Обобщения модели Борна-Инфельда и некоторые их точные решения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2^2008-158

На правах рукописи УДК 530.12; 531.51

СЮ3464ЬоЬ

СИРИЛО-ЛОМБАРДО Диего Хулио

ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ БОРНА-ИНФЕЛЬДА И НЕКОТОРЫЕ ИХ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

Специальность: 01.04.02 —теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

í 9 г.;др

Дубна 2008

003464565

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики

им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

А.Е. Дорохов (ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук, профессор

A.B. Разумов (ИФВЭ, г. Протвино)

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится " Y п 2008) г. в 15— на

заседании диссертационного совета Д 726.001.01 при Объединенном институте ядерных исследований, г. Дубна, Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан " ^ ^ "

Е.А. Иванов (ЛТФ ОИЯИ)

доктор физико-математических наук

А.И. Пашнев (ЛТФ ОИЯИ)

Ученый секретарь диссертационного совета

A.B. Арбузов

Общая характеристика диссертации.

Актуальность темы. В 1934 году М. Бори н Л. Ннфельд предложили исключительно интересную версию нелинейной электродинамики, привлекательными чертами которой среди многих прочих были следующие.

1) С точки зрения геометрии плотность лагранжиана Борна-Инфельда является одной из наиболее простых форм инвариантных относительно глобальных координатных преобразований.

2) Электродинамика Борна-Ппфельда представляет собой единственную, помимо максвелловской, причинную теорию поля со спином 1. Вакуум теории характеризуется напряженностью поля Fin, = 0 с нолуограниченной плотностью энергии.

3) В теории Борна-Инфельда сохраняется спиральпость и решается проблема собственной энергии частиц.

Относительно недавно интерес к нелинейной электромагнитной теории снова возрос в связи с обнаружением того, что такие теории могут сыграть важную роль в развитии струнного подхода, как подчеркивалось в пионерской работе Барбашова и Черникова. Нелинейная электродинамика с борн-инфельдовским лагранжианом описывает низкоэнергитические процессы D-брак, являющиеся непертурбативными солитонными объектами, возникающими естественным образом в D-мерных обобщениях струнной теории. Структура струнных теорий существенно улучшается с введением D-браи, поскольку возникает целый спектр реалистических с точки зрения физики моделей. Например, хорошо известен сценарий "brane-world", который естественным образом включает борн-инфельдовскую электродинамику в калибровочных теориях. С точки зрения теорий гравитации и супергравитации точная форма борн-инфельдовского лагранжиана на D-бране для произвольного фонового поля неизвестна со всей определенностью, в частности, для SU(N) калибровочных полей. Вместе с недавним включением в теории D-бран солитонов в непертурбативном спектре струнной теории было осознано, что низко-энергитическая динамика струн может быть правильно описана с помощью так называемого действия Дирака-Борна-Инфельда. Поскольку выделенная брана, как известно, описывается абелевым действием Дирака-Борна-Инфельда, можно естественным образом ожидать, что мультибранные конфигурации нуждаются в пеабелевом обобщении действия Борна-Инфельда. Специфическим образом в случае теории суперструн имеют дело с суперсимметричным обобщением действия Дирака-Борна-Инфельда. В том случае, когда число D-бран соответствует суперсимметрии наблюдается увеличение симметрии при котором абелево действие Дирака-Борна-Инфельда должно быть дополнено соответствующими неабеле-выми компонентами.

Не менее актуальным представляется описание поведения релятивистских частиц в суперпространстве. Эти объекты интересны в связи с приложениями

к к на м тоном теории поля. Поскольку имеются приложимые к практике пример!,I более или ,менее суперсимметричных игрушечных моделей, то актуально исследовать нопрос, могут ли достаточно произвольные сунерснмметричные игрушечные модели претендовать на роль адекватного описания некоторой для пас скрытой реальной физической системы (частично, ответ на этот вопрос и являлся целыо проведенного исследования). Не менее интригующими являются п исследования систем с дробной статистикой.

Целью работы является глубокое исследование некоторых аспектов теории Эйнштейна-Борна-Инфельда, а также ее обобщение па неабелев случай. Проводится поиск регулярных решений соответствующих уравнений сферически симметричного монопольного вида. Анализируются решения для вращающихся черных дыр в теории Эйнштсйна-Борна-Инфельда. Рассматривается суиерсимметричное обобщение изучаемых проблем. На основе анализа скрытой симметрии теории Эйнштсйна-Борна-Инфельда указано на возможность обобщения теории, которое связано с. кватерниоиной алгеброй. Теория групп п геометрические методы играют все возрастающую роль в современной теоретической и математической физике. В этой связи теория групп Ли рассматривается в качестве унифицирующей, и на этой основе проводится анализ теории Борна-Инфельда. Анализируются некоторые новые неабелевы суперсимметричные модели, концепции и результаты теории Борна-Инфельда, на основе исключительно удобного и компактного описания. Найдены некоторые точные решения уравнений борн-инфельдовского типа в искривленном пространстве-времени, удовлетворяющие критерию регулярности. Предложено неабелево обобщение теории Борна-Инфельда, включающее суперсимметрию, и независимое от вида калибровочной группы на языке алгебр эндоморфизмов с римановой структурой, который может служить альтернативой концепции калибровочных групп расслоенных пространств. Рассматриваются некоторые вопросы квантовой теории с репараметризационно инвариантным действием для суперчастиц и струнных моделей, которые могут быть применимы в более общей ситуации, в случае, например, Б-бран. На основе этой игрушечной модели строятся физические состояния и приводятся некоторые новые релятивистские волновые уравнения. На анализе конкретных примеров рассматривается связь этих конструкций с гармоническим осциллятором.

Научная новизна и практическая ценность.

Найдены и проанализированы с математической и физической точек зрения некоторые решения гравитирующих вращающихся систем. Показано, в частности, что вращающееся решение Борна-Инфельда не может быть генерировано при помощи комплексного преобразования (например алгоритмом Ныомапа Яинса). Продемонстрировано также, что эти решения имеют не только электромагнитную массу, но также внутренний спин электромагнитного

происхождения. Построено шшоо. моноиоленодобное pemoline и нроие.до-на явная идентификация электромагнитной и гравитационной масс. Для суперсн.мметричного неабеле.ва электромагнитного ноля построено суперспмм-етричиое обобщение действия Бо])на- Пифельда. Предложенное действие Борна- 11н([>ел1>да окалывается совершенно независимым от вида калибровочной группы, а также от предписании, касающихся определения следа операторов. На основе этого действия получены многие интересные с точки ■¡ренин приложении к физике результаты. На основе предложенного автором нового метода квантования, базирующегося на акснаматической S-матричпоп формулировке п теоретико-групповом подходе, обсуждаются проблемы квантования теорий с геометрическим действие,м в случае борп пнфельдонского действия, суперсимметричной частицы, релятивистской струны, рассматриваемых и качестве игрушечной модели.

