Об усреднении некоторых задач для системы уравнений Максвелла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ррд УНИВЕРСИТЕТ

О •'■'■•Г} и

' < На правах рукописи

НАЗАРОВА ОЛЬГА АЛЕКСЕЕВНА

ОБ УСРЕДНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ ЫАЙСВЕЛЛА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени . кавдвдата физико-математичеекит наук

Владимир 1994

Работа выполнена вг Владимирском государственном университете.

Научный руководители - доктор физико-математических

наук, профессор В.В. Жиков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук,. профессор Г.П. Панасенко, кандидат физико-математических наук, доцент 0.0.'Барабанов.

- -

Ведущая организация - Физико-технический институт низких

температур АН Украины.

Защита диссертации состоится 'ßlttcU^ 1994 г. в №

&1.

часов на заседании Специализированного совета К.113.31.01 при Владимирском государственном педагогическом университете по адресу: 600024, г. Владимир, пр. Строителей, д.11, аудитория 236. • -•С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан " ¿1 ¿-¿¿^^

1994 г.

Ученый секретарь .

Специализированного совета

К.113.^1.01 при Владимирском

государственном педагогическом _

С _ ». а f. га г, - , :

университете, доцент С.Е. Степанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Во многих областях современной тех-ики широко применяются материалы, имеющие' периодическую труктуру. Процессы, протекающие в таких материалах, как равило описываются _ уравнениями с бысгроосцилдирующими коз4)-мциентами. Такие уравнения возникают .например, в теории »млозитных материалов, в.теории электромагнетизма. Решение »тих уравнений сопряжено с большими трудностями. ' В связи с >тим появляется необходимость построения усредненных моделей гаких задач, , . ' •

Отметим, что отдельные задачи усреднения уравнений с 1аотными производными рассматривались еще • в прошлом веке ■слассиками естествознания Пуассоном, Максвеллом, Рэлеем, . Систематическое изучение физических: задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными, было начато в, 70-:е годы: " :

Теория. усреднения краевых задач в перфорированных областях и тесно связанная с ней теория, дифференциальных уравнений с быетрсюсвдшшрувдими коэффициентами в настоящее время интенсивно развивается многими отечественными и зарубежными математиками, .

'. Уравнения .с быбтроосциллирусщими коэффициентами дивергентного вида впервые рассматривались•в работах Е.Де Джорджи • и С.Спаньоло, Е.Саячес-Паленсия, Н.С. Вахваловз, Е.Я. Хрус-лова, В.В. Яикова, с.Ы. Козлова, 0. А. Одейник и других. ' т-

К настоящему времени имеется огромная литература по теории усреднения и связанными с ней прикладными задачами.Сюд можно отнести работы .В.А.Марченко,Е.Я.Хруслова,А.Бенсауса на, Ж. JI. Лионеза, Г. Папаниколау, Е. Санчес-Паленсия, H. С. Бахвало-ва, Г. П. Панасенко, В. 8. Никова, 0. к. Олейник, С, M, Козлова, Q.O. Ба-рабанова,M.М.Сиражудикова и др. •

Отметим,.что вопросы усреднения для стационарного ураЕ - нения Максвелла рассматривались в книге А. Бенсаусана, ÏÏ.J Лионса, Г. Папаниколау [13, для нестационарной системы ypai нений Максвелла в книге Е.Санчес-Паленсия С2], а также в рг боте C.B. Мозолина £3] и др.

Целью работы является общая задача усреднения уравнен) Максвелла вне периодической, системы идеально-проводят; включений. Такую задачу принято называть "задачей об искус твенном диэлектрике". . .

Некоторые частные; случаи -этой задачи рассматривались книге В.А.'Марченко, Е.Я. Хруслова £43 . '.

Общая' методика исследования. В диссертации используют методы теории дифференциальных уравнений.в частных произве ньи, функционального анализа, математической физики, теос электромагнетизма, различные приемы усреднения (метод ас га. готического разложения, метод компенсированной компактное!

Научная новизна. ■ В диссертации получены следующие hoi результаты:у

1. Доказана теорема об усреднении для стационарного ураи ния Максвелла о идеально-проводящими включениями.

2. Доказана теорема об усреднении для нестационарной сист<

■-•/.. - а -

уравнений Максвелла с идеаль.но-проводящими включениями и. показано, что начальное условие для электрического поля в усредненной, системе отлично от исходного. 3. Для стационарного уравнения Максвелла с включениями рассмотрено асимптотическое ' разложение и дана оценка разности мевду первым приближением и точным решением.

