Обобщение метода изображений и асимптотический анализ в задачах о движении нескольких тел в жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Харламов Александр Андреевич

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ИЗОБРАЖЕНИЙ И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ О ДВИЖЕНИИ НЕСКОЛЬКИХ ТЕЛ В ЖИДКОСТИ

Специальность 01.02.05-механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 8 КОЯ 2012

Москва - 2012

005054622

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор Владимир Павлович Карликов доктор физико-математических наук профессор Александр Георгиевич Петров

доктор технических наук с.н.с. Олег Павлович Шорыгин кандидат физико-математических наук доцент Александр Мефодьевич Головин

Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина

Защита состоится 07 декабря 2012 г. в 15 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан «_»

ХГ

а \\ ——

2012 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Методы расчёта течений идеальной и вязкой жидкостей при наличии в них нескольких тел важны для моделирования течений как вокруг неподвижных конструкций (элементы гидравлических машин, быки мостов, стойки нефтедобывающих станций и другие сооружения), так и твёрдых тел, двигающихся в жидкости в присутствии границ. Для моделирования нестационарных процессов необходима информация о коэффициентах присоединённых масс.

Многочисленные эксперименты и прямое численное моделирование подтверждают возможность во многих случаях использования модели идеальной жидкости для реальных жидкостей при стационарном и нестационарном характерах течения как в безграничной жидкости (Mougin G., Magnaudet J., 2002; Wakaba L., Balachandar S., 2007), так и при наличии твёрдых границ (Риман И.С., Крепе P.JL, 1947; Chen S.S., Wambsganss M.W., Jendrzejczyk J.А., 1976).

Несмотря на то, что в прошлом столетии было представлено большое количество методов расчёта и решений течений идеальной жидкости, область применения многих из них имеет ряд ограничений. Нестационарные течения вокруг произвольно двигающихся твёрдых тел были ограничены случаем двух тел (Hicks W.M., 1880; Воинов О.В., 1969; Мазур В.Ю., 1970), а исследования стационарных течений вокруг более чем двух тел были представлены в основном решениями для обтекания решёток профилей (Кочин Н.Е., 1941; Гинзбург Б.Л., 1950). Произвольное движение нескольких цилиндров стало исследоваться лишь в последние годы (Finn M.D., Сох S.M., Byrne Н.М., 2003; Crowdy D„ 2006, 2008).

В диссертации обобщается метод изображений, впервые использованный Хиксом для расчёта течения вокруг двух сфер (Hicks W.M., 1880) и применимый для расчёта течения вокруг двух параллельных круговых цилиндров. Разработанный обобщённый метод позволяет исследовать течения вокруг произвольного количества таких цилиндров, двигающихся в идеальной жидкости. Результаты расчёта ряда течений этим методом сравниваются в диссертации с результатами, известными из литературы. Возможности обобщённого метода иллюстрируются также на примере расчёта коэффициентов присоединённых масс при автоколебаниях кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канале. Нестационарная задача об автоколебаниях тел загромождающих поток в каналах является сложной,

малоизученной и имеет важные приложения в технологиях, применяемых при добычи нефти и газа. Результаты решения её представляют интерес, например, для оптимизации процесса прочистки газовых скважин.

Другим направлением исследований в диссертационной работе является нахождение асимптотических зависимостей для сил гидродинамического взаимодействия твёрдых тел различной формы вблизи их контакта с другими телами, а также с твёрдыми границами. Исследованы случаи течения при малых числах Рейнольдса (теория смазки) и при больших числах Рейнольдса (модель идеальной жидкости). Применяемый метод позволяет получать асимптотические решения для широкого класса задач. Эти асимптотические решения могут служить, например, для контроля верности численных решений соответствующих задач гидродинамики.

Основные цели работы:

1. Обобщение метода изображений для расчёта течений идеальной жидкости при движении в ней нескольких тел.

2. Расчёт коэффициентов присоединённых масс сферы при нестационарном движении её в идеальной жидкости вдоль твёрдой стенки, и цилиндра, движущегося между двумя параллельными стенками. Исследование возможностей применения полученных формул и обобщённого метода изображений к другим задачам.

3. Получение асимптотических решений для сил, действующих на тела в идеальной и вязкой жидкостях в областях близкого контакта с другими телами.

Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

1. Метод изображений обобщён для расчёта течений вокруг произвольного количества цилиндров, перемещающихся в идеальной жидкости, а также течений вокруг двух сфер, двигающихся перпендикулярно линии их центров.

2. Развитым методом рассчитаны зависимости для коэффициента присоединённой массы сферы, двигающейся возле твёрдой стенки параллельно ей, и

коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно двигающегося между двумя параллельными стенками. Показана возможность применения найденных зависимостей для описания автоколебаний свободного цилиндра, сильно загромождающего поток в прямоугольном канале. Указан способ использования обобщённого метода изображений для расчёта нестационарного течения жидкости вокруг нескольких цилиндров внутри угла и между двумя стенками.

3. Найдены асимптотики для сил, действующих на тела в идеальной или вязкой жидкостях при сближении с другими телами вплоть до контакта. Сделано сравнение с некоторыми решениями, найденными другими методами.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обусловлена многочисленными сравнениями рассчитанных зависимостей в частных случаях с решениями, полученными другими известными методами, а так же с результатами экспериментов.

Практическое значение. Разработанные методы могут использоваться для нахождения течений идеальной жидкости при движении в ней произвольного количества сфер или цилиндров, и для нахождения асимптотических значений для сил, действующих на тела, двигающиеся вблизи других тел в идеальной и вязкой жидкостях.

Полученные решения (как численные так и асимптотические) могут использоваться для моделирования ряда технологических процессов. Благодаря простоте результатов и их вывода асимптотические решения могут найти применение как в инженерных расчётах, так и в теории построения соответствующих численных схем для их тестирования.

Апробация работы. Результаты диссертационного исследования представлялись и обсуждались на следующих научных конференциях: ХЫ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, физические секции (2007); XXI Международная научная конференция Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ-21 (Саратов, 2008); X

3

Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Коллоквиум Динамика Жидкостей (Прага, 2011).

Результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и МИАН им. В.А. Стеклова под руководством академика А.Г. Куликовского, профессора В.П. Карликова и член-корр. О.Э. Мельника 26 октября 2011 г.

Публикации и личный вклад автора. Основное содержание и результаты диссертационного исследования изложены в десяти работах [1-10],' в том числе в шести журналах [1,4,5,8,9,10], рекомендованных ВАК. Работы [2,5,6,7,8,9] выполнены соискателем лично. В работах [1,3,4,10], написанных в соавторстве, автору диссертации принадлежит постановка задачи, вывод основных соотношений и построение алгоритмов решения. Все положения, вынесенные на защиту, получены автором самостоятельно.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), списка публикаций соискателя (10 наименований). Общий объём диссертации 108 страниц, включая 64 рисунка и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обсуждается актуальность темы диссертации, основные цели и направления исследований, указана научная и практическая ценность работы.

Представлен обзор литературы, посвященный течениям идеальной жидкости при движении в ней сфер и цилиндров. Приведены известные решения начиная с первых работ (Hicks W.M., 1880; Basset A.B., 1887), в которых решается задача о движении двух сфер, а также работ, в которых исследуется предельный случай обтекания сферы, при расстоянии до другой сферы или стенки стремящемся к нулю (Small R.D., Weihs D., 1975; Сох S.J., Cooker M.J., 2000). Указаны решения, найденные для различных расстояний между двумя сферами или цилиндрами (Weihs D., Small R.D., 1975; Jeffrey D.J., Chen H.-S., 1977; Crowdy D.G., Surana A., Yick K-Y., 2007).