Результаты могут быть использованы в НПИЯФ МГУ. ПЯП, ЛТФ ОИЯН, ФИАН, ПТЭФ, МИАН п других научных центрах.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований, Математического Института им. В.А. Стеклова, Физического Института РАН, а также представлялись и докладывались на международных конференциях: A.I. Akhiezer Memorial Conference: "QED and Statistical Physics". Kharkov (Ukraina), Oct. of 2001; 8th International Conference: Path Integrals: from quantum information to cosmology. Prague, June 6-10, 2005; Workshop on Gravitational Aspects of Strings and Branes: Gravity, Strings and Gauge Theories, Santiago de Coinpostela (Spain, 8-11 Feb.2006, Org. By A. Ramallo, J. Mas); Symmetries and Spin, Charles University, Prague (26-30 July 2006);

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 17 работ в реферируемых журналах.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из четырех глав общим объемом 127 страниц, включая список цитированной литературы из 151 наименования.

Содержание работы

Диссертационная работа оформлена в виде четырех глав, три из которых посвящены некоторым специальным вопросам теории Эйнштейна Борна Пифельда. В четвертой главе обсуждаются некоторые аспекты описания пове-

дснмя релятивистских частиц i! суперпространстве и рассматриваются вопросы дробной статистики. Эти объекты интересны в связи с приложениями к квантовой теории поли. Для удобства каждая слава содержит' свои отдельный список литературы.

Первая глава

В парной гллне после небольшого введения и исторического обзора обсуждается новое сферически-симметричное регулярное решение уравнений Эйнштейна Борна Инфельда монопольного вида. В 1937 году Б. Хоффманн п Л. Ннфельд ввели регулярпчацпоиное условие на борцовскую теорию поля с целью устранения недостатка связанного с унификацией действия. Ими было отмечено, что регуляричацнонпое условие наложенное на поля дает ограничение в случае сферически симметричного электростатического ноля Ег = 0 для г = 0. В общей теории, регулярпчацпоиное условие было использование не только для Fín, полей, по также для //,,„ полей. В рамках общей теории, данное условие формулируется как Только такие, решения уравнений движения .могут иметь физический смысл Оля которых:

(а) пространство-время является всюду регулярным;

(б) Fjlv и д,ш поля и их производные, которые входят в уравнения движения и законы сохранения, определены всюду.

В общей теории относительности, сферически-симметричные решения уравнений движений для чисто гравитационного поля даются элементами Шварцш-ильдовской длины:

ds2 = -Adt2 + A~\ir2 + г2 [de2 + sin2 в V) , г

Е'де А/ константа интегрирования. Отметим, что данный элемент имеет существенную сингулярность для г — 0 и, следовательно, не удовлетворяет регуляризационному условию. В общей теории относительности при применении к полевым теориям имеется принципиальная возможность ослабить эту сингулярность, поскольку, например, для монополенодобного решения (Б. Хоффманн 1935 г.) элемент длины принимает вид

А = 1-у f dr [(г4 + 1)^-г2] .

Этот элемент длины принимает швацшильдовский вид на расстояниях больших радиуса решения, однако при стремлении расстояния к нулю (г —* 0) имеет коническую сингулярность

А 1 - 8тг = 0 .

Обойти эту трудность предлагалось с помощью построения более сложных, чем борн-ннфельдовский, нелинейных лагранжианов. В диссертации предложено новое точное сферически-симметричное решение уравнений Эйнштейна Борна-Инфельда на основе следующей подстановки для матричного элемента

длины дли статичного моноиоля

</.4* = -с2АЛ2 + с1",Iг + С2Г('\Ю2 + ск;{г)

с компонентами метрического тензора: (//;, = 0 при / ф ])

<)ч = -с

2ф

Цоо = с21'

И

,п

с

2Л

Наиболее приспособленной для исследования оказывается картаповская конструкция 1-форм

где о;0 = сл<7/, шх = сфсЬ\ а?2 = с1{'\1(), «г* = е°(г) .чт в, которая и используется при построении точного решения. Метрика, и случае когда соотжтстмукннпе массы и системе равны нулю, является регулярной в смысле Хоффмаипа Инфельда. К тому же, данные решении при соответствующем выборе параметров являются асимптотически плоскими и свободными от спнгулярностен в выражениях для электрического ноли, метрики, тензора энергии-импульса. Кроме этого, оказалось, что электромагнитная масса системы в два раза больше чем электромагнитная масса других известных решений. Также, было показано, что необходимы более строгие условия для разрешения проблем, связанных с недостатками унификации действия.

Вторая глава

Относительно маленькая по объему глава посвящена обсуждению некоторых математических структур скрытой симметрии уравнений Эйнштейна Борна-Инфельда, и возможности обобщения теории, связанном с кватерн-иошюй алгеброй. Достигается это введением кватернионных операторов, отвечающих симметрии исходной теории. Показывается, что определенш.ш частью коммутативного кольца оператор (} и 50(2) симметрия уравнений Борна-Инфельда, оказываются своего рода вложенными в более общую кватернионную структуру. Основанное па этом обобщение уравнений Бориа Инфельда может быть реализовано комплексными операторами па некоммутативном кольце. Этот результат находится в соответствии с наблюдением Гиббонса и Рашида, что в структуре уравнений имеется дискретная симметрия единственная для случая уравнений нелинейной электродинамики Борна-Инфельда. Этот факт наглядно проиллюстрирован автором, поскольку оператор дискретной симметрии С} ■■ обратим. Кватериионная структура фазового пространства введена и описана явным образом с помощью гамильтон-ова подхода, и показано в тоже время, что исследованная структура фазового пространства Гиббонса н Рашида является частным случаем »веденной в работе автора. Кроме того продемонстрирована явным образом аналогии

(Ь2 =

(-,")'' + (-■')' + (л)2 + и

теории Борца Ппфельда с линейной максвелловской теорией is искривленном ирострапстве-временп. Для чего нелинейные уравнения Борна-Инфельда без фонового поля представлены в виде уравнений Фрешнеля, как более естественные дли теоретической интерпретации.

В третьей главе изучаются некоторые аспекты обобщения теории Эпнштенпа-Борпа Ппфельда на неабелев случай и исследуется "worm-1ю1е"пнстантоиное решение уравнений. Рассматриваются вопросы, связанные с суперсимметрнчным расширением исследуемых проблем. Новое пеабелево действие Борна-Инфельда удовлетворяет ряду требований, предъявляемых к такого сорта расширениям. Оно базируется на некотором геометрическом свойстве, которым обладает абелев вариант. Следуя Хуллу и др. мы строим аналогичное действие. При этом удается построить обобщенный элемент объема для действия в виде линейной комбинации компонент метрического и янг-миллсовского тензора энергии-импульса:

SNB, = / ^ (^/Ч - \j\9\dei{g^+TatlXTal, *)) dx4 или в явной форме (для тривиального фонового поля) for simplicity)

s„„ - £ fsz* {. - f • - pf -¡m' + 1 («f - ijf}

где

M,v 7 = (l + ; М1Ш = M^ - 9-fF:flFf ,

WpMl = M2-, М:М"РМ^М3- (WpM:)2 ^ (M2)2 ,

Предлагаемый лагранжиан для неабелевой теории Борна-Инфельда дает богатый спектр явных гравитационных решений, В случае 0(4) плоской геометрии предложенная структура действия удовлетворяет BPS-условшо. В частности, для вывода действия не требуется привлечение предписания определения следа операторов. Полученное действие полностью не зависит от вида калибровочной группы. Предложенное действие удовлетворяет некоторому топологическому ограничению, и согласно этому критерию является низшим из возможных реализаций обобщения на неабелев случай. Найдено статическое сферически симметричное регулярное решение выведенной системы уравнений для изотропного случая и показано, что его асимптотика находится в соответствии с решением Икеда Миячи для уравнений Янга-Миллса в плоском пространстве.

