) /^о) - X ,

¿е *

л-

У - расширение множества V : У= ( V, - ^

- соответствующее множеству У расширение множества ^ В силу эквивалентности систем (1^)(13) и (14)(13) необходимое и достаточное условия абсолютной устойчивости системы (14) (13) являются необходимым и достаточным условиями абсолютной устойчивости и для системы (12)(13).

В § 8 рассматривается линейная параметрически возмущаемая система с п степенями свободы с возмущениями, принадлежащими классу функций:

')*+ (15)

где (р; V) ¿ТА IИ//.; У* V*,

где УП) = р[±)>

при любых (ру~)<аУ .

Исследование проводится с помощью введения квадратичной формы

¿е , являющейся полной энергией системы и изучения

возможности возникновения резонансных явлений для /¥) .

Вводятся понятия колебательности и неколебательности системы по энергии. Находится необходимое и достаточное условие абсолютной устойчивости системы (15).

Теорема. Для абсолютной устойчивости дкссипативной системы (15) необходимо и достаточно условие: либо система должна быть абсолютно неколебательной по энергии, либо в ней невозможен параметрический "резонанс"по энергии на любой почти достижимой прямой из конуса ¿о/'/?, V) , 'где (р, !/) £ "И?

Млее рассматривается связанная система с двумя степенями свободы:

У, +<?гх< + + #,Уг

/г + + Ъ &)Хг. * У< = #

где параметрическое возмущение присутствует и в первом,и во втором уравнении,и' V, - )/г ) - ^-) , причем

(IV)

Бее параметры системы являются положительными постоянными величинами ( р, > 0, ¿¿I ?■ с? > 0 ) • Исследование проводится с использованием квадратичной формы - 2 + Уг г)

Условия гурвица для системы (16)(17) выполняются при (К) -ККг>0 В случае, когда все корни характеристического уравнения, соответствующего системе (16) комплексны, т.е. при выполнении условия V\[¡г, (18) находится необходимое условие абсолютной устойчивости системы (16).

Теорема. Необходимым условием экспоненциальной абсолютной устойчивости тривиального решения ГУрвицевой системы (16)(17), (18) является условие:

V 3 '

при ¿еГ-£0)>о,

у/¿о); лежат на любой достижимой прямой £ ^

Для частного случая системы (16), когда - = А? получили следующую

Теорема. Тривиальное решение абсолютно колебательной гурви-цевой системы (16)(17) при /¿, = #2. = ^ экспоненциально

абсолютно устойчиво тогда и только тогда, когда выполняются условия I) г)<£ , 2) + £

где

Щ5^) Щ^А

В § 9 рассматривается линейная параметрически возмущаемая система п -го порядка:

X = ^Мх (19)

где

¿¿Г 0)

где I

Будем рассматривать у^ в виде

= Л, + ГуЦ (21)

где - 1урвицева матрица ^

- постоянная матрица . Используя квадратичную форму

матрица /-/> О является решением уравнения Ляпунова

¿/'/'о) =/г ,

где _ отрицательно определенная матрица,

- производная квадратичной формы <£ в силу системы (19). И используя оценку, полученную из неравенства Горбуно-ва-Разумихина для системы (19) *

р У /"тая

гд- максимальный и минимальный корни характеристического уравнения ¿/e¿ & > уЧтах - максимальный корень характеристического уравнения ¿УеУ найдено алгебраическое достаточное условие абсолютной устойчивости системы (19)(20) в случае (21).

Теорема. Для абсолютной устойчивости системы (19)(20) в случае (21) достаточно выполнения неравенства:

\Z~ftnaxfV*) >(]/')• V* .

Поставленные задачи и полученные результаты иллюстрируются лтлме^ами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степаненко Н.П., Александрова О.В. Стабилизация твердого тела посредством трех рам гирокомпасного типа. Вестн. Моск. ун-та. Сер. I., Математика, механика, 1990, й 4.

2. Александрова О.В. "Обобщенный резонанс в колебательной системе". Вестн. Моск.ун-та. Сер. I. Матем., мех. 1991, № 2

с. 89-92.

3. Александрова О.В. "Обобщенный резонанс и предельный цикл на фазовой плоскости". Российско-кубинский сборник научных статей "Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение" (в печати).

4. Александрова О.В. "Оценка колебаний постоянновозмущаемых систем". Вестн. Моск. ун-та. Сер. I. Матем., мех. 1993,(в печати).