Объемно-температурная зависимость коэффициента Грюнайзена тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

Оз

^ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕЛ\ ХИМИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ --

•V

На правах рукописи

МОЛОДЕЦ Александр Михайлович

ОБЪЕМНО-ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАЙЗЕНА

01.04.17 — химическая физика, в том числе физика горения

и взрыва

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

. V .

Черного/овка 1998

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов Н. М., доктор технических наук, профессор Кондриков Б. Н., доктор физико-математических наук, профессор Губин С. А.

на заседании диссертационного совета Д 200.08.01 в Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, Московская область, Черноголовка, ИПХФ РАН, корпус 1/2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем химической физики РАН.

Ведущая организация: Институт высоких температур РАН (ИВТАН)

Защита состоится «.

£0 » о/стл^и мК

г. в

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Юданов А. А.

"2) Институт проблем химической физики РАН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Коэффициент Грюнайзена устанавливает связь между тепловым давлением и плотностью тепловой энергии и является одним из ключевых термодинамических параметров в проблеме уравнения состояния твердого тела. Этот параметр обусловлен ангармоническим характером колебании атомов кристалла. При небольших изменениях объема и температуры твердого тела ангармонические поправки сводятся к минимальным, но не нулевым значениям. Так. целый ряд теплофизических свойств кристалла, проявляющихся при любой температуре удается объяснить только при учете ангармонических членов в энергии взаимодействия атомов. Наиболее известное из них - тепловое расширение. В этом же классе эффектов находится и отличие от нуля коэффициента Гргонайзеиа. Максимально возможное упрощение в описании ангармонических эффектов заключается лишь в том. чтобы свойства, обусловленные ангармоничностью, считать постоянными. Например, зачастую коэффициент Грюнайзена принимается индивидуальном константой материала. Но это приемлемо только при небольших изменениях объема и температуры. Недостаточность этого приближения ощутимо проявляется уже при описании сжатия конденсированных сред в ударных волнах, генерируемых химической взрывчаткой и прогрессивно возрастает по мере увеличения сжатий и температур. При описании же поведения конденсированных сред в экстремальных условиях, например атомных взрывов или в ядрах планет, приближение постоянства ангармонических характеристик абсолютно неприемлемо. Таким образом, установление зависимости коэффициента Грюнаизена от объема и температуры является актуальной фундаментальной и прикладной проблемой.

Цель работы. Поиску достоверно:! объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнаизена посвящена обширная научная литература, которая исчисляется сотнями публикаций. При этом применяются самые разнообразные подходы: от сугубо эмпирических до квантово-механических. К настоящему времени получено немало важных результатов об объемно-температурном поведении " коэффициента Грюнайзена. но. тем не менее, окончательного решения этого вопроса еще не найдено. В соответствии с этим цель данной работы заключалась в нахождении достоверной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена как явной функции объема и температуры.

Научная новизна, В работе установлена общая закономерность для объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена в виде попои аналитической функции объема и температуры. При этом в основ)' вывода объемной зависимости коэффициента Грюнайзена положены законы ударно-волнового скатия монолитного материала. Объемная зависимость дополнена температурной составляющей и показано, что найденная объемно-температурная зависимость коэффициента Грюнайзена соответствует реальности при многократном увеличении температур и сжатий.

Установленная объемно-температурная зависимость коэффиц.!С-.па Грюнайзена задает новые закономерности для таких ключевых ocw. твердого тела, как объемная зависимость потенциальной энерг.ч,' и объемно-температурная зависимость характеристической температуры. ¡?ти ключевые функции в авторском виде, будучи встроены в выражение дня изохорно-изогермпческого потенциала твердого тела. позволяют единообразно и точно интерпретировать теплофнзические свойства разнообразных кристаллических твердых тел как в обычных условиях, так и в области высоких давлений (до сотен гигапаскалей), температур (до нескольких тысяч градусов) и сжатий (многократного уменьшения объема).

Практическая значимость результатов псследопаний. Авторское соотношение для объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена позволяет преобразовать частные зависимости коэффициентов Грюнайзена различных материалов в единый график, отражающий общую закономерность поведения коэффициентов Грюнайзена различных материалов.

Разработана процедура построения изохорно-изотермического потенциала твердых тел. Эта процедура сформулирована в виде немногочисленных, четко оговоренных правил, совокупность которых можно расценивать как рекомендации по использованию теоретических выводов диссертации в практических задачах расчета уравнений состояния и других термодинамических свойств твердых тел вплоть до сотен гигапаскалей и многократного уменьшения объема.

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в

1. Молодец A.M. "Функция Грюнайзена. определенная на основе закономерностей ударно-волнового сжатия монолитного материала." // Доклады АН, 1995, т.34!. Ко. 6. С.753-754.

2. Молодец A.M. "Функция Грюнайзена и нулевая изотерма трех металлов до давлений 10 ТПа." II ЖЭТФ. 1995. т. 107. в.З. С.К24-831

3. Molodets А..М "Universal Gruneisen Function for Condenced Matter"// Builetine of the American Physical Society, 1995. v40, No.6, P.1391.

4. Молодец A.M. "Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред." //ФГВ. 1995. T.31.N0.5. С. 132-133.

5 Molodets AM "Gruneisen function and zeroth isotherm up to 10 TPa"// in The Current State

md Future of High Pressure Physics; Troitsk, Russia, September 7-9 1995, P 43

). Молодец A.M.. Молодец M.A. "Температурная зависимость функции Грюнайзена

симических элементов" //Химическая Физика, 1997, т.16. No.5. С.117-121.

1. Молодец A.M. "Изохорно-изотермический потенциал и термодинамика ударного

:жатия твердых тел" // в сб. XI Симпозиум по горению и взрыву. Черноголовка. 1996.

Химическая физика процессов горения и взрыва, т.1, часть вторая. С.333-335.

Молодец A.M. "Уравнение состояния твердых химических элементов" // Доклады \Н. 1997. т.353. No.5. С.610-612.

). Молодец A.M. "Изохорно-изотермический потенциал и термодинамика ударного :жатия твердых тел." II Химическая Физика, 1997, т.16. No.9, С.132-141.

10 Molodets A.M., Molodets М.А., Nabatov S.S "Free Energy and Shock Compression of Diamond "/, Bulletin of the American Physical Society, 1997, v42, No.5, P 1510.

11 Molodets AM. Molodets M.A., Nabatov SS "Free Energy and Shock Compression of Diamond "/' Shock Compression of Condenced Matter-1997, ed.by S.C, Schmidt, D.P. Dandecar, I.W Forbs. AIP Press, New York, 199S, PP. 91-94.

12. Молодец A.M., Молодец M.A., Набатов C.C. "Коэффициент Грюнайзена и похорно-изотермический потенциал конденсированных сред" // в сб. Shock Waves in Condenced Matter, ed by A.L. Birukov, A.Yu Dolgoborodov, I.Yu. Klimenko, St.Petersburg, Russia, 12-17 July 199S. PP. 172-173

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:

1. на международной конференции " The Current State and Future of High Pressure Physics" Troitsk, Russia, September 7-9 1995. I. на XI Симпозиуме по горению и взрыву, Черноголовка. Россия, 18-22 юяоря 1996.

5. на международной конференции 10th APS Topical Conference on Shock Compression of Condenced Matter, Amherst, Massachussets, USA, 27 July - 1 August 1997.

i. на международной конференции Shock Waves in Condensed Matter, St.Petrsburg, Russia, 12-17 July 1998.

Результаты диссертации докладывались на сессиях Ученого Совета Института химической физики РАН в Черноголовке и семинарах этого шститута, а также на семинаре Института физики твердого тела РАН, Института динамики геосфер РАН. Института математического моделирования РАН. Института высоких температур РАН.

Пичный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, шляются результатами исследований, выполненных по инициативе и при ^посредственном личном участии автора.

Эбъем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, штературного обзора, трех глав, заключения, трех приложений и списка штеритуры. Ее материал изложен на 182 страницах и содержит 20 эисунков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖА НИН РА БОТЫ.

Во ВВЕДЕНИИ охарактеризованы актуальность работы, ее главный результат и научная новизна этого результата.

ЛИТЕРАТУРНЫМ ОБЗОР представляет собой аналитический обзор научных публикаций, посвященных исследованию объемно- температурной зависимости коэффициента Грюнайзена применительно к проблеме построения уравнений состояния конденсированных сред главным образом в области высоких давлений и температур. При этом в качес ~ве термодинамической основы изложения используется изохер.ю-изотермический потенциал Е(]',Т) в квазигармоническом приближение для системы независимых осцилляторов модели Эйнштейна

гп; г) зкп / вп + тщ 1.- щ>(- &Т)Л (I)

с двумя ключевыми функциями Ех(\') - объемной зависимостью потенциальной энергии и 6(\',Т) - объемно- температурной зависимостью характеристической температуры (остальные обозначения в (1) традиционный

Подробно рассмотрена сравнительная характеристика формул Слэтера. Дугдала-МакДональда. Ващенко-Зубарева. а также обобщенного выражения для этих формул. Приводится сопутствующая сводка многочисленных потенциальных' функций для объемной зависимости потенциальной энергии (или потенциального давления). На основе сравнительного анализа литературных данных показана предпочтительность формулы Слэтера. Отмечается особый вариант использования формулы Слэтера. который отличается своей оптимальностью по сравнению с использованием соотношения Дугдала-МакДональда, Ващенко-Зубарева. а также обобщенного выражения для этих формул. Этот вариант заключается в том, что при наличии достоверной объемной зависимости коэффициента Грюнайзена путем трехкратного его интегрирования оказывается возможным определение такого ключевого свойства материала, как объемная 'зависимость потенциальной энергии Ех(V), являющейся одной из краеугольных составляющих для изохорно-изотермического потенциала (1).

Рассмотрены результаты теоретических работ [1-3], в которых предлагаются выражения для коэффициента Грюнайзена в виде явных функций объема и температуры. Отмечается, что эти результаты можно квалифицировать лишь как частичный успех - формулы с необходимостью оказываются громоздкими, нахождение компонентов этих формул сопряжены с дальнейшими трудностями, что сильно затрудняет их практическое и теоретическое использование.

Приводится подробная сводка априорных объемных и объемно-температурных зависимостей коэффициента Грюнайзена [4-9]. с

подгоночными параметрами. Отмечается, что. несмотря на частный характер подобных соотношений, использование той или иной формулы с подходящим набором подгоночных констант обеспечивает значительный прогресс в построении уравнений состояния. Использование эмпирических формул позволяет приблизиться к истинной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена и успешно применять квазигармоническое приближение в широкой области термодинамических переменных, как это показано в [7-10]. В то же время подчеркивается, что априорные формулы для коэффициента Грюнайзена базируются прежде всего на соображениях здравого физического смысла, а не выводятся из каких-либо более или менее общих физических закономерностей. Поэтому ни одна из них не была использована в качестве основы для широкого обобщения данных или нахождения Ех(1-') с помощью отмеченного выше приема.

В литературном обзоре анализируется вопрос об экспериментальном определении коэффициента Грюнайзена. В связи с тем, что экспериментальное исследование коэффициента Грюнайзена в той области, где он претерпевает значительные изменения, осуществляется преимущественно методами физики ударных волн, приводятся необходимые сведения из этой области физики. Рассматриваются результаты. получаемые различными ударно-волновыми

экспериментальными методами. При этом в идейном отношении особо выделяются два метода. Первый метод - это метод Зельдовича (см. [17]), который заключается в использовании экспериментальных ударных адиабат монолитного материала и ударных адиабат этого же материала с пониженной начальной плотностью (пористого материала). Второй экспериментальный метод определения коэффициента Грюнайзена, представляющий модификацию метода Зельдовича, был предложен американскими исследователями Роундом и Тауном [11] в семидесятых годах. По существу эти авторы предложили в методе Зельдовича изменять начальный объем материала не за счет пористости, а за счет теплового расширения, то есть варьировать начальный объем монолитного вещества путем нагревания (или охлаждения).

Как метод Зельдовича, так и метод Роунда-Тауна предоставляют физически обоснованную универсальную экспериментальную процедуру определения коэффициента Грюнайзена. Обоими методами (особенно первым) был получен немалый массив данных. Однако этот массив так и остался в табличной форме - по-видимому, его обобщению помешала оказавшаяся невысокой точность этих методов. Следует отметить также, что невысокая точность экспериментального определения объемной зависимости коэффициента Грюнайзена свойственна не только этим двум, но и вообще характерна для экспериментальных измерений этой величины (см.. например. [12-16]). Поэтому, начиная с первых работ и до настоящего времени, экспериментальные измерения устанавливают лишь тенденции изменения и приблизительные значения коэффициента Грюнайзена. По-

прежнему экспериментальные данные не позволяют судить с приемлемой точностью даже о первой производной по объему этого коэффициента.

Литературный обзор подытожен следующим выводом. Анализ публикаций по данному вопросу свидетельствует, что исследование коэффициента Грюнайзена представляет собой одну из главных тем в проблеме построения уравнения состояния конденсированных сред. При этом существует целый ряд как теоретических, так и экспериментальных подходов, и предложены многочисленные выражения для расчета коэффициента Грюнайзена. В то же время сколько-нибудь универсальная явная зависимость коэффициента Грюнайзена от объема и температуры г, широком диапазоне термодинамических переменных до настоян :го времени не установлена ни теоретически, ни экспериментально. В 31011 связи цель работы формулируется как поиск физически обоснованной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена в виде явной функции объема и температуры.

Глава 1. ОБЪЕМНО-ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАЙЗЕНА. . В первом параграфе Главы 1 устанавливается формула для коэффициента Грюнайзена в виде явной аналитической функции -¡{У) только объема Г. Можно сказать, что авторский способ нахождения у(V) является теоретическим развитием идеи Роунда и Тауна [11] по экспериментальному определению коэффициента Грюнайзена путем сопоставления двух ударных адиабат Р1О') и Р/У) (см. рис. 1) одного н того же монолитного вещества при различных начальных температурах, соответственно при Ти и 7/ , (7о>Гу). Дело в том, что при опоре на эти кривые в рассуждения вовлекаются фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии на ударном фронте. Если при этом считать, что вещество подчиняется уравнению состояния в форме Ми-Грюнайзена

р~}\(] ') = }{1){Е-ЕХ(1)}/У. (2),

где уОО коэффициент Грюнайзена, зависящий только от объема, то можно аналитически выразить давление Л вдоль "холодной" ударной адиабаты через давление Р! вдоль "теплой" ударной адиабаты. При этом аналитическое выражение для Р2, очевидно, остается справедливым и при V-- У,-У0(1 + рСГг'Го)) (Р - объемный коэффициент теплового расширения в точке (Уо,Го))< когда Р2 = 0. но Р\ отлично от нуля и составляет некоторую величину Р„, (см, рис. 1). Это условие позволяет выразить у(У]) как

у(1',) - -2(1УУоУ{2(Е02-Е0,)/(РтУо) -1 - У,/У0} (3),

где Еоз-По, - разность начальных внутренних энергий на "холодной" и "теплой" ударных адиабатах.

Рис.1 Схематическое расположение ударных адиабат одного и того же монолнтного материала Р,. и Рпри различных его начальных температурах То и Т1, (Т0ТО, а также потенциального давления Рх в координатах давление Р объем Г.

Рис.2 Интерполяция температурной зависимости теплоемкости С ¡{Г) двумя отрезками прямых.

Заметим далее, что. как хорошо известно, для ударных адиабат при температурах Т0 порядка комнатных вне области фазовых переходов связь между скоростью ударной волны О и массовой скоростью и близка к линейной. То есть в окрестности любой точки "теплой" ударной адиабаты имеет место соотношение

£> = С0 - Ьи (4),

где Со и Ь эмпирические константы. Поэтому, выражая 'аналитически величину Р,„ в (3) с помощью (4). перепишем (3) как

7 - '-2(1 УУи)/{2(ЕогЕоО/10-ЬР>гУОт;/(Со3(УгУ1)/1'о) -1 + У„'УС]} (5).

Устремим теперь 7/ к Т0 . Это позволит выразить входящие в соотношение (5) параметры через обычные термодинамические свойства материала ¡з точке П'о,То). Действительно, во-первых, при Т0 имеем

ЕогЕо! + СгСГгТо) ,

где Р,а - тепловое давление, равное с обратным знаком потенциальному давлению Рсх в точке О^Та) (см. рис.1), Су - теплоемкость при постоянном объеме в точке (1'о.То)- Во-вторых, в этом случае оказывается возможным принять разумные упрощения относительно эмпирических коэффициентов Со и Ь в (5). В самом деле, при Т¡я Т0 амплитуда ударной волны Р„, оказывается заведомо малой. Но, как известно (см. [17]), ударные волны малой амплитуды распространяются со скоростью (адиабатической) звука С. Поэтому, при стремлении 7/ к Т0, а, следовательно, при стремлении Рт к нулю коэффициенты С0 и Ь должны изменяться так, чтобы обеспечить эту ассимптотику в (5).

Экспериментальные данные дают основания полагать (см., например. [18]). что в области слабых ударных волн Со и Ь изменяются так, что Си

стремится к объемной скорости звука С, в то время как Ь стремиться к нулю. Таким образом, при небольших сжатиях с учетом выражения для Е„г'Ео1 соотношение (5) после деления числителя и знаменателя в правой части на I '/I приобретает вид

у(У,) - -2/11 - (1+2/у, +2Ри,/Кь)\у\',] (6),

где

П = рКУо/Су.

К5 = С2/];о - адиабатический модуль объемного сжатия.

Заметим, что. несмотря на то. что соотношение (5) предшествовало соотношению (6), выражение (5) представляется менее общей формулой, справедливой только вдоль.ударной адиабаты. Об этом свидетельствуют коэффициенты С0 и Ь в формуле (5). Что же касается (6), то можно предположить, что это соотношение, будучи справедливым вдоль ударной адиабаты при малых амплитудах ударных волн, в то же время остается справедливым и вне пределов ударной адиабаты. Это предположение легко сформулировать математически, поскольку (6) не содержит параметров С0 и Ь конкретной ударной адиабаты.

Действительно, используя вышеприведенные рассуждения в качестве наводящих, будем считать, что объемная зависимость (6) обладает достаточной общностью. Иными словами предположим, что формула (6) для / справедлива не только для объемов I) вблизи начального объема У0, но также и в более протяженной области сжатий. Формально это предположение сводится к замене в (6) V/ на Г:

уП9 = -2] 11 - (1 + 2/у + 2Ри/К^ Ус/17 (7).

Заметим, что функциональный вид (7) определяется фундаментальными соотношениями Рзнкина-Гюгонио и тем весьма общим эмпирическим фактом, что зависимость между скоростью ударной волны и массовой скоростью близка к линейной. В то же время при получении (7) существенно использовалось условие близости Г к \'0. Поэтому по мере удаления от Г£„ формула (7) может терять свою справедливость. Как видно, это наверняка имеет место при стремлении объема V в (7) к нулевым значениям.

Действительно, как хорошо известно (см., например, [1,17]). в пределе сильных сжатий коэффициент Грюнайзена должен стремиться к значению 2/3. Формула (7) этому требованию не удовлетворяет: при 1-0 она дает для/нулевое значение. Поэтому "подправим" соотношение (7) так, чтобы оно имело правильную ассимптотику в пределе больших сжатий. С этой целыо прибавим к правой части (7) величину 2/3. Но в то же время для того, чтобы при объемах V, мало отличающихся от У0, эта формула осталась справедливой, вычтем эту же величину 2/3 из значения у.! в знаменателе (7).

То есть, приведем (7) "волевым" приемом к следующему виду:

у(]') - 2/3 -2/(1- aVo/V) (S),

где параметр <7 равен

а I + 2/(ys - 2/3) + 2PJKs (9).

Соотношение (8) представляет собой искомую зависимость коэффициента Грюнайзена от объема.

Поясним физический смысл параметра а. Для этого заметим.'что (8) имеет особую точку aVg в области растяжения, где величина у становится бесконечно большой. Следовательно, параметр а указывает область объемов, где ангармонические эффекты, выражаемые величиной коэффициента Грюнайзена. гиперболически возрастают. Таким образом, молено сказать, что, когда относительный объем V/Vq будет приближаться к величине а со стороны малых объемов, коэффициент Грюнайзена и. следовательно, ангармонические эффекты будут особенно велики. Наоборот, значения объемов в области сжатая, где коэффициент Грюнайзена изменяется сравнительно слабо, находятся вдали от aV0, то есть при l'A), « а. Эти соображения делают целесообразным использование специального названия для параметра а (9) - параметр ангармоничности.