Обсуждаются возможности получения асимптотических решений для сил, действующих на тела, двигающиеся в вязкой и идеальной жидкостях в присутствии других тел, как для больших так и для малых расстояний между движущимися телами. Приведены известные решения для вязкой жидкости, в случае малых расстояний между обтекаемыми сферическими или цилиндрическими телами (Keller J.B., 1963; Batchelor G.K., 2002, упражнение 1 в конце параграфа 4.8; Bungay P.M., Brenner H., 1973) и для идеальной жидкости, где расстояния между обтекаемыми сферическими телами велики (Stokes G.G., 1843; Basset A.B., 1887). Указаны экспериментальные работы, подтверждающие некоторые асимптотические решения (Christopherson D.G., Dowson D., 1959; Kirsch A.A., Fuchs N.A., 1967).

Отмечены публикации, посвященные экспериментальному и теоретическому исследованию явления автоколебаний свободно подвешенных тел, сильно загромождающих поток в трубах и каналах (Молодых О.В., Степанов Г.Ю., 2004; Карликов В.П., Толоконников С.Л., 2004; Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И., 2005). Обсуждается возможность моделирования указанных явлений в рамках модели идеальной жидкости.

На основе обзора литературы сделан вывод, что проблема расчёта течения идеальной жидкости вокруг более чем двух тел для любых расстояний между телами исследована недостаточно. Решения с обтеканием решёток верны лишь для фиксированных расстояний между элементами решёток. Решения для обтекания более чем двух цилиндров, произвольно двигающихся в идеальной жидкости, являются весьма сложными математически.

Асимптотические методы расчёта сил, действующих на тела, двигающиеся в идеальной жидкости, известны лишь для больших расстояний между телами. Для вязкой жидкости известен метод получения асимптотических решений только при малых расстояниях и найденные решения немногочисленны.

В Главе 1 представлен новый алгоритм построения последовательности диполей в методе изображений, позволяющий рассчитывать двумерные нестационарные течения вокруг нескольких произвольно двигающихся параллельных круговых цилиндров в безграничном объёме идеальной жидкости. Этот алгоритм является обобщением классического метода изображений, применявшегося ранее лишь для

расчёта течения вокруг двух движущихся цилиндров. Основная трудность применения метода изображений для расчёта течения вокруг более чем двух цилиндров заключается в том, что любой диполь, добавляемый к течению, одновременно изменяет граничные условия более чем на двух цилиндрах, и построение решения в виде последовательности отдельных диполей становится невозможным.

В отличие от классического метода изображений в обобщённом методе решение представляется бесконечной последовательностью групп диполей. Первую группу составляют диполи, находящиеся в центрах цилиндров и соответствующие движению каждого цилиндра в безграничной жидкости. При движении в жидкости т цилиндров первая группа содержит т диполей с потенциалами

где а, - радиусы цилиндров, V, - их скорости, ^ - радиус векторы их центров.

Изображением точечного диполя в цилиндре является другой точечный диполь. Для каждого цилиндра во вторую группу входят изображения в этом цилиндре всех диполей первой группы, которые лежат вне этого цилиндра (см. рис. 1). Таким образом, вторая группа содержит т(т-\) диполей.

Для удобства записи вводится оператор изображения в г -том цилиндре - А,. Тогда потенциалы диполей второй группы запишутся

Рисунок 1. Первая £> и вторая £Х группы диполей при количестве цилиндров

т равном 3. Диполи обозначены стрелками, их длины пропорциональны мощности диполей (длины стрелок второй группы для удобства увеличены в пять раз).

, 1 < г < т

В третью группу входят изображения в каждом цилиндре диполей второй группы. Таким образом, третья группа будет содержать т{т-1)2 диполей. Потенциалы диполей третьей группы запишутся

Последующие группы строятся аналогично. Для практических расчётов необходимо ограничиться п изображениями, содержащими конечное количество диполей. Потенциал течения представляется суммой потенциалов всех моделирующих диполей:

В отличие от классического метода изображений, где каждый последующий диполь, являющийся изображением предыдущего, обеспечивает точное удовлетворение граничных условий попеременно на одном из цилиндров, в обобщённом методе изображений это невозможно, граничные условия не выполняются ни на каком цилиндре, и при добавлении изображений происходит приближение к ним.

Кинетическая энергия жидкости рассчитывается как интеграл по поверхностям цилиндров

где дср/дп - производная потенциала в направлении нормали к поверхности

цилиндра. На поверхности ;'-го цилиндра (8tp/8n)i =I^cos(i>), где 3 - угол между

вектором скорости цилиндра и вектором, направленным из центра цилиндра в точку интегрирования. Интеграл был вычислен аналитически и для него была получена новая простая формула, представляющая кинетическую энергию в виде суммы по всем моделирующим диполям.

В стационарном случае линии тока, полученные обобщённым методом изображений и, Crowdy D. (2006) совпадают (рис. 2 слева). В нестационарном случае при трёх движущихся и одном неподвижном цилиндре (рис. 2 справа) вид векторных линий скорости жидкости в некоторый фиксированный момент времени так же совпадает с полученным Finn M.D. et al. (2003). В отличие от методов, применяемых

Crowdy и Finn, предложенная в диссертации схема использует существенно более простой алгоритм, который основывается на классическом методе, и, поэтому, более проста в понимании и применении.

Рисунок 2. Течение идеальной жидкости вокруг 3-х неподвижных цилиндров (левый рисунок) и вокруг 3-х движущихся и одного неподвижного цилиндров внутри неподвижного цилиндра в некоторый момент времени (правый рисунок).

В этой же главе излагается способ обобщения метода изображений для расчёта течения идеальной жидкости вокруг двух сфер, двигающихся перпендикулярно линии центров. Известный метод изображений является неприменимым для решения этой задачи.

Изображением точечного диполя в сфере в этом случае является точечный диполь в точке инверсии и непрерывное распределение диполей между точкой инверсии и центром сферы. Наличие непрерывного распределения диполей в изображении явилось для Хикса (Hicks W.M., 1880) непреодолимым препятствием для получения аналитического решения для сфер, двигающихся параллельно линии центров. В работе Воинова О.В. (1969) решение представлено в виде рядов с многократным использованием интегрального оператора изображения, действующего на диполь.

В диссертационной работе непрерывное распределение диполей заменяется дискретным набором к точечных диполей, см. рис. 3, с последующим построением дальнейших изображений. Течение от такого набора точечных диполей достаточно быстро при к —* оо становится эквивалентным течению от непрерывного распределения.

Рисунок 3. Диполь А и его изображение - диполь в точке инверсии А' и непрерывное распределение диполей от точки инверсии до центра сферы О. Непрерывное распределение заменено дискретным набором точечных диполей.

Решение задачи представляется сходящейся последовательностью изображений, при этом первое изображение (п = 1) содержит два диполя, второе изображение

(«= 2) содержит 2(к + \) диполя, п -е - 2(Ус + 1)й1 диполей. Для численного решения берутся первые п изображений, при этом при одновременном увеличении чисел пик численное решение приближается к точному.

Кинетическая энергия жидкости определяется, как указано выше, интегралом по поверхности сфер. Он находится аналитически для каждого диполя, моделирующего течение, и кинетическая энергия представляется суммой по всем диполям.

В Главе 2 обобщённый метод изображений применяется для расчёта коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно движущегося между двумя параллельными стенками.

Течение вокруг цилиндра, двигающегося между двумя стенками, совпадает с течением вокруг одного из цилиндров в двойной бесконечной решётке цилиндров. Для расчётов используется конечное (т ) количество цилиндров, причём течение вокруг центрального цилиндра наиболее приближено к течению вокруг цилиндра, движущегося между двумя стенками. Задача нахождения коэффициентов присоединённых масс разбивается на две подзадачи - о движении цилиндра параллельно и перпендикулярно стенкам. Коэффициенты присоединённых масс Ст1 (/ = 1,2) находятся как функции безразмерных расстояний до стенок для различных чисел тип. Число п обозначает количество рассматриваемых изображений. Для

ускорения сходимости двойной последовательности используется метод Шенкса.