В литературе обсуждались различные возможности расширения абедено-го действия Борна-Инфельда на случай неабелевой калибровочной симметрии. В основном все эти попытки в качестве исходной точки для перехода к пеа-белевому действию Борна-Инфельда использовали абелево действие Борна-Инфельда в стандартной форме, при этом все они отличались способом определения операции группового следа. В качестве основных требований для любого кандидата на роль небелевого действия Борпа Инфельда в контексте суперетрупы браиы необходимо отмстить:

1. действие не должно содержать нечетных степеней напряженности поли F (при таком требовании может быть установлена связь с действием открытой суперструны на древесном уровне);

2. действие будет линеарнзовыватся при BPS условиях и уравнения движения будут совпадать с с уравнениями движения, получаемыми на основе предположения о исчезающей /¿-функции фоновых нолей в теории открытых сунерструн;

3. если действие линеаризовано при BPS условиях, это должно быть связано с возможностью суперсимметризации теории Борна-Инфельда.

По этим важным причинам интересно обобщить Лагранжиан Борна-Инфельда для случая неабелевых электромагнитных полей.

В диссертации представлено новое неабелево обобщение действия Борна-Инфельда, которое удовлетворяет упомянутым выше требованиям и, например, является приемлемым кандидатом на роль эффективного действия сунерструн и D-бран, кроме того, такое неабелево обобщение имеет фундаментальное значение для теории гравитации и нелинейной электродинамики. Оно основывается на геометрическом свойстве Лагранжиана Борна-Инфельда в форме определителя. Мы расширяем абелево действие Борна-Инфельда в подобной форме как было предложено Халом, на его неабелев аналог, естественным образом сохраняя это геометрическое тождество. Это факт позволяет вычислить обобщенный элемент объема действия как линейную комбинацию компонент метрического тензора и Янг-Милсовского тензора энергии-импульса. Мы покажем, что такой Лагранжиан предложенный в качестве кандидата неабелевой теории Борна-Инфельда дает очень богатый спектр точных гравитационных решений, а также структура предложенного действия в случае плоских 0(4) конфигураций удовлетворяет соображениям энерпш-BPS и топологическим ограничениям в соответствии с неравенством Минковского: предложенное действие автоматически редуцируется к Янг-Миллсовской форме при BPS-подобных условиях. Это означает, что проскрипция Цейтлина для снмм-етризованного следа не является единственной, принимающей линейную форму при BPS условиях. Представленное новое неабелево обобщение Лагранжиана Борна-Инфельда согласуется не только с точкой зрения BPS, но также и с

норными пршщпнамп: псчанпсн.мостыо калибровочной группы и сохранению ее структуры но всех типах конфигураций.

Покачан п предыдущих разделах несколько причин для рассмотрения предложенного действия как кандидата на роль неабе.левого Лагранжиана Борпа Пнфельда перейдем к обсуждению этой проблемы с точки зрения суперсимм-етрин. Как было покачано и предыдущих разделах, очень важным свойством предложенного памп пеабелевого действия является его абсолютная независимость от калибровочной группы и, например, также независимость от любых проскрипций для следа (для сунерсимме грнчной версии пеабелевого Борпа Пнфельда с симметричной преекрппцпен для следа). Это фундаментальная особенность делает суперсимметрнчпое расширение нашей модели не только но'шожнмм. по и также простейшим.

Предложено повое псабелево обобщение действия Борпа Пнфельда исходя из геометрической точки зрения. Преимущество этой формы действия Борпа Пнфельда перед другими попытками основывается наследующих положениях.

1. Процесс перехода к никому иеабелеву действию выполняется к более естественной форме п основывается па геометрическом свойстве лагранжиана Борпа-Пнфельда в форме определителя.

2. В новом действии пет проскрипций для следа.

3. Новое действие полностью независимо от калибровочной группы.

4. Наш лагранжиан удовлетворяет неравенству Минковского (топологическому ограничению) но построению, насыщая ограничение при подстановке (анти-)самодуалыше условия (10) в (3). В этом случае линеаризованный неабелев Лагранжиан Борпа Ипфельда удовлетворяет также ВРБ-подобным условиям и становится Лагранжианом Янга-Миллса.

5. Из пункта 4 можно видеть, что наше действие остается минимально близко к топологическому ограничению чем другие неабелсвы Лагранжианы.

6. Выполненная еупоре.нмметризация модели показывает что предложенное действие удовлетворяет требованиям даваемыми соотношениями ВР8 -БИБУ.

7. По аналогии с абелевым случаем, предложенный Лагранжиан удовлетворяет следующим свойствам:

(а) мы получаем обычный предел в случае Ь —► оо;

(У>) электрическая компонента неабелева электромагнитного тензора должна быть ограничена для (а), в случае когда магнитная компонента исчезает;

(с) действие инвариантно при диффеоморфизме;

(с1) действие вещественно.

8. Получено статичное сферически симметричное регулярное решение для системы Эйнштейна- неабеле.в Бори Пнфельд, асимптотическое, поведение решения находится в согласии с типом решений Пкеды и Мнячи для Япг Мпллса в плоском пространстве п представлено повое решение типа инстаптон-\\'огщ11о1е в неабелевой теории Борпа-Ппфельда Эйнштейна. Мы показали, что Лагранжиан предложенный как кандидат на роль неабелевой теории Борна Ппфельда, дает точное гравитационное решение, и в случае \vormhole можно видеть следующее:

(a) существует связь между абсолютным полем Борна и Ппфельда Ь и космологической константой А, при этом Ь и А могут быть отождествлены;

(b) общая форма \vormhole и туннельного радиуса даются самой теорией Борна-Инфсльда без необходимости введения дополнительных полей.

Это означает что представленное здесь неабелсво обобщение Борна-Ппфельда имеет фундаментальное значение и физический смысл не только с теоретической, но также и с феноменологической точек зрения. В контексте общего анализа возможных неабелевых действий Борпа Ппфельда, представленное памп обобщение является сильным кандидатом для описания низкоэнергетической динамики О-бран, решений в непертурбативном секторе (супер)струиной теории.

В четвертой главе обсуждаются некоторые аспекты описания поведения релятивистских частиц в суиерпространстве. Эти объекты интересны в связи с приложениями к квантовой теории поля. Например, зависящая от времени система уравнений для спина Ландау или электрон-монопольные конфигурации описываются естественным образом посредством супер-гейзенберг-вейлевских и 05Р( 1/2) алгебр. Поскольку имеются приложимые к практике примеры более или менее супсрсимметрнчных игрушечных моделей, то возникает естественный вопрос, могут ли достаточно произвольные суперсимметричные игрушечные модели претендовать на роль адекватного описания некоторой для нас скрытой реальной физической системы. Частично, ответ на этот вопрос и являлся целью проведенного исследования. В частности, показано, что релятивистская частица в суиерпространстве может описывать систему с дробной статистикой для которой, однако, неизвестен явный вид действия. С другой стороны было продемонстрировано, что система зависящего от времени гармонического осциллятора является удобным инструментом для описания в замкнутой форме систем с более сложной динамикой. После известных работ Ермакова и Хусимн, стало понятно, что если любая достаточно сложная физическая задача с очень сложной динамикой допускает представление или

отображение па систему зависящего от времени гармонического осциллятора, то появляется возможность описания посредством когерентных или сжатых состояний. Э то важное свойство оказывается выполненным для моделей исследованных автором. Примечательно, что сжатые состояния были применены в контексте квантовой оптики и детектирования гравитационных воли. Правильный выбор реализации физических состояний, однако, существенным образом зависит от группы симметрии, которая, и некотором смысле н определяет динамику исследуемой системы. Исследовались также вопросы зависимости описания одной и той же системы, как функции алгебры, которая может быть присуща системе. На основе простой модели для суперчастицы, предложенной Волковым н Пашпевым, исследовались вопросы физической интерпретации операции взятия квадратного корня от оператора и ее связь с системой зависящего от времени гармонического осциллятора, а также, сжатых и когерентных состояний.