Параметр ангармоничности а может служить удобной индивидуальной характеристикой материала применительно к коэффициенту Грюнайзена. Действительно, как ясно из предыдущего, значение о определяет для каждого материала свой характеристический объем, равный Смысл

его заключается в том. что если.произвести нормировку удельных объемов различных веществ на эту величину, то есть ввести нормированный объем X=V!и= l'/al'o , то соотношение (8) определит единый график у(%) для всех веществ:

Y(-/J--: 2/3 - 2/(1-1/yj (10).

Во втором параграфе Главы 1 обсуждается способ практического вычисления параметра ангармоничности, который связан главным образом с нахождением оценки для величины теплового давления Р,0 из (9). Поскольку P,0~E,0~]C\éT, где Е,„ тепловая энергия в точке (V0,Tq). то оценку Р,0 можно произвести, представив температурную зависимость теплоемкости Сг двумя отрезками прямых (см. рис.2) и затем вычислив \Ct-dT. Здесь dD - характеристическая температура Дебая, ва характеристическая температура Эйнштейна, определяемая по известному соотношению во - 0,75во- Использование в дополнение к этому некоторых известных термодинамических соотношений позволяет выразить параметр ангармоничности в следующем виде:

f а0(1 + cj0To:/e0J при Т0 <(ви/2) а - "! (11),

[ав(1 + qoOV Ос/4) ) при Т0>(ва/2)

где

а0 = 1 + 2/(у, -2/3), до - 6jBRn/(a0CFJ (12).

В (12), помимо выше принятых обозначений, R - удельная газовая постоянная, п - количество атомов в элементарной ячейке. ()> -теплоемкость при постоянном давлении. В результате оказывается, что для расчета объемной зависимости коэффициента Грюнайзена (10) с помощью (11) необходимо знать лишь пять термодинамических свойстб материала в некоторой начальной точке (\'а,Те,Р0). Это /? - объемный коэффициент теплового расширения. О - теплоемкость при постоянном давлении, К, -изотермический модуль объемного сжатия, во - характеристическая температура Эйнштейна. 1'0 - удельный объем: (теплоемкость при постоянном объеме С г и адиабатический модуль объемного сжатия А'„ входящие и величину ys, вычисляются по известным термодинамическим соотношениям с использованием упомянутых термодинамических свойств).

В третьем параграфе Главы 1 конструируется температурная поправка к объемной зависимости коэффициента Грюнайзена (10). Эта поправка сводится к предложению рассматривать начальную температуру, входящую явным образом в выражение для параметра ангармоничности (11), переменной, равной текущей термодинамической температуре 'Г, в то время как остальные величины в (11) по-прежнему считать постоянными. Таким образом, температурная поправка заключается в том. что параметр ангармоничности предлагается рассматривать в виде явной функции температуры а -а(Т) согласно соотношению.

f а0(1 qui 2/О0) при Т<в0/2 а(Т)= i (13).

I av(I + qls(T-0i/4)) при Т>0^2

При подстановке (13) в (10) выражение (10) становится явной функцией }{] \Т) как объема У, так и температуры Т. Эти преобразования, очевидно, не изменяют функциональный вид (10). Тем не менее для того, чтобы обозначить именно объемно-температурную зависимость коэффициента Грюнайзена. будем использовать для нее заглавную греческую букву Г:

Г( V, Т) - 2/3 - 2/( 1-1/у) (14).

Аргументов (14) имеет прежний вид: %=V/aVo- Новое в (14) по сравнению с (10) заключается в том, что теперь параметр ангармоничности а есть функция температуры а-а(Т) (13). Таким образом, формула (14) сводит воедино не только объемные, но и разнообразные объемно-температурные зависимости коэффициентов Грюнайзена различных веществ, отражая тем самым общую закономерность поведения коэффициента Грюнайзена конкретных материалов.

Наконец заметим, что рассуждения, приведшие к формуле (14), никак не ограничивались какими-либо предположениями о типе конденсированной

среды. Следовательно, соотношение (14) применимо к разнообразным веществам, в частности к веществам с различным характером межатомных связен в этих веществах.

Итак. Формула (14) является основополагающим результатом дячно» лисеептаиич. Этот результат получен с. чсло^ь^орачнем ^'"^»«»"толмних закономерностей физики ударных волн. В то же время г.» топ формулы Л Л) сопровождался рядом упрошяютих прел пол ожеи ий. а эг? «'"пмулг» носит полуэмпирический характер. Поэтому вышеперечисленные обшие утверждения должны быть подтверждены и проверены экспериментально. Кроме отсго, очевидно, необходимо указать границы применимости этого соотношения. По существу вся последующая часть диссертации и посвящена этим вопросам. При этом показано, что весьма общие следствия формулы (14) соответствуют реальности при многократных изменениях объема и температуры твердых тел.

Так. четвертый параграф Главы 1 посвящен проверке справедливости (14) путем прямого сопоставлении расчетов коэффициента Грюнайзена вдоль ударных адиабат различных веществ по формуле (14) с экспериментальными данными по определению этой величины в мощных ударных волнах. Эти результаты приведены на рис. 3, где линией 1 показан график (14) на фоне эксперимента [12-16], пересчитанного в координаты этого рисунка

Рис.3 Расположение ударно-волновых экспериментальных данных по коэффициенту Грюнайзена для РЬ [12], Мо [13], Ti [4]; NaCl, KBr, CsBr [14]; Csl [15,16] относительно единого графика I объемно-температурной зависимости Г(%(1',Т)), рассчитанного по формуле (14)

Важно подчеркнуть, что как формула (10), так и ее обобщение в виде объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена (14) не содержит никаких подгоночных параметров, а включает только общие термодинамические свойства материала, определенные в начальной точке (I'o.To). Поэтому при пересчете данных [12-16] в координаты Г-%(\\ Т) оказывается достаточно сведений, опубликованных в общедоступной научной литературе - это, помимо справочных свойств, необходимых для

вычислении а. еще объем и температура (расчетная для РЬ, Мо, А1 [3?] 'П [4] пли экспериментальная 1\аС1, КВг, С$Вг Сб1 [14-16]) вдоль ударных адиабат. Как видно (см. рис.3), в авторской интерпретации ударно-волновой эксперимент [12-16] закономерно группируется около единого графика 1. подтверждая тем самым достоверность формулы (14) в диапазоне сжатий вплоть до двукратных и температур до нескольких тысяч градусов на примере металлов и щелочно-галлоидных соединений.

Для йодистого цезия справедливость (14) подтверждается также согласием с теоретическими расчетами авторов [19] при изменении объема вдвое вдоль изотермы при Тп = 300 К (см. график 1 на рис.4а). Наконец формула (14) дает достоверные результаты и в случае такого своеобразного вещества как твердый водород. Действительно, как видно на рис.45. расчет Г по (14) (см. график 1 на рис.46) также при двукратных уменьшениях объема вдоль изотермы твердого водорода при высоких давлениях согласуется с современными экспериментальными данными [21].

0.4 0 6 С 5 1.0

Рис.4 Изотермы 0(1') и Г(1') для ионного кристалла Csl -а и молекулярного кристалла I эдорода б. ! - расчет Г(У) - при Т=295К по формуле (14). 2 - расчет 0(1') при Т-295К /:о формуле (¡5). 0(}')/0,75. Точки: » и о - расчет соответственно в-и(\~) и ГО') при '.'-•00К для Csl из [19]; центрированные кресты и темные квадраты-эксперимент соотестствсико <?;/') и Г(Г) при Т-295К для л-Н2: из [21]: G - расчет 0D(i") для молекулярного твердого водорода из [20]

В пятом параграфе Главы 1 обсуждаются границы применения .предлагаемой объемно-температурной зависимости коэффициента Грюиапзена. Устанавливаются следующие ограничения для (14). Во-первых, обращается внимание на то, что температурная зависимость для (14), определяемая температурной зависимостью параметра ангармоничности (13), ограничена со стороны малых температур величиной порядка 0,30« . Во-вторых, отмечается, что применение (14). строго говоря, ограничено той фазой материала, для которой определен параметр ангармоничности по (13). И, наконец, подчеркивается, что область растяжений является для (14) запретной. То есть везде в

дальнейшем количественное использование результата (14) и его следствий относится к изменению объемов вдали от особой точки а\'0 . причем рассмотрение ограничивается областью сжатия исключительно при Г<Го.

Глава 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЪЕМНО-ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАЙЗЕНА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕРМДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ ТЕЛ. В этой главе показано, что авторская зависимость Г(У,Т) (14) задает как следствие новые выражения для двух ключевых свойств материала -характеристической температуры 0(]',Т) и потенциальной энергии Ех(\'). которые могут быть успешно использованы для конструирования изохорно-изотермического потенциала в квазигармоническом приближении для модели независимых осцилляторов Эйнштейна (1).

В первом параграфе Главы 2 составляется дифференциальное уравнение путем приравнивания общепринятого в'квазигармоническом приближении выражения для коэффициента Грюнайзена как частной логарифмической производной характеристической температуры в по объему авторскому выражению (14): д1.пв/с1пУ= -Г. Это уравнение имеет вид

дЬпв/сЬп\ ■ = -2/3 2/(1-аУ„/Ю,

а его интеграл, то есть объемно-температурная зависимость характеристической температуры в~9(У.'Г), представляет собой алгебраическую функцию

во! (а- УЛ'0)/(а-1)]2[Ус/У]1/3 (15).

В (15) а-^а(Т) - параметр ангармоничности (13). во - константа интегрирования, зависящая от температуры, принимаемая, однако, везде ниже равной постоянной величине характеристической температуры в начальной точке, то есть в0(\;0, Т)=в(\'0, Т0) - 9о-

Отметим, что аналогов функционального вида зависимости в(1'\Т) (15) в доступной научной литературе не обнаружено.

Достоверность авторского выражения для в(У,Т) (15) подтверждается сравнением непосредственных вычислений по (15) для кристаллического йодистого цезия (см. график 2 на рис.4а) и молекулярного твердого водорода (см. график 2 на рис.4б) с литературными теоретическими [19,20] и экспериментальными [21] данными для этих веществ. Как видно на рис.4, различие между результатами [19,20,21] и вычислениями по формуле (15) не превышает единиц процентов.

Важно подчеркнуть, что как расчет Г(У.Т) по (14), так и расчет 0(У,Т) по (15) выполняется без использования каких бы то ни было подгоночных параметров. Поэтому расчеты, выполняемые с помощью (15), носят прогностический характер, а степень их совпадения с результатами других

авторов свидетельствует о физической точности формулы (15).

Достоверность (15) подтверждается так^ косвенно теми результатами, которые получаются с использованием (15) в выражении для изохорно-изотермического потенциала в третьей главе.

Во втором параграфе Главы 2 обсуждается решение дифференциального уравнения для объемной зависимости потенциальной энергии Ех(\). Исходное уравнение составляется путем приравнивания соотношения Слэтера соотношению (14) при нулевой абсолютной температуре, то есть Г(У, 0/

В этой связи заметим, что обычно, начиная с работ известных отечественных [22] и американских (см. [4]) авторов, соотношение'Слэтера, а также подобные соотношения Дугдала-Макдональда и Ващенко-Зубарева используются для решения обратной задачи - по известной Ех(1) или Рх(\г) путем дифференциирования отыскивается Г( У). Что же касается процедуры интегрирования соотношений. Слэтера, Дугдала-Макдональда. Ващенко-Зубарева с целью нахождения Ех(\'), то этот прием нетрадиционен и. очевидно., предъявляет повышенные требования к физической и математической точности объемной зависимости коэффициента Грюнайзена. Однако, как отмечалось в Литобзоре, несмотря на то, что к настоящему времени предложены многочисленные выражения для у(У), тем не менее сколько-нибудь универсальная явная формула для объемной зависимости коэффициента Грюнайзена так и не была получена. По-видимому. по этой причине реализация попыток нахождения ЕХ(У) по у(У) до сих пор не предпринималась. В этом смысле предлагаемый в диссертации прием нахождения ЕХ(У) по Г (У) обладает новизной и эффективностью.

Действительно, если воспользоваться, как предложено выше, соотношением Слэтера и формулой (14), то получается легко решаемое дифференциальное уравнение третьего порядка относительно Ех(\')\

-2/3 - 0,5У(с13ЕМ/})/(с1-ЕМ/2)=2/3 - 2/(1-ах\уУ),

где параметр ах представляет собой параметр ангармоничности (13) при нулевой абсолютной температуре, то есть ах=а(0).

Перейдем теперь к обсуждению решения этого уравнения. Прежде всего сделаем важное для всего последующего замечание. Поскольку, как отмечалось выше, формула (13) в области низких температур неточна, то получаемую с ее помощью величину ах

ах = а(0) = 1 + 2/фК, У^Су -2/3) (16)

следует принимать лишь как первое приближение для ах, которая должна уточняться по мере необходимости. Иными словами, на этом этапе вводится в рассмотрение подгоночный параметр. Подчеркнем, однако, что ах - это первая и единственная подгоночная константа во всей диссертации.

Константа ах как параметр сходит в решение выше составленного дифференциального уравнения для ЕХ(Т). Само же решение имеет вид

ЕЛ) ^ -ахУ0(С,Нх+С:х)+С3 (17),.

где

Нх- Нх(х) =- 9(х-:'-710 + 2хш + Зх4/3/2 - x7/s/7 + хшП0)-х \7axV0; С]. С г. С; - константы интегрирования.

Видно, что авторское выражение (17) для объемной зависимости потенциальной энергии представляет собой небольшой полином по степеням нормированного объема х = zfl'.O).

Как хорошо известно, в научной литературе существует немало выражений для Ех(1), имеющих вид рядов по степеням объема (или сжатия). Подчеркнем очевидные преимущества (17) перед аналогичными соотношениями подобного рода. Во-первых, литературные соотношения имеют количество подгоночных констант больше, чем одна. Так. например, для полинома [22.23], используемого в [7,10], их количество равно пяти. Во-вторых, как отмечалось в [24], то обстоятельство, что подгоночные константы в этих полиномах оказываются знакопеременными, может приводить в области сжатия к точкам перегиба и даже немонотонностям соответствующих полиномов для Рх(1'). Конкретные примеры подобных ситуаций приведены в [10]. Что же касается авторской формулы для Ех00 (или Рх(\>')=-dE^d!■)' то даже без использования обычных математических приемов исследования функции можно показать, что выражение (17) в области сжатия лишено отмеченных недостатков. Действительно, все своеобразие (17)( определяется унифицированной за счет использования нормированного объема х функцией Н/х) с фиксированными коэффициентами при х. Простым построением графика функции Н/х) можно убедиться, что при V- Vox график этой функции представляет собой плавную кривую, не имеющую ни перегибов, ни экстремумов.

В первых двух параграфах второй главы приведен также полуколичественный анализ авторских функций EX(V) и в(\г,Т) в области растяжения. Однако при этом подчеркивается, что везде в дальнейшем область применения для этих функций, как и для отправной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена (14), ограничена исключительно сжатием Г<1 '0.

Достоверность (17) подтверждается косвенно теми результатами, которые получаются с использованием (17) в выражении для изохорно-изотермического потенциала в третьей главе.

В третьем параграфе Главы 2 конструируется изохорно-изотермический потенциал в квазигармоническом приближении. С этой целью выражения для объемно-температурной зависимости характеристической температуры (15) и объемной зависимости потенциальной энергии (17) подставляются в

изохорно-изотермический потенциал в квазигармоническом приближении для системы независимых осцилляторов Эйнштейна (1). Таким образом, в конечном счете с помощью авторской объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена (14) получается изохорно-изотермический потенциал (свободная энергия), представляющий полное описание термодинамических свойств твердого тела. Отмечается, что это описание является полуэмпирическим - оно содержит один подгоночный параметр ах и опирается на пять экспериментально измеряемых в начальной точке (РоЛ'о-То) общих термодинамических свойств материала, которые фигурируют в отправной для данной работы формуле (14). Это объемный коэффициент теплового расширения Д теплоемкость при постоянном давлении СР, изотермический модуль объемного сжатия Ки характеристическая температура Эйнштейна 90, удельный объем У0.

В этом же параграфе дается подробная сводка формул для вычисления трех констант интегрирования С/. С2. О из (17). При этом для нахождения Г/ используется условие равенства изотермического модуля объемного сжатия в точке (У0,То) в виде второй производной изохорно-изотермического потенциала F по объему У(еР2/с1/:) его экспериментальному значению К,. Для нахождения С2 используется условие равенства давления в точке (У0. То) в виде первой производной F по объему Е=-с¥/дУ экспериментальному значению давления Р(У0.То) в этой точке. Наконец, С? находится при условии, что значение потенциальной энергии в той точке Уох (см. рис.1), где потенциальное давление =('¡с/НМ.х -С2 равно нулю, также имеет нулевое значение, то есть ЕХ(У0Л)=0. При этом изменение уровня отсчета потенциальной энергии достигается добавлением в правую часть (17) соответствующего постоянного слагаемого Еп1. В итоге выражение для изохорно-изотермического потенциала приобретает завершенную форму:

F(У. Г) = -ахУ0(С1Нх(х) + С2х) + Сз + Ет + ЗЩ6/2+ТЩ1-ехр(-вгГ)]} (18).

В четвертом параграфе Главы 2 приводятся уравнения состояния, которые получаются на основе (18) путем стандартных термодинамических приемов. Например, уравнение Гиббса-Гельмгольца дает выражение для внутренней энергии Е=Е(У,Т) в виде калорического уравнения состояния Е = Е-Т(сР/а1).

Вводя новую вспомогательную функцию

М =-ёЬпв/сЕпТ (19),

можно компактно записать многие важные термодинамические свойства материала. Например, связь между тепловым давлением и плотностью тепловой энергии принимает традиционную форму уравнения состояния Ми-Грюнайзена

Р - Рх = Н(Е - Е^/У (20),

за тем лишь исключением, что теперь Н^НП'.Т) представляет собой обобщение коэффициента пропорциональности между тепловым давлением и плотностью тепловой энергии в виде объемно-температурной функции Грюнайзена

Н-Г/И+М) (21)

В (21). как и везде выше.

Г = -с1.п(ЫлГ - 2/3 -2К1-а\\/Г)

В конпе четвертого параграфа Главы 2 в обпшх чертах дается описание термодинамики ударного сжатия с использованием (18) и соотношения Рзнкина-Гюгопио для внутренней энергии:

Е- Е0 - 0,5(Р л рЫ(г0- V) ('12).

При этом расчет сильного ударного сжатия пористого материала осуществляется аналогично. В этом случае также используются (18) и (22). Разница заключается лишь в том. что з качестве ('о в (22) следует подставлять удельный объем пористого вещества Iт]'0 (т -пористость), а в величине удельной внутренней энергии И0 перед фронтом ударной волны при необходимости нужно учесть удельную поверхностную энергию пористого материала.

Более подробно это описание рассматривается в последних двух параграфах Главы 2, где оно излагается в связи с процедурой нахождения подгоночного параметра ах по экспериментальной ударной адиабате или изотерме давления (точнее говоря - по какой-либо одной точке ударной адиабаты пли изотермы). Процедура подгонки параметра а* для краткости названа калибровкой потенциала по ударной адиабате и, соответственно, по изотерме.

В шестом параграфе Главы 2 рассматривается калибровка потенциала по ударной адиабате в области, где оказываются существенными пошзавки. связанные с электронами проводимости.

В целом математические выкладки Главы 2 свидетельствуют, что изохорно-изотермический потенциал (18) с термодинамической точки зрения обеспечивает внутренне согласованное описание твердых тел.

Глава 2 подытожена главными ее результатами, которые заключаются в зыраженин для изохорно-изотсрмического потенциала (18) с ключевыми функциями в авторском виде (15) и (17), а также в процедуре нахождения констант материала С/, С';, О и калибровки потенциала, то есть нахождении подгоночного параметра ах.