9

При движении цилиндра перпендикулярно стенкам метод позволяет получить решение с относительной погрешностью порядка 1% даже для предельного случая стремления расстояния до стенок к нулю. В этом случае показано, что предельное значение коэффициента присоединённой массы

С„„ =3.26 ±0.04.

Производится анализ сходимости решения как в зависимости от количества изображений п и количества моделирующих цилиндров т , так и в зависимости от расстояния между цилиндром и стенками. Уже при небольшом расстоянии между цилиндром и стенками метод позволяет достигнуть точности, достаточной для практических расчётов при моделировании экспериментально наблюдаемых автоколебаний цилиндра между двумя стенками (Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И. 2005). На основании рассчитанных данных были впервые получены аппроксимационные формулы для коэффициентов присоединённых масс при движении как параллельно так и перпендикулярно стенкам, верные для любых расстояний до стенок. Зависимости коэффициентов присоединённых масс от безразмерных расстояний до стенок Ь=Ь/а, с=с/а (а - радиус цилиндра) представлены на рис. 4.

Рисунок 4. Коэффициенты присоединённых масс цилиндра при его движении перпендикулярно (левый рисунок) и параллельно (правый рисунок) стенкам в зависимости от безразмерных расстояний до стенок.

В предельном случае одной стенки найденное решение совпадает с известным решением Мазура В.Ю. (1966), найденным другим методом, что подтверждает надёжность обобщённого метода. Задача о стационарном обтекании асимметрично расположенного неподвижного цилиндра между двумя стенками была решена

10

численно автором методом граничных элементов. Найденное решение совпадает с решением, полученным обобщённым методом изображений, и также свидетельствует об эффективности использованного этого метода.

Методом изображений по предложенной схеме была получена также зависимость коэффициента присоединённой массы сферы, движущейся параллельно стенке. На основании этих данных была впервые получена аппроксимационная формула, действительная для любого расстояния до стенки. Известные из литературы приближения (Stokes G.G., 1843; Yang F.-L., 2006) верны лишь для больших расстояний.

Коэффициент присоединённой массы представляется суммой по всем диполям и находится численно как функция расстояния до стенки для различных значений п и к , где п обозначает количество рассматриваемых изображений, а к - количество дискретных диполей, заменяющих их непрерывное распределение. Для ускорения сходимости получаемой таким образом двойной последовательности используется метод Шенкса (Shanks D., 1955).

Рассчитанные зависимости для коэффициента присоединённых масс сферы Ст2 при её движении параллельно стенке а также коэффициента Ст] для перпендикулярного движения к ней (Hicks W.M., 1880) были аппроксимированы (рис. 5) с высокой точностью простыми формулами, верными вплоть до предельного случая близости к стенке. Эти формулы удобны для расчёта движения сферы возле стенки.

Ъ Ъ

Рисунок 5. Коэффициенты присоединённых масс при движении сферы перпендикулярно, Ст] (левый рисунок), и параллельно, Ст2 (правый рисунок), стенке. Точками обозначены предельные значения коэффициентов в случае стремления расстояния от сферы до стенки к нулю.

11

В диссертации были также получены аппроксимационные формулы для коэффициентов присоединённых масс для двух равных сфер, двигающихся произвольно в безграничном объёме идеальной жидкости.

В этой же главе представлено возможное применение рассчитанных коэффициентов присоединённых масс для описания автоколебаний свободного кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в прямоугольном канале.

Экспериментальное исследование указанных автоколебаний проведено в работе Карликова В.П., Хомякова А.Н., Шоломовича Г.И. (2005).

В отличие от модели Молодых О.В. и Степанова Г.Ю. (2004), предложенная в диссертации приближённая модель строится в рамках безотрывного обтекания цилиндра, что позволяет использовать рассчитанные зависимости коэффициентов присоединённых масс цилиндра между двумя стенками. Уравнения в форме Лагранжа получаются из кинетической энергии системы, выраженной через эти коэффициенты.

Сравнение экспериментальной и рассчитанной зависимостей числа Струхаля 5А = (/ - частота автоколебаний, О - диаметр цилиндра, - скорость

набегающего потока) от безразмерной ширины зазора между каналом и цилиндром 8 =8/В представлено на рис. 6. В рамках модели зависимость числа Струхаля от числа Рейнольдса Яе^У^В/у отсутствует (у - кинематическая вязкость). Графики соответствуют значениям отношений плотностей: (а) - р/р; = 1.29 , (Ь) - р/р^ = 8.2 . Сплошными линиями обозначены результаты расчётов, штриховой линией -экспериментальные кривые при Ле = 1.5 -104, штрих пунктирной линией -

экспериментальные кривые при Яе = 7.2 ■ 104.

(а) (Ь)

Рисунок 6. Сравнение экспериментальной (штриховая и штрих пунктирная

линии) и расчётной (сплошная линия) зависимостей для числа Струхаля.

12

Далее в главе описано применение обобщённого метода изображений для нахождения поля скоростей течения и коэффициентов присоединённых масс нескольких цилиндров, движущихся внутри угла, в прямоугольной области или между двумя стенками. Если при движении в безграничной жидкости нескольких цилиндров в поле скоростей присутствуют две плоскости симметрии, то часть этого течения оказывается совпадающей с течением вокруг нескольких цилиндров внутри угла.

Показано, что обобщённый метод позволяет находить течения вокруг цилиндров внутри угла, если величина утла составляет я/п , где п - целое (см. рис. 7 слева).

Если же цилиндры находятся на биссектрисе угла, и их скорости направлены вдоль неё, то угол может составлять 2яг/л (см. средний рис. 7).

Течение вокруг нескольких цилиндров, движущихся между двух стенок, приближённо совпадает с течением вокруг этих цилиндров, расположенных между двумя неподвижными цилиндрами, если радиусы последних достаточно велики (см. рис. 7 справа). Однако, для нахождения коэффициентов присоединённых масс рассмотренный выше метод предпочтительней с точки зрения сходимости и точности вычислений.

Рисунок 7. Нестационарное течение в некоторый момент времени идеальной жидкости вокруг цилиндра, движущегося внутри угла р/5 (левый рисунок), вокруг движущегося и неподвижного цилиндров на биссектрисе угла 2р/3 (средний

рисунок) и вокруг двух движущихся между двумя стенками цилиндров (правый рисунок).

В Главе 3 найдены выражения для асимптотических значений сил, действующих на тела, двигающиеся вблизи других тел в идеальной или вязкой жидкостях. Асимптотические решения отличаются простотой как вывода, так и результата и позволяют получать более общие решения, неизвестные ранее.

Силы, действующие на тела, двигающиеся в вязкой жидкости были найдены в рамках теории смазочного слоя. Метод нахождения сил, действующих на тела в идеальной жидкости представлен впервые. В обоих случаях метрд основан на предположении, что если расстояния между границами тел, двигающимися в жидкости, стремится к нулю, то главные асимптотики сил, действующих на эти тела, определяются течением жидкости в окрестности контакта. Полученные решения сравниваются с известными частными решениями.

Полученные асимптотические решения в зависимости от случая справедливы при минимальной ширине зазора между телами \ <(0.001 + 0.1) а , где а - характерный

размер тела. Решения приближения смазочного слоя верны при Не --<к 1, где V

- кинематическая вязкость. Решения в рамках теории идеальной жидкости соответствуют большим числам Рейнольдса Яе»1. Необходимо отметить, что точное решение уравнений Навье-Стокса в слое жидкости между двумя движущимися параллельно пластинками (Петров А.Г., 2012) при Яе > 100 переходит в решение, полученное в рамках теории идеальной жидкости, а при Яе < 0.1 в решение, полученное в рамках теории смазочного слоя. Этот результат подтверждает применимость предлагаемых асимптотических методов и позволяет оценить диапазоны их применимости.