т) Построено фоковское описание состояний с дробной статистикой ("состояния после взятия операции квадратного корпя от оператора") и проведено их сравнение с рассматриваемой в литературе фоковской конструкцией, для модели частицы в суперпрострапстве с гамильтонианом стандартного вида; И) в частности продемонстрировано, что в отличие от обсуждавшегося в литературе случая единственными состояниями на которых может быть реализован квадратный корень гамильтонова оператора являются представления наименьшего веса Л = (1/4) и Л = (3/4);

Ш) имеются четыре возможные нетривиальные дробно реализуемые представления для разложения группы на спиновые структуры для квадратного корня от рассматриваемого гамильтонова оператора, вместо представлений (1/2,0) и (0,1/2), как в случае гамильтониана квадратичного по импульсам; ¡у) Для исследуемого частного случая, найдены соответствия между структурами гильбертова пространства рассматриваемых состояний, их спинового содержания соответствующего суб-гильбертова пространства и когерентных и сжатых реализаций физических состояний.

IV) На основе теории полу-групп построено аналитическое представление оператора радикала в N = 1 суперпространстве и исследованы разные возможности, а также возникающие трудности в реализации операции взятия квадратного корня от гамильтонова оператора;

у) Исследуются вопросы построения релятивистских волновых уравнений шре-дингеровского типа для состояний с дробной статистикой, строятся и исследуются соответствующие операторы тока;

у!) Рассматриваются вопросы совместности получаемых систем уравнений; уп) Находятся некоторые решения предложенных волновых уравнений для полей с дробной статистикой для зависящего от времени случая. Как и для систем зависящего от времени гармонического осциллятора строятся сжатые и когерентные состояния и прослеживается связь между топологией (супер)-группо-вого многообразии и полученных решений с алгебраической точки зрения, а

также и плане интерпретации интересной для приложений в теоретической физике. В заключительной части этой главы рассмотрены вопросы построения кваптовополевого пропагатора для неточечных объектов (типа струны) в мнкраканоническом ансамбле в 5-матрпчной формулировке. Для действия Намбу Гото пропагатор найден в явной форме. Он не зависит от температуры и в дополнение к имеющимся в литературе ответам, содержит все нелокальные эффекты, генерируемые поточечным объектом во взаимодействии. Проанализировано соотношение между релятивистскими кваптовополевыми теориями в микрокапопическом ансамбле и чисто S-матричной формулировкой.

На защиту выдвигаются следующие результаты.

Построение явного регулярного сферически симметричного решения уравнений Эйнштейна- Борна-Инфельда монопольного вида, и исследование его свойств. Исследование вращающихся решений для заряженной черной дыры в теории Эйнштейна-Борна-Инфельда.

Изучение некоторых математических структур скрытой симметрии уравнений Эйнштейна Борна-Инфельда и возможности обобщения теории, которое связано с кватернионной алгеброй.

Построение нового обобщения теории Эйнштейна-Борна-Инфельда на неа-белев случай и исследование его инстантонных "wormhole"решений. Процесс перехода к неабелеву случаю проводится в наиболее естественной форме и базируется на геометрических свойствах абелевого борн-инфельдовского лагранжиана в детерминантной форме. В частности, для вывода действия не требуется привлечение предписания определения следа операторов. Полученное действие полностью не зависит от вида калибровочной группы. Предложенное действие удовлетворяет некоторому топологическому ограничению, и согласно этого критерия является низшим из возможных реализаций обобщения на неабелев случай.

Найдено статическое сферически симметричное регулярное решение выведенной системы уравнений для изотропного случая и показано, что его асимптотика находится в соответствии с решением Икеда Миячи для уравнений Янга-Миллса в плоском пространстве.

Исследование вопросов физической интерпретации операции взятия квадратного корня от гамильтонова оператора некоторого частного вида для частицы в суперпрострапстве и ее связи с системой зависящего от времени гармонического осциллятора, а также сжатых и когерентных состояний, и построение на этой основе систем с дробной статистикой. Разработка оригинального метода квантования систем с дробной статистикой.

Построение кваптовополевого пропагатора для неточечных об'ьектов (типа струны) в мнкраканоническом ансамбле в S-матричной формулировке. Для действия Намбу-Гото пропагатор найден в явной форме.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. D..I. Cirilo-Lombardo; Rotated Charged Black-Holes in Einstein-Born-Infeld Theories, Problems of atomic Science and Technology 6, pp. 71-73, 2001.

2. D.,1. Cirilo-Lombardo and Yu. P. Stepanovsky; The simple solution of Relativists Wave Equations for Charged particles in Constant Electric Field and Pair Production, Problems of atomic Science and Technology G, pp.

182-181,2001.

3. D.J. Cirilo-Lombardo; The Newman-Janis algorithm, rotating solutions and Einstein-Born-lnfeld black-holes, Classical and Quantum Gravity, 21, issue 6, pp. 1407-1417, 2004.

4. D.J. Cirilo-Lombardo; Rotating Charged Black-Holes in Einstein-Born-Infeld Theory and their ADM mass, General Relativity and Gravitation, Vol. 37, Number 5, pp. 847-856, May 2005.

5. D.J. Cirilo-Lombardo; Monopole Solutions and Regularity Conditions in Einstein-Born-Infeld Theories, Journal of Mathematical Physics 46, 042501, 2005.

6. D.J. Cirilo-Lombardo; Particle Actions in the Superspace, Square Root Operators and Quartions, Romanian Journal of Physics, pp. 7-8, Vol. 50, 2005.

7. D.J. Cirilo-Lombardo; Non-abelian Born-Infeld action, geometry and super-symmetry, Classical and Quantum Gravity, 22, pp. 4987-5004, 2005.

8. D.J. Cirilo-Lombardo; Superparticle actions, square root operators and the Lorentz group SO(3,l), Hadronic Journal, Vol. 29, pp. 355-370, 2006.

9. D.J. Cirilo-Lombardo; Quantum field propagator for extended-objects in the microcanonical ensemble and the S-matrix formulation, Physics Letters B 637, pp. 133-138, 2006.

10. D.J. Cirilo-Lombardo; On the Lorentz group SO(3,l), geometrical supersym-metric action for particles and square root operators, Physics of Particles and Nuclei Letters, v. 3, N6 (135), pp. 123-135, 2006.