. Теоретическая и практическая ценность. Результаты,полученные в диссертации и развитые в ней методы, носят теоретический характер.и могут быть использованы для исследования краевых задач в теория композитов,' теории электромагнетизма. Результаты диссертации могут быть рекомендованы для чтения спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где ведется работа по-близкой тематике, например, в-Московском государственном университете, Харьковском государственном университете, Воронежском государственном университете и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Харьковском1 государственном университете (1989 г.), Воронежском .государственном, университете (1994 г.), на научных конференциях профессорско-преподавательского состава во Владимирском государственном педагогическом университете (1990, 1991, 1992.и 1993 гг.), а также на семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством, профессоров В. В. Жикова и А. П. Солдатова' во Владимирском государственном педагогическом университете.

Некоторые-результаты диссертации приведены в книге В. В. Жикова, С.М. Козлова, .0.А. Олейник [51,

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-Г9). , ' ,

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит и введения, трех -глав и списка литературы из 52 наименований включая работы автора. Объем работы составляет 90 страни машинописного текста.. .

• СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. -

Во введении дан краткий обзор.работ, посвященных исследованию краевых задач для эллиптических уравнений с быстро-осциллирующими- коэффициентами, описывающих.процессы в сильн< неоднородных средах с периодической. структурой, ' иэлагаюта 'основные результаты диссертации.

• «'

В первой главе приводятся определения некоторых функциональных пространств, дается постановка задачи и доказываете: основной результат об .усреднении стационарного уравнеюн Максвелла. '- . ; ..

Постановка задачи.Пусть в пространстве. дано множество Р~ .Будем считать,что замкнутое множество /\ периодическое и дисперсное. Последнее означает,что оно распадается. на непересекающиеся компоненты ("зерна", "включения"), каждая компонента гомеоморфна шару и представляет собой кусочно-гладкую замкнутую ограниченную область,приче» ■ячейка периодичности О пересекается только с -конечным числом (компонент. Очевидно, что и этих условиях мнсжеси Р связно.

тФ. ф

ф ф ! , .

ф ф

" , . -

Пусть Р^ ' € -гомотетическое сжатие

Р г С 1 раз. '

'Множество ^ будем рассматривать как идеальный проводник. ; таком случае вне проводника,го есть в. области , для

' и£

1Лектрического поля и имеем следующее уравнение:

, (1)

и краевое условие:

: с и**л , ■ ■

где У *Я -тангенцильная составляющая вектора 2/

шьн; ^

А.Здесь (Г , измеримые положительно опре-

• *' * : * - 1 деленные матрицы:. . ' .

II ±с < hl , ?fl<a . .

основной результат главы ! составляет следующая теорема. Теорема 1.1. Пусть Р -периодическая дисперсная структура в R3, -решете задачи(1) ¿продолженное нулём на Eg, Тогда при £ —+ 0

г/*-^ г/° - tot u^T&tу

слабо в

где ^ -решение усредненной задачи:

((£°)"го£+ а°г/° = £

.(г):

л0

причем матрицы 2- , <и. -положительно.определенные. ■

Усредненные матрицы. € > & определяются с помощью следующих соотношений!• • .

иен^оур) у ' 7 1

' "-V V (3)

£ ч^ С ^ ^ ;

ЗдесьН/О^Ф-эчо замыкание множества всех гладких пери-. одических функций по нормэ^/^' +1^¿у^ ^

^¿зл (О/ -множество всех соленоидальных векторов из ¡^(^ имеюшдх нулевое среднее.

о

Известно,что матрицы С и <£с симметричны и положительно определены, : *

Матрица^ & соответствует так называемому хесткому усреднению,а матрица ^ -мягкому.

Мы видим,что усредненное уравнение (2) соответствует некоторому однородному диэлектрику, г.сйтому сама задача носит казвание"задача об искусственном диэлектрике".

Доказательство теоремы об усреднении опирается на следующую лемму о продолжении. >

Лемма 1.1. Для всякого вектора Р> '

ре Ь*(!Яг\Р)\ Мр е Ьг(1Я*\Р) -

существует продолжение

pcL'Wy^píVf**),

такое, что выполнены оценки 'л п

$ lpi2a* < с0 [ j irotpikv,

5 (го$.р1*о£л. ¿ c0 5

с константой С»g , не зависящей от С . ■

' Последний параграф этой главы посвящен некоторому обобщению исходной задачи» которое состоит в следующем. _

С математической точки зрения на идеально-проводящих включениях диэлектрическая постоянная равна бесконечности, а магнитная;- нулю. Обычно в физических задачах допускается, что диэлектрическая проницаемость велика (конечна), а магнитная - мала..

Это значит, что диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость имеют соответственно вид:

на

/Г - Г € с на Я*'

i $1 #<$</ с

- ' на

й. =í 4 иа

Я •

где ° - малый параметр.