Построены новые асимптотические решения для сил гидродинамического взаимодействия цилиндров и сфер, двигающиеся в вязкой жидкости при Яе <к 1 в следующих конфигурациях:

• Обтекание вязкой жидкостью цилиндра, произвольно движущегося в канале, при малых зазорах между цилиндром и стенками канала. Сила сопротивления, действующая на цилиндр вдоль направления течения, имеет асимптотику

F = 18\Z2?r// f , ¡12(^0 гДе M - динамическая вязкость, a - радиус

«оГ +/г02

цилиндра, /¡„,,/го, - расстояния до стенок, V0 - скорость течения, V - проекция

скорости цилиндра на направление течения. Остальные результаты, полученные в этой главе, имеют такой же простой вид.

• Произвольное движение двух расширяющихся параллельных цилиндров на малом расстоянии друг от друга. В частном случае движения цилиндра перпендикулярно стенке решение согласуется с полуаналитическим решением Keh H.J., Wang L.R. (2008), см. рис. 8 слева.

• Произвольное движение двух расширяющихся сфер на малом расстоянии друг от друга. В частном случае сфер постоянного радиуса решение совпадает с приведённым в монографии Batchelor G.K. (2002).

• Произвольное движение сферы между двумя стенками. В частном случае движения сферы перпендикулярно стенке, решение согласуется с Batchelor G.K. (2002). В частном случае движения вращающейся сферы параллельно стенке решение согласуется с приведённым Прокуниным А.Н. (2003).

• Вращение двух сфер вокруг общей оси. В частном случае вращения сферы у стенки решение согласуется с решением Jeffery G.B. (1915), см. рис. 8 справа.

ho/a hola

Рисунок 8. Безразмерная сила Fs, действующая на цилиндр, двигающийся к

стенке со скоростью х0 (левый рисунок). Безразмерный момент М., действующий на сферу с радиусом а, вращающуюся с угловой скоростью т вокруг перпендикулярной стенке оси, (правый рисунок). Асимптотические решения обозначены сплошными линиями; точками и штриховой линией обозначены точные решения.

Впервые были найдены асимптотические решения для цилиндров и сфер, двигающихся в идеальной жидкости в следующих конфигурациях:

• Движение вдоль линии центров двух расширяющихся цилиндров на малом расстоянии друг от друга.

• Движение вдоль линии центров двух цилиндров. Получены выражения для коэффициентов присоединённых масс вплоть до предельного случая контакта. Сравнение коэффициентов присоединённых масс с решением Мазура В.Ю. (1970) при конечных расстояниях (рис. 9) показывает незначительное отличие.

• Движение цилиндра перпендикулярно стенке вплоть до контакта.

• Движение цилиндра между двумя стенками перпендикулярно им. Проведено сравнение с решением, полученным в Главе 2 обобщённым методом изображений, см. рис. 10 слева.

• Расширение двух цилиндров с неподвижными центрами.

• Расширение цилиндра у стенки. Проведено сравнение с аналитическим решением, полученным Воиновым О.В., Гуревичем М.И. (1974).

• Движение цилиндра между двумя стенками параллельно им. Сравнение с решением, полученным в Главе 2 обобщённым методом изображений, см. рис. 10 справа. Аналитически решена задача устойчивости равновесия цилиндра, свободно подвешенного в потоке в плоском канале. Показано, что равновесие цилиндра неустойчиво.

• Обтекание в канале потоком жидкости с плотностью р и средней скоростью V цилиндра с радиусом а, касающегося без протекания одной стенки и находящегося на малом расстоянии до другой. Сравнение решения для безразмерной циркуляции Г/Г0 (Г0 - циркуляция при удалении второй стенки на бесконечность) с решением, полученным автором методом граничных элементов, см. рис. 11 слева. Сравнение решения для силы Fx , действующей на

цилиндр, с решением Карликова В.П., Толоконникова СЛ. (2004), см. рис. И справа.

• Движение двух расширяющихся сфер вдоль линии центров на малом расстоянии друг от друга.

• Движение двух сфер вдоль линии центров. Сравнение решения для коэффициентов присоединённых масс с решением Hicks W.M. (1880), см. рис. 12.

• Движение сферы перпендикулярно стенке.

• Движение сферы между двумя стенками перпендикулярно им.

• Расширение двух сфер.

• Расширение сферы у стенки.

Движение сферы в круглом цилиндрическом канале параллельно оси при малом зазоре между каналом и сферой. Показано, что как и цилиндр в центре канала, сфера находится в состоянии неустойчивого равновесия.

Рисунок 9. Коэффициенты присоединённых масс двух цилиндров, движущихся вдоль линии центров. Сравнение асимптотического (штриховая линия) и точного (сплошная линия) решений.

ю-2 Wa

0.1 1

Ы ¡а

Рисунок 10. Коэффициенты присоединённых масс цилиндра, расположенного в канале асимметрично, Иа[ = З/г^ , и двигающегося перпендикулярно (левый рисунок) и

параллельно (правый рисунок) стенкам. Сравнение асимптотического решения (штриховая линия) и численного (сплошная линия, серая область с учётом погрешности вычислений).

0.1 1

ha/а

Рисунок 11. Циркуляция (левый рисунок) вокруг цилиндра, касающегося одной из стенок в канале, и действующая на него сила (правый рисунок) в зависимости от безразмерного зазора между цилиндром и другой стенкой. Сравнение асимптотического решения (штриховая линия) и точного (сплошная линия, точки).

Рисунок 12. Коэффициенты присоединённых масс сферы около стенки,

сравнение асимптотического (штриховая линия) и точного (сплошная линия) решений.

В Заключении к диссертации сформулированы основные результаты и выводы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Обобщён классический метод изображений, применявшийся ранее лишь для решения плоской задачи о нестационарном обтекании идеальной жидкостью двух произвольно двигающихся круговых цилиндров или пространственной задачи о движении вдоль линии центров двух сфер. Обобщённый метод изображений позволяет рассчитывать течения вокруг двух сфер, двигающихся перпендикулярно линии центров, а в случае плоской задачи нестационарные течения вокруг более чем двух цилиндров, двигающихся в идеальной жидкости.

2. При помощи разработанного метода получена простая приближённая формула для зависимости коэффициента присоединённой массы сферы, двигающейся

параллельно стенке, от безразмерного расстояния до неё. Обобщённым методом рассчитаны зависимости коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно двигающегося между двумя стенками. Получены приближённые формулы для коэффициентов присоединённых масс в зависимости от безразмерных расстояний до обеих стенок. Показано возможное применение рассчитанных зависимостей при описании автоколебаний свободного кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канале. Предложен способ использования обобщённого метода изображений для расчёта нестационарного течения жидкости вокруг нескольких цилиндров, движущихся внутри угла, между двумя стенками, а также в прямоугольной ячейке.