Глава 3 ИЗОХОРНО-ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ТЕРМОДИНАМИКА СЖАТИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕЛ носит большей частью прикладной характер. В идейном же отношении эта глава важна тем, что в ней на примере иллюстративного ряда разнообразных

иещсав доказывается, что в рамках подхода, развитого в предыдущих двух главах, оказывается возможным безотносительно к характеру межатомных связей единообразно'■ и точно ишерпретировать термодинамическое поведение твердых тел такого обширного класса, как кристаллические ьсщестьа. Интерпретация термодинамического поведения какого-либо кристаллическою вещества осуществляется следующим образом. Сначала иЫчислякмся нарамс1ры изохорно-изотермического потенциала (18) данного вещества. Л ум згого

¡. о научной литературе находятся значения пяти свойств да, ¡3. 1'п, К,. Ср в некоторой начальной точке (УсЛ\.Рс) и затем с использованием этих значений вычисляются постоянные параметры модели ао, <7о,( 12);

2. опредляется величина подгоночного параметра ах в первом приближении по формуле (16) и затем, согласно формулам третьего параграфа Главы 2. вычисляются индивидуальные константы С/ , С;, С? вещества:

3. с помо:дыо найденных значений во , а0 , ¿¡у, а„ С;, С?, Г.? вычисляется какое-либо свойство (обычно изотерма или ударная адиабата) и сравнивается с эталоном - экспериментальной зависимостью (обычно экспериментальной изотермой или ударной адиабатой);

4. если расчет не совпадает с эталоном, то производится калибровка потенциала согласно пятому (или шестому) параграфу Главы 2. При этом такие параметры модели, как 0О , а о, Чо. остаются без изменений, в то время как ах, ('¡, С 2, Сз приобретают новые, уточненные значения. С использованием во, ао, Чо н уточненного комплекта параметров ах, С/, О, Сз, рассчитывается любое требуемое термодинамическое свойство рассматриваемого вещества, изохорно-изотермический потенциал которого есть (18), в чем и заключается интерпретация термодинамического поведения этого вещества.

В первом параграфе Главы 3 рассматривается термодинамика изотермического (на примере А1. Си, Рс1, Мо, РЬ) и ударного (на примере А1, Си, Мо, РЬ) сжатия металлов. На рис.5а показаны изотермы, рассчитанные с использованием первого приближения ах (16), для ряда металлов в сравнении с экспериментом [25-27]. На рис.5а видно, что использование первого приближения для ах оказывается достаточным для упомянутых металлов в области сравнительно небольших давлений. Это приближение обеспечивает хорошее совпадение расчетных и экспериментальных изотерм до давлений =20 гигапаскалей для всех металлов.

На рис.5б сплошными линиями показана экстраполяция изотерм рис.5а в область более высоких давлений. Здесь. же представлены экспериментальные данные [27] для соответствующих металлов. Как видно, по мере увеличения давления теоретический расчет в первом приближении для ах дает увеличивающееся расхождение с экспериментом.

о ев

- \\ \ ^ Р,ГПа \

: V

50

0.7

0.85

1.00

Рис. 5. Изотермическое сжатие металлов..« - Расчет изотерм (сплошные линии) с помошью (!8) металлов (А1. Ай. Си. Рс1, Мо) с использованием первого приближения для а, (16) на фоне экспериментальных данных из [25-27]: для А§. Си, Рё. и Мо температура на изотерме Т0 = 300 К. эксперимент: квадраты - Ас. о - Си, * - Р(1, • - Мо из [27] ¡три Т„ =300 К, + - Ад, центрированные круги - А1 при 77,=300 1С из [25], звезды - А1 при То =673 К. из [26]: расчеты для А1 - потенциальное давление 1, изотерма 2 при То=0 К, изотерма 3 - при Т0 =300 К, изотерма 4 - при 7^=673 К. и - калибровка потенциала для А«. Си. РсЗ. N10 по экспериментальным изотермам при То =3001С из [27]. Сплошные линии - продолжение графиков рис.5а. штриховые - расчет изотерм с помошыо (18) с уточненным комплектом ах. С/, С;. О: точки - эксперимент [27] в обозначениях рис.5а.

Так, рис. эб свидетельствует о том, что при 100 ГПа первое приближение дает ошибку =10%. В связи с этим для металлов была выполнена калибровка потенциала по изотерме. Результаты калибровки для Ад, Си, Р<1 Мо по экспериментальным изотермам этих металлов из [27] показаны на рис. 56: штриховые линии - это расчет соответствующих изотерм с уточненными после калибровки потенциала константами ах. С/. О, С.?. Как видно, после калибровки потенциала удается единообразно и точно интерпретировать экспериментальные данные [27] по изотермическому сжатию Ag. С'и, Р<1 Мо в диапазоне давлений от нуля и вплоть до 100 ГПа.

Заметим далее, что, например, для алюминия расчетная изотерма (см. рис.5а) совпадает с экспериментом не только при комнатной температуре -график 3 и эксперимент [25]. но и при повышенной до 673 К температуре -график 4 и эксперимент [26]. На этом же рисунке для алюминия для сравнения приведены расчетные графики различных составляющих давления: потенциального давления - линия 1 и изотермы при Г = 0К (нулевой изотермы) - линия 2. Таким образом, рис.5 в .целом свидетельствует о том, что изохорно-изотермический потенциал (18) достоверно отображает как потенциальные, так и тепловые компоненты свойств металлов. Этот вывод подробно иллюстрируется далее при обсуждении построения линий плавления и описания ударного сжатия некоторых металлов, где наряду с потенциальной начинает играть существенную роль и тепловая составляющая в соотношении (18).

Важно отметить, что после того, как найдено оптимальное значение ах, все последующие расчеты каких-либо других термодинамических свойств материала - изотермы при повышенной температуре, линии плавления, ударной адиабаты, температуры, модуля объемного сжатия, коэффициента теплового расширения вдоль какой-либо кривой, например вдоль той же ударной адиабаты, и т.д. являются уже прогностическими.

Рис. б Ударные адиабаты Си и Мо для образцов с различной пористостью т в координатах скорость ударной волны О -массовая скорость и. Сплошные линии -авторский расчет с помошью (18) и (19): 1 - монолитный материал. 2-4 - результаты расчета для различной пористости т. Точки - эксперимент. Для Си:о - т= 1 из [30). х и • - данные МакКвина и др [4,31]; центрированные кресты, I, и_+ - данные [4.31] дня пористых образцов соответственно при »7=1,13; ш=1.41 и т =1,56. Для Мо: ® - т= 1 из [31]. + и центрированные кресты данные МакКвина и др. для пористых ооразцов молибдена соответственно при «=1.26; т= 1.82 [4.31]. Здесь и далее волнистыми стрелками обозначено начало плавления на ударных адиабатах.

Совпадение расчета и эксперимента для изотермы при повышенной температуре отмечено выше (см. комментарий к рис.За для алюминия). В первом параграфе Главы 3 показано также, что авторский прогноз соответствует реальности и для ударного сжатия А1, Си, Мо, РЬ в области существования твердой фазы. С этой целью рассчитываются линии плавления Линдемана, а также температуры вдоль ударных адиабат этих монолитных и пористых металлов. На основании этих расчетов определяется область существования твердой фазы и затем производится сравнение расчета и ударно-волнового эксперимента в этой области. В качестве примера на рис.6 показано совпадение расчетных и экспериментальных ударных адиабат для монолитных и пористых образцов меди и молибдена, остающихся за фронтом ударной волны в твердом состоянии. Но, безусловно, это совпадение является уже совпадением следствий авторского подхода и независимого ударно-волнового эксперимента и поэтому является весомым аргументом в пользу достоверности этого подхода.

В конце первого параграфа Главы 3 рассматриваются авторские результаты для потенциальных функций (потенциальной энергйи Ех(У) и потенциального давления РЛ(Т)) на примере А1. Си, РЬ, Мо и экстраполяционные возможности авторской формулы для потенциального давления в область больших (пяти- - десятикратных) сжатий. Показано, что от единичного и вплоть до этих сжатий авторские потенциальные функции могут служить удобным инструментом при описании потенциальных свойств металлов в твердой фазе.

Второй параграф Главы 3 посвящен изотермическому и ударному сжатию типичного представителя ионных кристаллов - йодистого цезия. Некоторые результаты из этого раздела уже упоминались на рис.4а. Для Сб1 так же, как и для металлов, производилась калибровка потенциала по изотерме, а затем рассчитывались разнообразные термодинамические свойства, в том числе и при ударном сжатии. Так. на рис.7а линией 3 показан расчет объемно-температурной функции Грюнайзена Н {21) вдоль

а! о/

15 5

Рис.7 Термодинамические свойства ионного кристалла С$1 в области сжатия, п -функция Грюнайзена 11 и характеристическая температура Дебая Ои для СбГ I и 2 -расчет Г и'в при 7"=--295К; соответственно по(14) и (15), 0о - 0!0,75\ о и • - вычисления соответственно Г и 0Ь при Т-- 300К из [19]; 3 - расчет// по (21) вдоль ударной адиабаты; + - ударно-волновой эксперимент для коэффициента Грюнайзена [15]: б - модуль объемного сжатия /А и объемный коэффициент теплового расширения (3 вдоль ударной адиабаты СбГ 1 и 2 расчет /?, и р вдоль ударной адиабаты с помошыо (18) и (22), -ь -ударнорелновон эксперимент [15] для В., »-данные для рвдоль ударной адиабаты из [32]

ударной адиабаты. На рис.7а линией 1 для сравнения повторены данные рис.4а по расчету Г вдоль изотермы. Как видно, авторские расчеты хорошо согласуются с литературными как ударно-волновыми экспериментальными [15,16]. так и теоретическими результатами [19]. Вместе с тем рис.7а показывает, что благодаря температурной составляющей параметра ангармоничности (13) удается достичь согласования между изотермическими и ударно-волновыми данными по коэффициенту Грюнайзена - температурная составляющая (13) вдоль ударной адиабаты Сз! вносит эффект, который выражается разницей графиков 1 и 3. Кроме

105

55

5

этого во втором параграфе анализируется соотношение авторских расчетов различных теплофизических свойств при ударном сжатии (ударной адиабаты, а также температуры, теплоемкости, скорости звука, коэффициента объемного расширения вдоль этой кривой) с литературными данными. Часть этих расчетов показана на рис.7б, который демонстрирует степень соответствия выполненных расчетов с результатами других авторов. Заметим, что как и для металлов расчет термодинамических свойств Сб1 при ударном сжатии является прогностическим, а рис 7 свидетельствует о согласии прогноза и соответствующих экспериментальных данных для йодистого цезия. В целом данный параграф свидетельствует о достоверности авторского подхода применительно и к представителю ионных кристаллов.

В третьем параграфе Главы 3 рассматривается сжатие уникально жесткого валентного кристалла алмаза. Для алмаза не потребовалось

Рнс.8 Изотермическое и ударное сжатие алмаза., а - сжатие монолитного алмаз_а. 1 -потенциальное давление Р. , рассчитанное с помощью (17); 2 - изотерма при Г=300К. рассчитанная с помощью'(18); 3 - ударная адиабата, рассчитанная с использованием (18) и (22); + - эксперимент Дриккамера по изотермическому сжатию; • - эксперимент Павловского по ударному сжатию; 0 - зависимость скорости ударной волны О от массовой скорости и для алмаза. Точки: • - монолитный и о - пористый (от= 1.85) алмаз -эксперимент Павловского (волнистая стрелка - начало плавления), + - пористы» (т= 1,098) алмаз МакКвина и др. из [31]. Сплошные линии - расчет без учета поверхностной энергии образца. Пунктир - расчет с учетом поверхностной энергии пористого образца (л;= 1,85). равной согласно [34] 7,0 Дж/м:

выполнять подгонку ах. Для этого материала оказалось достаточно первого приближения (16) в широком диапазоне термодинамических переменных. Так, рис.8 демонстрирует совпадение расчета статического, а также ударного сжатия монолитного и пористого алмаза с известными экспериментальными данными.

Заключительный параграф Главы 3 посвящен другой крайности -необычайно сжимаемому молекулярному кристаллу твердого водорода. Здесь представлено описание изотермического сжатия кристалла молекулярного водорода в диапазоне объемов от -7,0 см7г до «0,7 см7г.

В начале параграфа дан краткий обзор теоретических и экспериментальных публикаций по исследованию термодинамики сжатия этого материала в области больших сжатий и невысоких (не превышающих комнатной) температур. На основе результатов рассмотренных работ выбирается квазигармоническое приближение для молекулярного твердого водорода в одном из наиболее простых его вариантов. Данное приближение заключается в представлении колебаний атомов молекулярного кристалла водорода в виде совокупности колебаний решетки, в узлах которой находятся точечные частицы. Эти точечные частицы представляют собой жесткие, не вращающиеся и без внутренних колебании частицы с массой, равной массе молекулы водорода. Затем в рамках выбранной модели применено эйнштейновское выражение для изохорно-изотермического потенциала (18) с ключевыми функциями в (15) и Ех (17). Причем характеристическая температура (15), в отличие от предыдущего, рассматривается как функция только объема 0(\г)~- в(1'.а(Т0)). В качестве пяти "инсталляционных" термодинамических величин во. р. ¡'а, К,, Ср использованы их экспериментальные значения в точке Т0т-295К }'о б.4ГПа из [21]. В четвертом параграфе Главы 3 показано, что принятая модель дает хорошие результаты при описании теплофизических свойств молекулярного кристалла нормального водорода при его изотермическом сжатии.

Действительно, некоторые из этих результатов у/ш упоминались ранее на рнс.4б. Как видно расчет 0(1) по (15) - график 2 близок к теоретическим результатам [20] и практически совпадает с экспериментом [21].

Также упоминалось, что совпадение с экспериментом [21] имеет место и для вычислений объемной зависмости кэффициента Грюнайзена по (14) для твердого /?-Н2. (см. график 1 рис.46).

После калибровки потенциала молекулярного твердого водорода по изотерме из [21] изохорно-нзотермический потенциал (18) позволяет дать точную интерпретацию таких термодинамических свойств, как сжатие, модуль объемной упругости, коэффициент теплового расширения, теплоемкость при комнатной температуре в диапазоне объемов от-«4 см7г до -2 смУг. В этой области объемов вычисления упомянутых свойств по (18) практически не отличаются от соответствующих экспериментальных зависимостей из [21].

Кроме этого в четвертом параграфе главы 3 показано, что потенциальное давление Рл, рассчитанное с помощью Г17) и изотерма Р, рассчитанная с помощью (18), дают достоверные результаты при их экстраполяции как в область больших (»7см7г), так и малых (-0,7 см7г) объемов. Так, например, на рис.9а видно согласие авторской изотермы с экспериментом в области мегабарных давлений.

На рис.9 показана также область предполагаемого фазового перехода молекулярной фазы водорода в металлическую (см. ,рис.9б). На рис.9б точками представлены данные теоретических расчетов сжатия водорода по

фундаментальным моделям. Эти результаты получены в различных работах, ссылки на которые приведены в [28]. Как видно, авторская изотерма 1 согласуется с литературными данными и в этой области высоких давлений..

Рпс.9 Изотермическое сжатие кристалла молекулярного водорода в области высоких давлений. Авторские расчеты: 1 - изотерма при 7*о-300К: 2 - нулевая изотерма То-ОК: 3 - потенциальное давление Рх- -с1Еха1У. Литературные данные: "о - эксперимент [28]: результаты расчетов по фундаментальным моделям разных авторов, приведенные в [28]: _ - в приближении локального потенциала: Л - метод Монте-Карло: • - метод молекулярной динамики для жидкого водорода при температуре 1000К: ♦ - расчет в приближении локального потенциала для атомного твердого водорода. © - холодное сжатие водорода, рассчитанное по модели Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками согласно [29].

Отмечается также, что для аппроксимации своих экспериментальных и литературных теоретических данных в [28] используется подгоночное соотношение для Р(У) из [35] с тремя подгоночными константами. При этом для того чтобы достичь точной апроксимации в [28] потребовалось два комплекта подгоночных констант - для области низких и высоких давлений. В этой ситуации авторская изотерма 1 молекулярного твердого водорода представляется оптимальной. Действительно, во-первых, изотерма 1 содержит только один подгоночный параметр и, во-вторых, изотерма 1 с не меньшим успехом, чем [28,35] аппрокисмирует сжатие молекулярного кристалла водорода - отличие графиков из работы [28] находится в ширине линии 1 на рис.9 во всей области давлений.

В конце Главы 3 представлены основные ее результаты, главный из которых заключается в том, что изохорно-изотермический потенциал (18) с ключевыми функциями в (15) и Ех (17) дает детальное описание термодинамических свойств самых разнообразных материалов из такого обширного класса твердых тел. как кристаллические вещества.

с

5 00

1.6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. В заключении перечислены главные результаты

диссертации:

1. Установлена общая закономерность для объемно-температурной зависимости коэффициента Гргонайзена (14)

Г(17. Г) = 2/3 -2/(1-а¥о/Ю,

где параметр ангармоничности а -а(Т) - известная функция температуры.

2. Достоверность найденной закономерности для Г(1\Т) подтверждена прямыми экспериментальными и теоретическими данными других авторов на примере разнообразных веществ в диапазоне двукратных сжатий и при температурах от комнатной до тысяч градусов.

3. Как следствие в области сжатия получены новые общие закономерности для двух ключевых свойств материала - объемно-температурной зависимости характеристической температуры в(У,Т) (15)

ва'.Т) = во[(а-У/\'0)/(а -¡Л^УсА']2'3 ' и объемной зависимости потенциальной энергии ЕХ(У) (17)

Ех(\0 = ■ахУ0{С,9(х2/3/Ю+ 2х'/3+ Зх4/3/2 - х7/3/7+х'° 3/70)+С2х} + С3;

глех^УЯа^Уо) - нормированный удельный объем; ял, С;, С2, Сз -индивидуальные константы материала, из которых только ах является

подгоночной.

4. Построен изохорно-изотермический потенциал твердого тела /•/Т7,Т) (18) в приближении Эйнштейна с ключевыми функциями Е^Е^7) и О = в(1\ 'Г) в авторском виде (17) и (15)

+ ЗЯп{в/2 + ТЬп[1-ехр(-6/Т)]}

5. Процедура построения изохорно-изотермичесжого потенциала (18) сформулирована в виде нескольких однозначно определенных правил, совокупность которых представляет собой рекомендации, по использованию теоретических результатов 1-4 в практических задачах построения уравнений состояния твердых тел. /

6. Показано, что изохорно-изотермический потенциал (18) единообразно и с одинаковым успехом прогнозирует термодинамическое поведение иллюстративного ряда различных кристаллических веществ при сжатии в диапазоне давлений от единиц до сотен гигапаскалей и уменьшений объема твердых тел на десятки и сотни процентов.

ПРИЛОЖЕНИЯ. В приложении А приведены справочные свойства различных твердых тел, которые использовались в диссертации при получении количественных результатов.

В приложении Б приведены аналитические выражения для главных термодинамических свойств - энтропии, энергии, уравнений состояния, теплоемкости; объемных модулей и т.д., которые представляют собой детализацию термодинамики сжатия твердого тела в терминах изохорно-изотермического потенциала Fß'.TJ (18) с ключевыми функциями Ех(]') и в(\',Т) в авторском виде (15) и (17).

В приложении В представлены параметры в0, а0, cjo, ах, C'i, С?, С,- изохорко-изотермического потенциала (18) в области сжатия для иллюстратив. юго ряда различных кристаллических веществ - металлов (AI, Си, Mo, Pb, Ag, Pd, ). ионного (Csl), валентного (алмаз) и молекулярного (твердый водород п-Н2) кристаллов.

ЛИТЕРАТУРА. Список литературы содержит 118 названий публикаций других авторов по теме за период с 1930 по 1996 гг.

Список цитированной литературы

I. Жарков В.П.. Калинин !!.Л. Уравнения состояния 1верды\ тел при высоких давлениях п температурах. М: Наука. 1968. С.311

2 P.utm D.J., Forbes .IV,'// Accurate relations dsknuitiing the volume dependence of tlw quasiharoioiiic Grunciscn parameter,/Phys.Rev.Lettcrs. 1963 v.21, N23. p. 1582-15S5.

3 Shaner J W Grunciscn gamma and acoustic velocity for soft. spheric fluid:.// J.Chcm.Phys 19SG 89 N3 P 1616-1024

4 McQeen R G .Marsh S.P., Taylor J.W.Fritz J.N., Carter W -In. High-Velocity Impact Phenomena' ed R.Kinslovv Academic Press New York and London 1970

5. Boehler R.,Ramakrishnan J. Experimental results on the pressure dependence of the Gruneisen parameter//J Geophys Res. Ser.B. 19S0 V S5. P.6996-7002.