11. D.J. Cirilo-Lombardo; On the Lorentz group SO(3,l), geometrical supersym-metric action for particles and square root operators II: Squeezed States and Rclativistic Wave Equations, Physics of Particles and Nuclei Letters, v. 4, N3 (138), pp. 106-416, 2007.

12. D.J. Cirilo-Lombardo; On the mathematical structure and hidden symmetries of the BI field, Journal of Mathematical Physics 48, 032301, 2007.

13. D.J. Cirilo-Lombardo; Non-compact groups. Coherent States, Relativistic Wave equations and the Harmonic Oscillator. Foundations of Physics 37, pp. 919-950 (2007).

14. D.J. Cirilo-Lombardo; Physical coordinates as dynamic variables for the super-particle from its geometrical action, Romanian Reports in Physics, Vol. 59, No. 4, pp. 1111-1117, 2007.

15. D.J. Cirilo-Lombardo and N.G. Sanchez; Microcanonical model for a gas of evaporating black holes and strings, scattering amplitudes and mass spectrum. International Journal of Modern Physics A, Vol. 23, Issue 20.

16. D.J. Cirilo-Lombardo; The geometrical properties of Riemannian superspaces. exact solutions and the mechanism of localization, Physics Letters B, 661, pp. 186-191, 2008.

17. D.J. Cirilo-Lombardo; Riemannian superspaces, exact solutions and the geometrical meaning of the field localization, International Journal Theoretical Physics, DOI 10.1007/sl0773-008-9736-8, 14pp. 2008.

nojiyneHO 11 Hoa6pa 2008 r.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 12.11.2008. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,26. Тираж 100 экз. Заказ № 56390.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Объединенный институт ядерных исследований Лаборатория теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова

На правах рукописи

10Ш0.9 0 7 8 28 -

СИРИЛО-ЛОМБАРДО Диего Хулио

Обобщения модели Борна-Инфельда и некоторые

их точные решения

Диссертациия на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Дубна 2008

Joint institute for nuclear research Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics

Manuscript

Cirilo-Lombardo Diego Julio

Generalizations of the Born-Infeld model and exact solutions

PhD thesis

01.04.02 - theoretical physics

Dubna 2008

ABSTRACT Group theory and geometry play an increasing important role in modern theoretical and mathematical physics. Using the theory of the Lie groups as unifying vehicle, the Born-Infeld (BI) theory is reformulated. New non-abelian supersymmetric models, concepts and results of the BI theory in several fields of physics are expressed in an extremely economical way. Regular exact solutions of the BI theory in curved space-time within this mathematical framework are presented. Non-abelian super-generalization of the BI action independent of the gauge group are proposed in a language where the endomorphism algebras can replace the concept of principal fiber bundle and the gauge theories are included in the Riemannian structure. Finally, starting from the superparticle and the string models, the quantum problem of the theories with reparameterization invariant actions is analyzed, the mathematical tools involved are presented and the hints for the further quantum tretment of more complicated theories (e.g. d-branes) are given. The corresponding physical states and new relativistic wave equation from these toy models with they relation with the Harmonic Oscillator are shown on several examples.

I This is page iii I Printer: Opaque this

Contents

I Problems in Gravitation and Born-Infeld theory viii

1 New spherically symmetric monopole and regular solutions

in Einstein-Born-Infeld theories ix

1.1 Introduction and results:........................................ix

1.2 The Born-Infeld theory:........................................x

1.3 The regularity condition........................................xi

1.4 Statement of the problem:......................................xiii

1.5 Equations for the electromagnetic fields of Born-Infeld in the tetrad............................................................xv

1.6 Reduction and solutions of the system of Einstein-Born-Infeld equations..................................................xvi

1.6.1 Analysis of the function T (r) from the physical point

of view..........................xvii

1.6.2 Interesting cases for particular values of n and m . . xix

1.7 Analysis of the metric..........................................xix

1.8 Conclusions............................xxiii

1.8.1 Appendix: connections and curvature forms from the geometrical Cartank formulation...........xxiii

1.8.2 References........................xxv

2 Rotating charged Black Holes in Einstein-Born-Infeld theories and their ADM mass. xxvii

f

2.1 Introduction...........................xxvii

2.2 Statement of the problem...................xxviii

2.3 Analysis of the metric in the Born-infeld rotating case . . . xxxiii

2.4 Conclusions...........................xxxv

2.5 References............................xxxvi

3 The Newman-Janis Algorithm, Rotating Solutions and EinsteinBorn-Infeld Black Holes xxxvii

3.1 Introduction...........................xxxvii

3.2 The Born-infeld theory.....................xxxviii

3.3 The NJA and the rotating charged non linear solution ... xli

3.4 Analysis of the energy-momentum tensor:..........xliv

3.5 Conclusions:...........................xlvii

3.6 Appendix:............................xlvii

3.7 References: ...........................xlix

II The mathematical structure of the Born-infeld

field equations li

3.8 Introduction......................................................lii

3.9 The quaternionic structure ....................................liv

3.10 Hamiltonian point of view......................................Ivii

3.11 Maxwell equations in the Riemannian space-time and the Born-infeld theory.......................Iviii

3.12 Concluding remarks ............................................lix

3.13 References........................................................lx

III Non-Abelian Born-infeld action, geometry and supersymmetry.

3.14 Introduction...........................

3.15 Geometrical identity and natural non-abelian generalization of the Born-infeld action....................

3.16 Requirements for the non-abelian generalization and explicit computation of the determinant................

3.17 Energy-momentum tensor...................

3.18 Comparison with other prescriptions.............

3.19 Topology of the gauge fields and space-time: The reduced lagrangian............................

3.20 Equations of motion for the non-abelian Born-infeld theory in curved space-time......................

3.21 Wormhole-instanton solution in NABI theory........

3.22 Supersymmetric extension...................

3.23 Concluding remarks ......................

3.24 Appendix............................

lxi

lxii

lxiv

lxv lxvi Ixviii

Ixix

lxx

lxxiii

lxxvi

lxxx

lxxxii

3.25 References .........................lxxxiii

IV Born-Infeld theory, QFT and Quantization lxxxv

4 Non-compact groups, Coherent States, Relativistic Wave equations and the Harmonie Oscillator lxxxvii

4.1 Introduction and summary ..................lxxxvii

4.2 The superparticle model....................lxxxix

4.3 Hamiltonian treatment in Lanczoib formulation.......xcii

4.4 Quantization..........................xciv

4.5 Mass spectrum and square root of a bispinor ........xcv

4.6 Square root Hamiltonian and the Theory of Semigroups . . c

4.7 Relation with the relativistic Schrôdinger equation: compatibility conditions and probability currents....................civ

4.8 Relativistic wave equation...................cvii

4.9 Concluding remarks ............................................cxi

4.10 References............................cxii

5 Quantum field propagator for extended-objects in the mi-crocanonical ensemble and the S-matrix formulation cxv

5.1 Introduction...........................cxv

5.2 Microcanonical formulation..................cxvi

5.3 Axiomatic S-matrix formulation in QFT: microcanonical description .............................cxviii

5.4 The Nambu-Goto action and the microcanonical propagator exx

5.5 References............................exxiii

V Concluding remarks and outlook exxv

+;

This is page vii Printer: Opaque this

Preface

About references and notation. Because the huge amount of new results, models and different analisys of the Born-Infeld theory in several fields of physics in this dissertation, we remain each chapter self contained in the sense that the respective references, notation and appendices are included in it.