3. Получены многочисленные асимптотические решения для сил, коэффициентов присоединённых масс, циркуляции и давления, возникающих при движении и обтекании сфер и цилиндров на близком расстоянии от других сфер, цилиндров и стенок, в случаях больших и малых чисел Рейнольдса. Проведено сравнение этих решений с точными решениями и с полученными автором обобщённым методом изображений или методом граничных элементов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Kharlamov A.A., Chara Z., Vlasak P. Hydraulic formulae for the added masses of an impermeable sphere moving near a plane wall // J. Eng. Math. 2007. V. 62. P. 161-172

2. Харламов A.A. Присоединённая масса сферы, двигающейся в идеальной несжимаемой жидкости вблизи стены // Тезисы XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Физические секции. 21-25 апреля 2008. Изд. РУДН. С. 45

3. Kharlamov A.A., Chara Z„ Vlasak P. Kinetic energy of ideal incompressible fluid flowing past two equal spheres // Сборник трудов XXI Международной научной конференции Математические Методы в Технике и Технологиях - ММТТ-21. Том 3. 27-30 мая 2008. С. 6-9

4. Kharlamov A.A., Chdra Z., Vlasak P. Energy of inviscid incompressible fluid flowing past two equal spheres // Acta. Technica. 2009. V. 54. P. 35-47

5. Харламов А.А. О возможности моделирования поперечных автоколебаний свободного кругового цилиндра сильно загромождающего поток в плоском канале // Вестн. МГУ. Мат. Мех. 2010. № 3. С. 60-63

6. Харламов А.А. Движение кругового цилиндра в идеальной жидкости между двумя параллельными стенками // Тезисы X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Секция II. Механика жидкости и газа. 24-30 августа 2011

7. Kharlamov А.А. On a generalized images method for calculation of inviscid potential flow past several arbitrary moving cylinders // Book of Abstracts. Colloquium Fluid Dynamics. 19-21 октября 2011

8. Харламов А.А. Коэффициенты присоединенных масс кругового цилиндра, движущегося в идеальной жидкости между параллельными стенками // ПММ. 2012. № 76. С. 140-146

9. Харламов А.А. Моделирование поперечных автоколебаний кругового цилиндра, обтекаемого несжимаемой жидкостью в плоском канале при наличии циркуляции // ПМТФ. 2012. № 53. С. 1-6

10. Kharlamov А.А., Fllip P. Generalisation of the images method for calculation of inviscid potential flow past several arbitrarily moving parallel circular cylinders // J. Eng. Math., online first, DOI 10.1007/sl0665-012-9532-6

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж loo экз. Заказ № S6

Введение

Актуальность и предмет исследования.

Цели и задачи.

Научная новизна. Положения выносимые иа защиту.

Достоверность результатов

Практическое значение.

Публикации и апробация диссертации.

Структура и объем.

Обзор и анализ литературных источников по теме исследования

Глава 1. Обобщение метода изображений для расчёта нестационарных течений идеальной жидкости при движении в ней нескольких тел

1.1 Произвольное движение нескольких параллельных круговых цилиндров.

1.1.1 Потенциал течения

1.1.2 Кинетическая энергия.

1.1.3 Примеры течения.

1.2 Движение двух сфер перпендикулярно линии их центров

1.2.1 Потенциал течения

1.2.2 Кинетическая энергия.

Глава 2. Применение обобщённого метода изображении к конкретным проблемам.

2.1 Расчёт коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно движущегося между двумя параллельными стенками.

2.1.1 Сходимость метода.

2.1.2 Результаты вычислений.

2.1.3 Коэффициенты присоединённых масс двух цилиндров, движущихся вдоль линии центров, в предельном случае нулевого расстояния между ними.

2.1.4 Сравнение с известными решениями.

2.2 Расчёт коэффициентов присоединённой массы сферы, движущейся параллельно стенке.

2.2.1 Сходимость метода

2.2.2 Результаты вычислений.

2.2.3 Коэффициенты присоединённых масс двух равных сфер, двигающихся произвольно.

2.3 Применение рассчитанных коэффициентов присоединённых масс для описания автоколебаний свободного кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в прямоугольном канале

2.4 Применение обобщённого метода изображений для нахождения поля скоростей течения вокруг нескольких цилиндров, движущихся внутри угла, между двумя стенками или в прямоугольной ячейке

Глава 3. Гидродинамическое взаимодействие тел в окрестности их контакта при малых и больших числах Рейнольдса.

3.1 Малые числа Рейнольдса.

3.1.1 Движение кругового цилиндра в канале

3.1.2 Движение двух цилиндров переменного радиуса

3.1.3 Движение цилиндра перпендикулярно стенке.

3.1.4 Движение цилиндра между двумя стенками перпендикулярно им.

3.1.5 Движение двух сфер переменного радиуса.

3.1.6 Движение сферы между двумя стенками перпендикулярно им.

3.1.7 Вращение двух сфер вокруг общей оси.

3.2 Большие числа Реппольдса.

3.2.1 Движение вдоль линии центров двух цилиндров переменного радиуса

3.2.2 Расширение двух цилиндров.

3.2.3 Расширение цилиндра у стенки

3.2.4 Движение двух цилиндров вдоль линии центров

3.2.5 Движение цилиндра перпендикулярно стенке

3.2.6 Движение цилиндра между двумя стенками перпендикулярно им.

3.2.7 Движение цилиндра между двумя стенками параллельно им

3.2.8 Обтекание цилиндра в канале, касающегося без протекания одной стенки.

3.2.9 Движение вдоль линии центров двух сфер переменного радиуса.

3.2.10 Расширение двух сфер.

3.2.11 Расширение сферы у стенки.

3.2.12 Движение двух сфер вдоль линии центров.

3.2.13 Движение сферы перпендикулярно стенке.

3.2.14 Движение сферы между двумя стенками перпендикулярно им.

3.2.15 Движение сферы в круглом цилиндрическом канале

Актуальность и предмет исследования

Методы расчёта течении идеальной и вязкой жидкостей при наличии в них нескольких тел важны для моделирования течений как вокруг неподвижных конструкций (элементы гидравлических машин, быки мостов, стойки нефтедобывающих станций и другие сооружения), так и твёрдых тел, двигающихся в жидкости в присутствии границ. Для моделирования нестационарных процессов (в частности задачи ускоренного движения или вибрации тел в жидкости) необходима информация о коэффициентах присоединённых масс [15], для расчёта которых применяется модель идеальной жидкости. Поскольку движение твёрдых тел в идеальной жидкости подчиняется уравнениям Лаграпжа, знание коэффициентов присоединённых масс позволяют вычислять силы, действующие на тела.

Многочисленные эксперименты и прямое численное моделирование подтверждают возможность во многих случаях использования модели идеальной жидкости для реальных жидкостей при стационарном и нестационарном характерах течения как в безграничной жидкости, так и при наличии твёрдых границ. Первым, экспериментально определившим коэффициент присоединённой массы сферы, был Chevalier Du Buat [36]. Для сферы в безграничной жидкости коэффициент был найден им равным 0.585 (как известно, теоретическое значение коэффициента 0.5). Позднее, Krishnaiyer N.C. [55] в экспериментах с колебаниями сферы определил коэффициент равным приблизительно 0.583. В статье Mougin G., Magnauclet Л. [G2] численно (методом конечных элементов) и экспериментально исследовалось движение эллипсоидального пузыря в безграничной жидкости. В результате исследования авторы делают вывод, что эффекты присоединённых масс для движущихся в нестационарных потоках вязкой жидкости твёрдых тел остаются независимыми от числа Рейиольдса, ускорения и стационарного/нестационарного характера течения. В работе Neill D., Livclybrooks D., Donnelly R.J. [63j экспериментально исследовались колебания подвешенной па нити и погружённой в жидкость сферы; полученные ими значения присоединённой массы хорошо согласуются с теоретическими. В численном исследовании Wakaba L., Balachandar S. [77] подтверждается независимость коэффициента присоединённой массы сферы от её ускорения и характера течения.

Известно несколько работ по экспериментальному исследованию присоединённых масс тел при наличии твёрдых границ. В монографии Римана И.С. и Крепе Р.Л. [26] приводится экспериментальная зависимость коэффициента присоединённой массы сферы около стенки от безразмерного расстояния до стенки, хорошо согласующаяся с теорией. В работе Chen S.S., Wambsganss M.W., Jendrzejczyk Л.А. [35] показано хорошее совпадение экспериментальных результатов с теорией для коэффициента присоединённой массы цилиндра, колеблющегося в соосной цилиндрической камере. Haxada S., Tanaka Т. Tsuji Y. [47] исследовали численно движение сферы перпендикулярно стенке; в результате исследования была подтверждена возможность использования результатов модели идеальной жидкости при описания движения сферы. Weber R., Hureau J. [79] рассчитали обтекание различных препятствий в канале при помощи модели идеальной жидкости. Результаты расчёта как для коэффициента сопротивления так и для линий тока показали хорошее сравнение с результатами экспериментов в воздушном тоннеле при больших числах Рейиольдса.