6. Лльтш\лер Л.В., Бруснпкин C.E.. Кузьменков E.A. Изотермы и функции Грюнайзена 25 металлов.//ПМТФ. 1987. N4. С.134-146.

7. Бушман А.В.. Капель Г.П.. Hit A.J1.. Фортов В.Е. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействии. Черноголовка. 1988. С. 200.

8. Бушман А.В.. Ломоносов П.В.. Фортов В.Е. Модели широкодиапазонных уравнений состояния веществ при высоких плотностях энергии.-М., 19S9. (Препринт/!IBTAH. N 6-287 С.44).

9. Бушман А.В.. Жерноклетоз М.В.. Ломоносов II.В., Сутулов Ю.Н.,Фортов З.Е., Хищеико К.В. Исследование плексигласа ¡1 тефлона в волнах повторного ударного нагружения и изэнтропической разгрузки. Уравнение состояния полимеров при высоких плотностях энергии //Доклады Академии Наук. 1993. Т.329. N5. С. 581-584.

10. Бушман А.В.. Ломоносов П.В.. Фортов В.Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии.-Черноголовка: 1992.с. 196.

11. Ronde R \V„ Towne TL Shock-Compression of Tantalum at 25 and 900 C// J.Appl.Phys 1971 V 42 N2. P S78-S79

12 Boness D.A . Brown J.M., Shaner LAY. Rarefaction velocities in shocked lead// in Shock Compression of Condensed Matter 19S7 ed. by SC. Schmidt and N.C Holmes, North Holland, Amsterdam 19SS, p 115-118

13 Hixson R.S., Bonnes D.A., Shaner JW Acoustic Velocities and Phase Transition in Mohbdenum under Strong Shock Compression//Phys. Rev.Lett.l9S9.v.62. N6, p.637-640.

14. Boness D.A., Brown J.M. Time-resolved optical spectroscopy of shock-compressed fluid alkali hahdes/ ' in Shock Compression of Condensed Matter 1989 ed by S.C Schmidt, J.N. Jonson, L.W Davison . Elsevier Science Publishers B.V. 1990, p.S63-866.

15. Swcnson С A., Shaner J.M., Brown J.M. Hugoniot overtake sound-velocity measurement on Csl//Phys.Rev. B, 1986, V.34, N11, p. 7924-7935.

16. Radousky HB., Ross M., Mitchell A.C , Nellis W.J. Shock temperature and melting Csl// Phys. Rev B^ 19S5, V.31, N3, p. 1457-1462.

17. Зельдович Я.Б. Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокоскоростных гидродинамических явлений. - М.: Наука. 1966 С.686.

18 .Arnold №'., Sachs W Measuring and simulation of steady shock wave profiles in armco iron// in. Shock Compression of Condensed Matter 1989 ed. by S.C Schmidt, J.N. Jonson, L.W Davison Elsevier Science Publishers B.V. 1990, p.337-340.

19. Audin J., Bukowinski M.S. Equation of state and metallization of Csl //Phys.Rev.,B.19S4.V.29 N5. P.2611-2621

20. Анисимов С.И.. Петров Ю.В. Нулевые колебания твердого молекулярного водорода при высоких давлениях. Препринт, Черноголовка 1979, С.21.

21 Zha С S., Duffy- Thomas S„ Мао Н К , Hemley R.J. Elasticity of hydrogen to 24 GPa from single-crystal Bnlloum scattering and synchrotron x-ray diffraction.// Phys Rev В 1993 -v 48-N13 - P 9246-9255

22. Кормер С.Б.. Фунтиков А.И..Урлин В.Д. Колесников А.Н. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах//ЖЭТФ. 1962. т.42., С.686-701.

23. Кормер С.Б., Урлин В.Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для области высоких давлений// ДАН СССР. 1960, т. 13!. С.542-545.24. Калиткин Н.Н.. Говорухина И.А. Интерполяционные формулы холодного сжатия вещества // ФТТ. 1965. Т.7. С.355-362.

25. Syassen К., Holzapfel W.B. Isothermal compression of A1 and Ag to 120 kbar // J Appl Phys 1978.'V 49, pp.4427-4430^26. Litygina L.M., Malyushtskaya Z.V., Pashkina T.A., Kabalkina S.S Isothermal compression of A1 to 10 GPa at 673 K// Phys Stat Sol. ser.A 1982, V.69, N2, pp K147-K150

27 Мао H.K., Bel! I' M Specific volume measurement of Cu, Mo, Pd and Ag and calibration o; the rubvRl fluorescence pressure gouge from 0 06 to 1 MBar//J Appl Phys 1978, V.49, N6, pp 32.'6-3283

2S Loubeyre P., LeToullec R., Hausermann D. Hanfland M„ Hemley R.J., Mao H K., Finger ..YV. X-ray difraction and equation of state of hydrogen at megabar pressures.// Nature, -24 October 1996, V.3S3, pp 702-704

29. Калиткин H.H. Модель атома Томаса Ферми с квантовыми и обменными поправками.// ЖЭТФ 1960. т.38 в.5. С.1534-1540.

30. Трунин Р.Ф., Сутулое Ю.Н., Медведев А.Б., Рогозин Б.Д.. Федоров Ю.Е. Сжимаемость пористых металлов в ударных волнах.//ЖЭТФ, 1989, Т.96, в.3(9). С.1024-103S.

31 Compendium of Shock Wave Date./ ed. By van Thiel. Lowrence Livermor Laboratory, 1977.

32 Williams Q, Jeanloz R. Analysis of Csl shock-wave data in terms of high-icmperaturc dissociation // in Shock Compression of Condensed Matter 1987 ed by S.С Schmidt, N.С Holmes 19S8, P 73-75

33. Жерноклетов M.B.. Зубарев B.H., Трунин Р.Ф.. Фортов В.Е. Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии. РАН: Черноголовка 1996, 385 с.

34. Новиков Н.В., Кочсржинский Ю.А., Шульман Л.А. и др. Физические свойства алмаза. Справочник.- Киев: Наукова Думка, 1987. 188 с.

35. Vinet P., Ferrante J., Smith J.R., Ross J.H A universal equation of state for solids //' J Phys. С 19S6. V 19, P.467-473

ВВЕДЕНИЕ.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР.

ГЛАВА 1.

ОБЪЕМНО-ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАИЗЕНА

1.1. Вывод объемной зависимости коэффициента Грюнайзена на основе закономерностей ударно-волнового сжатия монолитного материала при различной начальной температуре.

1.2. Вычисление параметра ангармоничности.

1.3. Температурная поправка к объемной зависимости коэффициента Грюнайзена.

1.4. Экспериментальное подтверждение объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена.

1.5. Границы применения предлагаемой объемно-температурной зависимости коэфициента Грюнайзена.

ГЛАВА 2.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЪЕМНО-ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ГРЮНАИЗЕНА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТВЕРДЫХ ТЕЛ.'.

2.1. Объемно-температурная зависимость характеристической температуры.

2. 2. Потенциальная энергия и потенциальное давление.

2. 3. Изохорно-изотермический потенциал.

2. 4. Уравнения состояния и ударное сжатие твердого тела.

2.5. Калибровка потенциала.

2.6. Поправка, связанная с термически возбужденными электронами проводимости.

ГЛАВА 3.

И30Х0РН0-И30ТЕРМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ТЕРМОДИНАМИКА СЖАТИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ.

3.1. Изотермическое и ударное сжатие металлов.

3.2. Изотермическое и ударное сжатие ионного кристалла иодистого цезия.

3.3. Термодинамические свойства валентного кристалла алмаза при высоких давлениях и температурах.

3.4. Изотермическое сжатие молекулярного кристалла твердого водорода.

Коэффициент Грюнайзена устанавливает связь между тепловым давлением и плотностью тепловой энергии и является одним из ключевых термодинамических параметров в проблеме уравнения состояния твердого тела. Этот параметр обусловлен ангармоническим характером колебаний атомов кристалла. При небольших изменениях объема и температуры твердого тела ангармонические поправки сводятся к минимальным, но не нулевым значениям. Так, целый ряд свойств кристалла, проявляющихся при любой температуре удается объяснить только при учете ангармонических членов в энергии взаимодействия атомов. Наиболее известное из них - тепловое расширение. В этом же классе эффектов находится и отличие от нуля коэффициента Грюнайзена. Максимально возможное упрощение в описании ангармонических эффектов заключается лишь в том, чтобы свойства, обусловленные ангармоничностью, считать постоянными. Например, зачастую коэффициент Грюнайзена принимается индивидуальной константой материала. Но это приемлемо только при небольших изменениях объема и температуры. Недостаточность этого приближения ощутимо проявляется уже при описании сжатия конденсированных сред в ударных волнах, генерируемых химической взрывчаткой и прогрессивно возрастает по мере увеличения сжатий и температур. При описании же поведения твердых тел в экстремальных условиях, например, атомных взрывов или в ядрах планет, приближение постоянства ангармонических характеристик абсолютно неприемлемо. Таким образом, установление зависимости коэффициента Грюнайзена от объема и температуры является важной фундаментальной и прикладной проблемой.

Поиску достоверной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена посвящена обширная научная литература, которая исчисляется сотнями публикаций. При этом применяются самые разнообразные подходы - от сугубо эмпирических до сложных квантовомеханических расчетов. К настоящему времени получено немало важных результатов об объемно- температурном поведении коэффициента Грюнайзена, но тем не менее окончательного решения этого вопроса еще не найдено.

В представленной работе установлен новый вид объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена. Оригинальность авторского подхода заключается в том, что в основу вывода объемной зависимости коэффициента Грюнайзена положены закономерности ударно-волнового сжатия монолитного материала при различных начальных температурах. Полученное соотношение дополнено температурной составляющей и показано, что найденная объемно-температурная зависимость коэффициента Грюнайзена соответствует реальности - с ее помощью оказывается возможным единообразно и точно интерпретировать теплофизические свойства кристаллических твердых тел как в обычных условиях, так и в области высоких давлений (до сотен гигапаскалей), температур (до нескольких тысяч градусов) и сжатий (многократного уменьшения объема).

Основные результаты диссертации опубликованы в

1. Молодец А. М. "Функция Грюнайзена, определенная на основе закономерностей ударно-волнового сжатия монолитного материала. "// Доклады АН, 1995, т. 341, No. 6, С. 753-754.

2. Молодец А. М. "Функция Грюнайзена и нулевая изотерма трех металлов до давлений 10 ТПа. '7/ЖЭТФ, 1995, т. 107, в. 3, С. 824-831

3. Molodets A.M. "Universal Gruneisen Function for Condenced Matter"// Bulletine of the American Physical Society, 1995, v. 40, No.6, P.1391.

4. Молодец A.M. "Обобщенная функция Грюнайзена для конденсированных сред."// ФГВ, 1995, т. 31, No. 5, С. 132-133.

5. Molodets A.M. "Gruneisen function and zeroth isotherm up to 10 TPa."// in: The Current State and Future of High Pressure Physics; Troitsk, Russia, September 7-9 1995, P.43.

6. Молодец A.M. , Молодец M. А. "Температурная зависимость функции Грюнайзена химических элементов."// Химическая Физика, 1997, т. 16, No. 5, С. 117-121.

7. Молодец A.M. "Ихохорно-изотермический потенциал и термодинамика ударного сжатия твердых тел."// в сб. XI Симпозиум по горению и взрыву, Черноголовка 1996. Химическая физика процессов горения и взрыва, т. I, часть вторая, С. 333-335.

8. Молодец А. М. "Уравнение состояния твердых химических элементов. "// Доклады АН, 1997, т. 353, No. 5, С. 610-612.

9. Молодец А. М. "Изохорно-изотермический потенциал и термодинамика ударного сжатия твердых тел."// Химическая Физика, 1997, т. 16, No. 9, С. 132-141.

10. Molodets A.M., Molodets М.А., Nabatov S.S. "Free Energy and Shock Compression of Diamond."// Bulletin of the American

Physical Society, 1997, v.42, No.5, P.1510.

11. Molodets A.M., Molodets M.A., Nabatov S.S. "Free Energy and Shock Compression of Diamond."// Shock Comression of Condenced Matter-1997, ed.by S.C. Schmidt, D.P. Dandecar, J.W. Forbs, AIP Press, New York, 1998.

12. Молодец A.M., Молодец M. A. , Набатов С. С. "Термодинамика твердых тел и жидкости в области высоких давлений."// в сб. Тезисы XIII Международной конференции 'УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА', Терскол, 1998, С. 44.

Основные результаты диссертации докладывались:

1. на международной конференции " The Current State and Future of High Pressure Physics" Troitsk, Russia, September 7-9 1995.

2. на XI Симпозиуме по горению и взрыву, Черноголовка, Россия, 18-22 ноября 1996.

3. на международной конференции 10th APS Topical Conference on Shock Comression of Condenced Matter, Amherst, Massachussets, USA, 27 July - 1 August 1997.

Результаты диссертации докладывались на сессиях Ученого Совета Института Химической Физики РАН в Черноголовке и семинарах этого института, а также на семинаре Института Физики Твердого Тела РАН, Институна Динамики Геосфер РАН, Института Математического Моделирования РАН.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Появление в научном обиходе термина "коэффициент Грюнайзена" связано с видом первых уравнений состояния одноатомного твердого тела, предложенных Ми, а затем Грюнайзеном. Оба эти уравнения имеют одинаковую, так называему форму Ми-Грюнайзена (см. [1])

Ч,Т) + ¿у* = уЕ^У (1.0), где Р давление, V - объем, ЕХ=ЕХ(У) - потенциальная энергия, определяемая только объемной зависимостью межатомных сил, Е^ -кинетическая энергия колебаний решетки, то есть тепловая энергия, у - положительный постоянный коэффициент, определяемый параметрами межатомных потенциалов.

Грюнайзен получил ряд общеизвестных следствий своего уравнения, которые используются вплоть до настоящего времени, такие, как выражение у через термодинамические свойства, незначительную температурную зависимость у. Однако главная причина, по которой параметр у носит имя этого автора, заключается в том, что Грюнайзен использовал у для оценки зависимости собственной частоты у деформированного кристалла от его объема [2] (см. также в [1]). Полученное им соотношение имеет вид (? 0) V дУ * (¿.и).

Применительно к вопросам уравнений состояния соотношение (2.0) послужило отправным пунктом для широкого внедрения квазигармонического приближения. При этом потребность в уточнении (2.0) долгое время не возникала - теоретические и практические запросы удовлетворялись предположением о постоянстве у. Однако, начиная с пятидесятых годов, резко обозначился интерес к состоянию конденсированных сред в области больших сжатий и температур. Сразу же оказалось, что соотношение (2.0) нуждается в уточнении - необходимо предполагать, что у представляет собой некоторую функцию объема, то есть ^ = Этим было положено начало большому числу вариаций (2.0), которые продолжаются вплоть до настоящего времени. Главная цель этих усилий заключается в том, чтобы отыскать достоверную объемную зависимость коэффициента у = а затем и температурную зависимость коэффициента Грюнайзена Г = Г(Т, Т). Рассмотрим это направление научных поисков подробно. Начнем с того, что приведем сводку основных соотношений модели гармонического и квазигармонического приближений (см. [3, 14,15]).

Как известно, при теоретическом описании кристалл представляется состоящим из N элементарных ячеек, каждая из которых содержит п атомов. Полное число степеней свободы такого кристалла равно ЗНп, из которых три соответствуют поступательному и три вращательному движению кристалла как целого. Поэтому число колебательных степеней свободы равно ЗNn-6. Но так как ЗМп >>6, то считают, что число колебательных степеней свободы равно ЗМп.

В первом приближении колебательное движение такой системы рассматривается как совокупность малых колебаний около положений равновесия и, следовательно, это движение может быть сведено к нормальным колебаниям, каждое из которых в этом приближении является независимым гармоническим колебанием. Таким образом, колебания атомов кристалла, с механической точки зрения, оказываются эквивалентны колебаниям системы ЗМп независимых простых гармонических осцилляторов. В случае малых колебаний свободная энергия системы ЗМп гармонических осцилляторов, то есть решеточная часть свободной энергии (изохорно-изотермического потенциала) кристалла Е, записывается как :

ЗМ-, ЗМп

Р = + Т Ьи - + кТ У 1п[1 - ехр(-Ьи,/кТ)] (3.0) х j-2 j-2 ; где Е (V) ~ потенциальная энергия кристалла, являющейся функцией только объема V, Ь постоянная Планка, к - постоянная Больцмана, Т - температура, V• - частота моды j квантового гармонического осциллятора, j = 1,2,.ЗИп. Все термодинамические функции колеблющегося кристалла вычисляются путем частного дифференциирования (3.0) по температуре или объему согласно общим .соотношениям термодинамики. В частности, давление Р, энергия Е, энтропия теплоемкость при постоянном объеме Су, изотермический модуль объемного сжатия К^, коэффициент теплового расширения ¡3, теплоемкость при постоянном давлении Ср, адиабатический модуль объемного сжатия К определяются следующими формулами; р = -сзг/аюг ,

Е = Е - Т(дЕ/дТ)у , Б = ~(дЕ/дТ)у ,

Су= -Т(д2Е/дТ2)у , (4.0)

Кг= У(д2Е/дУ2)т , ¡3 = ~[д(дЕ/дУ)т/дУ]т/К1 = (дР/дТ)у/Кг , Ср= Су + ,

К3= Ц(С?/Су) .

Для того, чтобы проводить практические вычисления термодинамических свойств твердого тела по формулам (4.0). необходимо знать все частоты Vj . В принципе эти частоты рассчитываются. Работы в этом направлении [ 1 ] издавна велись и продолжаются до настоящего времени.

В качестве примера на рис.1, приведенном в [4], показана плотность нормальных колебаний g(v) как функция частоты для простой кубической решетки, полученная теоретически в [5]. В [5] показано, что относительно функции g(v) можно высказать некоторые общие утверждения. В частности, имеется максимальная частота v. такая, что g(v) = 0 для v>vmov. При этом в области шал' Шал больших частот в ходе изменения giv) можно наблюдать два или несколько отчетливых максимума. Один из этих максимумов весьма близок к v , после чего giv) очень быстро падает до значения, til cl л. равного нулю.

Теоретические результаты по исследованию динамики решетки в рамках подхода 11 ] подтверждаются и экспериментальными исследованиями спектра частот. Так, на рис. 2, приведенном в [6] показан спектр колебаний решетки ванадия (сплошная кривая), вычисленный из данных по некогерентному рассеянию нейтронов. Но в целом, вследствие сложного вида giv), результирующие свойства функции распределения не могут быть представлены с помощью какого-либо простого аналитического выражения.

Кроме этого, сложность такого подхода состоит, во-первых, в том, что упр:угие постоянные, определяющие спектр частот, неизвестны с достаточной точностью для большинства реальных кристаллов, и, во-вторых, в необходимости в каждом случае проводить численные расчеты. В результате теряются преимущества простоты и общности формул (4.0), которые дают единый набор го о3 (¿и^о,/)

Рис.1. Теоретический расчет плотности нормальных колебаний ¿(у) как функция частоты для простой кубической решетки. Максимальная частота 1> ^ = 1,55; частота Дебая уп = 1,32

Шал и частота в произвольных единицах) уравнений для всех твердых тел.

Поэтому на практике до сих пор используются функции распределения, которые являются простейшими формами g(v). Наибольшее распространение с момента своего возникновения и до настоящего времени получило приближение Дебая (см.[1,3,14]) = (9/ири2 , где Уд так называемая характеристическая частота Дебая, такая, что при v > значение g{v) следует полагать нулю. Спектр колебаний решетки ванадия в приближении Дебая показан на рис. 2 штрих-пунктирной линией и, как видно, разумно согласуется с экспериментом. Отметим, что обычно принято использовать параметр вр- характеристическую температуру Дебая, определяемую соотношением вр= Ьи^/к

Приближение Дебая имеет большое значение и получила широкое распространение в теории кристаллов (см .[3,4,6-8]).