Part I

Problems in Gravitation and Born-Infeld theory

ß

This is page ix Printer: Opaque this

New spherically symmetric monopole and regular solutions in Einstein-Born-Infeld theories

1.1 Introduction and results:

The four dimensional solutions with spherical symmetry of the Einstein equations coupled to Born-Infeld fields have been well studied in the literature1-4. In particular, the electromagnctic field of the Born Infeld monopole, in contrast to Maxwell counterpart, contributes to the ADM mass of the system (it is, the four momentum of asymptotic flat manifolds). B. Hoffmann was the first who studied such static solutions in the context of the general relativity with the idea of to obtain a consistent particle-like model2 . Unfortunately, these static Einstein-Born-Infeld (EBI) models generate conical singularities at the origin2-3 that cannot be removed as in global monopoles or other non-localized defects of the spacetime5-6. With the existence of this type of singularities in the space-time of the monopole we can not identificate the gravitational with the electromagnetic mass. In this work a new static spherically symmetric solution with Born-Infeld charge is obtained. The new metric, when the intrinsic mass of the system is zero, is regular everywhere in the sense that was given by B. Hoffmann and L. Infeld3 in 1937 and the EBI theory leads to identification of the gravitational with the electromagnetic mass. This means that the metric, the electromagnetic field and their derivatives have not singularities and discontinuities in all the manifold. The fundamental feature of this solution is the lack of conical singularities at the origin. A distant observer will associate with this solution an electromagnetic mass that is a twice of the mass of the electromagnetic geon founded by M. Demianski4 in 1986 .

The energy-momentum tensor and the electric field are both regular with zeio value at the origin and new parameters appear, given to the new metric surprising behaviours. The used conventionis the spatial of Landau and Lifshitz (1962), with signatures of the metric, Riemann and Einstein tensors all positives (+++) ■

The plan of this paper is as follows: in Section 2 we give a short introduction to the Born-Infeld theory: propierties and principal features. In Section 3 the regularity condition as was given by B. Hoffmann and L. Infeld3 in 1937 . Sections 4, 5, 6 and 7 aie devoted to found the new solution and to analyze its propieities. Finally, the conclusion and comments of the results are presented in section 8.

1.2 The Born-Infeld theory:

The most significative non-linear theory of electrodynamics is, by excellence, the Born-Infeld theory1,9. Among its many special properties is an exact SO(2) electric-magnetic duality invariance. The Lagrangian density describing Born-Infeld theory (in arbitrary spacetime dimensions) is

Cbi = V^LBI = ~ - + (1)

where b is a fundamental parameter of the theory with field dimensions. In open superstring theory10, for example, loop calculations lead to this Lagrangian with ¿>-1 = '¿ira' (a' = inverse of the string tension) . In four spacetime dimensions the determinant in (1) may be expanded out to give

Lbi = £ I1 ~ V1 + f6-2 V1" - ^b~4 ( V" ) > (2)

which coincides with the usual Maxwell Lagrangian in the weak field limit. It is useful to define the second rank tensor P'u/ by

1 dLBI F>lV ~ \h'2 (tpP*Fpa) F^

y 1 + \b-*FpaFP° - (FpaFP«)

(so that Pf" « F^ for weak fields) satisfying the electromagnetic equations of motion

VMPM1/ = 0 (4)

which are highly non linear in F^. The energy-momentum tensor may be written as

l_ / xFvX + 9 [R - 1 - ib-2Fp(JF^] 3tlv ' 47T

T — ) P 1 2 p i I

t5 r WJ

■ft

E = 1 + ^b-*FpaFr° - (Fp<rFP°y

Although it is by 110 means obvious, it may verified that equations (3)-(5) are invariant under electric-magnetic rotations of duality F <—> *G. We can show that the S0(2) structure of the Born-Infeld theory is more easily seen in quaternionic form11-12

4 (<r0 + ia2P) L = L

IX

32V (o-o - 2P) L = Z,

(l+P2)

where we defined _

L = F- ia2F

L = P - i(T2P

the pseudoescalar of the electromagnetic tensor F'LV

P = -±FltvF'iV

and (To, the well know Pauli matrix.

In flat space, and for purely electric configurations, the Lagrangian (2) reduces to

so there is an upper bound on the electric field strength E

E <b (6)

1.3 The regularity condition

The new field theory initiated in 1934 by M. Born9 introduces in the classical equations of the electromagnetic field a characteristic length tq representing the radius of the elementary particle through the relation

where e is the elementary charge and b the fundamental field strength entering in a non-linear Lagrangian function. It was originally thought that

the Lagrangian (1) was the simplest choice which would lead to a finite energy for an electric particle. This is, however, not the case. It is possible to find an infinite number of quite different action functions, each giving simple algebraic relations between the fields and each leading to a finite energy for an electric particle.

In 1937 B. Hoffmann and L. Infeld3 introduce a regularity condition oil the new field theory of M. Born9with the main idea of to solve the lack of uniqueness of the function action. They have already seen that the condition of regularity of the field gives the restriction in the spherically symmetric electrostatic case Er — 0 for r = 0.

In the general theory they applyed the regularity condition not only to the F,„, field but also to the gIUJ field. The regularity condition for the general theory was that:

Only those solutions of the fields equations may have physical meaning for which space-time is everywhere regular and for which the and the 9fiu fields and those of their derivatives which enter in the field equations and the conservation laws exist everywhere.

In the general theory of the relativity the spherically symmetric solution of the purely gravitational field equations is given by the Schwarzschild line element

where (—2M) is a constant of integration M have having the significance of the gravitational mass of the body source of the field (we take the gravitational constant G = 1). This line element has an essential singularity at r = 0 and does not satisfy the regularity condition.

In the general relativity form of the original new field theory the re-queriment that there be no infinities in the g^v forces the identification of gravitational with electromagnetic mass. In3 B. Hoffmann and L. Infeld have used for such identification the line element of the well known monopole solution studied by B. Hoffmann2 in 1935

that is originated by an Einstein-Born-lnfeld action as in equation (1). This line element approximates the Schwarzschild form for r greater than the electronic radius but avoid the infinities of that line element for r = 0. However is still a singularity of conical type at the pole. When r —► 0 the above expression for A, gives

ds2 = -Adt2 + A~ldr2 + r2 (d62 + sin2 6 dip2)

r

[(r4 + l)1/2_r2]dr

so ds2 becomes

ds2 = —j3dt2 + P~xdr2 + r2 (dB2 + sin2 8 dV2)

Thus the ladio of the cii cumfei euce to the 1 adius of a small circle having its centre at the pole is, in the limit, 2n/3 and not 27r. Therefoie the origin (it is, at r = 0) is a conical point and not legular. Note that, because the conical point, no coordinate can be intioduced which will be non singular at r = 0 and derivatives are actually undefined at this point.

This problem with the conical singularities at / = 0 , that destroy the regularity condition, makes that in the leference3 B. Hoffmann and L. Infeld change the action of the Born-Infeld foim as in equation (1) for other nonlinear Lagrangian of logarithmic type. The new logarithmic action does not piesentod such dffi culties at r = 0, and makes that time ago many people changes the very nice foim of the Emstein-Boin-Infeld action (1) foi otheis non-lineai Lagrangians that solved the problem of the self-energy of the election and the regularity condition given above.