Несмотря на то, что в прошлом столетии было представлено большое количество методов расчёта и решений течений идеальной жидкости, область применения многих из них имеет ряд ограничений. Нестационарные течения вокруг произвольно двигающихся твёрдых тел были ограничены случаем двух тел. Hicks W.M. [49], Воинов О.В. [3] исследовали движение двух сфер в идеальной жидкости; Мазур В.Ю. [20], Crowdy D.G., Snraiia А., Yick K-Y. [42] - движение двух цилиндров. Исследования стационарных течений вокруг более чем двух тел были представлены в основном решениями для обтекания решеток профилей [16, 7, 27]. Произвольное движение нескольких цилиндров стало исследоваться лишь в последние годы [45, 39, 40, 66], однако, для расчётов используется весьма сложный математический аппарат и получаемые решения громоздки или имеют медленную сходимость.

В диссертации обобщается метод изображений. впервые использованный Хиксом для получения точного решения обтекания двух сфер [49] и применимый для расчёта течения вокруг двух произвольно движущихся параллельных круговых цилиндров. Предлагается новый алгоритм построения последовательности диполей, сходящейся к искомому течению и не следующей явно из классического метода изображений. Разработанный обобщённый метод позволяет исследовать течения вокруг произвольного количества таких цилиндров, двигающихся в идеальной жидкости (рис. 1). Результаты расчёта ряда течений этим методом сравниваются в диссертации с другими результатами, известными из литературы. Показана возможность применения метода изображений для расчёта течения вокруг нескольких цилиндров, произвольно двигающихся внутри угла, между двумя параллельными стенками или в прямоугольной ячейке.

Возможности обобщённого метода иллюстрируются также па примере расчёта коэффициентов присоединённых масс при автоколебаниях кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канале.

Рис. 1. Несколько цилиндров радиусов аг, двигающихся с произвольными скоростями v].

Нестационарная задача об автоколебаниях тел, загромождающих поток в каналах, является сложной, малоизученной и имеет важные приложения в технологиях, применяемых при добычи пефтп и га,за. Результаты решения её представляют интерес, например, для оптимизации процесса прочистки газовых скважин.

Другим направлением исследований в диссертационной работе является нахождение асимптотических зависимостей для сил гидродинамического взаимодействия твёрдых тел различной формы вблизи их контакта с другими телами, а также с твёрдыми границами. На рис. 2 изображён простейший пример такой задачи - цилиндр движущийся к стенке. Расстояние между цилиндром и стенкой /го является величиной много меньшей радиуса цилиндра а. Исследованы случаи течения при малых числах Рейнольдса (теория смазки) и при больших числах Рейпольдса (модель идеальной жидкости). Применяемый здесь метод позволяет получать асимптотические решения для широкого класса задач. Эти асимптотические решения могут служить, например, для контроля верности численных решений соответствующих задач гидродинамики. \ о

Рис. 2. Цилиндр радиуса а, двигающийся перпендикулярно стенке. Цели и задачи

1. Разработка обобщённого метода изображений для расчёта течений идеальной жидкости при движении в ней нескольких тел.

2. Расчёт коэффициентов присоединённых масс сферы, при нестационарном движении её в идеальной жидкости вдоль твёрдой стенки, и цилиндра, движущегося между двумя параллельными стенками. Исследование возможностей применения полученных формул и обобщённого метода изображений к другим задачам.

3. Получение асимптотических решений для сил, действующих па тела в идеальной и вязкой жидкостях в областях близкого контакта с другими телами.

Научная новизна. Положения выносимые на защиту

В диссертационной работе получены следующие новые результаты, выносимые па защиту:

1. Метод изображений обобщён для расчёта течений вокруг произвольного количества цилиндров, перемещающихся в идеальнох1 жидкости, а также течений вокруг двух сфер, двигающихся перпендикулярно линии их центров.

2. Развитым методом рассчитаны зависимости для коэффициента присоединённой массы сферы, двигающейся возле твёрдой стенки параллельно ей, и коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно двигающегося между двумя параллельными стенками. Показана возможность применения найденных зависимостей для описания автоколебаний свободного цилиндра, сильно загромождающего поток в прямоугольном канале. Указан способ использования обобщённого метода изображений для расчёта нестационарного течения жидкости вокруг нескольких цилиндров внутри угла и между двумя стенками.

3. Найдены асимптотики для сил, действующих па тела в идеальной или вязкой жидкостях при сближении с другими телами вплоть до контакта. Сделано сравнение с некоторыми решениями, найденными другими методами.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов обусловлена многочисленными сравнениями рассчитанных зависимостей в частных случаях с решениями, полученными другими известными методами, а так же с результатами экспериментов.

Практическое значение

Разработанные методы могут использоваться для расчёта течений идеальной жидкости при движении в пей произвольного количества сфер или цилиндров, и для нахождения асимптотических значений для сил, действующих на тела, двигающиеся вблизи других тел в идеальной и вязкой жидкостях.

Полученные решения (как численные так и асимптотические) могут использоваться для моделирования ряда технологических процессов. Благодаря простоте результатов и их выводов асимптотические решения могут найти применение как в инженерных расчётах, так и в теории построения соответствующих численных схем для их тестирования.

Публикации и апробация диссертации

Основные результаты достаточно полно отражены в 10 публикациях, 6 из которых представлены в журналах перечня ВАК. Все положения, вынессппые па защиту, получены автором самостоятельно.

Результаты работы докладывались и обсуждались па научном семинаре кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и МИАН им. В.А. Стеклова под руководством академика А.Г. Куликовского, профессора В.П. Карлпкова и члеп-корр. О.Э. Мельника 26 октября 2011 г.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка цитируемой литературы (80 наименований), списка публикаций соискателя (10 наименований). В конце каждой главы указаны её основные результаты. Общий объём диссертации 108 страниц, включая 64 рисунка и 4 таблицы.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Обобщён классический метод изображений, применявшийся ранее лишь для решения плоской задачи нестационарного обтекания идеальной жидкостью двух произвольно двигающихся круговых цилиндров пли пространственной задачи движения вдоль линии центров двух сфер. Обобщённый метод изображений позволяет рассчитывать течения вокруг двух сфер, двигающихся перпендикулярно лпшш центров, а в случае плоской задачи нестационарные течения вокруг более чем двух цилиндров, двигающихся в идеальной жидкости. Обобщение заключается в предложении нового алгоритма использования классического метода изображений для построения последовательности диполей, течение от которой сходится к искомому.

2. При помощи разработанного метода получена простая приближённая формула для зависимости коэффициента присоединённой массы сферы, двигающейся параллельно стенке, от безразмерного расстояния до неё. Обобщённым методом рассчитаны зависимости коэффициентов присоединённых масс цилиндра, произвольно двигающегося между двумя стенками. Получены приближённые формулы для коэффициентов присоединённых масс в зависимости от безразмерных расстояний до обеих стенок. Показано возможное применение рассчитанных зависимостей при описании автоколебаний свободного кругового цилиндра, сильно загромождающего поток в плоском канате. Предложен способ использования обобщённого метода изображений для расчёта нестационарного течения жидкости вокруг нескольких цилиндров, движущихся внутри угла, между двумя стенками, а также в прямоугольной ячейке.

3. Получены многочисленные асимптотические решения для сил, коэффициентов присоединённых масс, циркуляции и давления, возникающих при движении и обтекании сфер и цилиндров па близком расстоянии от других сфер, цилиндров и стенок, в случаях больших и малых чисел Рейнольдса. Проведено сравнение этих решений с точными решениями и с полученными автором обобщённым методом изображений пли методом граничных элементов. Где возможно, оценена область применимости полученных асимптотических решений.