Однако исторически первое и самое простое приближение для колебательного спектра кристалла - это приближение Эйнштейна [9], согласно которому все колебательные моды имеют одну и ту же частоту У£ . Частота называется характеристической частотой Эйнштейна. Как и выше, здесь принято использовать параметр 0 -характеристическую температуру Эйнштейна (дальше - просто температуру Эйнштейна), определяемую соотношением

0 = йи£/к (5. 0)

В дальнейшем, при сравнении приближений Эйнштейна и Дебая было показано (см.[3]), что можно получить достаточно точное совпадение обоих приближений, если использовать для (или для 0) выражения соответственно при высоких (относительно 0^) и£ = 0, 775рв , 0 = 0,775вв (6.0) и всех других температурах 0,75ип , 9 = 0,75вв (7.0)

Наибольшее различие между приближениями Дебая и Эйнштейна наблюдается лишь при температурах меньших Т=0, 50^. Спектр колебаний решетки ванадия в приближении Эйнштейна g(v)показан на рис.2 штриховой линией.

Как говорилось выше, приближение Дебая получило наибольшее распространение. Что же касается приближения Эйнштейна, то на первый взгляд оно представляется очень грубым. Однако, еще в [4], а затем и современными специалистами [8] отмечалось, что. в действительности g(v) (см. рис.1) обычно имеет вблизи

ШаХ резкий максимум, так что для высоких и средних температур приближение Эйнштейна описывает наиболее важную часть g(v) с приемлемой точностью. В частности, модель Эйнштейна дает хорошие результаты при расчете вклада в теплоемкость за счет узких высокочастсШых ветвей спектра и поэтому ее продолжают использовать до настоящего времени [8]. Кроме этого, отметим, что аналитические выкладки при использовании приближения Эйнштейна гораздо проще и нагляднее, чем при применении приближения Дебая, и в то же время сохраняют существенные стороны качественного и количественного описания. В связи со всеми этими обстоятельствами везде в дальнейшем будем опираться преимущественно на модель Эйнштена и вернемся к обсуждению термодинамических функций гармонического кристалла в приближении Эйнштейна.

При использовании газовой постоянной

Я = М (8. 0) и соотношения (5.0) выражение для свободной энергии (3.0) приобретает вид

Е = Еу(V) + ЗЯп[в/2 + Т1п(1 - ехр(-в/Т)]

9. 0)

Соответственно термодинамические функции (4.0) гармонического кристалла в приближении Эйнштейна имеют вид:

Р = ~(дЕх/дУ) - ЗКп(дв/дУ)т[1/2 + 1/(ехр(9/Т) - 1)] (10.0),

Е = + ЗЯпв[1/2 + 1/(ехр(в/Т) - 1)] (11.0),

Л.

Б = -ЗЯп[1п(1 - ехр(-в/Т)) - (в/Т)/(ехр(в/Т) - 1)] (12.0),

Ск= ЗКп(в/Т)2ехр(в/Т))/[(ехр(в/Т) - I)]2 (13.0),

К£= 7ra2F/a72>r (14.0),

Э = -[д(дЕ/дЧ)1/дМ}1/К% = (дР/дТ)¥/Кг (15.0),

Ср= Сч + ¡32К ^Т (16.0),

К5= К^Ср/Су) (17.0).

Строго говоря, комплект соотношений (10. 0)-(17.0) должен применяться с учетом того обстоятельства, что в гармонической модели все частоты не зависят от объема. Это в равной мере относится и к соотношению (5.0). То есть частную производную температуры Эйнштейна по объему везде, где она встречается в (10.0)-(17.0), следует полагать равной нулю: дв/дУ)т = 0 (18.0)

С учетом (18.0) формулы (10.0)-(17.0) приводят в частности к следующим выводам для гармонически колеблющегося кристалла:

1. согласно (10.0) давление твердого тела не зависит от температуры,

2. согласно (10.0) и (15.0) коэффициент теплового расширения равен нулю,

3. согласно (15.0) и (16.0) теплоемкость при постоянном давлении равна теплоемкости при постоянном объеме,

4. согласно (16.0) и (17.0) адибатический и изотермический модули объемного сжатия равны.

Как хорошо известно, ни одно из следствий 1-4 не выполняется-для реальных кристаллов. Причина данного несоответствия заключается в неучете ангармонических эффектов, обусловленных членами третьего и более высокого порядка, которыми пренебрегается в разложении потенциальной энергии по степеням отклонения атомов от положения равновесия при выводе формулы для свободной энергии гармонического кристалла. Если же эти члены учитываются, то частоты становятся функциями объема и противоречие с экспериментом снимается. Однако при этом существенно усложняется процедура использования комплекта соотношений (4.0). Более того, даже при современном развитии физики твердого тела расчет зависимости спектра частот от объема или экспериментальное определение этой зависимости в широком диапазоне сжатий представляет практически невыполнимую задачу.

В этой связи здесь уместно заметить, что в формулах (4.0) термодинамические величины можно разделить на две группы - в одной из них дифференциирование проводится при постоянном объеме и, следовательно, здесь достаточно знать лишь сами частоты Vj. В другой группе необходимо знать производные по объему при постоянной температуре. В этом случае важны сведения не только о самих частотах, но и об их объемной зависимости.

Вычисление производных при постоянном объеме проще, что видно на примере вычисления Су и Р. Температура явно входит в выражение для свободной энергии, так что, если известны частоты, теплоемкость можно найти непосредственным дифференциированием (3.0). С другой стороны, при нахождении давления дифференциировать следует по объему. Поэтому, как только что отмечалось, кроме самих частот необходимо знать как именно они зависят от объема. Характер этой зависимости для твердого тела редко известен с большой точностью. В итоге, когда анализируются такие свойства, как, например, теплоемкость, оказывается возможным строго и последовательно использовать выражение (3.0). В этом направлении получены важные теоретические и экспериментальные результаты, ставшие классическими и вошедшие в учебники (см. [3,7,8]).

При построении же теории уравнения состояния твердого тела, связывающей между собой величины Р, V и Т, точность и последовательность описания оказывается ниже, чем в первом случае. Здесь гораздо чаще приходится прибегать к различного рода упрощениям и гипотезам. Так, для того, чтобы устранить несоответствие реальности отмеченных выше следствий 1-4 и в то же время сохранить простоту описания, характерную для модели гармонического осциллятора, предполагается, что зависимость частот Vj от объема в (3.0) по аналогии с оценкой Грюнайзена (2.0) описывается выражением din V- /din V)T = - к , (19.0) где у - положительная постоянная, одинаковая для всех нормальных мод квантового гармонического осциллятора. Величина у называется коэффициентом Грюнайзена и представляет собой индивидуальную характеристику конкретного кристалла.

Для Эйнштейновского приближения предположение (19.0) записывается как din 0/dln V)T = - j (20.0), соответственно комплект термодинамических свойств (4.0) приобретает вид:

21. 0), (22. 0), (23.0), (24. 0), (25. 0), (26. 0), (27.0), (28.0), где в отличие от (10.0)-(17.0) (дlnQ/дlnV)J не равно нулю и определяется (20.0).

Учитывая, что потенциальное давление Р(У) определяется производной от потенциальной энергии Е (V)

РХ(У) = - йЕх(У)/йУ (29. 0) и принимая во внимание определение (20.0) и соотношение для энергии (22.0), можно записать выражение для давления (21.0) в виде

Ч,Т) ~ РХШ = С Т/7 )(Е(Ч,Т) - ЕХ(Ч)) (30.0).

Соотношение (30.0) представляет собой уравнение, сотояние в форме Ми-Грюнайзена (1.0). Соотношение (30.0) показывает, что коэффициент Грюнайзена (20.0) представляет собой коэффициент пропорциональности между тепловым давлением Р(У,Т) - РХ(У) и плотностью тепловой энергии Е^= Е(У,Т) - ЕХ(У). Такое понимание коэффициента Грюнайзена закрепилось в научной литературе за величиной эг. Комбинируя выражения (24.0), (25.0), (26.0) можно как ив [2] получить выражение у, позволяющее экспериментально

Р = ~(дЕх/дУ) - ЗВ.п(дв/дУ1/2 + 1/(ехр(д/Т) - 1)] Е = Е (V) + ЗЯпв[1/2 + 1/(ехр(в/Т) - 1)] Л

5 = -ЗКп[1п(1 - ехр(-в/Т)) - (в/Т)/(ехр(в/Т) - 1)] Су= ЗЯп(в/Т)2ехр(в/Т))/[(ехр(в/Т) - I)]2 Кь= Ч(д2Е/М2)1

3 = -[д(дЕ/дУ)т/дУ]т/К{ = (дР/дТ)]//К1. Ср= Су(1 + №) К= К^Ср/Су) определять его величину у = 0 К^/Су (31.0)

Заметим, что, строго говоря подход, с помощью которого получаются формулы (20.0)-(30. 0), непоследователен.

Действительно, введение отличного от нуля коэффициента Грюнайзена (19.0) или (20.0) представляет собой нарушение предположения о гармоническом приближении, в рамках которого получено выражение (3.0) для свободной энергии. Однако, несмотря на эту непоследовательность, гипотеза (19.0) оказалась весьма плодотворной и не потеряла своей разумности вплоть до настоящего времени. Это обусловлено тем, что путем введения коэффициента Грюнайзена оказывается возможным, хотя и произвольным образом, учесть влияние ангармоничности. В этом смысле выражение для свободной энергии (3.0), в котором зависимость частот от объема задано (19.0), рассматривается как свободная энергия кристалла в квазигармоническим приближении. Соответственно (9.0) и (20.0) задают свободную энергию (изохорно- изотермический потенциал) твердого тела в квазигармоническом приближении для модели Эйнштейна.

Сделаем еще одно замечание относительно комплекта формул (20. 0) — (30. 0). Обычно принимается, что величина эг (19.0) не зависит от температуры и в лучшем случае является функцией только объема. Такое же предположение делается и для 0 (5.0). В некотором диапазоне термодинамических переменных эти приближения в общем подтверждается экспериментом. Однако более тщательные измерения особенно в области низких температур показали, что для многих кристаллов величина В изменяется с температурой (см., например, [3,4]). Следовательно, в соответствии с (20.0) и коэффициент Грюнайзена является функцией не только объема, но и температуры. Температурная зависимость у установлена также и теоретически [10]. Что же касается экспериментального исследования у(Т), то в [113 приведены многочисленные данные для конкретных твердых тел, свидетельствующие об этой зависимости. Однако в связи с тем, что отклонения в от постоянного значения в0 при комнатной начальной температуре, как правило, не превышают 20% и часто менее 10%, температура Эйнштейна считается постоянной по температуре, соответственно коэффициент Грюнайзена полагается зависящим только от объема. С учетом этих предположений комплект формул (20.0)-(30.0) представляет собой рабочий инструмент, использующиийся многими исследователями в своих работах. Однако при описании поведения твердого тела в экстремальных условиях постоянство коэффициента Грюнайзена оказывается неприемлемым не только по отношению к объему, но и по отношению к температуре. В современных работах по уравнениям состояния коэффициент Грюнайзена рассматривается как функция, существенно зависящая от этих термодинамических переменных [12].

Как отмечалось во введении, исследованию коэффициента Грюнайзена и его связи с физическими свойствами различных твердых тел посвящена обширнейшая научная литература. Примером тому может служить недавно вышедшая монография [13], в которой обсуждается коэффициент Грюнайзена применительно к целому ряду свойств полимеров - от вязкоупругости до разрушения. Однако в данном тексте ограничимся обзором результатов, которые касаются главным образом вопросов уравнения состояния, где, как известно [14,15,12], одна из основных проблем заключается в отыскании достоверной объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена в максимально широком диапазоне изменения объема и температуры.

Прежде всего следует иметь в виду ассимтотические значения коэффициента Грюнайзена, которые следуют из весьма общих физических предпосылок (см. [15,16]). При нормальных условиях ) коэффициент Грюнайзена У(У0>Т0) =1^2 практически для всех веществ, исключая молекулярные кристаллы, для которых 5

Для давлений 10 ГПа, когда свойства всех веществ нивелируются и они ведут себя как вырожденный ферми-газ, значение у = 2/3 вне зависимости от температуры. При еще больших давлениях (при стремлении давления к бесконечности), согласно [17], эг стремится к 1/2, что соответствует колебаниям решетки из "голых ядер". С другой стороны, в [24] было показано, что учет экранирования электронами кулоновского взаимодействия ядер даже при относительно высоких давлениях увеличивает ц с 1/2 до 2/3. Таким образом, можно считать, что при очень высоких давлениях и температурах у = 2/3. С другой стороны,если атомы материала разъединяются и разводятся на большие расстояния внешней силой (объем растет), вещество превращается в газ даже при низкой температуре, так что формально при V, стремящемся к бесконечности, у должен стремится к значению^ характерному для идеального газа, то есть опять таки к 2/3.

Что же касается промежуточных значений коэффициента Грюнайзена ,Т), то один из наиболее значительных результатов в этом направлении был получен в [18], где была предложена формула Слэтера, связывающая коэффициент Грюнайзена с потенциальным давлением Р : Л 2 2

5<у>

32)

Формула Слэтера, как и соотношения подобного класса - формула

Дугдала-Макдональда [191

7 у д2(Р^Ч2/3)/дУ2 *йт(¥) =32 "" 273----------{33'0) л или Ващенко-Зубарева [20], т/ д2(Р^/3)/дЧ2 г (V) = - \ —"г/з----------{34-0) А получены в рамках определенных модельных представлений и при некоторых допущениях.

Опираясь на общеизвестные соотношения (см.,например, [3]) и следуя [16], рассмотрим упрощенный вывод соотношения Слэтера применительно к приближению Эйнштейна. Как отмечалось выше, реальный спектр частот и^ обычно имеет резкий максимум вблизи максимальной частоты. Отождествляя максимальную частоту с характеристической частотой Эйнштейна и^, оценим ее по порядку величины как отношение скорости распространения упругих волн объемного сжатия С к минимальной длине звуковой волны, которая,в свою очередь.составляет величину порядка межатомного расстояния г , то есть У£ - С/г . Поскольку изотермическая скорость звука определяется производной давления (21.0) по объему как г - /т/2 дР А/2 0 ~ ( у дУ } а межатомное расстояние пропорционально корню кубическому из 7/3 объема г ~ V , то „ „2/3, дР Л/2 пппс*»2/3, дР Л/2 Пг т У (- ~ С0П51V (ЗЬ. 0)

Взяв логарифмическую производную от (35.0) а также учитывая (5.0) и определение (20.0), получим д1пV д1пв 2 К2й-РСИ.ЛШ1?.)-д1пУ ~ 3 2(- дР(У,Т)/дV) ~

Т) = ~ дШ =

2. V д1п11дРСУ1Т2/д][1 3 2 дУ

36. 0).

Производная в фигурных скобках (36.0) определяется дифференциированием (21.0) дР/дУ = (йРх/сIV) - ЗШд2Ъ/М2) [1/2 + 1/(ехр(в/Т) - 1)] +

Таким образом, согласно (36.0) коэффициент Грюнайзена определяется логарифмической производной по объему вдоль изотермы и содержит как объемную ? так и температурную составляющие. Выражение (37.0), а с ним и (36.0) существенно упрощается при температуре Т=0 К. Действительно, при стремлении температуры к нулю (37.0) превращается в дР/дУ = (йР^Ш){1 - (2/2)Шд2Ъ/ЪУ2)/(<1Рч/М)} (38.0).

А Л

Преобразовывая в (38.0) с учетом определения (20.0) вторую производную температуры Эйнштейна 0 по объему, перепишем (38.0)

ЗКп(дв/дУ)2 \-тС№1----

37. 0).

Ч(ехр(в/Т)-1Г->

В (39.0) введены обозначения для потенциального модуля объемного сжатия Кх:

КХ(У) = -Чд?х(У)/Ш

40. 0) и давления нулевых колебаний Р •

ПО'

Р„п(У) = ЗЯп(в/2)у/У по

41.0)

Если пренебречь вторым слагаемым в фигурных скобках (39.0), то есть считать, что то, подставляя (42.0) в (36. 0), получим формулу Слэтера (32.0).

Заметим, что для подавляющего большинства твердых тел приближение (42.0) имеет разумные обоснования. Действительно, например, при небольших сжимающих нагрузках давление нулевых колебаний Рпо составляет величину порядка одного гигапаскаля, в то время как потенциальный объемный модуль К , очевидно, равен примерно модулю объемного сжатия при комнатной температуре, то есть составляет величину порядка сотни гигапаскалей. Соответственно, отношение Р /К гораздо меньше единицы. При

11 А этом, как отмечалось выше, величина у составляет величину порядка единицы и изменятся при сжатии в небольших пределах. Следовательно, логарифмическая производная у во втором сомножителе (39.0) также невелика. Поэтому произведение (Рпо/Кх)(-81щ/д1пУ+у+1) по-прежнему остается малым по сравнению с единицей, чем и обосновывается (42.0).

Но, вообще говоря}возможны ситуации когда в (39.0) окажется дР/дУ =

42. 0), значительной, например, величина д1п^/д1пУ, у, или отношение Р /К . Последний случай, очевидно, может иметь место в области

II С/ Л больших растягивающих деформаций в той ситуации, если К будет стремиться к нулю, в то время как 0 будет оставаться конечной вблизи минимума потенциального давления. Таким образом, применение формулы Слэтера в том виде, как она дается формулой (32.0), наиболее обосновано лишь при сжатии и при условии Рпо/К <<1. Другие случаи требуют особого рассмотрения.

Отметим, что при более детальном выводе формулы Слэтера необходимо принимать во внимание также подразделение скорости звука на продольную и сдвиговую составляющие и, соответсвенно, зависимость коэффициента Пуассона от давления, как это сделано в [14]. Однако сведения о зависимости коэффициента Пуассона от давления очень скудны. Поэтому в настоящее время приходится игнорировать эту зависимость.

Формула Дугдала-Макдональда и Ващенко-Зубарева также исходят из некоторых модельных представлений и, следовательно, содержат определенные неточности. Однако формулы (32.0) - (34.0) подверглись основательной апробации, результаты которой свидетельствуют о том, что в вопросах уравнения состояния по большому счету все три формулы оказываются эффективным инструментом в своем первичном виде. Особая роль этих формул заключается прежде всего в том, что они устанавливают связь между двумя важными функциями в проблеме уравнений состояния -потенциальным давлением Р (или потенциальной энергией Е^) и л А коэффициентом Грюнайзена. Поэтому в принципе формулы (32.0) -(34.0) предоставляют универсальную возможность: по известной функции Р (V) или Е (V) найти у(У).

Ж. А

29п97

Очевидно, что практическая реализация указанного приема нахождения к (У) предполагает известными конкретные выражения для используемых потенциальных функций и тем самым затрагивает большую самостоятельную проблему - отыскание потенциалов Р (У) л или ЕХ(У). Поэтому, начиная обсуждение возможности нахождения коэффициента Грюнайзена по известной функции Р (V) или Е (V),

Л Л приведем частичную справку по потенциалам.

В [14] приводятся потенциалы для различных типов твердых тел. Для ионных кристаллов:

ЗАУ

ЕХ(У) = —^--ехр[Ъ(1- х1/3)1 - ЗМ0х~1/3 (43.0)

Для молекулярных кристаллов: ЗаУ

Ехт = —ь~ехр[Ь( 1- х1/3)] - 0,5сУох~2 (44.0)

Для металлов:

ЕХ(У) = а ехр[Ь(1- х1/3)] + сх~2/3 - сх~1/3 (45.0)

Для валентных кристаллов (кристаллов, где межатомные силы притяжения обусловлены ковалентными силами):

ЕХ(У) =(ах~1/3- с)ехр[Ь(1- х1/3)] (46.0)

В (43.0) - (46.0) х =У/У ; а, Ь, с, й - подлежащие определению постоянные, индивидуальные для каждой формулы. Приведем еще ряд распространенных выражений. Потенциал Пака, Эванса и Джеймса для металлов [25]:

Ехт =ЗаУ0 С; ехр[Ь( 1- х1/э)] + х J/J }

1/3

1 „-5/3

47. 0)

Потенциал Морзе:

ЕХ(У) = А{ехр[2а(1-¥/У0)1/3] - 2ехр[а(1-У/V0)1/3]} (48.0).

Отметим, что вышеперечисленные выражения формально объединены тем, что содержат экспоненту. Однако на практике удобнее пользоваться степенными выражениями. К этому типу формул относится потенциальное давление Берча-Мурнагана [231:

РХ(У) = В((У/У0) 7/3- (У/У0)~5/3)(1-Ь[(У/У0) 2/3-1]) (49.0).