>

Так, наряду с геометрическим параметром € появляется физический малый параметр $ . Соотношение между этими параметрами может быть любым. Поэтому естественно рассмотреть соответствующую задачу; когда В и § стремятся к нулю * ■ независимо.,____.... ' ; , . .

Итак, пусть V £ , & ^ - решение задачи

5 уокс + § и £> ъ<ц. уо(<£. ч- -

-+ 3 го£ и£>ьга1 цсьх *<Г'Г -;

'л3'- ■■ ■ : ■ -

Имеет место теорема.

Теорема 1.2. При 0 имеют место соотношения

и° ь ¿7*0, ¿2Щ

где ¿/ - решение.усредненной задачи (2). .. '

Во второй главе для решения задачи (1) построено асимп- . тотическое разложение и. дана оценка разности между первым , приближением и.точным решением задачи (1). Эта оценка.имеет ^ вид: ■ ' "'.. '

Первое приближение находится в виде .

где у =■ £ & , функция т периодический по £

вектор, у ^ периодическая по ^ функция, V -

полный градиент функции V . Константа £ зависит от нулевого приближения. , .

Здесь У^ЗС^) и выражаются через • ^ и

решение вспомогательных периодических задач.

« >

В третьей главе рассматривается нестационарная система уравнении Максвелла вне системы К' идеально-проводяидах включений.

В подходящих единицах измерения имеем систему:

Г М . <4,

€ ~эТ - -"¿-и,

.В работе устанавливается разрешимость этой задачи с помощью теории полугрупп.'А именно, систему уравнений Максвелла можно записать в виде:

а зм _ А

с Ш - _ А -

Ч=о= Ъ , У г. ,: Гч, Уг £ ) }

где £ , - это оператор 2'()£ , заданный соответ-

10.-V-

отвенно на следующих подмножествах из

Здесь

Н (и* > гскис11(жЩ]

Н о (г&С7 Ш3\Р£ ) = ^ замыкание Н(го£&

Проверяется, что оператор

■Л'

(О А Г

г А£ : О

с естественной областью определения

является кососамосопряженным в ^¿^/¡Я3^})- .

Поэтому разрешимость задачи (4)"следует из классической теоремы Стоуна. • _

. Основной результат этой главы сформулируем в термина*

с •■ . , ,

электрического поля . ' Ы-, . которое считаем продолженным нулем на . '. "'■'.'

Теорема 3.1. Пусть Р - периодическая дисперсная стру] тура в И - решение задачи (4). Тогда при

и?{зе} I) и?^ Ь) ^ Ъ^Х[0Т])(У

где - первая компонента решения усредненной задачи:

•'■■'•■-. 11Г а0. ге* и'■■•

¿'.Г*6*'

У*?«').

где ¿2. , (С - те же усредненные матрицы, что и выше.

Таким образом, мы видим, что в искусственном диэлектрике - диэлектрическая постоянная соответствует "жесткому" усреднению, а магнитная - "мягкому".

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору В.В.Жикову за постановку задачи, руко-

I

водство и постоянное внимание к работе.

-ж-

ЛИТЕРАТУРА. - -

1. .Bensoüssan-A., Lions J. L., Papanicolaue.. Asymoptotic Analysis for Periodic,Structure.,- Amsterdam: Noth Hoiland; ' 1978. - 5Ш-'р. '

2. санчес-паленсия E. 'Неоднородные среды и теория колебаний. -M.: Мир, 1984. - 400 с.

3. Мозолин* C.B. Об обосновании, осреднонных задач линейной вязкости и электродинамики //УМН. - 1983. - Т.38, N5. -С. 143.

4. Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с ■мелкозернистой границей. - Киев: Наукова Думка,'1974. - 277с.

5. Никое В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднение дифференциальных операторов. - М.: Физматлит, 1993. - 464- с.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ: . '

6. Назарова O.A. Асимптотическое разложение для-задачи, об искусственном диэлектрике. - Деп. в ВИНИТИ 25.02.87, N1339-B , 25 с. : ...

7. Назарова O.A. Задача об искусственном , диэлектрике для стационарной . системы уравнений Максвелла. '- Деп. в ВИНИТИ 14.07.88, N5675-В, 16 с. • : . '

8. Назарова O.A. Об одной задаче усреднения для системы уравнений Максвелла // Матем. заметки, 1988, т.44, N2,

С. 279 - 281. , ' • '

9. Ников в.В., Назарова O.A. • Задача об искусственном диэ- . лектрике // Исследования качественных' свойств решений краевых задач. - Воронеж: Издательство ВГУ, 1991 г., С. 18 - 27. '.