Заключение

1. Агаиаи А.А.,Давлетшин А.И. Уточнённая модель взаимодействия сферических газовых пузырьков в жидкости // Мат. Модел. 2009. № 21. С. 89-98.

2. Буров А.А. О движении твердого тела в идеальной жидкости в полупространстве, ограниченном плоскостью // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения, Часть 1. М.: ВЦ РАН., 2001. С. 43-49.

3. Воинов О.В. О движении двух сфер в идеальной жидкости // ПММ. 1969. № 33. С. 659-667.

4. Воинов О.В. Движение идеальной жидкости около двух сфер с радиальными скоростями на поверхности // Вести. МГУ. Мат. Мех. 1969. № 5. С. 83-88.

5. Воинов О.В., Гурсвич М.И. О силах, действующих на тонкое осесимметричное тело, ориентированное параллельно дну // Изв. РАН. МЖГ. 1974. № 2. С. 169-172.

6. Галахов М.А., Гусятников П.В., Новиков А.П. Математические модели контактной гидродинамики // М.: Наука, 1985. 292 с.

7. Гинзбург Б.Л. Вычисление потенциала и скорости обтекания плосконараллсльпым потоком решетки круговых цилиндров /7 Теплопередача и аэрогидродинамика. Кп. 18. М.-Л.: Машгиз, 1950. С. 159-199.

8. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия /'/ М.: Наука, 2001. 479 с.

9. Гуськов О.В. Присоединенная масса сферы в суспензии сферических частиц // ПММ. 2012. № 76. С. 134-139.

10. Жуковский Н.Е. Полное собрание сочинении. Т.З. Гидравлика-Прикладная механика ;'/ М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 700 с.

11. Карликов В.П., Резнинеико Н.Т., Шоломович Г.И. Об автоколебаниях тел плохообтекаемой формы при сильном загромождении им потока в трубе // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 2. С. 136-143.

12. Карликов В.П., Резиичеико Н.Т., Шоломович, Г.И. О динамических эффектах обтекания в трубах колеблющихся тел, сильно загромождающих поток /' Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 4. С. 122-128.

13. Карликов В.II., Толоконииков С.Л. О силе, действующей па примыкающий к стенке плоского капала цилиндр, сильно загромождающий стационарный поток идеальной несжимаемой жидкости // Изв. Тул. Гос. Ун-та Сер. Мат. Мех. Инф. 2004. № 7. С. 105-110.

14. Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович. Г.И. Экспериментальное исследование поперечных автоколебаний круговых цилиндров, сильно загромождающих поток в плоском канале // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 5. С. 133-138.

15. Короткий А.И. Присоединённые массы судостроительных конструкций: Справочник. // Мор Вест, 2007. 448 с.

16. Кочии Н.Е. Влияние шага решетки на ее гидродинамические характеристики // ПММ. 1941. № 5. С. 165-192.

17. Кочии II.E. О волновом сопротивлении и подъемной силе погруженных в жидкость тел // Собр. соч. Т. 2. М.-Л.: АН СССР, 1949. С. 105-182.

18. Лойцяиский Л.Г. Механика жидкости и газа // М.:Наука, 1987. 736 с.

19. Мазур В.Ю. Движение кругового цилиндра вблизи вертикальной стенки , / Изв. РАН. МЖГ. 1966. Xa 3. С. 75-79.

20. Мазур В.Ю. Движение двух круговых цилиндров в идеальной жидкости U Изв. РАН. МЖГ. 1970. № 6. С. 80-83.

21. Молодых О.В., Степанов Г.Ю. Расчёт поперечных квазистациопарных автоколебаний кругового цилиндра при отрывном обтеканиинесжимаемой жидкостью в плоском канале // Вести. МГУ. Мат. Мех. 2004. № 3. С. 40-44.

22. Петров А.Г. Квадратурные формулы для периодических функций и их применение в методе граничных элементов // ЖВМиМФ. 2008. №. 48. С. 1344-13G1.

23. Петров А.Г. Аналитическая гидродинамика // М.:Фмзматлит, 2009. 518 с.

24. Петров А.Г. Вынужденные колебания в жидкости двух газовых пузырей в окрестности их контакта // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 4. С. 81-99.

25. Петров А.Г. О точных и асимптотических решениях уравнений Навье-Стокса в слое жидкости между движущимися параллельно пластинами // Изв. РАН. МЖГ. 2012. (в печати).

26. Рим,an И.С., Крепе Р.Л. Присоединённые массы тел различной формы // Труды ЦАГИ. 1947. №635.

27. Фильчакова В. П. Конформные отображения областей специального типа. / / К.: Наукова думка, 1972. 251 с.

28. Шаповалов В.М. Валковые течения иеньютоновских жидкостей /,/М.: Фпзматлит, 2011. 168 с.

29. Ayaz F., Pedley T.J. Flow through and particle interception by an infinite array of closely-spaced circular cylinders // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1999. V. 18. P. 173-196.

30. Basset A.B. On the motion of two spheres in a liquid, and allied problems // Proc. Math. Soc. 1887. V. 18. P. 369-377

31. Batehelor G.K. An introduction to fluid dynamics /'/ Cambridge: University Press, 2002, 615 p.

32. Bentwich M., Miloh T. On the exact solution for the two-sphere problem in axisymmetrical potential flow // J. Appl. Mech. 1978. V. 45. P. 463-468.

33. Brenner H. The slow motion of a sphere through a viscous fluid towards a plane surface /,/ Chera. Eng. Sci. 1961. V. 6. P. 242-251.

34. Bungay P.M., Brenner H. The motion of a closely-fitting sphcie in a fluid-filled tube // Int. J. Multiphase. Flow. 1973. V. 1. P. 25-56.

35. Chen S.S., Wambsganss M.W., Jendrzejczyk J.A. Added mass and damping of a vibrating rod in confined viscous fluids //J. Appl. Mecli. 1976. V. 43. P. 325-329.

36. Chevalier Du Buat Principes d'hydraulique et de pyrodynamique // Paris: L'imprimeric de Monsieur, 1786, 452 p.

37. Christopherson D.G. Dowson D. An example of minimum energy dissipation in viscous flow // Proc. R. Soc. Loncl. 1959. V. 251. P. 550-564.

38. Cox S.J., Cooker M.J. Potential flow past a sphere touching a tangent plane // J. Eng. Math. 2000. V. 38. P. 355-370.

39. Crowdy D.G. Analytical solutions for uniform potential flow past multiple cylinders // Europ. J. Mecli. B 'Fluids. 2006. V. 25. P. 459-470.

40. Crowdy D.G. Explicit solution for the potential flow due to an assembly of stirrers in an inviscid fluid // J. Eng. Math. 2008. V. 62. P. 333-344.

41. Crowdy G.D., Johatham S.M. Computing the Schottky-Klein Prime Function on the Schottky Double of Planar Domains // Comp. Meth. Func. Theor. 2007. V. 7. P. 293-308.

42. Crowdy D.G., Surana A., Yick K-Y. The irrotational motion generated by two planar stirrers in inviscid fluid // Phys. of Fluids. 2007. V. 19. 018103.

43. Davis A.M.J. High frequency limiting virtual-mass coefficients of heaving half-immersed spheres ' ' J. Fluid. Mech. 1977. V. 80. P. 305-319.

44. Doinikov A.A. Translational motion of two interacting bubbles in a strong acoustic field '/ Phys. Rev. E. 2001. V. 64. 026301. 6 p.

45. Finn M.D., Cox S.M., Byrne H.M. Topological chaos in inviscid and viscous mixers // J. Fluid. Mech. 2003. V. 493. P. 345-361.4G. Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik 0. Concrete mathematics // N.Y.: Addison-Wesley, 1994, 672 p.