Этот потенциал используется для самых разнообразных твердых тел. Степенное выражение для потенциального давления широко использовалось арзамасскими учеными в 60х годах [26-291: где V00 удельный объем при нулевом давлении и нулевой абсолютной температуре. Коэффициенты ап определялись по экспериментальным данным. Практически в расчетах брались полиномы с шестью-семью членами. Выражение (50.0) не содержит каких-либо предположений о характере межатомных взаимодействий в твердых телах и поэтому оно применяется к твердым телам различных типов.

Однако при использовании степенных потенциалов следует иметь в виду, что их экстраполяция к малым объемам может привести к неконтролируемым ошибкам, если они содержат степень объема более низкую, чем V 3 характерную для вырожденного электронного ферми-газа. В [36] предложена интерполяционная формула,лишенная

- ™ооЪ

1=6 п п/3+1

50. 0), этого недостатка

РХ(У) = I ЬП(Т0/Ю п/3 (51. 0).

При этом в процедуре определения коэффициентов Ъп сразу

-5/3 -4/3 полагается, что коэффициенты при стпенях V и V имеют точное квантовостатистическое значение [30]. В работе [36] указывается еще на один общий для (50.0) и (51.0) недостаток -коэффициенты в этих формулах получаются знакопеременными, что может привести к точкам перегиба и даже немонотонностям Р .

В настоящее время темпы производства новых выражений для потенциалов существенно снизились. Однако, как и тридцать лет назад, в качественном отношении ситуация не изменилась - на потребу дня всегда можно подыскать подходящее выражение из представительного списка потенциалов. Так, например, потенциал Берча-Мурнагана (49.0) получил широкое распространение в последнее время при аппроксимации экспериментальных данных, получаемых техникой алмазных наковален, а потенциал вида (50.0) представляет одну из главных опор широкодиапазонного уравнения состояния в [12]. Но, как видно, достаточно универсального и в то же время удобного выражения для потенциальной энергии до сих пор не существует. Так, в [15] отмечалось, что описать Е (V) А какой- либо простой функцией с небольшим числом параметров в области давлений от 0 до 10 ТПа не удается. Поэтому и окончательное общее решение вопроса об объемной зависимости коэффицента Грюнайзена на основе формул (32. 0)-(34. 0) также еще впереди.

Тем не менее, будучи встроенными в процедуру определения уравнений состояния, формулы (32.0)-(34.0) опосредованно приводят к явному успеху в определении объемной зависимости коэффициента Грюнайзена. Так, например, в последние годы авторами [12] интенсивно развивается альтернативный подход к построению широкодиапазонных уравнений состояния на основе полуэмпирических моделей [12,31,37-41]. В рамках этого подхода для конкретных материалов удается получить потенциальное давление, которое согласуется в широком диапазоне сжатий с теоретическими расчетами, например, для алюминия по модели Томаса-Ферми с поправками [32], Хартри-Фока-Слэтера [35], самосогласованной ячеечной модели [34]. Это свидетельствует в пользу достоверности потенциальных кривых и соответствующих вычислений у(7), которые выполнены и приведены в [123 для ряда металлов.

Следует заметить, что процедура типа [12] нетривиальна и весьма трудоемка, а результаты представляются в табличной или графической форме, что затрудняет анализ, обобщение или применение этих данных автономным пользователем. В связи с этим использование формул (32.О)-(34. 0) для получения практически интересных результатов для объемной зависимости коэффициента Грюнайзена уСУ) в настоящее время представляет собой сложную и трудоемкую задачу.

В такой ситуации весьма желательно определить приоритет среди трех обсуждаемых формул. Проработка этого вопроса выполнена в ряде работ, в частности, в наиболее обстоятельных [12,14,21]. Следует отметить, что мнения всех авторов приблизительно одинаковы - бескомпромисного решения о приоритете соотношений (32.0)-(34.0) вынести нельзя. Тем не менее в зависимости от конкретных целей и применений все-таки выявляется преимущество той или иной формулы. Чтобы показать это рассмотрим результаты подробного анализа формул (32.0)-(34.0) для коэффициента Грюнайзена, выполненного в [ 21].

В [21] сопоставлены различные способы расчета зг (V) - по формулам (32. О)-(34. 0) При этом теоретический расчет у(\П производился следующим образом.

В [21] формулы (32.0)-(34.0) были записаны в виде обобщенного соотношения [20]

1(4 ) = ---\-----г - (52.0), Л где параметр р фиксируется для каждой из модели: р=0 для формулы (32.0), р=2/3 для (33.0), р=4/3 для (34.0). Потенциальное давление в (52.0) Р ('V) = -дЕ /дЧ задавалось потенциалом Морзе

Л А для потенциальной энергии £ (48.0) ). Сами же авторы [21] предложили рассматривать параметр р в (52.0) как характеристику конкретного материала и выбирать его так, чтобы.используя (48.0) и (52.0), наилучшим образом описать ударноволновые экспериментальные данные. Например, для алюминия одним из авторов [21] - Мигаултом получено значение р=-0,25. Вычисления по (52.0) с этим значением параметра р обозначены кривой на рис.3, взятом из [21]. Отметим, что, в сущности, этот прием представляет собой модификацию нормировки (32. 0) - (34. 0), предложенную ранее авторами [14]. Подобные приемы дают эффективную дополнительную "степень свободы" для подгонки функции (52.0) под экспериментальные данные. Так, видно, что 7Гт(У) наиболее оптимально соответствует эксперименту во всем диапазоне данных.

На рис. 3 также показаны полученные с использованием потенциала Морзе (48.0) результаты для алюминия по каждой из формул (32.0) - (34.0) соответственно кривые у^ , а также расчет по теоретической формуле [22], выполненный авторами

21] - кривая у , в сравнении с экспериментальными данными для г данного металла, представленными в [48].

Рис. 3 позволяет на примере алюминия расставить приблизительный приоритет среди формул (32.0)-(34.0), (52.0). Лучше всего описывает эксперимент кривая % . Практически такое же соответствие характерно и для тем лишь исключением, что у (У ) в точке У=-Уп несколько отличается от термодинамического

О V С/ значения у расчитанному по формуле (31.0). Затем следует кривая ¿Тр. Промежуточное положение занимает кривая ; и наименее предпочтительной представляется кривая эг . V

Обсудим более детально различие между наилучшими кривыми Слэтера у и Мигаулта у . Как отмечалось выше, у представляется наилучшей кривой главным образом потому, что она совпадает с термодинамическим коэффициентом Грюнайзена при Однако следует отметить, что это совпадение имеет место лишь для конкретно заданного выражения ЕХ(У) - (48.0). Поэтому, в принципе, совпадение с термодинамическим значением (31.0) можно осуществить не за счет особого значения р в (52.0), а за счет выбора другого выражения для Е^СЮ.

Дествительно, как отмечалось выше (см. формулы (43.0)-(51.0)), потенциал Морзе (48.0) является лишь одним из целого ряда имеющихся в научной литературе выражений для потенциальной энергии Ех или потенциального давления Р . Поэтому можно испробовать каждое из выражений для Е для вычисления А зависимости зг(V> по формуле Слэтера. Очевидно, не исключено, что при этом какое-либо выражение для потенциальной энергии даст кривую которая будет согласовываться с экспериментом, приведенном на рис.3. Но в этом случае согласие с экспериментом будет достигнуто без навязывания параметру р в (52.0) дробного

Рис.3. Сопоставление модельных и экспериментальных данных для коэффициента Грюнайзена алюминия [21]. Сплошные кривые у ^йт' ^уг' ^т' <*р ~ вычисления с исползованием потенциала

Морзе (45.0) по формулам соответственно Слэтера (32.0), Дугдала-Макдональда (33.0), Ващенко-Зубарева (34.0), Мигаулта при р=-0,25 в (52.0), Пастина-Форбса (54.0). Пунктирные кривые -экспериментальные данные с использованием ударных адиабат алюминия различной пористости [48]. Косые кресты - метод скорости звука, точки - метод регулярных отражений, треугольники - метод Маховского отражения. Везде вертикальными отрезками указаны экспериментальные погрешности [48]. отрицательного значения, при котором получена зависимость в [21]. Разумеется, что процедура достижения согласованности путем перебора выражений для потенциальной энергии практически не имеет смысла. Эта возможность важна с принципиальной точки зрения, поскольку она оттеняет искусственность приема подгонки параметра р. Поэтому, несмотря на то, что как отмечалось выше, подгонка параметра р в (52.0) представляет собой эффективный прием согласования данных по коэффициенту Грюнайзена, тем не менее получаемые при этом результаты имеют частный, менее общий характер по сравнению с формулой Слэтера.

Кроме этого, следует отметить, что величина и знак параметра р определяются характером зависимости коэффициента Пуассона, которая принимается в формулах (32.0) - (34.0) и (52.0) [21]. Нулевое значение параметра р соответствует постоянству коэффициента Пуассона. то есть формуле Слэтера, положительное значение р соответствует увеличению коэффициента Пуассона с давлением, то есть формулам Дугдала-Макдональда и Ващенко-Зубарева, и, наконец; отрицательное значение р соответствует отрицательной производной коэффициента Пуассона по давлению, то есть формуле Мигаулта. Последний вариант для алюминия обосновывается в [21]. Из этого замечания следует, что уточнение соотношений (32.0)-(34.0) приводит к нарастанию технических и принципиальных трудностей в практическом применении этих соотношений. Очевидно, что такое усложнение в силу приближенности самих соотношений (32.0)-(34.0) представляется малооправданным.

Таким образом, подытоживая сравнительный анализ формул (32.0)-(34.0), опирающийся в основном на работу [21], можно заключить, что.несмотря на пренебрежение объемной зависимостью коэффициента Пуассона и ряд других упрощений, формула Слэтера (32.0) представляется наиболее оптимальной по сравнению с формулой Дугдала-Макдональда (33.0), Зубарева-Ващенко (34.0) и Мигаулта с отрицательным дробным значением р в (52.0).

В дополнение подчеркнем также очевидные преимущества формулы Слэтера. Во-первых, как следует из (36.0), эта формула имеет ясный физический смысл [15] - она определяет коэффициент Грюнайзена как логарифмическую производную характеристической частоты Эйнштейна и^. Во-вторых, при наличии достоверной зависимости формула Слэтера (32.0) непосредственно определяет дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения потенциального давления Р или третьего порядка для нахождения потенциальной энергии Е л,

К8(Ч) = ~ § ~ 1(й3Ех/й¥3у{й2Ех/й¥2-} (53.0).

То есть при постановке задачи обратной задаче определения по потенциалу Е (V), соотношение (53.0) является Л основополагающим соотношением. Однако попытки использования заманчивого приема (53.0), то есть определение потенциального давления Е {V) по зависимости в доступной литературе не обнаружены. Представляется, что это обусловлено отсутствием достоверных и в то же время достаточно простых явных выражений для коэффициента Грюнайзена. Попутным подтверждением этому может служить нижеследующий обзор работ, где предлагаются формулы для коэффициента Грюнайзена в виде явных функций термодинамических переменных.

Одна из таких работ уже упоминалась - это работа [22], где в рамках некоторых допущений получена зависимость

1(4) = А(х)/В(х) ' (54. 0), где х = 'У/У0,

А(У) = 2х(1-х){\[1-Ъ(1-х)]+2Ьх} + 2х2[1-Ь(1-х)] + 4х(1~х)2и, В(У) = 2(1-х)2и + (1-х)2{Л[1-Ь(1-х)] + 2Ъх} +

1-х)(1+х)[1-Ь(1-х)] + 2[1-Ь(1-х)]3 Ср/(ЗС2. В выражения для А(х) и В(х)} помимо общеизвестных свойств вещества таких, как ¡3 - коэффициент теплового расширения, Ср теплоемкость при постоянном давлении, коэффициенты С0 и Ь в соотношении между скоростью ударной волны 0 и массовой скоростью и Б = С0+ Ьи,входят также величины Л и v. Величины Л и у трудно определимы, поскольку согласно [22] для их вычисления необходимо знать зависимость от температуры коэффициентов С0 и Ь. Тем не менее авторы [22], представив (54) в виде ряда

УСЮ = г\ (1-х) + ^у (1-х)2 - \гу'(1~х)3 + . и ограничившись третьей его степенью,довели вычисления по своим формулам до практического результата. Так, для серебра ими 9 получены следующие значения констант; ^=/3С^/Ср=2,38; к'-=3,57; ц'У--11,29; у'"=100. Следуя [22], авторы [211 вычислили для алюминия эти константы - = 4,27; уу=5,22; при этом принималось, что вычисленное по (31), что составило

Зг^=2Д8. Именно с использованием этих значений построена кривая у на рис 3.

В [46] вычислен коэффициент Грюнайзена по среднеквадратичной частоте колебаний кристаллической решетки. Расчеты производились для ионных и молекулярных кристаллов. При этом предполагалось, что взаимодействие между атомами или ионами парное и центральное. Для ионных кристаллов была получена следующая формула:

Ц(У) = 3(У)/Ш) (55. 0), где

3(У) = ку(1 + 2/ку - 2/(ку)2)А1е~ку + уП + 2/Гк2у; - 2/(к1у)2)А2е~к1у Ш) = 6{(1 ~ 2/ку)А1е'ку + |(1 ~ 2/к1у)А1ёк1у}

Подробно вывод формулы (55.0) и объяснение использованных в ней обозначений приведен в [14]. Здесь же приведем также без детальной расшифровки теоретическую объемно-температурную зависимость коэффициента Грюнайзена из [47]:

СШ1С1ЛЛ1/ШпСп±4КиП-С1се1ш1-11

5/3+2/27(п+4)(1/¥)п/9(е/кТ)1/3+2/3(е/кТ)2В2[ееВ/к1(е€1)-кТ1)2]

56.0).

Вид формул (54.0)-(56.0) свидетельствуют о том, что попытки получить явное выражение для коэффициента Грюнайзена, исходя из модельных представлений до сих пор приводили лишь к частичному успеху - формулы с необходимостью оказываются громоздкими, нахождение компонентов этих формул сопряжены с дальнейшими трудностями, что делает их почти бесполезными на практике.

Таким образом, теоретическое направление в исследовании поведения коэффициента Грюнайзена характеризуется целым спектром приближений и приемов. При этом ситуация такова, что простых практичных способов решения этих вопросов для промежуточной области давлений не существует, а достоверное описание поведения коэффициента Грюнайзена достигается в настоящее время ценой весьма трудоемких и громоздких процедур.

В связи с отмеченными трудностями нахождения универсальной объемной зависимости коэффициента Грюнайзена рядом авторов были предложены априорные явные выражения для уСЮ. Общий прием конструирования подобных соотношений заключается в том, что, исходя из правдоподобных физических соображений, задаются соответствующим видом функции с некоторыми свободными параметрами, отражающими индивидуальные характеристики конкретного материала. Затем свободные параметры определяются либо на основе определенных физических условий, либо простой подгонкой.

Одно из простейших соотношений этого типа Г07/У0 (57.0) широко использовалось в работах американских исследователей в 60 годах [42]. В (57.0) у0 - коэффициент Грюнайзена при нормальных условиях (У0,Т ), V - текущий объем, 1/0 - начальный объем. Эти же обозначения аналогичны для последующих эмпирических формул (58.0)-(62.0) для Другие обозначения, появляющиеся в

58.0)-(62.0) - суть подгоночные параметры, которые находятся из различных соображений как, например, в соотношении [43]: ц(У) = (58.0).

Следует подчеркнуть, что формулы (57.0),(58.0), как и ряд последующих (59.0)-(62.0) в той или иной степени оказываются работоспособными лишь в ограниченном, заранее неизвестном диапазоне объемов. Так, например, очевидно, что (57.0) не имеет правильной ассимптотики 2/3 при уменьшении объема и. следовательно, начиная с некоторых значений V окажется в явном противоречии с реальностью. Это же замечание относится к (58.0).

Следующие априорные формулы (59.0)-(62. 0) сконструированы так, чтобы не противоречить предельным значениям коэффициента Грюнайзена. Так в соотношении

У(У) = ую + (к0- Гт)(У/У0)т (59.0), предложенном авторами [44], сразу полагается, что ут= 2/3 для всех металлов, кроме щелочных, для которых у = 1/3; для параметра т принимается ш = 70/(У0- Ут). Однако, как видно в (59.0), эта формула не применима в области больших объемов - при неограниченном возрастании объема коэффициент Грюнайзена также стремится к бесконечности,поскольку ш>2. Этого недостатка лишена формула,предложенная в [45]:

Формула (60.0) удовлетворяет асимптотикам эг(Т)=2/3 в пределах больших сжатий и малых плотностей, а также дает правильное значение коэффициента Грюнайзена при нормальных условиях и учитывает на основе данных по ударному сжатию пористых образцов характерные особенности поведения этого параметра [45 ]. При этом значения <г ^ для различных металлов лежат в пределах 0, 5-0, 9 .

Отметим, что поведение коэффициента Грюнайзена в области больших растягивающих давлений, то есть больших объемов в области минимума потенциального давления, исследовано в гораздо меньшей степени, чем при сжимающих нагрузках. В этой связи приведем еще одно эмпирическое соотношение при , предложенное в [37] для жидкой фазы: уШ = 2/3 + (к -2/3) о о тЪ

КЧ) = г/з * ит(У00м)4 ~ <г00"аг)г-г-1-ъ-1 (61.0)

Продолжая просмотр эмпиричиских выражений для коэффициента Грюнайзена. заметим, что формулы (57. О)-(61. 0) сконструированы лишь для объемной зависимости y(V). Однако, как отмечалось выше, при больших температурах должна проявляться и температурная зависимость у. В принцине,температурную зависимость коэффициента Грюнайзена можно установить с помощью выражения (31). Однако в связи с тем, что ни величина коэффициента теплового расширения, ни теплоемкость не известны при больших давлениях и температурах, то здесь также приходится прибегать к построению интерполяционных соотношений для y(V,T). Таких попыток в настоящее время гораздо меньше. Здесь из доступной литературы можно привести лишь соотношение [38]

Tf(V) - гп

7(V,E) = ----------on ---------- (62.0).

11 1 + (V/Vor/J[Ex- Е (V)]/Ea

В (62.0) выражение для зг(П соответствует (60.0) - случаю малых тепловых энергий (температур), а значение характеризует область сильно разогретой плазмы; энергия энгармонизма Еа определяет тепловую энергию перехода от одного предельного случая к другому и находится из данных динамических экспериментов при высоких давлениях [38].

Заметим, что, вообще говоря, к разряду формул (57.0)-(62.0) следует отнести и (19.0) - приближение Грюнайзена, заключающееся в том, что у = const. Приближение Грюнайзена задает вполне определений вид зависимости частот гармонического осциллятора от объема. Формулы (57.0)-(62.0) представляют собой попытки наудачу найти иную, более оптимальную зависимость частот и не только от объема, но и от температуры. Новое по сравнению с приемом Грюнайзена заключается в (59. 0)-(62. 0), где приняты во внимание асимтотические значения коэффициента Грюнайзена. Однако следует подчеркнуть, что все рассмотренные соотношения (57.0)-(62.0) не выводятся из каких-либо более или менее общих физических закономерностей. Все эти формулы базируются прежде всего на соображениях здравого физического смысла и представляют собой фактически в лучшем случае лишь интерполяцию поведения коэффициента Грюнайзена между предельными значениями 2/3 и 3,1 ). В этой связи представляется очевидной бесперспективность попытки использовать любую из этих формул для определения потенциального давления путем приравнивания ее соотношению Слэтера и последующего интегрирования получающегося уравнения (53.0).

Что же касается попыток установления приоритета среди эмпирических формул типа (57.0)-(62.0) для У,Т) путем сравнения ее с экспериментальными данными, то в настоящее время эта возможность практически отсутствует. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, диапазон изменений у для твердых тел невелик, а с другой стороны точность экспериментального определения уШ мала. Поэтому имеющиеся экспериментальные данные не позволяют категорически отвергнуть или принять, например, какое-либо из соотношений (59.0)-(62.0).