In this work we piesented a new exact spherically symmetric solution of the Einstein-Born-Infeld equations The metric, when the intiinsic mass of the system is zero, is reqular everywhere in the sense that was given by B. Hoffmann and L. Infeld3 in 1937, and the EBI theory leads to identification of the gravitational with the electromagnetic mass. In this manner we also show that more stiong conditions are needed for to solve the problem of the lack of uniqueness of the function action

1.4 Statement of the problem:

We propose the following line element for the static Born-Infeld monopole

ds2 = -e2Adt2 + e2®dr2 + e2F^d62 + e2G« sin2 9 dip2 (7)

where the components of the metric tensor are

(8)

9» = -e2A 9tt = - _e-2A

_ 2<i> 9rr - £ grr =

gee = e2F e~2F

gvv = sin2 9 e2G e~2G sina 9

For the obtention of the Einstein-Born-Infeld equations system we use the Cartan's structure equations method13, that is most powerful and direct where we work with differential forms and in a orthonormal frame (tetrad). The line element (7) in the 1-forms basis takes the following form

ds2 = — (w0)2 + (w1)2 + (w2)2 + (w3)2 (9)

were the forms are

lj° = eAdt => dt = e~AuP

ui1 — e®dr dr = e^ui1

w3 = eG(r)sinGd(p ^ dip = (smdy1 uj3

Now, following the standard procedure of the structure equations (Appendix) for to obtain easily the components of the Riemaim tensor, we can construct the Einstein equations

Gl2 = -e-iF+G)^d {G_F) (n)

sin#

G° o = e-2** - eT1F (12)

= [<9rdr (F + G) - dr<ï> dr (F + G) + idrF)2 + (<9rG)2 + drF drG~\

G1 1 = e-24, [drA dr (F + G) + drF drG\ - e~2F (13)

G2 2 = e~2* \prdr (A + G) - dr§ dr (A + G) + (drA)2 + (.dTG f + drA <9rG]

(1.1)

G3 3 = e-24> \drdT (F + A) - dr (F + A) + (drA)2 + (drFf + drF 0rA]

(1.2)

G1 3 — G2 3 = G° 3 = G° 2 = G° x = 0 (1.3)

In the tetrad defined by (10), the energy-momentum tensor of Born-Infeld takes a diagonal form, being its components the following

Ï22=Ï33 = ^;(1-R) (1.5)

where

of this manner, one can see from the Einstein equation (18) the characteristic property of the spherically symmetric space-times14

Gii = -e-V+a>^dr{G-F)=0 =► G = F (1.7) sin a

Notice for that the interval be a spherically symmetric one, the functions F (r) and G (r) must be equal. As we saw in the precedent paragraph the components of the energy-momentum tensor of BI assures this condition in a natural form. Also it is interesting to see from eqs. (17) and (18) that the energy-momentum tensor of Born-Infeld has the same form as the energy-momentum tensor of an anisotropic fluid.

1.5 Equations for the electromagnetic fields of Born-Infeld in the tetrad

The equations that describe the dynamic of the electromagnetic fields of Born-Infeld in a curved spacetime are

• jpab p __

v.]

7>ab

va

+

Va Fab = 0 where

0

Bianchi's identity)

p=--FaPFaP 4

25

= Wl-

(field equations) (1.8) (1.9)

(1.10) (1.11)

(1.12)

'IT

The above equations can be solved explicitly giving the follow result

F0i = A{r) (1.13)

Foi = f e"2G (1.14)

where / is a constant. We can see from equation (19) and (21) that

Foi

Foi =

- (Foi)2

where we obtain the following form for the electric field of the self-gravitating B-I monopole

-Foi =

+ 1

we can to associate1

f = brl=Q

Foi

№

(1.15)

(1.16)

+ 1

Where tq is a constant with units of longitude that in reference1 was associated to the radius of the electron. Finally the components of the energy-momentum tensor of BI takes its explicit form reemplacing the Fox that we was found in equation (29) in expressions (17) and (18)

-Too = Tn —

47T

+1

(1.17)

ss

T22 = T33 = £-(l- 1 I (1.18)

47r V sfW^)

Expressions (11-16) together with (30-31) and (20) are the full set of Einstein equations in explicit form.

1.6 Reduction and solutions of the system of Einstein-Born-Infeld equations

Of the above expressions, we can see that G° o = G1 i,then

drdrG + (drG)2 - drGdr ($ + A) = 0 (1.19)

In order to reduce the eq. (32) we will proceed as follow. First we make

drG = £ (1.20)

with this change of variables, in the equation (32) we have first derivatives only

drt + £2 - £dr ($ + A) = 0 (1.21)

dividing the above expression (34) by £ and making the substitution

X = \ni (1.22)

we have been obtained the following inhomogeneous equation

drX + ex = dr($ + A) (1.23)

the homogeneus part of the last equation is easy to integrate

X* = -ln r (1.24)

Now, of as usual, we make in eq. (36) the following substitution

X = Xh + XP = -lnr + lnM = -lnr + ln(l+»7) (1.25)

then

0rln(l+77) + - = dr($ + A)=* (1.26) r

dr [In (l + r¡) + J7 (r) — (<E> + A)] = 0

In (1 + r?) + T (r) - ($ + A) = cte = 0

where = The constant must be put equal to zero for to obtain

the correct limit. Finally the form of the exponent G is

G = lnr + T(r) (1.27)

The next step is to put $ in function of A and G in the expression (13). After of tedious but straighforward computations and integrations, we obtain

9/>2 rY (r) /-

e2A = 1 + a0 e~G + e2G^-~ 2b2e~G / y/Y* + (r0fdY (1.28) Where, we defined

Y(r) = eG

and a(0) is an integration constant.

Hitherto, we know that T is an arbitrary function of the radial coordinate r , but for to be sure of it, we must to introduce the fuction A given for above equation, in the Einstein equations (14-15) and to verify that G22 — G33. Successfully, this equality is verified and the functions A, $ and G remains matematically determinate. In this manner the line element of our problem (7) takes the following form

ds2 = —e2Adt2 + e2^) [e-2A (1 + r q^ (r) f dr2 + r2 + sin2 Q j j

(1.29)

1.6.1 Analysis of the function J- (r) from the physical point of view.

The function T (r) must to have the behaviour in the form that the electric field of the configuration obey the following requirements for gives a regular solution in the sense that was given by B. Hoffmann and L. Infeld3

^oi|r=ro < b (1.30)

-^oi|r=0 — 0 (1-31)

^01 It—,00=0 assymptotically Coulomb (1.32)

the simplest function J- (r) that obey the above conditions, is of the type

2 m

(1.33)

P2^(r) =

where a is an arbitrary constant, and the exponents n and m will obey the following relation

mn > 1 (m, n 6 N) (1.34)

with

0 < a < 1 or — 1 < a < 0 depending on m (n) is even or odd and

a^ 0

that put in sure a consistent regularization condition not only for the electric (magnetic) field but for the energy-momentum tensor (30) and (31) and the line element (42).