46. Harada S., Tanaka 7'., Tsuji Y. Fluid force acting on a particle falling toward a wall // JSME Int,. J. 2001. V. 44. P. 520-525.

47. Herman B.A. On the motion of two spheres in fluid and allied problems // Q. J. Pure Appl. Math. 1887. V. 22. P. 204-262.

48. Hicks W.M. On the motion of two spheres in a fluid // Philos. Trans. 1880. V. 13. P. 455-492.

49. Jeffery G.B. On the steady rotation of a solid of revolution in a viscous fluid // Proc. Lond. Math. Soc., Scr. 2. 1915. V. 14. P. 327-338.

50. Jeffrey D.J., Chen H.-S. The virtual mass of a sphere moving toward a plane wall // J. Appl. Mech. 1977. V. 44. P. 166-167.

51. Keh H.J., Wang L.R. Slow motions of a circular cylinder experiencing slip near a plane wall // J. Fluid. Structures. 2008. V. 24. P. 651-663.

52. Keller J.B. Viscous flow through a grating or lattice of cylinders // J. Fluid. Mech. 1964. V. 18. P. 94-96.

53. Kirsch A.A., Fuchs N.A. The fluid How in a system of parallel cylinders perpendicular to the flow direction at small Reynolds numbers // J. Phys. Soc. Jpn. 1967. V. 22. P. 1251-1255.

54. Krishnaiyer N.C. An experimental determination of the inertia of a spere vibrating in a liquid // Philos. Mag. 1923. V. 46. P. 1049-1053.

55. Lamb H. Hydrodynamics. 6th ed. // Cambridge: Univ. Press, 1932, 738 p.

56. Li L., Schultz W.W., Merte Ii.Jr. The velocity potential and the interacting force for two spheres moving perpendicularly to the line joining their centers , / J. Eng. Math. 1993. V. 27. P. 147-160.

57. Majurnder S.R. The motion of two spheres in contact parallel to the common line of centres in an incompressible, homogeneous non-viscous fluid // Buletinul Institutului Politehnic din Iasi. 1961. V. 7. P. 51-56.

58. Милн-Томсои Л.М. Теоретическая гидродинамика, четвёртое издание. // М.: Мир. 1964. 660 с.

59. Miloh Т. Hydrodynamics of deformable contiguous spherical shapes in incompressible inviscid fluid /,/ J. Eng. Math. 1977. V. 11. P. 349-372.

60. Morrison F.A. Jr. lrrotational flow about two touching spheres // Л. Appl. Mech. 1976. V. 43. P. 365-366.

61. Mougin G., Maynaadct J. The generalized Kirclihoff equations and their application to the interaction between a rigid body and an arbitrary time-dependent viscous flow ,"/ Int. Л. Multiph. Flow. 2002. V. 28. P. 1837-1851.

62. Neill D., Livelybrooks D., Donnelly R.J. A pendulum experiment on added mass and principle of equivalence // Am. J. Phys. 2006. V. 75. P. 226-229.

63. Nino Y., Garcia M. Gravel saltation. 2. Modelling < ' Water Resour. Res. 1994. V. 30. P. 1915-1924.

64. Nyrkova I.A. Semenov A.N., Khokhluu A.R., Linlvu K., Chu B. Motion of a probe ball in the fluid under centrifugal acceleration // J. Phys. II. 1997. V. 7. P. 1709-1728.

65. Pashaev O.K. Yilmaz 0. Power-series solution for the two-dimensional inviscid flow with a vortex and multiple cylinders // J. Eng. Math. 2009. V. 65. P. 157-169.

66. Prokunin A.N. On a paradox in the motion of a rigid particle along a wall in a fluid /,/ Fluid. Dynamics. 2003. V. 38. P. 443-457.

67. Prokunin A.N. Microcavita,tion in the slow motion of a solid spherical particle along a wall in a fluid ,/ / Fluid. Dynamics. 2004. V. 39. P. 771-778.

68. Reynolds O. On the theory of lubrication and its aplication to Mr. Beauchamp Tower's experiments, including an experimental determination of the viscosity of olive oil // Philos. Trans, of the Royal. Soc. 1886. V. I.

69. Shanks D. Nonlinear transformations of divergent and slowly convergent sequences // J. Math. Phys. 1955. V. 34. P. 1-42.

70. Shcbalov A.N. Unsteady motion of a body under a solid wall or free surface // Fluid. Dynamics. 1967. V. 2. P. 76-78.

71. Small R.D., Weihs ü. Axisymmetric potential flow over two spheres in contact // J. Appl. Mecli. 1975. V. 42. P. 763-765.

72. Sommerfeld A. Zur hydrodynamischen Theorie der Schmiermittelrcibung // Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1904. V. 50. P. 97-155.

73. Stokes G.G. On some cases of fluid motion // Trans. Cambridge. Philos. Soc. 1843. V. 8. P. 105-137.

74. Thompson W., Tait P.G. Treatise on Natural Philosophy // Cambridge: University Press, 1867, 500 p.

75. Tsuji Y., Morikawa Y. Mizn.no O. Experimental measurements of the Magnus force on a rotating sphere at low Reynolds numbers // J. Fluid. Eng. 1985. V. 107. P. 484-488.

76. Wak.aba L., Balaehandar S. On the added mass force at finite Reynolds and acceleration numbers // Theor. Comp. Fl. Dyn. 2007. V. 21. P. 147-153.

77. Wang Q.X. Interaction of two circular cylinders in inviscid fluid // Phys. Fluids. 2004. V. 16. P. 4412-4425.

78. Weber /?. . Hurea.u J. Ideal fluid flow past obstacles in an arbitrary channel: comparison of numerical and experimental results // J. Fluid. Mech. 2001. V. 447. P. 129-148.

79. Weiss D. Small R.D. An exact solution of themotion of two adjacent spheres in axisynmietric potential flow // Isr. J. Techn. 1975. V. 13. P. 1-6.

80. Список публикаций соискателя по теме диссертации

81. Kharlamov А.А., Ската Z., Vlasak P. Hydraulic formulae for the added masses of an impermeable sphere moving near a plane wall //J. Eng. Math. 2007. V. 62. P. 161-172.

82. Харламов А.А. Присоединенная масса сферы, двигающейся и идеальной несжимаемой жидкости вблизи стены // Тезисы XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. Физические секции. 21-25 апреля 2008. Изд. РУДН. С. 45.

83. Kharlamov A.A., Chara Z., Vlasak P. Kinetic energy of ideal incompressible fluid flowing past two equal spheres // Сборник трудов XXI Международной научной конференции Математические Методы в Технике и Технологиях ММТТ-21. Том 3. 27-30 мая 2008. С. 6-9.

84. Kharlamov A.A., Chara Z., Vlasak P. Energy of inviscid incompressible fluid flowing past two equal spheres // Acta. Technica. 2009. V. 54. P. 35-47.

85. Харламов А.А. О возможности моделирования поперечных автоколебаний свободного кругового цилиндра сильно загромождающего поток в плоском канале // Вестн. МГУ. Мат. Мех. 2010. № 3. С. 60-63.

86. Kharlamov A.A. On a generalized images method for calculation of inviscid potential flow past several arbitrary moving cylinders // Book of Abstracts. Colloquium Fluid Dynamics. 19-21 октября 2011.

87. Харламов А.А. Коэффициенты присоединенных масс кругового цилиндра, движущегося в идеальной жидкости между параллельными стенками // ПММ. 2012. № 76. С. 140-146.

88. Харламов А.А. Моделирование поперечных автоколебаний кругового цилиндра, обтекаемого несжимаемой жидкостью в плоском канале при наличии циркуляции // ПМТФ. 2012. № 53. С. 1-6.

89. Kharlamov A.A., Filip P. Generalisation of the images method for calculation of inviscid potential flow past several arbitrarily moving parallel circular cylinders //J. Eng. Math., online first, DOI 10.1007/sl0665-012-9532-6