Тем не менее, несмотря на частный, интерполяционный характер априорных соотношений, использование той или иной формулы с подходящим набором подгоночных констант обеспечивает, как уже отмечалось, (см.,например, [12, 38-41]), значительный прогресс в построении уравнений сотояния. Это означает, что при использовании эмпирических интерполяционных формул для коэффициента Грюнайзена оказывается возможным приблизиться к истинной объемно-температурной функции у(У,Т) и успешно применять квазигармоническое приближение в широкой области термодинамических переменных.

В целом же, подытоживая рассмотрение вопроса о теоретической зависимости коэффициента Грюнайзена от объема и температуры, можно сказать, что вопрос об истинном представлении поведения коэффициента Грюнайзена в виде явной объемно-температурной функции остается открытым. В такой ситуации большой интерес представляет экспериментальное определение зависимости Выше уже не раз затрагивался вопрос об экспериментальных данных по коэффициенту Грюнайзена. Рассмотрим теперь экспериментальные результаты исследования коэффициента Грюнайзена более подробно, имея в виду главным образом область больших сжатий и температур.

В принципе экспериментальное исследование объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена может быть осуществлено на основе формулы (31.0), представляющей собой комбинацию плотности, теплоемкости Су, коэффициента теплового расширения ¡3 и модуля объемного сжатия К^. Однако, как отмечалось в [14,43], практически осуществить этот прием очень не просто в связи с тем, что точное измерение объемной зависимости Су, ¡3, К^. при больших давлениях сталкивается с большими трудностями.

Положение несколько улучшается при использовании иной формулы для т [43] у = (дТ/дР)$К3/Т

Однако реальное осуществление и этого приема требует дополнительных предположений, а кроме того , ограничено сравнительно небольшими давлениями =3,5 ГПа (см. обзор [43]).

В настоящее время экспериментальное исследование коэффициента Грюнайзена в той области, где он претерпевает значительные изменения осуществляется преимущественно методами физики ударных волн. Поэтому приведем предварительно некоторые сведения из этой области [14,161.

Как известно, фронт плоской одномерной ударной волны неизменной амплитуды представляет собой плоскость, распространяющуся по веществу вдоль своей нормали с постоянной скоростью В. При этом, если перед фронтом вещество имеет удельный объем V0, массовую скорость и0= 0, давление Ро=0 и удельную внутреннюю энергию Е , то за фронтом ударной волны эти величины скачком приобретают новые значения - соответственно V,и, Р^, Е^. Начальные и конечные значения этих величин связаны между собой законами сохранения массы:

Ш0 = (Б-и)/У (63.0), импульса:

Р = 0и/Уо (64.0) и энергии:

Ръа = В(и/2)2/У0 + Б(ЕЪ- Е0)/У0 (65.0).

Уравнения (63.0) и (64.0) дают

В = ¥о(РЬ/(¥о~¥))1/2 {66-0) и и = (Ри(У-У))1/2 (67.0).

В пределе слабой ударной волны изменение энтропии в ударной волне стремится к нулю и,соответственно,скорость ударной волны

-4V= ГО С У ДА P G TL'f.liH совпадает со скоростью (адиабатической) звука С

1)2 = Уо"Г-Г ~v2o^hs ~> с2 (68-0)

Подстановкой (66.0) и (67.0) в закон сохранения энергии (65.0) получается выражение для приращения удельной внутренней энергии при ударном сжатии

Eh= Eq + 0.5P(Vq - V) = и2/2 (69.0).

Уравнения (63.0), (64.0), (69.0), выражающие законы сохранения для ударной волны, называются соотношениями Ренкина-Гюгонио. Связь между какими-либо двумя из пяти величин -D,V, и,Р^,Е^ называется ударной адиабатой.

Установлен весьма общий эмпирический факт (см. [14], El6],[42]), заключающийся в том, что ударная адиабата конденсированных веществ вне области фазовых переходов и упругих эффектов в диапазоне давлений ~ 10 - 100 ГПа выражается линейным соотношением между Вии:

D = С0 + Ьи (70. 0), где CQ и b подгоночные параметры, определенные для многих веществ (см [49]).

Если измерены какие-либо две из пяти величин D, V,и,Р^,Е^ , то с помощью соотношений Ренкина-Гюгонио можно найти связь между любыми другими. Обычно измеряется D и и. Тогда закон сохранения массы (63.0) позволяет рассчитать объем V = V0(l-f]), где Г} = u/D, закон сохранения импульса (64.0) дает давление Ph , уравнение

69.0) дает внутреннюю энергию ЕПри использовании линейного соотношения (70.0) различные экспериментальные ударные адиабаты можно записать аналитически, например,

Ръ = (1/У0)С201)/(1 - Ьт})2 (71.0),

Еъ = 0,5т\Р$о (72.0), где, как и выше 1) = 1-4/V .

До температур порядка нескольких десятков тысяч градусов и больших сжатий, характерных для ударноволнового нагружения, хорошо зарекомендовало себя трехчленное уравнение состояния [50]. Согласно этому уравнению состояния (см. также [12,14,16]) удельную внутренню энергию Е^ и давление Р^ твердого или жидкого вещества можно представить в виде сумм трех составляющих, которые описывают упругие свойства холодного тела, то есть потенциальной энергии Е(Ч) и потенциального давления Р„(У),

X X тепловое движение атомов (ядер) соответственно тепловой энергии , Т) и теплового давления Р^(У,Т) и, наконец, тепловое возбуждение электронов - соответственно тепловой энергии электронов Ее(У,Т) и теплового давления электронов Р (У,Т) :

Ь=£х+£{+£е' = рх + V Ре <73-0)' где, как и раньше, потенциальное давление определяется производной

Рх = -йЕх/йУ (74.0)

Тепловая энергия Е^ определяется в квазигармоническом приближении, например, Эйнштейна (см. формулу (22.0))

Ег= Е - ЕХ(У) = ЗЯпв[1/2 + 1/(ехр(в/Т) - 1)] (75.0).

Тепловое давление в квазигармоническом приближении связано с плотностью тепловой энергии посредством коэффициента Грюнайзена (см. формулу (30.0)) г = к(У)Е1/У (76.0)

Вклад электронной подсистемы обычно учитывается в модели почти свободных электронов, наиболее упрощенный вариант которой заключается в следующем (см. [12,14]). В упрощенной трактовке вклада электронной компоненты величина коэффициента электроноой теплоемкости Э0 берется из данных измерений теплоемкости при низких температурах, а электронный коэффициент Грюнайзена считается постоянным,равным 1/2. Это приводит к простой форме изохорно- изотермического потенциала (свободной энергии) для электронной подсистемы:

Ее = -0,5$оТ2(У/Уо)1/2 (77.0)

Тепловые энергия Е& и давление ?е электронов определяются обычными термодинамическими соотношениями, использующими уравнение Гиббса-Гельмгольца и частные производные свободной энергии Е (V, Т)

Ее = Ее- Т(дЕе/дТ)у = 0,5$о(У/Ч0)1/2Т2 (78.0) т2 , V 1/2 Ре = - (дЕе/дУ)1 = | £0 | (У) = 0,5Ее/Ч . (79.0).

Как видно, (73.0)-(79. 0) содержат только две неизвестные функции - это потенциальная энергия Е (V) и решеточный коэффициент Грюнайзена То есть трехчленное уравнение состояние (73.0) из [50] таково, что поведение электронной подсистемы полностью определено. Например, такие основные термодинамические свойства этой подсистемы , как электронная энтропия Б , электронная теплоемкость Суе> изотермический электронный модуль объемного сжатия Ке определяются следующими выражениями $е = -(дЕе/дТ)у = Тр0(У/У0)1/2 = 0,5$оТЕе (80.0),

СЧе = Т(д$е/дТ)у = Т130(У/У0)1/2 = (81.0),

Ке = -У(дРеШ)т = \$012-\-(ЧоП)1/2= 0,5? е (82.0).

Таким образом, в (73. 0")-(82.0) неизвестной остается только потенциальная составляющая и объемная зависимость коэффициента Грюнайзена решетки.

Как отмечалось в [12], при использовании (78.0) следует иметь в виду, что это приближение справедливо в области больших сжатий и может сильно огрублять ситуацию при нормальных условиях. Поэтому, если оказывается, что электронные добавки в уравнении состояния оказываются значительными не только при больших сжатиях, то в таких случаях следует использовать более точные формулы для идеального электронного газа. Однако в подавляющем большинстве конкретных случаев ударного сжатия металлов (см. , например, [50,71]), оказывается, что электронные поправки становятся существенными лишь начиная примерно с двухкратного уменьшения объема, что соответствует приблизительно мегабарной области по ударному давлению.

Характерной чертой ударноволнового сжатия является прогрессирующее возрастание температуры вдоль ударной адиабаты. При этом важно отметить, что для подавляющего большинства материалов возрастание температуры с давлением сравнимо с зависимостью температуры плавления от давления. В то же время, если производная температуры по давлению вдоль ударной адиабаты возрастает с давлением, то производная температуры по давлению вдоль линии плавления, наоборот, - уменьшается по мере увеличения давления. Такое взаиморасположение ударной адиабаты и линии I плавления приводит к тому, что эти две кривые пересдаются в далекой области высоких давлений (для металлов это ~100 ГПа см. [291). Что же касается координат точки пересечения, то есть определения начала плавления на ударной адиабате, то ее определение требует знания изохорно- изотермических потенциалов твердого тела и жидкости, которые редко известны в нужной области термодинамических переменных. В [29] рассматривается решение этой задачи для ударного сжатия металлов. На практике же, за неимением лучшего, используется либо уравнение Саймона, либо чаще критерий плавления Линдемана.

Как известно, критерий плавления Линдемана заключается в том, что кристалл становится механически неустойчивым, то есть плавится тогда, когда отношение среднеквадратичной амплитуды колебаний атомов к квадрату постоянной решетки, увеличиваясь с повышением температуры, достигает некоторой критической величины 6. В эйнштейновской модели твердого тела это условие определяет связь температуры плавления Г ^ с объемом V и характеристической температурой Эйнштейна 6 (см. [14])

83. 0), где индекс то придается величинам у начала линии плавления.

Возвращаясь к рассмотрению экспериментальных исследований коэффициента Грюнайзена методами физики ударных волн, заметим, что если подставить экспериментальные ударные адиабаты Р^ и Е^ (например, (71.0) и (72.0)) в (73.0), то соотношения (73.0) можно рассматривать как два уравнения относительно трех неизвестных функций Е (У), к(У) и Т(У), где T(V)-зависимость температуры от объема вдоль ударной адиабаты. Если же в качестве третьего, недостающего уравнения использовать связь между

J у j коэффициентом Грюнайзена и потенциальным давлением, задаваемой' одной из трех формул (32. 0)-(34. 0), то можно численно определить все функции, в том числе и коэффициент Грюнайзена. В [50] использовалась формула Слэтера, в [51] - формула Дугдала-Макдональда. Однако, как отмечалось выше, сами формулы Слэтера и Дугдала-Макдональда не безукоризненны. Поэтому представляют интерес экспериментальные методы, в которых оказывается возможным обойтись без привлечения связи между функциями V (У), к(У).

Л.

Один из самых первых таких методов экспериметального определения коэффициента Грюнайзена (см.[16]) заключается в использовании экспериментальных ударных адиабат монолитного материала и ударных адиабат РиСУ)> этого же материала с пониженной начальной плотностью - пористых материалов. В области не слишком высоких температур и в пренебрежении электронными членами Р и Е можно записать:

84. 0)

Этим методом был получен немалый массив данных (см. , например, [421). Для алюминия результаты определения коэффициента Грюнайзена с помощью ударных адиабат пористых образцов из [48] приведены на рис.3. В целом эти работы, как отмечалось в [14], и [12], не привели к прогрессу в установлении функционального вида объемной зависимости коэффициента Грюнайзена в связи с невысокой точностью измерений в этом методе.

Существует еще по крайней мере три прямых (то есть без привлечения связи между потенциальным давлением и ) ударноволновых метода экспериментального определения коэффициента Грюнайзена. Эти методы условно можно назвать 1 -метод скорости звука, 2 - метод регулярных отражений, 3 - метод Маховского отражения. Описание этих методов требует обширных выкладок, которые наряду с первоисточниками приведены в [ 48]. Здесь же ограничимся лишь примерами конечных результатов.

Так, на рис.3 показаны результаты для алюминия, полученные всеми упомянутыми методами. На рис. 4 показаны современные измерения коэффициента Грюнайзена свинца [52], молибдена [53] и хлористого натрия [54] методом скорости звука. Не вдаваясь в обсуждение деталей, подчеркнем общее положение дел - рисунки 3 и 4 свидетелствуют, что, начиная с первых работ и до настоящего времени, получаемые результаты устанавливают лишь тенденции изменения и приблизительные значения j(V) и не позволяют судить с приемлемой точностью даже о первой производной эr(V).

В заключение краткой сводки по экспериментальным методам определения коэффициента Грюнайзена остановимся еще на одном, не получившем распространения, но представляющем интерес с идейной точки зрения методе. В [55] для экспериментального определения

Рис.4. Современные измерения коэффициента Грюнайзена в мощных ударных волнах. Точки с указанием погрешностей - свинец [52], круги - хлористый натрий [54], точки - молибден [53]. коэффициента Грюнайзена предложено, как и в способе пористых образцов, использовать две различные ударные адиабаты одного и того же материала. Но при этом в качестве второй ударной адиабаты предложено использовать не ударную адиабату пористого материала, а ударную адиабату также монолитного материала, но при другой начальной температуре. Очевидно, эта идея в принципе правильна.

Автором [55] был осуществлен этот метод на примере тантала [55] и вольфрама [56]. Однако полученные в этих работах данные по коэффициенту Грюнайзена оказались нереалистичными. Представляется, что главная причина неуспеха [55], [56] заключалась в неточности вычисления кривой объемного сжатия по данным ударноволновых измерений вблизи упругой области. На это указывает существенное расхождение кривой объемного сжатия, полученной в [56] для вольфрама и экспериментальных данных по сжимаемости этого же материала, полученных позднее прямым измерением в статических условиях [57] (см. рис.5). Так, на рис.5 видно, что кривая объемной сжимаемости в статических условиях при 300 К [57] существенно отличается от кривой объемного сжатия,полученной путем обработки ударной адиабаты при начальной температуре 300 К [55]. Более того, при давлениях =5 ГПа статическая кривая даже пересекает кривую объемного сжатия из [55] при начальной температуре 1250 К. Следовательно, кривые объемного сжатия, полученные путем обработки ударных адиабат в [55]. определены с большой погрешностью, что и привело к неправильным значениям коэффициента Грюнайзена вольфрама в [55].

По-видимому, спорные результаты [55,56] воспрепятствовали дальнейшему развитию предложенного подхода. Так, в доступной литературе не обнаружено теоретического развития идеи. Что же касается экспериментальной процедуры [55], то к ней наметился интерес лишь в самое последнее время [58,59]. В [58] ударноволновые эксперименты при повышенной температуре выполнены для таких материалов и при таких температурах, что упругие эффекты играли малую роль. В результате в [58] по ударным адиабатам при различной начальной температуре получена разумная экспериментальная функция у(V) для олова. Непротиворечивые экспериментальные результаты получены при использовании подхода [55] и для экспериментальных зачений yiV) плексигласа в [59]. В то же время работы [58,59], и в особенности [58], показали, что доведение экспериментального метода [55] до необходимого уровня сопряжено с немалыми техническими трудностями.

Заканчивая на этом обсуждение экспериментальных методов определения коэффициента Грюнайзена, подведем итог и всему литературному обзору.

Итак, подытоживая обзор публикаций, посвященных исследованию объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена можно сказать, что исследование коэффициента Грюнайзена представляет собой одну из ключевых тем в проблеме построения уравнения состояния твердых тел. При этом существует целый ряд как теоретических, так и экспериментальных подходов, и предложены многочисленные эмпирические выражения для оценки коэффициента Грюнайзена. Что же касается общих закономерностей, то сколько-нибудь универсальная явная функция для зависимости коэффициента Грюнайзена от объема и температуры в широком диапазоне термодинамических переменных до настоящего времени не установлена ни теоретически, ни экспериментально. В связи с этим цель данной работы заключалась в поиске новой обобщенной зависимости для коэффициента Грюнайзена в широком диапазоне изменения объемов и температур. При этом в основу вывода авторской объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена положены закономерности ударноволнового сжатия монолитного материала при различной начальной температуре.

7(197

51

Основные результаты Главы 3.

В Главе 3 показано, что предложенный в Главе 2 изохорно-изотермический потенциал с авторскими ключевымии функциями потенциальной энергии и характеристической температуры, позволяет дать общую интерпретацию разнообразных термодинамических свойств кристаллических веществ (сжатия, сжимаемости, теплоемкости, коэффициента теплового расширения, ударного сжатия монолитных и пористых материалов вместе со всеми важнейшим термодинамическими свойствами твердого тела вдоль ударной адиабаты). При этом показано, что для самых различных кристаллических веществ (А1, Си, РЬ, Мо, Сэ1, С (алмаз), п-^ (молекулярный кристалл нормального водорода) имеет место соответствие с экспериментом в диапазоне многократных сжатий твердого тела и давлений в сотни гигапаскалей. Из этого факта следует второй важный результат - выражение для изохорно-изотермического потенциала с авторскими ключевымии функциями потенциальной энергии и характеристической температуры оказывается единым для кристаллических твердых тел различных классов - металлов, ионных, валентных и молекулярных кристаллов.

Наконец, следует отметить, что конкретные выражения для потенциальной энергии Е (V) таких кристаллических веществ как л. алюминия, меди, свинца, молибдена, иодистого цезия, алмаза, твердого молекулярного водорода опробованы в широком диапазоне давлений и могут использоваться не только в модели независимых осцилляторов Эйнштейна, но и в более точных приближениях.

28т98

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение перечислим основные результаты работы.

Главный результат диссертации - это новая объемно-температурная зависимость коэффициента Грюнайзена

1=2/3- 2/(1-1/%) (1), которая получена на основе закономерностей ударно-волнового сжатия конденсированных сред.

Физический смысл авторского соотношения заключается в том, что в обширной области объемов V и температур Т различные объемно- температурные зависимости коэффициентов Грюнайзена разнообразных веществ могут быть сведены к единой функции (1) за счет выбора масштаба по объему. При этом безразмерная переменная X, входящая в (1) представляет собой нормированный удельный объем % = У/а1/0, который определяется посредством новой индивидуальной характеристики материала - параметра анагармоничности а. В первом приближении параметр ангармоничности представляет собой постоянную величину в виде комбинации основных термодинамических характеристик материала -плотности, модуля объемного сжатия, теплоемкости, коэффициента обемного расширения и характеристической температуры при некотором начальном удельном объеме V и начальной температуре Т . Найдено также более точное приближение, где параметр ангармоничности оказывется функцией температуры а=а(Т), что определяет температурную составляющую коэффициента Грюнайзена.

В целом установленная закономерность (1) подтверждается прямыми экспериментальными измерениями коэффициента Грюнайзена в мощных ударных волнах различных металлов и ионных соединений в диапазоне двукратных сжатий и температур от комнатной до десятков тысяч градусов.

На основе найденной объемно- температурной зависимости коэффициента Грюнайзена сформулированы новые общие закономерности для двух ключевых свойств твердого тела объемной зависимости потенциальной энергии и объемно-температурной зависимости характеристической температуры, что, в свою очередь, позволило разработать эффективную процедуру построения изохорно- изотермического потенциала твердых тел.

Важно отметить, что разработанная процедура построения изохорно- изотермического потенциала представлена в виде нескольких однозначно определенных правил, совокупность которых можно расценивать как рекомендации по использованию теоретических выводов в практических задачах построения уравнений состояния твердых тел.

Перечисленные общие результаты проиллюстрированы на конкретных примерах изотермического и ударного сжатия различных материалов. При этом показано, что изохорно- изотермический потенциал с ключевыми функциями потенциальной энергии и характеристической температуры в авторском виде дает точную трактовку теплофизических свойств материалов такого обширного класса, как кристаллические вещества безотносительно к типу межатомных взаимодействий в этих материалах. Иными словами, построенный изохорно- изотермический потенциал единообразно и с одинаковым успехом прогнозирует термодинамическое поведение металлических, ионных, ковалентных и молекулярных кристаллов в диапазоне давлений от единиц до сотен гигапаскалей и многократных изменений объема.

Эффективность и универсальность изохорно- изотермического потенциала с авторскими ключевыми функциями является вторым важным результатом работы. В то же время его достоверность является веским подтверждением правильности и общности главного результата работы - объемно-температурной зависимости коэффициента Грюнайзена.