The analysis of the Riemann tensor indicate us that, it is regular everywhere and its components goes faster than ^ when r —► oo. With all this considerations, the metric solution to the problem is

ds1

„2Aj/2

dt¿ +

1 -

rp

a Ir]

2m

e~2Adr2

1 _

(

+

+r'2 {d.62 + sin2 9dip2)} and the electric field takes the form

b

Foi =

(1.35)

(1.36)

It is interesting to note that if we violating the condition (43) taken a = 1 and F0i |r=r = b (limit value for the electric field in BI theory) the energy momentum diverges automatically at r = Tq. Strictely, the regularity conditions for the energy-momentum tensor (without divergences and discontinuities in the neighborhood of ro, physical radius of the spherical source of the non-linear electromagnetic field) are

Tab|r=r<> = finite =>- —1 < a < 0 or 0 < a < 1

depending on parity of m, n; and

^abUo-O =► R-fl

For the magnetic monopole case the line element is as expression (48) with the following obvious definition for the magnetic charge

brl — Qm

The magnetic field takes the following form

b

F23 —

(¿m) ] (ro)

Qm

['-wr-'

and the considerations about the regularity conditions on the energy momentum tensor is as the electric monopole case.

1.6.2 Interesting cases for particular values of n and rn Because

ro

exp2T (r) = is easy to see that for in = 0

1 -

a\r\

2m

eG - r

and we obtains the spherically symmetric line element of Hoffmann2 and the electric field inland the energy-momentum tensor Tat) take the form of the well know EBI solution for the electromagnetic geon of Deinianski4

By other hand, in the limit when: a —> 1, n —> 4 and m -Foi —

j we have

Q

i +

-fe)4 W

where (as is usually taked) br2 = Q . How we see, we obtain as solution in the limit the Maxwellian linear field. Note that the values of a and the exponents m and n are restricted by conditions (47).

1.7 Analysis of the metric

We have the metric (42)

ds2 = —e2Adt2 + e2^> [e-2A (1 + r drT(r) )2 dr2 + r2 (d92 + sin2 9 dip2)] if we make the substitution

Y Ere^»

and differentiating it

dY = e^M (1 + r dTT (r)) dr

the interval (7) takes the form

ds2 = -e2Adt2 + e~2hdY2 + Y2 (dQ2 + sin2 9dtp2)

we can see that the metric (in particular the gu codficient), in the new coordinate Y(r), takes the similar form like a Demianski solution for the Born-Infeld monopole spacetime :

Y 3 (yyT+T4 + y2) 3

1/4,1/2,5/4;-^-)

MP

here M is an integration constant, which can be interpreted as an intrinsic mass, and is the Gauss hypergeometric function14. We have pass

9rr-*9YY, 9tt (0 9tt 00

Specifically, for the form of the T (r) given by (46), Y is

Y2 =

Tq

a\r\

2m

2

Now, with the metric confidents fixed to a asymptotically Minkowskian form, one can study the asymptotic behaviour of our solution. A regular, asymptotically flat solution with the electric field and energy-momentum tensor both regular, in the sense of B. Hoffmann and L. Infeld is when the exponent numbers of Y(r) take the following particular values:

n = 3 and m = 1

In this case, and for r > > ^ , we have the following asymptotic behaviour for Y (r) and —gtt, that does not depend on the a parameter

Y (r) —> r (r » ^

e2A ^ 1 _ 2M _ 8b2rpK (1/2) + +

r 3r0r r2

A distant observer will associate with this solution a total mass

4b2riK (1/2)

Meff = M +

3 r0

and total charge

Q2 = 2b2rl

Notice that when the intrinsec mass M is zero the line element is regular everywhere, the Riemann tensor is also regular everywhere and hence the space-time is singularity free. The electromagnetic mass

_ ^0/2)

ora

and the charge Q are the twice that the electromagnetic charge and mass of the Demianski solution4 for the static electromagnetic geon. Notice that the Mei is necessarily positive, which was not the case in the Schwarzschild line element. The other important reason for to take the constant M = 0 is that we must regard the quantity (let us to restore by one moment the gravitational constant G)

rY{r)

4ttG / T$(Y)Y2dY

JY(r=0)

as the gravitational mass causing the field at coordinate distance r from the pole. In our case Tq is given by expression (30). This quantity is precisely (in gravitational units) Mei given by (50), the total electromagnetic mass within the sphere having its center at, r — 0 and coordinate r. We will take M = 0 in the rest of the analysis.

On the other hand, the function Y (r) for the values of the m and n parameters given above has the following behaviour near of the origin

Notice that the case a > 0 will be excluded because in any value ro —> Y (ro) = 0 , the electric field takes the limit value b and the condition (43) is violated. For M = 0 and a < 0,expanding the hypergeoinetric function, we can see that the —gtt confident has the following behaviour near the origin

The metric (see figures) and the energy-momentum tensor remains both regulars at the origin (it is: gtt —> —1 —> 0 for r —► 0). It is not very diffi cult to check that (for m = 1 and n — 3) the maximum of the electric field (see figures) is not in r — 0 , but in the physical border of the spherical configuration source of the electromagnetic fields (this point is located around tb = 2l/'3pj ). It means that Y (r) maps correctely the internal structure of the source in the same form that the quasiglobal coordinate of the reference16 for the global monopole in general relativity. The lack of the conical singularities at the origin is because thé very well description of the manifold in the neighbourhood of r = 0 given by Y (r)

Because the metric is regular (gu = —1, at r = 0 and at r = oo), its derivative must change sign. In the usual gravitational theory of general relativity the derivative of gtt is proportional to the gravitational force which would act on a test particle in the Newtonian approximation. In Einstein-Born-Infeld theory with this new static solution, it is interesting to note that although this force is attractive for distances of the order ro << r , it is actually a repulsion for very small r. For r greater than ro, the line element closely approximates to the Schwarzschild form. Thus the regularity condition shows that the electromagnetic and gravitational mass are the same and, as in the Newtonian theory, we now have the result that the attraction is zero in the center of the spherical configuration source of the electromagnetic field.

for a < 0 when r —» 0, Y (r) —> oo

for a > 0 when r —> 0, Y (r) —> -co

-g-.t

1.8 Conclusions.

In this chapter a new exact solution of the Einstein-Born-Infeld equations for a static spherically symmetric monopole is presented. The geneial behaviour of the geometry, is strongly modified according to the value that takes ro (Born-Infeld radius1'9) and three new parameters: u, m and n.

The fundamental feature of this solution is the lack of conical singularities at the origin when: —1 < a < 0 or 0 < a < 1 (depends on parity of m and ri) and mn > 1. In particular, for m — 1 and n = 3, with the parameter a in the range given above and the intrinsic mass of the system M is zero, the strong regularity conditions given by B. Hoffmann and L. Infeld in reference3, holds in all the spacetime. For the set of values for the parameters given above, the solution is asymptotically flat, free of singularities in the electric field, metric, energy-momentum tensor and their derivatives (with derivative values zero for r —»• 0); and the electromagnetic mass (ADM) of the system is a twice that the electromagnetic mass of other well known2'4 solutions for the Einstein-Born-Infeld monopole. The electromagnetic mass Mei asymptotically is necessarily positive, which was not the case in the Schwarzschild line element.

This solution have a surprising similitude with the metric for the global monopole in general relativity given in reference16-"17 in the sense that the physic of the problem have a correct description only by means of a new radial function Y (r).

Because the metric is regular (gu = —1, at r 0 and at r = oo), its derivative (that is proportiona