Таким образом установление обобщенной объемно- температурной зависимости коэффициента Грюнайзена и основанный на этом результате вывод общих закономерностей для потенциальной энергии и характеристической температуры можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления в проблеме построения термодинамических потенциалов и тесно примыкающих вопросах уравнения состояния конденсированных сред.

1. Борн M. , Гепперт-Майер M. Теория твердого тела. Ленинград-Москва: ОНТИ. 1938. С. 364.

2. Gruneisen Е. Handbuch der Physik. Berlin:Springer Verlag, 1926. V.10. P.7-59.3 . Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М. : Мир. 1975. С. 382.

3. Фаулер Р., Гуггенгейм Э. Статистическая термодинамика. М. : Издательство Иностранной Литературы. 1949. С. 613

4. Blackman M. // Proc.Roy.Soc. 1937. V.A159. P.416

5. Шульце Г. Металлофизика. M. : Мир, 1971. С. 503.

6. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М. : Мир, 1982. 81 Ашкрофт Н. , Мермин Н. Физика твердого тела - М. : Мир, 1979.

7. Einstein A. Die Plancksche Theorie der Strahlung die Theorie der spezifischen Warme //Ann. Phys.1907. V.22. P.180.

8. Barron T.H.K. //J.Appl. Phys. 1970. V.1 N13. P.5043.

9. Новикова С. И. Тепловое расширение твердых тел. -М. : Наука. 1974. С. 294.

10. Бушман A.B., Ломоносов И. В. , Фортов В. Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии.-Черноголовка: 1992, с. 196.

11. Козлов Г.В., Сандитов Д.С. Ангармоноические эффекты и физико-механические свойства полимеров. Новосибирск: Наука. 1994. С. 261.

12. Жарков В.Н., Калинин В. А. Уравнения состояния твердых тел при высоких давлениях и температурах. М: Наука. 1968. С. 311

13. Жарков В. Н. , Трубицын В. П. . Физика планетных недр. М. : Наука. 1980. С. 448.

14. Зельдович Я. Б. Райзер Ю. П. Физика ударных волн ит=высокоскоростных гидродинамических явлений. М. : Наука. 1966 С. 686.

15. Копышев В. П. Константа Грюнайзена в приближении Томаса-Ферми // ДАН СССР. 1965. т. 161. N5. с. 1067-1068.

16. Sleter J. С. Introduction to Chemical Physics. New York: McGrow-Hi11, 1939.-352 P.

17. Dugdale J.S., McDonald D.K. The thermal expansion of solids// Phys. Rev. 1953. V.89. P.832.

18. Ващенко В. Я. , Зубарев В. Н. О коэффициенте Грюнайзена // ФТТ, 1963, т. 5, с. 886 890.

19. Romain J.P., Migault A., Jacquesson J. In: High Pressure Science and Technology/ Ed.: K. Timmerhaus, M.S. Barber. New York:Plenum Press, 1979, vl.p.99

20. Pastin D.J., Forbes J.W.// Accurate relations determining the volume dependence of the quasiharmonic Gruneisen parameter//Phys.Rev.Letters. 1968. v.21, N23, p. 1582-1585.

21. Murnaghan F.D. Finite Deformation of an Elastic Solid. -New-York: Wiley, 1951.

22. Hubbard W.B.Slattery W.L. // Astrophys.J. 1971. v.168. P.131.

23. Pack D.C., Evans W.M., James H.J. // Proc. Phys. Soc. 1948. v.60. N1.

24. Кормер С. Б. , Урлин В. Д. Об интерполяционных уравнениях состояния металлов для области высоких давлений // ДАН СССР. 1960. Т. 131. С. 542-545.

25. Кормер С. Б. , Урлин В. Д. , Попова JI. Т. Интерполяционное уравнение состояния и его приложение к описанию экспериментальных данных по ударному сжатию металлов// ФТТ. 1961. Т. 3. С. 2131-2140.

26. Кормер С. Б. , Фунтиков А. И. , Урлин В. Д., Колесников А. Н.

27. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах // ЖЭТФ. 1962. Т. 42. С. 686-701.

28. Урлин В.Д. Плавление при сверхвысоких давлениях, полученных в ударной волне // ЖЭТФ. 1965. Т. 49. С. 485-492.

29. Калиткин H.H. ЖЭТФ. 1960. Т. 38. С. 1534.31 . Бушман А. В. , Фортов В. Е. Модели уравнения состояния вещества// УФН. 1988. Т. 140. С. 177-232.

30. Калиткин Н. Н, Кузьмина Л.В. Таблицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии. -М., 1975. -(Препринт / ИПМ АН СССР, N 35).

31. Никифоров А. Ф. , Новиков В. Г. , Уваров В. Б. Использование квазиклассического приближения в модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера // ТВТ. 1987. Т. 25. С. 12-21.

32. Liberman D.A. Self-consistent field model for condensed matter // Phys. Rev. Ser.B. 1978. V.20. P.4981-4989.

33. McMahan A.K., Ross M. Shell structure effects in condensed aluminum In: High Pressure Science and Technology/ Ed.: K. Timmerhaus, M.S. Barber. New York:Plenum Press, 1979, v2,p.920-926.

34. Калиткин H.H., Говорухина И. А. Интерполяционные формулы холодного сжатия вещества // ФТТ. 1965. Т. 7. С. 355-362.

35. Lomonosov I.V., Bushman A.V., Fortov V.E. Wide-Range Multi-Phase Equetion of State of Metals -In: High Pressure Science and Technology-1993/ Ed.: S.C.Schmidt, J.W. Shaner, G.A. Samara, M.Ross. New York:Plenum Press, 1994, Part 1, P.121-124.

36. McQeen R.G.,Marsh S.P., Taylor J.W.,Fritz J.N., Carter №. -In: High-Velocity Impact Phenomena/ ed. R.Kinslow. Academic Press New York and London 1970. (русский перевод Высокоскоростные ударные явления -М. : Мир. 1973. С. 299-427.

37. Boehler R.,Ramakrishnan J. Experimental results on the pressure dependence of the Gruneisen parameter// J.Geophys.Res. Ser.B. 1980. V.85. P.6996-7002.

38. Альтшулер JI. В. , Брусникин С. Е. , Кузьменков Е. А. Изотермы и функции Грюнайзена 25 металлов.// ПМТФ. 1987. N1. С. 134-146.

39. Бушман А. В. , Канель Г. И. , Ни А. Л. , Фортов В. Е. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий. Черноголовка. 1988. С. 200.

40. Жарков В. Н. //ДАН СССР. 1964. Т. 154. С. 302-306.

41. Shaner J.W. Gruneisen gamma and acoustic velocity for soft spheric fluids// J.Chem.Phys. 1988. V.89. N3. P.1616-1624.

42. Neal Т. Dynamic determinations of the Gruneisen coefficient3in aluminum and aluminum alloys for densities up to 6 Mg/m // Phys.Rev. B. 1976. V.14.N12. P.5172-5181.

43. Compendium of shock wave data// ed M.van Thiel. Lawrence Livermor Laboratory. 1977.

44. Альтшулер Л. В. , Кормер С. Б. , Баканова Л. А. , Трунин Р. Ф. Уравнения состояния алюминия, меди и свинца для области высоких давлений // ЖЭТФ. -1960. т. 38. , 3. С. 790-798.

45. Райе М. , Мак-Куин Р., Уолш Дж. Сжатие твердых тел сильными ударными волнами // в сб: Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях. -М. : Наука, 1965. С. 10-92.

46. Boness D.A., Brown J.M., Shaner L.W. Rarefaction velocities in shocked lead// in Shock Waves in Condensed Matter 1987 ed. by S.C. Schmidt and N.C Holmes, North Holland, Amsterdam 1988, p.115-118.

47. Hixson R.S., Bonnes D.A., Shaner J.W. Acoustic Velocities and Phase Transition in Molibdenum under Strong Shock Compression// Phys. Rev.Lett.1989.v.62. N6, p.637-640.

48. Boness D.A., Brown J.M. Time-resolved optical spectroscopy of shock-compressed fluid alkali halides// in Shock Waves in Condensed Matter 1989 ed. by S.C. Schmidt, J.N. Jonson, L.W. Davison . Elsevier Science Publishers B.V. 1990, p.863-866.

49. Ronde R.W. Equation of State of Shock-Loaded Tungsten at 950 C// J. Appl.Phys. 1969. V.40. N7. P.2988- 2993.

50. Ronde R.W., Towne T.L. Shock-Compression of Tantalum at 25 and 900 C// J.Appl.Phys. 1971. V.42. N2. P.878-879.

51. Ming L.C., Manghnani M.N. Isothermal comprassion metals to 100 kbar // J.Appl.Phys. 1978. V.49. P.208-212.

52. Трунин P. Ф., Жерноклетов M. В., Кузнецов H. Ф., Шутов В. В.

53. Динамическая сжимаемость расплавленных и охлажденных металлов // ТВТ. 1995. Т. 33. N2. С. 222-226.

54. Молодец A.M. Термомеханические свойства твердых тел при высокоскоростном нагружении Черноголовка, 1995. -(Препринт/ИХФЧ РАН С. 107).

55. Arnold W., Sachs W. Measuring and simulation of steady shock wave profiles in armco iron// in: Shock Waves in Condensed Matter 1989 ed. by S.C. Schmidt, J.N. Jonson, L.W. Davison . Elsevier Science Publishers B.V. 1990, p.337-340.

56. Swenson C.A., Shaner J.M., Brown J.M. Hugoniot overtake sound-velocity measurement on Csl.//Phys.Rev. B, 1986, V.34, N11, p. 7924-7935.

57. Radousky H.B., Ross M., Mitchell A.C., Nellis W.J. Shock temperature and melting Csl// Phys. Rev. B, 1985, V.31, N3, p. 1457-1462.

58. Крупников К. К. , Баканова А. Л. , Бражник М. И., Трунин Р. Ф. // Докл. АН СССР 1963. Т. 148, N6, С. 759.

59. Жерноклетов М. В. , Зубарев В. Н. , Трунин Р. Ф. , Фортов В. Е. // Экспериментальные данные по ударной сжимаемости и адиабатическому расширению конденсированных веществ при высоких плотностях энергии. РАН: Черноголовка 1996, 385 с.

60. Бабичев А. П. , Бабушкина Н. А. , Братков с кийи А. М. др. Физические величины. М. : Энергоатомиздат. 1991. С. 1232.

61. Мак-Куин Р, Фритц Дж. , Марш С., в сб. Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях, под ред. В. Н. Жаркова, Мир, Москва (1965), с. 195-219.

62. Bonnes D.A. Shock-Wave Experiments and Electronic Band-Stucture Calculations of Materials at High Temperature and Pressure.// A dissertation submitted in partial fufillment ofthe requirements for the degree of Doctor of Philosophy, 1991. 173 P.

63. Кормер С. Б. , Синицын М. В. , Кириллов А. Г. , Урлин В. Д.// ЖЭТФ. 1965. Т. 48. С. 1033.

64. Кормер С. Б. Оптические исследования свойств ударно-сжатых конденсированных диэлектриков// УФН. 1968. Т. 94. в. 4 С. 641-686.70 . Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Ленинград: Ленинградское отд. Наука, 1975, 592 С.

65. Mitchel А.С., Nellis W.J., Moriarty J.A., Heinle R.A., Holmes N.C., Tipton R.E., Repp G.W. Equation of state of Al, Cu, Mo, and Pb at shock pressure up to 2.4 TPa (24 MBarO) //J. Appl. Phys. 1991. V.69, N5, pp 2981-2986.

66. Syassen K., Holzapfel W.B. Isothermal compression of Al and Ag to 120 kbar // J.Appl.Phys. 1978. V.49, pp.4427-4430.

67. Litygina L.M., Malyushtskaya Z.V., Pashkina T.A., Kabalkina S.S. Isothermal compression of Al to 10 GPa at 673 K// Phys. Stat. Sol. ser.A. 1982, V.69, N2, pp. K147-K150.

68. Mao H.K., Bell P.M. Specific volume measurement of Cu, Mo, Pd and Ag and calibration of the ruby R1 fluorescence pressure gouge from 0.06 to 1 MBar// J. Appl. Phys. 1978, V.49, N6, pp. 3276-3283.

69. Vohra Y.K., Ruoff A.L. Static compression of metals Mo, Pb, and Pt to 272 GPa: Comparison with shock data.// Phys. Rev. B. 1990. V.42, N13, pp. 8651

70. Тонков У. Ю. Фазовые превращения соединений при высоком давлении. Справочник в двух книгах. М. : Металлургия, 1988.

71. Mirwald P.W., Kennedy G.C. //J. Phys.Chem.Solids. 1976, V.37, p. 795.

72. Godwal B.K., Meade C.,Jeanloz R. , Garcia A., Liu A.Y.,- -f?s=

73. Cohen M.L. Ultrahigh-Pressure Melting of Leade: A Multidisciplinary Study// Science, 1990, V.248, pp. 462-468.

74. Cannon J.F. //Phys. Chem. Ref. Data. V.3, pp. 781-820.

75. Akella J., Kennedy G.C. // J. Geophys. Res., 1971, p.4969.

76. Shaner J.W., Gathers G.R., Minichino C. Thermophysical properties of liquid tantalum and molybdenum// High Tempr.- High Press. 1977, V.9, N3, pp.331-343.

77. Moriarty J. First- Prinsiples pressure temperature phase diagrams in metals//in: High-Pressure Science and Technology -1993. ed by S.C. Schmidt, J.W. Shaner, G.A. Samara, M. Ross. Part 1, pp. 233-236.

78. Compendium of Shock Wave Data, /ed, by M. van Thiel. Lowrence Livermor Laboratory, 1977.

79. Mitchell А.С., Nellis W.J. Shock compression of aluminum copper and tantalum // J.Appl. Phys. 1981, V52, pp. 3363-3374.

80. Nellis W.J., Moriarty J.A., Mitchell A.C., Ross M., Dandrea R.G., Ashcroft N.W., Holmes N.C., Gathers G.R. Metals Physics at Ultrahigh Pressure: Aluminum, Copper, and Lead as Prototypes// Phys. Rev. Lett., 1988, V.60, N 14, pp.1413-1417.

81. Audin J., Bukowinski M.S. Equation of state and metallization of Csl //Phys.Rev., B. 1984. V. 29. N5. P. 2611-2621.

82. Huang T.L., Ruoff A.L. Equation of state and high-pressure phase transition of Csl //Phys. Rev.,B. 1984. V.29.N2. P. 1112-1114.

83. Asaumi К. Pressure-induced phase transitions in Csl and its equation of state in relation to metallization //Phys. Rev.,

84. B. 1984. V.29. N2. P. 1118-1120.

85. Williams Q., Jeanloz R. Analysis of Csl shock-wave data in terms of high-temperature dissociation //in: Shock Waves in Condensed Matter 1987. ed. by S.C. Schmidt, N.C. Holmes. 1988. P. 73-75.

86. Альтшулер JI. В. Павловский М. М. , Кулешова Л. В. , Симаков Г. В. Исследование галогенидов щелочных металлов при высоких давлениях и температурах ударного сжатия //ФТТ. 1963. Т. 5.1. C. 203-215.

87. Новиков Н. В. , Кочержинский Ю. А. , Шульман Л. А. и др. Физические свойства алмаза. Справочник. -Киев: Наукова Думка, 1987. 188 с.

88. Drickamer H.G., Lynch R.W., Clendenen R.L., Perez-Albuerne E.A. X-Ray Diffraction Studies of the Lattice Parameters of Solids under Very High Pressure // Solid State Physics. -1966. -V. 19. P.135-228.

89. Павловский M. H. Ударное сжатие алмаза //ФТТ. 1971.Т. 13. вып. 3 - С. 893-895.

90. McQueen R.G., Marsh S.P. Hugoniots of graphites of various initial densities and the equation of state of carbon // in IVTAM Symposium: Behavior of dense media under high dynamic pressures. Paris '67, (Gordon and Breach, New York 1968. P. 234.

91. Grover R. Does diamond melt? // J. Chem. Phys. -1979. -V.71. N. 9. P.3824-3829.

92. Bundy F.P. Pressure-Temperature Phase Diagram of Elemental Carbon // Physica A 156. 1989. - P.169-178.

93. Snaner J.W. , Brown J.M., Swenson C.A., McQueen R.G. Sound

94. Velocity of Carbon at High Pressures // Journal de Physique. -1984. T.45. N11. - C8. - P.235-237.

95. Averin А.В., Dremov V.V., Samarin S.I., Sapozhnikov A.T. Equation of State and Phase Diagram of Carbon // in: Shock Compression of Condenced Matter-1995 ed. S.C. Schmidt, W.C. Tao. 1996. Part 1. - P.65-68.

96. Togaya M. Thermophysical Properties of Carbon at High Pressure // in Advanced Materials'96. Proceedings of The 3rd NIRIM International Symposium on Advanced Materials (ISAM'96) Tsukuba, Japan, March 4-8, 1996. - P.251-256.

97. Анисимов С. И. , Петров Ю. В. Нулевые колебания твердого молекулярного водорода при высоких давлениях. Препринт, Черноголовка 1979, С.21.

98. Анисимов С. И. , Петров Ю. В. Энергия молекулярной фазы твердого водорода с учетом трехчастичных взаимодействий. // ЖЭТФ. 1978.- т. 74,- в. 2 -С. 778-785.

99. Григорьев Ф. В. , Кормер С. Б., Михайлова 0. JI. , Толочко А. П. , Урлин В. Д. Уравнение состояния молекулярного водорода. 0 фазовом переходе в металлическое состояние.// ЖЭТФ. 1978, - т. 75. -в. 5(11).- С. 1683-1693.

100. Zha C.S., Duffy Thomas S., Мао H.K., Hemley R.J. Elasticity of hydrogen to 24 GPa from single-crystal Brillouin scattering and synchrotron x-ray diffraction.// Phys. Rev. B.1993.- v.48.- N13.- P.9246-9255.

101. Mao H.K., Hemley R.J. Ultrahigh-pressure transitions in solid hydrogen.// Reviews of Modern Physics. 1994.- v.66. -N2.-P.671-692.

102. Silvera I.F., Goldman V.V. The isotropic intermolecular potential for H2 and Dg in the solid and gas phases.// J. Chem. Phys. 1978.- v.69. P.4209-4213.

103. Ross M.F., Ree F.R., Young D.A. The equation of state of molecular hydrogen at very high density.// J. Chem. Phys. 1983. v.79. - N3. - P.1487-1494.

104. Loubeyre P., LeToullec R. , Hausermann D., Hanfland M. , Hemley R.J., Mao H.K., Finger L.W. X-ray diffraction and equation of state of hydrogen at megabar pressures.// Nature.- v.383. 24 October 1996. - P. 702-704.

105. Anderson M.S., Swenson C.A. Experimental compressions for normal hydrogen and normal deuterium to 25 kbar at 4.2 K.// Phys. Rev. B. 1974. v. 10. - N12. - P. 5184-5191.

106. Hemley R.J., Mao H.K. , Finger L.W., Jephcoat A.P., Hazen R. M. , Zha C.S. Equation of state of solid hydrogen and deuterium from singl-crystal x-ray diffraction to 26.5 GPa.// Phys. Rev. B. 1990. v.42. N10 - P.6458-6470.

107. Barbee T.W., Garcia A., Cohen M.L., Martin J.L. Theory ofHigh-Pressure Phases of Hydrogen// Phys. Rev. Lett. 1989.-v.62. P.1150-1153.

108. Natoli V., Martin R.M., Ceperley D. Crystal Structure of Molecular Hydrogen at High Pressure // Phys. Rev. Lett. 1995. -v.74. P.1601-1604.

109. Alavi A., Parrinello M., Frenkel D. Ab Initio Culculation of the Sound Velocity of Dense Hydrogen: Implications for Modelsof Jupiter // Science. 1995. -v.269. P.1252-1254.

110. Natoli V., Martin R.M., Ceperley D. Crystal Structure of Atomic Hydrogen // Phys. Rev. Lett. 1993. v.70. - P. 1952-1955.

111. Vinet P., Ferrante J., Smith J.R., Ross J.H. A universal equation of state for solids // J. Phys C 1986. -v. 19, -P.467-473.